INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS 1 RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES. 1. ∫ dx x 5 k x k x dx x + = + + = + ∫ 6 1 5 6 1 5 5 2. ∫ + dx x x ) ( = + + = + + = + + + + = + = + + + ∫ ∫ k x x k x x k x x dx x x dx x x 3 2 2 2 3 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( 3 2 2 3 2 1 2 1 1 1 2 / 1 k x x x + + = 3 2 2 2 3. dx x x x ∫ - 4 3 Sol: k x x x + - 2 10 1 6 = + ⋅ - ⋅ = + + ⋅ - + - ⋅ = - = - + + - - ∫ ∫ k x x k x x dx x x dx x x x 2 5 4 1 2 1 3 1 2 3 4 1 1 2 1 3 ) 4 1 3 ( 4 3 2 5 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 1 k x x x k x x + - = + - = 2 5 10 1 6 5 2 1 6 4. ∫ x dx x 2 Sol: k x x + 2 5 2 k x x k x k x k x dx x dx x x x dx x + = + = + = + + = = = + ∫ ∫ ∫ 5 2 5 2 2 5 1 2 3 2 5 2 5 1 2 3 2 3 2 1 2 2 5. dx x x x ∫ + + 2 4 1 2 Sol: k x x x + + - - 2 8 1 = + + + - + + - = + + = + + + - + - - - ∫ ∫ k x x x dx x x dx x x x 2 1 2 3 4 1 2 ) 2 4 ( 2 4 1 1 2 3 1 2 2 3 2 2 k x x x k x x x k x x x + + - - = + + ⋅ - - = + + - + - = - - 2 8 1 2 1 8 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
1
RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES.
1. ∫ dxx 5
kx
kx
dxx +=++
=+
∫ 615
6155
2. ∫ + dxxx )(
=++=++=++
++
=+=+++
∫∫ kxx
kxx
kxx
dxxxdxxx3
22
2321
2111
)()(322
32
12
111
2/1
kxxx ++=
32
2
2
3. dxxx
x∫
−
43
Sol: kxxx +− 2
101
6
=+⋅−⋅=++
⋅−+−
⋅=−=
−
++−−
∫∫ kxx
kxx
dxxxdxxx
x254
1
21
31
234
1
121
3)41
3(4
3 2
5
2
11
2
31
2
1
2
3
2
1
kxxxkx
x +−=+−= 25
101
652
16
4. ∫ x
dxx 2
Sol: kxx +2
52
kxx
kx
kx
kx
dxxdx
x
x
x
dxx +=+=+=++
===+
∫∫∫ 52
52
25
123
252
51
2
3
2
3
2
1
22
5. dxxxx∫
++ 241
2 Sol: kx
xx++−− 2
81
=+++−
++−
=++=
+++−+−−−∫∫ kx
xxdxxxdx
xxx2
123
412
)24(241
12
312
2
32
2
kxxx
kx
xx
kxxx ++−−=++⋅−−=++−
+−
=−−
281
21
81
2
21
41
2
1
2
11
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
2
6. ∫ 4 x
dx Sol: kx +4 3
34
kxkx
kx
kx
dxxx
dx +=+=+=++−
==+−
−
∫∫ 4 34
3
4
31
4
1
4
1
4 34
34
43
141
7. dxx
x2
3
2 1∫
+ Sol: kxxxx +++ 33 22
5
343
5
=++⋅+=++=
+=
+ ∫∫∫−−
Kxxx
dxxxxdxxxdxx
x
31
38
25
).2(1 3
1
3
85
3
2
3
54
2
3
12
2
3
2
=++⋅+⋅=++⋅+⋅= KxxxKxxx 33 853
1
3
85 .3
43
51
.343
51
Kxxxx ++⋅+⋅= 33 225 .3.43
51
8. dxxxL ⋅∫ Sol: kxL +2
21
kx
dxffdxx
xdxx
x +=
⋅=⋅⋅=⋅ ∫∫∫ 2
))(Ln('
1)Ln(
)Ln( 2αααα
9. ∫ ⋅⋅ dxxx 2sec tg Sol: kx +⋅ tg21 2
kx
dxffdxxx +=
⋅=⋅⋅ ∫∫ 2
) tg('sec tg
212
10. ∫ ⋅⋅ dxxx cos sen2 Sol: kx +
3 sen3
kx
dxffdxxx +=
⋅==⋅⋅ ∫∫ 3
sen'cos sen
322
11. dxxx ⋅⋅∫ sencos3 Sol: kx +−
4 cos4
kx
dxxxdxxxff
+=⋅−⋅−=⋅⋅ ∫∫ 4cos
) sen(cos sencos4
'
33
3��������
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
3
12. dxxx ⋅+∫ 12 Sol: kx ++ 32 )1(31
�k
xk
xdxxxdxxx
ff
++
=++⋅=+⋅=⋅+ ∫∫ 3
)1(
23
)1(21
)1(221
1322
32
2
12
'
2
2/1
�����
13. ∫ + 32 2x
xdx Sol: kx ++ 32
21 2
�kxk
xdxxx
x
xdx
ff
++=++⋅=+⋅=+ ∫∫
−
−32
21
21
)32(41
)32(441
322
2
12
2
12
'2
2/1
����� o
kxkfdxf
f
x
xdx
x
xdx ++=
+==+
=+ ∫∫∫ 32
21
2
'
322
442
322
22
14. ∫ + 13
2
x
dxx Sol: kx ++ 1
32 3
kxkx
dxxxdxxxx
dxx ++=++⋅=+=+=+ ∫∫∫
−−1
32
21
)1(31
)1(331
)1(1
32
13
2
1322
132
3
2
kxkfdxf
f
x
dxx
x
dxx ++=
+==+
=+ ∫∫∫ 1
32
2
'
12
332
13
3
2
3
2
15. dxx
x∫ ⋅
sencos
2 Sol: k
x+−
sen1
�k
xk
xdxxxdx
x
x
ff
+−=+−
=⋅=⋅−
−∫∫ − sen1
1 sen
sencos sen
cos 12
'2
2
�����
16. ∫ +⋅ dxxx 42 )1( Sol: kx ++
10)1( 52
�k
xk
xdxxxdxxx
ff
++=++⋅=+⋅=+⋅ ∫∫ 10)1(
5)1(
21
)1(221
)1(5252
42
'
42
4
�����
17. dxx
x ⋅∫ 3cos sen
Sol: kx
+2cos2
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
+=+−
−=⋅−−=⋅−
−∫∫ −2
23
'3 cos2
12
coscos sen
cos sen
3
������
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
4
18. dxx
x ⋅∫ 2cos
tg Sol: k
x +2 tg 2
�k
xdx
xxdx
x
x
ff
+=⋅⋅=⋅ ∫∫ 2 tg
cos1
tgcos
tg 2
'
221 ���
19. dxx
x ⋅∫ 2sen cotg
Sol: kx +−
2 cotg2
kx
dxx
xdxx
x +−=⋅−⋅−=⋅ ∫∫ 2 cotg
sen
1 cotg
sen
cotg 2
22
20. dxxx
⋅−∫ 1 tgcos
12
Sol: kx +−1 tg2
kxkx
dxxx
dxxx
+−=+−=⋅−⋅=⋅−
−
∫∫ 1 tg2
21
)1 tg()1 tg(
cos1
1 tgcos
1 2
1
2
1
22
21. ∫ ++
dxxx
1)1( L
Sol: kx ++2
)1( L2
kx
dxx
xdxxx
ff
++=+
⋅+=++
∫∫ 2)1( L
11
)1( L1
)1( L 2
'1 ���
�����
22. ∫ +dx
x
x
1 sen2
cos Sol: kx ++ 1 sen2
kxkx
dxxxdxx
x
ff
++=++⋅=+=+ ∫∫
−
−1 sen2
21
)1 sen2(21
)1 sen2(cos221
1 sen2
cos 2
1
2
1
' 2/1
�� ��� �����
23. dxx
x∫ + 2)2cos1(
2 sen Sol: k
x+
+ )2cos1(21
=+−
+⋅−=+⋅−−=+
−−∫∫ k
xdxxxdx
x
x1
)2cos1(21
)2cos1(2 sen221
)2cos1(2 sen 1
22
kx
++
=)2cos1(2
1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
5
24. dxx
x∫ + 2sen1
2sen Sol: kx ++ 2sen12
=+⋅=+=+ ∫∫∫
−
−−dxxxxdxxxdx
x
x
ff��������������
2/1
2
12
'
2
12
2)sen1(cos2sen)sen1(2sen
sen1
2sen
kxkx ++=++= 2
2
12
sen12
21
)sen1(
25. dxx
x⋅
+∫ 2cos
1 tg Sol: kx ++ 3)1 (tg
32
kxkx
dxx
xdxx
x++=++=⋅⋅+=⋅
+∫∫ 3
2
3
22
1
2)1 (tg
32
23
)1 tg(
cos
1)1 tg(
cos
1 tg
26. dxx
x∫ + 3)2 sen32(
2 cos Sol: k
x+
+−
2)2 sen32(
1121
=+−
+⋅=+⋅=+
−−∫∫ k
xdxxxdx
x
x2
)2 sen32(61
)2 sen32(2cos661
)2 sen32(2 cos 2
33
kx
++
−=2)2 sen32(
1121
27. dxx
x∫ 3 4 3cos
3 sen Sol: k
x+
3 3cos
1
kx
kx
dxxxdxx
x
ff
+=+−
⋅−=−−=−
−
∫∫ −3
3
1
3
4
'3 4 3cos
1
313cos
31
3cos3 3sen31
3cos
3 sen
3/4
����������
28. 2Ln x dx
x∫ Sol: 3Ln
3
xk+
2 32Ln 1 Ln
Ln3
x dx xx dx k
x x= = +∫ ∫
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
6
29. ∫ − 21
sen arc
x
dxx Sol: k
x +2
sen arc 2
kx
dxx
xx
dxx +=−
=− ∫∫ 2
sen arc
1
1 sen arc
1
sen arc 2
22
30. ∫ − 2
2
1
cos arc
x
dxx Sol: k
x +−3
cos arc 3
kx
dxx
xx
dxx +−=−−−=
− ∫∫ 3 cos arc
1
1 cos arc
1
cos arc 3
2
2
2
2
31. ∫ +dx
x
x21
tg arc Sol: k
x +2
tg arc 2
kx
dxx
xdxx
x +=+
⋅=+ ∫∫ 2
tg arc
1
1 tg arc
1
tg arc 2
22
32. ∫ +dx
x
x21
ctg arc Sol: k
x +−2
ctg arc 2
kx
dxx
xdxx
x +−=+−⋅−=
+ ∫∫ 2 ctg arc
1
1 ctg arc
1
ctg arc 2
22
33. dxx
x∫ + 12
Sol: kx ++ )1(Ln21 2
kxkfdxff
dxx
xdx
x
x ++=
+==+
=+ ∫∫∫ )1(Ln
21
Ln'
1
221
12
22
34. ∫ − xdx
1 Sol: kx +−− 1 Ln
kxkfdxff
dxxx
dx +−−=
+==⋅−−−=
− ∫∫∫ 1LnLn'
11
1
35. ∫ − 73xdx
Sol: kx +− 73 L31
kxkfdxff
dxxx
dx +−=
+==⋅−
=− ∫∫∫ 73Ln
31
Ln'
733
31
73
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
7
36. ∫ − xdx
25 Sol: kx +−− 25 L
21
kxkfdxff
dxxx
dx +−−=
+==⋅−−−=
− ∫∫∫ 25Ln21
Ln'
252
21
25
37. dxxx
x∫ ++
+32
12
Sol: kxx +++ 32 L21 2
kxxdxxx
xdx
xx
xdx
xx
x +++=++
+=++
+=++
+∫∫∫ 32 L
21
3222
21
32)1(2
21
321 2
222
38. Ln
dx
x x⋅∫ Sol: kx + Ln Ln
1'
Ln | | Ln | Ln |Ln Ln
dxdx fx dx f k x kx x x f
= = = + = + ⋅ ∫ ∫ ∫
39. ∫ dxx tg Sol: kx +− cos Ln
∫∫ ∫ +−=⋅−−=⋅=⋅ Kxdxxx
dxxx
dxx cos Lncos
sencos
sen tg
40. ∫ dxx2 tg Sol: kx +− 2cos L21
∫∫ ∫ +−=⋅−−=⋅=⋅ Kxdxx
xdx
xx
dxx 2cos Ln21
2cos2 sen2
21
2cos2 sen
2 tg
41. ∫ dxx ctg Sol: kx + sen Ln
Kxdxxx
dxx +=⋅=⋅∫ ∫ sen Ln sen
cos ctg
42. ∫ − dxx )7(5 ctg Sol: kx +− )7(5 sen L51
Kxdxxx
dxxx
dxx +−=⋅−−=⋅
−−=⋅− ∫∫ ∫ )7(5 sen Ln
51
)7(5 sen)7(5cos5
51
)7(5 sen)7(5cos
)7(5 ctg
43. ∫ xdx
3 ctg Sol: kx +− 3 cos L
31
∫∫ ∫∫ +−=⋅−−=⋅=⋅= Kxdxx
xdx
xx
dxxx
dx3cos Ln
31
3cos3 sen3
31
3cos3 sen
3 tg3 ctg
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
8
44. ∫ dxx3
ctg Sol: kx +3
sen 3L
Kx
dxx
x
dxx
x
dxx +⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫ ∫ 3
sen Ln3
3 sen
3cos
31
3
3 sen
3cos
3 ctg
45. ∫ dxee xx ) (ctg Sol: ke x + sen L
Kedxe
eedxee x
x
xxxx +=⋅=⋅∫ ∫ sen Ln
sen
)(cos) (ctg
46. ∫
− dxx
x4
ctg4 tg Sol: kx
x +−−4
sen Ln44 cos Ln41
:Sol
∫ ∫∫∫ =−=
−=
− dxx
x
dxxx
dxx
x
xx
dxx
x
4 sen
4cos
4cos4 sen
4 sen
4cos
4cos4 sen
4ctg4 tg
kx
xdxx
x
dxx
x +−−=−−−= ∫ ∫ 4 sen Ln 44cos Ln
41
4 sen
4cos
41
44cos
4 sen441
47. dxxx
∫ + 3 sen2cos
Sol: kx ++ )3 sen2( Ln21
kxdxx
xdx
xx ++=
+=
+ ∫∫ )3 sen2( Ln21
3 sen2cos2
21
3 sen2cos
48. ∫ + xx
dx
tg arc)1( 2 Sol: kx + tg arc Ln
kxdxx
xxx
dx +=+=+ ∫∫ tg arc Ln
tg arc1
1
tg arc)1(
2
2
49. ∫ + )1 tg3(cos2 xx
dx Sol: kx ++ )1 tg3( Ln
31
kxdxx
xdxx
xxx
dx ++=+
=+
=+ ∫∫∫ )1 tg3( Ln
31
1 tg3cos
3
31
1 tg3cos
1
)1 tg3(cos
22
2
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
9
50. ∫ − xx
dx
sen arc1 2 Sol: kx + sen arc Ln
kxdxx
x
xx
dx +=−=− ∫∫ sen arc Ln
sen arc1
1
sen arc1
2
2
51. dxx
x∫ + 2 sen32
2cos Sol: kx ++ 2 sen32 Ln
61
kxdxx
xdx
xx ++=
+=
+ ∫∫ 2 sen32 Ln61
2 sen322cos6
61
2 sen322cos
52. ∫ dxe x2 Sol: ke x +2
21
kekedxefdxedxe xffxx +=
+=== ∫∫∫ 222
21
'221
53. ∫ dxex
2 Sol: kex
+22
kekedxefdxedxex
ffxx
+=
+=== ∫∫∫ 222 2'
21
2
54. ∫ dxxe x cos sen Sol: ke x + sen
kekedxefdxxe xffx +=
+== ∫∫ sen sen 'cos
55. 2xa x dx⋅ ⋅∫ Sol: k
aa x
+ L2
2
kaa
dxaxaa
dxxa x
aD
xx
x
+=⋅=⋅ ∫∫2
2
22
Ln21
Ln2 Ln2
1
)(
�������
56. ∫ dxe a
x
Sol: kae a
x
+
kaedxea
adxe a
x
a
x
a
x
+== ∫∫1
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
10
57. ( )∫ dxe x 22 Sol: ke x +4
41
( ) kedxedxedxe xxxx +=== ∫∫∫ 44422
41
441
58. ∫ − dxe x3 Sol: ke x +− −3
31
kedxedxe xxx +−=−−= −−− ∫∫ 333
31
)3(31
59. ∫ dxe xx5 Sol: ke xx
++ 15 Ln
5
ke
kee
dxeee
dxedxexx
xxxxx ++
=+=== ∫∫∫ 15Ln5
)5()5(Ln
1)5(Ln)5(
)5(Ln1
)5(5
60. ( )∫ + dxae xx 55 Sol: ka
ae
xx +
+
L51 5
5
( ) =+⋅+=+=+ ∫ ∫∫ kaa
exdaaa
dxedxae xxxxxx 555555
Ln 51
51
Ln5 Ln 5
15
51
ka
ae
xx +
+=
L51 5
5
61. ∫ +++ dxxe xx )2(342
Sol: ke xx +++ 342
21
kedxxedxxe xxxxxx +=+=+ ++++++ ∫∫ 343434 222
21
)2(221
)2(
62. dxba
baxx
xx
∫− 2)(
Sol: kxba
ab
ba
xx
+−−
−
2 L L
=
−+=
−+=+−=−
∫∫∫∫ dxa
b
b
adx
ba
b
ba
adx
ba
bbaadx
ba
bax
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
xxxx
xx
xx
222)( 22222
=+−
⋅
+
⋅
=
−
+
= ∫ kxab
abb
a
ba
dxab
ba
xxxx
2Ln
1
Ln
12
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
11
=+−
⋅−
+
⋅−
= kxab
abba
ba
xx
2 Ln Ln
1 Ln Ln
1
kxba
ab
ba
kxba
ab
baba
xxxx
+−−
−
=+−−
−−
= 2 L L
2 Ln Ln Ln Ln
63. ∫ +dx
e
ex
x
43 Sol: ke x ++ )43( Ln
41
kedxe
edx
e
e xx
x
x
x
++=+
=+ ∫∫ )43( Ln
41
43
441
43
64. ∫ xdx5cos Sol: kx +5sen 5
1
kxkxfdxxfxfxdxxdx +=
+=⋅== ∫∫∫ 5 sen
51
)( sen)(cos)('5cos551
5cos
65. dxx
∫ 3sen Sol: k
x +−3
cos3
=+−=
+−=⋅== ∫∫∫ k
xkxfdxxfxfdx
xdx
x)
3cos(3)( cos)( sen)('
3sen
31
33
sen
kx +−=3
cos3
66. dxx )27(sec2 +∫ Sol: kx ++ )27( tg71
=
+==+=+ ∫∫∫ kxfdxxfxfdxxdxx )( tg)(sec)(')27(sec7
71
)27(sec 222
kx ++= )27( tg71
67. ∫ dxxx 23cos Sol: kx +23 sen61
kxdxxxdxxx +== ∫∫ )3( sen61
)3cos(661
)3cos( 222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
12
68. ∫ dxx tg 2 Sol: kxx +− tg
Por trigonometría sabemos que ,1sectgsec1tg 2222 −=⇒=+ xxxx entonces
kxxdxdxxdxxdxx +−=−=−= ∫∫∫∫ tgsec)1(sec tg 222
69. ( )cos Ln( )x
dxx∫ Sol: ( )sen Ln( )x k+
( ) ( ) ( )cos Ln( ) 1cos Ln( ) sen Ln( )
xdx x dx x k
x x= = +∫ ∫
70. ∫ dxx tg 3 Sol: kxx ++ cosLn
2 tg 2
�=−⋅=−⋅=⋅= ∫∫∫∫∫ dxxdxxxdxxxdxxxdxx
ff
tgsec tg)1(sec tgtg tg tg 2223
1
���
kxx
dxxxx
dxxxx ++=−+=−= ∫ ∫ cosLn
2 tg
cos sen
2 tg
cos sen
2 tg 222
71. ∫ x
dxxcos Sol: kx +sen2
kxdxx
xdxx
xx
dxx +=== ∫∫∫ sen2
2
1cos2
1coscos
72. dxx
x∫ − 41
Sol: kx +2 sen arc21
=
+−+=
−=
−=
− ∫∫∫ kxfkxfdx
xf
xfdx
x
xdx
x
x)(arccos
)( sen arc
))((1
)('
)(11 2224
kxxf
dxxfdx
x
x +=
−=
−= ∫∫ )( sen arc
21
))((1
)('
)(1
221 2
222
73. ∫ − 241 x
dx Sol: kx +)(2 sen arc
21
kxxf
dxxf
x
dx
x
dx
x
dx +=
−=
−=
−=
− ∫∫∫∫ )(2 sen arc21
))((1
)('
)2(1
221
)2(141 2222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
13
74. ∫ − 249 x
dx Sol: k
x +)3
2( sen arc
21
∫∫∫∫∫ =
−
⋅=
−
=
−
=−
=− 22222
32
1
32
23
31
32
131
32
13)9
41(9
49 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
kx
xf
dxxf
x
dx+=
−=
−
= ∫∫ )3
2( sen arc
21
))((1
)('
32
1
32
21
22
75. ∫ − 222 xba
dx Sol: k
