ANALISIS MOD YANG TERIN Disusun untuk mem T J FAKUL UNIVERSITAS IS DEL MATEMATIKA PADA MAKRO NFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON C STUDI LITERATUR menuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Li di Jurusan Matematika Oleh Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051 JURUSAN MATEMATIKA ULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI SLAM SUNAN GUNUNG DJATI BAN 2012 OFAG CTL iteratur NDUNG
49
Embed
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG · PDF fileSTUDI LITERATUR Studi Literatur di Jurusan Matematika Oleh 1209701051 2012 . HALAMAN PENGESAHAN ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG
YANG TERINFEKSI VIRUS HIV
Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah
Trisna Taufik Darmawansyah
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG
YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL
STUDI LITERATUR
Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Literatur
di Jurusan Matematika
Oleh
Trisna Taufik Darmawansyah
1209701051
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG
2012
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG
DAN RESPON CTL
Literatur
UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG
HALAMAN PENGESAHAN
ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG YANG
TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL
STUDI LITERATUR
Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah studi literatur di
Jurusan Matematika
Oleh :
Trisna Taufik Darmawansyah
1209701051
Telah Diperiksa dan Disetujui oleh Pembimbing
Pada Tanggal ___/__________/_______
Dosen Pembimbing
Diny Zulkarnaen, M.Si.
NIP. 198212132011011008
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT.
NIP. 197301122000032001
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Syukur alhamdulillah ke hadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat
dan hidayahNya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan studi literatur
dengan judul ” ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG
YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL”.
Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW
yang telah memberantas segala bentuk kemaksiatan di muka bumi ini, serta
menunjukkan jalan yang terang benderang yaitu ad-Dinul Islam.
Dalam penulisan studi literatur ini, penulis menyadari bahwa tidak akan
mendapatkan hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, dorongan, saran
serta do’a dari berbagai pihak. Maka dalam kesempatan ini, penulis
menyampaikan terima kasih kepada:
1. Prof. Dr. H. Deddy Ismatullah, SH., M.Hum selaku Rektor Universitas Islam
Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung.
2. Dr. H. M. Subandi, Drs. Ir. MP selaku Dekan Fakultas Sain dan Teknologi
Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung.
3. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT selaku Ketua Jurusan Matematika
Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung.
4. Diny Zulkarnaen, M.Si selaku dosen pembimbing yang selalu memberikan
bimbingan dan nasihatnya.
Semoga Allah SWT membalas kebaikan mereka semua. Penulis berharap
semoga studi literatur ini bermanfaat. Aamiin.
Wassalamua’alaikun Wr. Wb.
Bandung, 20 Agustus 2012
Penulis
Abstrak
Analisis Model Matematika Pada Makrofag Yang Terinfeksi Virus HIV dan Respon CTL
Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051
HIV merupakan singkatan dari Human Immunodeficiency Virus yang dapat
menyebabkan AIDS dengan cara menyerang makrofag sehingga dapat merusak sistem kekebalan tubuh manusia yang pada akhirnya tidak dapat bertahan dari gangguan penyakit walaupun yang sangat ringan sekalipun. Pengaruh virus HIV terhadap makrofag dapat dimodelkan secara matematika dan membentuk suatu sistem persamaan diferensial tak linier orde satu. Pada pembahasan diperoleh 3 titik tetap, yaitu titik tetap yang pertama menggambarkan ketiadaan infeksi virus HIV dalam tubuh, titik tetap yang kedua menunjukkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV, sedangkan titik tetap yang ketiga menunjukkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV dan respon CTL. Dengan melaukukan beberapa perhitungan, diperoleh 3 nilai eigen. Saat nilai eigen tersebut semuanya bernilai negatif, menunjukkan bahwa titik keseimbangannya bersifat stabil asimtotik. Kata kunci: model matematika, HIV (Human Immunodeficiency Virus), Makrofag, CTL (Cytotoxic T Lymphocyte).
Abstract
Analysis of Mathematical Models In The Infected Macrophages HIV virus and CTL Responses
Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051
HIV stands for Human Immunodeficiency Virus which can cause AIDS by attacking macrophages that can damage the human immune system that ultimately can not survive from disease despite very mild. Effect of HIV on macrophages can be modeled mathematically and establish a system of non linear differential equation of order one. In the discussion gained 3 points fixed, that is a fixed point of the first to describe the absence of HIV infection in the body, the point remains that both demonstrate the stability of the body during an infection with HIV, while the third shows the fixed point stability of the body as having HIV infection and CTL responses. With melaukukan some calculations, obtained 3 eigenvalues. When the eigenvalues are all negative, indicating that the equilibrium point is asymptotically stable.
Keywords: mathematical models, HIV (Human Immunodeficiency Virus), macrophages, CTL (Cytotoxic T lymphocytes).
DAFTAR ISI
Abstrak ..................................................................................................... i
Kata Pengantar ........................................................................................ iii
Daftar Isi ................................................................................................... iv
Daftar Gambar.......................................................................................... vi
Bab I Pendahuluan
1.1. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1
oxide synthase (NOS). Pada aktivitas nitric oxide synthase (NOS) diperlukan
bantuan IFNγ dan TNFα tipe I yang dapat meningkatkan produksi NO dari
makrofag di organ limfe.
Makrofag dalam darah dapat diaktivasi oleh berbagai macam stimulant atau
aktivator, termasuk mikroba dan produknya, kompleks antigen antibodi,
inflamasi, limfosit T tersensitasi, sitokin dan trauma. Makrofag yang teraktivasi
mempunyai jumlah lisosom yang meningkat dan menghasilkan serta melepaskan
IL-1, yang mempunyai aktivitas luas dalam inflamasi. IL-1 berperan dalam
terjadinya demam dan aktivasi sel limfoid, menyebabkan pelepasan sitokin
lainnya.
Menurut fungsinva makrofag dibagi menjadi 2 golongan, pertama sebagai
fagosit profesional dan kedua secagai APC (antigen presenting cell) yang
berfungsi menyajikan antigen kepada limfosit. Makrofag sebagai fagosit
professional, sel ini dapat menghancurkan antigen dalam fagolisosom, dan juga
melepaskan berbagai enzim dan isi granula ke luar sel, bersama-sama dengan
sitokin seperti tumor necrosis factor (TNF) yang dapat membunuh organisme
patogen.
Pengenalan makrofag terhadap substansi asing dimungkinkan oleh adanya
reseptor untuk fosfolipid sedangkan fungsi sebagai sel efektor yaitu
menghancurkan mikroorganisme serta sel-sel ganas dan benda-benda asing karena
sel ini antara lain mempunyai sejumlah lisosom di dalam sitoplasma yang
mengandung hidroluse maupun peroksidase yang merupakan enzim perusak yang
dibutuhkan untuk pembunuhan intraselluler. Enzim-enzim ini dapat keluar dari
fagosom dan sel. Makrofag juga mengekspresikan MHC kelas II pada
permukaannya.
Makrofag ini tidak bekerja sendiri dalam menanggulangi infeksi. Mereka
berinteraksi dengan limfosit yang juga mengumpul di tempat invasi bakteri.
Proses pengaktifan makrofag bukanlah proses tunggal. Untuk melihat apakah
makrofag teraktivasi maka dilakukan pengukuran tertentu misalnya kemampuan
killing terhadap mikroba. Pengukuran lain misalnya kemampuan killing terhadap
sel tumor. Aktivasi makrofag diakibatkan adanya peningkatan transkripsi gen-gen.
