ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN SISWA KELAS XI SMA … · Materi Program Linear dengan Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR). Berdasarkan hasil wawancara dengan

i

ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN

SISWA KELAS XI SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA

PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA MATERI PROGRAM LINEAR

DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN PEMBELAJARAN

MATEMATIKA REALISTIK (PMR)

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan

pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Disusun Oleh:

Stephani Rangga Larasati

NIM : 161442017

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii


iii


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“God will make a way where there seems to be no way”

-Don Moen-

Dengan penuh syukur, kupersembahkan tesis ini untuk:

Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan

penyertaanNya dalam hidupku

Ibuku Ignatia Dayati atas segala cinta, semangat, dan

doa yang tak henti-hentinya untukku

dan

Almamaterku tercinta,

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tesis yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, seperti layaknya karya ilmiah.


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Yang bertandatangan di bawah ini saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Stephani Rangga Larasati

Nomor Mahasiswa : 161442017

Demi perkembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN

SISWA KELAS XI SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA

PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA MATERI PROGRAM LINEAR

DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN PEMBELAJARAN

MATEMATIKA REALISTIK (PMR)

Dengan demikian, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengolahnya dalam pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta izin kepada saya maupun memberikan royalti pada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.


vii

ABSTRAK

Larasati, Stephani Rangga. 2018.Analisis Kemampuan Memodelkan Siswa

Kelas XI SMA Pangudi Luhur Yogyakarta pada Pembelajaran Matematika

Materi Program Linear dengan Menggunakan Pendekatan Pembelajaran

Matematika Realistik (PMR).

Berdasarkan hasil wawancara dengan guru dan tes yang dilakukan oleh peneliti

pada siswa kelas XII di SMA Pangudi Luhur Yogyakarta, terdapat beberapa

masalah terkait program linear, yaitu (1) siswa kesulitan dalam memodelkan

masalah matematika ke dalam fungsi kendala dan objektif, (2) siswa terlalu

terpaku dengan langkah pengerjaan yang diberikan guru, (3) siswa mengalami

keputusasaan karena masalah program linear seringkali berupa kalimat panjang

yang membuat siswa kebingungan. Penelitian ini bertujuan untuk (1)

mendeskripsikan lintasan belajar dengan menggunakan pendekatan pembelajaran

matematika realistik untuk membelajarkan materi program linear dengan

menggunakan metode garis selidik bagi siswa kelas XI IPS di SMA Pangudi

Luhur Yogyakarta, (2) mengetahui level kemampuan memodelkan siswa yang

dilihat dari tes hasil belajar setelah pembelajaran matematika realistik. Jenis

penelitian ini adalah penelitian desain. Subjek penelitian adalah 31 siswa kelas XI

IPS 1 SMA Pangudi Luhur Yogyakarta. Data penelitian berupa transkrip video

pembelajaran, transkrip wawancara, hasil kerja siswa selama pembelajaran, dan

hasil tes. Data tersebut diklasifikasi berdasarkan jawaban-jawaban yang sejenis

lalu dianalisis berdasarkan karakteristik pendekatan pembelajaran matematika

realistik dan berdasarkan indikator kemampuan memodelkan. Pada penelitian ini

dilakukan uji coba pembelajaran sebanyak 3 pertemuan dan 1 kali tes akhir dan

dilakukan penelitian pembelajaran sebanyak 3 pertemuan dan 1 kali tes

akhir.Hasil penelitian menunjukkan bahwa (1) karakteristik PMR yang muncul

pada uji coba pertemuan pertama adalah “penggunaan konteks”, “penggunaan

model”, “penggunaan kontribusi siswa”, dan “keterkaitan”, (2) karakteristik PMR

yang muncul pada uji coba pertemuan kedua adalah “penggunaan konteks”,

“penggunaan model”, “penggunaan kontribusi siswa”, dan “interaktivitas”, (3)

karakteristik PMR yang muncul pada uji coba pertemuan ketiga adalah

“penggunaan konteks”, “penggunaan kontribusi siswa”, “interaktivitas”, dan

“keterkaitan”, (4) karakteristik PMR yang muncul pada penelitian pertemuan

pertama adalah “penggunaan konteks”, “penggunaan model”, “penggunaan

kontribusi siswa”, ‘interaktivitas”, dan “keterkaitan”, (5) karakteristik yang

muncul pada penelitian pertemuan kedua adalah “penggunaan konteks”,

“interaktivitas”, “penggunaan model”, “penggunaan kontribusi siswa”, dan

“keterkaitan”, (6) karakteristik PMR yang muncul pada penelitian pertemuan

ketiga adalah “penggunaan konteks”, “penggunaan kontribusi siswa”,

“interaktivitas”, dan “keterkaitan”, (7) Dalam menyelesaikan soal tes nomor 1

pada saat uji coba, 70,96% siswa berada pada level situasional, 22,58% siswa

berada pada level referensial, dan 6,45% siswa berada pada level formal.Dalam

menyelesaikan soal tes nomor 2 pada saat uji coba, 93,59% siswa berada pada


viii

level situasional dan 6,45% siswa berada pada level formal. Dalam menyelesaikan

soal tes nomor 1 pada saat penelitian, 100% siswa berada pada level referensial.

Dalam menyelesaikan soal tes nomor 2 pada saat penelitian, 93,54% siswa berada

pada level referensial dan 6,45% siswa berada pada level formal.

Kata kunci : PMR, penelitian desain, program linear, garis selidik, kemampuan

memodelkan


ix

ABSTRACT

Larasati, Stephani Rangga (2018). The Modeling Ability Analysis

Students’ of XI Grade SMA Pangudi Luhur Yogyakarta in Topic

Linear Programming Using Realistic Mathematic Education (RME).

Based on an interview and test conducted by researcher with a XII grade

mathematic teacher and XII grade students’, there were some problems

related to linear programming in XII grade i.e. (1) students were unable to

model mathematic problems instructural constraints and objective

function, (2) students were treated to solve the problems with the steps

given by teacher, (3) students’ were unable to understand linear

programming problems due to the problems were in long sentence that

made them confused. This research aimed to (1) describe learning

trajectory by using realistic mathematic education approach to the teaching

of linear program with graphic method for the students’ of XII grade in

SMA Pangudi Luhur Yogyakarta, (2) to know the level of students’

modeling ability based on final test after they followed the teaching

learning using PMR approach. This kind of this research was design

research. The research subjects were 31 students’ grade XI of SMA

Pangudi Luhur Yogyakarta. The research data were learning video

transcription and test result. The video transcriptions were analyzed based

on the characteristics of RME. The test results were classified based on the

same answer and analyzed based on modeling ability indicator. In this

research, there were 4 meetings for the learning trajectory try out and 1

meeting for the test. Furthermore, the results of this research obtained by

doing the learning process as much as 4 meetings and 1 final test meeting.

The results of the research showed that (1) PMR characteristic that was

shown in first meeting try out learning were “using context”, “using

model”, “using students’ contributions”, and “intertwinning”, (2) PMR

characteristic that was shown in second meeting try out learning were

“using context”, “using students’ contributions”, and “interactivity”, (3)

PMR characteristic that was shown in third meeting try out learning were

“using context”, “using model”, “using students’ contributions”,

“interactivity”, and“intertwinning” (4) PMR characteristic that was shown

in first meeting research learning were “using context”, “using model”,

“using students’ contributions”, interactivity, and “intertwinning” (5)PMR

characteristic that was shown in second meeting research learning were

“using context”, “using model”, “using students’ contributions”, and

“interactivity” (6) PMR characteristic that was shown in third meeting

research learning were “using context”,“using students’ contributions”,

interactivity, and “intertwinning”, (7) in solving try out final test number

1, 70,96% students’ were in situational level, 22,58% students’ were in

referential level, and 6,45% students’ were in formal level, in solving try


x

out final test number 2, 93,59% students’ were in situational level and

6,45% students’ were in formal level, in solving research final test number

1, 100% students’ were in referential level, and in solving research final

test number 2, 93,54% students’ were in referential level and 6,45%

students’ were in formal level.

