ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELLERİNİN DİNAMİK CEBİRLERİ Engin AŞLAR FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 2013 Her hakkı saklıdır
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
BİR VE İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELLERİNİN
DİNAMİK CEBİRLERİ
Engin AŞLAR
FİZİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2013
Her hakkı saklıdır
i
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
BİR VE İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELLERİNİN DİNAMİK
CEBİRLERİ
Engin AŞLAR
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Şengül KURU
Bu çalışmada ilk olarak, ( ) ve ( ) Lie cebirlerinin genel ve üniter indirgenemez
temsilleri tanıtılmıştır. Daha sonra, süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kısaca
gözden geçirilmiştir. Bir ve iki parametreli trigonometrik Pöschl-Teller potansiyelleri
analitik ve cebirsel olarak çözülmüştür. Bu problemler için potansiyel ve spektrum
üreten cebirler çarpanlara ayırma yöntemi kullanılarak elde edilmiş ve bu sistemlerin
dinamik cebirleri kurulmuştur. Son olarak, bu potansiyellere karşı gelen klasik sistemler
için benzer yolla klasik spektrum üreten cebirler kurulmuştur ve bu sistemler için
hareket klasik mekanik çerçevesinde de cebirsel olarak çözülmüştür.
Haziran 2013, 70 sayfa
Anahtar Kelimeler: Üniter temsil, spektrum üreten cebir, potansiyel cebri, dinamik
cebir, çarpanlara ayırma yöntemi, süpersimetrik kuantum mekaniği, Pöschl-Teller
potansiyeli
ii
ABSTRACT
Master Thesis
DYNAMICAL ALGEBRAS OF ONE AND TWO PARAMETRIC PÖSCHL-TELLER
POTENTIALS
Engin AŞLAR
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Physics
Supervisor: Doç. Dr. Şengül KURU
In this study, first general and unitary representations of ( ) and ( ) Lie
algebras are introduced. Then, the supersymmetric quantum mechanical methods are
reviewed briefly. One and two parameter trigonometric Pöschl-Teller potentials are
solved analytically and algebraically. The potential and spectrum generating algebras
are found by using factorization method and the dynamical algebras for these systems
are constructed. Finally, the classical spectrum generating algebras are also set up, in
a similar way, for the classical systems corresponding to these potentials and the motion
for these systems are also solved algebraically in the frame of classical mechanics.
June 2013, 70 pages
Key Words: Unitary representation, spectrum generating algebra, potential algebra,
dynamical algebra, factorization method, supersymmetric quantum mechanical
methods, Pöschl-Teller potential
iii
TEŞEKKÜR
Bu tez çalışmamın her aşamasında bilgi ve deneyimlerinden yararlandığım değerli
hocam Doç. Dr. Şengül KURU’ya (Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı)
arkadaşlarım Ebru ŞİMŞEK ve Cafer BAYAR’a yapmış oldukları katkılardan dolayı
çok teşekkür ederim.
Engin AŞLAR
Ankara, Haziran 2013
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET ................................................................................................................................. i
ABSTRACT ..................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR ................................................................................................................... iii
SİMGELER DİZİNİ ...................................................................................................... vi
ŞEKİLLER DİZİNİ ...................................................................................................... vii
ÇİZELGELER DİZİNİ ............................................................................................... viii
1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1
2. ( ) VE ( ) LİE CEBİRLERİ ...................................................................... 3
2.1 ( ) ve ( ) Lie Cebirlerinin Temsil Teorisi ................................................ 3
2.1.1 İndirgenemez temsiller .......................................................................................... 5
2.1.1 Üniter indirgenemez temsiller ............................................................................... 6
3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ ......................... 10
3.1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi ................................................................................ 10
3.2 Şekil Değişmez Potansiyeller ................................................................................. 14
3.3 Darboux Dönüşümü ............................................................................................... 14
3.4 Bağlaştırım Yöntemi .............................................................................................. 15
4. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK
ÇÖZÜMÜ ................................................................................................................. 17
5. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL
ÇÖZÜMÜ ................................................................................................................. 22
5.1 Faktör İşlemcileri .................................................................................................. 22
5.2 Merdiven İşlemcileri ............................................................................................. 26
5.3 Sistemin Dinamik Cebri ........................................................................................ 32
6. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK
ÇÖZÜMÜ ................................................................................................................. 39
7. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL
ÇÖZÜMÜ ................................................................................................................. 42
7.1 Faktör İşlemcileri ........................................................................................... 42
7.2 Faktör İşlemcileri ............................................................................................ 45
7.3 Merdiven İşlemcileri ....................................................................................... 48
v
7.4 Merdiven İşlemcileri ...................................................................................... 50
7.5 Merdiven İşlemcileri ...................................................................................... 52
7.6 Merdiven İşlemcileri ...................................................................................... 54
7.7 Sistemin Dinamik Cebri ....................................................................................... 56
8. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK
YAKLAŞIM ............................................................................................................. 60
9. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK
YAKLAŞIM ............................................................................................................. 63
10. TARTIŞMA VE SONUÇ ....................................................................................... 66
KAYNAKLAR ............................................................................................................. 68
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................. 70
vi
SİMGELER DİZİNİ
( ) Hipergeometrik fonksiyon
( )( ) Gegenbauer polinomu
( )
( ) Birleştirilmiş Legendre polinomu
( )
Jacobi polinomu
( ) Süperpotansiyel
Hamiltoniyen işlemcisi
Hamiltoniyen fonksiyonu
Zamana bağlı hareket sabitleri
vii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 - düzleminde ( ) ve ( ) Lie cebirlerinin üniter indirgenemez
temsilleri .......................................................................................................... 7
Şekil 3.1 olmak üzere hemen hemen eş spektrumlu üç Hamiltoniyenin enerji
düzeyleri ........................................................................................................ 14
Şekil 4.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyelinin 2, 5 ve değerleri için
grafiği .. .......................................................................................................... 17
Şekil 5.1 işlemcilerinin Hamilton hiyerarşisi üzerindeki etkileri ............................ 23
Şekil 5.2 işlemcilerinin hiyerarşisi üzerindeki etkileri ...................................... 28
Şekil 5.3 , , , işlemcilerinin özfonksiyonu üzerindeki etkileri ......... 38
Şekil 7.1 - - düzleminde merdiven işlemcilerinin etkileri .................................... 57
Şekil 7.2 Hamiltoniyenlerin hiyerarşisi ve işlemcilerin etkileri.................................... 59
Şekil 8.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri .......... 62
Şekil 9.1 İki parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri ........... 65
viii
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 2.1 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere ( ) ve ( ) Lie
cebirlerinin indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması ........................ 6
Çizelge 2.2 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere ( ) Lie cebrinin üniter
indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması . ........................................... 9
1
1. GİRİŞ
Kuantum mekaniğinde tam olarak çözülebilen fiziksel problemler en bilindik olan
hidrojen atomu ve harmonik salınıcı dışında birkaç tanedir. Matematiksel kolaylığından
dolayı harmonik salınıcı modeli iki atomlu moleküllerin etkileşme kuvvetini tarif etmek
için yaygın bir şekilde kullanılır. Ancak bilindiği gibi gerçek molekül titreşimleri
harmonik değildir. Pöschl-Teller ve Morse potansiyelleri harmonik olmayan
potansiyellerdir. Bu iki potansiyel de cebirsel olarak çözülebilirlerdir. Bu
potansiyellerin uydukları cebirler ( ) ve ( ) cebirleri ile ilişkilidir. Pöschl-Teller
potansiyeli moleküllerin eğilme mod titreşimlerini tarif ederken; Morse potansiyeli
moleküllerin gerilme mod titreşimlerini tarif etmektedir (Lemus ve Bernal 2002).
Bir fiziksel sistemle ilgili korunan nicelikler ile sistemin simetrileri arasındaki ilişki
Emmy Noether tarafından ortaya atılmıştır. Bir sisteme ait korunan niceliklerin
oluşturduğu cebir simetri cebri olarak adlandırılır. Eğer sistemin simetri cebri
biliniyorsa sistem tam olarak çözülmüştür denir. Sistemin tüm özfonksiyon ve
özdeğerlerini bulmaya izin veren cebirler spektrum üreten cebirler olarak adlandırılır.
Ayrıca bir potansiyel hiyerarşisi içindeki tüm potansiyellerin spektrumunu belirleyen
cebir ise potansiyel cebri olarak adlandırılır. Sistemle ilgili tüm bilgileri yani spektrumu,
varsa dejenerelikleri, saçılma durumlarını içeren cebirler ise sistemin dinamik cebri
olarak adlandırılır.
Bozonları fermiyonlara, fermiyonları bozonlara dönüştüren bir simetri olan süpersimetri
1971 yılında Gol’fand ve Likhtman tarafından keşfedilmiştir ve fiziğin birçok alanında
uygulaması vardır. 1981 yılında Witten, yaptığı çalışmalar sonucu süpersimetrik
kuantum mekaniğini bir model olarak ileri sürmüştür (Junker 1996). Daha sonra
süpersimetrik kuantum mekaniği kuramsal fiziğin pek çok alanında uygulanmaya
başlamıştır. Örneğin, nükleer fizikte saçılma problemlerinde ve yoğun madde
fiziğinde…
Süpersimetrik kuantum mekaniğinde süperyük işlemcileri bir matris Hamiltoniyenin
aynı enerjili dik iki özfonksiyonu arasında dönüşüm üretir (Junker 1996, Sukumar 1996
2
ve Cooper vd. 2001). Süperyük işlemcileri, Hamiltoniyenle birlikte dereceli bir Lie
cebri oluştururlar ve bu cebir süpercebir olarak adlandırılır. Süpersimetrik kuantum
mekaniği yöntemleri, Darboux dönüşümü, bağlaştırım (intertwining) yöntemi, şekil
değişmez potansiyeller ve çarpanlara ayırma yöntemi olarak sıralanabilir. Bu
yöntemlerin amacı, genel olarak çözümü bilinen bir Hamiltoniyenden başlayarak yeni
çözülebilen Hamiltoniyenler oluşturmaktır (Junker 1996, Cooper vd. 2001). Özel
olarak, bu çalışmada kullanılacak olan çarpanlara ayırma yöntemi, hemen hemen eş
spektrumlu tam olarak çözülebilen Hamiltoniyenlerin özdeğerlerini ve
özfonksiyonlarını bulmada kullanılır (Junker 1996, Cooper vd. 2001, Dong 2010). Bu
yöntem ilk olarak Schrödinger tarafından Hidrojen atomunu cebirsel olarak çözmek için
ortaya atılmış ve daha sonra Infeld ve Hull tarafından çözülebilir potansiyelleri elde
etmek için kullanılmıştır.
Bu çalışmada, ilk olarak ( ) ve ( ) Lie cebirlerinin cebirsel yapıları ve üniter
indirgenemez temsilleri ele alınmıştır. Üçüncü bölümünde süpersimetrik kuantum
mekaniği yöntemleri kısaca gözden geçirilmiştir. Daha sonra, bir parametreli Pöschl-
Teller potansiyeli analitik olarak çözülmüştür (Flügge 1994). Beşinci bölümde bu
problem cebirsel olarak incelenmiştir. Spektrum üreten cebir ve potansiyel cebri
süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemlerinden çarpanlara ayırma yöntemi
kullanılarak bulunmuştur. Daha sonra bu cebirler birleştirilerek sistemin dinamik cebri
kurulmuştur (Kuru ve Negro 2009). Benzer süreç iki parametreli Pöschl-Teller
potansiyeli için de yapılmış ve sistemin dinamik cebri kurulmuştur (Calzada vd. 2012).
Ayrıca, daha sonra bu kuantum mekaniksel inceleme bir ve iki parametreli Pöschl-
Teller potansiyellerine karşı gelen klasik sistemlere uygulanarak klasik spektrum
üreten cebirler kurulmuş ve böylece bu sistemler klasik mekanik çerçevesinde de
cebirsel olarak çözülmüştür (Kuru ve Negro 2008).
3
2. ( ) VE ( ) LİE CEBİRLERİ
( ) ve ( ) Lie cebirlerininin üreticileri { } için sıradeğişim
bağıntıları
[ ] , [ ] , [ ] , (2.1)
olarak verilir. Burada ( ) ve ( ) cebrine karşılık gelir. Cebrin
tüm işlemcileri ile sıra değiştiren işlemci, Casimir işlemcisi olarak adlandırılır ve bu
cebirler için
(
)
,
şeklindedir. Bu cebirlerin temsillerini kurmak için arttırıcı ve azaltıcı işlemciler
kullanmak daha uygundur. Denklem (2.1)’deki sıradeğişim bağıntıları
ve cinsinden
[ ] , [ ] ,
olarak bulunurken, Casimir işlemcisi ise
,
şeklinde yazılır (Barut vd. 1988, Dong 2010).
2.1 ( ) ve ( ) Lie Cebirlerinin Temsil Teorisi
( ) ve ( ) Lie cebirleri benzer yapıya sahip olduklarından genel temsil teorileri
de yakından ilişkilidir. Ancak üniter indirgenemez temsilleri farklıdır. ( ) Lie
cebrinin temsilini kurmak için { ikilisinden herhangi biri seçilir ve
her durumda aynı temsil elde edilir. Ancak ( ) için her bir seçim farklı temsiller
4
verir. Bağlı durumlar için genellikle { ikilisi seçilir. Bu iki işlemcinin sıradeğişim
bağıntıları sıfır vereceğinden her iki işlemci aynı zamanda köşegenleştirilebilir. Yani
ortak özfonksiyonlara sahiptir. Böylece temsil uzayı olarak seçilebilir. ve
’ün bu durumları üzerindeki etkisi
( ) ,
,
şeklindedir. Burada bilinen açısal momentum ve de manyetik kuantum sayısı olarak
yorumlanabilir. ’nin temsil uzayına etkisi [ ] sıradeğişim
bağıntısı kullanılarak
| ( ) | ,
olarak bulunur. Buna göre durumu ’ün özdeğerlerinin bir birim artırmış ve
azaltmış durumuna karşı gelir:
| | ,
| | .
Buradaki ve katsayılarını bulabilmek için;
( ) ( )
eşitliği kullanırsa
( )( )
olarak bulunur. Burada ve aşağıdaki gibi seçilebilir:
( ) .
5
Diğer seçimler de mümkündür, fakat tüm seçimler bu seçime özdeştir. Ayrıca
değişimi altında değişmez kalır. Sonuç olarak ’nin temsil uzayı
üzerine etkisi
( ) ,
( ) ,
olarak bulunur (Barut vd.1988, Dong 2010).
2.1.1 İndirgenemez temsiller
( ) ve ( ) Lie cebirlerinin indirgenemez temsilleri yakından ilişkiliyken üniter
indirgenemez temsilleri birbirlerinden oldukça farklıdırlar. ( ) Lie cebrinin üniter
indirgenemez temsilleri sonlu boyutlu iken, ( )’in aşikar olmayan üniter
indirgenemez temsilleri sonsuz boyutludur. Bu temsiller bağlı durumlar için
düşünülmüştür. Bu cebirler için indirgenemez temsiller dörde ayrılır.
a) Sınırsız Spektrum
olmak üzere indirgenemez sonsuz boyutlu özdeğer spektrumu elde edilir.
olmasını gerektirir. olmak üzere
parametresi süreklidir ve
aralığında, ise negatif olmayan bir tamsayı
olmak üzere her değeri için farklı bir özdeğer spektrumu verir. Buradaki sonsuz
boyutlu indirgenemez temsiller ve ile etiketlenerek, ( ) ile gösterilir.
b) Alttan Sınırlı Spektrum
Bazı ’ler için , fakat her değeri için ise ’ün özdeğer
spektrumu alttan sınırlıdır ve yine sonsuz boyutlu indirgenemez temsiller elde edilir. Bu
durumda, ’ün spektrumu ile verilir ve indirgenemez
temsiller ( ) ile gösterilir.
6
c) Üstten Sınırlı Spektrum
Üstten sınırlı spektrum, yukarıdaki durumla aynıdır. Ancak, burada ve
her için ’dır. Böylece ’ün spektrumu üstten sınırlıdır:
ile verilir. İndirgenemez temsiller ( ) ile gösterilir.
d) Sınırlı Spektrum
Alttan ve üstten sınırlı spektrumların birleştirilmesiyle sonlu boyutlu (sınırlı) bir
spektrum elde edilir. Bu durumda, ’ün spektrumu
ile verilir ve bu indirgenemez temsiller ise ( ) ile gösterilir (Barut vd.1988,
Dong 2010).
Özet olarak ( ) ve ( ) Lie cebirlerinin indirgenemez temsilleri çizelge 2.1’deki
gibidir.
Çizelge 2.1 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere ( ) ve ( ) Lie
cebirlerinin indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması
( ) ,
)
( )
( )
( )
2.1.2 Üniter indirgenemez temsiller
Lie gruplarının üniter indirgenemez temsilleri fizikte pek çok uygulamaya sahiptir. Bu
yüzden üniter indirgenemez temsilleri incelemek yararlıdır. Bu durumda Casimir
işlemcisi ve işlemcileri Hermitsel olmalıdırlar. Bu durum genel indirgenemez
temsiller üzerine aşağıdaki kısıtlamaları getirir:
7
i. ve özdeğerleri gerçel olmalıdır.
ii. ve pozitif tanımlı Hermitsel işlemciler olmalıdır.
Birinci koşula göre ve ( ) gerçel olmadır. Bu nedenle ya gerçel ya da
( ), şeklinde sanal bir sayıdır. İkinci koşul ise
⟨ | | ⟩ ,
⟨ | | ⟩ ,
eşitsizliklerini verir. Bu iki eşitsizlik ise aşağıdaki eşitsizliği gerektir:
( )( ) . (2.2)
Bu eşitsizlik tüm üniter temsiller için geçerli olmalıdır. Burada ( )’e ve
( )’e karşı gelir. ve doğruları ( ) düzleminde
çizilirse her iki cebrin üniter indirgenemez temsilleri şekil 2.1’deki gibi gösterilebilir.
Şekil 2.1 - düzleminde ( ) ve ( ) Lie cebirlerinin üniter indirgenemez
temsilleri
so(3)
𝑗
𝑗 𝑚
𝑚
so(3)
so(2,1) so(2,1) so(2,1)
𝐶
𝐴
𝐸 𝐹
𝑗 𝑚
𝑗 𝑚
𝐻
𝐺 𝐵
𝐷
𝑗 𝑚
8
( )’ün üniter indirgenemez temsilleri için denk.(2.2) ile verilen eşitsizlikte
durumu mümkün değildir. Bu nedenle, gerçel olmalıdır ve sadece ’nin sonlu
değerleri için eşitsizlik (2.2) sağlanır. ’ün spektrumu daha başka kısıtlamalar olmadan
( ) ile verilir. Bu spektrum şekil 2.1’de gösterilmektedir. Burada eksenin altındaki
ve üstündeki ( ) bölgesi özdeştir.
( )’in üniter indirgenemez temsilleri oldukça farklıdır. özdeğer spektrumu
olmadıkça denk.(2.2) sağlanamaz. durumu aşikar duruma karşı gelir. ( ) için
sadece aşikar durumda üniter temsil sonlu bulunur. Diğer durumlarda ’ün özdeğer
spektrumu sonsuzdur. Sonuç olarak ( )’in aşikar olmayan sonlu boyutlu temsilleri
yoktur. ( ) indirgenemez temsilleri ancak için sağlanır. ( )’in üniter
indirgenemez temsilleri için ( ) temsilinden ortaya çıkan ’ün spektrumu iki
tanedir. Bunlar ek seriler olarak adlandırılan ( ) ve asal (prensipal) seri olarak
adlandırılan ( )’dir. Ek seri temsilleri ve
olduğunda
sağlanır. Bu durum şekil 2.1’deki AFCE dörtgeninin sınırladığı bölgeye karşı gelir. Bu
bölgenin sınırları olduğu için sınırlar içerilmez. Son olarak asal seri
ve
olduğunda sağlanır. Böylece ’ün özdeğer spektrumu
şekil 2.1’de gösterildiği gibi GEH ve BFD bölgeleri ile sola ve sağa doğru uzanır.
ya da durumlarının ( ) üniter indirgenemez temsilleri
çizgisi bölgeyi
ikiye bölen bir simetri çizgisidir. Her üniter indirgenemez temsil için bu çizginin zıt
tarafındaki aynı ’ün özdeğer spektrumuna sahip bir özdeşi vardır.
Özet olarak, ( ) Lie cebrinin üniter indirgenemez temsilleri çizelge 2.2’deki
gibidir.
9
Çizelge 2.2 negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere ( ) Lie cebrinin üniter
indirgenemez temsillerinin sınıflandırılması
( ) Lie cebri ( ) Lie cebrine lokal olarak izomorf olduğu için ( ) Lie cebri için
geçerli olan temsil teorisi ( ) içinde geçerlidir. Benzer şekilde ( ) Lie cebri de
( ) Lie cebrine lokal izomorf olduğu için aynı temsil teorisi onlar içinde geçerlidir
(Barut vd. 1988, Dong 2010).
( )
( )
( )
, (
)
( )
, (
)
10
3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ YÖNTEMLERİ
Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri genel olarak çözülebilen bir sistemden
başlayarak, yeni çözülebilen sistemler hiyerarşisi kurmada kullanılırlar. Bu yöntemler,
çarpanlara ayırma, Darboux dönüşümü, şekil değişmez potansiyeller ve bağlaştırım
yöntemi olarak bilinir. Bu yöntemler bir boyutta birbirine özdeştirler. Ancak yüksek
boyutlarda farklılık gösterirler.
3.1 Çarpanlara Ayırma Yöntemi
Çarpanlara ayırma yöntemi temel olarak sınır koşulları verilmiş olan ikinci mertebeden
bir diferansiyel denklemi birinci mertebeden bir çift diferansiyel denklemin çarpımı
olarak yazılmasına dayanır. Fizikte çarpanlara ayırma yöntemi verilen kuantum
mekaniksel bir sistemin özdeğer problemlerini çözmek için kullanılır. Çarpanlara
ayırma yöntemi, verilen bir Hamiltoniyen için normalize özfonksiyonlar ve özdeğerlerin
ikinci mertebeden diferansiyel denklemler çözülmeden bulunmasına olanak sağlar. Bu
yöntemin, diğer bir özelliği de sistemin altında yatan cebirleri vermesidir. Aynı
zamanda çarpanlara ayırma yöntemi sayesinde eğer tam olarak çözülebilen bir
Hamiltoniyen varsa ya da hiyerarşideki tüm Hamiltoniyenlerin taban durum öz
fonksiyonu biliniyorsa yeni çözülebilen Hamiltoniyenler hiyerarşisi kurulabilir (Dong
2010).
Örneğin tek parçacık için Hamilton işlemcisi,
( )
şeklindedir. Burada, Planck sabiti, parçacığın kütlesi ve ( )’de potansiyel enerji
fonksiyonudur. ’in taban durum enerjisi ise, taban durum öz fonksiyonu
için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir:
( )
11
Buradan potansiyel, taban durum özfonksiyonu cinsinden
( )
şeklinde bulunur. Hamiltoniyeni, türeve göre birinci mertebeden birbirinin
Hermitsel eşleniği olan iki işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir:
.
Burada
√
( )
√
( )
şeklindedir. ( ) süperpotansiyel olarak adlandırılır ve diferansiyel işlemcileri
’de yerine yazılarak, ( ) potansiyeli süperpotansiyel cinsinden aşağıdaki gibi
bulunur:
( ) ( )
√ ( ) .
Bu denklem ( ) için bir Riccati denklemidir. Taban durum enerjisi olduğu
için
’dır. Bu da
olmasını gerektirir.
’dan
yararlanarak süperpotansiyel taban durum özfonksiyonu cinsinden
( )
şeklinde bulunur. ve
işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı ile elde edilen yeni
Hamilton işlemcisi aşağıdaki gibi tanımlanır:
.
12
Böylece
( ) ( )
√ ( )
olmak üzere
( )
şeklinde ifade edilir. Burada, ( ) ve ( ) potansiyelleri süpersimetrik eş
potansiyeller ya da kısaca süpereş potansiyeller olarak adlandırılır. ve ’nin her
ikisinin de enerji özdeğerleri pozitif yarı tanımlıdır ( ) ve bu Hamiltoniyenlerin
özdeğer ve özfonksiyonları birbirleriyle ilişkilidir. için Schrödinger denklemi,
,
şeklindedir. Bu denkleme soldan etki ederse,
(
) (
) ,
eşitliği elde edilir. Benzer olarak, için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir:
.
Bu denklem de soldan ile soldan çarpılırsa
(
) (
) ,
bulunur. Yukarıdaki özdeğer denklemleri aracılığı ile için ve ’nin
özdeğerleri ve özfonksiyonları arasındaki ilişki,
13
,
(
)
,
(
)
,
olarak elde edilir. Daha genel olarak çarpanlarına ayrılabilen bir Hamiltoniyen
,
şeklinde yazılabilir. Kolaylık için alınırsa faktör işlemcileri aşağıdaki gibi
tanımlanır:
( )
( )
Bu durumda, süperpotansiyel ise
( )
ile verilir. Tüm Hamiltoniyen hiyerarşisi için, enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları
(
)
(
)
bağıntılarından bulunur. Potansiyel enerji fonksiyonu hiyerarşideki Hamiltoniyenlerin
taban durumları cinsinden
( ) ( )
(
)
olarak ifade edilir (Cooper vd. 2001, Kuru 2004). Şekil 3.1’de üç tane süpersimetrik
potansiyelin enerji düzeyleri arasındaki ilişki gösterilmektedir.
14
Şekil 3.1 olmak üzere hemen hemen eş spektrumlu üç Hamiltoniyenin enerji
düzeyleri
3.2 Şekil Değişmez Potansiyeller
Şekil olarak aynı, ancak parametreleri farklı olan süpereş potansiyellere şekil değişmez
potansiyeller denir ve bu potansiyeller matematiksel olarak aşağıdaki gibi tanımlanır:
( ) ( ) ( ) .
Burada parametreler kümesi, de ’in bir fonksiyonudur ( ( )) ve ( )
x’den bağımsızdır. Bu durumda ( ) ve ( ) potansiyellerine şekil değişmez
potansiyeller denir (Cooper vd. 2001).
3.3 Darboux Dönüşümü
Darboux dönüşümü çözümü bilinen bir problemden başlayarak tam olarak çözülebilen
problemlerin hiyerarşisini kurmak ve çizgisel olmayan denklemlerin çözümlerini elde
etmek için kullanılır. Bir parçacık için Sturm-Liouville denklemi
�� ��
𝐴 𝐴
�� �� ��
𝐸
𝐸
𝐸 𝐸
𝐸 𝐸
�� ��
��
�� ��
�� ��
��
��
��
��
15
şeklindedir. Bu denklemin özdeğerine karşı gelen çözümü olsun. Burada ve
bundan sonra alt indisler fonksiyonun argümanına göre türevini gösterecektir. Yani
ve
’dir. Yukarıdaki denklemin keyfi bir çözümü için,
çözümünün ürettiği Darboux dönüşümü
] (
) (
)
( )
şeklinde bulunur. Burada , Wronskian determinantıdır. Eğer ( ) ise ve
lineer bağımsız demektir. Darboux dönüşmüş ] özfonksiyonu Sturm-Liouville
denklemini sağlar:
] ] ] ] .
Burada Darboux dönüşmüş yeni ] potansiyeli
]
]
şeklindedir. Darboux dönüşümü Sturm-Liouville denklemini form değişmez yani
kovaryant bırakır. Çözülebilen bir Hamiltoniyene Darboux dönüşümü uygulanarak yeni
çözülebilen Hamiltoniyenler bulunabilir. Eğer bir sisteme N defa Darboux dönüşümü
uygulanırsa elde edilen dönüşüm Crum dönüşümü olarak adlandırılır (Matveev ve Salle
1990).
3.4 Bağlaştırım Yöntemi
Bağlaştırım yöntemi, tam olarak çözülebilen çizgisel ve çizgisel olmayan problemler ile
bunların hiyerarşilerini kurmak için kullanılan bir yöntemdir. ve Hamiltoniyen
işlemcileri, bağlaştırım işlemcisi ile aşağıdaki şekilde ilişkilendirilebilir:
.
16
Bu şekilde bağlaştırım işlemcisi işlemcisinin özfonksiyonları ile ’in
özfonksiyonları arasında bağlaştırım kurar. Bağlaştırım işlemcisinin özellikleri
aşağıdaki gibidir:
i. , ’ın
özdeğerli özfonksiyonu ise,
’de ’in
özdeğerli bir
özfonksiyonudur. ve için Schrödinger denklemleri
,
,
ile verilir. bağlaştırım işlemcisi ’a uygulanırsa
, (
) (
) ,
eşitliği elde edilir. Yani, , ’in
özdeğerli bir özfonksiyonudur.
ii. , ’nin tersi doğrultusunda bağlaştırım yapar: . Bu bağıntı ve
için iki gizli dinamik simetri işlemcisini verir (Kuru 2004) :
[ ] [ ] .
17
4. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK
ÇÖZÜMÜ
Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için Hamilton işlemcisi;
( )
ile verilir. Burada denge konumundan ayrılma miktarını, l de potansiyelin genliğini
belirleyen parametredir. Değişen değerleri için potansiyelin göre değişimi şekil
4.1’de gösterilmiştir.
Şekil 4.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyelinin = 2, 5 ve 10 değerleri için
grafiği
Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için zamandan bağımsız Schrödinger denklemi
aşağıdaki gibidir:
( ) ( ),
(
( )
)
( )
( ) (4.1)
Burada
değişken değiştirmesi yapılırsa,
1 1x
50
100
150
V
18
( )
,
bulunur. Buna göre Hamilton işlemcisi cinsinden,
(
)
( )
( )
olarak yazılır. Bulunan bu ifade denk. (4.1)’de yerine koyulursa,
[(
)
( )
( )
] ( ) ( )
elde edilir. Bu denklemde
( ( )) ( )
( ) (4.2)
değişken değiştirmesi yapılırsa, denklem
( ) ( )
[( )
]
( )
] ( ) , (4.3)
şeklini alır. Denklem (4.3) aşağıda verilen hipergeometrik diferansiyel denklemine
benzer
( )
( ) ]
ve bu denklemin çözümleri, ( ) ile verilir (Abramowitz ve Stegun 1970).
Böylece denk.(4.3)’ün çözümü hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden,
( ) (
)
19
şeklinde bulunur. Denklem (4.3)’ün ve ’de sonlu çözümlerinin olabilmesi
için,
√
olmalıdır. Böylece, enerji
( )
olarak bulunur. Denklem (4.2)’de ve ( ) yerine yazılırsa denk. (4.1)’in çözümü olan
enerjisine karşı gelen
özfonksiyonu,
( ( )) (
) (4.4)
şeklinde bulunur. Burada normalizasyon sabitidir. Denklem (4.4) ile verilen çözüm
ortogonal (dik) polinomlar olan Gegenbauer polinomları cinsinden yazılabilir.
Gegenbauer polinomları ile hipergeometrik fonksiyonlar arasındaki ilişki aşağıdaki
gibidir (Abramowitz ve Stegun 1970):
( )( )
( )
( ) (
)
Bu ifade de konularak, (4.4) çözümü Gegenbauer polinomları cinsinden,
( )
( )
( )
( )( ) (4.5)
olarak yazılır. N normalizasyon sabiti Gegenbauer polinomlarının sağladığı,
∫ [ ( )( )]
( )
( )
( ) ( )
20
bağıntısında yazılırsa
∫ ( )
( ( )
( )) ∫ [
( )( )]
√ ( ) ( )
( ) ( )
( )
olarak bulunur. Yukarıdaki eşitlikte gamma fonksiyonlarının özelliklerinden
( ) (
) √ ( )
kullanılırsa, normalizasyon katsayısı
√ ( ) ( ) ( )
√ ( ) ( )
şeklinde elde edilir. normalizasyon katsayısı denk. (4.5)’de yerine yazıldığında
özfonksiyon,
( ) √
( ) ( ) ( )
√ ( ) (
)
( )( ) (4.6)
olarak bulunur. Denklem (4.6) ile verilen bu özfonksiyon birleştirilmiş Legendre
polinomları cinsinden de ifade edilebilir. Gegenbauer polinomları ile birleştirilmiş
Legendre polinomları arasındaki ilişki
( )( )
( ) ( )
( )
( )]
( )
şeklindedir (Abramowitz ve Stegun 1970). Yukarıdaki denklemde yazılırsa
21
( )( )
( ) ( )
( )
( )]
( )
bulunur. Bu ifade gamma fonksiyonlarının özelliklerinden de yararlanılarak düzenlenip
denk. (4.6)’da yerine yazılırsa,
( ) √
( ) ( )
√
( ) (4.7)
elde edilir ( Flügge 1994, Cruz vd. 2008).
22
5. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL
ÇÖZÜMÜ
5.1 Faktör İşlemcileri
Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için Schrödinger denklemi denk. (4.1)’de
verildiği gibidir. Hamilton işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki tane
işlemcinin çarpımı şeklinde
(5.1)
yazılabilir. Buradaki ’ye Hamilton işlemcisini çarpanlarına ayırdıkları için faktör
işlemcileri denir. arttırıcı faktör işlemcisi,
ise azaltıcı faktör işlemcisidir. Bu
işlemciler
( ),
( )
şeklinde seçilip denk. (5.1)’de yerine yazılırsa,
( )
için bir Riccati denklemi elde edilir. Bu denklem için, çözümü
önerildiğinde, ve bulunur. Buna göre faktör işlemcileri,
,
olarak elde edilir. Faktör işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı,
(
) (
)
( )
23
(5.2)
şeklinde bir Hamilton işlemcisi verir. Eşitlik (5.2)’de yazılırsa
Hamiltoniyeni bulunur ve bu da Hamilton işlemcisi için aşağıdaki hiyerarşiyi verir:
.
Buna göre Hamilton işlemcisinin iki farklı şekilde çarpanlarına ayrılabildiği
sonucuna ulaşılır. Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları
(
) (
)
(
) (
)
şeklinde bulunur. Bu bağıntılara göre işlemcisi ’nin özfonksiyonlarına etkidiğinde
’in aynı enerjili özfonksiyonları elde edilir. işlemcisi de bunun tam tersini
yapmaktadır. Şekil 5.1’de bu etkiler görülmektedir.
Şekil 5.1 işlemcilerinin Hamilton hiyerarşisi üzerindeki etkileri
��𝑙
��𝑙
��𝑙 ��𝑙 ⬚ ��𝑙
⬚ ��𝑙 ��𝑙 ��𝑙
24
Buna göre faktör işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi aşağıdaki gibidir:
(5.3)
(5.4)
şeklindedir. Bu ifadelerden de ’nin arttırıcı,
’nin azaltıcı işlemci gibi davrandığı
kolayca görülür. Denklem (5.4) aracılığı ile taban durum özfonksiyonu,
(
)
olarak bulunur. Burada, normalizasyon sabitidir ve
∫
√ ( )
√ ( )
şeklinde elde edilir. Buna göre taban durum özfonksiyonu,
√
( )
√ (
) (5.5)
olarak bulunmuş olur. ’lerin normalize özfonksiyonlar olduğu gözönünde
bulundurulduğunda, denk.(5.3)’deki katsayısı, özfonksiyonların normalize
olmasından yararlanılarak kolayca bulunur:
( )
( )
√( ) .
25
Denklem (5.4)’deki faktör işlemcisinin katsayısı da benzer şekilde bulunur. Böylece
denk. (5.3) ve denk. (5.4) tekrar aşağıdaki gibi yazılır:
√( )
√( ) .
enerjili durumlara karşı gelen
özfonksiyonları, faktör işlemcilerinin taban
durumuna kez uygulanması ile bulunur:
.
Buradaki normalizasyon katsayısı, her arttırıcı işlemcinin özfonksiyon üzerindeki
etkisi adım adım bulunup bunların genelleştirilmesi ile elde edilir. Öncelikle
’a etkisine bakalım:
|( )
( ) .
Buradan bulunan özfonksiyona uygulandığında bulunan özfonksiyon normalize
edildiğinde bulunan normalizasyon katsayısı,
√ ( ) ]
olarak bulunur. Bu şekilde işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri tek tek
bulunarak en son adımda özfonksiyonun katsayısı,
√ ( )]
şeklinde elde edilir. Daha sonra, bulunan tüm katsayılar çarpılıp tersinin karekökü
alınırsa , aşağıdaki gibi elde edilir:
26
√
( ( ))
( ( ))
İndissiz, ve işlemcilerinin sıra değişimi:
] [
]
[( ) ( )] (
)
şeklindedir. Buna göre diagonal işlemci
(
)
olarak tanımlanır. Böylece ve işlemcileri
] , [ ]
sıradeğişme bağıntılarını sağlarlar. Bu sıradeğişme bağıntılarına göre ve
işlemcileri su(2) cebrini kapatırlar. Bu cebir potansiyel cebri olarak adlandırılır. Bu
hiyerarşide potansiyel cebri beklenildiği gibi sonlu boyutlu indirgenemez temsillere
sahiptir ve parametresi buçuklu değerler alır (Kuru ve Negro 2009, Dong 2010).
5.2 Merdiven İşlemcileri
Hamilton işlemcisi için Schrödinger denkleminin her iki tarafı ile çarpılıp
düzenlenirse,
(
( ) )
( )
elde edilir. Yukarıdaki denklemde parantez içini olarak tanımlayalım:
27
( )
(5.6)
Buradaki işlemcisi, türeve göre birinci mertebeden iki tane diferansiyel işlemcinin
çarpımı olarak yazılabilir:
(5.7)
(
( ) )
işlemcileri aşağıdaki gibi seçilebilir:
,
.
Bu işlemciler denk. (5.7)’de yerine yazılıp, denk. (5.6)’daki eşitlikte kullanılırsa
( ), ( ) , ( )( )
olarak bulunur. Buna göre işlemciler,
( ) ,
( ) (5.8)
şeklinde tekrar yazılır. işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı,
eşitliğini verir. Yukarıdaki eşitlikte alınıp denk. (5.7) ile karşılaştırılırsa
’ler için hiyerarşi aşağıdaki gibi bulunur:
.
Bağlaştırım bağıntıları ise
28
,
şeklindedir. ile sıra değiştirdiğinden ’nin özfonksiyonları ’nin de öz
fonksiyonlarıdır. Bu yüzden ’nin özfonksiyonlarına işlemcisi uygulanırsa onunla
aynı Hamiltoniyen’deki ’in özfonksiyonları elde edilir. Bu durum şekil 5.2’de
ayrıntılı olarak gösterilmiştir.
Şekil 5.2 işlemcilerinin hiyerarşisi üzerindeki etkileri
işlemcileri aynı bir Hamiltoniyen içerisindeki farklı özfonksiyonları birbirlerine
dönüştürürler. Bu yüzden işlemcilerine merdiven (ladder) işlemcileri denir. Taban
durum özfonksiyonu işlemcisi yardımıyla bulunur:
(
)
.
Taban durum özfonksiyonu için, normalizasyon katsayısı kolayca bulunur:
∫
√ ( )
√ ( )
��𝑙 ⬚ ��𝑙
⬚
��𝑙
��𝑙
��𝑙
��𝑙
��𝑙
��𝑙
��𝑙 ��𝑙 ��𝑙
29
Buna göre taban durum özfonksiyonu,
√
( )
√ ( )
olarak ifade edilir. Bu da
’dan bulunan denk. (5.5) ile aynı sonucu verir.
işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisine bakalım:
(5.9)
. (5.10)
Buradaki ve katsayıları doğrudan bulunamazlar, çünkü ( )
’dir. ve
katsayılarını bulabilmek için birleştirilmiş Legendre polinomlarının tekrarlama
bağıntıları kullanılabilir. Öncelikle denk. (4.7)’yi tekrar yazıp, ( )’i elde edelim:
( ) √
( ) ( )
√
( )
( ) √
( ) ( )
( ) √
( )
Denklem (5.9)’da ,
özfonksiyonları ve denk. (5.8)’deki işlemcisinin
diferansiyel ifadesi yazılıp, birleştirilmiş Legendre polinomları için aşağıdaki
tekrarlama bağıntısında ,
,
kullanılırsa
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
katsayısı
30
√( )( )( )
( )
şeklinde bulunur. Buna göre denk. (5.9)’un açık ifadesi
√( )( )( )
( )
olarak elde edilir. katsayısı da benzer yolla aşağıdaki tekrarlama bağıntısında
,
,
alınarak
( )
( )
( ) ( ) ( )
√( )( )( )
( )
şeklinde bulunur. Böylece denk. (5.10)’un açık ifadesi
√( )( )( )
( )
ile verilir. özfonksiyonu, işlemcisinin taban durumuna kez uygulanmasıyla
elde edilir:
.
katsayısını bulmak için öncelikle taban durumuna işlemcisi uygulanır. Sonra
çıkan özfonksiyonuna bir sonraki işlemcisi uygulanır. Bu şekilde kez
işlemcileri uygulanarak katsayılar elde edilir. Elde edilen bu katsayıların hepsi çarpılıp
tersi alınırsa
31
√
√
√ ( )( )
√
√ ( )( )
√
katsayısı
√ √ √
√
olarak bulunur. İndissiz işlemciler, ’nin sıradeğişimi diagonal işlemcisini verir.
Buna göre diagonal işlemci aşağıdaki gibi tanımlanır:
( )
.
Böylece, ve işlemcileri
] , [ ]
sıradeğişme bağıntılarını sağlarlar. Bu sıradeğişme bağıntılarına göre ve
işlemcileri ( ) cebrini kapatırlar. Bu cebir Hamiltoniyeni için spektrum üreten
cebir olarak adlandırılır. Bu potansiyel için bağlı durumların sayısı sonsuzdur ve ve
işlemcilerinin kapattığı ( ) cebri de alttan sınırlı sonsuz boyutlu temsillere
sahiptir (Kuru ve Negro 2009).
32
5.3 Sistemin Dinamik Cebri
Faktör işlemcileri, birbirlerinin Hermitsel eşlenikleridirler: ( )
ve diferansiyel
ifadeleri
(
),
(
)
ile verilir. işlemcilerinin özfonksiyon üzerindeki etkileri
√( ) ,
√( )
şeklindedir. Fakat denk. (5.8)’deki işlemcileri birbirlerinin Hermitsel eşlenikleri
değildir: ( )
. Yani
( ) (
( ) ) (
)
(( ) )
(
) ( )
şeklindedir. Bu nedenle bu işlemcilerin normalize özfonksiyonlar üzerindeki etkisi
faktör işlemcileri gibi kolaylıkla bulunamaz. Bu etkiler bir önceki kesimdeki gibi farklı
yöntemler kullanılarak bulunabilir.
işlemcisi ile ortak özfonksiyonlara sahiptir ve
(
) ( )
( ) ( )( )
( )( )
eşitliği elde edilir. Bu eşitlik ayrıca ’lerin ’ler üzerindeki etkilerinden de
bulunabilir. Varsayalım ki işlemcileri Hermitsel olsun ve işlemcileri ile aynı
’yi versin.
33
⟨
|
⟩ ⟨ |
⟩ ⟨ |( )
⟩ ( )( )
Buna göre Hermitsel ve
işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi
aşağıdaki gibidir:
√( )( ) ,
√( )( ) .
Hermitsel merdiven işlemcilerinin diferansiyel ifadeleri
√
√
(
( ) )
√
√
(
( ) )
olarak elde edilir.
işlemcileri de diagonal işlemci ile birlikte ( ) cebrini kapatırlar:
[ ] , [ ]
Burada diagonal işlemci
( )
şeklinde tanımlıdır.
Şimdi, ve işlemcilerinin sıradeğişme bağıntısını gözönüne alalım:
[ ] (
)
34
√( )( ) ,
[ ] √
Buradan görüldüğü gibi bu işlemcilerin sıradeğişme bağıntısı yeni bir işlemci verir. Bu
yeni işlemci olarak adlandırılır ve ’nın özfonksiyonuna etkisi,
√( )( )
şeklindedir. ’nın diferansiyel ifadesi, ve ’nın diferansiyel ifadeleri aşağıdaki
eşitlikte yerine yazılarak bulunur:
√ (
) √
( )
(
( ) ) .
Böylece ’nin diferansiyel ifadesi
√
( )(
( ) ( ) )
olarak elde edilir. Daha önce bulunan [ ] sıradeğişme bağıntısının Hermitsel
eşleniği
[ ]
(
)
(
) [ ]
şeklindedir. Buradan
[ ] √( )( )
√
olarak bulunur. Böylece ’nin özfonksiyonu üzerindeki etkisi,
35
√( )( )
şeklinde elde edilir. ’nin diferansiyel ifadesi
√ (
)
Eşitliğinde ve ’nin diferansiyel ifadeleri yerine koyularak bulunur:
√
( )(
( ) ( ) )
ile ’nın sıradeğişimi diagonal işlemciyi verir:
[ ] (
)
(( )( ) ( )( ))
(
)
.
Diagonal işlemci,
(
)
olarak tanımlanır. ve işlemcilerinin sıradeğişim bağıntıları
[ ] , [ ]
şeklindedir. Buna göre ve işlemcileri ( ) cebrini kapatırlar.
36
Şimdi, ve ’nın sıradeğişme bağıntısına bakalım:
[ ] (
)
√( )( )
Buradan işlemcisinin özfonksiyonu üzerindeki etkisi,
√( )( )
şeklindedir. işlemcisinin diferansiyel ifadesi
(
)
eşitliğinde ve ’nın diferansiyel ifadeleri yerine koyularak bulunur:
√
( )(
( ) ) .
ve ’nin sıradeğişme bağıntısı [ ]’nın Hermitsel eşleniği alınarak bulunur:
[ ] (
)
√( )( )
Buradan, işlemcisinin özfonksiyonu üzerindeki etkisi,
√( )( )
şeklinde bulunur. Benzer olarak işlemcisinin diferansiyel ifadesi yukarıdaki
durumlara benzer olarak
37
√
( )(
( ) )
elde edilir. işlemcilerinin sıradeğişme bağıntısı
[ ] (
)
şeklindedir ve diagonal işlemciyi verir:
(
)
Buna göre ve işlemcileri ( ) cebrini kapatırlar:
[ ] , [ ] .
ve diagonal işlemcileri ve diagonal işlemcileri cinsinden
(
)
şeklindedir. , , , işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi şekil 5.3’te
gösterilmiştir.
38
Şekil 5.3 , , , işlemcilerinin özfonksiyonu üzerindeki etkileri
, işlemcileri 10 tane üreticisi olan ( ) cebrini kapatırlar.
( ) cebrinin sıradeğişme bağıntıları aşağıdaki gibidir:
[ ] √ [ ] √ [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] √ [ ]
[ ] √ [ ] √ [ ] √ [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
Sonuç olarak bir parametreli Pöschl-Teller potansiyelinin dinamik cebri ( )
cebridir (Kuru ve Negro 2009).
��𝑙
��𝑙 𝑛
��𝑙 𝑛
��𝑙 𝑛
��𝑙
𝑙 𝑛
𝑙 𝑛
��𝑙 𝑛
39
6. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN ANALİTİK
ÇÖZÜMÜ
İki parametreli trigonometrik Pöschl-Teller potansiyeli için Hamilton işlemcisi
,
(6.1)
şeklindedir. Bu potansiyel için zamandan bağımsız Schrödinger denklemi yazılıp
(
) ( ) ( )
değişken değiştirmesi yapılırsa
( )
(
)
(
)
elde edilir. Bu diferansiyel denklemin ’da üç tane düzgün tekil noktası
vardır. Burada
( ( ))
( )
( )
olarak alınırsa aşağıdaki hipergeometrik diferansiyel denklemi elde edilir:
( )
( ) ( )]
[ ( ) ]
Bu denklemin genel çözümü,
( ) ( ) (6.2)
40
ile verilir. Burada
( √ ) ,
( √ ),
şeklindedir. Denklem (6.2)’de ( ) ve ( ) sınır koşulları kullanılarak
ve belirlenebilir.
i. ’da iki hipergometrik seride 1’e eşit olur. Böylece
( )
( )
olduğundan dolayı 2. terim tekillik yaratacağı için olmalıdır.
ii. ’de ( ) seriye açılırsa
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) (
)
elde edilir. komşuluğunda ’ya 2. terim katkıda bulunur:
( ( )) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Üstel ifade de
(
) ’dır ve bu da tekilliğe yol açar. Bu
tekilliği kaldırmak için ’lı terimlerin sıfıra gitmesi gerekir. Bu da ya ya da
( ) alınarak sağlanır. olursa
olmalıdır. Tersine eğer olursa olarak bulunur.
41
Üstel ifade ve ’nin bu iki seçimi altında değişmez kalır ve aynı sonucu verir. Buna
göre için ( ) olarak bulunur. Özfonksiyon da,
( )
( )
şeklindedir. Bu özfonksiyon Jacobi polinomları cinsinden
( )
( )
( )
( )( )
olarak elde edilir. Buradaki normalizasyon katsayısı Jacobi polinomlarının diklik
bağıntılarından (Abramowitz ve Stegun 1970, Askey 1975)
( )
( )√
( )( )
( ) ( )
olarak bulunur. Bu katsayı özfonksiyonda yerine yazılırsa aşağıdaki gibi elde
edilmiş olur (Flügge 1994):
( ) √
( )( )
( ) ( )
( )( )
42
7. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNİN CEBİRSEL
ÇÖZÜMÜ
7.1 Faktör İşlemcileri
Denklem (6.1) ile verilen Hamilton işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki
tane diferansiyel işlemcinin çarpımı şeklinde yazılabilir:
.
Burada
(
) (
)
( )
şeklindedir. ve
işlemcilerinin ters sıradaki çarpımı
Hamilton işlemcisini verir. Böylece işlemcileri için Hamilton hiyerarşisi aşağıdaki
gibi kurulur:
. (7.1)
Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları
(
) ,
(
)
43
şeklinde bulunur. Bu bağıntılar yardımıyla işlemcilerinin özfonksiyonlar
üzerindeki etkileri aşağıdaki gibidir:
,
.
Buradaki katsayısı özfonksiyonların bire normalize olması koşulu kullanılarak
⟨
|
⟩ ⟨ |
⟩ ,
⟨ |
⟩ ,
⟨ |( )
⟩ ,
√ ( ) ,
şeklinde bulunur. işlemcisinin normalizasyon katsayısı da benzer olarak elde
edilir. Buna göre işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkilerinin açık halleri
aşağıdaki gibidir:
√ ( ) ,
√ ( ) .
koşulundan taban durum özfonksiyonu aşağıdaki gibi bulunabilir:
(
(
) (
) )
((
) (
) )
.
44
Burada normalizasyon katsayısıdır. Bu katsayı
özfonksiyonun normalizasyon
koşulundan √
( )
( ) ( ) olarak bulunur.
faktör işlemcilerinin
özfonksiyonlar üzerindeki etkisinden de görüleceği gibi bu işlemciler enerjiyi
değiştirmeyip potansiyelin parametresini değiştirmektedirler. Bu işlemcilerin enerji
özdeğerleri hiyerarşi yardımıyla
( )
olarak bulunur.
, uyarılmış duruma karşı gelen uyarılmış özfonksiyon, işlemcileri
taban durum özfonksiyonuna kez uygulanarak bulunabilir:
(
) .
katsayısı taban durum özfonksiyonuna adım adım artırıcı işlemcileri
uygulanarak bulunur:
√ ( ) ,
√ ( ) ,
√ ( ) ,
√ ( ( )) .
Çıkan katsayılar çarpılırsa
√ ( )
( ) olarak bulunur. Böylece,
uyarılmış duruma karşı gelen özfonksiyonu normalizasyon katsayısı ile birlikte
aşağıdaki gibi elde edilir:
45
( ) √
( )( )
( ) ( )
( )( )
Bu da analitik yolla bulunan çözümle aynıdır.
Şimdi işlemcilerinin sağladığı cebre bakalım. Bunun için indissiz işlemcileri
olarak tanımlayalım. ile işlemcisinin sıra değişimi diagonal işlemci ’yi
verir:
[ ] (
)
,
( ) ( ) ,
( ) ( )
.
Böylece diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi,
( )
şeklinde tanımlanır. Sonuçta ve işlemcileri ( ) cebrinin sıra değişim
bağıntılarını sağlarlar (Calzada vd. 2012):
[ ] , [ ] .
7.2 Faktör İşlemcileri
Denklem (6.1) ile verilen Hamilton işlemcisi ve parametrelerinin yansımaları
altında değişmez kalır. Yani ’dır. ( ) ( ) ve ( )
46
( ) dönüşümleri denk.(6.1)’de farklı bir faktör işlemcisi tanımlamaya izin verirler.
Bu yeni işlemciler
şeklinde tanımlanır. Bu durumda ’nın
diferansiyel ifadesi işlemcilerinin diferansiyel ifadesinden yararlanılarak,
(
) (
)
olarak bulunur. Hiyerarşi, ’ler cinsinden denk. (7.1) ile verilir. Bu ifadeye sağdan ve
soldan uygulanıp özfonksiyonu üzerindeki etkisine bakılırsa,
( ) (
) ,
,
,
şeklinde bulunur. Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları aşağıdaki gibidir:
Bu bağıntılara göre işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri,
şeklindedir. Buradaki katsayısı özfonksiyonların bire normalize olması koşulu
kullanılarak elde edilir:
⟨
|
⟩ ⟨ |
⟩ ,
⟨ |
⟩ ,
⟨ |( )
⟩ ,
47
√ ( ) .
Böylece işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi açık olarak
√ ( ) ,
√ ( )
şeklinde yazılır. Yukarıdan da görüleceği gibi işlemcileri de enerji özdeğerini
değiştirmezler:
( ) .
işlemcilerinin sağladığı cebri bulmak için indissiz işlemciler
şeklinde tanımlansın. ile ’nin sıradeğişimi diagonal işlemci ’yi verir.
[ ] (
)
(( ) ( ))
( ) ( )
[ ]
işlemcisinin özfonksiyon üzerindeki etkisi
( )
olarak bulunur. Buna göre sıra değişim bağıntıları aşağıdaki gibidir:
48
[ ] , [ ]
Buradan, ve işlemcilerinin, ve işlemcileri gibi ( ) cebirinin
sıradeğişim bağlantılarını sağladığı görülür (Calzada vd. 2012).
7.3 Merdiven İşlemcileri
Schrödinger denklemi,
( )
özfonksiyonlar için aşağıdaki notasyon kullanılarak
( ) ( ) ( ) (7.1)
(
) ( ) ( )
şeklinde yazılabilir. Denklem (7.1)’de ’nın değerini sabit bırakıp, ’nın değerini
değiştiren işlemcileri bulmak için yukarıdaki denklem ile çarpılıp sabit olan
terimi yalnız bırakılsın:
(
(
) ) ( ) (
) ( ) (7.2)
(7.2) ile verilen denklemde sol taraftaki parantez içi olarak adlandırılırsa, (7.2)
tekrar
( ) (
) ( )
şeklinde yazılır. diferansiyel işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki tane
diferansiyel işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir:
49
.
Burada,
(
)
(
)
(
)(
)
şeklinde bulunur. işlemcisi ile
işlemcisinin çarpımı işlemcisini verir.
Buna göre işlemcileri için hiyerarşisi aşağıdaki gibidir:
.
Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları
,
şeklinde bulunur. Bu bağıntılara göre işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki
etkileri,
( ) ( )
( ) ( )
olarak yazılabilir. Burada katsayısı
√( )( ) ile verilir
(Calzada vd. 2012). ile birbirlerinin Hermitsel eşlenikleri olmadıkları için bu
katsayı kolaylıkla bulunamaz. Görüldüğü gibi işlemcileri hem enerji özdeğerini hem
de potansiyel teriminde parametresini değiştirirken ’yı sabit bırakır.
işlemcilerinin sağladığı cebir; indissiz işlemciler
50
tanımlanarak bulunabilir. ile işlemcisinin sıra değişimi diagonal işlemci ’i
verir:
[ ] ( ) (
) ( )
(( ) ( )) ( )
( ) ( )
Böylece diagonal işlemcinin özfonksiyonlar üzerindeki etkisi,
( )
( ) ( )
şeklindedir. Buna göre, ve işlemcileri ( ) cebrinin sıradeğişim bağıntılarını
sağlarlar (Calzada vd. 2012):
[ ] , ] .
7.4 Merdiven İşlemcileri
diferansiyel işlemcisi ( ) ( ) ve ( ) ( )
yansıma dönüşümleri altında değişmez kalır. Bu iki yansıma dönüşümünden herhangi
biri ile yeni işlemciler elde edilebilir.
, işlemcilerinin diferansiyel
ifadeleri aşağıdaki gibi bulunur:
( )
(
)
51
işlemcileri için kurulmuş olan hiyerarşiye yansıma dönüşümü uygulanırsa
hiyerarşi işlemcileri cinsinden
şeklinde bulunur. Burada (
)(
)’dır. Yukarıdaki
hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları aşağıdaki gibi bulunur:
,
Bu bağıntılar yardımıyla işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri
( ) ( )
( ) ( )
olarak bulunur. Buradaki katsayısı
√( )( ) ile verilir
(Calzada vd. 2012).
işlemcilerinin sağladığı cebir; indissiz işlemciler
şeklinde tanımlanarak bulunabilir. ile işlemcisinin sıra değişimi diagonal
işlemci ’yi verir:
[ ] ( ) (
) ( )
(( ) ( )) ( )
( ) ( )
52
Buradan diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi,
( )
( ) ( )
olarak tanımlanır. Buna göre, ve işlemcileri ( ) cebrinin sağladığı sıra
değişim bağıntılarını sağlarlar (Calzada vd. 2012):
[ ] , [ ]
7.5 Merdiven İşlemcileri
Şimdi, denk. (7.1)’deki ’nın değerini sabit bırakıp, ’nın değerini değiştiren
işlemcileri bulalım. Bu amaçla (7.1) ile verilen denklem ile çarpılıp sabit olan
terimi yalnız bırakılsın:
(
(
) ) ( ) (
) ( ) (7.3)
Yukarıdaki denklemin sol tarafındaki parantez içi olarak adlandırılırsa, denk.(7.3)
( ) (
) ( )
olarak tekrar yazılır. diferansiyel işlemcisi türeve göre birinci mertebeden iki
diferansiyel işlemcinin çarpımı olarak yazılabilir:
.
Burada,
(
)
53
(
)(
)
şeklindedir ve işlemcileri için hiyerarşisi aşağıdaki gibidir:
.
Bu hiyerarşi ile ilgili bağlaştırım bağıntıları
,
ile verilir. Bu bağıntılara göre işlemcilerinin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri,
( ) ( ) ,
( ) ( )
şeklinde yazılabilir. Burada katsayısı
√( )( ) ile verilir
(Calzada vd. 2012).
işlemcilerinin sağladığı cebri basitçe görebilmek için, indissiz işlemciler
şeklinde tanımlansın. işlemcilerinin sıra değişimi diagonal işlemci ’i verir:
[ ] ( ) (
) ( ) ,
(( ) ( )) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
54
Bu diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi,
( )
( ) ( )
olarak bulunur. Böylece,
[ ] , [ ]
bağıntıları elde edilir. Buna göre ve işlemcileri ( ) cebrinin sağladığı
sıradeğişim bağıntılarını sağlarlar. Son olarak, diferansiyel işlemcisi
( ) ( ) yansıma dönüşümü altında değişmez kalmaktadır.
işlemcilerine yansıma dönüşümü uygulanarak yeni bir merdiven işlemci grubu elde
edilir ve bunlar olarak adlandırılır (Calzada vd. 2012).
7.6 Merdiven İşlemcileri
şeklinde tanımlansın. Buna göre işlemcilerinin diferansiyel
ifadeleri daha önce yapıldığı gibi işlemcilerinin diferansiyel ifadesi yerine yazılıp
( ) özfonksiyonu üzerine uygulanarak aşağıdaki gibi bulunur:
,
( )
(
)
işlemcileri için kurulmuş olan hiyerarşiye yansıma dönüşümü uygulanırsa
hiyerarşi işlemcileri cinsinden
55
şeklinde bulunur. Burada (
)(
)’dır. Yukarıdaki hiyerarşi
ile ilgili bağlaştırım bağıntıları aşağıdaki gibi bulunur:
,
Bu bağıntılar yardımıyla işlemcilerinin özfonksiyonları üzerindeki etkileri
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
olarak elde edilir. Buradaki katsayısı
√( )( ) ile
verilir (Calzada vd. 2012) . işlemcilerinin sağladığı cebir, yukarıdaki durumlara
benzer olarak indissiz işlemciler
olarak tanımlanır. işlemcilerinin sıra değişimi diagonal işlemci ’yi verir:
[ ] ( ) (
) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( )
Buna göre diagonal işlemcinin özfonksiyon üzerindeki etkisi,
( )
( ) ( )
şeklinde bulunur. Böylece, ve işlemcilerinin ( ) cebrinin sağladığı sıra
değişim bağıntılarını sağladığı görülür (Calzada vd. 2012):
56
[ ] , [ ]
7.7 Sistemin Dinamik Cebri
Sistemin tüm arttırıcı-azaltıcı, faktör ve merdiven işlemcileri
{ } ile verilir. Diagonal işlemciler ise {
} şeklindedir. Bu diagonal işlemciler üç tane lineer bağımsız diagonal işlemcinin
lineer kombinasyonları olarak elde edilir. Bu diagonal işlemcilerin özfonksiyonlar
üzerindeki etkisi aşağıdaki gibidir:
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
Sonuç olarak toplam olarak 15 tane birbirinden bağımsız işlemci elde edilir: {
} bu işlemcilerin birbirleri ile sıradeğişim bağıntıları
aşağıdaki gibidir:
[ ] [ ] [ ] ,
[ ] [ ] [ ] ,
[ ] [ ] [ ] ,
[ ] [ ] [ ] .
Buradaki sıradeğişim bağıntılarına ek olarak bu işlemcilerin Hermitsel eşlenikleri de
bulunmaktadır. Merdiven işlemcilerinin - - düzlemindeki etkileri şekil 7.1’deki
gibidir.
57
Şekil 7.1 - - düzleminde merdiven işlemcilerinin etkileri
Diagonal işlemcilerin sıradeğişim bağıntıları önceki kısımlardaki gibi bulunabilir.
Sonuç olarak bu sıradeğişim bağıntılarına göre bu cebir ( ) ( ) Lie cebrine
uymaktadır. Böylece, ( ) cebrinin diferansiyel temsili de elde edilmiş olur.
Sistemin Hamilton hiyerarşisi düşünüldüğünde ( ) özfonksiyonu ( ) Lie
cebrinin indirgenemez temsilinin uzayını üretir. Bu şekilde üretilen üniter indirgenemez
temsil yalnızca bir tanedir ve her bir arttırıcı ve azaltıcı işlemci birbirinin Hermitsel
eşlenikleridir. Bu temsil ( ) durumuna karşı gelen
işlemcileri tarafından yok edilen taban durum özfonksiyonuna
dayalıdır:
( ) √
Bu durumdan başlanarak herhangi bir merdiven işlemcisi uygulanarak bir üst enerji
seviyesine geçilir. Örneğin ( )’e uygulanırsa, ( ) enerjili duruma karşı
gelen özfonksiyon elde edilir:
( ) ( ) .
58
bulunur. Daha sonra, , yardımıyla düzeyindeki diğer özfonksiyonlar
bulunurlar:
( ), ( ), ( ) .
merdiven işlemcileri gerçek anlamda saf merdiven işlemcileri değildir. Çünkü bu
işlemciler hem enerji parametresi ’nu hem de potansiyeldeki diğer parametreyi
değiştirmektedir. Ancak işlemcilerin birleşimleri alınarak saf merdiven işlemcileri
kurulabilir:
,
.
Bu işlemcilerin diferansiyel ifadeleri, ve işlemcilerinin diferansiyel ifadeleri
kullanılarak
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
şeklinde bulunur. Bu işlemcilerin özfonksiyonlar üzerindeki etkileri, kurulan hiyerarşi
yardımıyla
( ) ( )
( ) ( )
olarak bulunur. Sonuç olarak, işlemcileri bir parametreli Pöschl-Teller
potansiyelinde kurulan merdiven işlemcileri gibi potansiyel parametresini değiştirmeyip
sadece enerji parametresini değiştirmektedir (Calzada vd. 2012). Hamiltoniyenlerin
hiyerarşisi ve işlemcilerin etkileri şekil 7.2’de gösterilmiştir.
59
Şekil 7.2 Hamiltoniyenlerin hiyerarşisi ve işlemcilerin etkileri
60
8. BİR PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK
YAKLAŞIM
Hamilton fonksiyonu
şeklindedir. Hamilton fonksiyonu kuantum mekaniksel duruma benzer olarak
ile çarpılıp düzenlenirse
elde edilir. Eşitliğin sol tarafı iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılabilir:
( ) .
Burada,
√ , ( ) (8.1)
olarak tanımlanır. Görüldüğü gibi, fonksiyonları aynı zamanda Hamiltoniyeni de
çarpanlarına ayırır:
. (8.2)
, ile birlikte bir cebir kapatırlar:
√ , (8.3)
√
61
Burada Poisson parantezidir ve olarak alınmıştır. Bu cebir, ’ler
cinsinden zamana bağlı hareket sabiti tanımlamaya izin verir:
√ (8.4)
hareket sabitleri,
(8.5)
eşitliğini sağlarlar. Bu durumda ’nin değeri genel olarak
(8.6)
ile verilir. ’ın değeri ise denk. (8.2) kullanılarak
,
√
şeklinde bulunur. enerjiye bağlı bir parametredir. Burada enerji de bir hareket
sabitidir. Denklem (8.4) ve denk.(8.6) birbirlerine eşitlenirse
√
bulunur. Denklem (8.1)’de verilen ifadeleri yukarıda kullanırsa,
√ ( √ ) ,
√ ( √ )
elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanıp çıkartılırsa,
62
( )
√ ( √ )]
( ) √ ( √ )
√ ( )
( √ )
olarak bulunur. Eşitliklerden de görüldüğü gibi hareketin frekansı √ ’dir ve denk.(8.3)
ile verilen cebir bağıntıları da frekansı vermektedir (Cruz vd. 2008). Bu hareket
periyodiktir ve faz yörüngeleri kapalıdır. Şekil 8.1’de farklı enerjiler için faz
yörüngeleri görülmektedir.
Şekil 8.1 Bir parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri
0.5 0.5x
0.75
0.75
p
63
9. İKİ PARAMETRELİ PÖSCHL-TELLER POTANSİYELİNE KLASİK
YAKLAŞIM
İki parametreli Hamilton fonksiyonu;
şeklindedir. Her iki taraf ile çarpılıp, ( ) eşitliğin sol tarafında
yalnız bırakılırsa
( ) ( ) ( )
( )
olarak bulunur. Burada fonksiyonu
√ ( )
√ (9.1)
ve
( )
√
ile verilir. ’ler, ile birlikte aşağıdaki cebri kapatırlar:
√ ,
(√ ( )
)
Burada da, zamana bağlı hareket sabitleri ’ ler cinsinden belirlenebilir:
√ (9.2)
64
Bu sabitler de (8.5) eşitliğini sağlarlar. Bu durumda ’nin değeri genel olarak
(9.3)
şeklinde verilir. ’ın değeri ise
( )
( )
,
√ ( ) ( )
olarak bulunur. Denklem (9.2) ve denk. (9.3) değerleri birbirine eşitlenirse buradan
fonksiyonları aşağıdaki gibi ifade edilir:
( √ ) (9.4)
(9.4) eşitliğinde fonksiyonlarının denk. (9.1)’deki ifadeleri kullanılırsa
√ ( )
√
( √ )
√ ( )
√
( √ )
şeklinde tekrar yazılır. Her iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa
( )
(
√ ( √ ))
çıkartılırsa
( ) ( √ )
√ (
√ ( √ ))
65
bulunur. Eşitliklerden de görüldüğü gibi hareketin frekansı √ ’dir ve burada da
hareket periyodik, faz yörüngeleri kapalıdır. Şekil 9.1’de farklı enerjiler için faz
yörüngeleri görülmektedir.
Şekil 9.1 İki parametreli Pöschl-Teller potansiyeli için klasik faz yörüngeleri
0.5 1x
1
0.5
0.5
1
p
66
10. TARTIŞMA VE SONUÇ
Kuantum mekaniğinde cebirsel yöntemler kullanılarak sistemin spektrumunun
Schrödinger denklemi çözülmeden bulunması sıkça kullanılan bir yoldur. Bu yöntemler
klasik mekaniğe genişletilerek, klasik mekanikte de spektrum üreten cebirler elde
edilebilir. Böylece sistem ile ilgili pek çok bilgi ve çözümler cebirsel olarak kolayca
bulunabilir.
Süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri, eş spektrumlu potansiyel hiyerarşisi
kurmada, hiyerarşideki tüm potansiyeler için özdeğer ve özfonksiyonları elde etmede
kullanıldığı gibi, çözülebilir sistemler için potansiyel ve spektrum üreten cebirlerinin
elde edilmesinde de oldukça kullanışlıdırlar. Çarpanlara ayırma yöntemi ile bir ve iki
parametreli Pöschl-Teller Potansiyelleri için potansiyel ve spektrum üreten cebirler elde
edilmiş ve bu sistemler cebirsel olarak çözülmüştür. Bu potansiyellere karşı gelen
potansiyel ve spektrum üreten cebirlerinin ( ) ve ( ) Lie cebirleri ile ilişkili
olduğu görülmüştür. ( ) ve ( ) Lie cebirleri sırasıyla ( ) ve ( ) Lie
cebirlerine lokal olarak izomorf olduklarından temsil teorileri aynıdır. Bu nedenle bu
çalışmada ilk olarak ( ) ve ( ) Lie cebirlerinin temsil teorisi ele alınmıştır.
Cebirsel olarak bulunan bu çözümler, analitik yoldan (Schrödinger denklemi doğrudan
çözülerek) elde edilenlerle karşılaştırılmıştır. Ayrıca bu sistemler için sistemin tüm
spektrumunu ve çözümlerini veren dinamik cebirler kurulmuştur. Bir parametreli
Pöschl-Teller potansiyeli için dinamik cebir ( ) iken, iki parametreli için ( )
olarak bulunmuştur. Böylece bu cebirler için diferansiyel temsiller de elde edilmiştir.
Kuantum mekaniksel sistemlere karşı gelen klasik sistemler benzer olarak ele alınmıştır.
Bu sistemlerin Hamilton fonksiyonları için klasik spektrum üreten cebirler
bulunmuştur. Bu cebirler yardımıyla zamana bağlı hareket sabitleri tanımlanıp, klasik
sistemlerin hareketi bu hareket sabitlerinden kolayca belirlenmiştir.
Bu çalışmadan da görüldüğü gibi, burada problemler hem kuantum mekaniği hem de
klasik mekanik çerçevesinde aynı bir bakış açısı ile cebirsel olarak kolay ve şık bir
şekilde çözülebilmektedir. Bir boyutlu bu problemlerin cebirsel olarak çözülebilmesi,
67
bu problemleri içeren daha karmaşık yüksek boyutlu problemlerin de cebirsel olarak ele
alınabilmesini sağlamaktadır. Sonuç olarak, cebirsel yöntemlerin iyi bir şekilde
anlaşılması, fizikte pek çok alana uygulanması ve geliştirilmesi önemli bir çalışmadır.
68
KAYNAKLAR
Abramowitz, M. and Stegun, I.A. 1970. Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, pp. 556-780, Dover books on
Mathematics, Washington D.C.
Askey, R. 1975. Orthogonal Polynomials and Special Functions, SIAM, pp. 7-9.
Barut, A.O, Ne’eman, Y. and Bohm, A. 1988. Dynamical Groups And Spectrum
Generating Algebras, Vol. 1; pp. 115-125, World Scientific.
Calzada, J.A., Kuru, Ş., Negro, J. and Del Olmo, M.A. 2012. Dynamical algebras of
general two-parametric Pöschl-Teller Hamiltonians, Annals of Physics, Vol. 327;
Issue: 3; pp. 808-822.
Cooper, F., Khare, A. and Sukhatme, U. 2001. Supersymmetry in Quantum Mechanics,
pp. 15-33, World Scientific, London.
Cruz, S., Kuru, Ş. and Negro, J. 2008. Classical motion and coherent states for Pöschl-
Teller potentials, Physics Letters A, Vol. 372; Issue: 9; pp. 1391-1405.
Dong, S. 2010. Factorization Method in Quantum Mechanics, pp. 3-32, Springer,
The Netherlands.
Flügge, S. 1994. Practical Quantum Mechanics, pp. 89-93, Springer-Verlag, Germany.
Junker, G. 1996. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics, pp.7-16,
Springer-Verlag, Berlin.
Kuru, Ş. 2004. Çizgisel ve Çizgisel Olmayan Integrallenebilir Sistemler, Darboux
Dönüşümleri ve Süpersimetri. Doktora tezi (basılmamış). Ankara Üniversitesi,
110 s., Ankara.
69
Kuru, Ş. and Negro, J. 2008. Factorization of one-dimensional classical systems, Annals
of Physics, Vol. 323; Issue: 12; pp. 413-431.
Kuru, Ş. and Negro, J. 2009. Dynamical algebras for Pöschl-Teller Hamiltonian
hierarchies, Annals of Physics, Vol. 324; Issue: 12; pp. 2548-2560.
Lemus, R. and Bernal, R. 2002. Connection of vibron model with modified Pöschl-
Teller potential in configuration space, Chemical Physics, pp. 401-417.
Sukumar, C.V. 1996. Supersymmetric Quantum Mechanics and Its Applications,
Wadham Colloge, pp. 4-6, England.
70
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Engin AŞLAR
Doğum Yeri : Ankara
Doğum Tarihi : 30.05.1988
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Keçiören Bağlum Lisesi (2005)
Lisans : Ankara Üniversitesi (2010)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı
(Şubat 2011-Haziran 2013)
Related Documents