abx
b+)( sen arc
1
∫∫∫∫∫ =
−
⋅=
−
=
−
=−
=− 222
2
222
222
1
1
1
1
1)1(a
bx
dxab
ba
a
abx
dxa
abx
a
dx
a
xba
dx
xba
dx
ka
bxbxf
dxxf
abx
dxab
b+=
−=
−
= ∫∫ )( sen arc1
))((1
)('
1
122
76. dxe
ex
x
∫ + 43 Sol: ke x ++ )43( Ln
41
kedxxfxf
dxe
edx
e
e xx
x
x
x
++=
=+
=+ ∫∫∫ )43( Ln
41
)()('
434
41
43
77. dxe
ex
x
∫ + 2
2
2 Sol: ke x ++ )2( Ln
21 2
kedxxfxf
dxe
edx
e
e xx
x
x
x
++=
=+
=+ ∫∫∫ )2( Ln
21
)()('
22
21
22
2
2
2
2
78. dxe
ex
x
∫ + 21 Sol: ke x +)( tg arc
kekxfdxxf
xfdx
e
edx
e
e xx
x
x
x
+=
+=+
=+
=+ ∫∫∫ )( tg arc)( tg arc
))((1
)('
)(11 222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
14
79. ∫ + 221 x
dx Sol: kx +)2( tg arc
2
1
kxdxxf
xf
x
dx
x
dx
x
dx +=
+=
+=
+=
+ ∫∫∫∫ )2( tg arc2
1
))((1
)('
)2(1
2
2
1
)2(121 2222
80. ∫ + 24 x
dx Sol: k
x +)2
( tg arc21
kx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx +=
+⋅=
+=
+=
+ ∫∫∫∫ )2
( tg arc21
21
21
241
21
41
)4
1(44 2222
81. ∫ + 44 ax
xdx Sol: k
a
x
a+)( tg arc
2
12
2
2
=
+
⋅=
+
=+
=+
=+ ∫∫∫∫∫ 2
2
2
22
42
2
24
4
44
4
44
44
1
2
21
1
1
1
1
)1(a
x
dxa
xa
a
a
x
xdx
a
a
x
xdx
a
a
xa
xdx
ax
xdx
ka
x
a
a
x
dxa
x
a+=
+
= ∫ )( tg arc2
1
1
2
2
12
2
22
2
2
2
2
82. ∫ + xa
xdx22 sen
cos Sol: k
ax
a+)
sen( tg arc
1
=
+=
+=
+=
+ ∫∫∫∫ 22
2
22
2
22
22 sen
1
cos1
sen1
cos1
)sen
1(
cos
sen
cos
ax
xdx
a
a
x
xdx
a
a
xa
xdx
xa
xdx
ka
xa
ax
xdxa
a
ax
xdxaa
a+=
+=
+⋅= ∫∫ )
sen( tg arc
1
sen1
cos1
1
sen1
cos1
1222
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
15
83. ∫ − )(Ln1 2 xx
dx Sol: kx +))(Ln( sen arc
kxxf
dxxf
x
dxx
xx
dx +=
−=
−=
− ∫∫∫ ))(Ln( sen arc))((1
)('
))( Ln(1
1
)(Ln1 222
84. dxx
xx∫ −
−21
arccos Sol: kxx +−+− 22 1))(arccos(
21
=−
−+−−−=
−−+
−=
−−
∫∫∫∫∫ dxx
xdx
xxdx
x
xdx
x
xdx
x
xx
f
f2
'
2222 12
2
1
1arccos
11
arccos
1
arccos
1�����
�����
kxxdxf
fdxff +−+−=
+⋅= ∫ ∫ 221 1))(arccos(21
2
''
85. dxx
xx∫ +
−21
arctg Sol: kxx +−+ 22 ) arctg(
21
)1Ln(21
=+
−+
=+
−+
=+
−∫∫∫∫∫ dx
xxdx
x
xdx
x
xdx
x
xdx
x
xx22222 1
1 arctg
12
21
1 arctg
11 arctg
kxxdxffdxxfxf +−+=
⋅−= ∫∫ 221 ) arctg(21
)1Ln(21
')()('
86. dxx
x∫
+1 Sol: kx ++ 3)1(
34
( ) =
⋅=+=+=+∫∫∫∫ dxffdxx
xdxx
xdx
x
x'1
2
121
11 2
12
1
( )kxk
x ++=++⋅= 32
3
)1(34
23
12
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio tx =+1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx
22
1 =⇒= y
sustituimos en nuestra integral:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
16
=+=+=+===⋅=+∫∫ ∫∫ ktktk
tdttdttdtx
x
tdx
x
x 32
32
3
2
1
34
34
23
22221
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
kx ++= 3)1(34
87. dxxx∫ +1
1 Sol: kx ++14
( ) =
⋅=+=+
=+ ∫∫∫∫
−−
dxffdxxx
dxxx
dxxx
'12
12
1
11
1
1 2
12
1
( )kxk
x ++=++⋅= 14
21
12
2
1
Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio
de variable.
Haciendo el cambio tx =+1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx
22
1 =⇒= y
sustituimos en nuestra integral:
=+=+=+===⋅=+ ∫∫ ∫∫
−ktktk
tdttdt
tdtx
txdx
xx44
21
221
221
1
1 2
12
1
2
1
una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,
con lo que nos quedará:
kx ++= 14
88. ∫ − dxxx 1 Sol: kxx +−+− 2
3
2
5
)1(32
)1(52
Hacemos la sustitución 1 1 22 +=⇒=− txtx
Calculamos la diferencial de x: dttdx .2= y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
17
=+
+=+=+=⋅+=⋅− ∫∫ ∫∫ k
ttdtttdttttdtttdxxx
352).(2.).1(22).1(1.
35242222
kxxktt +−⋅+−⋅=+⋅+⋅= 2
3
2
535 )1(
32
)1(52
32
52
89. ∫ − dxxx 72 )35( Sol: kx +− 82 )35(801
Directamente:
=+−⋅=
⋅=−=− ∫∫∫ k
xdxffdxxxdxxx
8)35(
101
')35(10101
)35(82
77272
kx +−= 82 )35(801
Por sustitución:
Hacemos x
dtdxdtxdxtx
101035 2 =⇒=⇒=− y sustituimos en nuestra integral
kxkt
dttx
dtxtdxxx +−=+⋅===− ∫∫∫ 82
87772 )35(
801
8101
101
10)35(
90. ∫ + dxxx 10)52( Sol: kxx +
+−+11
)52(512
)52(41 1112
Por sustitución:
Hacemos dtdxt
xtx21
25
52 =⇒−=⇒=+ y sustituimos en nuestra integral
=−=−=⋅⋅−=+ ∫∫∫∫ dtttdtttdttt
dxxx )5(41
)5(41
21
25
)52( 1011101010
kxx
ktt +
+−+=+
⋅−=
11)52(5
12)52(
41
115
1241 11121112
91. ∫ dxxe x Sol: kxe x +− )1(
Por el método de integración por partes:
kexkexedxexeevdxedv
dxduxudxxe xxxxx
xxx +−=+−=−=
=⇒==⇒== ∫∫ )1(
INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS
18
92. ∫ +−= dxexxI x)53( 2 Sol: kxxe x ++− )105( 2
Por el método de integración por partes:
=
=⇒=−=⇒+−==+−= ∫ xx
x
evdxedvdxxduxxu
dxexxI)32(53)53(
22
2( 3 5) (2 3)x xx x e e x dx= − + − − =∫
La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que pretendemos calcular, por lo
que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes: