ANALISIS KEPERIODIKAN SISTEM JARINGAN ANTREAN … · Abstrak: Pada makalah ini akan membahas tentang aplikasi Aljabar Max – Plus pada sistem jaringan antrean, khususnya sistem jaringan

JURNAL WIDYALOKA IKIP WIDYA DARMA ∣ Vol. 6 ∣ NO. 1 ∣ Januari 2019

ANALISIS KEPERIODIKAN SISTEM JARINGAN ANTREAN MULTICHANNEL

TAK - SIKLIK 5 SERVER

Oleh:

SRI REJEKI PURI WAHYU PRAMESTHI

FANNY ADIBAH

IKIP Widya Darma Surabaya

Abstrak: Pada makalah ini akan membahas tentang aplikasi Aljabar Max – Plus

pada sistem jaringan antrean, khususnya sistem jaringan antrean multichannel tak – siklik 5 server. Peubah yang di ukur yaitu sistem jaringan antrean multichannel

tak-siklik dengan 5 server dengan menggunakan aljabar max-plus interval.

Prosesnya dimulai dengan mengkonstruksi sistem jaringan antrean multichannel

tak-siklik 5 server, memperoleh matriks adjasennya dengan lama waktu berupa interval, memperoleh nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval, dan analisis

keperiodikan sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server. Hasil

penelitian ini memperoleh sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5

server yang periodik.

Kata Kunci: Aljabar Max-Plus Interval, Antrean, Multichannel Tak-Siklik,

Sistem Periodik.

PENDAHULUAN

Pada saat berbelanja, membeli bensin, membeli tiket nonton bioskop, membayar

tiket jalan tol, membeli makanan minuman cepat saji dan sebagainya. Tidak jarang terdapat

antrean yang cukup panjang, meskipun loket – loket yang disediakan oleh penyedia

layanan di buka secara maksimal. Pernah juga kita menunggu cukup lama untuk

mendapatkan pelayanan. Antrean sudah menjadi hal biasa dalam kehidupan sehari – hari

kita.


Aljabar Max-Plus merupakan salah satu teknik analisis pengkajian dari sistem

event diskrit (SED) yang mempunyai banyak aplikasi pada teori sistem, kontrol optimal

dan petri net [Subiono, 2009]. Pendekatan dengan menggunakan aljabar max-plus dapat

digunakan untuk menentukan dan menganalisis berbagai sifat dari sistem yang dibuat,

tetapi hanya bisa diterapkan pada sebagian klas SED yang bisa diuraikan dengan model

waktu invariant max-linier. Aljabar max-plus sering digunakan untuk memodelkan suatu

permasalahan seperti transportasi, manufakturing, penjadwalan, sistem antrian, lalu lintas

dan lain sebagainya.

Pada makalah ini membahas tentang aplikasi Aljabar Max – Plus pada sistem

jaringan antrean, khususnya sistem jaringan antrean multichannel tak – siklik 5 server.

Prosesnya dimulai dengan mengkonstruksi sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik

5 server, memperoleh matriks adjasennya dengan lama waktu berupa interval, memperoleh

nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval, dan analisis keperiodikan sistem jaringan

antrean multichannel tak-siklik 5 server.

TUJUAN PENELITIAN

Dapat memperoleh sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server yang

periodik dengan menggunakan Aljabar Max – Plus Interval.

LANDASAN TEORI

Struktur Antrean

Atas dasar sifat proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas – fasilitas

pelayanan dalam susunan saluran atau channel (single atau multiple) dan phase (single atau

multiple) yang membentuk suatu struktur antrean yang berbeda – beda. Istilah saluran atau

channel menunjukkan jumlah alur (tempat) untuk memasuki sistem pelayanan, yang juga

menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan. Istilah place berarti jumlah loket pelayanan,

dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap

(Subagyo, 2000:270).

Sistem multi channel – single phase terjadi kapan saja, dimana ada dua atau lebih

fasilitas pelayanan dialiri oleh antrean tunggal, sebagai contoh model ini adalah antrean

pada teller sebuah bank, potong rambut oleh beberapa tukang potong, dan sebagainya.


Notasi dan Definisi Aljabar Max-Plus

Aljabar max-plus merupakan himpunan ℝ𝑚𝑎𝑥 dengan dua operasi biner yaitu

maksimum yang dinotasikan ⊕ dan tambah yang dinotasikan ⊗ yang dinyatakan dengan

ℝ𝑚𝑎𝑥 = (ℝ𝜀 ,⊕,⊗). Himpunan ℝ𝜀 adalah himpunan ℝ ∪ {𝜀} dengan ℝ adalah himpunan

bilangan real. Didefinisikan 𝜀 = −∞ adalah elemen netral dan e = 0 adalah elemen satuan.

Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ adalah 𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) dan

𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏.

