2013 GEOMETRÍA MODERNA GEOMETRÍA MODERNA GEOMETRÍA MODERNA GEOMETRÍA MODERNA Profesor: Profesor: Profesor: Profesor: Bonilla Salcedo Universidad Nacional Universidad Nacional Universidad Nacional Universidad Nacional Federico Villarreal Federico Villarreal Federico Villarreal Federico Villarreal Facultad de Educación Matemática Matemática Matemática Matemática - Física Física Física Física Tema: DIEDROS, TRIEDROS, POLIEDROS Y POLIEDROS REGULARES INTEGRANTES : CÓRDOVA CONDORI, TORIBIO HUIMAN NAKANDAKARI, JUAN CICLO: X AÑO: 5TO AULA: A3-7
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Universidad Nacional Universidad Nacional Universidad Nacional Universidad Nacional Federico Villarreal Federico Villarreal Federico Villarreal Federico Villarreal
Facultad de Educación Matemática Matemática Matemática Matemática ---- FísicaFísicaFísicaFísica
Tema:
DIEDROS,
TRIEDROS,
POLIEDROS Y
POLIEDROS
REGULARES
INTEGRANTES:
� CÓRDOVA CONDORI, TORIBIO � HUIMAN NAKANDAKARI, JUAN
CICLO: X AÑO: 5TO AULA: A3-7
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA
ÁNGULOS DIEDROS
Es la figura geométrica formada por la unión
de sus semiplanos que tienen una recta en
común a la cual se le denomina arista del
ángulo diedro.
Notación:
Ángulo Diedro AB ó
Ángulo Diedro
P - AB - Q
θθθθ: Medida del ángulo
Diedro
� PLANOS PERPENDICULARES
Dos planos son perpendiculares, cuando
determinan diedros que miden 90º.
θθθθ: Medida del
ángulo diedro.
Si θθθθ = 90º
⇒ P Q
Observación.- Dos diedros adyacentes son suplementarios.
� PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE
UN PLANO
Por definición la proyección ortogonal de un
punto sobre un plano es el pie de la
perpendicular trazada de este punto al plano. De
esto se concluye que la proyección ortogonal de
cualquier figura geométrica sobre un plano es la
reunión de las proyecciones
ortogonales de todos sus puntos sobre dicho
plano.
Sea 'PP Q ⇒ P’ es la proyección del punto P sobre el plano Q
Además M es la proyección ortogonal de
L sobre el plano Q.
P Qcara cara
x y θθθθ
B
A
Arista
θ
P
Q
P
αααα θθθθ
Q
α + θ = 180º
P’
θ m
P L
Q
Toribio Córdova Condori – Juan Huiman Nakandakari
Universidad Nacional Federico Villarreal X Ciclo GEOMETRÍA MODERNA
POLIEDROS
Poliedro es un sólido completamente
limitado por polígonos. El mínimo número de
caras que tiene un poliedro es cuatro.
� ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
Los elementos principales de un poliedro son:
Arista
Cara
Vértice
Diagonal
Caras
Son los polígonos que limitan los poliedros.
Aristas
Son las intersecciones de las caras.
Vértice
Son los puntos donde se encuentran las
aristas-
Ángulos Diedros
Son los formados por dos caras consecutivas.
Ángulos Poliedros
Son los formados en los vértices del
poliedro
Diagonal
Es el segmento que une dos vértices no
situados en la misma cara
� CLASIFICACION 1) Por el número de caras:
- Tetraedro: cuando tiene 4 caras
- Pentaedro: cuando tiene 5 caras
- Hexaedro: cuando tiene 6 caras
- Heptaedro: cuando tiene 7 caras
- Octaedro: cuando tiene 8 caras
2) Según sus características:
a. Poliedro Convexo.- Cuando cualquiera
de sus secciones planas es un polígono
convexo, o equivalentemente, si el
segmento que une dos puntos
cualesquiera del poliedro está totalmente
contenido en el poliedro.
b. Poliedro no convexo.- Cuando alguna de
las secciones planas es un polígono
cóncavo. Al trazar una recta secante
corta en más de 2 puntos de intersección
a su superficie poliédrica.
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1 2
3 4
5 6
c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus
caras son polígonos regulares e iguales, y
sus ángulos diedros y triedros también
son iguales.
d. Poliedro Irregular.- Cuando sus caras
son polígonos irregulares y desiguales, y
sus angulos poliedros no son todos
iguales.
� TEOREMA DE EULER
En todo poliedro convexo el número de caras
aumentado en el número de vértices es igual
al número de aristas más dos.
Si para un poliedro convexo:
C → número de caras
V → número de vértices
A → número de aristas
Entonces se verifica que:
C + V = A + 2
� POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son
polígonos regulares iguales entre si:
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A) TETRAEDRO: Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteras.
A
B
C
O
G
Notación: Tetraedro Regular O – ABC Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)
3
6OG
l=
Volumen (V):
12
2V
3l=
Superficie total o Área (A):
3A 2l=
B) HEXAEDRO: Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le denomina cubo.