Keywords : PMR, design research, linear programming, graphic,

modeling ability


ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena kasih dan karuniaNya

penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini bertujuan untuk

memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Pendidikan pada

Program Studi Magister Pendidikan Matematika.

Dalam proses penyusunan tesis ini, penulis mendapatkan banyak

pengalaman dan hambatan, namun berkat bantuan, bimbingan, dan motivasi dari

berbagai pihak, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Oleh sebab itu, penulis

ingin mengucapkan terimakasih pada berbagai pihak yang telah membimbing dan

membantu, antara lain :

1. Bapak Dr. Hongki Julie,M.Si. selakudosen pembimbing tesis yang telah

banyak meluangkan waktu untuk membimbing penulis selama penyusunan

tesis ini.

2. Br. Herman Yoseph, FIC yang telah memberikan izin kepada penulis untuk

melakukan penelitian di SMA Pangudi Luhur Yogyakarta.

3. Ibu Zeny Ernaningsih, S.Pd. yang telah memberikan izin kepada penulis untuk

melakukan penelitian di kelas XI IPS 1 dan XI IPS 2.

4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi Magister

Pendidikan Matematika yang telah bersedia memberikan semangat,

bimbingan, masukan, dan saran selama penulis menyelesaikan tesis ini.

5. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd, M.Si. selaku Dekan FKIP Universitas

Sanata Dharma yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.

6. Ibu Tari, Mas Arif Kurnianto, Mas Yumar dan Pak Sugeng selaku karyawan

sekretariat JPMIPA atas pelayanan yang sangat baik selama penulis ada di

Universitas Sanata Dharma.

7. Seluruh siswa kelas XI IPS 1 dan XI IPS 2 SMA Pangudi Luhur Yogyakarta

angkatan 2017 atas dinamika selama proses pembelajaran program linear.

8. Sahabatku, Catharina Mara Apriani yang telah membantu selama proses

penelitian dan penulisan tesis.


x

9. Ibuku Ignatia Dayati, Kakakku Detta dan Catrin, serta adikku Gusti yang telah

mendukung secara moril dan materil.

10. Pakdeku Gerardus Darmadji dan Budeku A.M Tujiati atas dukungan dan kasih

sayangnya sehingga penulis dapat menempuh kuliah S1 di Universitas Sanata

Dharma.

11. Sahabatku Martina Novi Tesawanti yang selalu memberikan semangat dan

fasilitasnya selama penulis menyelesaikan tesis ini.

12. Kakak kosku, Sri Adi Susilowati atas dukungan moril dan materil selama

penulis menyelesaikan penulisan tesis ini.

13. Semua pihak yang membantu yang tanpa sengaja tidak disebutkan disini.

Penulis menyadari bahwa tesis ini belum sempurna. Oleh sebab itu,

penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi perbaikan tesis

ini. Selain itu, penulis berharap tesis ini dapat bermanfaat bagi perkembangan

dan kemajuan dunia pendidikan.


xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................. Error! Bookmark not defined.

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .... Error! Bookmark not defined.

HALAMAN PENGESAHAN ................................ Error! Bookmark not defined.

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .............................................................. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ............................................................. Error! Bookmark not defined.

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

BAB IPENDAHULUAN ........................................................................................ 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ...................................................................................... 13

C. Batasan Masalah......................................................................................... 13

D. Tujuan Penelitian ....................................................................................... 13

E. Batasan Istilah ............................................................................................ 14

F. Manfaat Penelitian ..................................................................................... 14

G. Kebaruan Penelitian ................................................................................... 16

BAB IILANDASAN TEORI ................................................................................ 17

A. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR)............................................... 17

B. Teori yang Terkait dengan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) ... 22

C. Matematisasi .............................................................................................. 24

D. Kemampuan Memodelkan ......................................................................... 28

E. Penelitian Desain (Design Research) ......................................................... 30

F. Program Linear........................................................................................... 35


xii

G. Pembelajaran Campuran (Blended Learning) ........... Error! Bookmark not

defined.

H. Penelitian yang Relevan ............................................................................. 44

I. Kerangka Berpikir ...................................................................................... 49

BAB IIIMETODOLOGI PENELITIAN............................................................... 52

A. Jenis Penelitian ........................................................................................... 52

B. Subjek Penelitian ........................................................................................ 52

C. Tempat dan Waktu Penelitian .................................................................... 52

D. Desain Penelitian ........................................................................................ 52

E. Metode Pengumpulan Data ........................................................................ 55

F. Instrumen Penelitian................................................................................... 56

G. Teknik Analisis Data .................................................................................. 83

H. Proses Penelitian ........................................................................................ 88

BAB IVHASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ....................................... 83

A. Rancangan Lintasan Belajar pada Saat Uji Coba ....................................... 83

B. Deskripsi Hasil Pembelajaran Uji Coba ..................................................... 97

C. Deskripsi Pembelajaran Penelitian ........................................................... 144

D. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Uji Coba ....................................... 182

E. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Penelitian ..................................... 215

F. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Uji Coba dengan Wawancara ...... 244

G. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Penelitian dengan Wawancara ..... 272

H. Refleksi Pelaksanaan Penelitian ............................................................... 293

BAB VKESIMPULAN DAN SARAN ............................................................... 272

A. Kesimpulan .............................................................................................. 272

B. Saran ......................................................................................................... 275

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 275

LAMPIRAN


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Produksi tani ......................................................................................... 38

Tabel 3.1 Garis Besar Langkah-langkah Pembelajaran ........................................ 56

Tabel 3.2 Kisi-kisi Soal Tes .................................................................................. 59

Tabel 3.3 Kisi-kisi pertanyaan wawancara ........................................................... 65


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Lembar pekerjaan siswa 1 ................................................................... 5





Gambar 2.1 Matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal (De Lange, 1987

hal. 45)................................................................................................................... 27

Gambar 2.2 Grafik daerah layak fungsi kendala ................................................... 40

Gambar 2.3 Grafik fungsi sasaran 𝟑𝟐𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 = 𝒌 ............................................. 41

Gambar 2.4 Relasi gradien garis dengan kecondongan garis ............................... 44

Gambar 3.1 Skema Alur Penelitian ....................................................................... 91

Gambar 4.1 Guru memberikan konteks pada siswa ............................................ 101

Gambar 4.2 Latihan soal yang ditampilkan pada slide ....................................... 101

Gambar 4.3 Lembar pekerjaan siswa 1 pada latihan 1 nomor 1 ......................... 104





Gambar 4.8 Lembar pekerjaan siswa 5 pada latihan 1 nomor 2 ........................ 114

Gambar 4.9 Guru membimbing siswa dalam memodelkan masalah .................. 115

Gambar 4.10 Siswa memodelkan masalah matematika ...................................... 116

Gambar 4.11 Contoh pekerjaan siswa pada pertemuan 2 ................................... 119

Gambar 4.12 Pekerjaan siswa pada pertemuan 2 ................................................ 120

Gambar 4.13 Siswa mengikuti kuis dengan aplikasi Kahoot! ............................ 123

Gambar 4.14 Siswa mengikuti kuis dengan aplikasi Kahoot! ............................ 123

Gambar 4.15 Contoh pekerjaan siswa saat memodelkan masalah pada pertemuan

3 ........................................................................................................................... 128


xv


3 ........................................................................................................................... 129


3 ........................................................................................................................... 130

Gambar 4.18 Contoh pekerjaan siswa saat menggambar daerah penyelesaian pada

pertemuan 3 ......................................................................................................... 132

Gambar 4.19 Contoh pekerjaan siswa saat menggambar daerah penyelesaian pada

pertemuan 3 ............................................................ Error! Bookmark not defined.

Gambar 4.20 Guru menunjukkan grafik fungsi objektif menggunakan geogebra

............................................................................................................................. 139

Gambar 4.21 Guru menjelaskan tentang daerah penyelesain fungsi kendala ..... 141

Gambar 4.22 Siswa sedang mengungkapkan pendapatnya................................. 141

Gambar 4.24 Contoh pekerjaan siswa pada latihan soal pertemuan 4 ........... Error!

Bookmark not defined.

Gambar 4.25 Contoh pekerjaan siswa pada latihan 1 soal pembelajaran penelitian

1 ........................................................................................................................... 148


1 ........................................................................................................................... 151


1 ........................................................................................................................... 152


1 ........................................................................................................................... 154

Gambar 4.29 Contoh pekerjaan siswa pada latihan 1 nomor 2 soal pembelajaran

penelitian 1 .......................................................................................................... 156


penelitian 1 .......................................................................................................... 158


penelitian 1 .......................................................................................................... 160

Gambar 4.32 Guru mengonstruksi pengetahuan siswa pada pembelajaran

penelitian pertemuan 1 ........................................................................................ 168

Gambar 4.33 Hasil Pekerjaan S1.1 ..................................................................... 182




xvi



















Gambar 4.54 Hasil Pekerjaan S10.1 ................................................................... 236



Gambar 4.57 Hasil Pekerjaan S1 ........................................................................ 245









Gambar 4.66 Hasil Pekerjaan S10 ...................................................................... 288


xvii


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kompetensi keterampilan mata pelajaran matematika pada kurikulum

2013 berdasarkan PERMENDIKNAS No. 24 Tahun 2016 bertujuan agar

siswa memiliki kemampuanmengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah

konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang

dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif,

serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan. Salah satu materi

yang dapat mengantar siswa untuk memiliki kemampuan tersebut adalah

Program Linear.

Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimasi (Kasmina dkk, 2008). Dengan kata lain,

program linear merupakan suatu teknik dalam mendapatkan nilai optimum

(maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dengan kendala-kendala

tertentu yang diterjemahkan dalam suatu pertidaksamaan linear. Jadi kriteria

yang harus dipenuhi untuk mengoptimumkan fungsi objektif yaitu : (1)

Variabel keputusan tidak negatif (non-negative), (2) Adanya fungsi tujuan

(objective function) dari variabel keputusan dan dapatditerjemahkan dalam

fungsi linear. (3) Keterbatasan atau kendala dapat digambarkan dalam fungsi

linear.


2

Pengetahuan mengenai nilai optimum ini sangat penting dan banyak

digunakan dalam kegiatan yang berhubungan dengan matematika itu sendiri

maupun yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan

sehari-hari manusia cenderung hidup dengan berprinsipkan ekonomi, dengan

usaha sesedikit mungkin dapat memperoleh hasil sebanyak mungkin (Susanta,

1994). Banyak hal yang dicari nilai optimumnya, misalnya pendapatan yang

maksimum, ongkos yang minimum, hidup yang paling nyaman, dan

sebagainya. Oleh karena itu muncul masalah optimasi.

Pada bidang industri, program linear dapat digunakan untuk

menghitung biaya produksi, banyak karyawan yang diperlukan, atau bahan

yang diperlukan dalam produksi 1 unit barang tertentu sehingga dapat

diprediksi tingkat pengeluaran dan pendapatan yang diperoleh. Pada bidang

sosial ekonomi, program linear dapat digunakan untuk membantu peternak

menentukan banyaknya jenis pakan sapi agar sapi tersebut tetap terpenuhi

kebutuhan nutrisi minimalnya dan agar pengeluaran peternak tersebut tetap

minimum. Dari berbagai kegunaan di atas maka program linear merupakan

salah satu materi yang penting untuk dipelajari di sekolah.

Berdasarkan hasil wawancara yang dilakukan dengan guru kelas XII

SMA Pangudi Luhur Yogyakarta didapatkan bahwa dalam menyelesaikan

permasalahan program linear, siswa kesulitan dalam memodelkan situasi

dunia nyata ke dalam bahasa matematika, baik memodelkan fungsi kendala

maupun fungsi objektifnya. Selain itu siswa juga kesulitan dalam menggambar

grafik dan menentukan daerah penyelesaian. Dikatakan bahwa siswa


3

seringkali putus asa di awal pengerjaan karena soal terkait program linear

selalu panjang dan membutuhkan waktu yang lama, sehingga seringkali dalam

latihan Ujian Nasional (UN) siswa melewati soal terkait program linear.

Pembelajaran yang dilaksanakan di kelas terkait program linear

substansinya sudah dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari karena memang

permasalahan dalam program linear sangat kontekstual, namun dalam proses

pemecahan masalah terkait program linear, guru memberi contoh penyelesaian

soal dengan sistematis sehingga siswa tinggal mengikuti langkah-langkah

pengerjaan yang sudah diberikan sebelumnya dan menghapalkan langkah-

langkah tersebut. Siswa tidak menemukan penyelesaian masalahnya sendiri.

Selain itu guru juga kurang memfasilitasi siswa dalam mengungkapkan proses

berpikir dan beargumentasi. Hal ini terlihat karena guru tidak mengadakan

presentasi siswa terkait pemecahan masalah yang didapatkannya disebabkan

oleh waktu pembelajaran yang terbatas.

Peneliti mengadakan tes terkait pemecahan masalah program linear

pada 15 siswa kelas XII di SMA Pangudi Luhur yang sudah pernah mengikuti

pembelajaran mengenai program linear di kelas XI. Permasalahan yang

diangkat adalah sebagai berikut :


4

PROGRAM LINEAR

Tatan sangat senang makan steak dan keripik kentang, namun

Tatan berencana mengurangi konsumsi makannya terutama steak

dan keripik kentang. Oleh karena itu, Tatan mengunjungi ahli gizi

untuk meyakinkan dirinya bahwa makanan yang ia makan (steak dan

keripik kentang) memenuhi persyaratan gizi

Kandungan karbohidrat pada steak dan pada keripik kentang

per penyajian masing-masing adalah 5 gram dan 15 gram.

Kandungan protein pada steak dan pada keripik kentang per

penyajian masing-masing adalah 10 gram dan 5 gram. Kandungan

lemak pada steak dan pada keripik kentang per penyajian masing-

masing adalah 15 gram dan 2 gram. Tatan dapat mengonsumsi

karbohidrat lebih dari 50 gram per hari, protein lebih dari 40 gram

perhari, dan lemak kurang dari 60 gram per hari. Apabila harga

steak per sajian adalah Rp. 20000 dan harga keripik kentang per

penyajian adalah Rp. 10000, berapa banyaknya steak dan keripik

kentang yang dapat dimakan Tatan sehingga memenuhi persyaratan

kebutuhan harian dan pengeluaran Tatan menjadi minimum?


5

Berdasarkan tes yang dilaksanakan, dalam hal memodelkan sebagian

besar siswa tidak mampu untuk memodelkan fungsi kendala. Dalam

melakukan pemisalan, 13 siswa memisalkan 𝑥 sebagai steak dan 𝑦 sebagai

keripik kentang dimana seharusnya 𝑥 merepresentasikan banyaknya steak

dan 𝑦 merepresentasikan banyaknya keripik kentang. Berikut ini

merupakan salah satu contoh pekerjaan siswa yang memisalkan 𝑥 sebagai

steak dan 𝑦 sebagai keripik kentang

Gambar 1.1 Lembar pekerjaan siswa 1

Selain itu ada juga 1 siswa yang memisalkan 𝑥 sebagai karbohidrat, 𝑦

sebagai protein dan 𝑧 sebagai lemak sehingga model fungsi kendala yang

didapatkan adalah 5𝑥 + 10𝑦 + 15𝑧15𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧

tanpa tanda pertidaksamaan dan


6

selanjutnya siswa tidak dapat melanjutkan penyelesaiannya. Berikut ini

merupakan salah satu contoh pekerjaan siswa tersebut.


Selain itu terdapat siswa yang tidak tepat dalam menentukan tanda

pertidaksamaan. Berdasarkan hasil wawancara, hal ini salah satunya

disebabkan karena siswa mengira seharusnya karbohidrat dan protein tidak

boleh dikonsumsi secara tidak terbatas sehingga siswa tersebut

memutuskan untuk menggunakan tanda ≤ untuk semua fungsi kendalanya.

Berikut ini merupakan salah satu pekerjaan siswa yang kurang tepat dalam

menggunakan tanda pertidaksamaan :


7


Sedangkan alasan lain siswa kurang tepat dalam menentukan tanda

pertidaksamaan adalah karena siswa mengaku hanya mengira-ira.

Selanjutnya tidak ada satupun siswa yang menuliskan sifat kenonnegatifan

fungsi kendala 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0.

Dalam hal menggambar grafik, 13 siswa tidak mampu untuk

menggambar grafik. Hal ini selain disebabkan oleh fungsi kendala yang

kurang tepat juga karena mereka lupa bagaimana cara mencari titik potong

sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦. Ada siswa yang mampu untuk menentukan titik

potong sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦 dari fungsi kendala

5𝑥 + 15𝑦 ≥ 5010𝑥 + 5𝑦 ≥ 4015𝑥 + 2𝑦 ≤ 60

namun


8

kurang tepat dalam meletakkan titik tersebut pada Diagram Cartesius. Titik

potong sumbu 𝑥 dari persamaan garis 5𝑥 + 15𝑦 = 50 adalah (0,10

3) dan

(10,0) namun siswa tersebut menggambar titik (10,10

3) pada Diagram

Cartesius. Hal ini menunjukkan bahwa siswa tidak memahami apa yang

dimaksud dengan titik potong sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦. Berikut ini adalah

lembar pekerjaan siswa tersebut:


Terdapat 2 siswa yang mampu menentukan daerah penyelesaian grafik

pertidaksamaan linear 2 variabel namun terdapat kesalahan teknis dalam

penghitungan. Sedangkan siswa lainnya terhambat pada langkah-langkah


9

sebelumnya sehingga tidak sampai pada tahap menentukan daerah

penyelesaian. Berikut ini merupakan salah satu pekerjaan siswa yang

mampu menyelesaikan menentukan daerah penyelesaian:


Seluruh siswa tidak sampai pada tahap memodelkan fungsi objektif dan

mengoptimumkan fungsi objektif tersebut. Peneliti juga mewawancarai

beberapa siswa, ternyata dalam menyelesaikan permasalahan terkait

program linear, siswa memiliki masalah pada saat memodelkan masalah

realistik ke dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan linear, siswa juga


10

kesulitan dalam menggambarkan grafik. Siswa mengaku jika mereka akan

menyelesaikan permasalahan terkait program linear, maka mereka harus

melihat buku catatan atau buku panduan terlebih dahulu. Hal ini

disebabkan dalam pembelajaran, siswa mengaku bahwa mereka

menghafalkan langkah penyelesaian yang diberikan guru sehingga setelah

lama meninggalkan materi program linear siswa lupa cara pengerjaan soal.

Selain itu siswa mengaku waktu yang diberikan untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut kurang.

Keunggulan PMR sebagaimana yang dikemukakan Wijaya (2012: 20)

adalah menekankan learning by doing, sesuai dengan konsep dasar

pembelajaran matematika realistik yang diutarakan Freudental (Van Den

Heuvel-Panhuizenthe: 1998) yaitu “mathematics as a human activity”

yang artinya matematika sebagai aktivitas manusia dimana matematika

sebenarnya akrab dengan kegiatan manusia sehari-hari. Dalam

pembelajaran dengan menggunakan pendekatan matematika realistik,

siswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya dengan menggunakan

masalah realistik dan sebagai titik awaluntukpengembangan ide dan

konsep matematika.

Salah satu prinsip dalam PMR adalah matematisasi progresif

(progressive mathematizing) yang menekankan pada proses matematisasi

atau proses pematimatikaan. Dikatakan progresif karena terdiri atas dua

langkah yang berurutan yaitu matematisasi horizontal dan matematisasi

vertikal. Matematisasi horizontal merupakan proses penalaran dari


11

masalah kontekstual yang diberikan dan berakhir pada matematika yang

formal (simbol-simbol). Hal ini senada dengan proses awal pada

penyelesaian masalah dalam materi program linear dimana siswa harus

memodelkan masalah sehari-hari ke dalam simbol-simbol matematika dan

juga saat siswa mengintepretasikan kembali penyelesaian mereka ke dalam

bahasa sehari-hari. Sedangkan matematisasi vertikal merupakan proses

penalaran dari matematika formal ke matematika yang lebih luas, atau

lebih tinggi. Dalam proses memecahkan permasalahan terkait program

linear, matematika vertikal terletak saat menggambar grafik dan saat

menentukan titik optimum dari fungsi objektif.

Penelitian yang akan dilakukan menekankan proses matematisasi

horizontal sebagai upaya dalam mengatasi hambatan-hambatan siswa

dalam menyelesaikan permasalahan terkait program linear. Sehingga

melalui pembelajaran dengan PMR siswa diharapkan dapat mengonstruksi

pengetahuan dan idenya sendiri untuk memecahkan masalah sehingga

diharapkan siswa tidak lagi menghafalkan langkah-langkah penyelesaian

namun mampu menalar sehingga siswa dapat menyelesaikan masalah

sesuai dengan konteks.

Di samping dengan pembelajaranmatematika realistik, setiap individu

siswamemerlukan cara yang berbeda untukmemahami apa yang telah

dipelajari. Penelitian pada bidang desain pendidikan telah menunjukkan

bahwa pembelajaran berbasis permainan adalah salah satu alat yang efektif

dalam pengajaran terutama untuk menjaga motivasi keberlanjutan belajar


12

(Huang dalam Fitri,dkk ; 2017). Beberapa literatur juga mengungkapkan

jika siswa yang berpartisipasi dalam pendekatan berbasis permainan

digital ini menunjukkan keinginan yang lebih besar untuk melanjutkan

proses pembelajaran mereka dibandingkan dengan pendekatan

konvensional. Permainan bersifat menyenangkan dan memotivasi. Selain

itu, penggunaan teknologi memungkinkan siswa dan guru mendapatkan

pengalaman belajar yang berbeda.

Di sisi lain, seringkali siswa hanya menggunakan komputer untuk

mengerjakan tugas tertentu (pada perangkat) sehingga pada akhirnya

minim interaktivitas antar siswa. Untuk itu, diperlukan sebuah platform

yang dapat memfasilitasisiswa dalam sebuah permainan kolaboratif seperti

platform Kahoot!. “Kahoot!” merupakan website edukatif yang diinisiasi

oleh Johan Brand, Jamie Brooker dan Morten Versvik dalam sebuah joint

project dengan Norwegian University of Technology and Science pada

Maret 2013.

Penggunaan “Kahoot!”dinilai peneliti sejalan dengan salah satu

karakteristik PMR yaitu Interaktivitas. Interaktivitas dalam PMR adalah

saat siswa saling berkomunikasi, bernegosiasi, dan berdiskusi untuk

memecahkan masalah sedangkan interaktivitas yang akan terbangun

dengan digunakannya “Kahoot!”adalah saat siswa saling bersaing secara

sehat dan menyenangkan untuk memecahkan masalah yang diberikan

guru. Selain itu penggunaan “Kahoot!” merupakan salah satu upaya untuk

memotivasi siswa dalam mengonstruksi pengetahuannya dan membuat


13

pembelajaran siswa pada materi program linear dalam pembelajaran

dengan pendekatan PMR lebih bermakna. Siswa akan berusaha untuk

dapat memecahkan masalah agar saat penilaian siswa dapat memenangkan

permainan dalam “Kahoot!.

B. Rumusan Masalah

Berikut ini adalah rumusan masalah dari permasalahan di atas :

1. Bagaimanakah lintasan belajar dengan pendekatan Pembelajaran

Matematika Realistik (PMR) untuk membelajarkan program linear 2

variabel?

2. Bagaimana kemampuan memodelkan siswa setelah mengalami

pembelajaran dengan pendekatan PMR?

C. Batasan Masalah

Berdasarkan masalah yang dipaparkan pada latar belakang serta mengingat

keterbatasan peneliti, maka penelitian ini dibatasi pada :

1. Tempat pelaksanaan penelitian yaitu di kelas XI-MIPA 3 dan XI-MIPA 2

SMA Pangudi Luhur Yogyakarta.

2. Topik yang akan diteliti adalah menyelesaikan masalah kontekstual yang

berkaitan dengan program linear 2 variabel menggunakan Hypotethical

Learning Trajectory (HLT).

D. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, penelitian ini bertujuan untuk :


14

1. Menghasilkan lintasan belajar dengan pendekatan Pembelajaran

Matematika Realistik (PMR) untuk menyelesaikan masalah kontekstual

yang berkaitan dengan program linear 2 variabel

2. Mengetahui kemampuan memodelkan siswa setelah mengalami

pembelajaran dengan pendekatan PMR.

E. Batasan Istilah

1. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR)

Pembelajaran Matematika Realistik (PMR) merupakan salah satu

pendekatan dalam pendidikan matematika yang memiliki karakteristik

meliputi penggunaan konteks, penggunaan model, menggunakan kontribusi

siswa, adanya interaktivitas siswa, dan pemanfaatan keterkaitan

(intertwining).

2. Kemampuan Memodelkan

Kemampuan memodelkan adalah adalah kemampuan siswa untuk

memodelkan suatu fenomena secara matematis atau membangun suatu

konsep matematika dari suatu fenomena

3. Kahoot!

Kahoot! adalah suatu pemanfaatan teknologi untuk mengelola kuis,

diskusi, dan survei yang berbentuk permainan berbasis respon siswa di

kelas yang dimainkan oleh siswa pada saat itu juga dengan menggunakan

telepon genggam, tablet, laptop, atau komputer.

F. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :


15

1. Bagi Peneliti

a. Peneliti mendapatkan pengalaman dalam melakukan penelitian desain

dan merancang pembelajaran dengan topik Program Linear 2 Variabel.

b. Peneliti mendapatkan pengalaman mengadakan pembelajaran dengan

pendekatan PMR dikombinasikan dengan “Kahoot!”.

c. Peneliti mendapatkan pengalaman untuk menganalisis kemampuan

memodelkan dan penyelesaian siswa setelah mengalami pembelajaran

dengan pendekatan PMR dikombinasikan dengan “Kahoot!”.

2. Bagi Siswa

a. Siswa mendapatkan pengalaman belajar matematika yang lebih

bermakna dengan pembelajaran dengan pendekatan PMR.

b. Siswa mendapatkan pengalaman belajar matematika yang

menyenangkan dengan evaluasi pembelajaran menggunakan

“Kahoot!”.

3. Bagi Guru

a. Guru mendapatkan referensi desain pembelajaran matematika topik

Program Linear yang dapat mengonstruksi ide anak, yaitu dengan

pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik.

b. Guru mengetahui kemampuan memodelkan siswa kelas XI-MIPA 2

Tahun Ajaran 2018/2019.

c. Guru mendapatkan referensi untuk merancang evaluasi pembelajaran

dengan “Kahoot!”.


16

G. Kebaruan Penelitian

Penelitian terdahulu yang telah ada dilakukan oleh Rully Amrizal pada

tahun 2016 telah mengimplementasikan pembelajaran matematika dengan

pendekatan saintifik dengan penggunaan aplikasi Quipper School pada siswa

kelas VIII di MTs Negeri Pemalang. Hasil impelementasi pembelajaran

tersebut menunjukkan peningkatan hasil belajar dan meningkatkan semangat

siswa dalam belajar. Kendala yang ditemui adalah lambatnya koneksi internet

di sekolah tersebut.

Selanjutnya penelitian serupa berjudul Pengembangan Bahan Ajar Sistem

Persamaan Linear Berwawasan Pendidikan Matematika Realistik Berorientasi

Blended Learning yang dilakukan oleh I Wayan Sumandya pada tahun 2016

di SMK Negeri 1 Bali. Penelitian ini telah berhasil mengembangkanbahan ajar

sistem persamaan linearsatu dan dua variabel berwawasanpendidikan

matematika realistik berorientasiblended learning yang berkualitas

valid,praktis, dan efektif. Karakteristikpembelajarannya menggunakanmasalah

kontekstual, menggunakan berbagaimodel, kontribusi siswa, interaktivitas,

keterkaitan, serta kombinasi pembelajaran online dan tatap muka.

Sedangkan penelitian yang akan dilakukan peneliti memiliki kebaruan

dalam hal mengkombinasikan pembelajaran dengan pendekatan PMR dengan

penilaian menggunakan aplikasi“Kahoot!” pada siswa SMA. Hal ini

disebabkan “Kahoot!” dinilai peneliti dapat memotivasi siswa dalam

pembelajaran dengan pendekatan PMR.


17

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Pembelajaran Matematika Realistik (PMR)

Pendidikan Matematika Realistik (PMR) merupakan adaptasi dari

pendekatan Realistic Mathematics Education (RME) yang dikembangkan

di Belanda oleh Hans Freudenthal sejak tahun 1970. Penggunaan kata

“realistik” berasal dari bahasa Belanda “zich realiseren” yang berarti

“untuk dibayangkan” atau “to imagine” (Van den Heuvel-Panhuizen dalam

Ariyadi Wijaya, 2012 : 20). Menurut Van den Heuvel-Panhuizen,

penggunaan kata “realistik” tidak sekedar menunjukkan bahwa

pembelajaran dengan Pendidikan Matematika Realistik terkait dengan

dunia nyata, tetapi lebih berfokus pada penggunaan suatu situasi yang dapat

dibayangkan (imagineable) oleh siswa. Pendekatan ini didasarkan pada

anggapan Hans Freudenthal (1905-1990) bahwa matematika merupakan

aktivitas insane (Hadi, 2017:9). Ini berarti bahwa siswa tidak dipandang

sebagai penerima pasif dalam pembelajaran sehingga tujuan utama dari

pendidikan matematika adalah siswa belajar menemukan matematika

sebagai suatu kegiatan. De Lange (Hadi, 2017 : 24) mengatakan bahwa

proses penemuan kembali tersebut harus dikembangkan melalui

penjelajahan berbagai persoalan ‘riil’.

Pembelajaran ini menekankan pentingnya konteks nyata atau real yang

dikenal siswa dan proses konstruksi pengetahuan matematika oleh siswa


18

sendiri. Suatu pengetahuan akan menjadi bermakna bagi siswa jika proses

pembelajaran dilaksanakan dalam suatukonteks atau pembelajaran

menggunakan permasalahan realistic (Wijaya, 2012 : 20). Masalah-masalah

realistik digunakan sebagai sumber munculnya konsep-konsep matematika

atau pengetahuan matematika formal. De Lange (Hadi, 2017 : 25)

mengatakan bahwa proses pengembangan ide dan konsep matematika yang

dimulai dari dunia nyata disebut ‘matematisasi konseptual’.

Menurut De Lange (Wijaya, 2012:42), membedakan 2 macam

matematisasi yaitu matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal.

Matematisasi horizontal adalah dimana siswa mulai dari soal-soal

kontekstual dengan mencoba menguraikan dengan bahasa dan symbol yang

dibuat sendiri kemudian menyelesaikan soal tersebut (Hadi, 2017:26).

Siswa menyelesaikan masalah kontekstual tersebut menggunakan cara

mereka sendiri yang mungkin berbeda dengan siswa lain. Sedangkan

matematisasi vertikal adalah proses berbagai reorganisasi dan operasi

dalam sistem matematis itu sendiri (Van en Heuvel, 1996:89). Dalam

matematisasi vertikal, siswa juga memulai dari soal-soal kontekstual tetapi

dalam jangka panjang mereka dapat menyusun secara langsung tanpa

bantuan konteks (Hadi, 2017:26). Dengan kata lain menghasilkan konsep,

prinsip, atau model matematika dari matematika itu sendiri.

Dari pernyataan di atas maka dapay disimpulkan bahwa pembelajaran

matematika realistik adalah pembelajaran berdasarkan realita yang dapat

diamati, dibayangkan, dan dipahami siswa untuk mengonstruksi konsep


19

yang akan digunakan kembali untuk memecahkan permasalahan

matematika dalam kehidupan nyata.

Treffers (1987) dalam Wijaya (2012,21-23) merumuskan lima

karakteristik Pendidikan Matematika Realistik, yaitu :

a) Penggunaan konteks

Konteks atau permasalahan realistik digunakan sebagai

titik awal pembelajaran matematika. Konteks tidak harus berupa

masalah dunia nyata namun bisa dalam bentuk permainan,

penggunaan alat peraga, atau situasi lain selama hal itu bermakna

dan bisa dibayangkan dalam pikiran siswa. Melalui penggunaan

konteks, siswa dilibatkan secara aktif dalam kegiatan eksplorasi.

Hasil eksplorasi tidak hanya bertujuan untuk mendapatkan

jawaban akhir dari suatu permasalahan matematika, namun juga

berbagai strategi dan alternatif pemecahan masalah tersebut

sehingga kemampuan penalaran siswa juga dapat berkembang.

Manfaat lain dari penggunaan konteks di awal pembelajaran

adalah untuk meningkatkan motivasi dan ketertarikan siswa dalam

belajar matematika (Kaiser dalam De Lange, 1987).

b) Penggunaan model untuk matematisasi progresif

Dalam RME, model digunakan dalam melakukan

matematisasi secara progresif. Penggunaan model berfungsi

sebagai jembatan dari pengetahuan dan matematika tingkat konkrit

menuju pengetahuan matematika tingkat formal. Hal yang harus


20

dipahami dari kata “model” adalah bahwa “model” tidak merujuk

pada alat peraga. “Model” merupakan suatu alat “vertikal” dalam

matematika yang tidak bisa dilepaskan dari proses matematisasi

(yaitu matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal) karena

model merupakan tahapan proses transisi level informal menuju

level matematika formal.

c) Pemanfaatan hasil konstruksi siswa

Mengacu pada pendapat Freudenthal bahwa matematika

tidak diberikan kepada siswa sebagai suatu produk yang siap

dipakai tetapi sebagai suatu konsep yang dibangun oleh siswa

maka dalam RME siswa ditempatkan sebagai subjek belajar.

Siswa memiliki kebebasan untuk mengembangkan strategi

pemecahan masalah sehingga diharapkan akan diperoleh strategi

yang bervariasi. Hasil kerja dan konstruksi siswa selanjutnya akan

digunakan sebagai landasan pengembangan konsep matematika.

d) Interaktivitas

Proses belajar seseorang bukan hanya suatu proses

individu melainkan juga secara bersamaan merupakan suatu

proses sosial. Proses belajar siswa akan menjadi semakin singkat

dan bermakna apabila siswa mengkomunikasikan hasil kerja dan

gagasan mereka. Pemanfaatan interaksi dalam pembelajaran

matematika bermanfaat dalam mengembangkan kemampuan

kognitif dan afektif siswa secara simultan.


21

e) Keterkaitan

Konsep-konsep dalam matematika tidak bersifat parsial,

namun banyak konsep matematika yang memiliki keterkaitan.

Oleh karena itu konsep-konsep matematika tidak dikenalkan pada

siswa secara terpisah atau terisolasi satu sama lain. RME

menempatkan prinsip keterkaitan dalam proses pembelajaran.

Melalui keterkaitan ini, satu pembelajaran matematika diharapkan

bisa mengenalkan dan membangun lebih dari satu konsep

matematika secara bersamaan (walau ada konsep yang dominan).

Sedangkan menurut De Lange (Hadi, 2017: 37-38),pengajaran

mametaika dengan pembelajaran matematika memiliki beberapa aspek,

yaitu :

1. Memulai pembelajaran dengan mengajukan masalah atau soal

yang “riil” bagi siswa sesuai dengan pengalaman dan tingkat

pengetahuannya sehingga siswa siswa dapat terlibat dalam

pembelajaran yang bermakna.

2. Permasalahan yang diberikan harus diarahkan sesuai dengan

tujuan yang ingin dicapai dalam pembelajaran tersebut.

3. Siswa mengembangkan atau menciptakan model-model simbolik

secara informal terhadap masalah yang diajukan.

4. Pengajaran berlangsung secara interaktif: siswa menjelaskan dan

memberikan alasan terhadap jawaban yang diberikannya,

memahami jawaban siswa lain, setuju atau tidak dengan jawaban


22

siswa lain, menyatakan ketidaksetujuan, mencari alternatif

penyelesaian yang lain, dan melakukan refleksi terhadap setiap

tingkah laku yang ditempuh atau terhadap hasil pengajaran.

B. Teori yang Terkait dengan Pembelajaran Matematika Realistik

(PMR)

Beberapa teori terkait dengan pembelajaran matematika realistik antara

lain adalah : teori Piaget, teori Vygotsky, teori Bruner dan teori Ausubel.

Masing-masing teori akan dijelaskan di bawah ini.

1. Teori Piaget

Teori perkembangan kognitif Piaget adalah salah satu teori

yangmenjelaskan bagaimana anak beradaptasi dengan

danmenginterpretasikan obyek dan kejadian – kejadian di sekitarnya.

Piagetmemandang bahwa anak memainkan peran aktif di dalam

menyusunpengetahuannya mengenai realitas (Suharto,2012) dalam

(Novi, 2017).Berdasarkan teori Piaget, pendekatan dalam pembelajaran

matematikarealistik sangat terkait dengan teori tersebut, karena

pembelajaranmatematika realistik memfokuskan pada proses berpikir

peserta didik,bukan sekedar memfokuskan pada hasil. Dalam

pembelajaran matematikarealistik mengutamakan peran peserta didik

berinisiatif untuk menemukansendiri jawaban dari masalah realistik

yang diberikan. Selain itu pesertadidik dituntut aktif terlibat dalam

kegiatan pembelajaran. Hal ini sesuaidengan karakteristik pembelajaran

matematika realistik yang keempat(interaktivitas).


23

2. Teori Vygotsky

Teori perkembangan sosiokultural Vygotsky menekankan

adanyapengaruh budaya terhadap perkembangan kognitif anak. Anak

akanmengembangkan kemampuan berpikirnya ke tingkat yang lebih

tinggibila ia menguasai alat dan bahasa. Salah satu alat dan bahasa

tersebutadalah matematika. Pengembangan alat dan bahasa

matematikadipengaruhi oleh latar belakang sosial budaya. Hal ini berarti

bahwaperkembangan pemikiran matematika anak juga dipengaruhi

olehinteraksi sosial dalam konteks budaya dimana ia dibesarkan.

3. Teori Bruner

Teori belajar kognitif lebih mementingkan proses belajar daripada

hasilbelajar. Dalam teori belajarnya Jerome S.Bruner berpendapat

bahwakegiatan belajar akan berjalan baik dan kreatif jika siswa

dapatmenemukan sendiri suatu aturan atau kesimpulan tertentu.

Brunerberpendapat bahwa dalam proses belajar dapat dibedakan

menjadi 3 tahapyaitu :

a) Tahap informasi, bahwa dalam tiap pelajaran kita memperoleh

sejumlah informasi, ada yang menambah pengetahuan yang

telah kita miliki, ada yang memperhalus dan memperdalamnya,

adapula informasi itu yang bertentangan dengan apa yang telah

kita ketahuisebelumnya.

b) Tahap transformasi, kita menganalisa berbagai informasi yang

kita pelajari itu


24

dan mengubah atau mentransformasikannya ke dalambentuk

informasi yang lebih abstrak atau konseptual agar

dapatdigunakan untuk hal yang lebih luas.

c) Tahap evaluasi, kita menilai hingga manakah pengetahuan

yang kita peroleh

dan transformasikan itu dapat digunakan untuk

memahamigejala – gejala lain atau memecahkan permasalahan

yang kita hadapi.

4. Teori Ausubel

Psikologi pendidikan yang diterapkan oleh Ausubel adalah bekerja

untukmencari hukum belajar yang bermakna. Pengertian belajar

bermaknamenurut Ausubel ada dua jenis belajar yaitu : belajar

bermakna(meaningfull learning ) dan belajar menghafal (rote learning).

Belajarbermakna adalah suatu proses belajar dimana informasi

barudihubungkan dengan struktur pengertian yang sudah dipunyai

seseorangyang sedang belajar. Sedangkan belajar menghafal adalah siswa

berusahamenerima dan menguasai bahan yang diberikan oleh guru atau

yangdibaca tanpa makna.

C. Matematisasi

Menurut Freudenthal (1973) (dalam Ariyadi Wijaya, 2012),

matematika adalah aktivitas manusia. Itu berarti bahwa ide-ide matematika

ditemukan siswa melalui sinergi antara aktivitas mental (fungsi otak,

abstrak) dan aktivitas fisik (jasmani, konkret, atau riil). Freudenthal


25

memandang bahwa matematika berkaitan erat dengan dunia nyata dan

matematisasi (pematimatikaan) sebagai strategi untuk membuat sesuatu

lebih matematis.

Berkaitan dengan pandangan Freudenthal tentang matematisasi, De

Lange (1987) mendefinisikan matematisasi sebagai pengorganisasian

kegiatan dalam menemukan keteraturan (regularities), hubungan

(relations), dan struktur (structures) dengan menggunakan kemampuan

dan keterampilan awal. Secara umum, matematisasi dalam Pendidikan

Matematika Realistik melibatkan 2 proses utama yaitu generalisasi

(generalizing) dan formalisasi (formalizing). Generalisasi berkaitan

dengan pencarian pola dan hubungan sedangkan formalisasi melibatkan

pemodelan, simbolisasi, dan skematisasi, dan pendefinisian.

De Lange membagi matematisasi menjadi 2, yaitu matematisasi

horizontal dan matematisasi vertikal. Matematisasi horizontal berkaitan

dengan proses generalisasi. Proses matematisasi horizontal diawali dengan

pengidentifikasian konsep matematika berdasarkan keteraturan

(regularities) dan hubungan (relations) yang ditemukan melalui visualisasi

dan skematisasi. Proses matematisasi horizontal dapat dicapai melalui

kegiatan-kegiatan berikut:

1) Identifikasi matematika dalam suatu konteks umum

2) Skematisasi

3) Formulasi dan visualisasi masalah dalam berbagai cara

4) Pencarian keteraturan dan hubungan


26

5) Transfer masalah nyata ke dalam model matematika

Matematisasi vertikal merupakan bentuk formalisasi di mana model

matematika yang diperoleh pada matematisasi horizontal menjadi landasan

dalam pengembangan konsep matematika yang lebih formal melalui

proses matematisasi vertikal. Proses matematisasi vertikal terjadi melalui

serangkaian kegiatan sekaligus tahapan berikut:

1) Representasi suatu relasi ke dalam suatu rumus atau aturan

2) Pembuktian keteraturan

3) Penyesuaian dan pengembangan model matematika

4) Penggunaan model matematika yang bervariasi

5) Pengombinasian dan pengintegrasian model matematika

6) Perumusan suatu konsep matematika lain

7) Generalisasi

Proses matematisasi horizontal dan vertikal tidak bisa langsung

dipisahkan menjadi 2 bagian besar secara berurutan, yaitu proses

matematisasi vertikal berlangsung setelah proses matematisasi horizontal

berlangsung secara utuh, namun kedua proses matematisasi tersebut dapat

terbentuk seperti anak tangga yang seringkali keduanya terjadi bergantian

secara bertahap seperti dapat dilihat pada gambar 2.1.


27

Gambar 2.1 Matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal

(De Lange, 1987 hal. 45)

Ariyadi Wijaya (2012:45) menyatakan bahwa secara umum proses

awal dari matematisasi adalah penerjemahan masalah dunia nyata ke

dalam masalah matematika. Proses tersebut mencakup kegiatan sebagai

berikut:

1) Mengidentifikasi konsep matematika yang relevan dengan

masalah dunia nyata;

2) Merepresentasikan masalah dengan berbagai cara yang berbeda,

termasuk mengorganisasi masalah sesuai dengan konsep

matematika yang relevan, serta merumuskan asumsi yang tepat;

3) Mencari hubungan antara “bahasa” masalah dengan symbol dan

“bahasa” formal matematika supaya masalah nyata dapat dipahami

secara matematis;

4) Mencari keteraturan, hubungan, dan pola yang berkaitan dengan

masalah;


28

5) Menerjemahkan masalah ke dalam bentuk matematika yaitu dalam

bentuk model matematika (De Lange, 1987)

Setelah siswa berhasil menerjemahkan masalah dunia nyata ke dalam

bentuk matematika, proses selanjutnya terjadi di dalam dunia matematika

di mana siswa bisa menggunakan konsep dan keterampilan matematika

yang sudah mereka kuasai. Pada tahap ini, siswa melakukan serangkaian

tahapan sebagai berikut:

1) Menggunakan berbagai representasi matematis yang berbeda;

2) Menggunakan simbol “bahasa” dan proses matematika formal;

3) Melakukan penyesuaian dan pengembangan model matematika,

mengombinasikan dan menggabungkan berbagai model;

4) Argumentasi matematis;

5) Generalisasi.

Tahap terakhir yang dilakukan adalah melakukan refleksi proses dan

hasil matematisasi. Pada tahap ini, siswa melakukan intepretasi dan

validasi hasil yang meliputi proses:

1) Memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika dalam

relevansinya terhadap masalah dunia nyata;

2) Merefleksi argument matematis serta menjelaskan hasil;

3) Mengomunikasikan proses dan hasil.

