ANÁLISIS DE PARÁMETROS DE INFLUENCIADE TRAYECTORIAS 4D€¦ · vuelos de los aviones sobre los waypoints indicados a lo largo de la trayectoria. Las trayectorias 4D pueden entenderse

Análisis de parámetros de influencia en la

definición de trayectorias 4D

Entregable 1 2018 (E1 2018): Desarrollo del

modelo de sistemas multi-estado (MSS)

aplicado a trayectorias 4D

Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado (MSS) aplicado a trayectorias 4D

Fecha: junio de 2018 I

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Título: E1 2018. Desarrollo del modelo de sistemas multi-estado aplicado a trayectorias 4D

Código: N/A

Fecha: Junio 2018

Fichero: N/A

Autor: A. Rodríguez Sanz y D. Álvarez Álvarez.

Revisor: F. Gómez Comendador

Aprobado: N/A

Versiones:

Numero Fecha Autor Comentarios

01 Álvaro Rodríguez Sanz

David Álvarez Álvarez

Alejandro Rodríguez

Rodrigo Gómez


Fecha: junio de 2018 II

Resumen Ejecutivo

El actual enfoque funcional de la gestión del tráfico aéreo (ATM) está cambiando. Tanto

SESAR (Single European Sky ATM Research) como NEXTGEN (Next Generation Air

Transportation System) apoyan la aplicación de la trayectoria de cuatro dimensiones (4D)

dentro de sus conceptos operativos. Aparte de las tres dimensiones espaciales clásicas,

el "tiempo" se integra ahora como una cuarta dimensión adicional, que restringirá los

vuelos de los aviones sobre los waypoints indicados a lo largo de la trayectoria. Las

trayectorias 4D pueden entenderse como sistemas multi-estado (MSS) complejos que

dependen de las condiciones ambientales, internas y de uso. Un análisis de fiabilidad de

los waypoints y las ventanas de tiempo que describen la trayectoria 4D puede permitir a

los operadores aéreos y a los proveedores de servicios de tráfico aéreo establecer

indicadores de rendimiento y métricas de cumplimiento. Este trabajo desarrolla un modelo

para evaluar el potencial 'mal funcionamiento' de una trayectoria 4D, basado en la teoría

de la fiabilidad de los Sistema Multi-estado (MSS). Esta es una extensión natural de la

evaluación de estado binario clásica: las trayectorias presentan diferentes niveles de

rendimiento y varios modos de fallo (un rango de degradación). La evaluación de la

fiabilidad operacional, que se logra con los métodos de simulación de Monte Carlo y

procesos aleatorios (Markov), ofrece un marco para predecir cuán probable es que la

trayectoria entre en un estado degradado. Los parámetros que caracterizan la trayectoria

4D nos permiten definir un "vector de estado" que evoluciona con el tiempo y puede ser

aplicado para evaluar el progreso de la trayectoria 4D. Se utiliza este análisis para

cuantificar el nivel de variabilidad de la trayectoria en 4D y proponer medidas correctivas

para resolver posibles degradaciones de la trayectoria o situaciones no planificadas. La

metodología se valida a través de un estudio de caso práctico. La principal contribución

de este trabajo es proporcionar una metodología para evaluar la robustez de las

trayectorias 4D y tratar su perturbación, que es una piedra angular en la sincronización del

tráfico y la resolución de conflictos. Los resultados iniciales indican que la teoría MSS

proporciona un enfoque prometedor para la evaluación de la fiabilidad de las trayectorias

4D.


Fecha: junio de 2018 III

Índice

1 Introducción ........................................................................................................................... 1

2 Pasos previos ........................................................................................................................ 3

3 Estado del arte ....................................................................................................................... 7

4 Desarrollo teórico ................................................................................................................. 11

4.1 Sistemas multi-estado: principales definiciones y propiedades ................................... 11

4.2 Modelo genérico de MSS ............................................................................................. 13

4.3 Procesos estocásticos ................................................................................................. 16

4.4 Cadenas de Markov ..................................................................................................... 17

5 Análisis de fiabilidad de la trayectoria 4D ............................................................................ 20

5.1 Análisis de los datos .................................................................................................... 21

5.2 Planteamiento inicial del modelo .................................................................................. 22

5.3 Modelo de 3 estados .................................................................................................... 25

5.4 Modelo de 4 estados: estado de control ...................................................................... 29

6 Explotación del modelo ........................................................................................................ 32

6.1 Funcionalidades MSS y Cadenas de Markov .............................................................. 32

6.2 Aplicación del modelo de 3 estados a la fase crucero ................................................. 35

6.3 Aplicación del modelo de 4 estados a la fase crucero ................................................. 38

7 Conclusiones ....................................................................................................................... 43

8 Trabajos futuros ................................................................................................................... 46


Fecha: junio de 2018 IV

9 Bibliografía ........................................................................................................................... 48

ANEXO I: DISTRIBUCIÓN DE ESTADOS Y Matrices de transición ............................................ 50

ANEXO Ii: Código MATLAB ......................................................................................................... 56


Fecha: junio de 2018 V

Índice de figuras

Figura 1: Tramos de la fase crucero .............................................................................................................................. 5

Figura 2: Ejemplificación de cadenas de Markov ........................................................................................................... 9

Figura 3: Esquema de sistema Multi-Estado ............................................................................................................... 11

Figura 4: Enfoques sistemas Multi-Estado ................................................................................................................... 12

Figura 5: Fiabilidad de un sistema. Enfoques .............................................................................................................. 13

Figura 6: Ejemplo cadenas de Markov ......................................................................................................................... 19

Figura 7: Enfoque de fiabilidad en trayectorias 4D ...................................................................................................... 20

Figura 8: Distribuciones iniciales de los parámetros .................................................................................................... 21

Figura 9: Intervalos de los estados asociados a una distribución normal .................................................................... 23

Figura 10: Esquema explicativo del cálculo de los intervalos en MATLAB .................................................................. 24

Figura 11´: Análisis causal. Intensidad de las relaciones entre los parámetros de e influencia en la trayectoria 4D .. 25

Figura 12: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 3 estados ......................................................... 26

Figura 13: Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 3 estados ................................................. 36

Figura 14. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 3 estados ................................................ 37

Figura 15. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 3 estados ........................................... 37

Figura 16. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 3 estados ................................................... 38

Figura 17. Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 4 estados ................................................. 40

Figura 18. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 4 estados ................................................ 40

Figura 19. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 4 estados ........................................... 41

Figura 20. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 4 estados ................................................... 42


Fecha: junio de 2018 VI

Índice de tablas

Tabla 1: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 3 estados en función de la distribución normal ......... 26

Tabla 2. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición del alcance;

(d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa .......................................................... 27

Tabla 3: Bloques de parámetros definidos en el sistema ............................................................................................ 28

Tabla 4: Matriz de transición global del sistema para el modelo de 3 estados ............................................................ 28

Tabla 5: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 4 estados ............................................................ 29

Tabla 6: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 4 estados en función de la distribución normal ......... 29

Tabla 7. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición del alcance;

(d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa .......................................................... 31

Tabla 8. Matriz de transición global del sistema para el modelo de 4 estados ............................................................ 31

Tabla 9: Resultados estacionarios modelo 3 estados .................................................................................................. 35

Tabla 10. Resultados estacionarios modelo 4 estados ................................................................................................ 39


Fecha: junio de 2018 VII

HOJA INTENCIONADAMENTE EN BLANCO


Fecha: junio de 2018 1

1 INTRODUCCIÓN

En el modelo de predicción de una trayectoria 4D se hace necesario llevar a cabo un método que

permita cuantificar su degradación. En el control de tráfico aéreo es de vital importancia garantizar

unos altos niveles de seguridad y eficiencia, y más aún en lo que se refiere a trayectorias 4D, ya

que en ellas se les exige a los usuarios de las aeronaves cumplir con unos tiempos determinados

lo más exactos posible. Por lo tanto, si se conoce cómo es y cómo evoluciona la degradación que

podría sufrir la trayectoria, uno de los beneficios inmediatos es que ayudaría a mejorar la predicción

y permitiría llevar a cabo un mejor pronóstico y proceso de toma de decisiones.

En definitiva, se debe comprobar que la trayectoria tiene un alto grado de fiabilidad; es decir, que

posee una alta probabilidad de que tenga un buen funcionamiento cumpliendo con las restricciones

que se le establecen en un momento determinado. Es por ello por lo que, se va a realizar un

correspondiente análisis de fiabilidad a través de diferentes metodologías como lo son las cadenas

de Markov y sistemas multi-estado.

En este análisis, es conveniente recalcar que el rendimiento de un sistema y, por consiguiente, su

fiabilidad, se ve afectado por gran cantidad de variables. No obstante, no todas esas variables

poseen la misma influencia en la tasa de rendimiento del sistema. Descubrir qué variables son las

que más importancia tienen será uno de los objetivos primordiales para que el análisis de fiabilidad

sea satisfactorio.

Además, se debe tener en cuenta que no sólo se debe conocer únicamente cómo es la

degradación que se sufre y a qué es debida, sino también ser capaz de aplicar las medidas

correctivas necesarias para solucionarla. Es decir, realizar un estudio predictivo tratando de evitar

que no ocurra la degradación y realizar un estudio correctivo para que, en caso de producirse,

estar capacitados para poder solucionarla.

Como se ha mencionado anteriormente, una de las metodologías que se usa es la relacionada

con las cadenas de Markov. En ellas, se definen unos estados para el sistema, y cada uno de ellos



depende únicamente del estado inmediatamente anterior. Su aplicación resulta muy útil para

analizar la fiabilidad si además se combina con la metodología de sistemas multi-estado. Esto

permite dividir el sistema en diferentes sub-operaciones donde cada estado tendrá su propia tasa

de rendimiento, y será posible llevar a cabo un mejor estudio de la incertidumbre que pudiera

existir.



2 PASOS PREVIOS

En este punto se va a poner de manifiesto un breve resumen de los pasos previos que han

acontecido al desarrollo del presente Entregable, con la idea de poner de manifiesto en qué lugar

se encuentra el proyecto y sea más fácil la unión con la siguiente fase del proyecto.

El proyecto está sumergido dentro del programa SESAR, dentro del cual, el desarrollo de las

trayectorias 4D se entiende como una parte fundamental para la implantación del concepto

operacional. Así pues, los objetivos que se establecieron para el desarrollo del proyecto consistían

en:

- Identificar y acotar los parámetros de influencia en el seguimiento de una trayectoria 4D

- Aplicar un modelo causal que permita conocer como variará la trayectoria al modificar

estos parámetros

- Definir una ventana de tiempo en la que se va a encontrar la aeronave a su paso por cada

WP

El primer paso consistió en la modelización del escenario completo en que se encontraría la

supuesta trayectoria 4D, siendo por tanto necesario modelizar tanto la aeronave como todo el

entorno que la rodea.

La modelización de la aeronave se realizó a través del uso de la metodología BADA, en la cual se

identifican y caracterizan los parámetros de interés de un amplio abanico de aeronaves. El modelo

de aeronave elegido fue el Boeing 733-900 ER, por ser una aeronave muy utilizada, de corto-

medio alcance y que alberga los sistemas y las performances más actuales.

Para el caso de la trayectoria, se identificaron, definieron y caracterizaron los parámetros globales

de influencia y la relación teórica entre ellos (propios de la aeronave, propios del escenario y

relativos a los factores humanos).

El bloque de parámetros propios de la aeronave se estructuró en otros tres bloques; las

características de la aeronave (aceleración máxima, ángulos, coeficiente de empuje coeficientes



de velocidad mínima y coeficiente de reducción de potencia), los procedimientos de la aeronave

(velocidad de crucero, ratio de ascenso, factor de carga, etc.) y las prestaciones de ésta (tipo de

motor, masa máxima, altitud máxima operativa, superficie alar, coeficiente de resistencia, etc.)

Por otra parte, el modelo dinámico permite calcular las fuerzas que actúan sobre el avión, es decir,

la sustentación, resistencia, empuje y peso, junto con el consumo de combustible y la variación de

la masa. Para la obtención de todos los parámetros citados se atendió a las ecuaciones de la

mecánica de vuelo junto con lo descrito en el modelo BADA.

Uniendo estos dos bloques se tenía perfectamente modelizado todo los relacionado con la

aeronave.

Solo falta, por tanto, modelizar el entorno en el que se desarrollar la trayectoria 4D propuesto, el

cual consiste en definir un modelo atmosférico, el cual se adapta a las expresiones de la Atmósfera

Estándar Internacional (ISA). Con este modelo se toman unos valores constantes, como podrían

ser el gradiente de temperatura, la gravedad, el coeficiente adiabático del aire, y a partir de una

altura, se calcula la temperatura, presión y densidad a dicha altitud.

Una vez modelizado tanto el escenario como la propia aeronave, el siguiente paso era desarrollar

mediante la herramienta MATLAB la trayectoria. Para ello se tomaron algunas hipótesis:

- La trayectoria solo se extiende a la fase de crucero, existiendo un cambio de nivel entre

los niveles de vuelo FL360 y FL380

- Modelo de Tierra plana, sin rotación y considerada como un sistema de referencia inercial,

cuya aceleración gravitatoria es constante y de valor 9,82 m/s2

- La aeronave es considerada como una masa puntual con tres grados de libertad, actuando

todas las fuerzas sobre el centro de masas

- El vuelo se realiza a Mach constante

- Motor tipo turbo fan, con configuración en todo momento “non-idle rating”



- La variación de la masa de la aeronave está dada solamente por el consumo de

combustible

Se definían cuatro puntos de control a lo largo de la trayectoria

• El punto en el que acaba el primer tramo de vuelo establecido y empieza el ascenso

(Waypoint 1).

• El punto en el que acaba el ascenso y comienza el segundo tramo a vuelo establecido

(Waypoint 2).

• El punto en el que acaba el segundo tramo de vuelo establecido y empieza la fase de

descenso (Waypoint 3).

• El punto en el que acaba la fase de descenso y empieza el tercer y último tramo de vuelo

establecido (Waypoint 4).

Figura 1: Tramos de la fase crucero

Para el siguiente paso se realizó un estudio de la sensibilidad del resultado ante la variabilidad de

parámetros empleando técnicas de Simulación de Montecarlo. Su aplicación consiste en asignar

valores aleatorios a los diferentes parámetros que se emplean en el estudio. De esta manera,



haciendo que los parámetros varíen estocásticamente se logra evaluar todas las posibles

variaciones que pueden sufrir los mismos, y, por tanto, los cambios en la trayectoria que esto

conlleva.

Los parámetros pueden variar una distribución normal donde la media es el valor típico,

permitiendo así que los parámetros tengan valores coherentes dentro de su carácter estocástico.

De este modo, variando los parámetros, se realizaron 10.000 simulaciones. Obteniendo un

abanico muy amplio de las múltiples combinaciones que podrían ocurrir en la realidad.

Posteriormente, se llevó a cabo un análisis de sensibilidad y de las relaciones causales entre los

parámetros de manera que permitiera mejorar la predictibilidad y reducir la incertidumbre. El

objetivo que se persigue es determinar cuánto afectan las variaciones de los parámetros a los

resultados del modelo y de alguna manera, saber identificar si el modelo puede estar siendo sobre

parametrizado. Para desarrollar este análisis se aplicaron redes bayesianas a través del software

GeNIe, mediante el cual se representa cada parámetro como un nodo y se discretizan sus posibles

valores que pudiera tener en intervalos, denominándose cada intervalo como un estado y con una

probabilidad de ocurrencia asignada de acuerdo a los resultados obtenidos en la simulación.

Este análisis de sensibilidad se desarrolló en los dos casos de estudio del proyecto: aquel en el

que se fijaba la posición como parámetro para obtener una ventana de tiempo; y, aquel en el que

se fijaba el tiempo como parámetro obteniendo una ventana de posición. En ambos se llegó a las

mismas conclusiones, y es que los factores que tienen una mayor influencia son la velocidad y el

nivel de vuelo en el que se encuentra la aeronave. Por tanto, resulta obvio que se debe centrar en

mejorar la modelización de la velocidad y altitud para obtener una ventana de tiempo más verídica,

teniendo en cuenta además que el viento es un factor directamente relacionado con estos

parámetros y que debe llevarse a cabo un estudio detallado de su modelización.



3 ESTADO DEL ARTE

Un paso crítico en el diseño y el desarrollo de nuevas herramientas para la gestión del tránsito

aéreo es la estimación de los beneficios que suponen la aplicación de esa herramienta dentro del

escenario correspondiente. En ese contexto, el modelo de Markov obtiene beneficios en la

estimación, en la reducción la incertidumbre y consiguiendo una rápida evaluación de diferentes

escenarios operacionales.

Muchos estudios se centran en modelos de fiabilidad que solo tienen dos estados posibles:

perfecto funcionamiento o fallo completo. Sin embargo, los sistemas reales están compuestos por

componentes que tienen diferentes niveles de funcionamiento. Estos sistemas, son los que se

denominaran sistemas multi-estado.

Los conceptos básicos en la teoría de los sistemas multi-estado se introdujeron a mediados de los

años 70. Extendiendo los resultados de esos trabajos por Natving [1], Block and Savits [2]y Hudson

and Kapur . Estudios más actuales en el campo de los sistemas multi-estado pueden encontrarse

en Lisnianski and Levitin [3], [4] y Natvig [5], [6]

Una aplicación directa en el estudio de sistemas multi-estado son las cadenas de Markov, las

cuales son un tipo especial de proceso estocástico discreto en las que la probabilidad de que

ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior, característica conocida

como propiedad de Markov. Dichas cadenas se usan para predecir la fiabilidad del ATCAS [7] (Air

Traffic Control Automatic System); definiendo la fiabilidad como la habilidad de acabar una tarea

en unas condiciones dadas y en unos períodos concretos.

Un punto interesante que estudiar acerca de las cadenas de Markov es sobre los beneficios que

trae su aplicación en las tecnologías del tráfico aéreo. También, complementándose con las

simulaciones de Monte Carlo, ayudan a estimar el rango de beneficio de las incertidumbres en los

parámetros del modelo y el rendimiento tecnológico exacto.



Se ha de tener en cuenta que el rendimiento y fiabilidad de un sistema se ve afectado por múltiples

factores, cuya importancia o influencia no es la misma para todos ellos sobre el sistema, sino que

se pueden clasificar de menor a mayor grado.

El proceso típico de estimación de beneficios, que se viene haciendo en estudios previos, puede

incorporar los siguientes pasos:

- En primer lugar, se identifica un déficit del sistema a través de una combinación de

revisión operacional y análisis de las mediciones de desempeño.

- A continuación, se define un conjunto potencial de beneficios, que incluye el alcance de

las operaciones que se ven afectadas por el déficit y los factores externos (por ejemplo, el

clima) que contribuyen al déficit.

- Se propone una capacidad del sistema que aborda el fallo proporcionando automatización,

soporte de decisiones y procedimientos que permitan a los proveedores y operadores de

servicios de tránsito aéreo tomar mejores decisiones e implementarlas de manera más

eficiente.

- Se debe evaluar la probabilidad de que la capacidad propuesta logre abordar el déficit y

que los beneficios potenciales se puedan estimar descontando el tamaño de los beneficios

reunidos por la eficacia anticipada de la solución.

- Finalmente, la metodología de estimación de beneficios debe identificar los aspectos de

la capacidad propuesta que son más críticos para lograr los beneficios esperados, y los

requisitos de guía para la exactitud, precisión y puntualidad de los datos y pronósticos

incorporados en la capacidad propuesta.

Los beneficios resultantes ayudarían a determinar la necesidad de exigir un alto grado de exactitud

en el pronóstico antes de poder tomar y aplicar las decisiones.

Concretamente, en el mundo de la aviación existen variedad de aproximaciones que pueden

usarse para estimar los beneficios potenciales: modelos de espera (predominantemente se usan

en predecir y analizar retrasos en el sistema), extrapolación desde la observación (basándose en



la detallada observación de las decisiones que se toman durante las operaciones usando un

prototipo de capacidad propuesto) y las simulaciones (usadas también para estimar la mejora de

las operaciones a través de un prototipo de capacidad).

En definitiva, para las cadenas de Markov se definen unos estados. Dentro del ámbito del control

de tráfico aéreo la elección de los estados está basada en tratar diferentes fases de vuelo las

cuales implican cambios relevantes durante la toma de decisiones. Un ejemplo sería el de la

siguiente figura donde los γ representan la probabilidad de la transición entre los estados.

Figura 2: Ejemplificación de cadenas de Markov

Otra aplicación de la utilización de los sistemas multi-estado en el mundo del tráfico aéreo es su

uso como modelo de simulación en operaciones turnaround [8]. La operación turnaround de una

aeronave se define como el procedimiento para proporcionar los servicios requeridos (como el

catering, la limpieza de la cabina y carga de combustible) a una aeronave con el fin de estar lista

para llevar a cabo otro vuelo. La operación turnaround de un avión se puede dividir en sub-

operaciones, las cuales pueden ser muy numerosas y además llevarse a cabo simultáneamente.

Por tanto, un correcto modelo para simular estas operaciones debe ser capaz de modelizar las

incertidumbres que pudieran producir una demora en la operación turnaround del avión.



Es por esto que el modelo de Markov aparece como una buena opción de simular esta operación,

ya que dicho modelo es capaz de simular el comportamiento estocástico de transición entre las

principales actividades del turnaround y posibles actividades de interrupción debidas a pasajeros

o servicios de tierra.

SISTEMAS MMS

Por lo general, están compuestos por elementos que a su vez pueden ser considerados como

sistemas multi-estado. El comportamiento de los sistemas multi-estado está caracterizado por su

evolución en el espacio entre estados. El conjunto completo de posibles estados del sistema se

puede dividir en dos subconjuntos que corresponden al funcionamiento aceptable e inaceptable

del sistema.

Esta metodología, en realidad, es aplicable a prácticamente todo sistema técnico, ya que éstos se

caracterizan por poder realizar sus funciones con varios niveles de eficiencia denominados tasas

de rendimiento.

En particular, se utilizarán los sistemas multi-estado para analizar la fiabilidad de las trayectorias

4D en la navegación aérea; ya que éstas pueden sufrir una degradación que puede ser debida a

distintos factores. Por lo tanto, se buscará conseguir mediante esta metodología combinada con

las cadenas de Markov un análisis de fiabilidad que permita saber cómo y con qué probabilidad

una trayectoria 4D se degrada. Además, en caso de degradarse habrá que conseguir aplicar las

medidas necesarias para corregirla.

Si se quiere analizar el comportamiento de un sistema multi-estado hay que conocer las

características de sus elementos; donde cada uno de los cuales tiene diferentes estados con una

tasa de rendimiento asociada que es una variable aleatoria en cualquier instante de tiempo.



4 DESARROLLO TEÓRICO

4.1 Sistemas multi-estado: principales definiciones y propiedades

Todo sistema técnico está diseñado para desempeñar sus funciones en un determinado medio o

entorno. Muchos sistemas pueden llevar a cabo sus funciones con varios niveles de eficiencia que

usualmente se denominan tasas de rendimiento. Un sistema que tiene un número finito de tasas

de rendimiento se denomina sistema multi-estado (MSS) [9].

Figura 3: Esquema de sistema Multi-Estado

Normalmente, un sistema multi-estado está compuesto de elementos que a su vez pueden ser

considerados como sistemas multi-estado, Figura 3. Un elemento es una entidad del sistema que

no tiene más sub-divisiones. Esto no implica que el elemento no pueda estar constituido por partes,

pero significa que, en un estudio de fiabilidad, estas se tomarán como un conjunto a la hora de

realizar el estudio.

1 2 3

1 2 3

1 2

𝜆1,2 𝜆2,3

𝜆1,3

𝜆1,2 𝜆2,3

𝜆1,3

𝜆1,2

Elemento 3

Elemento 1

Elemento 2

Sistema



Figura 4: Enfoques sistemas Multi-Estado

Actualmente, un sistema binario es el caso más simplificado de MSS con dos estados: funciona o

no funciona.

Existen diferentes situaciones en las que los sistemas deben ser considerados sistemas multi-

estado, como:

1. Un sistema que consista en diferentes unidades que tenga un efecto acumulativo sobre el

rendimiento completo de del sistema tiene que ser considerado un sistema multi-estado.

Ciertamente, la tasa de rendimiento del sistema depende de la disponibilidad de sus

unidades, ya que un número diferente de unidades disponibles puede proporcionar

diferentes niveles de rendimiento.

2. La tasa de rendimiento de los elementos que componen un sistema puede variar como

resultado de su deterioración (fatiga, fallos parciales) o por causa de las condiciones

ambientales. Fallos de elementos pueden conducir a la degradación del rendimiento del

sistema completo

Las tasas de rendimiento de los elementos van desde el perfecto funcionamiento hasta el fallo

completo, Figura 5. Los fallos que pueden conducir a una reducción del rendimiento de un

elemento se denominan fallos parciales. Después de un fallo parcial, los elementos continúan

operando con un rendimiento reducido, y después de un fallo total, los elementos se inhabilitan y

no cumplen con su función [6].

Sistemas Binarios

Sistemas Multi-estado



Figura 5: Fiabilidad de un sistema. Enfoques [9]

4.2 Modelo genérico de MSS

Para analizar el comportamiento de un sistema multi-estado uno tiene que saber las características

de sus elementos. Cada componente del sistema j tiene kj estados diferentes correspondientes a

las tasas de rendimiento, representado el conjunto [10]:

𝒈𝑗 = {𝒈𝑗1, 𝒈𝑗2, … , 𝒈𝑗𝑘𝑗} (1)

Donde:

𝒈𝑗𝑖 es la tasa de rendimiento del elemento j en el estado i,

𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑘𝑗} (2)

La tasa de rendimiento Gj del elemento j en cualquier instante de tiempo es una variable aleatoria

que toma sus valores de gj : G𝑗 ∈ g𝑗

Las probabilidades asociadas a los diferentes estados (tasas de rendimiento) del elemento del

sistema j pueden se representadas por el conjunto



𝒑𝑗 = {𝒑𝑗1(𝑡), 𝒑𝑗2(𝑡), … , 𝒑𝑗𝑘𝑗(𝑡)} (3)

Donde

𝒑𝑗𝑖 = 𝑃𝑟{G𝑗𝑖 ∈ g𝑗𝑖} (4)

Como en el caso de los sistemas binarios, las probabilidades de estado de los sistemas binarios,

las probabilidades de estados de los elementos del MSS pueden interpretarse como las

probabilidades de estado durante un tiempo fijo de tarea, las probabilidades de estado en un

momento determinado, o las disponibilidades (en el caso de elementos binarios)

Tenga en cuenta que, dado que los estados de los elementos componen el grupo completo de

eventos mutuamente excluyentes (lo que significa que el elemento siempre puede estar en uno y

solo en uno de los estados kj

∑ 𝑝𝑗𝑖

𝑘𝑗

𝑖=0

= 1 (5)

La expresión (4) define la ‘probability mass finction’ (pmf) o distribución de probabilidad para una

variable aleatoria discreta Gj La colección de pares 𝒑𝑗𝑖 , g𝑗𝑖 , 𝑖 = 0,1, … , 𝑘𝑗 − 1 , determina

completamente la distribución de probabilidad de rendimiento (PD) del elemento j.

Observe que el comportamiento de los elementos binarios (elementos con solo fracasos totales)

también se puede representar por la distribución de rendimiento. En efecto, considerar un

elemento binario i con un rendimiento nominal (tasa de rendimiento que corresponde a un estado

completamente operable) g* y la probabilidad de que el elemento está en el estado completamente

operable p. Suponiendo que la tasa de rendimiento del elemento en un estado de fallo completo

es cero, se obtiene su PD de la siguiente forma:



𝑔𝑖 = {0, 𝑔 ∗}, 𝑝𝑖 = {1 − 𝑝, 𝑝} (6)

Las PD se pueden representar gráficamente en forma de curvas acumulativas. En esta

representación, cada valor de rendimiento x corresponde a la probabilidad de que el elemento

proporciona una tasa de rendimiento que no es menos que este nivel:

𝑃𝑟{G𝑗 ≥ 𝑥} (7)

Para la comparación, los gráficos que representan el PD del elemento i binario y el elemento j con

cinco estados diferentes se presentan en la siguiente figura. Observe que el PD discreto

acumulado es siempre una función decreciente.

Cuando el MSS consta de n elementos, sus tasas de rendimiento se determinan de forma

inequívoca por las tasas de rendimiento de estos elementos. En cada momento, los elementos del

sistema tienen ciertas tasas de rendimiento correspondientes a sus estados. El estado de todo el

sistema está determinado por los estados de sus elementos. Se supone que todo el sistema tiene

K diferentes estados y que gi es toda la tasa de rendimiento del sistema en el estado de i

(𝑖 ∈ {0, … , 𝐾 − 1}). La tasa de rendimiento de SMS es una variable aleatoria que toma valores

del conjunto {𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑘−1}.

𝐿𝑛 = {𝒈11, … , 𝒈1𝑘1}𝑥{𝒈21, … , 𝒈2𝑘2

}𝑥 … 𝑥{𝒈𝑛1, … , 𝒈𝑛𝑘𝑛} (8)

es el espacio de posibles combinaciones de tasas de rendimiento para todos los elementos del

sistema y 𝑀 = {𝒈1, … , 𝒈𝑘} es el espacio de valores posibles la tasa de rendimiento para todo el

sistema. Al transformar ∅(𝐺1, … , 𝐺𝑛): 𝐿𝑛 → 𝑀, que mapea el espacio de las tasas de

rendimiento del elemento en el espacio de las tasas de rendimiento del sistema. Tener en cuenta

que la función de la estructura del SMS es una extensión de una función de estructura binaria. La

única diferencia está en la definición de los espacios de estado: la función de estructura binaria se



asigna {0, 1}𝑛 → {0,1},mientras que en los MSS uno se ocupa de espacios mucho más

complejos.

Ahora se puede definir un modelo genérico de sistema multi-estado. Este modelo debe incluir los

procesos estocásticos de rendimiento:

G𝑗(𝑡), 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (9)

para cada elemento j del sistema, y la función estructura del sistema que produce el proceso

estocástico corresponde con el output de rendimiento del sistema completo:

G(𝑡) = ∅(𝐺1(𝑡), … , 𝐺𝑛(𝑡)) (10)

4.3 Procesos estocásticos

La teoría de los procesos estocásticos se centra en el estudio y modelización de sistemas que

evolucionan a lo largo del tiempo, o del espacio, de acuerdo con unas leyes no determinísticas,

esto es, de carácter aleatorio [10].

La forma habitual de describir la evolución del sistema es mediante sucesiones o colecciones de

variables aleatorias. De esta manera, se puede estudiar cómo evoluciona una variable aleatoria a

lo largo del tiempo. Por ejemplo, el número de personas que espera ante una ventanilla de un

banco en un instante t de tiempo; el precio de las acciones de una empresa a lo largo de un año;

el número de parados en el sector de hostelería a lo largo de un año.

La primera idea básica es identificar un proceso estocástico con una sucesión de variable aleatoria

{𝑋𝑛, 𝑛 ∈ ℕ} donde el subíndice indica el instante de tiempo (o espacio) correspondiente. Esta

idea inicial se puede generalizar fácilmente, permitiendo que los instantes de tiempo en los que se

definen las variables aleatorias sean continuos. Así, se podrá hablar de una colección o familia de

variable aleatoria {𝑋𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ}, que da una idea más exacta de lo que es un proceso estocástico.



Se tenía que una variable aleatoria 𝑋(𝑠) es una función que va desde un espacio muestral S a la

recta real, de manera que a cada punto s ∈ S del espacio muestral se le puede asociar un número

de la recta real.

De este modo, la probabilidad de cada suceso de S se puede trasladar a la probabilidad de que

un valor de X (Variable aleatoria) caiga en un cierto intervalo o conjunto de números reales. Si a

todo esto se le añade una dimensión temporal, se obtiene un proceso estocástico.

Una propiedad de especial importancia que poseen los caminos aleatorios (procesos

estocásticos), es que sus valores en el n - ésimo paso solo dependen de los valores en el

(n−1)−ésimo paso, y no de los anteriores. Esta propiedad conocida como propiedad markoviana

es de gran importancia en el estudio de estos procesos, y en el estudio general de la teoría de

procesos estocásticos.

4.4 Cadenas de Markov

En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Markov o modelo de Markov a un tipo

especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento

depende solamente del evento inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria

recibe el nombre de propiedad de Markov.

En matemáticas se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la propiedad de

Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente

resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.

Una cadena de Márkov es una secuencia X1, X2, X3... de variables aleatorias. El dominio de estas

variables es llamado espacio estado; el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la

distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí

sola, entonces:



𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛+1|𝑋𝑛 = 𝑥𝑛 , 𝑋𝑛−1 = 𝑥𝑛−1, … , 𝑋2 = 𝑥2, 𝑋1 = 𝑥1) = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑥𝑛+1|𝑋𝑛 = 𝑥𝑛) (11)

Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de

Markov. Intuitivamente, se interpreta esta ecuación como que, dado el “presente “del proceso, el

“futuro” es independiente del “pasado”. Es decir, una cadena de Markov es una sucesión de

variable aleatoria que “ven el pasado a través del ´último suceso”.

La probabilidad de pasar del estado 𝑋𝑛−1 = 𝑖 al estado 𝑋𝑛 = 𝑗 viene dado por 𝛾𝑖,𝑗, donde n

representa el número de transiciones. Las probabilidades de pasar de un estado a otro se pueden

representar de forma conjunta mediante la matriz de transición P.

𝑷 = (

𝛾1,1 𝛾1,2 ⋯ 𝛾1,𝑘

𝛾2,1 𝛾2,2 ⋯ 𝛾2,𝑘

⋮ ⋮ ⋯ ⋮𝛾𝑘,1 𝛾𝑘,2 ⋯ 𝛾𝑘,𝑘

)

(12)

La probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado particular dada n transiciones viene

dada por el vector:

𝜋𝑛𝑇 = [𝜋1,𝑛 𝜋2,𝑛 ⋯ 𝜋𝑘,𝑛] (13)

Siendo 𝜋𝑘,𝑛 la probabilidad de que el parámetro se encuentre en el estado k en la transición n.

Las probabilidades de cada transición n se pueden encontrar de forma iterativa de la siguiente

forma:

𝜋𝑛𝑇 = 𝜋𝑛−1

𝑇 𝑷 (14)



Figura 6: Ejemplo cadenas de Markov

La evolución aleatoria de una cadena de Markov queda completamente determinada por su matriz

de transición P y su distribución de densidad inicial x0. Por lo tanto, el estudio de las cadenas de

Markov es reducible al estudio algebraico de las propiedades de las matrices de transición.



5 ANÁLISIS DE FIABILIDAD DE LA TRAYECTORIA 4D

En este apartado se describe todo el proceso del análisis de fiabilidad de la trayectoria 4D, desde

el análisis de los datos, pasando por los diferentes planteamientos realizados para finalmente

llegar a los dos modelos que se utilizarán para evaluar la fase crucero de la que se disponen datos.

Como se ha mencionado anteriormente la fiabilidad se define como:

“Probabilidad de que un bien funcione adecuadamente durante un período determinado bajo condiciones operativas específicas”

Si se aplica la definición al caso de estudio del proyecto Figura 7, las trayectorias 4D, se puede

identificar el bien como la trayectoria 4D en sí, el periodo como la fase crucero, aunque luego se

ampliaría a otras fases de vuelo de la aeronave, y, por último, las condiciones operativas

específicas como las incertidumbres del escenario planteado, la variación de la masa inicial, el

viento (velocidad), etc.

Figura 7: Enfoque de fiabilidad en trayectorias 4D

Bien • Trayectoria 4D

Periodo • Fase Crucero

Condiciones operativas

• Incertidumbres del escenario planteado



5.1 Análisis de los datos

Antes de plantear cualquier modelo conviene revisar el tipo de datos que proporciona la Simulación

de Monte Carlo realizada en anteriores fases del proyecto. Esto ayuda a elegir el tipo de modelo

de análisis le conviene más al sistema (Trayectorias 4D).

El modelo de Monte Carlo es un método no determinista que proporciona soluciones aproximadas

a una gran variedad de problemas matemáticos, ya sean estocásticos o deterministas. En este

caso se ha utilizado para resolver un problema determinista como es el de la trayectoria 4D de una

aeronave. Este modelo de trayectoria relaciona unas variables de entrada, desarrollando las

ecuaciones ofrecidas por BADA 4, con unas variables de salida. La explotación no determinista de

este modelo de trayectoria es la que proporciona los datos para el análisis de fiabilidad.

Aunque en el modelo inicial de trayectoria es determinista los resultados de Monte Carlo y por

tanto los datos utilizados en el modelo de fiabilidad, son no deterministas. Si se hace la

comprobación de la forma de los datos que se tienen inicialmente, se comprueba que se aproximan

a una distribución normal Figura 8. Con estos resultados, el planteamiento de los intervalos se

hará teniendo en cuenta una distribución normal.

Figura 8: Distribuciones iniciales de los parámetros



5.2 Planteamiento inicial del modelo

En la fase inicial del estudio de fiabilidad se plantea un vector estado con todos los componentes

de los que se tienen datos, obtenidos de la Simulación de Monte Carlo.

𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10}

𝑥1 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑥2 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

𝑥3 = 𝑀𝑎𝑠𝑎

𝑥4 = 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑥5 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑥6 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒

𝑥7 = 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒

𝑥8 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑥9 = 𝐴𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑

𝑥10 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

Se plantea en un momento inicial incluir todos los parámetros anteriores, que definirían así

completamente la trayectoria 4D. En el desarrollo del modelo se verá que, finalmente, se opta por

reducir el número de parámetros que se incluyen como elementos del sistema. Para la elección

de los mismo se utilizará el análisis de causalidad de entregables anteriores.



La herramienta que se utiliza para desarrollar el modelo de Markov fue el software de MATLAB.

MATLAB permite crear y determinar cadenas Markov. Además, MATLAB calcula los límites de

confianza para P utilizando una aproximación normal a la distribución de la estimación [11]:

�̂� + �̂�𝑞 (15)

donde q es el cuantil Pth de una distribución normal con media cero y desviación estándar 1. Los

límites calculados dan aproximadamente el nivel de confianza deseado cuando se estima μ, σ, a

OPTIMO

ACEPTABLE

ACEPTABLE

DEGRADADO

DEGRADADO

Figura 9: Intervalos de los estados asociados a una distribución normal



partir de muestras grandes, pero en muestras más pequeñas otros métodos de cálculo de los

límites de confianza pueden ser más precisos.

Figura 10: Esquema explicativo del cálculo de los intervalos en MATLAB

La función inversa normal se define en términos de la función de densidad acumulativa normal

(cdf) como:

𝑥 = 𝐹−1(𝑝|𝜇, 𝜎) = {𝑥: 𝐹(𝑥|𝜇, 𝜎) = 𝑝} (16)

Donde

𝑝 = 𝐹(𝑥|𝜇, 𝜎) =1

𝜎 √2𝜋 ∫ 𝑒

−(𝑡−𝜇)2

2𝜎2 𝑑𝑡𝑥

−∞

(17)

El resultado, x, es la solución de la ecuación integral (17), donde se introduce como entrada la

probabilidad deseada, p.

Se han utilizado trayectorias 4D simuladas para estimar μ y σ. μ se obtiene a partir del modelo

determinista de la trayectoria, obteniendo un valor de μ para cada instante de tiempo y para cada

parámetro de estudio. En cuanto al valor de σ, la desviación estándar se considera en el instante

inicial. Por lo tanto, el instante inicial se toma como punto de referencia para estudiar la

degradación de la trayectoria en el tiempo. Una vez calculados μ y σ, se definen los intervalos

correspondientes a cada uno de los estados en los que se ha dividido la trayectoria.



5.3 Modelo de 3 estados

El estudio previo, planteado en al apartado anterior, con todos los parámetros de influencia

utilizados en entregables anteriores, distaba mucho de conseguir un modelo óptimo para el análisis

de la trayectoria. Por ello, se planteó reducir el número de variables que afectan al vector estado.

Para plantear esta reducción de parámetros se utilizó el análisis de causalidad y sensibilidad

realizado en el Entregable 4 (2017).

Figura 11´: Análisis causal. Intensidad de las relaciones entre los parámetros de e influencia en la

trayectoria 4D

Con la red causal, Figura 11, realizada se determinó que los parámetros que se iban a utilizar

como elementos del modelo son: Masa, Empuje, Velocidad, Alcance y Temperatura. En el caso

de la temperatura, esta sustituye a la altitud al tener distribuciones de datos más estables y

teniendo en cuenta que se está trabajando con atmósfera estándar ISA.



El siguiente paso es establecer los ratios o tasas de rendimiento. En este modelo se utilizó la

siguiente distribución:

[

𝑂𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

𝐷𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜] ⟹ [

𝐺1

𝐺2

𝐺3

] = [100%50%0%

]

Figura 12: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 3 estados

Cada una de las tasas de rendimiento tiene un intervalo asociado a la distribución normal, tal y

como se explicó en el apartado anterior. En este caso de modelo de 3 estados la Tabla 1.

Tabla 1: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 3 estados en función de la distribución

normal

Estado Intervalo

Óptimo 68,3 %

Aceptable 27,3 %

Degradado 4,4 %

Una vez definidos los intervalos se calculan las matrices de transición del sistema. Para ello se

utiliza el código MATLAB mostrado en los Anexos del documento. A continuación, en la Tabla 2,

se muestran los resultados de las matrices de transición para los parámetros de estudio elegidos:



Óptimo Aceptable Degradado

Óptimo 0.9740 0.0260 0

Aceptable 0.0319 0.9447 0.0234

Degradado 0 0.0147 0.9853

(a)


Óptimo 0.9891 0.0099 0.0010

Aceptable 0.0376 0.9355 0.0269

Degradado 0.0023 0.0161 0.9816

(b)


Óptimo 0.9951 0.0049 0.0000

Aceptable 0.0021 0.9916 0.0062

Degradado 0.0000 0.0001 0.9999

(c)


Óptimo 0.9738 0.0262 0.0000

Aceptable 0.0324 0.9437 0.0239

Degradado 0.0000 0.0152 0.9848

(d)


Óptimo 0.9853 0.0147 0.0000

Aceptable 0.0144 0.9702 0.0154

Degradado 0.0000 0.0014 0.9986

(e)

Tabla 2. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición

del alcance; (d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa



Los resultados obtenidos son similares para los cinco parámetros. Estos resultados indican que la

degradación de los elementos del sistema se produce de forma progresiva, donde el estado más

probable es el actual.

Para la generación de la matriz global del sistema se han tenido en cuenta los cinco parámetros.

Como mostraba el análisis de causalidad y sensibilidad, hay parámetros que influyen más y otros

menos en la trayectoria. Por lo tanto, se definen dos bloques funcionales, uno fundamental y otro

no fundamental. Si los parámetros del bloque fundamental se encuentran degradados, la

trayectoria está degradada. En el caso contrario se aplicarán una serie de prioridades. Las

prioridades entre los distintos bloques están recogidas en los Anexos del documento. La

distribución, Tabla 3, de los elementos en los bloques es la siguiente:

Tabla 3: Bloques de parámetros definidos en el sistema

Bloque fundamental Bloque no fundamental

Velocidad Temperatura

Alcance Empuje

- Masa

Los resultados obtenidos para la matriz global del sistema, Tabla 4, para el caso del modelo de 3

estados son los siguientes:

Tabla 4: Matriz de transición global del sistema para el modelo de 3 estados


Óptimo 0.9283 0.0708 0.0009

Aceptable 0.0169 0.9518 0.0313

Degradado 0.0000 0.0071 0.9928



5.4 Modelo de 4 estados: estado de control

En este caso, basándose en los resultados obtenidos en el Modelo de 3 estados, se considera la

posibilidad de añadir un cuarto estado. Este cuarto estado está entre el estado ‘Aceptable’ y el

‘Degradado’. Se denomina estado ‘Control’ porque sería el momento en el que el operador debería

tomar acciones correctoras de la trayectoria si no quiere llegar a la degradación de la trayectoria

4D. Además, en la aplicación de los modelos con los diferentes indicadores, el indicador de

disponibilidad y el de fiabilidad quedan delimitados de una forma más concluyente. El estado de

control no tendría denominación ni de correcto ni de incorrecto, sería un estado neutro. La

distribución de las tasas de rendimiento para el modelo de 4 estados es la siguiente:

Tabla 5: Distribución de las tasas de rendimiento en el modelo de 4 estados

[

𝑂𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝐷𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜

] ⟹ [

𝐺1

𝐺2

𝐺3

𝐺4

] = [

100%50%25%0%

]

Los intervalos de las diferentes tasas de rendimientos asociados, Tabla 6, a una distribución

normal son los siguientes:

Tabla 6: Intervalos de las tasas de rendimiento del modelo de 4 estados en función de la distribución

normal

Estado Intervalo

Óptimo 60 %

Aceptable 26 %

Control 10 %

Degradado 4%



Los resultados de las matrices de transición de los diferentes parámetros para el modelo de 4

estados se recogen a continuación, Tabla 7:

Óptimo Aceptable Control Degradado

Óptimo 0.9685 0.0315 0.0000 0.0000

Aceptable 0.0487 0.9089 0.0424 0.0000

Control 0.0000 0.0559 0.8971 0.0470

Degradado 0.0000 0.0000 0.0147 0.9853

(a)


Óptimo 0.9876 0.0114 0.0000 0.0009

Aceptable 0.0531 0.9041 0.0408 0.0020

Control 0.0000 0.0665 0.8767 0.0567

Degradado 0.0021 0.0006 0.0157 0.9816

(b)


Óptimo 0.9945 0.0055 0.0000 0.0000

Aceptable 0.0035 0.9871 0.0094 0.0000

Control 0.0000 0.0034 0.9845 0.0120

Degradado 0.0000 0.0000 0.0001 0.9999

(c)


Óptimo 0.9682 0.0318 0.0000 0.0000

Aceptable 0.0499 0.9072 0.0430 0.0000

Control 0.0000 0.0563 0.8959 0.0478

Degradado 0.0000 0.0000 0.0152 0.9848

(d)




Óptimo 0.9821 0.0179 0.0000 0.0000

Aceptable 0.0238 0.9501 0.0261 0.0000

Control 0.0000 0.0255 0.9448 0.0297

Degradado 0.0000 0.0000 0.0014 0.9986

(e)

Tabla 7. (a) Matriz de transición de la velocidad; (b) Matriz de transición dl empuje; (c) Matriz de transición

del alcance; (d) Matriz de transición de la temperatura; (e) Matriz de transición de la masa

En el caso de la matriz de transición global y, como se explicó en el anterior apartado lo de los

bloques funcionales del sistema, se muestran a continuación en la Tabla 8:

Tabla 8. Matriz de transición global del sistema para el modelo de 4 estados


Óptimo 0.8169 0.1809 0.0022 0.0000

Aceptable 0.0047 0.9460 0.0460 0.0033

Control 0.0000 0.0376 0.9087 0.0537

Degradado 0.0000 0.0003 0.0088 0.9910

Finalmente, con los resultados de las diferentes matrices de transición globales obtenidas, tanto

para el modelo de 3 estados como para el modelo de 4 estados, se realizará la explotación de los

modelos. Esta parte se describe en el siguiente apartado.



6 EXPLOTACIÓN DEL MODELO

En este apartado se exponen las diferentes funcionalidades de los sistemas Multi-estado para

analizar la trayectoria 4D. Primero, se definen varios indicadores que permiten realizar la

evaluación del sistema. Por último, se muestran los diferentes resultados obtenidos con las

matrices de transición que se incluyen en el apartado anterior. Se muestra por un lado la aplicación

del modelo de 3 estados y por otro la de 4 estados.

6.1 Funcionalidades MSS y Cadenas de Markov

Se dice que una cadena Markov es irreducible si es posible llegar a cualquier estado desde

cualquier estado. Un estado i tiene el período k si algún retorno al estado i debe ocurrir en múltiplos

de pasos de tiempo k. Si 𝑘 = 1, entonces se dice que el estado es aperiódico. De lo contrario

(𝑘 < 1), se dice que el estado es periódico con el período k. Una cadena de Markov es aperiódica

si cada estado es aperiódico. Una cadena irreductible de Márkov sólo necesita un estado

aperiódico para implicar que todos los estados son aperiódicos [9].

La distribución estacionaria π (estado estacionario o a largo plazo, n→∞), no cambia con el

tiempo:

𝜋 = 𝜋𝑇

𝑇∞ = lim𝑛→∞

𝑇𝑛 (18)

Según el teorema de Perron-Frobenius, las cadenas ergódicas de Markov tienen distribuciones

limitantes únicas. Es decir, tienen distribuciones estacionarias únicas a las que convergen todas

las distribuciones iniciales.

Además, una cadena Markov se denomina cadena ergódica si es posible pasar de un estado a

otro (no necesariamente en un solo movimiento), por lo que es irreducible y aperiódica. Esta



condición es equivalente a que todos los nodos de la cadena sean ergódicos (recurrentes,

aperiódicos y positivos). Es el caso de la matriz de transición estudiada.

Se utilizan varios indicadores para describir el rendimiento del sistema: Rendimiento medio

instantáneo, Deficiencia media instantánea, Disponibilidad media instantánea, Fiabilidad media

instantánea.

Rendimiento medio instantáneo Et

Para obtener los indicadores que caracterizan la calidad de salida media del SMS, se puede utilizar

la expectativa de calidad de funcionamiento. El valor medio de la calidad de funcionamiento de la

salida instantánea del SMS en el tiempo t se determina de la manera siguiente:

𝐸𝑡 = ∑ 𝑔𝑘𝑝𝑘(𝑡)

𝑡

𝑘=1

(19)

Siendo N el número total de estados, 𝑔𝑘 es la tasa de rendimiento asociada con el estado k y 𝑝𝑘(t)

es la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el momento t. El rendimiento esperado

en estado estacionario también puede obtenerse sustituyendo en la fórmula los valores de

distribución estacionarios. De hecho, el valor del rendimiento medio en estado estacionario es la

asintótica del rendimiento instantáneo medio.

Deficiencia media instantánea Dt

La deficiencia o desviación instantánea media se define como un promedio ponderado entre la

probabilidad del sistema que se encuentra en cada estado y los niveles de servicio asociados a

estos estados. Una media ponderada del valor de una variable aleatoria en la que la función de

probabilidad proporciona ponderaciones puede entenderse como el valor esperado. En caso de

que la diferencia sea negativa, la media se pondera con un cero. Esto se debe a que en esos

casos el sistema está satisfaciendo la demanda esperada y el objetivo del índice es evaluar los

casos en los que el sistema no está satisfaciendo la demanda.



𝐷𝑡 = ∑ 𝑝𝑖(𝑡) max(𝑤 − 𝑔𝑖; 0)

𝑁

𝑖=1

(20)

Donde 𝑝𝑖(𝑡) es la probabilidad de que el sistema esté en el estado i en el momento t-ésimo, w

es la demanda esperada y 𝑔𝑖 es el nivel de rendimiento asociado al estado i.

Disponibilidad media instantánea At

Otro parámetro para evaluar el rendimiento del sistema es la disponibilidad instantánea. Se define

como la suma de las probabilidades de los estados aceptables:

𝐴𝑡 = ∑ 𝑝𝑖(𝑡)

𝐾

𝑖=1

(21)

Donde K es el número de estados aceptables y 𝑝𝑖(𝑡) es la probabilidad de que el sistema esté en

el estado i en el tiempo n.

Fiabilidad media instantánea R

La fiabilidad de un sistema (R) se define como la capacidad del sistema para permanecer en

estados aceptables durante el período de funcionamiento.

𝑅 = 1 − ∑ 𝑝𝑗(𝑡)

𝑖

𝑗=1

(22)

Donde i es el número de estados inaceptables.

Una vez definidos y desarrollados los diferentes indicadores de rendimiento que se utilizan en el

análisis de fiabilidad se aplican a los dos modelos. Los resultados de la aplicación se muestran a

continuación.



6.2 Aplicación del modelo de 3 estados a la fase crucero

A continuación, se exponen los resultados de los diferentes indicadores aplicados al modelo de 3

estados. La siguiente tabla recoge los valores de los indicadores en el estado estacionario del

modelo de fiabilidad de 3 estados. En este caso de análisis el estado estacionario se alcanza a los

310 segundos (aproximadamente 5 minutos). En este punto es necesario recordar que las

simulaciones empleadas para evaluar el progreso de la trayectoria no contemplan ninguna medida

correctora (ni a través del piloto ni mediante indicaciones de los servicios de navegación aérea).

Por lo tanto, se analiza un problema de “degradación libre”.

En las siguientes líneas de habla de estados correctos y estados incorrectos. El estado correcto

aglutina a su vez el estado óptimo y el estado aceptable, quedando para el incorrecto el estado

degradado.

Tabla 9: Resultados estacionarios modelo 3 estados

Indicador Valor

Et 13.09 %

Dt 39 %

At 0.23

R 0.23



Estos resultados del estado estacionario tienen asociadas unas gráficas que muestran su

evolución con el tiempo.

La Figura 13 muestra la evolución temporal (segundos) del rendimiento medio instantáneo.

Figura 13: Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 3 estados

Atendiendo a la Figura 13, el sistema inicialmente se encuentra funcionando con una tasa de

rendimiento del 100% que evoluciona hasta el estado estacionario del 13.09 % (degradación de la

trayectoria).

En la Figura 14 se muestra la evolución temporal (segundos) de la deficiencia media. Este

indicador muestra la evolución de la degradación de la trayectoria. Empezando por un estado

definido como óptimo que satisface la demanda esperada, evoluciona a un estado degradado e

inaceptable. Esto confirma el indicador de rendimiento.



Figura 14. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 3 estados

La figura 15 muestra la evolución temporal (segundos) de la disponibilidad media instantánea,

mientras que la Figura 16 representa la evolución de la fiabilidad media instantánea.

Figura 15. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 3 estados



Figura 16. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 3 estados

La Figura 15 y 16 muestran en el caso del modelo de 3 estados el mismo resultado siendo el

cálculo distinto. Esto es debido a que solo se definen estados aceptables o no aceptables, no se

considera un estado neutro. Las gráficas muestran la probabilidad de que el sistema se encuentre

en un estado correcto (óptimo o aceptable) o no se encuentren en un estado incorrecto, en este

caso coincidentes

6.3 Aplicación del modelo de 4 estados a la fase crucero

A continuación, se exponen los resultados de los diferentes indicadores aplicados al modelo de 3

estados. La Tabla 10 recoge los valores de los indicadores en el estado estacionario del modelo

de fiabilidad de 3 estados. En este caso de análisis el estado estacionario se alcanza a los 323

segundos (aproximadamente 5 minutos y medio). Recuérdese que el problema planteado

considera una “degradación libre” (no se han contemplado medidas correctoras en las

simulaciones del progreso de la trayectoria).



En este caso, los estados correctos e incorrectos tendían la misma correspondencia. El único

cambio que se añade es el estado neutro, que no pertenece a ninguno de los dos. Esto permitirá

obtener la gráfica y el valor de la disponibilidad.

Tabla 10. Resultados estacionarios modelo 4 estados

Indicador Valor

Et 8.33 %

Dt 41.80 %

At 0.11

R 0.23

Las gráficas de evolución asociadas a los diferentes indicadores de rendimiento se muestran a

continuación.



Figura 17. Evolución del rendimiento medio instantáneo en el modelo de 4 estados

En este caso la Figura 17, que muestra la evolución del rendimiento, se reduce desde el 100%

hasta un nivel del 8.33%. este valor es ligeramente inferior al del anterior modelo de 3 estados.

Figura 18. Evolución de la deficiencia media instantánea en el modelo de 4 estados



La figura 18, de evolución de deficiencia del sistema, sigue la tendencia de la Figura 17 con

respecto a la reducción de rendimiento. En este caso se aprecia también un aumento de la

deficiencia.

Figura 19. Evolución de la disponibilidad media instantánea en el modelo de 4 estados

En las Figuras 19 y 20 se encuentran las mayores diferencias comparando los dos modelos. En

este caso de modelo de 4 estados las dos gráficas son distintas al definir una tasa de rendimiento

como neutra. La Figura 19 correspondería a la probabilidad de que el sistema no estuviera en

estado incorrecto. La Figura 20 mostraría la evolución de la probabilidad de estar en un estado

correcto.



Figura 20. Evolución de la fiabilidad media instantánea en el modelo de 4 estados



7 CONCLUSIONES

Las trayectorias 4D y su concepto asociado de Operaciones Basadas en Trayectoria (TBO)

requieren alta precisión y fiabilidad en la predicción de trayectorias. En la primera etapa del estudio,

se definió un modelo de predicción de la trayectoria en 4D y se estudiaron las influencias de

diferentes parámetros en la estimación de los puntos de control. Este modelo y una técnica de

Monte Carlo permiten realizar 10.000 simulaciones y evaluar, a través de la información obtenida

de dichas simulaciones, la fiabilidad de las trayectorias. Se desarrolló un análisis de fiabilidad

utilizando la teoría de sistemas multi-estado y el modelo de cadenas de Markov. En primer lugar,

se definió la trayectoria como un sistema multi-estado, compuesto por los parámetros de influencia

que se identificaron en el modelo de trayectoria de 4D. En este modelo multi-estado no se

consideraron todos los parámetros de influencia, con la ayuda del análisis causal realizado en la

primera parte del estudio, se eligieron aquellos parámetros con mayor influencia en la trayectoria:

masa, velocidad, empuje, rango y temperatura. Además, el análisis causal permitió definir

diferentes bloques o elementos de estudio. Los índices de rendimiento que se definieron fueron:

óptimo, aceptable y degradado. Posteriormente, se utilizó el enfoque de la cadena de Markov para

definir la transición entre los diferentes estados (tiempos instantáneos) del sistema. Las matrices

de transición mostraron que la probabilidad de permanecer en el estado actual es de alrededor del

97% (una media teniendo en cuenta los diferentes elementos del sistema), pero con una clara

tendencia al estado degradado a medida que pasa el tiempo. Este resultado coincide con el

obtenido en las simulaciones: se produce una degradación en el tiempo a medida que aumenta la

distancia recorrida por la aeronave. Para el modelo global, con el fin de definir la matriz de

transición global, se introdujeron dos bloques funcionales de parámetros: fundamentales y no

fundamentales. El bloque fundamental es el más restrictivo, se degrada este el estado de

trayectoria se degrada. En el otro caso, los demás parámetros se tienen en cuenta para el cálculo

de la matriz de transición global. Se definió como el estado correcto el que impone el estado óptimo

y aceptable, siendo el estado degradado el incorrecto. A continuación, también se obtienen otros



resultados de la matriz de transición global. El análisis de fiabilidad mostró la evolución del sistema

en el tiempo. Con este análisis, se halló una enorme degradación hacia un estado incorrecto. En

primer lugar, en el modelo de 3 estados, la probabilidad de estar en un estado correcto es del

21,98% En segundo lugar, la relación media de rendimiento en la distribución estacionaria es del

43,35%, por debajo del estado aceptable. Finalmente, el tiempo para alcanzar este estado

estacionario es de 310 segundos (aproximadamente 5 minutos). En el modelo de 4 estados los

resultados obtenidos son similares. El objetivo del modelo de 4 estados es dar un valor añadido al

de 3 estados en lo que se refiere a la actualización de trayectoria. La inclusión de un estado neutro

permite separar la disponibilidad de la fiabilidad, teniendo así los dos indicadores. Los 5 minutos,

aproximadamente, que se obtienen como tiempo de actualización de trayectoria difieren de los 20-

30 minutos esperados (según el modelo predictivo inicial desarrollado y atendiendo a las primeras

estimaciones del concepto operacional de SESAR [12]). Esta divergencia se analizará en el

siguiente apartado del informe, donde se tratarán los trabajos futuros. En conclusión, de forma

generalizada para los dos modelos y enfoques, durante el vuelo la aeronave sufre perturbaciones

que causan una gran degradación de la trayectoria. Por lo tanto, es necesario tomar las medidas

adecuadas para alcanzar los objetivos acordados en el marco del concepto de TBO.

Este estudio se ha realizado siguiendo un problema de “degradación libre”. Es decir, no se han

considerado medidas correctoras intermedias (ni por parte del piloto ni por parte de los servicios

de navegación aérea). Esto implica que la trayectoria evoluciona “libremente” hacia el estado más

probable, que en este caso ha resultado ser un estado categorizado como “degradado”. Esto pone

de manifiesto la necesidad de implementar medidas correctoras a lo largo del progreso de la

trayectoria, con el objetivo de conseguir mantener los parámetros analizados (parámetros de

influencia) dentro de unos límites aceptables. Así mismo, la forma de definir el estado “aceptable”

para dichos parámetros y para la trayectoria global, marcará la necesidad de implementar las

medidas correctoras (y monitorizar el desarrollo de la trayectoria) de forma más o menos continua



y espaciada (pues varían los resultados referentes a la eficiencia y al tiempo entre lo que se

consideran “fallos”).

La principal contribución de este trabajo es el desarrollo de una herramienta para evaluar la

fiabilidad de las trayectorias 4D. Una fiabilidad asociada a la degradación de la trayectoria. Puede

ser útil para el operador de vuelo para predecir y gestionar sus trayectorias 4D, así como para el

proveedor de servicios de navegación aérea de cara a conocer posibles desviaciones frente a la

evolución esperada (escenarios ‘what-if’ de progresión respecto al estado inicial). Es decir, el

modelo permite evaluar, a través de diferentes parámetros de vuelo, la evolución de la degradación

de la trayectoria. Con esta información, el operador de vuelo y el proveedor de servicios de

navegación aérea pueden realizar actualizaciones de trayectoria en el momento adecuado, para

ayudar a la gestión de desviaciones y a la predictibilidad de la trayectoria 4D.



8 TRABAJOS FUTUROS

Los resultados iniciales indican que la teoría MSS proporciona un enfoque prometedor para la

evaluación de la fiabilidad de las trayectorias 4D. Aunque, por otro lado, los tiempos obtenidos en

cada uno de los modelos de estudio difieren de los tiempos de actualización esperados

(resultantes del modelo predictivo inicial y atendiendo a las primeras estimaciones del concepto

operacional de SESAR [12]), fijados en torno a los 20-30 min.

La base de los modelos de fiabilidad planteados se ha desarrollado de una forma analíticamente

correcta, desde la elección de los estados y la forma de evaluarlos cuantitativamente hasta el

desarrollo de los indicadores de rendimiento, disponibilidad y fiabilidad del sistema. La divergencia

respecto a los valores esperados se encuentra en el enfoque temporal, desde el punto de vista de

los ciclos de trabajo del sistema y, por ello, del modelo.

Una vez obtenidos los resultados de tiempo se revisó la bibliografía consultada inicialmente y se

constató que el número de ciclos utilizados en los modelos es muy elevado. El alto número de

ciclos, que no tiene importancia en la teoría de sistemas multi-estado, sí lo puede tener en el

enfoque que se le da a esta teoría a la hora de evaluar un sistema. En el caso de este proyecto,

donde se eligieron las cadenas de Markov por sus funcionalidades y facilidad de análisis, una de

las limitaciones teóricas puede ser el número de ciclos. Cuando tiende a infinito (un número

elevado de ciclos) puede no reflejar completamente el comportamiento real del sistema que se

quiere analizar o evaluar. Por lo tanto, las cadenas de Markov son idealmente efectivas para

evaluar número bajo de ciclos (40-50). Para un número mayor de ciclos, pueden introducir

divergencias en el resultado. Es decir, para evaluar un tramo/segmento de trayectoria (como es el

caso del problema analizado hasta el momento), el enfoque temporal adoptado es válido, pero

para evaluar trayectorias completas, se debe revisar el enfoque temporal.

Por lo tanto, como trabajos futuros se propone revisar el modelo de cadenas de Markov,

enfocándolo en minutos para así conseguir en torno a 40 ciclos de trabajo. Se debería estimar la

evolución del sistema en minutos para obtener de nuevo las matrices de transición asociadas a



cada uno de los elementos del sistema y finalmente la matriz de transición global. Además de

cambiar el enfoque temporal en los ciclos de trabajo, se propone consultar otras aproximaciones

en la evaluación de los sistemas multi-estado.

Por otro lado, cuando se resuelva la problemática temporal de los modelos, el siguiente paso será

mejorar y profundizar los diferentes elementos del sistema. Se pueden considerar otros enfoques

para la distribución de bloques de elementos o parámetros. Otro punto importante sería identificar

las acciones potenciales en los diferentes parámetros para mejorar la fiabilidad del sistema global.

Igualmente, dada la alta dependencia de los resultados a la fijación de los estados (categorización

en óptimo, aceptable y degradado), será necesario buscar una solución de compromiso entre los

“valores objetivo” (fijación de estados mediante valores basados en prestaciones deseadas) y

“valores estadísticos” (fijación de estados mediante resultados históricos). Esto marcará la

necesidad de implementar las medidas correctoras (y monitorizar el desarrollo de la trayectoria)

de forma más o menos continua y espaciada (pues varían los resultados referentes a la eficiencia

y al tiempo entre lo que se consideran “fallos”).

Por último, para acercarse más fielmente a la realidad, se requiere más investigación para

extender el modelo a etapas de trayectoria más complejas (como el vuelo en evolución) y así

obtener un estudio de fiabilidad para toda la trayectoria 4D.



9 BIBLIOGRAFÍA

Referencia

bibliográfica Descripción

[1] B. Natvig and A. Streller, “THE STEADY STATE BEHAVIOUR OF

MULTISTATE MONOTONE SYSTEMS.”

[2] A. Lisnianski, “Extended block diagram method for a multi-state system reliability

assessment,” Reliab. Eng. Syst. Saf., vol. 92, no. 12, pp. 1601–1607, 2007.

[3] A. Lisnianski and G. Levitin, Multi-State System Reliability: Assessment,

Optimization and Applications, 1st ed. Singapore: World Scientific, 2003.

[4] A. Lisnianski, I. Frenkel, and Y. Ding, Multi-state system reliability analysis

and optimization for engineers and industrial managers. 2010.

[5] B. Natvig, “MULTI-STATE RELIABILITY THEORY,” System, no. 1, pp. 1–

11, 2007.

[6] B. Natvig, Multistate Systems Reliability with Applications, Wiley Seri. John

Wiley & Sons, 2011

[7]

X. Wang and W. Liu, “Research on Air Traffic Control Automatic System

Software Reliability Based on Markov Chain,” Phys. Procedia, vol. 24, pp.

1601–1606, 2012

[8]

C. L. Wu and R. E. Caves, “Modelling and simulation of aircraft turnaround

operations at airports,” Transp. Plan. Technol., vol. 27, no. 1, pp. 25–46,

2004.



[9] A. Lisniansky and G. Levitin, Multi-state system reliability: assessment,

optimization and applications, World Science. Twarda, 2003.

[10] T. Aven and U. Jensen, Stochastic models in reliability. 1999.

[11] M. Evans, N. Hastings, and B. Peacock, Statistical Distributions, vol. 2, no.

4. 2000.

[12] SESAR (2014) SESAR Concept of Operations Step 2 Edition 2014 (Ed.

01.01.00). Brussels: SESAR Joint Undertaking.



ANEXO I: DISTRIBUCIÓN DE ESTADOS Y MATRICES DE TRANSICIÓN

MODELO DE 3 ESTADOS

BLOQUE FUNDAMENTAL

Estado de la Velocidad Estado del Alcance Estado Bloque Fundamental

ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO

ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE

ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE

ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE

DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO

DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO

ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO

ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO



BLOQUE NO FUNDAMENTAL

Estado de la

masa

Estado de la

temperatura

Estado del

empuje

Estado Bloque no

Fundamental ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO

ÓPTIMO ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO

ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO

ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO

ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE

ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE

ACEPTABLE ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE

ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE

ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO

ACEPTABLE DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO

DEGRADADO ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO

ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO

ÓPTIMO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO

DEGRADADO ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO

ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO

ÓPTIMO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO

ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO

ACEPTABLE DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO

DEGRADADO ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO

ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO

ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO




DEGRADADO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO

DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO

BLOQUE GLOBAL

Estado Fundamental Estado no Fundamental Estado Bloque Global


ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO



ÓPTIMO DEGRADADO ACEPTABLE







MODELO DE 4 ESTADOS

BLOQUE FUNDAMENTAL

Estado de la Velocidad Estado del Alcance Estado Bloque Fundamental


ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE



CONTROL ÓPTIMO CONTROL

CONTROL ACEPTABLE CONTROL

ÓPTIMO CONTROL CONTROL

ACEPTABLE CONTROL CONTROL

CONTROL CONTROL CONTROL



ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO


CONTROL DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO CONTROL DEGRADADO





Estado de la masa Estado de la

temperatura

Estado del empuje Estado Bloque no

Fundamental

ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO

ÓPTIMO ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO

ÓPTIMO ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO

ACEPTABLE ÓPTIMO ÓPTIMO ÓPTIMO

ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE

ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE

ACEPTABLE ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE

ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE ACEPTABLE

CONTROL ÓPTIMO ÓPTIMO ACEPTABLE

CONTROL ÓPTIMO ACEPTABLE ACEPTABLE

CONTROL ACEPTABLE ÓPTIMO ACEPTABLE

ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO

ACEPTABLE DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO

DEGRADADO ACEPTABLE ACEPTABLE DEGRADADO

ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO

ÓPTIMO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO

DEGRADADO ÓPTIMO ÓPTIMO DEGRADADO

ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO

ÓPTIMO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO

ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO ÓPTIMO ACEPTABLE DEGRADADO




ACEPTABLE DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO

DEGRADADO ACEPTABLE ÓPTIMO DEGRADADO

ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO DEGRADADO ACEPTABLE DEGRADADO

ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO DEGRADADO

DEGRADADO DEGRADADO ÓPTIMO DEGRADADO

DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO DEGRADADO



ANEXO II: CÓDIGO MATLAB

Main Modelo 3 estados

%% CARGA DE DATOS

load('alcancec.mat'), load('n_alcance.mat')

load('altitudc.mat'), load('n_altitud.mat')

load('consumofuelc.mat'), load('n_consumofuel.mat')

load('densidadc.mat'), load('n_densidad.mat')

load('empujec.mat'), load('n_empuje.mat')

load('masac.mat'), load('n_masa.mat')

load('presionc.mat'), load('n_presion.mat')

load('resistenciac.mat'), load('n_resistencia.mat')

load('sustentacionc.mat'), load('n_sustentacion.mat')

load('temperaturac.mat'), load('n_temperatura.mat')

load('velocidadc.mat'), load('n_velocidad.mat')

n=2400; %tiempo de las simulaciones

Nsim=2600; %numero de simulaciones

%% CALCULO DE SIGMA DE LAS DIFERENTES VARIABLES

sigmDc=std(Dc(:,1));

sigmFc=std(Fc(:,1));

sigmHc=std(Hc(:,1));

sigmLc=std(Lc(:,1));

sigmPc=std(Pc(:,1));

sigmRoc=std(Roc(:,1));

sigmTc=std(Tc(:,1));

sigmThc=std(Thc(:,1));

sigmVc=std(Vc(:,1));

sigmMc=std(Mc(:,1));

sigmxc=std(xc(:,1));

%% DEFINICION DE INTERVALOS

%Los intervalos correspondientes a cada uno de los estados se definen

% a partir de la distribucion normal en cada punto. La mu de cada instante

% corresponde al valor de cada variable en el modelo determinista. La sigma

% que será constante para todos los instantes de la simulacion, se toma la

% del instante inicial, estableciendo así un punto de comparacion

%Asignacion de probabilidades, sigma1 y sigma2 para definir intervalos

P1=.8415;

P2=.978;

XL=ones(4,n);



XM=ones(4,n);

XD=ones(4,n);

XF=ones(4,n);

XH=ones(4,n);

XP=ones(4,n);

XRo=ones(4,n);

XT=ones(4,n);

XTh=ones(4,n);

XV=ones(4,n);

Xx=ones(4,n);

for i=1:n

XL(1,i) = norminv(P1,muL(i),sigmLc);

XL(2,i) = 2*muL(i) - XL(1,i);

XL(3,i) = norminv(P2,muL(i),sigmLc);

XL(4,i) = 2*muL(i) - XL(3,i);

XM(1,i) = norminv(P1,muM(i),sigmMc);

XM(2,i) = 2*muM(i) - XM(1,i);

XM(3,i) = norminv(P2,muM(i),sigmMc);

XM(4,i) = 2*muM(i) - XM(3,i);

XD(1,i) = norminv(P1,muD(i),sigmDc);

XD(2,i) = 2*muD(i) - XD(1,i);

XD(3,i) = norminv(P2,muD(i),sigmDc);

XD(4,i) = 2*muD(i) - XD(3,i);

XF(1,i) = norminv(P1,muF(i),sigmFc);

XF(2,i) = 2*muF(i) - XF(1,i);

XF(3,i) = norminv(P2,muF(i),sigmFc);

XF(4,i) = 2*muF(i) - XF(3,i);

XH(1,i) = norminv(P1,muH(i),sigmHc);

XH(2,i) = 2*muH(i) - XH(1,i);

XH(3,i) = norminv(P2,muH(i),sigmHc);

XH(4,i) = 2*muH(i) - XH(3,i);

XP(1,i) = norminv(P1,muP(i),sigmPc);

XP(2,i) = 2*muP(i) - XP(1,i);

XP(3,i) = norminv(P2,muP(i),sigmPc);

XP(4,i) = 2*muP(i) - XP(3,i);

XRo(1,i) = norminv(P1,muRo(i),sigmRoc);

XRo(2,i) = 2*muRo(i) - XRo(1,i);

XRo(3,i) = norminv(P2,muRo(i),sigmRoc);

XRo(4,i) = 2*muRo(i) - XRo(3,i);

XT(1,i) = norminv(P1,muT(i),sigmTc);

XT(2,i) = 2*muT(i) - XT(1,i);

XT(3,i) = norminv(P2,muT(i),sigmTc);

XT(4,i) = 2*muT(i) - XT(3,i);

XTh(1,i) = norminv(P1,muTh(i),sigmThc);

XTh(2,i) = 2*muTh(i) - XTh(1,i);



XTh(3,i) = norminv(P2,muTh(i),sigmThc);

XTh(4,i) = 2*muTh(i) - XTh(3,i);

XV(1,i) = norminv(P1,muV(i),sigmVc);

XV(2,i) = 2*muV(i) - XV(1,i);

XV(3,i) = norminv(P2,muV(i),sigmVc);

XV(4,i) = 2*muV(i) - XV(3,i);

Xx(1,i) = norminv(P1,mux(i),sigmxc);

Xx(2,i) = 2*mux(i) - Xx(1,i);

Xx(3,i) = norminv(P2,mux(i),sigmxc);

Xx(4,i) = 2*mux(i) - Xx(3,i);

end

%% DEFINICION DE LOS ESTADOS

%Se aplica la funcion estados a cada uno de de los vectores

estL=estados3(Lc,XL,n,Nsim);

estD=estados3(Dc,XD,n,Nsim);

estF=estados3(Fc,XF,n,Nsim);

estH=estados3(Hc,XH,n,Nsim);

estP=estados3(Pc,XP,n,Nsim);

estRo=estados3(Roc,XRo,n,Nsim);

estT=estados3(Tc,XT,n,Nsim);

estTh=estados3(Thc,XTh,n,Nsim);

estX=estados3(xc,Xx,n,Nsim);

estV=estados3(Vc,XV,n,Nsim);

estM=estados3(Mc,XM,n,Nsim);

%% ANALISIS DE LAS MATRICES DE ESTADO

transL=cuenta(estL,n,Nsim);

transD=cuenta(estD,n,Nsim);

transF=cuenta(estF,n,Nsim);

transH=cuenta(estH,n,Nsim);

transP=cuenta(estP,n,Nsim);

transRo=cuenta(estRo,n,Nsim);

transT=cuenta(estT,n,Nsim);

transTh=cuenta(estTh,n,Nsim);

transX=cuenta(estX,n,Nsim);

transV=cuenta(estV,n,Nsim);

transM=cuenta(estM,n,Nsim);

%% ESTADO GLOBAL OPCION 2

estG1=estGlobal3(estV,estT,estTh,estX,estM);

transG1=cuenta(estG1,n,Nsim);

%%

Q=transG1-eye(size(transG1));

%%



%%%%%%%%REPRESENTACION CADENA DE MARKOV%%%%%%%%%%

mc = dtmc(transG1);

figure(1)

graphplot(mc,'ColorEdges',true,'ColorNodes',true)

%%

%%%%PROPIEDADES CADENA DE MARKOV%%%%

%Distribucion estacionaria y mix time

[xFix,tFix] = asymptotics(mc);

disp('Estado estable')

disp(xFix)

%Ergodicidad

tf = isergodic(mc);

if tf==true

disp('La cadena es ergodica')

end

figure(3)

eigplot(mc)

%%

%%%%SIMULACION DE ESTADOS%%%%

X=simulate(mc,20);

figure(4)

simplot(mc,X,'Type','graph','Framerate',0.5)

%%%%MEAN STEADY STATE PERFORMANCE AND DEFICIENCY%%%%

g=[100 50 0]; %Niveles de rendimiento (performance)

Et=sum(g.*xFix);

%Nivel de demanda (performance esperada)

w=50;

Dt=sum(xFix.*bsxfun(@max,w-g,0));

%ultimo estado considerado aceptable

k=2;

At=sum(xFix(1:k));

%%

%%%%MEAN INSTANTANEOUS PERFORMANCE%%%%

%generar distintos p

%Numero de transG1es que se van a realizar

N=2400;

%Estado en el que se encuentra el sistema inicialmente



p0=[1 0 0]; %Se empieza en el estado 1 "0 fallos"

p=zeros(N,length(transG1));

p(1,:)=p0;

for i=2:N

p(i,:)=p(i-1,:)*transG1;

end

%Establecer cuanto tarda en llegar al estado estacionario

err=0.0001; % error en la estimacion del estado estacionario

e=p-xFix;

comp=err*ones(1,length(transG1(:,1)));

C=bsxfun(@gt,comp,abs(e));

idx=find(all(C,2),1);

disp('Numero de operaciones que tarda el sistema en alcanzar la distribucion

estacionaria')

disp(idx)

error=abs(e(idx,:))./xFix;

disp('Error maximo en la estimacion en porcentaje')

disp(max(error)*100)

E=sum(p.*g,2);

figure(5)

plot(E)

title('Mean instantaneous performance')

xlabel('Time (s)')

disp('Valor del rendimiento medio para la distribucion estacionaria')

disp(Et)

%%%%MEAN INSTANTANEOUS PERFORMANCE DEFICIENCY

D=sum(p.*bsxfun(@max,w-g,0),2);

figure(6)

plot(D)

title('Mean instantaneous deficiency')

xlabel('Time (s)')

disp('Valor de la deficiencia media para la distribución estacionaria')

disp(Dt)

%%%%INSTANTANEOUS AVAILABILITY%%%%

%ultimo estado que se considera aceptable

k=2;

A=sum(p(:,1:k),2);

%%

figure(7)

plot(A)

title('Mean instantaneous availability')

xlabel('Time (s)')



disp('Valor de la disponibilidad media para la distribucion estacionaria')

disp(1-At)

%%

%Fiabilidad estado estacionario

R1fix = 1 - xFix(2);

%Funcion de fiabilidad

R1 = 1 - p(:,3);

figure(8)

plot(R1)

title('Mean instantaneous reliability')

xlabel('Time (s)')

ylabel('Reliability')

Función estados modelo 3 estados

function [est] = estados(A,B,C,D)

%Asigna un estado(1,2,3) comparando cada valor del vector con

%los intervalos previamente calculados

% A - Variable a analizar (L,V,D...)

% B - Vector de intervalos para comparar A

% C - Tiempo de trayectoria

% D - Número de simulaciones

est=zeros(D,C);

for i=1:C

for j=1:D

if (A(j,i)<B(1,i)) && (A(j,i)>B(2,i))

est(j,i)=1;

elseif (A(j,i)<B(3,i)) && (A(j,i)>B(4,i))

est(j,i)= 2;

else

est(j,i)=3;

end

end

end

end



Función cuenta modelo 3 estados

function [transicion]=cuenta(A,C,F)

cuenta = zeros(3,3);

%cuenta el numero de transiciones

for i=1:F-1

for j=1:C-1

cuenta(A(i,j),A(i,j+1))= cuenta(A(i,j),A(i,j+1)) + 1;

end

end

total=sum(cuenta,2); %Suma de las filas (Veces que he estado en el

estado de la fila)

transicion= bsxfun(@rdivide,cuenta,total);

Función estados modelo 4 estados

function [est] = estados(A,B,C,D)

%Asigna un estado(1,2,3) comparando cada valor del vector con

%los intervalos previamente calculados

% n=length(A(1,:));

% Nsim=length(A);

est=zeros(D,C);

for i=1:C

for j=1:D

if (A(j,i)<B(1,i)) && (A(j,i)>B(2,i))

est(j,i)=1;


est(j,i)= 2;


est(j,i)=3;

else

est(j,i)=4;

end

end

end

end



Función cuenta modelo 4 estados

function [transicion]=cuenta(A,C,F)

cuenta = zeros(4,4);

%cuenta el numero de transiciones

for i=1:F-1

for j=1:C-1

cuenta(A(i,j),A(i,j+1))= cuenta(A(i,j),A(i,j+1)) + 1;

end

end

total=sum(cuenta,2); %Suma de las filas (Veces que he estado en el estado de

la fila)

transicion= bsxfun(@rdivide,cuenta,total);

end

ANÁLISIS DE PARÁMETROS DE INFLUENCIADE TRAYECTORIAS 4D€¦ · vuelos de los aviones sobre los waypoints indicados a lo largo de la trayectoria. Las trayectorias 4D pueden entenderse

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