Page 1
ANALİZ
1.) a) sgnx. sgn(x − 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
b) 12 23 xxxf )( fonksiyonu veriliyor. ),( 30c olacak şekilde ortalama
değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer
var ise bulunuz.
2.) 12
4
x
xy fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz.
3.) a) y = f(x) = x2−3x−4
x2−ax eğrisinin x ‒ eksenini kestiği noktalardaki teğetlerinin
birbirine dik olması için a ne olmalıdır? Araştırınız.
b) f(x) = x3 + 2x2 + cx + d fonksiyonunun IR de artan bir fonksiyon olması
için c ne olmalıdır? Araştırınız.
4.)
Şekilde görüldüğü gibi bir kenarının uzunluğu 20cm
olan kare biçimindeki bir karton levhanın
köşelerinden , bir kenarı x cm olan kare parçalar
kesilip atılıyor. Geri kalan parça, çizgiler boyunca
katlanarak üstü açık bir kare prizma yapılmak
isteniyor. Bu kare prizmanın hacminin en büyük
olması için x kaç cm olmalıdır? Bu durumdaki
hacmini hesaplayınız.
5.) a) 10 ,e sayısının değerini diferansiyel yardımı ile yaklaşık olarak bulunuz.
b) 22x
2xlim
3
8x
=? Limitini Hospital kuralını kullanmadan hesaplayınız.
6.) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a) ?arcsin
2 dx
x
x
b) ∫
𝐝𝐱
√𝐱+𝟏+(√𝐱+𝟏)𝟑 c) ∫
𝐝𝐱
𝐞𝟐𝐱−𝟐𝐞𝐱
7. )
t
t
ey
ex
2
2
4
3 parametrik denklemleriyle verilen eğrinin 0t dan t = ln5 ‘e kadar
olan yayının uzunluğunu bulunuz.
8.) 2 8 19
( )5
x xy f x
x
fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çziniz
8.) Tabanı kare ve üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir su deposu yapılmak
İsteniyor. 1200 dm 2 lik bir saç levhadan yapılacak en büyük su deposunun hacmini
türev yardımıyla bulunuz.
9.) y = 6 + 4x − x2 eğrisi ve y = 2x − 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanını şekil
çizerek integral yardımıyla bulunuz.
10.) (0 < 𝑎 < 𝑏) olmak üzere 222 )( abyx eğrisinin x - ekseni etrafında
döndürülmesinde meydana gelen cismin hacmini şekil çizerek integral yardımıyla
bulunuz.
x x
x
x
x
x
x
x
20cm
Page 2
11) 2
3 1 1: , ( ) ( , , )
t tIR E t t t
t t
ile tanımlanan eğrinin )0,0,1( noktasındaki Frenet vektörlerini Gram-Schmidt
ortonormalleştirme metodunu kullanarak bulunuz.
12) 𝑉 ve 𝑊, 𝐸3 Öklid uzayındaki her bir noktada lineer bağımsız olacak şekilde iki
vektör alanı olmak üzere 𝐸1 =𝑉
‖𝑉‖, �̃� = 𝑊 − (𝑊.𝐸1)𝐸1 , 𝐸2 =
�̃�
‖�̃�‖ , 𝐸3 = 𝐸1×𝐸2
vektör alanları tanımlanıyor. ∀𝑃 ∈ 𝐸3 noktası için {𝐸1(𝑃), 𝐸2(𝑃), 𝐸3(𝑃) } kümesinin
bir çatı oluşturup oluşturmadığını araştırınız.
13)
3 1 1: , , , 2 ln
2I E t t t
t
eğrisinin birim hızlı olup olmadığını araştırınız.
Eğer birim hızlı değil ise yay parametresi cinsinden ifade ediniz.
14.) 12 23 xxxf )( fonksiyonu veriliyor. ),( 30c olacak şekilde ortalama değer
teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise
bulunuz.
15.) 4 623 nin değerini diferansiyel yardımıyla yaklaşık olarak hesaplayınız.
16.) (𝑎𝑛) = ((−𝟏)𝒏
𝒏𝟑) dizisinin alt ve üst limitlerini bulup, (𝑎𝑛) dizisinin limitinin olup
olmadığını araştırınız.
17.) 𝑅22 de 𝑆 = { [
1 −1−1 1
] , [ 2 −1 1 2
] , [ 1 1−1 −1
] , [ −1 −1 1 1
] } kümesinin lineer
bağımsız
olup olmadığını araştırınız. Eğer lineer bağımlı ise, vektörler arasındaki bağıntıyı
bulunuz.
18.) 𝑈 = {[010], [
111] , [
123] } kümesi veriliyor.
a) 𝑈 kümesinin𝑅13 vektör uzayının bir tabanı olup olmadığını araştırınız(10 P.).
b) 𝑈 bir taban ise 𝐴 = [132] vektörünü bu taban vektörlerin lineer birleşimi olarak yazınız.
Page 3
19.)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + (𝑡2 − 5)𝑧 = 2
lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin
a) Çözümünün olmaması,
b) Tek çözümünün olması,
c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız.