Aljabar Max-Plus

Aljabar max-plus dan aljabar biasa terdapat analogi yang jelas di satu sisi. Dengan

menggunakan notasi – notasi dalam aljabar max-plus diberikan persamaan keadaan dalam

bentuk:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴⊗ 𝑥(𝑘) ………………………………………………….. (2.1)

Vektor 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 menyatakan keadaan dari model dan 𝑥(𝑘) menyatakan keadaan

saat ke – k. Sedangkan A adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛. Bila diberikan keadaan awal

𝑥(0) = 𝑥0, maka evolusi keadaan mendatang dari persamaan (2.1) dapat ditentukan. Jika

persamaan (2.1) ditulis dalam bentuk persamaan skalar diperoleh:

𝑥𝑖(𝑘 + 1) =⊕𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗⊗𝑥𝑗(𝑘), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ; 𝑘 = 0,1, … …………………..(2.2)

Secara umum, evolusi waktu dari (2.1) dan (2.2) berbeda. Pada persamaan (2.1),

argumen 𝑘 pada 𝑥(𝑘) menyatakan pengulangan berapa banyak waktu pada titik – titik

yang sudah aktif. Sedangkan pada persamaan (2.2), argumen 𝑘 pada 𝑥(𝑘) menyatakan

waktu ke-𝑘 pada keadaan 𝑥(𝑘). Sebagai contoh, pada jaringan kerja yang terdiri dari

beberapa titik dan beberapa garis yang terhubung dengan titik – titik tersebut, jaringan

kerja yang berhubungan dengan persamaan (2.1) mempunyai 𝑛 titik yang diwakili oleh

setiap 𝑥𝑖. Sedangkan 𝑎𝑖𝑗 berkaitan dengan bobot garis dari titik 𝑗 ke titik 𝑖 bila garis ini

ada. Titik dalam jaringan kerja berperan dengan aktivitas tertentu. Aktivitas – aktivitas ini

membutuhkan waktu berhingga disebut waktu aktivitas.

Diasumsikan aktivitas pada titik tertentu hanya dapat dimulai jika semua aktivitas

yang mendahuluinya sudah menyelesaikan aktivitasnya dan mengirimkan hasilnya

sepanjang garis yang menghubungkan titik tersebut. Jadi garis yang berkaitan dengan 𝑎𝑖𝑗

dapat ditafsirkan sebagai saluran output untuk titik 𝑖 dan secara bersamaan sebagai saluran

input untuk titik 𝑗. Elemen 𝑎𝑖𝑗 dari matriks A menunjukkan waktu tunggu dari aktivitas 𝑖


untuk memulai kegiatannya saat yang ke-(𝑘 + 1) setelah aktivitas 𝑗 menyelesaikan

kegiatannya dan mengirimkan hasilnya ke aktivitas 𝑖 pada saat yang ke-𝑘. Bila elemen

𝑎𝑖𝑗 = 𝜀, maka hal ini menunjukkan bahwa aktivitas 𝑖 tidak bergantung pada aktivitas 𝑗.

Suatu perluasan dari (2.1) dinyatakan dengan notasi – notasi aljabar max-plus sebagai

berikut:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘) ⊕ 𝐵⊗ 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑥(𝑘)…………………………………………………………(2.3)

Dimana 𝑢(𝑘) merupakan input sedangkan 𝑦(𝑘) merupakan output. Pada jaringan

kerja, 𝑢(𝑘) suatu vektor yang menunjukkan sumber daya tertentu tersedia pada waktu ke-

𝑘 sedangkan vektor 𝑦(𝑘) menyatakan saat dimana produk akhir dari jaringan kerja

ditawarkan pada dunia luar.

Pengertian nilai-karakteristik dan vektor-karakteristik yang bersesuaian dari suatu

matriks bujur sangkar A berukuran 𝑛 × 𝑛 sebagaimana dijumpai dalam aljabar max-plus

biasa juga dijumpai dalam aljabar max-plus. Nilai karakteristik 𝜆 ∈ ℝ dan vektor

karakteristik 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 dengan 𝑥 ≠ [𝜀, 𝜀, … , 𝜀]𝑇 memenuhi

𝐴⊗ 𝑥 = 𝜆 ⊗ 𝑥…………………………………………………………….(2.4)

Diasumsikan bahwa vektor awal 𝑥(0) = 𝑥0 sama dengan vektor eigen 𝑣 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛

yang bersesuaian dari matriks bujur sangkar A berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan nilai eigen 𝜆.

Sehingga penyelesaian persamaan keadaan (2.1) dapat ditulisakan sebagai berikut:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝜆⊗𝑘+1⊗𝑥0 ……………………………….………………….(2.5)

Nilai eigen 𝜆 dapat ditafsirkan sebagai waktu periodik dari sistem, yaitu setiap titik

dari jaringan kerja yang sesuai menjadi akhir setiap 𝜆 satuan (Subiono,2000).

Aljabar Max-Plus Interval

Pada bagian ini diberikan dasar aljabar max-plus interval yang merupakan

perluasan dari aljabar max-plus. Interval tertutup 𝑥 dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah suatu himpunan

bagian dari ℝ𝑚𝑎𝑥 yang berbentuk 𝑥 = {[𝑥, �̅�] |𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , 𝑥 ≼𝑚 𝑥 ≼𝑚 �̅� }. Interval 𝑥

dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 tersebut disebut Interval Max-Plus. Didefinisikan 𝐼(ℝ)𝜀: = {𝑥 =

[𝑥, �̅�] |𝑥, �̅� ∈ ℝ, 𝜀 ≼𝑚 𝑥 ≼𝑚 �̅� } ∪ {𝜀} dengan 𝜀 ∶= [𝜀, 𝜀]. Pada 𝐼(ℝ)𝜀 , didefinisikan

untuk ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼(ℝ)𝜀 operasi ⊕ dan ⊗ dengan 𝑥 ⊕ 𝑦 = [𝑥 ⊕ 𝑦, 𝑥 ⊕ 𝑦 ] dan

𝑥 ⊗ 𝑦 = [𝑥 ⊗ 𝑦, 𝑥 ⊗ 𝑦 ]. 𝐼(ℝ)𝜀 merupakan semiring idempotent komutatif dengan

6

7


elemen netral 𝜀 ∶= [𝜀, 𝜀] dan elemen satuan 0 = [0,0]. Semiring idempotent komutatif

(𝐼(ℝ)𝜀 , ⊕, ⊗) disebut aljabar max-plus interval yang dinotasikan dengan 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥

(Rudhito dkk, 2008).

