ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE LA RELAJACIÓN EN MATERIALES ...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

COL. LINDAVISTA 07738 MÉXICO, DF.

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE LA RELAJACIÓN EN

MATERIALES COMPLEJOS PLEXOPLEGABLES

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS EN

INGENIERÍA MECÁNICA

Presenta:

M. en C. FRANCISCO HERNÁNDEZ MÉNDEZ.

Director de Tesis

Dr. ORLANDO SUSARREY HUERTA.

MÉXICO, D.F. 2012.

RESUMEN En la presente investigación se llevó a cabo un estudio teórico y experimental del fenómeno de

relajación de esfuerzo en materiales plexoplegables, en particular de diferentes tipos de hojas de

(kraft, plasil, lustre y américa) y tamaños de papel z= 10, 20,40,60 dobladas aleatoriamente en

forma aproximadamente esférica, de modo que las bolas de papel son sometidas a una fuerza

externa F con el fin de someter a una compresión axial con tasas de compresión variables,

hasta una razón de compresión mínima c . El fenómeno de relajación mecánica es el estudio del

comportamiento mecánico de un material en la estructura interna del mismo y los movimientos

internos producidos que se le denomina disipación de energía. Esté ensayo se puede realizar a

corto plazo (30 minutos o 1 hora) y largo plazo (24 hrs o más) y de esta manera analizar a detalle la

forma en que se desarrolla el experimento para considerar las variables que influyen en el estudio,

como la forma de arrugar la probeta, velocidad de carga, tamaño de probeta, humedad y

temperatura. Así mismo, los resultados experimentales del fenómeno de relajación a compresión

de bolas de papel sugieren que la dinámica de relajación de materiales plásticos o elasto-plásticos

es regida por procesos de activación de energía, resultado del reordenamiento del arrugado de los

dobleces. Dicho fenómeno se estudia dentro del marco conceptual de la Termodinámica

Estadística de Edwards. Se derivan las formas funcionales de la barrera de activación, entre las

configuraciones de plegamiento entrelazadas admisibles de la red de arrugado bajo compresión

axial, que puede ser determinada por modelos matemáticos ajustables en el ensayo de relajación.

ABSTRACT In the present investigation was carried out theoretical and experimental study of the

phenomenon of stress relaxation in plexoplegables, materials including different types of sheets

(kraft, Plasil, lustre and America) and paper sizes z = 10, 20.40, 60 randomly bent roughly

spherical shape, so that the balls of paper are subjected to an external force F in order to subject

an axial compression with variable compression ranges to a low compression ratio c . The

mechanical relaxation phenomena is the study of mechanical behavior in a material that looks at

how it behaves in the internal structure of the material and the internal motions produced which

is called energy dissipation. This test can be done in the short term (30 minutes or 1 hour) and

long (24 hrs or more) and thus analyze in detail how the experiment is developed to consider the

variables that influence the study, as crumpling the form of the specimen, loading rate, specimen

size, moisture and temperature. Also, the experimental results of relaxation phenomena in

compression ball of paper suggest that the relaxation dynamics of plastic or elasto-plastic process

is governed by activation energy, resulting from the reorganization of the wrinkled folds. This

phenomenon is studied within the framework of the Statistical Thermodynamics of Edwards. Are

derived the functional forms of the activation barrier, between the configurations of interlocking

folding allowable wrinkled network under axial compression, which can be determined by

mathematical models adjustable in the relaxation assay.

NOMENCLATURA

L Longitud calibrada del papel h Espesor del papel S Superficie de la hoja M Masa de la hoja R Diámetro de la hoja Ṗ Diámetro promedio (β) Exponente de escalamiento de la fuerza aplicada

ρa Densidad del papel

σs Desviación estándar

λ Factor de escalamiento en las hojas de papel (Razón de compresión) EL Módulo de elasticidad longitudinal ET Módulo de elasticidad transversal

σy Esfuerzo de cedencia

σu Esfuerzo último

T0 Tenacidad

U0 Resilencia

H Altura entre platinas

INTRODUCCIÓN

En la mayoría de las líneas de investigación de la ciencia como (ciencia de materiales

ingeniería de materiales, ingeniería mecánica, ingeniería física y química) se le ha dado

mucha importancia a los materiales ya sean ligeros, compuestos o fibrosos es por ello que

se puede encontrar una infinidad de materiales y diferentes ensayos y pruebas mecánicas,

en este caso en particular se estudiará el ensayo de relajación de materiales

plexoplegables con el fin de encontrar nuevas aplicaciones como industriales, urbanas y

automotrices.

La energía elástica de las bolas corrugadas es concentrada especialmente en la rugosidad

y en las crestas (arrugas), la unión adyacente de los puntos o vórtices de la curvatura

máxima. Pero quizá la característica más importante del material corrugado

aleatoriamente es este comportamiento bajo una carga externa y la resistencia a la

compresión axial. Donde esta resistencia a la compresión hidrostática es altamente

anormal. La respuesta mecánica de una hoja corrugada en una fuerza externa es

determinada por la red de arrugas presentes en la probeta. Además evoluciona bajo una

fuerza externa, esta evolución involucra los movimientos de las arrugas y vórtices y guía el

reordenamiento de la energía enfocada.

La mecánica estadística y termodinámica de un sistema rígido entrelazado en estado

inherente puede ser analizada con la teoría de Edwards aprovechando la descripción de la

mecánica estadística de materiales granulares (Teoría de partículas).

Debido a que son aspectos del material (papel) que están presentes en el análisis de los

diferentes tipos de papel. Este trabajo se presenta dentro del marco de las líneas de

investigación de materiales plexoplegables en los que se emplean materiales fibrosos,

anisotrópicos (papel) para el análisis. Además se da a conocer un enfocado análisis del

comportamiento del fenómeno de (liberación de energía).

JUSTIFICACIÓN

En México en la última década se han utilizado muchos materiales fibrosos tanto en la

industria manufacturera, en la industria automotriz según las necesidades de cada función

en que se emplee el material, por ello existe una gran necesidad de usar materiales

ligeros, menos costosos y de fácil acceso, los materiales tienen muchas de aplicaciones es

por ello que se realizan diferentes investigaciones en diferentes campos de la ciencia.

La razón principal es estudiar materiales fibrosos y anisotrópicos (papeles kraft, plasil y

américa) en ensayos de relajación ya que por ser materiales de mucha utilidad y de bajo

costo son de fácil acceso para los ensayos de esta investigación.

En tiempos recientes la industria de ingeniería de materiales ha tenido mucha

importancia; por lo tanto, se le han dado diferentes aplicaciones a este tipo de materiales

y se le pueden dar más aplicaciones según sea el uso y la finalidad del mismo, las

industrias aeronáutica, automotriz y últimamente la industria alimenticia han incorporado

este tipo de materiales en el proceso de fabricación del producto ya que se tiene

entendido que el papel es un material neutro químicamente detallado y sus componentes

son de origen natural.

En este caso los materiales de estructura compleja son una rama de investigación

importante, ya que se pueden asociar con otros materiales y obtener aplicaciones

diferentes como industriales o ingenieriles, dándose un uso distinto para los mismos ya

que debido a la competencia económica actual se ven involucradas diferentes razones,

pero la más poderosa es la económica por el costo –beneficio, que interfieren

directamente en el desarrollo de la economía mundial.

Uno de los principales problemas de este tipo de materiales compuestos (papeles) se

muestran en su forma de láminas delgadas, debido a que tienen que soportar grandes

cargas, pero el papel es un material usado que inclusive sirve para aislar un problema de

altos factores de humedad que pueden llegar a ser nocivos para el material.

Estos tipos de problemas actualmente se estudian tanto en las ramas de la física, química,

ingeniería de materiales, ingeniería industrial, ciencias de los materiales y últimamente en

diferentes plantas dedicadas a la producción y acabados de productos alimenticios.

Por ello tiene una gran importancia esta forma de investigaciones (ensayos de materiales

compuestos) ya que es conocido que no se cuenta con datos suficientes para darles

infinidad de usos a los materiales mencionados, ya que todos tienen una diferente

respuesta mecánica.

Existen diferentes campos que pueden estudiar estos fenómenos, tal es el caso de la

MECÁNICA FRACTAL en conjunto con el estudio del comportamiento mecánico, que

permite analizar el fenómeno de relajación porque produce una respuesta mecánica

diferente (disipación de energía) ya que presentan diferentes estructuras variando la

humedad y la temperatura. Se le puede dar un nuevo uso a este tipo de materiales, por lo

tanto el presente trabajo y la experimentación que se obtenga de él arrojara más ideas

para la aplicación real de este tipo de materiales compuestos y fibrosos.

OBJETIVOS

Objetivo general

Realizar un estudio experimental de la relajación de materiales con estructura compleja

conformados de manera semiesférica, sometida a una carga axial previamente arrugada de forma

aleatoria para evaluar sus propiedades y conocer su comportamiento mecánico (liberación de

energía) de las probetas corrugadas aleatoriamente.

Objetivos específicos

Evaluar las propiedades mecánicas de cada tipo de material papel Kraft, Plasil, Lustre y América,

además de examinar sus propiedades microestructurales y físicas.

Analizar la evolución de la relajación de la fuerza de compresión aplicada a bolas conformadas

aleatoriamente de papeles cuadrados y de diferentes espesores como de diferente tipo de

material utilizando una técnica de evaluación adecuada para obtener resultados confiables.

Determinar la evolución de la fuerza de compresión aplicada a bolas dobladas aleatoriamente con

respecto a la razón de compresión, mediante el marco conceptual de la mecánica estadística de

Edwards y sus expresiones originadas.

ÍNDICE

Resumen

Abstract

Nomenclatura

Introducción

Justificación

Objetivos

1.- Estado del arte 7

1.1.- Conceptos fundamentales 15

1.2.- Concepto de fractal 15

1.3.- Auto-similaridad 15

1.3.1.- Auto-similaridad exacta 16

1.3.2.- Auto - similitud estadística 16

1.4.- Tipos de fractales 16

1.4.1.- Dimensión fractal 16

1.4.2.- Relajación de materiales 16

2.- Metodología 18

2.1.- Diagrama de flujo 19

2.2.- Selección de materiales 20

2.3.- Características y propiedades de materiales 20

2.3.1.- Propiedades físicas 20

2.3.2.- Densidad 20

2.3.3.- Gramaje 20

2.3.4.- Porosidad 20

2.3.5.- Medición de tamaños de fibras 21

2.3.6.- Medidas de espesores 21

2.3.7.- Tamaños de las probetas 21

2.4.- Propiedades mecánicas 21

2.4.1.- Análisis esfuerzo – deformación 21

2.4.2.- Esfuerzo de cedencia 22

2.4.3.- Esfuerzo de ruptura 22

2.4.4.- Módulo de Young 22

2.4.5.- Resilencia 22

2.4.6.- Módulo de resilencia 22

2.4.7.- Tenacidad 22

2.5.- Dimensión fractal de masa 23

2.6.- Pruebas de relajación 25

2.6.1.- Relajación en bolas plexoplegadas aleatoriamente 25

2.6.2.- Relajación a esfuerzo constante 25

2.6.3.- Relajación a deformación constante 26

3.- Desarrollo experimental 27

3.1.- Análisis esfuerzo – deformación 28

3.1.1.- Gráficas esfuerzo – deformación 30

3.2.- Análisis de microscopia de barrido en papel 31

3.2.1.- Análisis de absorción de agua 33

3.3.- Análisis de la dimensión fractal de masa 35

3.3.1- Teoria de partículas de Edwards 38

4.- Análisis de la discusión de resultados 45

4.1.- Análisis de relajación a deformación constante de papel kraft, plasil, lustre y

América. 48

4.2.- Relajación a esfuerzo constante 51

Conclusiones 60

Recomendaciones 61

Bibliografía 62

Anexos 66

ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE LA RELAJACION EN MATERIALES COMPLEJOS PLEXOPLEGABLES

EXAMEN DOCTORAL Página 7

1.- ESTADO DEL ARTE



En 1975 BENOIT MANDELBROT denominó fractales (del latín fractus, irregular) al conjunto

de formas que generadas normalmente por un proceso de repetición, se caracterizan por

poseer detalle a toda escala, por tener longitud infinita por no ser diferenciables y por

exhibir dimensión fraccional [1]. Adicionalmente construyó con ellas un conjunto de

nuevas reglas para explorar la geometría de la naturaleza y las reconoció como

herramientas potencialmente útiles para analizar un gran número de fenómenos físicos

[2].

El interés de Mandelbrot en los fractales nació de su certeza de que “las nubes no son

esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, como la corteza de un árbol

no es plano, ni un rayo viaja en línea recta. La naturaleza no solamente exhibe un grado

mayor si no también un nivel diferente de complejidad [3].

Hoy día se han identificado innumerables manifestaciones naturales de estructuras. Se

sabe que su geometría está presente en depósitos y agregados coloidales (como los

generados por el polvo y el smog), poliméricos y electroquímicos. [4]. De manera similar,

hay evidencia de que la localización geográfica, de epicentros y temblores exhibe un

patrón fractal. [5]. En la actualidad la dimensión fraccional (dimensión fractal) de la

superficie irregular de una falla en material ya se utiliza como medida indirecta de su

resistencia y dureza. [6].

Los fractales mostraron su actualidad por primera vez cuando se generó con ellos un

modelo simple para la aparición de ruido en ciertas líneas de transmisión en sistemas de

comunicación digital. [7].

El mundo de los fractales está en pleno desarrollo en la actualidad. Así como la naturaleza

parece haberlos elegido para generar formas complejas y únicas a través de un

mecanismo de repetición muy simple, los seres humanos se sirven de ellos para

almacenar y reproducir imágenes [8], hacer modelos teóricos y experimentales de cuerpos

irregulares [9] desenmarañar la estructura de procesos dinámicos caóticos. [10].

Cuando BENOIT MANDELBROT publicó en 1975 su primer ensayó sobre fractales, no se

atrevió realmente a dar una definición matemática formal que caracterizará a estos

objetos; decidió simplemente utilizar el término para dominar las formas que compartían

la característica común de ser a la vez rugosas y autosimilares.

MANDELBROT, buscaba otorgarles una categoría intermedia entre los cuerpos euclidianos

regulares y lisos que no son comunes (círculo, triángulo, esfera,etcétera), y las figuras que

hoy en día se denominan geométricamente caóticas y cuya experiencia es rugosa, pero sin

exhibir ningún patrón geométrico regular.



Hacia 1977, el matemático se vio forzado a dar una definición formal que permitiera

distinguir con más claridad una entidad fractal. Así recurrió al antiguo concepto de

dimensión de Hausdorff y en respuesta al pragmatismo definió; en general, todos los

fractales como el conjunto de formas con dimensión fraccional. Mandelbrot era

perfectamente consciente de que esta definición, si bien establecía una frontera bien

delimitada con la geometría euclidiana de los conos y las esferas (en la que los cuerpos

tienen una dimensión de Hausdorff entera), dejaba una puerta abierta hacia la región del

caos geométrico. Sin embargo, a la espera de mejores definiciones, inició el trabajo que

con hechos y con el lenguaje de las imágenes le mostraría al mundo el verdadero

significado del término fractal. Sus resultados abrieron la puerta de un mundo

impresionante donde habita el verdadero sentido de la palabra obsesión, donde las

matemáticas se confunden con el arte, y la ciencia ha encontrado nuevas respuestas.

En 1996 se encontró que el almidón catiónico mejora la resistencia seca de papel fino de

pasta química blanqueada, pero tiene un efecto diferente en las hojas hechas de pasta

mecánica. En este último caso los principales beneficios son la mejora de la retención y del

enlace interno. La diferencia se debe a la gran proporción de su importe en una pasta

mecánica, a su contenido de lignina, y la gran cantidad de dispersión y disolución de

carga negativa material en una suspensión mecánica. [11].

En 1996 La incorporación cada vez mayor de fibras recicladas y mayores niveles de cierre

de sistema de agua blanca, en el resultado de la fabricación de papel alcalino en sistemas

con mayores concentraciones disueltos del material la conductividad aumenta, lo cual

afecta significativamente la retención y el rendimiento de la ayuda de drenaje. En los

últimos años, los sistemas de micropartículas se desarrollaron para mejorar la retención y

drenaje de la fabricación de papel fino proporcionado. Sin embargo, todos estos sistemas

de micropartículas incluidos poliacrilamidas lineales que tienden a formar específicos

"témpanos de tipos”. Un sistema nuevo de micropartículas se propone para mejorar la

retención de carbonato de calcio precipitado (PCC) de relleno, drenaje y propiedades de la

hoja. Dos nuevas poliacrilamidas catiónicas junto con una micropartícula de bentonita se

compararon con un sistema de micropartículas tradicionales. Los resultados mostraron

que un floculante catiónico ramificado de poliacrilamida se utiliza junto con bentonita y

mejora la retención de primer paso, primero para pasar la retención de cenizas y de

drenaje sobre el sistema de micropartículas tradicionales. También se constató que los

polímeros ramificados se vieron menos afectados por la turbulencia mayor en

comparación con la poliacrilamida lineal. [12].



En 1970 la comprensión de la relajación de la tensión de las cadenas de papel húmedo

mejora la maquinabilidad tanto en máquina de papel como en la eficiencia de producción.

Para esta relajación final de las simulaciones de red de fibras no enlazantes se llevaron a

cabo en todo el proceso, y en comparación con escala de laboratorio en experimentos de

relajación en papel mojado. Estudios numéricos y experimentales muestran que la fuerza

de tracción se relaja de forma lineal en función del tiempo logarítmico [13].

En 1984 los términos de fluencia acelerada de ciclos de humedad ya han sido estudiados y

es un fenómeno establecido, pero poca o ninguna referencia se ha hecho al calor fluencia

acelerada. Este informe proporciona datos sobre el calor fluencia acelerada y propone una

idea de cómo analizar la fluencia acelerada. Cuando una muestra de fluencia ha sido

calentada rápidamente o humedecida, el alargamiento que se necesite en la carga de

prueba se hace mayor. Como resultado de la muestra se extiende a compensar esto, un

movimiento hacia el equilibrio, el aumento de la fluencia más allá de lo que normalmente

se ve a HR (humedad relativa) constante o temperatura. [14].

En 1986 Para estudiar la influencia combinada de la humedad y la temperatura sobre las

propiedades de resistencia del papel, especialmente en el módulo de elasticidad y

propiedades de tracción se han medido en el rango de temperatura -25 C⁰ a 65 C⁰ y con

contenidos de humedad de cero a 20%, correspondiente a una rango de 0% a 95% de

humedad relativa. Los datos arrojados se presentan para el módulo específico de

elasticidad en esta humedad y temperatura para un papel kraft para sacos y en 20 C⁰

para otros papeles. Se muestra que el agua actúa como suavizante para el papel, que

influyen en la transición vítrea de los componentes de celulosa en una medida se predijo a

principios utilizando el enfoque de Kaelble. Los efectos de la cristalinidad de papel

también se discuten de acuerdo con esta opinión. [15].

En 2004 se realizaron experimentos que ayudaron a aclarar los mecanismos de fluencia

acelerada. El enfoque se mezcla para formar hojas de varias capas, de hecho proporciona

compuestos de fibras de higroexpansividad diferente, o la capacidad de absorber agua y

se expanden.

Estas hojas son de tipo de fibra aislada se compararon después de correr las pruebas de

fluencia acelerada. Los resultados muestran que la práctica de diferentes capas que se

proporciona en el tablero de contrachapado múltiple (acabado especial del papel) pueden

contribuir a la falla prematura de los productos de cartón cuando la humedad relativa es

la variación entre las condiciones de baja y alta. [16].



En 1995 la distribución a través del espesor en el plano de la tensión residual se ha

determinado mediante pruebas de laboratorio hechas en cartones, para estudiar las

causas de estas tensiones el grado de restricción durante el secado no se muestra para

influir en las tensiones residuales de una manera significativa. Sin embargo, un mayor

nivel de superación de la pulpa genera un aumento de las tensiones residuales, el

gradiente de secado a través de la hoja junto con la contracción de papel a medida que

disminuye el contenido de humedad se propone como el principal motivo de tensiones re

siduales.[17].

En 1995 la variación de las propiedades elásticas medidas en diversos papeles y su

relación con las variaciones de la tensión de secado en la dirección del grosor del papel es

la principal preocupación en papeles delgados. Una variación significativa en la tensión

interna (usado como una medida para el secado de la tensión) y las tensiones residuales

en la dirección del espesor se han determinado según la relajación de la tensión y las

medidas de la curvatura, respectivamente. Estos hallazgos pueden tener

importancia para la conversión y las propiedades de uso final del papel y cartón. [18].

En 1996 la capacidad de un aparato de laboratorio para control de fatiga y las tensiones

de un papel durante el secado se examinaron. Los resultados mostraron que,

independientemente del secado en la estrategia utilizada, el parámetro de control para

la rigidez a la tracción muestra la cantidad de tensión impuesta durante el secado. [19].

En 1997 la contracción, el secado y el comportamiento de tres capas, se estudió

examinando el comportamiento de las distintas capas por separado y simular el desarrollo

de la sequedad y la contracción por secado del desarrollo de tensión dentro del ensayo

combinado durante el secado del cilindro. En la superficie de cartón en hojas secas

primero tienden al disminuir, ya que también tienen un mayor potencial de contracción.

Los resultados experimentales en combinación con la simulación sugieren grandes

diferencias en la sequedad y el secado en fatiga del comportamiento de contracción entre

la superficie y capas medias. También el considerable descenso de la tensión de las capas

superficiales se predijo en cada área de trazo libre. En general, las diferencias fueron

mayores cuando la sequedad bordo promedio es de 75-85%. [20].



El efecto de las tensiones causadas por esfuerzo mojado y secado de retención en la hoja

en la máquina de papel se ha estudiado en forma de hoja de papel con orientación de las

fibras al azar. El aumento de la resistencia a la tensión normal está asociada con los

aumentos en la moderación que parece ser atribuido a: enderezamiento de los segmentos

de fibra entre los sitios (fibrillas) que aumenta causando una igualdad de distribución de

esfuerzos y al aumento de la resistencia a la tracción, por lo tanto; en la fibra debido a la

estabilización de las tensiones, entre los subelementos de la fibra a este fenómeno se le

denomina higroexpansividad.

Una mayor resistencia a la tracción es necesaria para obtener una determinada resistencia

a la tensión normal, la mayor será el grado de secado - tensión. De esto se infiere que el

cambio en la distribución de poros no es un factor pertinente en el aumento de la tensión

obtenida con moderación aumentada.

En 1998 para un determinado grado de restricción que existe una correlación fuerte entre

el módulo de elasticidad y el volumen de hoja .El secado de retención a lo largo de la hoja

no afectan materialmente a la (perpendicular a la dirección de la restricción) resistencia a

la tracción. El esfuerzo de la hoja seguido de la retención total de secado produce una

disminución sustancial de la resistencia a la tracción. Para las condiciones de las fibras-

entrelazadas e igualdad de hojas se han hecho sin restricciones, la aplicación de la

restricción parece dar aumento de resistencia a la tracción para las hojas de

pasta refinada que la de las hojas reforzadas por la adición de almidón. [21].

En el 2001 se dedujo la absorción capilar por una hoja porosa inicialmente seca, la hoja

absorbe la humedad de un extremo, mientras que la evaporación tiene lugar a través de

su superficie. Se está interesado en el efecto de la evaporación en el progreso y la

distribución de la humedad en la hoja, como el perfil de humedad de equilibrio. El proceso

se realiza con una aproximación analítica algebraica se obtiene sobre los parámetros

físicos diferentes, así como una solución exacta para las propiedades de estado

estacionario arbitrario. El problema se resuelve numéricamente completo, es un buen

acuerdo obtenido entre las soluciones analíticas y numéricas. [22].

En el 2003 el desempeño de muchos productos tales como los fabricados con cartón

corrugado o cartones son sensibles a la humedad. Perfiles transitorios de humedad como

resultado heterogeneidades en las propiedades mecánicas y, a menudo puede conducir a

una falla catastrófica. Visto como un medio poroso compuesto el sistema comprende

fibras higroscópicas y espacios vacíos los cuales son continuos. Además, tanto la humedad

conducta por fases por difusión y cartones para la difusión a través de la típica matriz de

fibras con predominio en el contenido de humedad alta y difusión en fase de vapor a

través del espacio vacío es dominante a valores menores.



La ruta predominante para el efecto de la humedad puede sufrir un cambio de las fibras

en los espacios vacíos por las diferencias de humedad de gran tamaño. Otra característica

interesante es el desarrollo de los mínimos (%humedad relativa) en el flujo de humedad

en comparación con las curvas de tiempo, son sensibles a la difusión y absorción de los

parámetros locales de estas actividades pueden proporcionar un buen método para

ajustar los parámetros del modelo sobre la base de datos de flujo experimental. [23].

En el 2006 las membranas arrugadas presentan una alta resistencia a la compresión

debido a la resistencia que ofrecen los pliegues a ser deformados, así también, presentan

una alta eficiencia en la absorción de energía debido a las deformaciones que se generan

durante el proceso de arrugado. El estudio de las membranas arrugadas ha tomado suma

importancia en los últimos años y ha sido estudiado por diversos investigadores. La

dimensión fractal de membranas arrugadas comenzó a ser estudiada en 1987 con Gomes,

quien relacionó el tamaño del papel (diámetro de las bolas arrugadas) y su masa;

definiendo con esto la dimensión fractal de masa [24].

En 1989 Gomes determinó la deformación de las bolas de papel aluminio, cuando son

sometidas a diferentes cargas. Para este efecto, describe el comportamiento de ocho

relaciones escalares, relacionándolas con la fuerza de deformación, superficies escalares y

variables de la geometría de la superficie arrugada [25]. Al mismo tiempo Gomes en

colaboración con Soares proponen el uso de resistencia eléctrica, en función de la

deformación de las superficies arrugadas en papel grafito, estos resultados los comparan

con predicciones teóricas [26].

En 1988 Cerda y Mahadevan estudian la geometría y la elasticidad de una hoja arrugada

dando una solución analítica, para una forma universal de un cono que caracteriza la

singularidad de los filos vértices y de algunas de sus predicciones experimentales se

verifican cualitativamente. También dan una relación escalar para el tamaño del centro

del cono. [27].

En 1995 Lobkovsky publica la propiedad escalar que gobierna el estado de una hoja

arrugada de un material sólido, que contiene pares de aristas por medio de puntos. Sus

resultados exponen que cuando el tamaño lineal aumenta suficientemente. La energía de

deformación crece; sin embargo, esta energía disminuye cuando se concentra en un

fragmento de la hoja a pesar de esta concentración la deformación local disminuye. [28].



En 1996 Plouraboué y Roux realizan estudios a superficies arrugadas aleatoriamente,

presentan un análisis experimental de las superficies arrugadas, que muestran una

geometría auto-afín con un exponente cerca de la unidad. Introduciendo así, un modelo

simple para mostrar una posible fuente de correlación a lo largo de la geometría

analizada. [29].

En 1999 Chaoñe y Melo examinan las arrugas empalmadas casi planas o cilíndricas en

regiones plegadas encorvadas a lo largo de las líneas de los filos estirados o puntos como

son las singularidades cónicas. Para este efecto se realizaron dos experimentos con

modelos simples, donde aíslan una o dos singularidades para una demostración sencilla.

[30].

En el 2001 Didonna demuestra la inestabilidad del pandeo del filo, que este solo depende

de la carga de tensión a lo largo de la curvatura del filo de las arrugas. [31].

En el 2003 Matan observó que las hojas corrugadas tienen una alta resistencia a la

compresión. Esto lo realizaron por medio de esferas corrugadas de Mylar, bajo diferentes

condiciones de carga. [32].

En el 2003 Janh y Trunckenbrodt obtuvieron un procedimiento simple y confiable para la

determinación de parámetros fractales. Este procedimiento es conveniente para los

perfiles y está basado en la ley de potencias de fractales auto-afines estadísticamente y ha

mostrado que este procedimiento proporciona, casi la misma dimensión fractal que los

métodos conocidos. [33].

En el 2004 Blair y Kudrollin publican las mediciones geométricas realizadas a los vértices

del papel arrugado por medio de un rayo laser. [34].

En el 2004 Janh y Trunckenbrodt realizaron un procedimiento para el análisis fractal de

superficies arrugadas, basándose en la ley exponencial estadísticamente de funciones

auto-afines, así mismo se percataron que el esfuerzo es pequeño comparado con los

métodos de evaluación fractal. [35].

En el 2005 Sultan y Bouchaoud realizaron estudios 1D (Dimensión uno), para mostrar la

transacción de la carga distribuida de un logaritmo gama así como su predicción, usando

argumentos analógicos mezclados. [36].

En el 2006 Kvamme muestra que dentro de la geología se observa que la característica de

algunos paisajes y zonas montañosas pueden tener un aspecto muy similar al comprimido

y arrugado de materiales delgados, el autor realiza algunas predicciones de la forma en

que se evoluciono y continuara evolucionando algunos paisajes y zonas montañosas. [37].



En el 2007 Balankin y Susarrey estudiaron las características de escalamiento de esferas o

bolas de papel aluminio corrugado aleatoriamente en diversos espesores y tamaños.

Encontrado así que la dimensión fractal y el escalamiento son independientes del espesor

de la hoja de aluminio. [38].

1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES

En esta parte se debe tomar en cuenta el concepto de fractal, las variables que se

presentan en los diferentes ensayos de relajación como la humedad, la temperatura y

vibraciones externas que puedan afectar la experimentación en la relajación y obtener

resultados no tan confiables como se pretenden obtener, sin embargo; hay variables que

se controlan por medio de una cámara cerrada (sin cambios de humedad y temperatura,

“cámara sellada”) para llevar a cabo los análisis de relajación en los diferentes tipos de

papeles y adquirir resultados mas confiables.

1.2 Concepto de Fractal

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se

repite a diferentes escalas (Benoit Maldenbrot). [39]. El término propuesto por el

matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del latín Fractus, que significa quebrado

o fracturado. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características

(Falconer, Kenneth). [40].

Demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales (geometría

euclidiana).

Posee detalle a cualquier escala de observación.

Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística).

Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta

real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto

de las características exigidas.

1.3 AUTO-SIMILARIDAD

Según B. Mandelbrot, un objeto es auto-similar o auto-semejante si sus partes tienen la

misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y

pueden estar ligeramente deformadas. Los fractales pueden presentar tres tipos de auto-

similitud:



1.3.1 Auto-similitud exacta: este es el tipo más restrictivo de auto-similitud: exige que el

fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo se encuentra en fractales definidos

por sistemas de funciones iteradas.

1.3.2 Cuasi auto-similitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a

diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de

sí mismos.

1.3.3 Auto-similitud estadística: Es el tipo más débil de auto-similitud: se exige que el

fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala.

1.3.4 Auto- afin: un fractal auto-afín solo es auto-similar al expandirse más en una

dirección que en otra y requieren un segundo parámetro, llamado TOPOTHESY, que

describe la escala en una dirección utilizada para preservar la autosimilitud, el tamaño

lateral permanece casi constante mientras que aumenta el tamaño vertical.

1.4 TIPOS DE FRACTALES

Los fractales se pueden clasificar de dos maneras, una como fractales lineales y la otra

como no lineales. Los fractales lineales son aquellos que presentan en su geometría un

patrón de repetición a cualquier escala de amplificación (auto-similitud exacta), por otro

lado se encuentra a los fractales no lineales que son todos aquellos que no presentan un

patrón de repetición exacto, pero que pueden presentar cuasi auto-similitud o auto-

similitud estadística.

1.4.1 Dimensión fractal

La Dimensión Fractal está representada por un número fraccional que sirve para

cuantificar o medir el grado de irregularidad de una geometría o de un objeto. Puede estar

entre 0 y 1, como el conjunto de Cantor; entre 1 y 2; como el triángulo de Sierpinski; y

entre 2 y 3, como las bolas de papel estudiadas en este trabajo.

1.4.2 Relajación de materiales

El estudio de materiales delgados corrugados o arrugados manualmente es muy común ya

que al corrugar el material la energía se concentra las líneas y los puntos de intersección y

al aplicar una fuerza externa después de comprimido el material se disipa la energía

generada, de ahí la importancia de este tipo de análisis de relajación, donde se pueden

encontrar datos que ayuden a entender este fenómeno de relajación.



Cuando una hoja delgada elástica de membrana compleja es comprimida en forma de

esfera, los pliegues forman crestas que son imperfecciones irregulares formadas por líneas

y puntos de intersección debido a la compresión del material. Las deformaciones plásticas

obtenidas presentan un formidable problema para la mecánica debido a que se puede

estudiar el comportamiento de estos fenómenos por medio de modelos idealizados que

contengan las características esenciales de hojas comprimidas.

Todo este estudio es de gran importancia debido al fenómeno que se presenta de

disipación de energía, se analiza la forma de diseñar materiales o mecanismos para

estructuras mecánicas así como amortiguar el impacto mecánico en impactos bruscos y

repentinos.

En el 2007 A. S. Balankin y otros, realizaron pruebas de relajación sobre hojas de papel

aluminio, donde se analizan las características del escalamiento de las probetas aluminio

arrugadas aleatoriamente con diferentes espesores y tamaños. Encontrando así; que la

dimensión fractal y el exponente de escalamiento son independientes del espesor de la

hoja de papel de aluminio. Véase la fig.1. [41].

La disipación de la energía de las membranas corrugadas ha sido poco investigada, en este

caso se analizará a fondo este fenómeno utilizando diferentes métodos de relajación para

comprender en cada ejemplo según sea el caso y el tipo de material sus características.

Fig.1 Hoja corrugada manualmente. [41].



2.-METODOLOGÍA



2.1 Diagrama de flujo.

METODOLOGÍA

SELECCIÓN DE MATERIALES

PAPEL KRAFT, PLASIL LUSTRE Y AMERICA

Características y propiedades de los

materiales

Propiedades físicas Densidad, gramaje, porosidad, medición de tamaños de fibras, medidas de espesores y tamaños de las probetas.

Propiedades mecánicas Análisis Esfuerzo – Deformación, Esfuerzo de Cedencia, de Ruptura, Módulo de Young, Resilencia, Tenacidad, Longitudinales y Transversales y Dimensión fractal de masa.

Pruebas de relajación

Relajación libre Relajación a esfuerzo constante

Relajación a deformación constante

Análisis y discusión de Resultados

Conclusiones

Análisis de imágenes en el

MEB



2.2 Selección de materiales

Los materiales escogidos como membranas complejas, fibrosos y anisotrópicos donde se

manejaron diferentes tipos de papeles por sus características similares, como el papel

Kraft, el Plasil y América que éste a diferencia de los demás es más ligero, por último el

papel Lustre que tiene 2 superficies diferentes por lo que se consideró importante analizar

el comportamiento.

2.3 Características y propiedades de los materiales

2.3.1 Propiedades físicas

2.3.2 Densidad

La densidad o masa específica (ρ) es una magnitud escalar referida a la cantidad

de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia, también se le

denomina, como una medida de cuánto material se encuentra comprimido en un espacio

determinado; es la cantidad de masa por unidad de volumen. Para obtener los datos de

densidad de cada papel se tomó como referencia la tabla de datos de cada proveedor y se

comparan papel por papel, verificando que estos son similares con cualquier tipo de

proveedor.

2.3.3 Gramaje

Es una medida que se le da al papel en gramos por centímetro cuadrado o metro

cuadrado ejemplo: el gramaje del papel plasil es de 75g/m² aproximadamente, el gramaje

a diferencia de la densidad varió entre 1 y 1.5 gramos dependiendo de cada tipo de

proveedor y se interpoló para obtener un resultado aproximado y cercano al real. [14].

2.3.4 Porosidad ϕ

Es la cantidad de espacios o pequeños huecos que existen en un material, en el tipo de

materiales higroscópicos tiene gran importancia por el tamaño de la partícula del agua

que alcanza a penetrar en el material, este ensayo se llevó a cabo en diferentes

micrografías en el (CENTRO DE NANOCIENCIAS - IPN) cerca de 25 para cada tipo de papel

obteniendo resultados que se examinaron y se obtuvo para cada papel su desviación

estándar así como su valor absoluto.

http://es.wikipedia.org/wiki/%CE%A1

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitudes_f%C3%ADsicas

http://es.wikipedia.org/wiki/Masa

http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sustancia



2.3.5 Medición de tamaños de fibras

Este análisis se llevó a cabo en el Microscopio Electrónico de Barrido (MEB), luego se

analizó y medió en el programa Image Proplus 7.0 ® para obtener la porosidad promedio

y observar el espacio entre las fibras.

2.3.6 Medidas de espesores

La medida de los espesores es importante en la investigación ya que determinará el

gramaje la densidad y sus propiedades mecánicas.

2.3.7 Tamaños de las probetas

El tamaño de las probetas es importante para llevar un orden y observar el escalamiento

(λz=10, 20,40 y 60) estadístico en cada tipo de papel para el ensayo de relajación. Véase la

fig. 2 (a). También se muestra la longitud calibrada para el análisis esfuerzo deformación.

Véase la fig. 2 (b).

FIG. 2 (a) Tamaños de probetas antes del arrugado. (b) tamaño de probeta para el

ensayo de relajación.

2.4 Propiedades mecánicas

2.4.1 Análisis Esfuerzo – Deformación: La definición de esfuerzo, se determina como el

resultado de la división entre una fuerza y el área en la que se aplica. Se distinguen dos

direcciones para las fuerzas, las que son normales al área en la que se aplican normales y

las que son paralelas al área en que se aplican tangenciales o cortantes. Debido a que el

material es anisotrópico, se obtienen las propiedades en 2 sentidos longitudinal y

transversal.

(a)

(b)



2.4.2 Esfuerzo de Cedencia Fy: Es el esfuerzo que divide los comportamientos elásticos y

plásticos del material. El valor crítico del esfuerzo necesario para iniciar la deformación

plástica se llama límite elástico del material. En diferentes tipos de materiales para

calcular el esfuerzo de cedencia se utiliza el método de la línea compensada al 0.2% y se

obtiene trazando una línea por el punto del eje horizontal de la abscisa ϵ= 0.2% paralela al

diagrama esfuerzo - deformación.

2.4.3 Esfuerzo de Ruptura Fu: Es el esfuerzo basado en la sección original, que produce la

fractura del material en este caso que es la grieta, en la gráfica se analiza el esfuerzo

último que soporta un material en el caso del papel es un valor pequeño comparado con

otros materiales, este dato es de importancia para ver cómo se comporta cada material

que se indicó (papel Kraft, Plasil, Lustre, América). Significa encontrar los momentos y

fuerzas inducidas por las cargas que soporta el material en las secciones longitudinal y

transversal.

2.4.4 Módulo de Young E: Es el valor de la pendiente de la parte elástica de la gráfica

esfuerzo v/s deformación. Un parámetro que caracteriza el comportamiento de

un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza en este caso se

tendrá en sentido longitudinal y transversal. Material elástico – lineal, Material elasto –

plástico, Material no – lineal los materiales analizados son de forma elasto – plástica.

2.4.5 Resilencia UR: Es la capacidad de un material para absorber energía cuando es

deformado elásticamente y devolverla cuando se elimina la carga, se calculó por medio de

una expresión matemática para materiales frágiles.

2.4.6 Módulo de resilencia: Corresponde a la energía de deformación por unidad de

volumen requerida para deformar el material hasta el límite elástico, se calculó mediante

la relación de esfuerzo y de deformación.

2.4.7 Tenacidad T0: Tenacidad a la tensión: capacidad de absorber energía en el campo

plástico, antes de fracturarse (trabajo de fractura). Se determina como el área bajo la

curva esfuerzo- deformación ingenieril. Esta superficie es una indicación del trabajo total,

por unidad de volumen que puede realizarse sobre el material sin que se produzca rotura.

.

http://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)



2.5 Dimensión fractal de masa

En el este paso se realizó la estimación de la dimensión fractal de masa Dm, de las bolas

de papel. Recuérdese que estas fueron construidas a partir de hojas cuadradas (planas),

cuya dimensión topológica es 2, como se observará más adelante. Las bolas casi esféricas

tienden a formar un volumen con dimensión topológica de 3. Sin embargo, las bolas

generadas no tienen exactamente una dimensión topológica de 3, debido a que cada una

de ellas contiene una gran cantidad de poros, donde el papel no llena todo el volumen de

la esfera. Se realizaron 10 probetas por cada tipo de papel.

Considerando lo anterior se puede estimar la dimensión fractal de masa con la relación

existente entre sus diámetros y sus masas. Para este efecto los diámetros fueron

calculados de la siguiente manera: El diámetro promedio y la desviación estándar de cada

bola fueron determinados por la ecuación 1 y 2 respectivamente.

Donde las dimensiones de los diámetros fueron tomadas aleatoriamente en n = 15

direcciones diferentes de la bola. Los datos promedios obtenidos se presentarán en

tablas.

1 n

j jiR L R

n

(1)

Donde Rį, es el diámetro de la bola de papel; n. representa el número de direcciones en

que se midió el diámetro de las bolas de manera aleatoria , representa el diámetro

promedio de la muestra.

(2)

Donde ses la desviación estándar.

Como se describió anteriormente la dimensión fractal Dm, se obtendrá de un análisis

estadístico de los diámetros con las masas de los diferentes tamaños de papel, obtenidas

en el laboratorio y descritas, para estos experimentos.

MDM R (3)

Donde 2M hL es la masa de la hoja, es la densidad del material, R es el diámetro de

la bola y Dm es la dimensión fractal de masa.

1/2

21 n

s jiR R

n



Para poder estimar la dimensión fractal de masa de las probetas se graficó la masa y el

diámetro promedio de cada probeta como se muestra a continuación en la fig.3 y 4,

posteriormente mediante una regresión lineal se obtuvo la línea de tendencia que mejor

se ajustó a los datos experimentales y esa fue una relación potencial, la pendiente de la

misma es la dimensión fractal o fraccional de masa de las probetas. Como se mencionó

anteriormente la dimensión fractal de las probetas debería estar entre 2 y 3,

efectivamente se corroboró que la dimensión fractal de masa de las esferas esta dentro

del parámetro preestablecido.

Fig. 3 Medidas de los diámetros de las probetas.

Fig.4.- Pesaje de la probeta



2.6 PRUEBAS DE RELAJACIÓN

2.6.1 Relajación en bolas arrugadas aleatoriamente

La carga y el esfuerzo de deformación en bolas de papel plexoplegables aleatoriamente

bajo una compresión axial se analizará de manera conjunta con datos experimentales y

expresiones matemáticas, en la experimentación se realizaran probetas de la siguiente

forma, como se observa en la fig.5.

Fig.5 bola corrugada (plexoplegable).

2.6.2 Relajación a esfuerzo constante

Este tipo de ensayo puede ser utilizado para pruebas extensas, es decir para lapsos de

tiempos grandes y se observa que la relajación es lenta y constante donde varía el

diámetro de la probeta cada determinado tiempo según el tipo de papel, el ensayo consta

de un peso muerto calibrado colocado encima de la probeta, como se observa en la fig.6.

Fig. 6 Relajación a esfuerzo constante (carga no varía).



2.6.3 Relajación a deformación constante

En este caso en específico se mantiene la deformación constante que se encuentra en un

dispositivo especial, además se introduce en una cámara cerrada transparente de acrílico

para su visualización en donde se puede variar la humedad de forma controlada por que el

material es altamente higroscópico. Este tipo de ensayo es más delicado por las variables

de humedad y temperatura antes mencionadas, se introduce la probeta en medio de las

platinas, las tuercas sujetan el peso empleado en el ensayo a deformación constante, la

base antivibratoria nos permite evitar las vibraciones externas y la celda de carga registra

los datos para ser analizados en una PC, ilustrada en la fig.7.

Fig.7 Relajación a deformación contante (se puede variar la temperatura).



3.-DESARROLLO

EXPERIMENTAL



La geometría de las bolas de papel arrugadas son examinadas, el análisis resalta algunos

aspectos físicos, matemáticos e intuitivos del problema en este trabajo de investigación,

se estudia el fenómeno de arrugamiento, para lo cual, se hará uso de papel Kraft, Plasil

Lustre y América. Como se tiene conocimiento el papel es un material plexoplegable,

poroso con una estructura anisotrópica con una orientación asimétrica en la distribución

de las fibras debido a su proceso de fabricación.

3.1 Análisis Esfuerzo - deformación

Para medir el esfuerzo frente a la deformación existe una máquina universal de ensayos

(MTS-858-5).

Dichas probetas están normalizadas, es decir, están calibradas para que los resultados del

ensayo a tracción se puedan comparar, la probeta es de sección rectangular longitud

calibrada 100mm de forma recta y el área se obtiene A=W* espesor del papel. Ilustrada

en la fig.8.

Fig. 8 Máquina de ensayos universales MTS-858 y tamaño de cada probeta.



Se midió el espesor de cada tipo de papel, además se evaluó la densidad y el gramaje para el papel

kraft, plasil lustre américa.

Tabla. 1 Medidas de espesor, densidad y gramaje.

Tipo papel

Kraft Plasil Lustre América

Espesor t (mm)

0.142 0.077 0.096 0.104

D. std ± 0.01 ± 0.001 ± 0.002 ± 0.01

Densidad ρ (gr/m²)

83 75 78 80

D. std ± 3 ±4 ±2 ±1 Gramaje

(grs) 82.1 76.2 77.1 79.3

D. std 1.2 1.4 1 1.5

Se examinó la porosidad y tamaño de fibras en el (MEB) para analizar las fibras, fibrillas

huecos y poros además de analizar el efecto de la humedad conocido como

higroexpansividad.

Tabla. 2 Porcentajes de porosidad y tamaño de fibras.

Tipo papel Porosidad %

D. std T/P fibras micras

D. std

Kraft 43.49% ± 5.2 37.11 ± 1.68

Plasil 40.58% ± 4.7 39.45 ± 2.8

Lustre 47.28% ± 1.7 25.85 ± 5.8

América 45.63% ± 2.5 37.36 ± 4.6



3.1.1 Gráficas esfuerzo - deformación.

Fig. 9 Esfuerzo – deformación transversal, longitudinal y módulo de Young transversal y

longitudinal.

0

5

10

15

20

25

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

ESFU

ERZO

N/m

m2

DEFORMACIÓN mm/mm

PAPEL KRAFT

esf def long

esf def trans

0

5

10

15

20

25

30

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

ESFU

ERZO

N/m

m2

DEFORMACIÓN mm/mm

PAPEL PLASIL

esf def long

esf def trans

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0.005 0.01 0.015 0.02

ESFU

ERZO

N/m

m2

DEFORMACIÓN mm/mm

PAPEL LUSTRE

esf-def-long

esf-def-trans

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0.005 0.01 0.015 0.02

ESFU

ERZO

N/m

m2

DEFORMACIÓN mm/mm

PAPEL AMERICA

esf-def-long

esf-def-trans



Tabla. 3 Muestra los datos de los papeles ensayados ( Kraft, Klasil, Lustre y América). (propiedades mécanicas).

Propiedades mecánicas

Módulo de elasticidad N/mm²

Esfuerzo de cedencia N/mm²

Esfuerzo de ruptura N/mm²

Tipo de papel

Long. D. Std

Trans. D. Std

Long D. Std

Tra D. Std

Long D. Std

Trans D. Std

Kratf 1790 ± 89 612.9 ± 43 12.6 ± 1.0 6.4 ± 1 26 ± 2.3 11.8 ± 1.3

Plasil 3276 ± 82 880.2 ± 45 24 ± 2 14 ± 1.2 37 ± 2.1 23.6 ± 1.2

Lustre 3188 ± 75 1068 ± 52 30.2 ± 1.1 14 ± 1.1 47.4 ± 2.4 24 ± 1.5

América 3471 ± 88 909 ± 31 28 ± 1.3 12 ± 0.8 46 ± 2.1 20 ± 1.1

Tabla. 4 Datos de Tenacidad y Resilencia.

Tipo de papel

Resilencia J/mm³ Tenacidad J/mm³

Long D. Std Trans D. Std Long D. Std Trans D. Std

Kraft 0.945 ± 0.04 0.131 ± 0.02 0.670 ± 0.03 0.130 ± 0.02

Plasil 0.21 ± 0.02 0.144 ± 0.02 1.039 ± 0.04 0.432 ± 0.01

Lustre 0.211 ± 0.01 0.14 ± 0.01 0.836 ± 0.02 0.679 ± 0.02

América 0.258 ± 0.02 0.096 ± 0.02 1.071 ± 0.03 0.107 ± 0.01

3.2 Análisis de microscopía electrónica de barrido en papel.

El propósito de este análisis es observar las fibras, las microfibras, con humedad

controlada mostradas en la fig. 10, además del tamaño de las mismas así como sus

huecos y poros internos de las fibras para observar y analizar los papeles escogidos en la

investigación. Además de examinar cómo afecta la humedad la temperatura y todas las

variables que se puedan observar en este análisis. En fibras naturales el Microscopio

Electrónico de Barrido se utiliza para examinar:

• Detalles superficiales de fibras (con humedad ambiente y humedad alta controlada) fig. 10. • Modificaciones en las formas de las fibras o en detalles superficiales (el crecimiento de la fibra en alta humedad con respecto a la humedad ambiente) fig. 10 (A, B). • Dañado de fibras (se observa que algunas fibras se juntan y otras desaparecen formando fibras más juntas) fig. 10. • Construcción de tejidos y microfibrillas (esta parte se logra apreciar en la fig. 10 y 11 donde se observa que después de aplicarle humedad alta las fibras cambian de tamaño). • Fractografía de fibras expandidas o ensanchadas por la humedad (Higroexpansividad) fig. 10. • Dimensiones de características de fibras desde diferentes ángulos fig. 11 y 12.





3.2.1 Análisis de Absorción de agua

La cantidad de agua que puede absorber un papel dependerá de los tipos de fibras que lo

constituyan (largas o cortas), del proceso de fabricación y de los ingredientes no fibrosos,

como las cargas y los encolantes. De hecho, el agua puede ser absorbida por el papel, a

nivel físico, en dos formas: una es por efecto capilar, penetrando entre las fibras y fibrillas,

mientras que la otra se presenta cuando el agua se aloja en los huecos o poros grandes

que existen entre las fibras, saturando todos los espacios disponibles como se observa en

la fig. (A). Cabe aclarar que el papel puede contener humedad entre las fibras y dentro de

ellas y que para regular la absorción de agua del papel, el tamaño de la partícula de agua

es de 0.001 micras que alcanza a penetrar en el poro, fig. 10 (A, B, C,) y fig. 11.

El papel es un material altamente poroso, como se puede ver por su peso específico bajo,

comparado con el de la celulosa, su principal componente. El peso específico del papel,

de 0.5 a 0.8 g/cm³, es bastante menor que el de la celulosa, de 1.5. La porosidad se puede

definir como la relación entre el volumen del espacio ocupado por aire en un papel y su

volumen total.



El contenido de aire, en papeles comunes suele ser del 50% y puede llegar hasta un 70%.

Este aire se encuentra en el papel, en 3 formas: 1) poros reales que son aberturas que

atraviesan la hoja, 2) poros superficiales que sólo están conectados con una de sus

superficies y 3) huecos que contienen aire en el interior de la hoja. Existen estudios en los

que se ha determinado que el volumen de poros reales en un papel común es solamente

de un 1.6% del total del volumen de aire que contiene, correspondiendo el resto a los

poros superficiales, que no atraviesan la hoja y a huecos en su interior. La porosidad es

una propiedad muy importante; sin embargo, se le determina al papel muy pocas veces y

sólo en estudios de laboratorio.

La porosidad de un papel depende de su composición y de su estructura, por lo tanto,

depende tanto de los materiales empleados como de la forma en que ha sido fabricado.

Entre las operaciones que influyen especialmente se encuentran: refinación, encolado,

prensado y calandrado. Es evidente que un papel al ser recubierto, reducirá

considerablemente su porosidad, debido a que el recubrimiento de la superficie, tapa los

poros y a que sufre una compresión alta.

En la siguiente sección de esta investigación consiste en la caracterización fractal, que se

presentan en los materiales; ejemplos, rugosidad como investigaciones anteriores de

Alexander Balankin y otros hechas con hojas de papel aluminio. Ilustrada en la fig.13. [41].

Fig. 13.-Ejemplo de papel aluminio arrugado [41].



3.3 Análisis de la dimensión fractal de masa

La dimensión fractal de masa se obtuvo para cada tipo de papel y tamaño de hoja con el

diámetro y la masa promedio junto con la desviación estándar.

Tabla 5. Medidas de la probeta para la obtención de la Dimensión fractal de masa

(papel Kratf).

PROBETAS

(20

P/BOLA)

TAM. DE

HOJA mm

LxL(cuadrada)

DIAM.

PROM

mm

DESV.

STD.

MASA

grs.

DESV. STD.

BOLA 1 100 x 100 31.1305 0.31 0.85106 0.02

BOLA 2 200 x 200 53.6447 0.43 3.44752 0.01

BOLA 3 400 x 400 94.807 1.29 13.8252 0.02

BOLA 4 600 x 600 114.99 2.13 28.6197 0.02

Fig. 14 Obtención de la dimensión fractal de masa para el papel Kraft.

y = 1E-04x2.6285 R² = 0.9966

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETRO mm

DIMENSION FRACTAL DE MASA DE PAPEL KRAFT




(papel Plasil).

PROBETAS (20 P/BOLA)

TAM. DE HOJA mm LxL(cuadrada)

DIAM. PROM mm

DESV. STD. MASA grs. DESV. STD.

BOLA 1 100 x 100 29.439 0.26 0.63294 0.02

BOLA 2 200 x 200 51.4902 0.38 2.4592 0.02

BOLA 3 400 x 400 93.382 1.21 9.4329 0.01

BOLA 4 600 x 600 111.35 2.001 20.2356 0.01

Fig. 15 Obtención de la dimensión fractal de masa para el papel Plasil.


(papel Lustre).



DIAM. PROM mm


BOLA 1 100 x 100 30.0943 0.28 0.82381 0.03

BOLA 2 200 x 200 52.436 0.36 3.2548 0.02

BOLA 3 400 x 400 92.3916 1.16 12.753 0.01

BOLA 4 600 x 600 113.548 2.23 28.0345 0.03

y = 0.0001x2.5134 R² = 0.9924

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120

MA

S gr

s

DIÁMETROS mm

DIMENSIÓN FRACTAL DE MASA PAPEL PLASIL



Fig. 16 Obtención de la dimensión fractal de masa para el papel Lustre.


(papel América).



DIAM. PROM mm


BOLA 1 100 x 100 31.003 0.32 0.84283 0.02

BOLA 2 200 x 200 52.3429 0.38 3.3392 0.01

BOLA 3 400 x 400 92.843 1.03 12.6359 0.02

BOLA 4 600 x 600 113.7 1.94 27.349 0.02

Fig. 17 Obtención de la dimensión fractal de masa para el papel América.

y = 0.0001x2.5918 R² = 0.9953

0

10

20

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm

DIMENSIÓN FRACTAL DE MASA PAPEL LUSTRE

y = 0.0001x2.6015 R² = 0.9956

0

10

20

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÀMETROS mm

DIMENSIÓN FRACTAL DE MASA PAPEL AMÉRICA



Tabla. 9 Dimensión fractal de masa de los diferentes papeles

TIPO DE PAPEL DIMENSIÓN FRACTAL DE MASA PROMEDIO

DESV. STD.

KRAFT 2.6285 0.02

PLASIL 2.5134 0.05

LUSTRE 2.5918 0.22

AMÉRICA 2.6015 0.04

3.3.1 Teoría de partículas de Edwards

El propósito de la teoría de Edwards puede ser descrito de la forma siguiente, llevando

una configuración segura alcanzada dinámicamente, las físicas observables son obtenidas

de un promedio, bajo la distribución de equilibrio usual correspondientes al volumen,

energía, etc. Pero restringiendo el cálculo de la configuración entrelazada o definida como

estado inherente como la configuración establecida en el panorama de la energía

potencial. La fuerte hipótesis ergódica de toda la configuración de la red entrelazada de

un volumen dado puede ser tomada para poder obtener ecuaciones de probabilidad y

estadística guiada para la definición de entropía configuracional δ como la logarítmica de

el número de configuraciones conjuntas (Ω) y dando un volumen (v) y una energía de

configuraciones conjuntas (E) asociada con la entropía configuracional que son los estados

variables como una compactividad 1 /E

S V y la temperatura configuracional.

1

conf

V

ST

E

(4)

Donde es una parte importante temperatura efectiva en la mecánica estadística de los

sistemas congelados en estado inherente. En general y confT son variables

independientes específicamente la temperatura configuracional determina la liberación

de energía en el sistema el cual gobierna la compactividad de la variación del volumen.

Siguiendo la idea original mostrada por Edwards y Oakeshot [42]. En artículos previos se

sugieren que estas propiedades mecánicas de materiales delgados corrugados

aleatoriamente pueden ser comprendidas con las teoría de termodinámica de Edwards de

la red de arrugas, generalmente de esta forma, la respuesta mecánica de hojas arrugadas

aleatoriamente con una carga externa es determinada por el volumen y la forma, que

dependen de la liberación de energía de la red corrugada.



En particular, el comportamiento mecánico de las hojas plexoplegables aleatoriamente en

un estado determinado de carga es dominada por la dependencia de volumen de la

entalpía de la red corrugada, donde la respuesta de la red corrugada sujeta a compresión

axial es controlada por la dependencia de la forma de la entropía de la red.

Por lo tanto, bajo el incremento de la presión hidrostática, el diámetro (R) de una bola

plexoplegable de una hoja delgada decrece como R P donde P (el la presión fija

constante) y el exponente de escalamiento α se espera sea universal para una hoja de

comportamiento plástico, donde en el caso de las hojas plásticas y elasto-plásticas el valor

de α es dependiente de la disipación de energía; en crestas corrugadas además la presión

es fijada (p= const) el diámetro de una bola plexoplegable de una hoja elasto-plástica o

una hoja predominantemente plástica decrece logarítmicamente conforme avanza el

tiempo.

Por lo tanto, una fuerza plexoplegable es contraída en el diámetro de la bola, la hoja

plexoplegable elasto-plástica incrementa logarítmicamente en periodos de varios días. En

contraste a esto, una bola plexoplegable de un material predominantemente plástico

como una hoja de papel aluminio, no incrementa el tamaño después de que la fuerza

plexoplegable es contraída. Porque se registra una pequeña cantidad insuficiente de

energía elástica almacenada en las arrugas del material.

Bajo un incremento de fuerza compresiva axial, el comportamiento mecánico de una bola

plexoplegable de una hoja elástica o elasto-plástica con una dimensión lateral libre está

gobernada por la forma que depende de la entropía de la red corrugada. Este concepto es

demostrado en la fuerza aplicada F está relacionada con la razón de compresión.

/H R como,

(5)

Donde K0 es la rigidez de la bola, R es el diámetro de la bola antes de la compresión,

H= R-μ es la altura de la bola en la dirección de la compresión [43]. Donde μ es el

desplazamiento correspondiente /c nh R es el radio de compresión mínima. Mientras nh es el espesor mínimo posible de la hoja plexoplegable del diámetro inicial R bajo una

compresión axial h es el espesor de la hoja y n es el número incomprensible de capas [43].

0

11

cF K

c



Además está demostrado que la rigidez axial de la hoja corrugada aleatoriamente, es una

función lineal de la temperatura configuracional definida.

1

0 0 confK k T (6)

Bajo una fuerza de compresión constante F0= const el tamaño de H de bola corrugada

plexoplegabe de una hoja elasto-plástica decrece lentamente, como se aprecia en la

gráfica de la fig. 18.

Fig.18 La curva fuerza de compresión de la bola plexoplegable con un tamaño de L= 400

mm bajo una compresión axial con una velocidad de carga de 2mm/seg. La curva 2

muestra la fuerza de relajación compresiva, la curva 3 muestra el régimen transitorio en

el intervalo de la razón de compresión de λF2=0.2775 ≤ λ ≥ λF1 0.3279, donde en la curva

4 se muestra la descarga.

La dependencia de h en un tiempo no es continua, pero mejor dicho es interrumpido por

varios cambios repentinos los cuales pueden ser atribuidos a los colapsos repentinos en

las arrugas. Además de que esto está fundamentado en su conjunto en varios cambios en

la altura de la bola.

Δ H(t)= H(0)-H= R[λ(0) – λ] puede ser razonable ajustado por una simple relación de la

forma.

lnt

as

(7)



a y μ que son parámetros ajustables, está debería ser o tener sobresaltos fuera del

comportamiento logarítmico, esto es observado en los experimentos con las dimensiones

laterales libres, también cuando la dimensión lateral de la probeta comprimida axialmente

son confinadas.

F= F0 exp [-(t/τ0)ƞ] (8)

3.7 Relajación de fuerza compresiva bajo un radio de compresión establecido

En este caso se fundamenta que la relajación de fuerza compresiva bajo un radio de

compresión establecida;

0 1 ln 1F

tF F

(9)



Donde la fuerza F0 es relacionada por λF de acuerdo con la relación (5) la cual β y F son

parámetros de ajuste, además se fundamentan con los parámetros establecidos y son

independientes estadísticas del tamaño de la hoja, el radio L/R y la fuerza inicial F0 (λF) en

las fig. 19. (A, B, C, D). Donde: λF=razón de compresión fija β=parámetro ajustable

F = Tiempo de prueba

Fig. 19 A y B).- Dispositivo de la máquina MTS-858-5 a esfuerzo constante. C).-

Dispositivo de carga aplicada a esfuerzo constante. D).-Dispositivo de relajación a

deformación constante.

A B

C D



El ensayo en la cámara cerrada con temperatura controlada se utilizó un higrómetro de

temperatura y humedad registradas directamente a una PC para analizar el ensayo de

relajación con temperatura variable y humedad variable y observar como varía la

relajación en la gráfica ilustrada en la fig. 20.

Fig.20 Los efectos de cambios abruptos en temperatura ambiente de la curva 1 y de la

humedad en la curva 2 en la relajación de la fuerza compresiva en la curva 3 en la

probeta corrugada aleatoriamente.



Cuando las hojas de papel son comprimidas hasta convertirlas en esferas, trae como

consecuencia una red de dobleces permanentes, formados durante el proceso de

arrugamiento al ser precomprimidas de forma manual, se dejan reposar en un lapso

considerable de 1 a 3 días para después someterlas a la relajación constante en la

máquina universal.

Para el ensayo de relajación en el extensómetro laser se elaboró el mismo tamaño de

probeta de manera esferoidal de las hojas cuadradas de L= 100, 200, 400 y 600 mm. Se

colocó el dispositivo sobre una base antivibratoria, para alinear el extensómetro con las

etiquetas de marca para obtener resultados más exactos y analizar gráficas más precisas y

sin sobresaltos, como se aprecia en la fig. 21.

Fig. 21 A).-Medidas de diámetros del ensayo de relajación en el extensómetro láser. B).- Posición de la probeta con la maquina y la base antivibratoria con carga

aplicada. C).- obtención de datos con el extensómetro laser.

A B

C



4.- Análisis y

discusión de

Resultados



En el análisis de las medidas de espesor, el papel kraft tiene el mayor espesor, mientras

que el papel plasil muestra el espesor más pequeño, por lo tanto el papel kraft obtiene

mayor densidad que el papel plasil, debido a que el papel kraft presenta mayor gramaje

que el papel plasil que muestra un menor gramaje.

En las propiedades mecánicas, el papel américa obtuvo un mayor Módulo Elástico y el

papel kraft fue de menor Módulo Elástico, el esfuerzo de cedencia fue mayor para el

papel lustre mientras, que el papel kraft presenta el menor esfuerzo de cedencia, debido a

las estructuras y tamaños de las fibras de cada material.