20.) x
xxy
23 fonksiyonunun değişimini inceleyip, grafiğini çiziniz.
ANALİTİK GEOMETRİ
1.) a) 𝐴(1, 0), 𝐵(−2, 3) ve C (−1, 1) olmak üzere, 𝐴𝐵𝐶 üçgeninde [𝐵𝐶] kenarına ait
yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.
b) 𝐴(2,1) noktasından geçen ve 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 doğrusu ile 45° lik açı yapan
doğruların
denklemlerini bulunuz.
2.)
tztyx
zyx
zyx
)5(
32
2
2
lineer denklem sistemi veriliyor. Bu lineer denklem sisteminin
a) Çözümünün olmaması, b) Tek çözümünün olması,
c) Sonsuz sayıda çözümünün olması için 𝑡 ne olmalıdır, araştırınız.
3.) a) 𝐴(𝑥1, 𝑦1) noktasının 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 doğrusuna olan en kısa uzaklığı 𝑑 ise,
𝑑 =| 𝑎𝑥1+𝑏𝑦1+𝑐 |
√𝑎2+𝑏2 olduğunu gösteriniz.
b) Merkezi O olan bir ABCDEF düzgün altıgeni veriliyor. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
6𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ olduğunu gösteriniz.
4.)
12915
13401
00421
24531
B
matrisini satırca indirgenmiş eşelon forma getiriniz.
5.) a) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 çemberi ile 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 2 = 0 çemberinin
kesim
noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
b) 2𝑥 + 𝑎𝑦 + 6 = 0 ve 3𝑎𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0 doğruları 𝑦 = 𝑥 doğrusu üzerinde
kesiştiklerine göre 𝑎 kaçtır?
Page 4
6.) a) 𝐴 = (5, 12) vektörü ile aynı doğrultu fakat zıt yönlü birim vektörü bulunuz.
b) 𝐴(−1, 2) ve 𝐵(3,1) noktaları ile 𝐶 = (𝑎, 3) vektörü veriliyor. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐶 ise 𝑎
kaçtır?
7.) a) 𝐴 = (−3, 4) vektörüne dik birim vektörleri bulunuz.
b) Köşeleri 𝐴(2,0) , 𝐴′(−2, 0) olan ve 𝐾(√2, 1) noktasından geçen elipsin
denklemini
bulunuz.
8.) 9𝑥2 + 25𝑦2 = 225 elipsinin
a) Eksen uzunluklarını.
b) Odaklar arası uzaklığını bulunuz.
9.) a) 𝑥2 + 4𝑦2 = 4 elipsine 𝐾(4, 0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını
bulunuz.
b) 𝑥2
16+
𝑦2
9= 1 elipsinin 𝑦 = 3𝑥 − 1 doğrusuna paralel olan teğetlerinin denklemlerini
bulunuz.
10.) a) Odakları 𝐹′(−2, 0) ve 𝐹(2, 0) olan ve 𝑃(−2, 3) noktasından geçe hiperbolün
denklemini bulunuz.
b) 𝑥2 − 4𝑦2 = 1 hiperbolüne 𝑃(2, −1) noktasından çizilen teğetin eğimini,
normalin
eğimini, teğetin denklemini ve normalin denklemini bulunuz.
LİNEER CEBİR
1. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz.
2 4,
3 5 3 1,
2 7 8.
x y z
x y z
x y z
2. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz:
2 5,
2 2 5,
7 10.
x y z
x y z
x y z
3. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz:
3 2 2 1,
3 0,
5 3 4 1.
x y z
x y z
x y z
4. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz:
1 2 1 4
0 5 1 4
1 3 4 6
А
Page 5
5. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız:
2 5,
2 2 3 6,
3 2 1.
x y z u
x y z u
x y z u
6. Aşağıdaki denklemin 2 5 0x
[2,2; 2,3] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz.
7. Matrisin öz değer ve öz vektörünü bulunuz.
1 4
9 1А
8. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz. 2 2
1 2 1 2 1 2( , ) 4 6L x x x x x x .
9. Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla
araştırınız. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 3 3 2 2 4L x x x x x x x x x x x x .
10. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz: 3 23 3 0x x x .
11. Aşağıdaki denklem sistemini ters matris metodu yardımıyla çözünüz:
3 2 2 1,
3 0,
5 3 4 1.
x y z
x y z
x y z
12. Aşağıdaki denklem sistemini Gauss metodu yardımıyla çözünüz:
2 3,
2 2 3,
7 6.
x y z
x y z
x y z
13. Aşağıdaki denklem sistemini Cramer metodu yardımıyla çözünüz:
2 4,
3 5 3 1,
2 7 8.
x y z
x y z
x y z
14. Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz:
1 3 1 5
0 5 1 4
1 5 4 8
А
15. Aşağıdaki denklem sisteminin tekliğini araştırınız:
2 3 3,
2 4 5 6,
3 4 1.
x y z u
x y z u
x y z u
Page 6
16. Aşağıdaki denklemin 2 5 0x
[-2,3; -2,2] aralığındaki kökünü Newton metodu yardımıyla çözünüz.
17. Matrisin özdeğer ve özvektörünü bulunuz.
3 4
9 3А
18. Aşağıdaki kuadratik formu kanonik hale getiriniz: 2 2
1 2 1 2 1 2( , ) 6 8L x x x x x x .
19. . Aşağıdaki kuadratik formun pozitif veya negatifliğini Silvester kriterleri yardımıyla
araştırınız: 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 3 4 3 2 2 2L x x x x x x x x x x x x .
20. Aşağıdaki denklemin köklerini bulunuz: 3 24 4 0x x x .
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
1. Aşağıdaki değişkenlerine ayırılabilen diferansiyel denklemi çözünüz: 2 2( 1) 2 0x y xy , (0) 1y .
2. Aşağıdaki deiferansiyel denklemi çözünüz: 2 2( 2 ) 0y xy dx x dy .
3. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Bernoulli veya Langrange metodları yardımıyla
çözünüz:
tg secy y x x .
4. Aşağıdaki Bernoulli diferansiyel denklemini çözünüz: 3 34 2 0y x y xy .
5. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
2 2 0x y x dx ydy
6. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: 2( )y xy y .
7. Aşağıdaki diferansiyel denklemi Euler metodu yardımıyla çözünüz: IV 8 9 0y y y .
8. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
6 9 8 xy y y xe .
9. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
4 cosy y x x .
10. Aşağıdaki Riccati diferansiyel denklemini çözünüz: 2 22 1x x xy e y ye e ,
1
xy e .
11. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz: IY xxy y e .
Page 7
12. Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz:
3 0yy y y .
13. Aşağıdaki sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü
bulunuz:
5 3 ,
3 .
dxx y
dt
dyx y
dt
14. Aşağıdaki Cauchy problemini çözünüz:
2 0y y y , (2) 1y , (2) 2y .
15. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla
bulunuz:
3 2
2 3
dxx y
dt
dyx y
dt
16. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü Euler metodu yardımıyla
bulunuz:
4
2
2
dxx y z
dt
dyx y z
dt
dzx y z
dt
17. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün faz yörüngelerini oluşturunuz:
5 3 ,
3 .
dxx y
dt
dyx y
dt
18. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünü varyasyyon metodu
yardımıyla bulunuz:
,
.
t
t
dxx y e
dt
dyx y e
dt
Page 8
19. Aşağıdaki diferansiyel denklem sisteminin çözümünün kararlılığını araştırınız 5
2
2 3x x y x
y x y y
20. Aşağıdaki lineer diferansiyel denklemi karakterize edici denklemlerinin köklerini
belirleyip, çözümlerinin kararlılığını araştırınız
2 0y y y y
KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER
1. Denklemi çözünüz:
а) 7 32 0;u u
x y
б) ( 2 ) 0.u u
x y yx y
2. Denklemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz. 22 sin7 cos 7 0.tt tx xxu u x u x
3. Cauchy problemini çözünüz :
2
2
36 ,
1(0, ) 13 2, (0, ) .
9 49
tt xx
t
u u
u x x u xx
4. Drichlet problemini çözünüz:
2
( , ) 0, 0 3,
(3, ) sin 2 , 0 2 .
u r r
u
5. Deknlemin türünü belirleyip kanonik hale getiriniz: 2 25 4 3 0 ( , 0).tt tx xxx u txu x u t x
6. Fourier metodu yardımıyla çözünüz :
49 , 0 5, 0 ,
( ,0) 0, ( ,5) 0,
(0, ) 3 , (0, ) 19.
tt xx
t
u u x t
u t u t
u x x u x
7. Drichlet problemini çözünüz:
( , ) 0, 8 ,
(8, ) cos6 , 0 2 .
u r r
u
8. Cauchy problemini çözünüz:
а)
2 2( ) ( ) 15,
(2, ) 3 8;
u u
x y
u y y
б) 6 11 ,
4, 18 1.
u uu xy
x y
x u y
Page 9
9. Denklemi çözünüz:
925 sin(23 ),
( ,0) 0, ( ,10) 0,
(0, ) 0, (0, ) 0.
ttt xx
t
u u e x
u t u t
u x u x
10. Cauchy problemini çözünüz:
2 14 17cos 5 , [0, ], ,60
( ,0) 16, [0, ].60
t xxu u t t x R
u t t
Page 10
Kompleks Analiz
1) 𝑧𝜖ℂ olmak üzere 𝑧3 = −1 denkleminin köklerini bulunuz.
2) |𝑧 − 3𝚤| < 3 kompleks sayılarına karşılık gelen noktaların
geometrik yerini bulunuz ve 𝑥, 𝑦 – düzleminde belirleyiniz.
3) ∫𝑧2+3𝑧+𝑧
(𝑧−1)(𝑧+5)𝑑𝑧, |𝑧| =
3
2 integralini hesaplayınız.