1 Curso- Engenharia Civil/Mecânica Disciplina- Cálculo II – Prof. Olga 2º Semestre de 2014 Antiderivação- Integração Indefinida Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar a própria função. Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e quer saber a posição desse corpo em um determinado tempo futuro. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado antiderivação ou integração indefinida. F(x) é uma antiderivada de f(x) para qualquer x do domínio de f se F’(x) = f(x) Exemplo: F(x) =x 2 é uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2x Observamos também que F(x) = x 2 + 3 é também uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2x. Dada uma função f(x) existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C em que C é uma constante. Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), todas as antiderivadas de f(x) são da forma F(x) +C. Essa família de antiderivadas é representada por : em que F’(x) = f(x) dx x f ) ( integral indefinida de f(x) f(x) integrando dx símbolo que indica a variável x ( variável de integração). Exemplos: 1) C x dx x 4 4 3 pois 3 4 4 . 4 1 ) 4 ( x C x dx d = x 3 2) pois C x dx x 3 2 3 2 3 3 ) ( x C x dx d 3) ( 2 1 2 3 dt d pois C t dt t 3 2 ) 2 1 t C t Regras de integração: 1) Regra da constante C x F dx x f ) ( ) ( C kx kdx ( k = constante )
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Curso- Engenharia Civil/MecânicaDisciplina- Cálculo II – Prof. Olga2º Semestre de 2014
Antiderivação- Integração Indefinida
Muitas vezes conhecemos a derivada de uma função e queremos encontrar a própriafunção.Por exemplo: um físico conhece a velocidade de um corpo em movimento e quer sabera posição desse corpo em um determinado tempo futuro.O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado antiderivação ouintegração indefinida.
F(x) é uma antiderivada de f(x) para qualquer x do domínio de f se F’(x) = f(x)
Exemplo: F(x) =x2 é uma antiderivada de f(x) = 2x pois F’(x) = 2xObservamos também que F(x) = x2 + 3 é também uma antiderivada de f(x) = 2x poisF’(x) = 2x.
Dada uma função f(x) existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C emque C é uma constante.Ou seja, se F(x) é uma antiderivada de f(x), todas as antiderivadas de f(x) são da formaF(x) +C.
Essa família de antiderivadas é representada por :
em que F’(x) = f(x)
dxxf )( integral indefinida de f(x) f(x) integrando dx símbolo que indica a variável x ( variável de integração).
Exemplos:
1) Cxdxx 4
43 pois 3
4
4.41)
4( xCx
dxd
= x3
2) poisCxdxx 323 23 3)( xCxdxd
3) (21 23
dtdpoisCtdtt 32 )
21 tCt
Regras de integração:
1) Regra da constante
CxFdxxf )()(
Ckxkdx ( k = constante )
2
Exemplos : Cxdx 22 ; Cxdx 33 ; Cxdx
2) Regra da potência
Exemplos:
CxCxdxx
312
3122 ; CtCtdtt
2
133
21
13
3) Regra do logaritmoNa regra da potência, se n = -1, temos dxx 1 que não pode ser calculada como
1) Determine a função f, sabendo que a sua derivada f’(x) = 4125 4 x
xx , e
que f( 1 ) =95
2) Determine a função f tal que f’(x) = 5x3 -2x + 15, com f(0) = -13) Sabendo que u’(t) = 3 3 73 .19 ttt , e que u(1) = 1, determine a função u4) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 4x+1 e cuja curva
passa pelo ponto (1,2)5) Determine a função polinomial cuja tangente tem inclinação 3x2 + 6x -2 e cuja
curva passa pelo ponto ( 0,6)6) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à
razão de 4 + 5 t 32
habitantes por mês. Se a população atual é de 10000 habitantes,qual será a população daqui a 8 meses?
7) A velocidade escalar em um movimento é dada por v(t) = t 32
. Ache a funçãohorária do movimento, sabendo que ela vale 1 no instante t=0
8) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t)= 1 + 4t + 3 t2 metros por minuto. Que distância o corpo percorre no terceirominuto?
9) Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q2 – 60q + 400 reais porunidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produziras primeiras 2 unidades é R$900,00. Qual é o custo total para produzir asprimeiras 5 unidades?
10) Se um ponto se move em uma reta coordenada com aceleração a(t) e ascondições iniciais dadas, determine s(t)
a) a(t) = 2-6t ; v(0)= -5 e s(0) = 4b) a(t) = 3 t2 ; v(0)= 20 e s(00 = 5
Integração por Substituição ( Cálculo- Um Curso Moderno e SuasAplicações Hoffmann, pág. 311)
Uso da Substituição para integrar dxxf )(1) Escolha uma substituição u = u(x) que simplifique f(x)2) Expresse toda a integral em termos de u e du = u’(x) dx. Isto significa que todos
os termos que envolvem x e dx devem ser transformados em termos queenvolvem u e du
3) Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
duugdxxf )()(4) Calcule o valor desta integral5) Substitua u por g(u)
Exemplo:dxx 7)53(
6
u= 3x + 5
3dxdu dx =
3du
dxx 7)53( =3
7 duu =31 duu 7 =
31 Cu
8
8
=24
8u + C= Cx
24
)53( 8
Calcule as seguintes integrais
1) dx
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Lista 6
Exercícios1) Calcule as integrais indefinidas:
a)
b) dx
c) dx
d)
e) dx
f)
g)
7
h) dx
i)
j)
k)
l)
Integração por partes
É uma técnica utilizada para integrar produtos de funções, isto é, o integrandoé do tipo f (x) . g (x)Para tanto, podemos seguir os seguintes passos para a integração por partes.
1) Escolha os fatores, um fator fácil de integrar e outro fácil de derivar
2) Se f (x) será derivada, derive
3) Se g’(x) dx será integrado, integre, encontrando g (x)
4) Substitua os fatores encontrados na fórmula de integração por partes, ou seja,
ou
Exemplos: Calcule as integrais abaixo, utilizando a integração por partes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
8
Algumas vezes precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez
Exemplo:
9)
10)
11)
Lista 7
Calcule a integral dada. Verifique se o cálculo está correto derivando o resultado: