Réf. document SX029a-FR-EU Feuill 1 de 28 Titre Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée Réf. Eurocode Réalisé par Valérie Lemaire Date Avril 2006 FEUILLE DE CALCUL Vérifié par Alain Bureau Date Avril 2006 Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée Portique à une seule travée constitué de profilés laminés dimensionné selon l'EN 1993-1-1. Cet exemple d'application comprend l'analyse élastique du portique selon la théorie du premier ordre ainsi que la vérification des barres sous combinaisons ELU. 30,00 5,988 α [m] 7,20 7,30 72,00 1 Données • Longueur totale : b = 72,00 m • Espacement : s = 7,20 m • Largeur de la travée : d = 30,00 m • Hauteur (max) : h = 7,30 m • Pente du toit : α = 5,0° 1 3,00 3,00 3,00 3,00 3,00 1 : Maintiens en torsion Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée Créé le mardi 6 novembre 2007 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur - tous droits réservés. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel
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Réf. document SX029a-FR-EU Feuill 1 de 28 Titre
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
Réf. Eurocode Réalisé par Valérie Lemaire Date Avril 2006
FEUILLE DE CALCUL
Vérifié par Alain Bureau Date Avril 2006
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
Portique à une seule travée constitué de profilés laminés dimensionné selon l'EN 1993-1-1. Cet exemple d'application comprend l'analyse élastique du portique selon la théorie du premier ordre ainsi que la vérification des barres sous combinaisons ELU.
30,00
5,98
8
α
[m]
7,20
7,30 72,00
1 Données
• Longueur totale : b = 72,00 m • Espacement : s = 7,20 m • Largeur de la travée : d = 30,00 m • Hauteur (max) : h = 7,30 m • Pente du toit : α = 5,0°
1
3,00 3,00 3,00 3,00 3,00
1 : Maintiens en torsion
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC
réé
le m
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6 n
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2007
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2 Charges
EN 1991-1-12.1 Charges permanentes
• poids propre de la poutre
• toiture, y compris l’empannage : G = 0,30 kN/m2
soit pour un portique courant : G = 0,30 × 7,20 = 2,16 kN/ml
2.2 Charges de neige EN 1991-1-3Valeurs caractéristiques des charges de neige sur la toiture, en [kN/m] S = 0,8 × 1,0 × 1,0 × 0,772 = 0,618 kN/m²
⇒ Soit pour un portique courant : S = 0,618 × 7,20 = 4,45 kN/m
α
7,30
30,00
s = 4,45 kN/m
[m]
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC
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2.3 Charges de vent EN 1991-1-4Valeurs caractéristiques des charges de vent, en kN/m, pour un portique courant :
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3.3 Combinaisons à l'ELS EN 1990 Les combinaisons et les limites de déformation devraient être précisées pour chaque projet par les documents du marché ou par l'Annexe Nationale.
Moment d'inertie par rapport à l'axe y-y Iy = 48200 cm4
Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z Iz = 2141 cm4
Inertie de torsion It = 89,29 cm4
Inertie de gauchissement Iw = 1249400 cm6
Module élastique par rapport à l'axe y-y Wel,y = 1928 cm3
Module plastique par rapport à l'axe y-y Wpl,y = 2194 cm3
Module élastique par rapport à l'axe z-z Wel,z = 214,1 cm3
Module plastique par rapport à l'axe z-z Wpl,z = 335,90 cm3
5 Analyse globale On suppose que les assemblages sont :
• articulés pour les pieds de poteau
• rigides pour les assemblages poteau-poutre.
L'ossature a été modélisée à l'aide du programme EFFEL.
EN 1993-1-1
§ 5.2
5.1 Coefficient d'amplification du flambement αcr Afin d'évaluer la sensibilité de l'ossature aux effets du 2ème ordre, on réalise une analyse d'instabilité afin de calculer le coefficient d'amplification de flambement αcr pour la combinaison de charges correspondant à la charge verticale la plus élevée : γmax G + γQ QS (combinaison 101).
EN 1993-1-1
§ 5.2.1
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC
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Le tableau suivant donne la valeur des réactions au niveau des appuis.
Poteau gauche 1 Poteau droit 2 Total Comb. à l'ELU HEd,1
kN VEd,1
kN HEd,2
kN VEd,2
kN HEd
kN VEd
kN
0,15 ⎢VEd ⎢
101 -125,5 -172,4 125,5 -172,4 0 -344,70 51,70
102 95,16 80,74 -24,47 58,19 70,69 138,9 20,83
103 -47,06 -91,77 89,48 -105,3 42,42 -197,1 29,56
104 -34,59 -73,03 77,01 -86,56 42,42 -159,6 23,93
105 43,97 11,97 26,72 -10,57 70,69 1,40 0,21
106 56,44 30,71 14,25 8,17 70,69 38,88 5,83
L'imperfection d'aplomb ne doit être prise en compte que pour la combinaison 101 :
VEd
Kn Heq = φ.VEd
kN
172,4 0,552
⇒ Modélisation avec Heq pour la combinaison 101
EN 1993-1-1
§ 5.3.2 (7)
5.3 Résultats de l'analyse élastique 5.3.1 Etats limites de service Les combinaisons et les limites de déformation devraient être précisées pour chaque projet par les documents du marché ou dans l'Annexe Nationale.
Pour cet exemple, les flèches obtenues par modélisation sont les suivantes :
EN 1993-1-1
§ 7 et
EN 1990
Flèches verticales :
G + Neige : Dy = 124 mm = L/241
Neige seulement : Dy = 73 mm = L/408
Flèches horizontales : Flèche au sommet du poteau ne résultant que de l'action du vent
Dx = 28 mm = h/214
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC
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• Semelle : L'élancement de la semelle est c / t = 80 / 19 = 4,74 f
La limite pour la classe 1 est : 9 ε = 9 × 0,92 = 8,28
Donc : c / tf = 4,74 < 8,28 La semelle est de classe 1
Donc la section est de classe 1. La vérification de la barre reposera sur la résistance plastique de la section transversale.
6.2 Résistance de la section transversale Vérification pour l'effort tranchant Aire de cisaillement : A = A - 2btv f + (tw+2r)t ≥ η hf w tw EN 1993-1-1
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6.3 Résistance au flambement La résistance au flambement du poteau est suffisante si les conditions suivantes sont remplies (pas de flexion par rapport à l'axe faible, M
EN 1993-1-1 = 0) : z,Ed § 6.3.3
1
M1
Rky,LT
Edy,yy
M1
Rky
Ed ≤+
γχ
γχ M
MkN
N
1
M1
Rky,LT
Edy,zy
M1
Rky
Ed ≤+
γχ
γχ M
MkN
N
Les coefficients k et kyy zy seront calculés à l'aide de l'Annexe A de l'EN 1993-1-1.
EN 1993-1-1L'ossature n'est pas sensible aux effets du second ordre (αcr = 14,57 > 10). § 5.2.2 (7)La longueur de flambement du poteau pour le flambement dans le plan du
portique peut donc être prise comme étant égale à la longueur d’épure.
Lcr,y = 5,99 m
Remarque : Pour une ossature symétrique à une seule travée qui n'est pas sensible aux effets du second ordre, la vérification du flambement dans le plan n'est généralement pas pertinente. La vérification de la résistance de la section transversale au sommet du poteau sera déterminante pour le dimensionnement du profil.
Vis à vis du flambement hors plan, la barre n'est maintenue latéralement qu'à ses deux extrémités. Donc :
L = 5,99 m pour le flambement par rapport à l’axe faible cr,z
Lcr,T = 5,99 m pour le flambement par torsion
et Lcr,LT = 5,99 m pour le déversement
EN 1993-1-1• Flambement par rapport à l'axe y-y Lcr,y = 5,99 m § 6.3.1.2 (2) Courbe de flambement : a (αy = 0,21)
Tableau 6.1
100059901000092080210000
22
2ycr,
y2ycr,
×××
== ππL
EIN =53190kN
EN 1993-1-1
284,010.5319027515600
3ycr,
yy =
×==
NAf
λ § 6.3.1.3 (1)
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC
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7.2 Résistance de la section transversale La résistance de la section transversale (IPE 500) est vérifiée avec le moment de flexion maximal sur la longueur de la barre.
Combinaison 101
Effort maximal dans l'IPE 500 à l'extrémité du jarret :
N = 136,00 kN Ed
V = 118,50 kN Ed
M = 349,10 kNm y,Ed
305,23 kNm
349,10 kNm 754,98 kNm
Combinaison 101 : Diagramme du moment fléchissant le long de la traverse.
Cisaillement V = 118,50 kN EN 1993-1-1Ed
§ 6.2Av = A - 2btf + (tw+2r)tf η = 1
598516)2122,10(16200211550 =××++××−=vA mm2
En 1993-1-1Av > η.hw.tw = 468×10,2 = 4774 mm2
§ 6.2.8 (2)3 3Vpl,Rd = Av (f / ) /γ = 5985×275/ /1000 = 950,3 kN y M0
V / VEd pl,Rd = 118,5/950,3 = 0,125 < 0,50
⇒ ses effets sur la résistance en flexion peuvent être négligés !
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée
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Compression EN 1993-1-1
Npl, = 11550 x 275/1000 = 3176 kN § 6.2.4Rd
N = 136 kN < 0,25 NEd pl, = 3176 × 0,25 = 794,1 kN et Rd
EN 1993-1-1kN
fth4,656
100012752,104685,05,0
M0
yww =×
×××=
γN = 136 kN < Ed § 6.2.8 (2)
⇒ ses effets sur la résistance en flexion peuvent être négligés !
Flexion EN 1993-1-1
§ 6.2.5Mpl,y,Rd = 2194 × 275/1000 = 603,4 kNm
M = 349,10 kNm < My,Ed pl,y,Rd = 603,4 kNm
7.3 Résistance au flambement EN 1993-1-1Barres à section constante en flexion composée § 6.3.3Vérification avec les formules d'interaction
1
M1
Rky,LT
Edy,yy
M1
Rky
Ed ≤
γχ
+
γχ M
MkN
N 1
M1
Rky,LT
Edy,zy
M1
Rkz
Ed ≤
γχ
+
γχ M
MkN
N et
• Flambement par rapport à l'axe y-y : Pour la détermination de la longueur de flambement de la traverse par
rapport à l'axe y-y, on réalise une analyse d'instabilité du portique avec un maintien fictif au sommet du poteau, afin de calculer le coefficient d'amplification de flambement α
EN 1993-1-1
§ 6.3.1.2 (2)cr de la traverse, pour la combinaison de charges correspondant à la charge verticale la plus élevée :
Tableau 6.1 Combinaison 101 ⇒ αcr = 37,37
EN 1993-1-1
§ 6.3.1.3 (1)
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EN 1993-1-1Courbe de flambement : a (h/b>2) ⇒ αy = 0,21 § 6.3.1.2 (2)kNNN 508213637,37Edcrycr, =×=α=
Tableau 6.1 7906,0
10.508227511550
3ycr,
yy =
×==λ
NAf
( )[ ]2yyy 2,015,0 λλαφ +−+=
( )[ ]2y 7906,02,07906,021,015,0 +−×+×=φ = 0,8745
8011,07906,08745,08745,0
11222
y2
yy
y =−+
=−+
=λφφ
χ
• Flambement par rapport à l'axe z-z : Pour le flambement par rapport à l'axe z-z et pour le déversement, la longueur de flambement est prise comme étant égale à la distance entre les maintiens en torsion :
Lcr = 6,00m
Remarque : la panne intermédiaire ne maintient latéralement que la semelle supérieure. Son influence pourrait être prise en compte, mais elle est négligée dans ce qui suit, ce qui place du côté de la sécurité.
Flambement par flexion EN 1993-1-1
L = 6,00 m § 6.3.1.3cr,z
10006000
1000021412100002
22
zcr,
z2zcr, ×
××== ππ
LEIN = 1233kN
Flambement par torsion NCCI
Lcr,T = 6,00 m SN003
)( 2Tcr,
w2
t0
Tcr, LEIGI
IAN π
+=
avec y = 0 et z = 0 (section doublement symétrique) o o
50340214148199)( 20
20zy0 =+=+++= AzyIII cm4
Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC
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z
y
zy
ycr,
Ed
zmLTmyzy 6,01
1 ww
CNN
CCk−
=μ
5859,050,1
138,16,09011,01
50821361
9208,0072,1996,0zy =×××−
××=k
Vérification avec les formules d'interaction EN 1993-1-1
§ 6.3.31
M1
Rky,LT
Edy,yy
M1
Rky
Ed ≤+
γχ
γχ M
MkN
N
(6.61)
8131,0
127510.21948503,0
10.1,349116,1
1275115508011,0
1360003
6
=×
××+
××
< 1 OK
1
M1
Rky,LT
Edy,zy
M1
Rkz
Ed ≤+
γχγ
χ MM
kNN
(6.62)
5385,0
127510.21948503,0
10.1,3495859,0
1275115503063,0
1360003
6
=×
××+
××
< 1 OK
8 Vérification du jarret
Pour la vérification du jarret, la partie comprimée de la section transversale est considérée comme étant isolée, avec une longueur de flambement par rapport à l'axe z-z égale à 3,00 m (longueur entre le sommet du poteau et le premier maintien).
Efforts et moments maximaux dans le jarret :
N = 139,2 kN Ed
= 151,3 kN VEd
M = 755 kNm Ed
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