-
Calcul global en éléments finisd'un portique
tridimensionnelfondé sur un massif d'argile
Cet article présente l'analyse en éléments finis de
laconsolidation d'un massif d'argile et de son interactionau cours
du temps avec un portique tridimensionnelfondé superficiellement
sur l'argile. L'évolution enfonction du temps des efforts normaux
et des momentsfléchissants dans les éléments de la structure
(poutres etcolonnes) est comparée avec celle de
l'analyseindépendante du temps. On observe que, dans
certainséléments de la structure, les forces maximales seproduisent
pendant la consolidation et que le contrôledes efforts finaux
obtenus par une analyseconventionnelle indépendante du temps peut
êtreinsuffisant.
l.slIEl=lv,l.SllÉV. NASRI
J..P. MAGNANLaboratoire Central
des Ponts et Chaussées,58, boulevard Lefebwe,
75732 Paris Cedex 75
Interactive finite element analysisof a three- dimensional
frameon aclay medium
Consolidation anaiysis using a finite element formulation
basedon Biot's consolidation theory has been used to study the
time-dependent behaviour of a frame structure resting on a soft
claylayer. The effect of soil consolidation on the entire
interactivebehaviour of a frame-soii mass system is considered.
Timehistory of axial forces and bending moments of the
structuralelements (beams and coiumns) are compared with those of
time-independent analysis. It is shown that, in some elements,
themaximum forces in the frame occur during consolidation andthat
checking the final forces in the frame by
time-independentconventional frame analvsis mav not be
sufficient.
l+,IrJt(olL-| {r,lutl-ol<
ô3REVUE FRANçAIsE or cÉorecrNreuE
N. g2
le,trimestre i998
-
EIntroduction
Le comportement des strucfures reposant sur des solsdéformables
est souvent analysé en séparant Ie calcul desdéformations et de la
consolidation des sols, d'une part,et le calcul de la structure,
d'autre part. Les recherèhessont aussi menées en général de façon
séparée, avec unesérie de travaux de développement de la
modélisationdes sols argileux saturés, dans la ligne des travaux
deTerzaghi pour la consolidation unidimensionnelle et deBiot pour
le couplage des équations de la mécanique desmilieux continus et de
l'hydraulique des sols, et une sériede travaux sur la modélisation
des structures (Magnan,1987). Le développement de procédures de
calcul simul-tané des déformations des structures et des sols dans
lelogiciel CÉSAR-LCPC (Humbert, lg8g; Nasri, 1996) per-met
d'envisager un développement important des ana-lyses couplées de
sols et de structures, en levant certainesIimitations des méthodes
d'analyse classiques.
Après un rappel de quelques étapes du développe-ment des
recherches sur les calculs d'interaction dessols et des structures,
l'article présente l'analyse glo-bale des efforts et des
déformations dans un portiquetridimensionnel fondé
superficiellement sur unecouche d'argile saturée.
Elnteraction sol-structure Ir epèr es bi b I iograph iq ues
Depuis une vingtaine d'années, de nombreux tra-vaux ont été
effectués pour étudier l'influence de l'inter-action sol-structure
dans les structures en portiques.Lee et Harrison (1970) ont
présenté deux méthodes danslesquelles la distribution supposée de
la pression decontact est modifiée par un processus itératif.
Hadda-din (1,971) a proposé une approche de sous-structura-tion
bidimensionnelle pour l'analyse interactive linéairedes portiques
avec les radiers. Lee et Brown (lgTZ) onteffectué deux analyses
d'interaction pour une structurede sept étages et trois travées :
pour la première, Ie solest traité à l'aide du modèle de winkl€r ;
dans laseconde, il est considéré comme un milieu semi-infini.La
solution pour un système portique-radier-sol bidi-mensionnel, dans
lequel le portique et le radier ont étédiscrétisés en éléments de
poutre et le massif de sol enéléments de massif rectangulaires, â
été présentée parKing et Chandrasekaran (1974). Brown (1gBG) a
examinél'effet de l'évolution de la construction sur
l'interactiondu sol et de la structure : il a trouvé que la
rigidité effec-tive d'un bâtiment pendant la construction
représenteenviron la moitié de la rigidité de la structure
complète.
Des études concernant l'influence de l'interactionentre un
portique tridimensionnel, un radier et unmassif de sol sur la
redistribution des moments flé-chissants, des efforts tranchants,
des pressions decontact et des tassements différentiels ont été
rap-portées par plusieurs auteurs. Hain et Lee (1974) ont
analysé des portiques tridimensionnels de (trois partrois) et
(six par trois) travées en utilisant l'approchede la
sous-structure. King et Chandrasekaran (1,977)ont utilisé la
méthode des éléments finis pour modé-liser un portique
tridimensionnel dont le radierrepose sur un substratum argileux
non-homogène,afin de tenir compte de l'influence de la rigidité de
lastructure sur la redistribution des efforts et des tas-sements.
Yao (1991) a proposé une formulation en élé-ments finis
tridimensionnels complète pour le sys-tème portique-radier-sol. Le
demi-espace semi-infinia été discrétisé en utilisant une
combinaison d'élé-ments finis et infinis.
La revue des travaux précédents montre que trèspeu d'efforts ont
été consacrés à modéliser l'effet de larigidité de la structure sur
l'évolution au cours dutemps du tassement (la structure était
supposée engénéral parfaitement flexible). Dans la réalité, les
struc-tures ont une flexibilité finie, intermédiaire entre
uneparfaite rigidité et une flexibilité totale, et il serait
cer-tainement souhaitable, comme Y a suggéré Habib(1981), de tenir
compte de la rigidité relative du sol et dela structure. I1 est
d'autre part intéressant d'étudier siles valeurs finales des
efforts (forces et moments) dansles éléments de la structure,
poutres ou colonnes, sontdépassées pendant la consolidation. La
modélisationsimultanée et complète d'une structure et de son
massifd'argile de fondation, décrite dans le présent article,montre
que cela se produit effectivement.
E3 t)Equation de la consolidationen éléncnts finis
La formulation variationnelle des problèmes deconsolidation est
obtenue par intégration des équationslocales de Biot. La
minimisation des deux fonction-nelles relatives aux déformations du
squelette du sol età l'écoulement du fluide interstitiel, après
discrétisationsur l'espace idéalisé en éléments finis, permet
d'obtenirla formulation matricielle suivante :
Rclj(t) - C"H(t) - F(t) (1)c"tu(t) + KcH(t) + EcH(t) - e(t)
âVEC :
U vecteur des déplacements nodaux,H vecteur des charges
hydrauliques nodales,RG matrice de rigidité du squelette du sol,CG
matrice de couplage,KG matrice de perméabilité,EG matrice de
compressibilité du fluide interstitiel,F vecteur des forces nodales
imposées,a vecteur des débits nodaux imposés.En utilisant ensuite
la méthode de Galerkin, qui éta-
blit un schéma semi-implicite basé sur une interpola-tion
linéaire dans le temps, on obtient la relation derécurrence
suivante :
(2)ï*1 .{ïïl.,,,} .{:ï;iJL
,+^,,}
3_ O(L.2\Ja2atK
"
64REVUE FRANçAISE DE GÉOTECHNIQUEN" 8g1er trimestre 1998
-
Le facteur d'échelle o est appliqué aux chargeshydrauliques pour
réduire les difficultés numériquesdues au mauvais conditionnement
de la matrice du pre-mier membre (ordres de grandeur très
différents desmodules de R" et des coefficients de perméabilité
deK")'
EModélisationdu système portiqua-sol
ffiChoix des éléments et du maillage
Pour les calculs bidimensionnels en déformationsplanes, le sol
est représenté par un maillage composéd'éléments finis
isoparamétriques de consolidation àhuit næuds. Les parties de la
structure (poutres,colonnes et fondation) sont modélisées en
utilisant unélément de poutre plan isoparamétrique à trois
næuds.Dans le cas tridimensionnel, le sol est modélisé en
utili-sant un maillage constitué d'éléments finis isoparamé-triques
tridimensionnels à vingt næuds. Dans la for-mulation de ces
éléments composites de consolidation,afin d'avoir le même degré de
développement pour lacontrainte effective et la pression
interstitielle, on uti-lise des fonctions d'interpolation
quadratiques pour lesdéplacements et linéaires pour la pression
interstitielle.Les dalles et les fondations sont discrétisées en
utilisantl'élément de coque épaisse isoparamétrique à huitnæuds
avec six degrés de liberté par næud. Cet éIé-ment quadrangulaire de
Wpe surface moyenne est basésur les hypothèses cinématiques de
Mindlin (toute nor-male à la surface moyenne reste droite après
déforma-tion mais n'est plus forcément normale à la surfacemoyenne
déformée) et prend en compte les effets ducisaillement transversal.
[Jne intégration réduite est uti-lisée pour le calcul de la matrice
de rigidité élémentaire.Cette intégration améliore notablement les
perfor-mances de cet élément et autorise son utilisation pourle
calcul de structures relativement minces (Zienkie-wicz, 1991). La
modélisation des colonnes et despoutres est effectuée avec des
é]éments de poutre tridi-mensionnels isoparamétriques à trois næuds
avec sixdegrés de liberté par næud. Cet élément de poutre estune
généralisation de l'élément de poutre de Timo-shenko (Hinton et
Owen, 1977), qui permet de tenircompte de la déformation due au
cisaillement transver-sal.
ffiModélisation des conditions d'intertace(sol-structure)
Afin de définir complètement le problème d'interac-tion, il est
nécessaire de préciser les conditions relativesau comportement
mécanique de l'interface sol-fonda-tion. D'un point de vue
théorique, plusieurs hypothèsespeuvent être envisagées concernant
la condition d'inter-face entre les fondations et le massif de sol
sous-jacent.Elles varient d'une interface parfaitement glissante
àune interface totalement adhérente, en passant par lefrottement de
Coulomb. Le décollement de la fondationet du sol peut être
également envisagé. Toutefois, pour
la plupart des fondations de structures, eo l'absence
dechargements latéraux, les charges permanentes verti-cales sur la
fondation sont suffisantes pour empêchertoute perte de contact
entre la semelle et le sol. Uneméthode de modélisation de
l'interface consiste à utili-ser une couche mince d'un milieu
continu élasto-plas-tique dont la loi de comportement est le
critère crienté.I1 s'agit de donner à une bande fine sous le radier
unedirection de déformation plastique tangente à la fonda-tion
simulant le glissement dû au cisaillement. Cemodèle a été proposé
par Cramer et aI. (1979) pourmodéliser une interface entre le sol
et le radier ou unediscontinuité dans le massif de sol. Il a été
introduit dèscette époque dans le programme de calcul par
élémentsfinis du LCPC (Frank ef al., 1980 ). Le coefficient de
frot-tement entre la fondation et le sol peut être choisi,
selonBowles (1988), entre tan g et 2/3 tanq (q est l'angle
defrottement interne du sol). Pour l'exemple présenté ci-après, }e
coefficient de frottement entre le sol et le radiera eté fixé à 2/3
tan
-
pas de temps précédent intervient dans le secondmembre. Il faut
donc calculer ce vecteur pour les élé-ments de poutre et de coque à
chaque pas de temps.
ffilncrémentation automatique du temps
La consolidation est un processus typique de diffu-sion.
Initialement, les variables évoluent rapidement enfonction du
temps, puis les variations de la contrainte etde la pression
interstitielle deviennent plus lentes. Parconséquent, un schéma
d'incrémentation automatiquedu temps est utile pour toutes les
applications pra-tiques, puisque la durée d'étude du phénomène est
engénéral beaucoup plus grande que les incréments detemps qui
doivent être utilisés pour obtenir des solu-tions raisonnables
pendant le début de la consolidation.Un algorithme de gestion de
l'incrémentation automa-tique du temps a été utilisé. Avec cette
méthode, ledébut de Ia consolidation peut être décrit avec
préci-sion et les étapes ultérieures sont analysées avec despas de
temps beaucoup plus grands, permettant unerésolution convenable du
problème.
E
plans sont bloqués. Le drainage se fait en surface maison
suppose que les fondations sont imperméables. Letableau I donne les
détails géométriques, les proprié-tés des matériaux ainsi que le
mode de chargement.
iii+iÈ$ll{[$t$È$*i'i*fr+$[ffii*i Profil du sol.Soil profile.
il$iiiill$i$iÏ*ii$$ii$iill ,ffi$i$ïii$i Discrétisation
multi-élément du systèmesol-structure.Multi-element discretisation
of soil-structuresvstem.
On admet, dans cet exemple, que le chargementest appliqué
instantanément. Par conséquent, le pro-blème est traité en deux
phases. La première phaseest une analyse non drainée d'un seul
incrément avecun pas de temps arbitraire, qui établit la solution
ini-tiale. Dans Ia seconde phase, la véritable consolida-tion est
calculée en utilisant l'incrémentation automa-tique du temps. Un
point important dans un telproblème de consolidation est le choix
du pas detemps initial. Comme les équations sont parabo-liques, la
solution initiale (immédiatement après lechangement instantané) est
une solution d'a effet de
Eryli.-
ts@
en considërantrelfet de la consolidation
'{
66REVUE FRANçAIsE or eÉorrcuNreuEN" 821er trimestre 1998
Exemple I analyse d'un portiquetridimensionnel sur sol
argileux
L'exemple développé dans cet article concernel'influence de la
consolidation du sol support sur lecomportement d'un portique
tridimensionnel .La struc-ture étudiée est composée d'un portique
tridimension-nel à un étage, de deux travées dans les sens
longitudi-nal et transversal, de fondations sur semelles
isolées(Fig. 1). Le massif de sol est stratifié avec un substra-tum
rigide et imperméable, une couche d'argile mollede B m d'épaisseur
et une couche de sable dense à lasurface (Fig . 2).Les fondations
reposent sur la couched'argile. La discrétisation multi-éléments du
systèmeportique-sol est représentée sur la figure 3. En raisonde la
symétrie, seul un quart du problème est modéliséet les degrés de
liberté des déplacements normauxdans les plans de symétrie ainsi
que les degrés deliberté adéquats des rotations des poutres dans
ces
1Elol
]Z
lltit.$'[rt$*\iltîg Schéma du portiquetridimensionnel et de
sesfondations superficielles.Sketch of the space frame and
itsspread footings.
-
Section des poutres (m x m) (0,4 x 0,8) Module d'Young (kPa) 15
000 Poutres dans la direction X ikN/m) BO
Section des colonnes (m x m) (0,4 x 0,4) Coefficient de Poisson
0,3 Poutres dans la direction Y tkN/m) 60
Section des fondations (m x m x m) (2x2 x 0,6) Coefficient de
perméabilité (m/s) 10-10
Module d'Young (kPa) 2,107 Compressibilité du fluide (kPa-1)
10-5
Coefficient de Poisson 0,2 Porosité 0,5
Angle de frottement interne (degrés) 20
Détails géométriques et propriétés des matériaux du système
portique-sol.
WVariationaucoursdutempsdessurpressionsinterstitiellessouslecentredesfondations.Excess
pore water pressure variation with time beneath the centre of the
footinqs.
67REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE
N" g2
1er trimestre 1998
Point AAGÀ
',Y\/CL
600
500
400
300
200
100
0
ĜÀ.YY
CL
300
250
200
150
100
50
0
o,4 0,6Temps (an)
0,2 0,4 0,6Temps (an)
A(rÈ.Y\/CL
300
250
200
150
100
50
0
rÂl(Eo-.y\/CL
120
100
80
60
40
20
0
0,4 0,6Temps (an)
0,4 0,6Temps (an)
(̂Eo.,xY
CL
160
140
120
100
80
60
Næ
0
Temps (an)
Point
Point G Point
Point E
-
peau local >. Si l'on choisit un maillage d'élémentsfinis de
taille raisonnable pour modéliser la solutionlorsque les variations
de la pression interstitielle sesont propagées dans les pores du
massif de sol, cettesolution initiale sera modélisée de façon
médiocre.Avec des pas de temps plus petits, la difficultés'accroît.
En effet, dans tous les problèmes transi-toires, la taille de
l'élément et le pas de temps sontliés, à tel point que les pas de
temps inférieurs à unecertaine valeur ne donnent pas d'informations
utiles
(Nasri et Magnan, 1997). Le couplage des discrétisa-tions
spatiale et temporelle est toujours plus visibleau début des
problèmes de diffusion, immédiatementaprès les changements imposés
aux valeurs auxlimites. Afin de calculer le premier pas de temps,
on autilisé la formule Âto > y* (^h)2/6Bk donnée par Ver-meer et
Verruijt (1,981), dans laquelle y* est le poidsvolumique de l'eau,
Ah la plus petite taille d'élémentsur la surface drainée, E Ie
module d'Young du sol etk le coefficient de perméabilité du
sol.
