José Albeiro Sánchez Cano_ Universidad EAFIT_ 2011 Página 1 1 Aplicaciones de las integrales anidadas Aplicaciones de las integrales anidadas José Albeiro Sánchez Cano Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT [email protected]Resumen En este artículo se demuestra una propiedad de las integrales iteradas y su aplicación Abstract This paper demonstrates a property of the nested integrals and its applications. Palabras claves: Integrales iteradas, Transformada de Laplace Keys words: Nested integrals, Laplace transforms Introducción La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable en contraste a las integrales múltiples, que consiste de un número de integrales evaluadas con respecto a variables diferentes. Más exactamente, si ( ) x f es una función continua definida en . R ⊆ Ι y Ι ∈ 0 x , entonces ( ) ( ) () () 1 ! 1 0 0 0 3 0 2 0 1 2 1 1 du u f u x n dx dx dx dx x f x x n veces n n n x x x x x x x x n ∫ ∫∫ ∫∫ − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − K K Para su demostración ver (ver [G. Shilov]). En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.
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José Albeiro Sánchez Cano_ Universidad EAFIT_ 2011 Página 1
1 Aplicaciones de las integrales anidadas
Aplicaciones de las integrales anidadas
José Albeiro Sánchez Cano
Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT [email protected]
Resumen En este artículo se demuestra una propiedad de las integrales iteradas y su aplicación
Abstract This paper demonstrates a property of the nested integrals and its applications.
Palabras claves: Integrales iteradas, Transformada de Laplace Keys words: Nested integrals, Laplace transforms Introducción La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable en contraste a las integrales múltiples, que consiste de un número de
integrales evaluadas con respecto a variables diferentes. Más exactamente, si ( )xf es una función continua definida en .R⊆Ι y Ι∈0x , entonces
( ) ( ) ( ) ( )1!
100 0
3
0
2
0
1211 duufuxn
dxdxdxdxxfx
x
n
vecesn
nn
x
x
x
x
x
x
x
x
n
∫∫ ∫ ∫ ∫ −=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−KK
Para su demostración ver (ver [G. Shilov]).
En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.
Propiedad S. Sea ( ) ( ) ( )k
k
i
i xxxxxfxT ,,,, 21
1
K==∏=
una función continua en el
conjunto [ ]kba, , sea [ ] ibxx ,0∈ .Entonces se tiene la siguiente relación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1!
100
1
0
2
0
1
0
11121221
kx
xkkk
x
x
x
x
x
x
x
xdxxf
kdxdxdxdxxfxfxfxf
k
= ∫∫ ∫ ∫ ∫ −
−
KLL
Demostración.
La demostración la haremos por inducción.
Se tiene claramente para 1=n .
Veamos para 2=n en este caso deberá tener que
( ) ( ) ( ) ( )2.!2
12
11122100
1
0
=
∫∫ ∫x
x
x
x
x
xdxxfdxdxxfxf
En efecto, usando integración por partes, esto es, haciendo
( ) ( ) 1122 ,1
0
dxxfdvdxxfux
x== ∫
Se encuentra, al usar el teorema fundamental de cálculo, que
( ) ( )∫==x
xdxxfvdxxfdu
01111 ,
Así que según la fórmula de integración por partes, tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12122112210
1
00
1
000
1
0
dxxfxfdxxfdxxfdxdxxfxfx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x ∫ ∫∫∫∫ ∫ −
=
La primera ecuación del lado derecho no es más que
( ) ( ) ( )2
12210
0
1
00
=
∫∫∫
x
x
x
x
x
x
x
xdxxfdxxfdxxf
O bien, al reemplazar en la última ecuación se tiene lo pedido, esto es (2).
Supongamos ahora que se cumple para kn = y veamos que se cumple para el
siguiente, esto es, para .1+= kn
Esto es, se tiene la hipótesis de inducción:
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