Peningkatan ekspresi gen-gen tersebut maka makrofag dapat melakukan fungsi
yang tidak dapat dilakukan oleh sel yang sama dalam keadaan istirahat. Fungsi
tersebut antara lain adalah killing bakteria yang sudah difagositosis. Sitokin
aktifator makrofag yang poten adalah IFNγ. IFNγ bukanlah satu-satunya sitokin
yang mengaktivasi makrofag, tetapi makrofag juga diaktifkan oleh kontak dengan
limfosit T melalui CD40. Beberapa ciri yang menunjukkan makrofag teraktivasi
diuraikan sebagai berikut:
1. Makrofag teraktivasi akan meningkat kemampuan killing-nya terhadap
mikroortlanisme.
2. Makrofag teraktivasi akan memacu inflamasi akut dengan mengeluarkan
mediator-mediator inflamasi.
3. Makrofag teraktivasi akan meningkat efisiensinya sebagai set APC.
2.3 Persamaan Diferensial
Definisi 2.1: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut
satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau
lebih peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-11)
Definisi 2.2: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel
bebas (Ross, 1984: 3).
Definisi 2.3: Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan
satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui (Finizio dkk, 1982 : 1)
Contoh:
1) � ′ � �� � 6
2) �" � 10�′ � 7� � sin �
3) �� �� � �� �� � 0
Menurut peubah bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua
macam yaitu persamaan diferensial biasa dan parsial sedangkan persamaan
diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua
yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear.
2.3.1 Persamaan Diferensial Biasa
Definisi 2.4: Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang
menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap
satu peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12)
Persamaan-persamaan yang memuat turunan biasa disebut persamaan
diferensial biasa.
Contoh : ���� � 2� � ��
2.3.2 Persamaan Diferensial Non Linear
Persamaan Diferensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan
persamaan diferensial linier (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-15)
Dengan demikian persamaan diferensial ���, � ′, … , ����� � 0 adalah
persamaan diferensial tak linear jika salah satu dari berikut di penuhi oleh �:
a. � tidak berbentuk polinom dalam �, � ′, … , ���� b. � tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam �, � ′, … , ����
Contoh:
1. ��′ � �� ′′ � 0 persamaan diferensial tak linear karena ���, � ′, … , ����� ���′ � �� ′′ polinom berpangkat dua dalam �, �′, �′′. 2. sin �� ���� � cos � �������� � 0 persamaan diferensial tak linear karena � tidak
berbentuk polinom
2.4 Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 2.5: Sistem persamaan diferensial adalah suatu persamaan
diferensial berorde n dan telah dinyatakan sebagai suatu sistem dari n persamaan
berorde satu (Conte dan Boor,1993:359). Persamaan itu dapat ditulis dalam
bentuk sebagai berikut:
�! � "��, ����, �′���, … , �!#$����
Secara umum, suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk
sebagai berikut:
�$ � %�$%� � "$��, �$, �&, … , �!�
�& � %�&%� � "&��, �$, �&, … , �!�
…
…
…
�! � %�!%� � "&��, �$, �&, … , �!�
Sistem persamaan diferensial merupakan persamaan diferensial yang
mempunyai lebih dari satu persamaan yang harus konsisten serta trivial. Sistem
persamaan diferensial adalah gabungan dari n buah persamaan diferensial dengan
n buah fungsi tak diketahui, dalam hal ini, n merupakan bilangan bulat positif ≥ 2.
Sistem persamaan diferensial juga dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan
diferensial linear dan sistem non linear.
2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Non Linear
Sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan diferensial tak linear
dengan n buah fungsi tak diketahui. Sistem ini disebut juga sistem tak linear.
Bentuk umum sistem persamaan diferensial non linear dapat di tulis sebagai
berikut:
%�%� � "��, ��
%�%� � '��, ��
" dan ' mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk semua ��, ��, dengan:
Jika ��0, 1� dan 2�0, 1� diferensiabel di sebuah daerah, maka determinan
Jacobian (jacobian detererminant), atau secara singkat disebut Jacobian, dari � %)+ 2 terhadap 0 %)+ 1 determinan fungsional orde kedua yang didefinisikan
oleh
3��, 2�3�0, 1� � 43�30 3�313230 32314 � 5�6 �726 275 Demikian juga, determinan orde ketiga
3��, 2, (�3�0, 1, 8� � 9 �6 �7 �:26 27 2:(6 (7 (:9 Demikian jacobian dari �, 2, ( terhadap 0, %)+ 8 (Murray,1997)
Contoh:
Suatu sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini:
%8%� � B � )8 � C8�
%�%� � C8� � D� � �
%�%� � � � F� � G�H
Menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut:
I � J�) � C� 0 �C8C� �D � β� C8 � β�0 β� β� � F � GHK
2.6 Nilai eigen
Definisi 2.6: Jika L adalah matriks +�+, maka vektor tak nol di dalam M!
dinamakan vektor eigen ( eigen vector) dari L jika L� adalah kelipatan skalar dari �; yakni L� � C�
Untuk suatu skalar C. Skalar C dinamakan nilai eigen (eigen value) dari L
dan � dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan C. (Anton, 1997: 277).
Untuk mencari nilai eigen matriks L yang berukuran +�+ maka kita
menuliskan kembali L� � C� sebagai L� � CN�
atau secara ekuivalen �CN � L�� � 0
Supaya C menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan
ini. Akan tetapi persamaan L� � CN� akan mempunyai pemecahan taknol jika dan
hanya jika %O��CN � L� � 0
Ini dinamakan persamaan karakteristik dari L; skalar yang memenuhi persamaan
ini adalah nilai eigen dari L. Bila diperluas, maka %O��CN � L� adalah polinom C
yang kita namakan polinom karakteristik dari L.
2.7 Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada
sistem (3.1). Titik �P disebut titik tetap, jika "��P� � 0. Titik tetap disebut juga titik
kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap.
(Tu 1994)
Contoh:
Suatu sistem persamaan diferensial berikut ini:
%8%� � � � )� � �1 � Q�H
%�%� � )� � 12 �) � Q�� � R
%�%� � �) � Q�� � 2%
Penyelesaian:
� � )� � �1 � Q�H � 0
)� � 12 �) � Q�� � R � 0
�) � Q�� � 2% � 0
• �) � Q�� � 2% � 0 �) � Q�� � 2%
� � 2%�) � Q�
• )� � $& �) � Q�� � R � 0
)� � 12 �) � Q�� � R
)� � 12 �) � Q� 2%�) � Q� � R
)� � % � R
� � % � R)
• � � )� � �1 � Q�H � 0 �1 � Q�H � � � )�
�1 � Q�H � � � ) 2%�) � Q�
�1 � Q�H � % � R) � 2)%�) � Q�
�1 � Q�H � �) � Q��% � R� � 2)&%)�) � Q�
H � �) � Q��% � R� � 2)&%)�) � Q��1 � Q�
Memiliki titik tetap S�, �, HT: U� � �#VW , � � &��WXY� , H � �WXY���#V�X&W��W�WXY��$XY� Z
2.8 Jenis kestabilan
Kestabilan sebuah sistem ditentukan oleh tanggapannya terhadap masukan
(input) atau gangguan (perturbasi). Secara naluriah, sistem yang stabil adalah
sistem yang tetap dalam keadaan diam bila tidak dirangsang oleh sumber luar dan
akan kembali diam jika semua rangsangan dihilangkan. Jadi, sistem adalah stabil
jika tanggapan denyutnya (prilaku kurva sistem) mendekati nol ketika waktu
mendekati tak hingga.
Keadaan seimbang pertumbuhan populasi dikenal dengan istilah titik tetap.
Kondisi titik tetap mempunyai dua keadaan yaitu stabil dan tidak stabil. Istilah
kestabilan sangat umum dipakai untuk menggambarkan keadaan dinamika suatu
sistem yang tidak mengalami gejolak. Perubahan-perubahan yang berlangsung
dalam sistem dianggap sangat kecil dan tidak terlihat gejolak-gejolak yang berarti.
Keadaan stabil titik tetap suatu sistem dibedakan atas dua macam, yaitu
kestabilan dan kestabilan asimptotik. Kestabilan tercapai jika perilaku kurva
pertumbuhan berada di sekitar titik tetap, sedangkan kestabilan asimtotiktercapai
jika perilaku kurva pertumbuhan menuju titik tetap. Kestabilan asimtotiksendiri
terbagi menjadi dua yaitu asimtotikglobal dan asimtotiklokal.
Jika suatu sistem memiliki titik tetap yang unik (tunggal), maka sering
diduga bahwa stabilitas global dan lokal dari suatu sistem adalah ekuivalen.
Sebuah sistem dikatakan stabil secara lokal jika sejumlah ukuran gangguan yang
sedikit berubah-ubah terhadap titik tetap, sistem tetap di dekat titik tetap, dan
dalam suatu region yang tertentu. Selanjutnya, jika sistem menuju titik tetap,
dikatakan bahwa sistem stabil secara lokal dan asimptotikal. Sedangkan secara
global terjadi, jika sejumlah ukuran gangguan yang sedikit berubah-ubah terhadap
titik tetap, sistem tetap di dekat titik tetap, dan relatif terhadap keseluruhan sistem.
Ditinjau dari nilai eigen, titik tetap nol sistem (3.1) ada 5 macam yaitu:
(Distefano: 1992)
1. Jika nilai eigen J adalah real berbeda dan berlawanan tanda (C$ [ 0 [ C&)
maka � \ ∞ dan � \ ∞ jika � \ ∞ dan titik tetap sistem (3.1) dinamakan
saddle (pelana). Akibatnya titik tetap tidak stabil.
2. Jika nilai eigen J adalah real berbeda dan sama tanda, maka titik tetap
dinamakan node (simpul). Jika kedua nilai eigen negatif �C$, C& [ 0� maka
titik tetapnya stabil (asimtotik), yaitu � \ 0 dan � \ 0 tanpa osilasi jika � \ ∞ dan jika keduanya positif �C$, C& ] 0� maka titik tetap tidak stabil
yaituu � \ ∞ dan � \ ∞ tanpa osilasi jika � \ ∞.
3. Jika nilai eigen J adalah real sama, maka titik tetap dinamakan star. Jika kedua
nilai eigen negatif �C$ � C& [ 0� maka titik tetap star stabil (asimtotik), dan
jika keduanya positif �C$ � C& ] 0� maka titik tetap star tak stabil.
4. Jika nilai eigen J adalah kompleks konjugat C$,& � ^ _ `a, ^ b 0, maka titik
tetap dinamakan focus (spiral). Penyelesaian dari sistem (3.1) merupakan
osilasi dan stabil (asimtotik) untuk ^ [ 0, tidak stabil untuk ̂ ] 0.
5. Jika nilai eigen J adalah imajiner sejati yaitu C$,& � `a maka titik tetap
dinamakan centre (pusat). Penyelesaian dari sistem (3.1) adalah periodik dan
kurvanya tertutup. Titik tetap sistem adalah stabil netral.
2.9 Kriteria Routh-Hurwitz
Kriteria Routh-Hurwitz ini digunakan ketika nilai eigen persamaan
karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Jika diberikan persamaan
karakteristik
c�C� � Cd � )$Cd#$ � e � )d � 0
maka didefinisikan matriks sebagai berikut:
($ � f)$g (& � h)$ 1)i )&j (k � J )$ e 0l m l)&k#$ e )kK
(d � J)$ e 0l m l0 e )dK Dengan syarat setiap unsur (l,m) pada matriks (k adalah
no� � p )&o#�, 0+�0q 0 [ 2r � s t q1, 0+�0q 2r � s0, 0+�0q 2r [ s )�)0 2r ] q � su Dengan demikian, titik tetap �P stabil jika dan hanya jika det (k ] 0, untuk
setiap v � 1,2,3, … , q.
Untuk k=2 k=3 dan k=4, kriteria Routh-Hurwitz diberikan berikut ini:
� )% ���W� � 1� � )%�M~ � 1�, �& akan bernilai positif apabila M~ ] 1
Karena negatif maka �$ � �& [ 0 � �$dan �& negatif�$dan �& berbeda tandau Bernilai positif maka �$. �& ] 0 ��$dan �& negatif�$dan �& positif u Dari kedua pertimbangan diatas, maka diperoleh akar-akar bernilai negatif.
Teroma 3.2
Titik tetap ( E2) bersifat stabil asimtotik apabila M~ ] 1.
3.2 Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV dan Respon
CTL
Diantara mekanisme makrofag, khususnya terhadap mikroorganisme
intraselular adalah sel T sitotoksik CD8 yang dapat mengenal antigen tertentu
secara spesifik disertai interaksi dengan MHC kelas I melisiskan sel yang
terinfeksi. Dinamika antara HIV, populasi makrofag dan respon CTL dapat
digambarkan sebagai berikut:
Berdasarkan gambar 3.2 di atas, variabel-variabel yang digunakan adalah
1. Populasi Makrofag yang tidak terinfeksi (X)
2. Populasi Makrofag yang terinfeksi (Y)
3. Populasi limfosit T sitotoksik (CTL)/CD8 (Z)
Dimana y, z, � { 0.
Setelah mengetahui variabel-variabel yang digunakan dalam membentuk
model matematika, maka selanjutnya adalah menentukan notasi-notasi untuk
memenuhi variabel-variabel tersebut. Parameter-parameter yang digunakan pada
pembentukan model matematika pada makrofag terhadap infeksi virus HIV adalah
sebagai berikut:
• λ � laju produksi makrofag
• % � laju kematian makrofag secara alami
• β � laju terinfeksi makrofag
• ) � laju kematian makrofag yang terinfeksi secara alami
• G � laju proses lisis pada makrofag yang terinfeksi
• R � laju laju proliperasi CTL dalam merespon antigen
• Q � laju kematian CTL secara alami
Sehingga dapat dibentuk dalam sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini:
a) ���� � λ � %� � β��
b) ���� � � � )� � G�H �3.3�
c) ���� � R�H � QH
M~ � C`%)
Gambar 3.2 skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV dan respon CTL
Z X Y λ
%
β
)
R
G
Q
Laju perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu
dipengaruhi oleh laju perkembangan makrofag yang terinfeksi dikurangi laju
matinya makrofag yang terinfeksi (mati alami) serta dikurangi laju proses lisis
(penguraian) oleh CTL terhadap sel yang terinfeksi virus HIV. (3.3.b)
Ketika limfosit mengamat-amati sel, melihat ada sel yang diperkirakan telah
kemasukan virus, maka sel tersebut dibunuh oleh sel T limfosit, namanya CTL
(Cytotoxic T Lymphocyte/sel T si peracun). Sel T sitotoksik (CTL) yang
teraktivasi, yaitu sel T- sitotoksik yang pernah terpapar pada antigen tertentu dan
diprogramkan untuk berproliferasi bila terpapar lagi pada antigen bersangkutan,
tidak akan berfungsi sebagai sitotoksik kalau reseptor selnya tidak terikat pada
antigen, Maka perubahan jumlah limfosit T sitotoksik (CTL) terhadap waktu
dipengaruhi oleh laju proliferasi yang dilakukan oleh CTL terhadap sel yang
terinfeksi virus HIV pada saat merespon antigen dikurangi laju kematian sel CTL
secara alami, hal ini dapat digambarkan dalam bentuk persamaan (3.3.c)
3.2.1 Titik tetap
Secara analitik, pehitungan titik tetap dari model matematika sistem (3.3)
adalah sebagai berikut: %�%� � λ � %� � β�� � 0
%�%� � � � )� � G�H � 0
%H%� � R�H � QH � 0
Dari persamaan ���� didapat:
c�H � QH � 0
H�R� � Q� � 0
Artinya H � 0 atau R� � Q � 0.
untuk H � 0, dari ���� � 0 diperoleh:
Titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �, HT: U� � �� , � � 0, H � 0Z, titik
tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi.
Titik tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �, HT: U� � W� , � � �W � �� , H � 0Z, titik
tetap yang kedua menunjukkan atau menggambarkan kestabilan makrofag saat
mengalami infeksi virus HIV.
untuk R� � Q � 0, dari ���� � 0 diperoleh
R� � Q � 0
R� � Q
� � QR
untuk mencari nilai � substitusi nilai � ke persamaaan ���� diperoleh;
λ�%� �β�� � 0
λ�%� �β� YV � 0
���YV � %� � 0
λ� ���YV � %�
� � C�βQR � %�
� � C�βQ � %RR �
� � CR%R � βQ
untuk mencari nilai H substitusi nilai � dan � ke persamaaan ���� diperoleh:
� � )� � G�H � 0
β � CR%R � βQ� �QR� � )�QR� � G�QR�H � 0
βCQ%R � βQ � )QR � GQHR � 0
cβCQ%R � βQ � )Q � GQH � 0
GQH � cβCQ%R � βQ � )Q
GQH � cβCQ � )Q�%R � βQ�%R � βQ
GQH � cβCQ � )Q%R � )QβQ%R � βQ
GQH � Q�cβC � )%R � )βQ�%R � βQ
H � Q�cβC � )%R � )βQ�GQ�%R � βQ�
H � �cβC � )%R � )βQ�G�%R � βQ�
H � c�βC � )%� � )Qβ�G�%R � Qβ�
Sehingga titik tetap yang ketiga ( E3) adalah S�, �, HT: U� � �V�VX�Y , � �YV , H � ����#W��#WY����VXY�� Z, titik tetap yang ketiga menunjukkan atau menggambarkan
kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV
3.2.2 Jenis kestabilan
Untuk mengahui jenis kesetabian dari sistem (3.3) maka terlebih dahulu
�$ � R� � Q, �$ akan bernilai negatif apabila R� [ Q
• �& � � ��W � C` �1 � $��� � 0
�& � �i � � `C)
�&�i � )%�M~ � 1�, �&�i akan bernilai positif apabila M~ ] 1
Karena negatif maka �& � �i [ 0 � �&dan �i negatif�&dan �i berbeda tandau Bernilai positif maka �&. �i ] 0 ��&dan �i negatif�&dan �i positif u Dari kedua pertimbangan diatas, maka diperoleh akar-akar bernilai negatif.
Teroma 3.4
Titik tetap ( E2) saat mengalami infeksi tanpa respon CTL ada apabila
memenuhi (3.2), dan bersifat stabil asimtotik bila R� [ Q.
Untuk titik tetap yang ketiga ( E3) U� � ����X�� , � � �� , � � ����#���#�������X��� Z
��0,1 � ������ � ��0,5��3,9� � 0 �& � 0,1� � 1,95 � 0 �$ � �0,05 � 1,3955a �& � �0,05 � 1,3955a Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.4) di
titik tetap kedua adalah stabil asimtotik.
3.3.2 Contoh kasus untuk Model Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV dan
Respon CTL
Model Makrofag yang Terinfeksi virus HIV dan Respon CTL, Sistem
persaaannya menjadi:
a) ���� � 1 � 0,1� � 2��
b) ���� � 2�� � 0,5� � 1�H �3.5�
c) ���� � 0,15�H � 0,1H
Maka titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �, HT: S� � 10, � � 0, H � 0T, titik tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �, HT: S� � 0,25, � � 1,95, H � 0T, titik
tetap yang ketiga ( E3) adalah S�, �, HT: S� � 10, � � 0,6667, H � 0,8953T
Dengan memasukkan nilai parameter pada sistem (3.5), maka diperoleh