Temps (an)
Point A
.Al
Ev{J
EoEoooGF
0
-0,01
-0,02
€,03
{,04
-0,05
{,06
-0,07
oottI oâl-bËLrcvEoË6E-eI0.sEOOCLoo(UF
0,018
0,0175
0,017
0,0165
0,016
0,0155
0,015
0,5 1 1,5Temps (an)
ooÎt-oîEECvEoË6tË96trE'6.D CLoo(rF
o,422
0,021
0,02
0,019
0,019
0,017
0,016
ooît-oârrb.Jl-Ê\/EoË6ËE90.=EOocLooGl-
0,031
0,03
0,029
0,029
o,027
0,026
0,025
0,5 1 1,5Temps (an)
0,5 1 1,5Temps (an)
Déformée du système à la fin de la consolidation
irr-D AnalySe de COnSOlidatiOnr
- Analyse indépendante du temps
WVariationsenfonctiondutempsdutassementdumilieudelafondationcentraleetdestassements
différentiels entre la fondation centrale et les fondations
extérieures.Variation with time of settlement of the center footing
and of the differential settlement between the centerfooting and
the exterior footings.
ô8REVUE FRANÇAIsE or cÉorucHNreuEN" 891er trimestre i99B
-
Analyse des résultats et interprétation
La variation au cours du temps des surpressionsinterstitielles
sous le centre des fondations ainsi que surl'axe vertical central
du portique à la limite du substra-tum imperméable (point E) est
présentée sur la figure 4.Comme on peut l'observer, la surpression
interstitielleau point E augmente d'environ 45 % au début de
laconsolidation avant de diminuer.
La figure 5 montre les variations en fonction dutemps du
tassement au milieu de la fondation centraleet des tassements
différentiels entre la fondation cen-trale et les fondations
extérieures. On peut constaterqu'aux temps intermédiaires les
tassements différen-tiels sont inférieurs à leurs valeurs
initiales. Cela est dû
au fait que les surpressions interstitielles engendréessous les
fondations extérieures baissent plus rapide-ment au début de la
consolidation, provoquant un tas-sement plus rapide sous les
fondations extérieures quesous la fondation centrale.
La variation en fonction du temps des efforts nor-maux dans les
colonnes au niveau de la fondation pourles différents types
d'analyses est représentée sur lafigure 6. Cette figure montre que,
pendant la consoli-dation, les valeurs de l'effort normal dans la
colonnecentrale (colonne C1) et les colonnes situées sur lesaxes X
et Y (colonnes C2 et C3) dépassent respective-ment d'environ 5,4
"/",1,3 % et 1.,7 % leurs valeursfinales. Cela provient de la
redistribution de la pressionde contact dans le massif de sol sous
les fondations.L'augmentation de la pression de contact
au-dessousde ces colonnes indique que le chargement est trans-
Temps (an)
Colonnez.Y\/z
-1830
-1860
-1890
-19æ
-1950
-1980
0
Az.Y\,z
-1030
-1040
-1050
-1060
-1070
0-920 -420
ẑ.Y\/z
-930
-940
-950
-960
z.Yv
z
F' -r- Analyse de cOnSolidation- - Analyse indépendante du
tempsr 8mI
X
Temps (an)
Colonne
Temps (an)
Colonne
Temps (an)
Colonne
WVariationsenfonctiondutempsdeseffortsnormauxdanslescolonnes.Axial
force in colums aqainst time.
69REVUE FRANçAIsE oe cÉorEctNteuE
N'891er trimestre 1998
-
féré vers les colonnes intérieures alors que la
colonneextérieure est déchargée à cause de la consolidation
dusol.
L'évolution au cours du temps des moments fléchis-sants au
centre et aux deux extrémités des poutres inté-rieures (poutres B1
et B2) est représentée sur la figure 7et celle des poutres
extérieures (poutres 83 et B4) sur lafigure B. Comme on peut le
constater, à cause de laconsolidation du sol, les moments
fléchissants négatifs
dans les poutres intérieures 81 et BZ à la jonction avecla
colonne centrale (point a) sont augmentés respecti-vement d'à peu
près 22 % et 442 "Â par rapport à l'ana-lyse indépendante du temps.
Cela peut s'expliquer àl'aide des courbes de variation des
tassements diffé-rentiels entre les colonnes des deux extrémités de
cespoutres. Au début de la consolidation, le tassement
desfondations sous les colonnes extérieures (colonnes C2et C3)
augmente plus rapidement que celui de la fon-
Temps (an)
Poutre (Point
440,^r
EI
g 4Bo
= -520
-560
a)
-NA
EI
=J -80
=
ÊIz
.Y\/=
600
590
580
570
560
b)ÊIz
.Y\/=
-120
-160
580
570
560
550
g0
Temps (an) Temps (an)
ÊIz
.Y\/=
-210
-240
-270
-300
-330
c)
-225
ÊI
g -zso= -275
a
h
F
-Y
-
Analyse de consolidation
r - Analyse indépendante du temps
r 8mI
X
Temps (an)
Poutre (Point
Poutre (Point Poutre (Point
Temps (an)
Poutre (Point
Temps (an)
Poutre (Point
WVariationsenfonctiondutempsdesmomentsfléchissantsdanslespoutresintérieures.Time
variation of bending moment in interior beams.
70REVUE FRANçAISE DE GËOTECHNIQUEN" 821€r trimestre 1998
-
dation centrale, ce qui provoque une augmentation deIa rigidité
globale du système dans la zone centrale et,par conséquent, un
transfert du moment vers le point a.Sur la figure B on peut
observer le même phénomèneen ce qui concerne les poutres
extérieures 83 el 84,c'est-à-dire un transfert du moment vers les
jonctionsavec les colonnes C2 eT C3 (points g et c) et donc
uneaugmentation des moments négatifs dans les poutresB3 et B4
d'environ 34 % et 297 o respectivement pen-dant la
consolidation.
EConclusion
Dans cet article, nous avons étuOlé le comportementen fonction
du temps d'un portique tridimensionnelfondé sur une couche d'argile
saturée.
Les résultats indiquent que les tassements différen-tiels entre
la fondation centrale et les fondations exté-
Temps (an)
Poutre (Point
-450A
EIZ -Ên
=
-!t\'\'
;s)
ÊIz
.'Y\/=
-60
-1 10
-160
-210
650
&0
630
620
610
-550
A
EIz
.Yv
=
-600
690
680
670
660
650
A
EIz
.Yv
=
Temps (an) Temps (an)
-20
ÊIg -ro
=
40,Ar
EI
g-80
=-1æ.
-170
-120
-160
d
F" ,rrrrrr, AnalySe de ConSOlidationr - Analyse indépendante du
tempsr 8mI
X
Temps (an)
(Point
Poutre (Point f) (Point
Temps (an)
Poutre (Point e)
Temps (an)
Poutre (Point e)
Variation en fonction du temps des moments fléchissants dans les
poutres extérieures.Time variation of bendinq moment in exterior
beams.
71REVUE FRANçAISE DE GÉoTEcHNIQUE
N. g2
1e' tnmestre 1998
-
rieures sont maximaux une fois }a consolidation ache-vée et
qu'ils ne prennent pas de valeurs plus grandespendant la
consolidation. En fait, les résultats montrentque les tassements
différentiels entre la fondation cen-trale et les fondations
extérieures diminuent avantd'augmenter jusqu'à leurs valeurs
finales.
Le calcul effectué montre d'autre part que lesvaleurs de
l'effort normal et du moment fléchissantdans les éléments du
portique, qui sont obtenues
Bibliographie
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Hain S.J., Lee LK. - Rational analysis of raftfoundation.
Journal of the geotechnical
par une analyse de consolidatior, peuvent être plusgrandes que
celles de l'analyse indépendante dutemps. Cela est dû à la
redistribution de la pressionde contact dans le sol sous les
fondations. Il est parconséquent suggéré, quand f importance de Ia
struc-ture le justifie, de prendre en compte 1'effet de
laconsolidation du massif de sol dans l'étude def interaction entre
la structure et son sol de fonda-tion.
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