Sergio Yansen Núñez Sergio Yansen Núñez Aplicaciones de Integrales dobles y triples Actividad 1 Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es de su " % distancia al eje y su volumen está encerrado por las superficies: D B bC b ÐD c "!Ñ œ "! # # # # con 9 B bC œD DŸ # # # con B bC œ "!D D ! # # # Dœ*ßDœ! En coordenadas cilíndricas en orden , .D.<. .<.D. ) ) Actividad 2 Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa del cuerpo limitado por: B bC bD œ* # # # DœBbC # # D œB bC # # # D œ $ÐB b C Ñ # # # con . C ! Sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia del T œ ÐBß Cß DÑ punto al origen. T Use coordenadas esféricas. Actividad 3 Plantee en coordenadas cilíndricas, la(s) integral(es) para calcular la masa de la región V encerrada por las superficies , ; si la densidad en cada punto es Dœ+cC D œ #B b C # # # # proporcional a la distancia al eje . D
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Sergio Yansen Núñez
Sergio Yansen Núñez
Aplicaciones de Integrales dobles y triples
Actividad 1
Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es de su"%
distancia al eje y su volumen está encerrado por las superficies:D
B � C � ÐD � "!Ñ œ "!# # # #
con 9B � C œ D D Ÿ# # #
con B � C œ "!D D !# # #
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En coordenadas cilíndricas en orden , .D.<. .<.D.) )
Actividad 2
Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa del cuerpo limitado por:
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D œ B � C# #
D œ B � C# # #
D œ $ÐB � C Ñ# # #
con .C !
Sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia delT œ ÐBß Cß DÑpunto al origen.T
Use coordenadas esféricas.
Actividad 3
Plantee en coordenadas cilíndricas, la(s) integral(es) para calcular la masa de la región Vencerrada por las superficies , ; si la densidad en cada punto esD œ + � C D œ #B � C# # # #
proporcional a la distancia al eje .D
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Actividad 4
Calcule el momento polar de inercia de la región del plano limitada por ,BC B � C œ "# #
B � C œ * BC œ # BC œ %# # , , suponiendo la densidad unitaria.
Actividad 5
Determine el centro de masa de la región limitada por la superficie , y losV D œ % � B#
planos , , , , suponiendo que la densidad es constante igual a .B œ ! C œ ! C œ ' D œ ! 5
Actividad 6
a) Determine el centro de masa de la región homogénea limitada por dosVsuperficies dadas en coordenadas esféricas: superiormente por e3 œ +inferiormente por , donde y son constantes. Suponga que la densidad es9 ! !œ +5.
b) Mediante coordenadas esféricas, plantee la(s) integrale(s) que permita(n) calcularla masa de suponiendo que la densidad del casquete esférico, que correponde aVla parte superior de , es , y en la parte limitada por el cono, que corresponde aV 5"la parte inferior de , es con . Considere 2 y .V 5 5 Á 5 + œ œ# " # 9 1
%
Actividad 7
Consideremos el sólido de densidad uniforme acotado por y los planos5 B � C œ '# #
D œ ! D œ * y . Calcule el momento de inercia respecto del eje .B
Actividad 8
Determine el centroide de un sólido de densidad constante igual a , el cual está limitado5por , , y .B œ C B œ D D œ ! B œ "#
Sergio Yansen Núñez
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Actividad 9
Una bola unitaria consiste en dos semibolas pegadas. Una semibola tiene la densidadconstante y la otra bola tiene una densidad constante $ $" #Þ
a) Determine las coordenadas del centro de masa.
b) Escriba la integral que permite calcular el momento de inercia de la bola unitaria,cuando rota en torno al eje .^
c) Sea , paralelo al eje , el eje de rotación perpendicular al plano de unión de lasP ^dos semibolas, tal que .P � F96+ Á F
De acuerdo a la expresión obtenida en (b), ¿qué distancia de al eje ,P ^
corresponde al momento de inercia minimal y qué distancia de al eje ,P ^corresponde al momento de inercia maximal?
Actividad 10
Consideremos un sólido que contiene un cubo de arista igual a 1 y de densidad igual a 1,y un cilindro de radio , de longitud 2 y de densidad 2, que atraviesaV � "
#perpendicularmente el cubo y cuyo eje pasa por dos caras opuestas y por su centro. Este sistema gira alrededor del eje del cilindro con velocidad angular .A Si la Eergía Cinética está dada por la fórmula , donde es la velocidad angularI œ AMA#
#
e es el momento de Inercia, se pide:M Plantear la(s) integral(es) que permitan calcular la Energía Cinética del sistema. Debeusar coordenadas cilíndricas en el orden ..D.<.)
Actividad 11
Sergio Yansen Núñez
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Resolución
1.
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