En el ensayo de resilencia el papel kraft presenta la mayor resilencia, pero obtuvo la

menor tenacidad, mientras que el plasil se adjudica la menor resilencia pero alcanzó la

mayor tenacidad por la razón de que el papel kraft exhibe una mayor porosidad.

En las micrografías del (MEB) se encuentra el análisis de porosidad, el papel lustre tiene

mayor porosidad y el papel plasil obtuvo la menor porosidad, aunque en el papel lustre

tiene fibras más grandes que el papel plasil, pero el papel lustre es el que varía más en el

espesor.

En el análisis de las fibras se observa que cuando se presenta la humedad al 99%, el

tamaño de las fibras aumenta ya que la partícula de agua alcanza a penetrar en el poro,

fenómeno que se le denomina higroexpansividad y otros le llaman expansión de fibras,

mientras que las fibras observadas al 35% de humedad se mantienen del tamaño normal.

El ensayo de relajación en la cámara cerrada permite controlar mejor la humedad y la

temperatura, ya que cuando varía la humedad hay sobresaltos o picos en la gráfica de

carga contra tiempo que alteran la prueba de relajación.

Se examina el fenómeno de la relajación constante de los distintos materiales

mencionados, después de comprimir las probetas por medio de una carga axial

controlada, se examinan las variaciones de las deformaciones elasto-plásticas en función

de carga vs tiempo.

La importancia de este estudio del fenómeno de relajación radica en el uso de la

geometría fractal, ésta es adecuada para caracterizar la distribución del fenómeno de

relajamiento dentro de un amplio intervalo de escalas, como método de resolución para

analizar el comportamiento complejo que se presenta en las bolas de papel arrugadas,

una vez planteado el modelo matemático, se puede determinar las tendencias del

comportamiento estimando los resultados obtenidos en los ensayos de relajación de las

bolas corrugadas.



Cuando las hojas de papel son comprimidas hasta convertirlas en bolas, trae como

consecuencia una red de dobleces permanentes, formados durante el proceso de

arrugamiento al ser comprimidas en forma manual de manera instantánea, debido a que

en los dobleces formados se almacena energía aplicada al comprimirlas, misma que

empieza a disiparse, lo que provoca la relajación en las bolas corrugadas.

Los resultados obtenidos sugieren que los valores de los exponentes de escalamiento de

las probetas arrugadas manual y aleatoriamente son similares en los diferentes tipos de

materiales.

El análisis de ensayo de relajación es realizado con la finalidad de examinar diferentes

materiales, para explicar las propiedades que pueden ser aprovechadas en el estudio de

mecánica de materiales, pues actualmente no se cuentan con datos normalizados para

este tipo de ensayos.

Como se observa la relajación es instantánea solo después de haber comprimido la esfera

corrugada, el tiempo total de las mediciones clasificadas por tipo y tamaño de bola por

separado fue de 1 día (t=24 horas) debido a que fue el tiempo necesario para este análisis

y observar la disipación de la energía, la fig. 22 que se presenta a continuación se observa

la relajación.

Los datos obtenidos durante las mediciones en la celda de carga y del higrómetro digital

definen los incrementos del diámetro y la variación de la temperatura y la humedad

respectivamente.

Fig.22 Relajación de una bola corrugada

-200 -180 -160 -140 -120 -100

-80 -60 -40 -20

0

0 20000 40000 60000 80000 100000

CA

RG

A N

EWTO

NS

TIEMPO EN SEGUNDOS

ENSAYO DE RELAJACIÓN



4.1 Análisis de relajación a deformación constante de papel Kraft, Plasil, Lustre y

América.

Para cada tipo de papel se hizo una gráfica, y se tomó una regresión lineal de carga contra

tiempo y se encontraron los modelos matemáticos que determinan el fenómeno de la

relajación de las bolas corrugadas de los papeles. La deformación de las superficies

corrugadas en las bolas de los 4 tipos de papeles es determinada por una expresión

logarítmica.

Bajo el incremento de la fuerza de compresión la razón de compresión de la fórmula 5

(véase la fig. 18.) cual puede ser descrita en la forma F= K0Ɛe donde Ɛe= u/He es la fuerza

efectiva, tamaño efectivo de la bola en la dirección de la compresión,

He=H - nh = (R - nh ) – u (10)

Donde: K0=rigidez de la bola

Ɛe= deformación de la probeta

R= diámetro de la bola nh = numero de capas incompresibles

u = desplazamiento H= altura de la bola antes de la compresión

Gráfica de la fuerza (esfuerzo – efectivo) en papel Kraft con un tamaño de probeta de L=

400 mm y una velocidad de carga de 2mm/seg, presentados en la fig. 22. F(λ).

Encontrados en la Ec. 5.

Fig. 23 Gráficas de datos presentados en la fig. 18 y se muestra F (Ɛe).



La figura 24 muestra la parte inicial de F (Ɛe) mostrando el comportamiento log-log

encontrados en la Ec. 5.

Fig. 24 Gráfica log-log de F contra Ɛe.

La curva de la Fig. 18 muestra la fuerza de relajación compresiva, la curva 3 muestra el

régimen transitorio en el intervalo de la razón de compresión de λF2=0.2775 ≤ λ ≥ λF1

0.3279. En la fig. 25 se muestra la fuerza de relajación con una razón de compresión fija de

λF1 0.3279.

Fig. 25 Gráfica de la curva de F (Ɛe)



La gráfica de la fig. 26 muestra la forma semilogarítmica de la fuerza de relajación de los

datos encontrados en la curva solida 1 encontrados de la Ec.9 con F= 10.92 seg. Y β=

0.044, los datos mostrados de la curva 2 son encontrados con la función exponencial

encontrada Ec. 9. Con 0= 6.6 días y ƞ= 0.245.

Fig. 26 Gráfica de fuerza de relajación con un radio de compresión fija.

La altura de las bolas de papel incrementa después de la relajación constante (a

compresión) en la máquina universal e incrementan una relación logarítmica diferente,

según el tipo de probeta, papel Kraft, papel Plasil, papel Lustre y papel América

respectivamente como se muestra a continuación.

Tabla. 10 Valores de la Rigidez de la bola (K0) y el coeficiente de correlación (R2) de los

diferentes papeles

TIPO DE PAPEL K0 R2

KRAFT 80.17 0.999

PLASIL 71.45 0.99

LUSTRE 75.8 0.998

AMÉRICA 80 0.974



4.2 Relajación a esfuerzo constante

El diámetro de las probetas de papel aumenta luego de la compactación a las que fueron

sometidas, ya que existe una relajación de la deformación por lo que se tomaron medidas

del incremento del diámetro en función del tiempo en diversos lapsos para conocer a

detalle la relajación constante a las que están sometidas las probetas en los 4 diferentes

papeles. Donde, L es el tamaño de la hoja (en cm) para el factor de escalamiento, λ=10,

20,40 y 60; y L₀= 10.Estas probetas fueron arrugadas y comprimidas manualmente de

forma aleatoria hasta obtener una forma esférica con un diámetro aproximado R(L),

mostradas en la fig. 27.

Fig. 27 Conjunto de bolas de papel arrugadas y comprimidas manualmente (para ser

sometidas al ensayo de relajación)

Este tipo de relajación es realizado con la ayuda del extensómetro laser, en el ensayo la

carga externa no varía, inmediatamente se mide su diámetro inicial ya que en ese preciso

momento empezó la relajación y el diámetro se varía continuamente hasta liberar el

máximo de energía registrable en la máquina. Mostrada en la fig.28.

Fig.28 Datos de la relajación constante diámetro contra tiempo.

y = 0.0288ln(x) + 1.0321 R² = 0.9556

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1 10 100 1000

Diá

met

ro m

m

Tiempo en segundos

Relajacion constante papel Kraft



Relajación constante de diámetro vs tiempo del papel plasil.


Relajación constante de diámetro vs tiempo del papel lustre.


y = 0.0115ln(x) + 1.0261 R² = 0.9357

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1 10 100 1000

Diá

me

tro

mm

Tiempo en seg

Relajacion constante papel Plasil

y = 0.0182ln(x) + 1.0241 R² = 0.9512

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1 10 100 1000

Diá

met

ro m

m

Tiempo en seg

Relajacion constante papel Lustre



Relajación constante de diámetro vs tiempo del papel américa.


Tabla. 11 Tabla de relajación constante

TIPO DE PAPEL ECUACIÓN R2

KRAFT D1= 0.0288 ln (t) + 1.0321 0.955

PLASIL D2= 0.0115 ln (t) + 1.0261 0.935

LUSTRE D3= 0.0182 ln (t) + 1.0241 0.951

AMÉRICA D4= 0.145 ln (t) + 1.0231 0.950

La gráfica semilogarítmica de compresión contra el tiempo t para la bola plexoplegable de

una hoja cuadrada de papel Kraft con un tamaño de L=400 mm es sujeta a una fuerza de

compresión constante después es subaplicada una masa M= 20.718 kg, la bola es

comprimida casi instantáneamente, λ M= 0.3279 y la λ decrece con el tiempo con una

razón de compresión de λT1=0.2658 y la posición de la platina es fijada por 3 horas,

después Δt= 3 hrs, el plato es liberado, la bola casi instantáneamente es comprimida λt2=

0.2611 de los datos de la curva de la fig. 32. De t1 y t2muestran la descarga y carga

respecto a λT1 y λt2 respectivamente.

y = 0.0145ln(x) + 1.0231 R² = 0.9506

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1 10 100 1000

Diá

met

ro m

m

Tiempo en seg

Relajacion constante papel América



Fig.32 Se observa la grafica semi-logarítmica de la razón de compresión respecto al

tiempo del papel kraft.

En la siguiente gráfica se muestra la relajación bajo una fuerza compresiva con una razón

de compresión fijada en bolas hechas de hojas cuadradas L= 600 mm, λM= 0.230(1). L= 400

mm, λM= 0.148 (2). L= 200 mm, λM= 0.3 (3). L= 100 mm, λM= 0.135 (4). Mostrada en la

fig.33.

Fig.33 Se observa la relajación de la fuerza compresiva de una razón de compresión

fijada de hojas de papel kraft, L=600 mm(1), 400mm(2), 200mm(3), 100mm(4).




fig.34.




fijada de hojas de papel plasil, L=600 mm(1), 400mm(2), 200mm(3), 100mm(4).




fig.35.


fijada de hojas de papel lustre, L=600 mm(1), 400mm(2), 200mm(3), 100mm(4).




fig.36.




fijada de hojas de papel América, L=600 mm(1), 400mm(2), 200mm(3), 100mm(4).

En esta investigación también se predice la relación que puede ser expresada para el caso

de dependiente del tiempo de la hoja plexoplegable bajo una compresión axial.

eF K t Cuando e = constante (14)

1

e FK t F Cuando F= constante (15)

Donde KƐ(t) y KF son la dependiente del tiempo regida por el radio de compresión

constante y de la constante de la compresión de fuerza, respectivamente.

También la relajación de fuerza compresiva del radio de deformación establecido y la

relajación de esfuerzo efectiva de la fuerza de compresión constante son controladas por

la dependiente del tiempo de las bolas rígidas específicamente.

0 1 ln 1F

tK t K

(16)

Mientras

1 1

0 1 (1 ) ln 1F

tK t K c

(17)



En los análisis donde se introduce vapor para aumentar la humedad inicial de 50% hasta

una humedad de casi el 99% se examina el comportamiento de la relajación y se

determina que influye la humedad en la relajación contante observándose unos picos

tanto en la línea humedad como en la línea de la relajación a esfuerzo constant

Relajación de papel kraft de diámetro vs tiempo.

Fig. 37 Relajación libre medidas de extensómetro laser (papel kraft).

y = 0.0073ln(x) + 1.0071 R² = 0.9464

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1 10 100 1000

Diá

mte

tro

mm

Tiempo en seg

Relajación papel Kraft



Relajación de papel plasil de diámetro vs tiempo.

Fig. 38 Relajación libre medidas del extensómetro laser (papel plasil).

Relajación de papel lustre de diámetro vs tiempo.

Fig. 39 Relajación libre medidas de extensómetro laser (papel lustre).

y = 0.0022ln(x) + 1.0021 R² = 0.965

0.998 1

1.002 1.004 1.006 1.008

1.01 1.012 1.014 1.016

1 10 100 1000

Diá

mte

tro

mm

Tiempo en seg

Relajación papel Plasil

y = 0.0022ln(x) + 1.0107 R² = 0.8258

0.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

1 10 100 1000

Diá

me

tro

mm

Tiempo en seg

Relajación papel Lustre



Relajación de papel américa de diámetro vs tiempo.

Fig.40 Relajación libre medidas del extensómetro laser (papel América).

TABLA 12 MEDIDAS DE RELAJACIÓN CON EL EXTENSÓMETRO LASER

TIPO DE PAPEL K0 R2

KRAFT 0.0073 0.94

PLASIL 0.0022 0.96

LUSTRE 0.0022 0.82

AMÉRICA 0.0540 0.9127

y = 0.0054ln(x) + 1.0131 R² = 0.9127

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1 10 100 1000

Diá

me

tro

en

mm

Tiempo en seg

Relajación papel América



Conclusiones

Se analizó a detalle la relajación de materiales y su comportamiento, evaluando las

propiedades físicas y mecánicas, se compararon con los modelos propuestos y se puede

concluir lo siguiente:

Se evaluó el tamaño de poro y el tamaño de fibras y fibrillas mediante el microscopio

electrónico de barrido con diferentes rangos de humedad en cada tipo de papel Kraft, Plasil,

Lustre, América. Y claramente visible que el agua penetra dentro del material en los poros,

así mismo en los poros de la fibra y modifica las propiedades mecánicas de la bola.

Se calculó la dimensión fractal de masa para cada tipo de papel Kraft, Plasil, Lustre,

América que se ubican en un rango de 2 y 3, como se ha demostrado en otros trabajos

anteriores.

En base a ensayos de esfuerzo – deformación se obtuvieron las propiedades mecánicas

como módulo de elasticidad, esfuerzo de cendencia, esfuerzo de ruptura, resilencia y

tenacidad, observando que las diferencias entre ellas son pequeñas.

Se examinó que en la relajación de los papeles se comporta de manera similar y se

demuestra que las variables en el ensayo como humedad y vibraciones pueden variar el

comportamiento mecánico y alterar los resultados de relajación.

Se estudió la liberación de energía que ocurre lenta y constantemente en los 4 tipos de

papeles Kraft, Plasil, Lustre y América.

Se encontró la razón de compresión de la respuesta a la fuerza de compresión de relajación,

mediante la mecánica estadística de Edwards de sistemas granulares mediante la

temperatura configuracional.

Se examinó que el material aunque sea anisotrópico aleatorio y además fibroso,

proporciona una buena alternativa para el desarrollo de modelos físicos que describan mejor

el comportamiento de materiales ligeros y configuraciones geométricas y estructurales, que

permitan que se obtengan medios de disipación de energía mecánica a problemas de

impacto y/o fatiga en sistemas mecánicos estructurales.

En esta investigación se obtuvo información importante que impulse nuevas líneas de

investigación, en diferentes campos de la ciencia e ingeniería de materiales.



RECOMENDACIONES

Trabajar con diferentes papeles que sean metálicos o de otro tipo para analizar

cómo se comportan papel cobre, aluminio latón y papeles acerados.

Analizar las ventajas de trabajar en un laboratorio totalmente sellado donde las

variables como humedad temperatura sean más controladas.

Trabajar en una plataforma antivibratoria, para evitar movimientos y vibraciones

desde la base de la estructura.



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16.- The influence of heterogeneity in practice accelerated creep in paper tensile Coffin, D., Habeger, C.C. Institute of Paper Sci./Technology, 500 10th St. NW, Atlanta, GA 30318-5794, United States Coffin, D.; Institute de Sci. Libro / Tecnology, 500 10o St. NW, Atlanta, GA 30318-5794, USA, mail: @ chuck.habeger ipst.edu Copyright 2004 Elsevier Science BV, Amsterdam. 17.- The influence of drying overcoming restrictions and the degree of residual stressesin the accumulation of paperboard Östlund, M.a , Östlund, S.a , Carlsson, L.A.b , Fellers, C.c KTH Solid Mechanics, Osquars backe 1, SE-10044 Stockholm, Sweden. STFI, PO Box 5604, SE-11486 Stockholm, Sweden.1995. 18.- Z-ADDRESS CHANGES IN INTERNAL POWER AND PAPER PROPERTIES.Waterhouse, J., Stera, S., Brennan, D. Inst. of Paper Chemistry, Appleton,, WI, USA, Inst of Paper Chemistry, Appleton, WI, USA.1995. 19.- Laboratory method of biaxial stress during drying of paper Wahlstrom, Torbjorn, Fellers, Crister, Htun, Myat. Swedish Pulp and Paper Research Inst, Stockholm, Sweden.1996. 20.- Characterization of the mechanical behavior of paper and paperboard three-layerduring drying Retulainen, E., Martikainen, P., Timofeev, O. VTT Technical Research Centre of Finland, Jyväskylä, Finland.1997. 21.- EFFECT OF RESTRAINT DRYING PROPERTIES (HANDSHEET). Parsons, S.R. Department of Biological and Environmental Engineering, Cornell University, Ithaca, NY 14853, United States.1998. 22.- Capillary absorption in porous sheets and surfaces subject to evaporation. Lockington, D.A.a , Parlange, J.-Y.b , Lenkopane, M.a Centre for Water Studies, School of Engineering, University of Queensland, Brisbane, QLD 4072, Australia.2001. 23.- Transient diffusion of water through materials of cardboard. Bandyopadhyay, A.a , Ramarao, B.V.a , Ramaswamy, S.b. Faculty of Paper Science and Engineering, SUNY College of Environmental Science and Forestry, Syracuse, NY 13210, United States.2003. 24.- Gomés, M. A. F., “Fractal geometry in crumpled paper balls”, Am. J. Phys. 55 (7), July, (1987). 25.- Gomés, M. A. F. T. I. JYH, T. I. Ren, I. M.Rodrigues Y C. B. S. Furtado, “Mechanically deformed crumpled surfaces”, J. Phys. D: Appl. Phys. 22, 1217-1221, (1989).



26.- Gomés, M. A. F. Y J. H. P. Soares, “Electrical resistance of crumpled surfaces”, J. Phys. D: Appl. Phys. 22, 989-990, (1989). 27.- Cerda, E.L. Mahadevan,"Conical Surfaces and Cresent Singularities in Crumpled Sheets", Physical Review Letters, Volume 80, Number 11(1998). 28.- Lobkovsky, A. S. Gentges, H. LI. D. Morse y T. A. Witten "Scaling Properties of Stretching Ridges in a Crumpled Elastic Sheet", submitted as a report to science, November 7 (1995). 29.- Plouraboue, F. y S. Roux, "Experimental Study of the Roughness of Crumpled Surfaces" Elsevier science B. V. Physica A227, 173 – 182, 1996. 30.- Chaoñe S. y F. Melo, "From Creases to Conical Detection in a Buclekled Thin Sheet", December 7 (1999). 31.- Didonna B. "Scaling of the Buckling Transition of Ridges in Thin Sheets", December 7 (1999). 32.- Matan K., R. Williams, T.A. Witten y S.R. Nagel, "Crumpling a Thin Sheet", November 5 (2003). 33.- Jahn R. y H Truckenbrodt "A Simple Fractal Analysis Method of the Surfaces Roughness", Journal of Materials Processing Technology 145, 40 – 45 , (2004). 34.- Blair D.L. y A. Kudrolli "The Geometry of Crumpled Papers", December 7, (2004). 35.- Jahn R. y H Truckenbrodt "A Simple Fractal Analysis Method of the Surfaces Roughness",

Journal of Materials Processing Technology 145, 40 – 45 , (2004).

36.- Sultan E. y A. Boudaoud, "The statics of Crumpled Paper", September 7, (2005).

37.- Kvamme Nygard, "Bending and Crumpling of Plates and Shell", Physics of Geological

Processes, Department of Physics, University of Oslo, Norway.

38.- Alexander S. Balankin, Orlando Susarrey Huerta, Rolando Cortes Montes de Oca, Didier

Samayoa Ochoa, José Martínez Trinidad and Maribel A. Mendoza, " Intrinsically anomalous

Roughness of Randomly Crumpled Thin Sheets", Physical Review E 74 061602 (2006).

39.-Benoit Maldenbrot ,”La Geometría Fractal de la Naturaleza” Tusquets, ISBN 848310549-7.

40.- Falconer, Kenneth (2003) “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”

Jonh Wiley & Sons. Ltd.pp XXV, ISBN 0-470-84862-6.



41.- Alexander S. Balankin,Ivan Campos Silva, Omar Antonio Martinez and Orlando Susarrey

Huerta, "Scaling properties of Randomly Folded Plastic Sheets", Physical Review E 75051117

(2007).

42.- S.F. Edwards and R.B.S Oakeshott, Physica A 157, 1080 (1989)< S.F. Edwards, in granular

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S.F. Edwards and D.V. Grinev, adv. Phys. 51, 1669 (2002).

43. A.S. Balankin and O. Susarrey, Phs. Rev. E 77,051124 (2008).



ANEXOS

Medición de fibras KRAFT DATOS EN

MICRAS

1 37.11

2 35.36

3 36.09

4 38.27

5 37.24

6 39.2

7 35.5

8 39.1

9 34.1

10 37.3

11 37.12

12 39.01

13 39.1

14 35.12

PROMEDIO 37.1157143

DESV STD 1.68732248

TABLA.12 MEDICIÓN DE FIBRAS DE PAPEL KRAFT

Medición de fibras PLASIL DATOS EN

MICRAS

1 46.08

2 34

3 49.15

4 34.1

5 36.1

6 45.5

7 34.3

8 33.52

9 42.5

10 44.3

11 36.2

12 44.02

13 33.2

PROMEDIO 39.4592308

DESV STD 5.83964962

TABLA. 13 MEDICIÓN DE FIBRAS DE PAPEL PLASIL



Medición de Fibras LUSTRE DATOS EN MICRAS

1 27.23

2 24.01

3 21.18

4 29.4

5 29.3

6 22.1

7 28.01

8 26

9 25.06

10 24.8

11 29.18

12 24.03

PROMEDIO 25.8583333

DESV STD 2.80391879

TABLA. 14 MEDICIÓN DE FIBRAS DE PAPEL LUSTRE

Medición de fibras AMÉRICA DATOS EN MICRAS

1 44.08

2 36.07

3 41.15

4 35.1

5 32.1

6 32.2

7 32.3

8 33.12

9 41.5

10 42.3

11 35.2

12 44.5

13 36.1

PROMEDIO 37.3630769

DESV STD 4.68102977

TABLA. 15 MEDICIÓN DE FIBRAS DE PAPEL



KRAFT

PORCENTAJE DE

POROSIDAD

1 45.7

2 40.01

3 41.1

4 45

5 46.3

6 43

7 44

8 46

9 39.06

10 46.59

11 41.2

12 44.03

PROMEDIO 43.4991667

DESV STD 2.60161998

TABLA. 16 PORCENTAJE DE POROSIDAD PAPEL KRAFT

PLASIL

PORCENTAJE DE POROSIDAD

1 42.08

2 37.29

3 41.2

4 43.19

5 49.17

6 32.28

7 38.39

8 32.18

9 41.57

10 42.26

11 45.25

12 40.6

13 42.15

PROMEDIO 40.5853846

DESV STD 4.71152066

TABLA.17 PORCENTAJE DE POROSIDAD PAPEL PLASIL



LUSTRE PORCENTAJE DE POROSIDAD

1 47.11

2 45.96

3 46.29

4 48.27

5 47.24

6 49.2

7 45.5

8 49.1

9 44.1

10 47.93

11 47.12

12 49.91

13 49.1

14 45.12

PROMEDIO 47.2821429

DESV STD 1.73993005 TABLA.18 PORCENTAJE DE POROSIDAD DE PAPEL PLASIL

AMÉRICA PORCENTAJE DE POROSIDAD

1 47.3

2 44.01

3 41

4 49.4

5 46.3

6 43.5

7 44.01

8 46

9 45.06

10 47.8

11 49.18

12 44.03

PROMEDIO 45.6325

DESV STD 2.50465793

TABLA.19 PORCENTAJE DE POROSIDAD DE PAPEL AMÉRICA



Fig. 41 Relajación constante adquisición de datos desde el inicio de la prueba.

Fig. 42 Relajación constante cuando se aplica la carga

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

CA

RG

A N

TIEMPO SEG

RELAJACIÓN

-200

-150

-100

-50

0

50

100

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

CA

RG

A N

TIEMPO SEG

RELAJACIÓN



Fig. 43 Relajación constante

Fig.44 Relajación constante

-200

-150

-100

-50

0

50

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000

CA

RG

A N

TIEMPO SEG

RELAJACIÓN

-200

-150

-100

-50

0

50

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

CA

RG

A N

TIEMPO SEG

RELAJACIÓN



Fig.45 Dimensión fractal de masa papel kraft


y = 0.0001x2.5902 R² = 0.9956

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm


y = 0.0001x2.5684 R² = 0.9956

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm






y = 0.0001x2.581 R² = 0.9936

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETRO mm


y = 0.0001x2.6022 R² = 0.9917

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETRO EN mm





Fig.50 Dimensión fractal de masa papel plasil

y = 0.0001x2.5646 R² = 0.9934

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETRO mm


y = 0.0002x2.4096 R² = 0.9893

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm






y = 0.0002x2.4345 R² = 0.9868

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm


y = 0.0002x2.4411 R² = 0.9854

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETRO EN mm






y = 0.0003x2.3589 R² = 0.9639

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETRO mm


y = 0.0003x2.3836 R² = 0.9634

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm




Fig.55 Dimensión fractal de masa papel lustre


y = 0.0001x2.5552 R² = 0.9974

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETRO EN mm


y = 0.0002x2.4768 R² = 0.9998

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm






y = 0.0003x2.361 R² = 0.9984

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm


y = 0.0009x2.0975 R² = 0.9968

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

A g

rs

DIÁMETROS mm





Fig.60 Dimensión fractal de masa papel américa

y = 0.0011x2.0668 R² = 0.9984

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm


y = 0.0001x2.6169 R² = 0.9965

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm






y = 1E-04x2.6392 R² = 0.9982

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm


y = 9E-05x2.6501 R² = 0.9989

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120

MA

SA g

rs

DIÁMETROS MM






y = 0.0001x2.5617 R² = 0.9999

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm


y = 0.0001x2.5372 R² = 0.9997

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140

MA

SA g

rs

DIÁMETROS mm


PHYSICAL REVIEW E 84, 021118 (2011)

Slow dynamics of stress and strain relaxation in randomly crumpled elasto-plastic sheets

Alexander S. Balankin, Orlando Susarrey Huerta, Francisco Hernandez Mendez, and Julian Patino OrtizGrupo “Mecanica Fractal,” Instituto Politecnico Nacional, Mexico Distrito Federal, Mexico 07738

(Received 23 March 2011; revised manuscript received 9 June 2011; published 9 August 2011)

Stress and strain relaxation in randomly folded paper sheets under axial compression is studied bothexperimentally and theoretically. Equations providing the best fit to the experimental data are found. Our findingssuggest that, in an axially compressed ball folded from an elastic or elasto-plastic material, the relaxationdynamics is ruled by activated processes of an energy foci rearrangement in the crumpling network. Thedynamics of relaxation is discussed within a framework of Edwards’s statistical mechanics. The functional formsof the activation barrier between admissible jammed folding configurations of the crumpling network under axialcompression are derived. It is shown that relaxation kinetics can be mapped to activated dynamics of depinningand creep of elastic interface in a disordered medium.

DOI: 10.1103/PhysRevE.84.021118 PACS number(s): 05.70.Ln, 68.60.Bs, 46.32.+x, 89.75.Fb

I. INTRODUCTION

Recently, there has been much interest in crumpling underthe external loading of different kinds of thin materials,ranging from the microscopic level—graphene membranes tothe macroscopic level—hand-folded paper and fault-relatedgeological formations [1–8]. The relevant property that all thinmaterials share is that their stretching rigidity is much morethan the bending rigidity. Consequently, the forced crumplingof thin matter provides a particularly clean and simple form ofstress focusing [9] because the elastic energy is concentratedprincipally in the crumpling creases (ridges) joining adjacentvertex points of maximal curvature [10–14]. But perhaps themost salient feature of randomly crumpled matter is its behav-ior under external loads—folded materials offer a low resis-tance to axial compression [15–17], whereas, their resistanceto hydrostatic compression is anomalously high [4,12,18].

The mechanical response of a crumpled sheet on an externalforce is determined by the crumpling network [2,4,12],[15–19]. The jammed configurations of a crumpling networkin randomly folded matter can evolve under an externaldriving force. This evolution involves movements of ridgesand vertices and leads to the rearrangement of energy foci[20–22]. Statistical mechanics and thermodynamics of softjammed systems in inherent states can be treated withina framework of the Edwards approach to the statisticalmechanics description of granular materials [23]. The proposalof Edwards may be summarized as follows: Given a certainconfiguration attained dynamically, physical observables areobtained by averaging over the usual equilibrium distributionat the corresponding volume, energy, etc., but restricting thesum to the jammed configuration or inherent states defined asthe stable configurations in the potential energy landscape. Thestrong ergodic hypothesis that all jammed configurations of agiven volume can be taken to have equal statistical probabilitiesleads to the definition of configurational entropy S as thelogarithm of the number of jammed configurations (�) ofa given volume (V ) and an energy of jammed configuration(E), etc. [23]. Associated with configurational entropy are thestate variables, such as compactivity �−1 = (∂S/∂V )E andconfigurational temperature,

T −1conf = (∂S/∂E)V , (1)

which play the role of effective temperature in statisti-cal mechanics of frozen systems in inherent states (seeRefs. [23–25]). In general, � and Tconf are independent vari-ables. Specifically, the configurational temperature determinesthe energy fluctuations in the system, while compactivitygoverns the volume fluctuations.

Following the original ideas developed by Edwards andOakeshott [23], in a previous paper [16], we have suggestedthat mechanical properties of randomly crumpled thin mattercan be understood within a framework of Edwards’s ther-modynamics of the crumpling network. Generally, in thisway, the mechanical response of a randomly crumpled sheeton external loads is determined by the volume and shapedependences of the free energy of the crumpling network[16]. In particular, the mechanical behavior of the randomlyfolded sheet in a thee-dimensional stress state is dominated bythe volume dependence of the crumpling network enthalpy,whereas, the response of the crumpling network to axialcompression is controlled by the shape dependence of networkentropy [16].

Accordingly, under increasing hydrostatic pressure, thediameter (R) of a ball, folded from a thin sheet, decreasesas R ∝ P −α , where the scaling exponent α is expected tobe universal for elastic sheets [26], whereas, in the cases ofelasto-plastic and plastic sheets, the value of α is dependenton the energy dissipation in crumpling creases [18,27,28].Besides, at a fixed pressure (P = const), the diameter of a ballfolded from an elasto-plastic or predominantly plastic sheetdecreases logarithmically in time for periods of up to severalhours [18]. Furthermore, once the folding force is withdrawn,the diameter of the ball, folded from the elasto-plastic sheet,increases logarithmically in time for periods of up to severaldays [29]. In contrast to this, a ball folded from a predominantlyplastic material, such as aluminum foil, does not swell insize after the folding force is withdrawn [30] because of aninsufficient amount of elastic energy stored in the crumplingcreases.

Under increasing axial compressive force, the mechanicalbehavior of a ball folded from an elastic or elasto-plasticsheet with free-lateral dimensions is governed by the shapedependence of the crumpling network entropy [16]. In thisway, it was demonstrated that the applied force F is related to

021118-11539-3755/2011/84(2)/021118(10) ©2011 American Physical Society

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.84.021118

ALEXANDER S. BALANKIN et al. PHYSICAL REVIEW E 84, 021118 (2011)

the compression ratio λ = H/R as

F = K0

(1 − c

λ − c− 1

), (2)

where K0 is the ball stiffness, R is the ball diameterbefore compression, H = R − u is the ball height in thedirection of compression (see the insets in Fig. 3 of Ref. [16]),u is the corresponding displacement, and c = nh/R is theminimal compression ratio, while nh is the minimal possiblethickness of the folded sheet of the initial diameter R underaxial compression (h is the sheet thickness, and n is the numberof incompressible layers) [16]. Moreover, it was shown thatthe axial stiffness of the randomly crumpled sheet is a linearfunction of configurational temperature defined by Eq. (1), i.e.,

K0 = κ0Tconf, (3)

where κ0 is a function of the thickness and mechanicalproperties of paper [16].

If lateral dimensions of the test specimen, folded fromthin sheets, are free of any confinement, an axial compressionof the specimen is accompanied by its lateral expansion.It has been found experimentally that the lateral expansionratio λ⊥ = R⊥/R is related to the axial compression ratioas λ⊥ = λ−ν , where R⊥ is the specimen size in the planeperpendicular to the compression direction, while ν is thePoisson index [17]. Conversely, when the lateral dimensionsof the crumpled sheet are confined, the sheet resistance to theaxial compression is dominated by the volume dependence ofthe crumpling network enthalpy such that, when compressiveforce F0 is applied, an instant compression ratio λ0 isrelated to F0 according to the power law relation λ0 ∝ F

α10 ,

where α1 = 3α/(1 + 2α) [4,26].Under a constant axial compressive force F0 = const, the

size H of a ball folded from an elasto-plastic sheet slowlydecreases [4,19] (in some experiments, this creep deformationwas observed for several weeks, after which the crumpled sheethad not yet reached its minimum height [4]). The dependenceof H on time is not continuous but rather is interrupted bysudden changes, which can be attributed to sudden ridgecollapses [19]. Even so, it was found that the overall changein the ball height H (t) = H (0) − H = R [λ(0) − λ] canreasonably be fitted by a simple relation of the form

λ = a − μ ln(t/s), (4)

where a and μ are fitting parameters [4,19]. It should bepointed out that logarithmic behavior (4) was observed inexperiments with free lateral dimensions (see Ref. [19]) aswell as when the lateral dimensions of the axially compressedspecimen were confined (see Ref. [4]). It is also pertinentto note that logarithmic creep was observed in many elasto-plastic materials [31–34] and is commonly associated withan Arrhenius-like relaxation kinetics [35], while the effectivetemperature, which accounts for temporal fluctuations, can beof thermal or nonthermal nature (see Refs. [4,36–40]).

On the other hand, if a crumpled sheet is axially compressedup to a compression ratio, which is further held constant(λ = const), the compressive force slowly decreases in time.Albuquerque and Gomes [41] demonstrated that, under aconstant compression ratio, the relaxation of compressive force

applied to hand-folded aluminum foil can be well fitted withthe stretched exponential function,

F = F0 exp

[−

(t

τ0

)η], (5)

where η and τ0 are fitting parameters. Furthermore, theexponent η = 0.28 ± 0.03 was suggested to be universal,while the experimental values were varied in the range from0.24 to 0.4 [41]. However, numerical simulations performedin Ref. [42] suggest that η should be a function of the fractaldimension of the folded sheet.

To summarize, the forms and mechanisms of slow stressand strain relaxation in randomly folded matter under externalforces still are not understood well. Specifically, while theaxial deformation (creep) of a folded ball under a constantforce displays logarithmic decay (2) within a wide range oftime, a strong deviation from logarithmic behavior is observedfor the early times [19]. Furthermore, the force relaxation (5)was studied only in axially compressed predominantly plasticaluminum foils [41], the mechanical behavior of which differsfrom that of balls folded from elasto-plastic sheets, such as apaper (see Refs. [17,28]). The relaxation of compressive forcein specimens folded from crumpled papers has not been tested.

Accordingly, the purpose of this paper is to clarify themechanisms and functional forms of stress and strain re-laxation in hand crumpled elasto-plastic sheets subjected toaxial compression. This paper is organized as follows. InSec. II, we describe the details of experiments performedin this paper. Experimental results and their best empiricalfittings are reported in Sec. III. Section IV is devoted tothe discussion of experimental findings. Phenomenologicalequations, describing the stress and strain relaxation, arederived, and their physical interpretation is discussed. A briefsummary of the main findings and conclusions are given inSec. V.

II. EXPERIMENTAL DETAILS

In this work, the experiments were performed with hand-folded sheets of Kraft (thickness of h = 0.141 mm) andBiblia (thickness of h = 0.039 mm) papers. Square sheetswith edge sizes of L = 100, 200, 400, and 600 mm werehand crumpled into approximately spherical balls. At least6 balls were folded from sheets of each size of Kraft paper, and15 balls were folded from sheets of the size of L = 400 mmof Biblia paper. Once the folding force is withdrawn, the balldiameter increases with time for approximately 6–8 days dueto the strain relaxation in the folding creases (see Ref. [29]).Therefore, all experiments reported below were performed atleast 10 days after a sheet was folded.

Paper is a composite visco-elasto-plastic material [43].Paper properties are sensitive to variations in paper moistureand temperature, which are strongly dependent on ambienttemperature and humidity [34,43]. Accordingly, in this work,the ambient temperature and humidity were monitored con-tinuously during each experiment. Furthermore, some forceand strain relaxation experiments had been carried out ina climatic chamber with controlled temperature (variationsare less than 1◦C) and relative humidity (variations are lessthan 3%).

021118-2

SLOW DYNAMICS OF STRESS AND STRAIN RELAXATION . . . PHYSICAL REVIEW E 84, 021118 (2011)

Two series of experiments were performed with ballsfolded from paper sheets. In the first series of experiments,folded balls were tested under a constant axial compressionrate. Test specimens were compressed with a loading rate of2 mm/s using a universal test machine MTS-858-5. Figure 1(a)shows the force-compression behavior of a randomly foldedpaper ball under axial compression. Under the increasingcompression force, the compression ratio λ follows relation (2)[see Fig. 1(a)], which can be rewritten in the form F = K0εe,where εe = u/He is the effective strain, while

He = H − nh = (R − nh) − u (6)

is the effective ball size in the direction of compression [seeFig. 1(b)].

Once the compression is suddenly stopped at a fixedcompression ratio λ = λF1, which is further held constant,the compressive force decreases in time, as shown in Fig. 1(c).When, after several hours of relaxation, the compression isreinitiated, the compressive force quickly increases as λ isdecreased up to λF2 [see the inset in Fig. 1(a)] such that,for compression ratios λ � λF2, the force-compression curvefollows the same relation (2) as before relaxation [see Figs. 1(a)and 1(b)]. Furthermore, during unloading at the rate of 2 mm/s,the force-compression curve goes downward up to F (λR) = 0,where λR is the remanent compression ratio [see Fig. 1(a)], thevalue of which depends on the loading and unloading rates aswell as on the time of compressive force relaxation under theconstant compression ratio of λ = λF1. Once the compressionforce is withdrawn, λ slowly (and almost logarithmically)increases with time of approximately 1 week.

It should be pointed out that the force-compression relation(2) cannot be presented in terms of apparent stress (σ = F/Aλ)and effective strains because the area of loading (Aλ) isill defined during the axial compression test as well asduring ball compression under a constant force. Moreover, thedistributions of stress and strains within an axially compressedball are essentially inhomogeneous. However, we noted that,during stress relaxation under a constant deformation ratio(λ = λ0 = const), a change in the apparent loading area wasless than 2%. Hence, one can assume that, in this case, theequality,

σ (λ0,t)

σ0(λ0)= F (λ0,t)

F0(λ0)(7)

holds with acceptable accuracy. Notice that equality (7)was already employed in Ref. [41]. Nevertheless, in thispaper, experimental data and their fittings are given using thecompressive force as the primary experimental attribute.

Figure 2 shows the graph of compressive force relaxation ina paper ball under a constant compression ratio together withgraphs of air temperature (T ) and humidity (WH ) obtainedin an experiment carried out in a climatic chamber. Onecan see that abrupt changes in air humidity and temperatureare accompanied by changes in compressive force behavior.We also noted that slow but large variations of T or/andWH also affect the force relaxation behavior. Accordingly,the experimental data reported below were obtained either inexperiments carried out in a climatic chamber with controlledair temperature and humidity or in an ambient air environment,when the variations in air temperature and humidity, during

FIG. 1. (a) The force - compression curve of the ball foldedfrom a square sheet of Kraft paper with an edge size of L =400 mm under axial compression with the rate of 2 mm/s: circles,experimental data; curve 1, data fitting with Eq. (2); curve 2corresponds to the compressive force relaxation shown in panel(c); curve 3, the transient regime in the range of the compressionratio of λF1 = 0.2775 � λ � λF2 = 0.3279, which is shown in moredetail in the inset; and curve 4, unloading with the rate of 2 mm/s.(b) The force - effective strain curve obtained from the data presentedin panel (a); the top inset shows the amplified initial part of F (εe)behavior, while the bottom inset shows the log-log plot of F versusεe: straight lines, data fitting by Eq. (2) with K0 = 80.17 N andc = 0.058. (c) Force relaxation at the fixed compression ratio ofλF1 = 0.3279; the inset shows the semilogarithmic plot of the forcerelaxation. Circles, experimental data; solid curve 1, data fitting byEq. (8) with τF = 10.92 s and β = 0.044; dashed curve 2, data fittingwith the stretched exponential function (5) with τ0 = 6.6 days andη = 0.245.

the experiment, were less than 2 ◦C and 5%, respectively. If,during a relaxation test, a change in temperature or humiditywas greater, only the data of the initial time interval (duringwhich T � 1◦C and WH � 0.1WH ) were analyzed.

Besides, in this paper, to have a more intimate reference tostress relaxation in balls folded from aluminum foil, we also

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FIG. 2. Effects of abrupt changes in ambient temperature(curve 1) and humidity (curve 2) on the relaxation of the compressiveforce (curve 3) in the test of an axially compressed ball folded froma square sheet of Kraft paper with an edge size of L = 400 mmperformed in a climatic chamber.

have performed three stress relaxation tests with balls withdiameters of R = 27 mm folded from square sheets with edgesizes of L = 240 mm of aluminum foil with thicknesses ofh = 0.02 mm.

In the second series of experiments, the folded balls weresubjected to constant compressive forces FM = Mg suppliedby a mass M , where g is the gravitational acceleration constant.The compressive weight was provided by metal plates withdiameters of 16 cm placed horizontally on the top of the ballpositioned inside of an acrylic tube with a diameter of 16.2 cm,which ensured that, at all times, the compressive weight washorizontal within a few degrees (see bottom inset in Fig. 3).Notice that, in our experiments, the diameters of balls testedwere less that 10 cm such that the lateral sides of the balls werenot subjected to any confinement. The ball height (distancebetween steel plates) was monitored with a laser micrometerMTS LX-500.

Once a weight M was placed on the ball, the ball almostinstantly was compressed up to a compression ratio ofλ = λM such that FM = Mg and λM obeyed the relation (1).Thereupon, the compression ratio slowly decreased with time(see the top inset in Fig. 3) for more than 1 month [44].

In some experiments, after several hours of compression(t1), the weight plate was suddenly trapped such that itsposition was fixed (using a rigid steel string attached to theweight plate) at λ = λt1 = const for a period of time t =t2 − t1 (see Fig. 3). It should be pointed out that, during thisperiod (t = t2 − t1), the compressive force did not becomezero, rather it slowly decreased in time in the same way asobserved in the stress relaxation experiments at the constant

FIG. 3. Semilogarithmic graph of compression ratio λ versustime t for a ball folded from a square paper sheet of Kraft paper withan edge size of L = 400 mm subjected to constant compressive force.After the compressive force is supplied by mass M = 20.718 kg, theball, almost instantaneously, is compressed up to λM = 0.3279 andthen λ decreases with time up to the compression ratio λt1 = 0.2658,at which the position of the plate is fixed for 3 h; when aftert = 3 h, the plate is liberated, the ball, almost instantaneously, iscompressed up to λt2 = 0.2611; circles, experimental data; solidcurve 1, data fitting by Eq. (9) with c = 0.058; τλ = 15.61 s, andγ = 0.068; dashed line 2, data fitting by logarithmic equation (4)with a = 0.3432 and μ = 0.0082; the top inset shows the graph ofλ versus time excluding the data between t1 and t2, while the bottominset shows the experimental setup.

compression ratio described above. When the plate wasliberated again, the ball was compressed almost instantly up toλt2, and further compression followed the tendency observedbefore the compression was stopped (see Fig. 3). Notice thatsimilar behavior was observed early in the experiments withcrumpled Mylar sheets [45] reported in Ref. [4].

III. EXPERIMENTAL FINDINGS

The main aim of this paper is to find analytical expressionsfor the functions providing the best fits to the experimentaldata of force and effective strain relaxations. Accordingly, wehave tried to fit the experimental data with many of the knownforms of a relaxation function [46]. A comprehensive reviewof relaxation function forms can be found in Ref. [47]. Theresults of our efforts are reported below.

A. Compressive force relaxation under a fixedcompression ratio

We found that the compressive force relaxation under afixed compression ratio λ = λF is best fitted with the followingrelationship:

F = F0

[1 − β ln

(1 + t

τF

)], (8)

where the force F0 is related to λF according to relationship (2),while β and τF are fitting parameters [see Figs. 1(b) and 4].Moreover, we found that fitting parameters are statisticallyindependent of the sheet size, the ratio L/R, and the initialforce F0(λF ) [see the captions of Figs. 1(c), 4, and 5]. Atthe same time, we noted that τF was very sensitive to thepaper properties, ambient humidity, and temperature during

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FIG. 4. Compressive force relaxation under the fixed compres-sion ratios in balls folded from square sheets of (a) and (b) Kraftpaper [L = 600 mm, λM = 0.230(1), L = 400 mm, λM = 0.148(2),L = 200 mm, λM = 0.3(3), and L = 100 mm, λM = 0.135(4)] and(c) and (d) Biblia paper with L = 300 mm [λM = 0.180(5), λM =0.185(6), and λM = 0.265(7)]. (a) and (c) Semilogarithmic graphsof F versus 1 + t/τ ; (b) and (d) log-log graphs of ln(F0/F ) versust . Circles, experimental data; solid lines, data fitting by Eq. (8)with β = 0.043 and τF = 15.99 s. (1), β = 0.0397 and τF = 5.63 s(2), β = 0.0424 and τF = 15.5 s (3), β = 0.0423 and τF = 0.31 s (4),β = 0.0427 and τF = 31.1 s (5), β = 0.0489 and τF = 27.8 s (6), β =0.043 and τF = 24.4 s (7); dashed lines, data fitting by the stretchedexponential function (5) with η = 0.28 (1), 0.16 (4), and 0.26 (6).

the test, whereas, values of β, obtained in 16 force relaxationexperiments with balls folded from two different papers, variedin a relatively narrow range of 0.39 � β � 0.49 with the meanβ = 0.041 ± 0.006 (see Fig. 5). These findings suggest thatcharacteristic time scale τF can be associated with the internalrelaxation process and is determined by the paper propertiesthat are strongly dependent on the paper moisture andtemperature [48], whereas, β seems to be universal. However,a statistically small number of available experimental data arerather insufficient to affirm this universality.

We noted that force relaxation in axially compressed paperballs could not be fitted well with Eq. (5) [see Figs. 4(b) and4(d)]. At the same time, we found that the compressive forcerelaxation in an axially compressed ball folded from aluminumfoil seemed to more closely follow the stretched exponentialfunction (5) suggested in Ref. [41] rather than Eq. (8) (seeFig. 6). This finding suggests that mechanisms of the compres-sive force relaxation in axially compressed balls folded fromelasto-plastic paper sheets and from predominantly plasticaluminum foil are different. Notice that, previously, the role ofplastic deformations in crumpling mechanics was discussed inRefs. [11,13,27,28].

B. Strain relaxation (creep) under a constant compressive force

In the case of creep deformation of a crumpled sheetunder constant compressive force FM = Mg, we found that

FIG. 5. Statistical distributions f of fitting parameters β (1)and γ (2) for balls folded from sheets of Kraft and Biblia papersin arbitrary units. Bins, experimental data; curves, data fitting bynormal distributions with means β = 0.041(1) and γ = 0.066(2),respectively.

experimental data on the time dependence of the compressionratio are best fitted with an empirical relationship of the form

λ(t) = c + λM − c

1 + (1 − λM )γ ln (1 + t/τλ), (9)

where initial compression ratio λ(0) = λM is related to FM =Mg according to the force-deformation relationship (2), whileτλ and γ are fitting parameters (see Figs. 3, 7, and 8). Noticethat coefficient (1 − λM ), before γ , assures that there is nocreep without external compressive force (M = 0). We alsofound that values of γ , obtained in 19 experiments fromtwo different papers, vary in a range of 0.033 � γ � 0.085,

FIG. 6. Compressive force relaxation under a fixed compressionratio in a ball folded from aluminum foil: (a) graph of F versus t

(inset shows the initial part of the same graph); (b) log-log graph ofln(F0/F ) versus t ; (c) semilogarithmic graph of F versus (1 + t/τ ),where τF = 3.25 s. Circles, experimental data; dashed curves 1, datafitting by Eq. (8) with τF = 3.25 s and β = 0.0415; solid curves 2,data fitting by Eq. (5) with η = 0.17 and τ0 = 9.91 h.

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FIG. 7. Creep deformation of balls folded from square sheets withdifferent edge sizes subjected to axial compressive force FM = Mg.(a) Semilogarithmic graph of λ versus t for the ball folded from Kraftpaper with the size of L = 400 mm under the weight of M = 15.3 kg:small gray circles, experimental data taken each minute for 12 h;large black circles, experimental data taken each hour for 30 days;solid line, data fitting by Eq. (9) with c = 0.056, τλ = 14.4 s, andγ = 0.076. Insets show semilogarithmic graphs of Y = 1/ (λ − c)versus X = 1 + t/τ of data taken each minute for 12 h [bottom inset,data fitting by Eq. (9) with c = 0.056, τλ = 14.4 s, and γ = 0.065]and each hour for 30 days [top inset, data fitting by Eq. (9) withc = 0.056, τ = 17.8 s, and γ = 0.07].

which is considerably wider than the interval of β variations(see Fig. 5). Furthermore, while one may expect that thecharacteristic time scale τλ has the same nature as τF , wehave no sufficient experimental data to support this assumptionstatistically because of the high sensitivity of τλ and τF toambient conditions.

Here, it should be pointed out that, while the availableexperimental data for t � τ can be fitted well with Eq. (4), wefound that, for any time interval, Eq. (9) provides a somewhatbetter fit than Eq. (4) (see Fig. 3) or its modification in theform

λ = λM − μ∗ ln(1 + t/τλ), (10)

where μ∗ and τ ∗ are fitting parameters (see Fig. 8). Noticealso that, according to Eq. (9), the compression ratio is λ → c

as t/τ → ∞, whereas, Eqs. (4) and (10) both suggest that theminimum possible compression ratio λ = c can be achieved ina finite time τC ≈ τλ exp [(λM − c) /μ∗] on the order of severalyears. However, for times t τC, it is appropriate to note thatEq. (10) can be viewed as the two first terms of the seriesexpansion of Eq. (9), and so μ∗ = (λM − c)(1 − λM )γ , while

FIG. 8. Data fittings for the strain relaxation in axially com-pressed balls folded from Kraft paper with the size of L = 400 mmunder the weight of M = 20.718 kg for 25.83 h (1) and Biblia paperwith the size of L = 300 mm under the weight of M = 5 kg for5 days (2): (a) semilogarithmic graphs of Y = 1/ (λ − c) versusX = 1 + t/τ : symbols, experimental data; straight lines, data fittingby Eq. (9) with: c = 0.058, τλ = 15.3 s, γ = 0.069 (line 1, squaredcorrelation coefficient R2 = 0.9998), and c = 0.022, τλ = 8.8 s, andγ = 0.077 (line 2, R2 = 0.9999); (b) semilogarithmic graphs of λ

versus X∗ = 1 + t/τ ∗: symbols, experimental data from panel (a);straight lines, data fitting by Eq. (10) with: λM = 0.3279, τ ∗ = 6.9 s,μ∗ = 0.0085(curve 2, R2 = 0.9977), and λM = 0.4823, τ ∗ = 8.8 s,and μ∗ = 0.0123 (curve 2, R2 = 0.9974).

Eq. (4) is the asymptotic of Eq. (10) for times t � τλ � 1min, and so one expects that μ = μ∗ and a = λM + μ ln(τλ).In this way, Eq. (9) is consistent with the experimental resultsreported in Ref. [19].

IV. DISCUSSION

Creep and compressive force relaxation are inherentmechanical behaviors of crumpled matter under externalloads. It seems reasonable to assume that both are differentperformances of the same physical processes. In this paper,we also assume that relation (2) can be extended to the caseof time-dependent stiffness of the folded sheet under axialcompression as

F = Kε(t)εe, when εe = const, (11)

while

εe = K−1F (t)F, when F = const, (12)

where Kε(t) and KF (t) are the time-dependent stiffness at theconstant compression ratio and at the constant compressionforce, respectively. If so, the compressive force relaxation atthe fixed deformation ratio and the effective strain relaxationat the constant compression force both are controlled by the

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time dependence of the ball stiffness. Specifically, Eqs. (8),(11), and (12) imply that

Kε(t) = K0

[1 − β ln

(1 + t

τF

)], (13)

while

K−1F (t) = K−1

0

[1 + γ (1 − c) ln

(1 + t

τλ

)], (14)

such that Kε(t)/KF (t) �= 1, while Kε(0) = KF (0) = K0. Thedifference in the time behavior of the ball stiffness atthe constant compression ratio and at the constant compressiveforce can be attributed, at least partially, to different timebehaviors of loading area Aλ, which almost holds constantduring stress relaxation under a constant compression ratio[see Eq. (7)], whereas, Aλ is an increasing function of timeduring ball compression under the force F = Mg.

A. Evolution equations

From Eqs. (11) and (13), it immediately follows that, in anaxially compressed ball folded from an elasto-plastic sheet,the compressive force relaxation at constant effective strainεe = ε0 obeys the following evolution equation:(

dF

dt

)ε

= ε0

(dKε

dt

)ε

= −βF0

τF

exp

(− F0 − F

βK0ε0

), (15)

where F0 = K0ε0 and F = Kεε0. Notice that by taking relation(7) into account, Eq. (15) can be rewritten in terms of apparentstresses in the form

dσ/dt = β(σ0/τσ ) exp [− (σ0 − σ ) /βσ0] ,

which was widely used in the studies of shear and stainhardening in fcc metals [36–38] and band formation in plasticmaterials [36,38] and granular media [40].

On the other hand, Eqs. (12) and (14) imply that, undera constant axial compressive force (F = Mg), the creepdeformation is governed by the following evolution equation:(

dεe

dt

)F

= −Mg

K2F

(dKF

dt

)F

= γ (1 − c)

τλ

εM exp

[−K0 (εe − εM )

γ (1 − c)Mg

], (16)

where εM = uM/(R∗ − uM ) = (1 − λM )/(λM − c) is the ini-tial effective strain, while λM obeys the force-deformationrelationship (2) with F = Mg.

At this point, it is appropriate to note that an exponentialdependence of the relaxation rate on a driving force (equal to orsmaller than its threshold value) is commonly associated withfluctuation controlled kinetics, while temporal fluctuations inthe system can have a thermal or nonthermal nature (see, forexample, Refs. [4,36–40]). The fluctuation controlled kineticscan be of thermodynamic or pure mechanical nature. However,in Sec. I, we already stated that the mechanical behavior ofcrumpled sheets can be understood within the framework ofEdwards’s statistical mechanics of a crumpling network (seeRef. [16]). Accordingly, below, the relaxation in the crumpledsheet is also discussed within the same framework.

B. Thermodynamics of relaxation processes

Equations (16) and (17) suggest that relaxation processesin a crumpled sheet, subjected to axial compression, areruled by temporal fluctuations, which allows overcoming anactivation barrier U between jammed configurations of thecrumpling network. The intensity of temporal fluctuations inthe crumpling network is controlled by the configurationaltemperature (1). Accordingly, in the spirit of Edwards’sstatistical mechanics, one can expect that the axial compressionof the randomly folded ball leads to the rearrangement ofenergy foci such that the activation barrier U betweenadmissible jammed configurations of the crumpling networkis a function of compressive force and effective strain. Hence,the relaxation rates are expected to obey the Arrhenius-likerelation,(

∂F

∂t

)εe

,

(∂εe

∂t

)F

∝ −exp

(− U

kTconf

), (17)

where k is the constant analogous to the Boltzmann one (seeRefs. [23,24]).

Taking relationship (3) into account, from the comparisonof Eq. (17) with evolution equation (15), it follows that, in a ballunder a constant compression ratio λ0 = (1 + cε0)/(1 + ε0),the activation barrier between admissible folding configura-tions,

Uλ = k

βκ0ε0(F0 − F ) (18)

increases as the compressive force decreases due to dissipationand/or redistribution of the deformationenergy,

E0 =∫ u0

0Fdu (19)

supplied to the crumpling network during the ball compressionfrom R to H0 = λ0R = R − u0.

In the case of balls folded from elastic sheets, deformationenergy (19) is redistributed due to the rearrangement of energyfoci in the crumpling network, including the redistribution ofelastic energy between the crumpling creases as well as thebuckling and/or disappearance of folds. In the case of elasto-plastic sheets, a part of deformation energy (19) dissipates dueto plastic deformations in the crumpling creases. Accordingly,when the compressive force is withdrawn, the ball, which isfolded from an elastic sheet, recuperates its initial size, whichis determined by the initial restrictions [49] but not the initialshape (see Fig. 2 in Ref. [16]). In contrast to this, the ball,which is folded from an elasto-plastic material, resets in astate with remanent deformation λR < 1 (see Fig. 1(a) of thispaper and Fig. 1 in Ref. [16]) after the compressive force iswithdrawn.

On the other hand, from Eqs. (3), (12), (16), and (17), whencompression ratio λ decreases under a constant compressiveforce F = Mg, it follows that the activation barrier betweenadmissible folding configurations,

UF = kK0

γ κ0(1 − c)

[εe

εM

− 1

](20)

increases as the compression ratio decreases due to therearrangement of the energy foci in the crumpling networkand/or the strain relaxation in the crumpling creases.

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Furthermore, Eq. (20) can be rewritten in the followingform:

UF = K0(1 + εM )

γ κ0(1 − c)εM

[�M

�− 1

]−1

= kK0

γ κ0 (1 − c)

(1 + K0

Mg

) (�

�

), (21)

where

� = Mg(u − uM ) (22)

is the work of the gravitational force during creep displace-ment u − uM = u, while �M = Mg (R − nh − uM ) is theavailable potential energy of the weight plate before creep andso,

� = �M − � = Mg(R − nh − u) (23)

is the available potential energy of the weight plate after creepdisplacement u.

Equations (21)–(23) suggest that, in the case of the ballfolded from an elastic sheet, the energy supplied to thecrumpling network by the work of the gravitational forceduring creep displacement (22) is dynamically distributedin the crumpling network in such a way that the strengthof jammed folding configurations fC increases, whereas,the available potential energy of the weight plate (23),playing the role of driving force f , decreases. As a result,the activation barrier increases with the creep displacement.Once the compressive force is withdrawn, the ball, whichis folded from an elastic sheet, recuperates its initial sizeH = R, nonetheless, the ball shape, which is associated witha specific jammed configuration of the crumpling network,can differ from the ball shape before compression (see Fig. 2in Ref. [16]) because there are many equivalent foldingconfigurations for given experimental conditions. In the caseof the balls folded from elasto-plastic sheets, a part of theenergy, which is supplied by the work (22), dissipates due toplastic deformations in the crumpling creases. This manifestsin the remanent deformation of the elasto-plastic sheet afterunloading.

It is interesting to note that evolution equation (17), withthe activation barrier that is defined by Eq. (21), takes the formof an equation for the creep velocity of an interface, which isdriven in a disordered medium by a driving force f less thana pinning strength fc [50],

v ∝ exp

[− Uc

kTeff

(fc

f

)χ],

where Uc is the energy scale, Teff is the effective temperature ofthe disordered medium, while χ is the creep exponent. Hence,the dynamics of relaxation in the crumpling network, which issubjected to axial compression, can be mapped into dynamicsof depinning and creep motions of an elastic interface in amedium with quenched disorder. This mapping implies that

the driving force of the creep motion is f ∝ (�)1/χ , whilethe pinning strength of the jammed folding configurations isfC ∝ �1/χ . Further analysis is needed to derive an analyticexpression for the creep exponent χ .

C. Remark

In balls that are folded from predominantly plastic sheets,such as aluminum foil, most parts of the deformation energy(19) as well as most parts of the work (22) are irreversiblydissipated in crumpling creases such that the amount ofaccumulated elastic energy is insufficient to initiate thereverse transitions between jammed folding configurationsof the crumpling network after the compressive force iswithdrawn. Moreover, under increased compression, dynamicrearrangements in crumpling networks of predominantlyplastic materials are repressed by plastic deformations (seeRefs. [11,13,27]) and so, the relaxation of the compressionforce and the creep deformation is determined by the energydissipation in the folding creases rather than by the rear-rangement of the energy foci. As a result, the compressiveforce relaxation and creep in balls that are folded from plasticsheets do not obey evolution equations (15) and (16), rather,they are controlled by another mechanism that is associatedwith the plastic deformations, which are localized in thecrumpling creases. While stretched exponential function (5)provides a good fitting of experimental data on the stressrelaxation in hand-folded aluminum foil (see Fig. 6 andRef. [41]), further experimental and theoretical studies areneeded to clarify the mechanisms and functional forms ofstress and strain relaxation in randomly crumpled plasticsheets.

V. CONCLUSIONS

To summarize, we found experimentally that, in axiallycompressed hand crumpled paper, the relaxation of thecompressive force under the constant compression ratio andthe creep deformation under the constant force follow therelaxation equations (8) and (9), respectively. These equationsdetermine the form of the corresponding equations of evolution(15) and (16), which suggest that the relaxation dynamicsin crumpled elastic and elasto-plastic sheets is ruled byactivated processes of the rearrangement of the energy fociin the crumpling network, whereas, the stress relaxationin predominantly plastic sheets is controlled by the energydissipation in the crumpling creases. We pointed out thatthermodynamics of activated processes in crumpled sheets canbe understood within the framework of Edwards’s statisticalmechanics. In this way, explicit functional forms of theactivation barrier between admissible jammed configurationsof the crumpling network under axial compression are derived.Our findings suggest that, under a constant compressionratio, the compressive force decreases due to dissipationand/or redistribution of the deformation energy supplied tothe crumpled network during ball compression. On the otherhand, under a constant compressive force, the activationbarrier between admissible jammed configurations increasesas an elastic energy, which is supplied by a compressive

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force, is released during creep deformation, which isaccompanied by the rearrangement of the energy foci in thecrumpling network and energy relaxation in the crumplingcreases.

ACKNOWLEDGMENTS

This work was partially supported by the FONCICYT(Mexico-European Union) under Project No. 96095 and theGovernment of Mexico City under Grant No. PICCT08-38.

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observed the stain relaxation under a fixed force for up to35 days.

[45] Notice that, in the experiments performed in Ref. [4], the weightpiston was slightly lifted and was fixed in place such that it couldno longer compress the material, whereas, in our experiments,

the plate was not lifted before its position was fixed. Moreover,the lateral dimensions of the compressed sheets were confined,whereas, in our experiments, the lateral dimensions were free.

[46] In this paper, while we presented comparisons of data fittingswith only a few different functions, more fitting functions weretested to find the best fit.

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[48] We noted that τF decreased as the humidity or temperatureincreased; in our experiments, the value of τF was varied inthe range of 0.1 � τF � 40 s for Kraft and 2 � τF � 70 sfor Biblia papers. It is interesting to note that, according toEq. (7), an axially compressed ball can only achieve a steadystate dF/dt = 0 when F = 0 after T = τ [exp(β−1) − 1] ≈ 104

years.[49] Without external restrictions, an elastic sheet unfolds to a plane

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ANÁLISIS EXPERIMENTAL DE LA RELAJACIÓN EN MATERIALES ...

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