Matriks Interval

Untuk 𝐴 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑛 didefinisikan matriks 𝐴 = (𝐴𝑖𝑗) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥

𝑚 × 𝑛 dan 𝐴 = (𝐴𝑖𝑗) ∈

ℝ 𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑛 berturut – turut yaitu matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks

interval 𝐴. Didefinisikan 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑛 ∶= {𝐴 = (𝐴𝑖𝑗) | 𝐴𝑖𝑗 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥} untuk 𝑖 = 1, 2,… ,𝑚

dan 𝑗 = 1, 2,… , 𝑛. Matriks anggota 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑛 disebut matriks interval max-plus.

Operasi penjumlahan matriks interval 𝐴,𝐵 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑛, dinotasikan dengan

𝐴 ⊕ 𝐵, didefinisikan

(𝐴 ⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝑗⊕ 𝐵𝑖𝑗, untuk 𝑖 = 1, 2,… ,𝑚 dan 𝑗 = 1, 2,… , 𝑛.

Operasi perkalian matriks interval 𝐴 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑛 dengan skalar 𝛼 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥,

didefinisikan

𝛼 ⊗ 𝐴 dengan (𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼 ⊗ 𝐴𝑖𝑗.

Untuk perkalian dua matriks interval 𝐴 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑝

, 𝐵 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑝 × 𝑛

didefinisikan

𝐴 ⊗ 𝐵 dengan (𝐴 ⊗ 𝐵)𝑖𝑗 = ⊕𝑘=1

𝑝𝐴𝑖𝑘⊕ 𝐵𝑘𝑗 untuk 𝑖 = 1, 2,… ,𝑚 dan 𝑗 = 1, 2,… , 𝑛.

(𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑛 × 𝑛 ,⊕,⊗) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral matriks 𝜀

dengan (𝜀)𝑖𝑗 ∶= 𝜀 untuk setiap 𝑖 dan 𝑗 dan elemen satuan adalah matriks E dengan

(𝐸)𝑖𝑗 ∶= {0, 𝑖 = 𝑗;𝜀, 𝑖 ≠ 𝑗.

𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑚 × 𝑛 merupakan semimodul dari 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥.

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Interval

Algoritma 2.1. Algoritma Power (Subiono, 2000)

a. Ambil sebarang vektor awal 𝑥(0) = 𝑥0 ≠ 𝑢[ε], yaitu 𝑥0 mempunyai minimal satu

elemen berhingga.

b. Iterasi 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴⊗ 𝑥(𝑘) hingga ada bilangan bulat 𝑝, 𝑞 dengan 𝑝 > 𝑞 ≥ 0 dan

sebuah bilangan real 𝑐 sehingga 𝑥(𝑝) = 𝑥(𝑞)⊗ 𝑐, hingga suatu nilai periodik

didapatkan.

c. Hitung nilai eigen 𝜆 = 𝑐

𝑝−𝑞.


d. Hitung vektor eigen 𝑣 = ⊕𝑗=1𝑝−𝑞

(𝜆⊗(𝑝−𝑞−𝑗)⊗𝑥(𝑞 + 𝑗 − 1))

DEFINISI 2.1

Diberikan 𝐴 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑛 × 𝑛, skalar interval 𝜆 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥 disebut nilai eigen max-plus

interval matriks interval A jika terdapat suatu vektor interval 𝑣 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑛 dengan 𝑣 ≠

𝜀𝑛×1 sehingga 𝐴⊗ 𝑣 = 𝜆 ⊗ 𝑣. Vektor 𝑣 tersebut disebut vektor eigen max-plus interval

matriks interval A yang bersesuaian dengan 𝜆.

DEFINISI 2.2

Suatu matriks interval 𝐴 ∈ 𝐼(ℝ)𝑚𝑎𝑥𝑛 × 𝑛 dengan 𝐴 ≈ [𝐴, 𝐴] dikatakan irreducible jika

setiap matriks 𝐴 ∈ [𝐴, 𝐴] irreducible.

METODE

Peubah yang di ukur yaitu sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik dengan 5

server dengan menggunakan aljabar max-plus interval. Prosesnya dimulai dengan

mengkonstruksi sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server, memperoleh

matriks adjasennya dengan lama waktu berupa interval, memperoleh nilai eigen dan vektor

eigen max-plus interval, dan analisis keperiodikan sistem jaringan antrean multichannel

tak-siklik 5 server.

Berikut rangkaian proses penelitian:

HASIL DAN PEMBAHASAN

Konstruksi Sistem Jaringan Antrean Multichannel Tak-Siklik 5 Server

Dalam konstruksi sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server diberikan

sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik dengan jumlah server sebanyak 5 server.

Sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server ini terdiri dari sebuah place

kedatangan pengunjung, 5 buah place server, dan sebuah place pengunjung yang telah

Mengkonstruksi sistem jaringan antrean

multichannel tak-siklik 5 server

Memperoleh matriks adjasen dengan lama waktu berupa interval

Memperoleh nilai eigen dan vektor

eigen max-plus interval

Analisis keperiodikan sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik

5 server


selesai mendapatkan pelayanan. Berikut ini merupakan gambar sistem jaringan antrean

multichannel tak-siklik 5 server:

P2

P3

P1 P4 P7

𝒖(𝒌)

𝒚(𝒌)

P5

P6

Gambar di atas merupakan gambar sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik

5 server. Gambar tersebut menunjukkan bahwa terdapat 7 place dimana place 1 (P1)

merupakan place kedatangan pengunjung (tempat pengunjung mengantre atau tempat

pengunjung menunggu waktu untuk mendapatkan pelayanan), place 2 (P2), place 3 (P3),

place 4 (P4), place 5 (P5), dan place 6 (P6) merupakan place server (tempat pengunjung

mendapatkan pelayanan) serta place 7 (P7) merupakan place pengunjung yang telah

mendapatkan pelayanan.

Sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server ini diasumsikan bahwa

keadaan awal sistem adalah kosong dalam artian dimana tidak terdapat antrean untuk

pengunjung dan tidak sedang dalam proses pelayanan, kapasitas pada place 1 (P1) yaitu

place kedatangan pengunjung adalah tak-berhingga. Selain itu, diasumsikan juga bahwa

pelayanan tidak pernah mengalami gangguan artinya sistem pelayanan selalu aktif (on)

serta waktu pelayanan di place server yaitu di place 2 (P2), place 3 (P3), place 4 (P4), place

5 (P5), dan place 6 (P6) diasumsikan sama. Setiap siklus pada sistem jaringan antrean

multichannel tak-siklik 5 server dapat memberikan pelayanan kepada pengunjung

2

3

7 1 4

5

6


sebanyak 5 pengunjung di masing – masing place server di place 2 (P2), place 3 (P3), place

4 (P4), place 5 (P5), dan place 6 (P6). Pada setiap place server melayani 1 pengunjung

dengan diberikan waktu pelayanan yang sama. Jika pengunjung ke – 𝑘 telah mendapatkan

pelayanan di place server dan berada di place 7 (P7), maka di waktu yang bersamaan

pengunjung berikutnya yaitu pengunjung ke – (𝑘 + 1) yang berada di place 1 (P1) akan

mendapatkan pelayanan di place server yaitu di place 2 (P2), place 3 (P3), place 4 (P4),

place 5 (P5), dan place 6 (P6).

Dalam sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server yang gambarnya

telah di berikan pada gambar 4.1 terdapat 𝑢(𝑘) dan 𝑦(𝑘), 𝑢(𝑘) adalah waktu kedatangan

pengunjung ke – 𝑘 sedangkan 𝑦(𝑘) adalah waktu pengunjung ke – 𝑘 yang telah selesai

mendapatkan pelayanan. Oleh karena pengunjung ke – 𝑘 yang telah mendapatkan

pelayanan di place server dan berada di place 7 (P7) dan di waktu yang bersamaan

pengunjung berikutnya yaitu pengunjung ke – (𝑘 + 1) yang berada di place 1 (P1) akan

mendapatkan pelayanan di place server yaitu di place 2 (P2), place 3 (P3), place 4 (P4),

place 5 (P5), dan place 6 (P6), maka diasumsikan bahwa 𝑢(𝑘 + 1) = 𝑦(𝑘).

Misal 𝑢(𝑘) adalah waktu kedatangan pengunjung ke – 𝑘, 𝐵 adalah lama waktu

kedatangan pengunjung, 𝑥𝑖(𝑘 + 1) adalah waktu kedatangan pengunjung ke – (𝑘 + 1)

pada titik 𝑖 dimana titik 𝑖 menyatakan place pada sistem, karena jumlah place pada sistem

jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server yaitu 7 place, maka 𝑖 = 1, 2,… , 7.

Sedangkan 𝑘 merupakan siklus dari sistem dengan 𝑘 = 0, 1, 2, …. . 𝐴𝑖𝑗 adalah lama waktu

pada sistem, dan 𝑦(𝑘) adalah waktu pengunjung ke – 𝑘 yang telah mendapatkan

pelayanan, serta 𝐶 adalah lama waktu pengunjung yang selesai dilayani. Jika dimisalkan

𝑥(𝑘) = [𝑥1(𝑘), 𝑥2(𝑘),… , 𝑥𝑛(𝑘) ]𝑇 untuk persamaan 𝑥𝑖(𝑘 + 1) = 𝐴𝑖𝑗⊗𝑥𝑖(𝑘) ⊕𝐵 ⊗

𝑢(𝑘), maka dapat diberikan persamaan keadaan berikut ini:

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘) ⊕ 𝐵⊗ 𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑥(𝑘) (4.1)

Oleh karena diasumsikan bahwa 𝑢(𝑘 + 1) = 𝑦(𝑘), maka

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘)⊕ 𝐵 ⊗𝑢(𝑘 + 1)

𝑦(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑥(𝑘) (4.2)

sehingga

𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘) ⊕ 𝐵⊗ 𝐶 ⊗ 𝑥(𝑘)

jadi diperoleh persamaan keadaan


𝑥(𝑘 + 1) = (𝐴⊕ 𝐵⊗ 𝐶)⊗ 𝑥(𝑘) (4.3)

Matriks Adjasen Sistem Jaringan Antrean Multichannel Tak-Siklik 5 Server

Dari gambar 4.1 yaitu gambar sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server

berikut ini: P2

P3

P1 P4 P7

𝒖(𝒌)

𝒚(𝒌)

P5

P6

Berdasarkan arti himpunan edges yakni suatu arc dari titik j ke titik i ada bila 𝑎𝑖𝑗 ≠

𝜀, arc ini dinotasikan dengan (𝑗, 𝑖), dan jika tidak terdapat garis (𝑗, 𝑖), maka 𝑎𝑖𝑗 ≔ 𝜀.

Sehingga dapat diperoleh matriks 𝐴 yakni matriks adjasen lama waktu pada sistem

dengan 𝑡1(𝑘) = lama waktu dari P1 ke P1, 𝑡2(𝑘) = lama waktu dari P2 ke P2, 𝑡3(𝑘) = lama

waktu dari P3 ke P3, 𝑡4(𝑘) = lama waktu dari P4 ke P4, 𝑡5(𝑘) = lama waktu dari P5 ke P5,

𝑡6(𝑘) = lama waktu dari P6 ke P6, 𝑡7(𝑘) = lama waktu dari P7 ke P7, 𝑡1(𝑘)⊗ 𝑡2(𝑘) = lama

waktu dari P1 ke P2, 𝑡1(𝑘)⊗ 𝑡3(𝑘) = lama waktu dari P1 ke P3, 𝑡1(𝑘)⊗ 𝑡4(𝑘) = lama waktu

dari P1 ke P4, 𝑡1(𝑘)⊗ 𝑡5(𝑘) = lama waktu dari P1 ke P5, 𝑡1(𝑘)⊗ 𝑡6(𝑘) = lama waktu dari P1

ke P6, 𝑡2(𝑘) ⊗ 𝑡7(𝑘) = lama waktu dari P2 ke P7, 𝑡3(𝑘) ⊗ 𝑡7(𝑘) = lama waktu dari P3 ke P7,

𝑡4(𝑘)⊗ 𝑡7(𝑘) = lama waktu dari P4 ke P7, 𝑡5(𝑘)⊗ 𝑡7(𝑘) = lama waktu dari P5 ke P7,

𝑡6(𝑘)⊗ 𝑡7(𝑘) = lama waktu dari P6 ke P7, dan 𝑡1(𝑘) ⊗ [𝑡2(𝑘) ⊕ 𝑡3(𝑘) ⊕ 𝑡4(𝑘) ⊕ 𝑡5(𝑘) ⊕

𝑡6(𝑘)] ⊗ 𝑡7(𝑘) = lama waktu dari P1 ke P7 adalah sebagai berikut:

2

3

7 1 4

5

6


𝐴 =

(

𝑡1(𝑘) 𝜀 𝜀𝑡1(𝑘) ⊗ 𝑡2(𝑘)𝑡1(𝑘) ⊗ 𝑡3(𝑘)𝑡1(𝑘) ⊗ 𝑡4(𝑘)

𝑡2(𝑘)𝜀𝜀

𝜀𝑡3(𝑘)𝜀

𝑡1(𝑘) ⊗ 𝑡5(𝑘)𝑡1(𝑘) ⊗ 𝑡6(𝑘)

𝑡1(𝑘) ⊗ [𝑡2(𝑘) ⊕ 𝑡3(𝑘) ⊕ 𝑡4(𝑘) ⊕ 𝑡5(𝑘)⊕ 𝑡6(𝑘)] ⊗ 𝑡7(𝑘)

𝜀𝜀

𝑡2(𝑘)⊗ 𝑡7(𝑘)

𝜀𝜀

𝑡3(𝑘)⊗ 𝑡7(𝑘)

𝜀 𝜀 𝜀𝜀𝜀

𝑡4(𝑘)

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀

𝑡4(𝑘)⊗ 𝑡7(𝑘)

𝑡5(𝑘)𝜀

𝑡5(𝑘) ⊗ 𝑡7(𝑘)

𝜀𝑡6(𝑘)

𝑡6(𝑘)⊗ 𝑡7(𝑘)

𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀

𝑡7(𝑘))

Jika lama waktu di place i untuk pengunjung ke – 𝑘 berupa interval waktu, maka matriks interval A menjadi matriks A yaitu matriks

adjasen interval lama waktu dari sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server adalah sebagai berikut:

𝑨 =

(

𝑡1(𝑘) 𝜀 𝜀

𝑡1(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡2(𝑘)

𝑡1(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡3(𝑘)

𝑡1(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡4(𝑘)

𝑡2(𝑘)𝜀𝜀

𝜀𝑡3(𝑘)𝜀

𝑡1(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡5(𝑘)

𝑡1(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡6(𝑘)

𝑡1(𝑘) ⊗̅̅̅ [𝑡2(𝑘) ⊕̅̅̅ 𝑡3(𝑘) ⊕̅̅̅ 𝑡4(𝑘) ⊕̅̅̅ 𝑡5(𝑘) ⊕̅̅̅ 𝑡6(𝑘)] ⊗̅̅̅ 𝑡7(𝑘)

𝜀𝜀

𝑡2(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡7(𝑘)

𝜀𝜀

𝑡3(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡7(𝑘)


𝑡4(𝑘)

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀

𝑡4(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡7(𝑘)

𝑡5(𝑘)𝜀

𝑡5(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡7(𝑘)

𝜀𝑡6(𝑘)

𝑡6(𝑘) ⊗̅̅̅ 𝑡7(𝑘)


𝑡7(𝑘))

Misal berikut ini diberikan interval lama waktu di place i untuk pengunjung ke – 𝑘:

𝑡1(𝑘) = [5,9], 𝑡2(𝑘) = [10,14], 𝑡3(𝑘) = [10,14], 𝑡4(𝑘) = [10,14], 𝑡5(𝑘) = [10,14], 𝑡6(𝑘) = [10,14], 𝑡7(𝑘) = [3,5].

Sehingga diperoleh matriks interval A sebagai berikut:

𝑨 =

(

[5,9] 𝜀 𝜀

[5,9] ⊗̅̅̅ [10,14]

[5,9] ⊗̅̅̅ [10,14]

[5,9] ⊗̅̅̅ [10,14]

[10,14]𝜀𝜀

𝜀[10,14]𝜀

[5,9] ⊗̅̅̅ [10,14]

[5,9] ⊗̅̅̅ [10,14]

[5,9] ⊗̅̅̅ [[10,14] ⊕̅̅̅ [10,14] ⊕̅̅̅ [10,14] ⊕̅̅̅ [10,14] ⊕̅̅̅ [10,14]] ⊗̅̅̅ [3,5]

𝜀𝜀

[10,14] ⊗̅̅̅ [3,5]

𝜀𝜀

[10,14] ⊗̅̅̅ [3,5]


[10,14]

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀

[10,14] ⊗̅̅̅ [3,5]

[10,14]𝜀

[10,14] ⊗̅̅̅ [3,5]

𝜀[10,14]

[10,14] ⊗̅̅̅ [3,5]


[3,5])


Jika matriks interval A yaitu matriks adjasen interval lama waktu pada sistem

jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server dilakukan pengoperasian dengan

menggunakan operasi dari aljabar max – plus interval yaitu untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥

didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ adalah 𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 serta pada

𝐼(ℝ)𝜀 , didefinisikan untuk ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼(ℝ)𝜀 operasi ⊕ dan ⊗ dengan 𝑥 ⊕ 𝑦 = [𝑥 ⊕ 𝑦,

𝑥 ⊕ 𝑦 ] dan 𝑥 ⊗ 𝑦 = [𝑥 ⊗ 𝑦, 𝑥 ⊗ 𝑦 ], maka dapat diperoleh matriks interval A yaitu

matriks adjasen interval lama waktu pada sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5

server berikut ini:

𝑨 =

(

[5,9] 𝜀 𝜀[15,23][15,23]

[15,23]

[10,14]𝜀𝜀

𝜀[10,14]𝜀

[15,23]

[15,23][18,28]

𝜀𝜀

[13,19]

𝜀𝜀

[13,19]


[10,14]

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀

[13,19]

[10,14]𝜀

[13,19]

𝜀[10,14]

[13,19]


[3,5])

Selanjutnya, setelah diperoleh matriks interval A yaitu matriks adjasen interval

lama waktu pada sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server, berikut ini

diberikan interval lama waktu kedatangan 𝐵 = [6,10] dan interval lama waktu pengunjung

yang telah selesai mendapatkan pelayanan 𝐶 = [5,7]. Sehingga diperoleh matriks interval 𝑩

dan matriks interval 𝑪 berikut ini:

𝑩 =

(

[6,10]𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀 )

dan

𝑪 = (𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 𝜀 [5,7]).

Apabila telah ditentukan matriks interval A, matriks interval B serta matriks

interval C, maka dapat diperoleh matriks dengan mengoperasikan matriks interval A,

matriks interval B dan matriks interval C dengan menggunakan operasi aljabar max – plus

sesuai dengan hasil persamaan keadaan (4.3) yakni 𝑥(𝑘 + 1) = (𝐴⊕𝐵 ⊗ 𝐶)⊗ 𝑥(𝑘).

Sehingga hasil operasi dari 𝐴⊕ 𝐵⊗ 𝐶 (misal hasil dari 𝐴⊕ 𝐵⊗ 𝐶 = 𝐷) adalah matriks

interval D sistem jaringan antrean multichannel tak – siklik 5 server sebagai berikut :


𝑫 =

(

[5,9] 𝜀 𝜀[15,23][15,23]

[15,23]

[10,14]𝜀𝜀

𝜀[10,14]𝜀

[15,23]

[15,23][18,28]

𝜀𝜀

[13,19]

𝜀𝜀

[13,19]


[10,14]

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀

[13,19]

[10,14]𝜀

[13,19]

𝜀[10,14]

[13,19]

[11,17]𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀

[3,5] )

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus Interval

Dari persamaan 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐷⊗ 𝑥(𝑘) dengan 𝑘 = 0, 1, 2,…, Matriks D adalah

matriks 𝑛 𝑥 𝑛. Dapat ditentukan dengan menghitung suatu bilangan skalar berhingga ⋋ ∈

ℝ dan suatu vektor 𝑣 ∈ ℝ𝑛 sedemikian hingga persamaan:

𝑫⊗ 𝑣 = ⋋ ⊗ 𝑣 (4.4)

terpenuhi. Untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dengan

menggunakan cara biasa memerlukan perhitungan yang banyak dan lama. Oleh karena itu,

muncul adanya perhitungan numerik untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari

suatu matriks. Berikut ini diberikan algoritma yang menyatakan cara mendapatkan nilai

eigen dan vektor eigen dengan cara iterasi.

Algoritma 4.1 Algoritma Power (Subiono, 2000).

i. Ambil sebarang vektor awal 𝑥(0) = 𝑥0 ≠ 𝒖[ℇ], yaitu 𝑥0 mempunyai minimal satu

elemen berhingga.

ii. Iterasi 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐷⊗ 𝑥(𝑘) hingga ada bilangan bulat 𝑝, 𝑞 dengan 𝑝 > 𝑞 ≥ 0 dan

sebuah bilangan real c sehingga 𝑥(𝑝) = 𝑥(𝑞)⊗ 𝑐, hingga suatu nilai periodik

didapatkan.

iii. Hitung nilai eigen ⋋ = 𝑐

𝑝−𝑞.

iv. Hitung vektor eigen 𝑣 = ⊕𝑗=1𝑝−𝑞

(⋋⊗(𝑝−𝑞−𝑗)⊗ 𝑥(𝑞 + 𝑗 − 1)).

Dengan matriks D yaitu:

𝑫 =

(

[5,9] 𝜀 𝜀[15,23][15,23][15,23]

[10,14]𝜀𝜀

𝜀[10,14]𝜀

[15,23][15,23][18,28]

𝜀𝜀

[13,19]

𝜀𝜀

[13,19]


[10,14]

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀

[13,19]

[10,14]𝜀

[13,19]

𝜀[10,14]

[13,19]

[11,17]𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀

[3,5] )

.


Matriks D terdiri dari matriks batas bawah

𝐷 =

(

5 𝜀 𝜀151515

10𝜀𝜀

𝜀10𝜀

151518

𝜀𝜀13

𝜀𝜀13

𝜀 𝜀 𝜀𝜀𝜀10

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀13

10𝜀13

𝜀1013

11𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀3 )

dan matriks batas atas

𝐷 =

(

9 𝜀 𝜀232323

14𝜀𝜀

𝜀14𝜀

232328

𝜀𝜀19

𝜀𝜀19


𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀19

14𝜀19

𝜀1419


.

Ambil 𝑥0 =

(

0000000)

sebagai vektor keadaan awal masing –masing matriks interval.

Iterasi persamaan 𝑥(𝑘 + 1) = 𝑫 ⊗ 𝑥(𝑘) dengan 𝑘 = 0, 1, 2,…, didapatkan:

a. Untuk matriks batas bawah

𝐷 =

(

5 𝜀 𝜀151515

10𝜀𝜀

𝜀10𝜀

151518

𝜀𝜀13

𝜀𝜀13


𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀13

10𝜀13

𝜀1013


Ambi𝑥0 =

(

0000000)

l dimana 𝑥(0) = 𝑥0 ≠ 𝒖[𝜀].

Iterasinya didapatkan sebagai berikut ini:

𝑥(0) 𝑥(1) 𝑥(2) 𝑥(3) 29 ⊗ 𝑥(1)


(

0000000)

;

(

11151515151518)

;

(

29262626262629)

;

(

40444444444447)

= 29 ⊗

(

11151515151518)

Dengan demikian 𝑝 = 3, 𝑞 = 1 dan 𝑐 = 29 sehingga diperoleh nilai eigen

⋋ = 𝑐

𝑝 − 𝑞 =

29

3 − 1 = 14,5.

Dengan vektor eigen

𝑣 = ⊕𝑗=1𝑝−𝑞

(⋋⊗(𝑝−𝑞−𝑗)⊗𝑥(𝑞 + 𝑗 − 1))

𝑣 = ⊕𝑗=12 (⋋⊗(2−𝑗)⊗𝑥(1 + 𝑗 − 1))

𝑣 = (⋋⊗(2−1)⊗𝑥 (1 + 1 − 1)⊕ ⋋⊗(2−2)⊗𝑥 (1 + 2 − 1))

𝑣 = (14,5⊗(1)⊗𝑥(1))⊕ ((14,5⊗(0)⊗𝑥(2))

𝑣 = 14,5 ⊗ 𝑥(1) ⊕ 0⊗ 𝑥(2)

𝑣 = 14,5 ⊗

(

11151515151518)

⊕ 0⊗

(

29262626262629)

𝑣 =

(

25,529,529,529,529,529,532,5)

⊕

(

29262626262629)

𝑣 =

(

2929,529,529,529,529,532,5)

Hasil diatas dapat ditunjukkan bahwa memenuhi persamaan (4.4) sehingga

𝐷⊗ 𝑣 =

(

5 𝜀 𝜀151515

10𝜀𝜀

𝜀10𝜀

151518

𝜀𝜀13

𝜀𝜀13


𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀13

10𝜀13

𝜀1013


⊗

(

2929,529,529,529,529,532,5)


=

(

43,5444444444447 )

= 14,5 ⊗

(

2929,529,529,529,529,532,5)

= ⋋ ⊗ 𝑣

b. Untuk matriks batas atas

𝐷 =

(

9 𝜀 𝜀232323

14𝜀𝜀

𝜀14𝜀

232328

𝜀𝜀19

𝜀𝜀19


𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀19

14𝜀19

𝜀1419


.

Iterasinya didapatkan sebagai berikut ini:

𝑥(0) 𝑥(1) 𝑥(2) 𝑥(3) 45 ⊗ 𝑥(1)

(

0000000)

;

(

17232323232328)

;

(

45404040404045)

;

(

62686868686873)

= 45 ⊗

(

17232323232328)

Dengan demikian 𝑝 = 3, 𝑞 = 1 dan 𝑐 = 45 sehingga diperoleh nilai eigen

⋋ = 𝑐

𝑝 − 𝑞 =

45

3 − 1 = 22,5.

Dengan vektor eigen

𝑣 = ⊕𝑗=1𝑝−𝑞 (⋋⊗(𝑝−𝑞−𝑗)⊗𝑥(𝑞 + 𝑗 − 1))

𝑣 = ⊕𝑗=12 (⋋⊗(2−𝑗)⊗𝑥(1 + 𝑗 − 1))

𝑣 = (⋋⊗(2−1)⊗𝑥 (1 + 1 − 1)⊕ ⋋⊗(2−2)⊗𝑥 (1 + 2 − 1))

𝑣 = (22,5⊗(1)⊗𝑥(1))⊕ ((22,5⊗(0)⊗𝑥(2))

𝑣 = 22,5 ⊗ 𝑥(1) ⊕ 0⊗ 𝑥(2)


𝑣 = 22,5 ⊗

(

17232323232328)

⊕ 0⊗

(

45404040404045)

𝑣 =

(

39,545,545,545,545,545,550,5)

⊕

(

45404040404045)

𝑣 =

(

4545,545,545,545,545,550,5)

Hasil diatas dapat ditunjukkan bahwa memenuhi persamaan (4.4) sehingga

𝐷⊗ 𝑣 =

(

9 𝜀 𝜀232323

14𝜀𝜀

𝜀14𝜀

232328

𝜀𝜀19

𝜀𝜀19


𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀𝜀

𝜀𝜀19

14𝜀19

𝜀1419


⊗

(

4545,545,545,545,545,550,5)

=

(

67,5686868686873 )

= 22,5 ⊗

(

4545,545,545,545,545,550,5)

= ⋋ ⊗ 𝑣

Jadi nilai eigen dari matriks D adalah ⋋ (𝐷) = 14,5 dan ⋋ (𝐷) = 22,5. Untuk vektor

eigen dari matriks D adalah


(

[29, 45]

[29,5 , 45,5][29,5 , 45,5]

[29,5 , 45,5][29,5 , 45,5]

[29,5 , 45,5][32,5 , 50,5])

.

Analisis Keperiodikan Sistem Jaringan Antrean Multichannel Tak-Siklik 5 Server

Pada tahapan 4.4 yaitu menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen Max-Plus

Interval pada matriks D dan diperoleh nilai eigen dari matriks D adalah ⋋ (𝐷) = 14,5 dan

⋋ (𝐷) = 22,5 serta diperoleh vektor eigen dari matriks D adalah

(

[29, 45]

[29,5 , 45,5][29,5 , 45,5]

[29,5 , 45,5][29,5 , 45,5]

[29,5 , 45,5][32,5 , 50,5])

,

Maka dari nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperoleh tersebut diatas dapat

dihitung sistem jaringan antrean yang periodik.

Vektor eigen yang telah diperoleh di tahapan 4.4 dipergunakan untuk menghitung

sistem jaringan antrean yang periodik sebagai iterasi pertama atau 𝑥(0) dan dengan nilai

eigen dapat diperoleh sistem jaringan antrean yang periodik untuk memperoleh iterasi

berikutnya 𝑥(1), 𝑥(2), dan seterusnya.

Sehingga dapat diperoleh Sistem Jaringan Antrean Multichannel Tak-Siklik 5

Server yang periodik dengan iterasi sebanyak 6 iterasi berikut ini:

𝑥(0) 𝑥(1) 𝑥(2) 𝑥(3) 𝑥(4) 𝑥(5)

(

[29, 45][29,5 , 45,5][29,5 , 45,5][29,5 , 45,5][29,5 , 45,5][29,5 , 45,5][32,5 , 50,5])

;

(

[43,5 , 67,5][44 , 68][44 , 68][44 , 68][44 , 68][44 , 68][47 , 73] )

;

(

[58 , 90][58,5 , 90,5][58,5 , 90,5][58,5 , 90,5][58,5 , 90,5][58,5 , 90,5][61,5 , 95,5])

;

(

[72,5 , 112,5][73 , 113][73 , 113][73 , 113][73 , 113][73 , 113][76 , 118] )

;

(

[87 , 135][87,5 , 135,5][87,5 , 135,5][87,5 , 135,5][87,5 , 135,5][87,5 , 135,5][90,5 , 140,5])

;

(

[101,5 , 157,5][102 , 158][102 , 158][102 , 158][102 , 158][102 , 158][105 , 163] )

.


SIMPULAN

Aljabar Max – Plus Interval dapat diaplikasikan ke dalam sistem jaringan antrean

multichannel tak – siklik 5 server. Dari nilai eigen dan vektor eigen max-plus interval dari

sistem jaringan antrean multichannel tak-siklik 5 server dapat diperoleh sistem jaringan

antrean multichannel tak-siklik 5 server yang periodik.

SARAN

Untuk penelitian berikutnya dapat dibahas tentang aplikasi pada sistem jaringan

antrean dengan asumsi yang lebih kompleks.

DAFTAR PUSTAKA

Cassandras, C.G. (1993), Discrete Event Systems: Modelling and Performance Analysis,

Aksen Associates Incorporated Publishers, Boston.

Cechlarova, Katarina. (2005), “Eigenvectors of Interval Matrices over Max-Plus Algebra”,

Journal of discrete Applied Mathematics, vol. 150, hal. 2 – 15.

Puri WP, Sri Rejeki. (2010). Analisis Sistem Jaringan Antrean Dengan Elemen – Elemen

Matriks Adjasen Berupa Interval Dalam Aljabar Max – Plus, Tesis Magister

Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Rudhito M. Andy and Suparwanto Ari. (2008), “Pemodelan Aljabar Max-Plus dan

Evaluasi Kinerja Jaringan Antrian Fork-Join Taksiklik Dengan Kapasitas Penyangga

Takhingga”, Prosiding Seminar Nasional Sains Dan Pendidikan Sains 2008, Fakultas

Sains Dan Matematika UKSW, hal. B3-1 – B3-13, Januari 2008.

Subagyo, P. 2000. Dasar – dasar Operation Research.Yogyakarta: BPFE.

Subiono. (2000). On classes of min-max-plus systems and their application, Thesis Ph.D.,

Technische Universiteit Delft, Delft.

Subiono. (2009). Aljabar Max-Plus, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

ANALISIS KEPERIODIKAN SISTEM JARINGAN ANTREAN … · Abstrak: Pada makalah ini akan membahas tentang aplikasi Aljabar Max – Plus pada sistem jaringan antrean, khususnya sistem jaringan

Documents