D. Kemampuan Memodelkan

Kemampuan memodelkan dalam Pendidikan Matematika Realistik

adalah kemampuan siswa untuk memodelkan suatu fenomena secara


29

matematis atau membangun suatu konsep matematika dari suatu fenomena

(Ariyadi Wijaya, 2012:42) Kata “model” di sini tidak berarti alat peraga,

melainkan sebagai suatu bentuk representasi matematis dari suatu masalah

(Maaß, 2010) dalam Ariyadi Wijaya (2012:46). Oleh karena itu kata

model dan pemodelan tidak dapat dilepaskan dari proses matematisasi.

Penggnaan model atau pemodelan juga merupakan salah satu aspek yang

diperhatikan dalam Pendidikan Matematika Realistik. Karakteristik PMR

yang kedua menempatkan penggunaan model untuk matematisasi

progresif sebagai hal yang penting dalam penemuan dan pembangunan

konsep matematika oleh siswa. Gravemeijer (1994) dalam Ariyadi Wijaya

(2012:47) menyebutkan 4 level atau tingkatan dalam pengembangan

model, yaitu:

1) Level situasional

Level situasional merupakan level paling dasar dari pemodelan di

mana pengetahuan dari model masih berkembang dalam konteks

situasi masalah yang digunakan.

2) Level referensial

Pada level ini model dan strategi yang dikembangkan tidak berada

di dalam konteks situasi, melainkan sudah merujuk pada konteks.

Pada level ini, siswa membuat model untuk menggambarkan

situasi konteks sehingga hasil pemodelan pada level ini disebut

sebagai “model dari” (model of) situasi.

3) Level general


30

Pada level general, model yang dikembangkan siswa sudah

mengarah pada pencarian solusi secara matematis. Model pada

level ini disebut “model untuk” (model for) penyelesaian masalah.

4) Level formal

Pada level formal, siswa sudah bekerja dengan menggunakan

simbol dan representasi matematis. Tahap formal merupakan tahap

perumusan dan penegasan konsep matematika yang dibangun oleh

siswa.

E. Penelitian Desain (Design Research)

1. Pengertian dan Karakteristik Penelitian Desain

Terdapat beberapa pendapat ahli mengenai pengertian penelitian

desain, antara lain :

a) Plomp dan Nieveen (2007:9)dalam Rahma Siska,dkk.

Design research adalah suatu kajian sistematis tentang

merancang, mengembangkan dan mengevaluasi intervensi

pendidikan (seperti program, strategi, dan bahan pembelajaran,

produk dan sistem) sebagai solusi untuk memecahkan masalah

yang kompleks dalam praktik pendidikan, yang juga bertujuan

untuk memajukan pengetahuan kita tentang karakteristik dari

intervensi-intervensi tersebut serta proses perancang dan

pengembangannya.

b) Van den Akker, et al. (2006:3) dalam Rahma Siska,dkk.


31

Design research adalah studi sistematis

merancang,mengembangkan, dan mengevaluasi program-

program pendidikan, proses, dan produk.

c) Barah dan Squire (2004, vanden Akker, et al., 2006:5)dalam

Rahma Siska,dkk.

Design research adalah serangkaian pendekatan dengan

maksud menghasilkan teori-teori baru, artefak, dan model

praktis yang menjelaskan dan berpotensi berdampak pada

pembelajaran dengan pengaturan yang alami (naturalistic).

Jadi, penelitian desain adalah sebuah kajian sistematis tentang

merancang, mengembangkan, dan mengevaluasi program-program

pendidikan, proses, dan produk pendidikan yang bertujuan untuk

menginvestigasi kemungkinan dalam peningkatan pendidikan

dengan membawa dan mempelajari pola baru pada pembelajaran.

Van de Akker, et al. (2006:5) dalam Rahma Siska,dkk.

menjelaskan karakteristik design research sebagai berikut:

a. Interventionist, penelitian bertujuan untuk merancang suatu

intervensi atau investasi dalam dunia nyata.

b. Iterative, penelitian menggabungkan pendekatan siklikal (daur)

yang meliputi perancangan, evaluasi, dan revisi.

c. Process oriented, model kotak hitam pada pengukuran input-

output dihindari, fokusnya pada pemahaman dan meningkatkan

model intervensi.


32

d. Utility oriented, keunggulan dan rancangan diukur untuk bisa

digunakan secara praktis oleh pengguna dalam konteks nyata.

e. Theory oriented, rancangan dibangun didasarkan pada preposisi

teoritis kemudian dilakukan pengujian lapangan untuk

memberikan kontribusi pada teori yang dibuat.

2. Tujuan Penelitian Desain

Gravemeijer dan Van Erde (2009:511) dalam Rahma Siska,dkk.

menyatakan bahwa tujuan umum dari design research untuk

menginvestigasi kemungkinan dalam peningkatan pendidikan dengan

membawa dan mempelajari pola baru pada pembelajaran. Selanjutnya

Gravemeijer dan Van Erde juga menyatakan bahwa design researh

bertujuan untuk menginvestigasi bagian instruksional khusus secara

esensial untuk mencapai pembelajaran yang diharapkan, dengan

memperhatikan kebiasaan yang ada di kelas, peran guru, peran simbol

atau peran bahasa matematika.

Gravemeijer & Van Erde (Prahmana, 2017 : 13) menyatakan

bahwa design research merupakan suatu metode penelitian yang

bertujuan mengembangkan Local Instruction Theory (LIT) dengan

kerja sama antara peneliti dan tenaga pendidik untuk meningkatkan

kualitas pembelajaran. Menurut Prahmana (2017:15) terdapat 2 aspek

penting berkaitan dengan design research, yaitu hypothetical learning

trajectory (HLT) dan local instruction theory (LIT). HLT merupakan

suatu hipotesis atau prediksi bagaimana pemikiran dan pemahaman


33

siswa berkembang dalam suatu aktivitas pembelajaran (Prahmana,

2017:11). Secara garis besar LIT merupakan produk akhir dari HLT

yang telah dirancang, diimplementasikan, dan dianalisis hasil

pembelajarannya (Prahmana, 2017 : 21).

3. Tahapan Penelitian Desain

Lidinillah (2012) dalam Rahma Siska,dkk., menyatakan ada beberapa

model langkah-langkah pelaksanaan design research, diantaranya:

a. Model Greivemeijer dan Cobb (2006:19-37).

Pada model Gravemeijer dan Cobb (2006:19-37) Ada tiga tahap

dalam designresearch:

1) Preparing for the experiment/preparation and design phase.

Tujuan utama dari tahap awal (Preliminary Phase) pada

eksperimen design research adalah memformulasikan teori

pembelajaran lokal yang dielaborasikan dan diperbaiki selama

selama pelaksanaan eksperimen. Beberapa hal yang dilakukan

pada tahap elaborasi ini antara lain:

a) Dimulai dengan mengklarifikasi tentang tujuan

pembelajaran dan titik awal pembelajaran.

b) Mendiskusikan konjektur dari teori pembelajaran local

yang akan dikembangkan. Teori pembelajaran local ini

mencakup kegiatann pembelajaran, dan konjektur

pembelajaran untuk mengetahui bagaimana cara berpikir

dan pemahaman siswa pada saat proses pembelajaran.


34

c) Menutup pembelajaran dengan mengelaborasikan

kesimpulan dari eksperimen tersebut.

2) The design experiment

Tahap berikutnya merupakan tahap pelaksanaan

desaineksperimen yang dilakukan setelah semua persiapan

dilakukan. Tahap inibukan untuk menguji apakah rancangan

dan local instructional theorybekerja atau tidak, tetapi

sekaligus menguji dan mengembangkan local instructional

theory yang telah dikembangkan serta memahami

bagaimanateori itu bekerja selama eksperimen berlangsung.

Desain eksperimendilakukan dalam bentuk kegiatan siklikal,

misalnya dalam beberapa kalipembelajaran. Pada tahap ini

dikumpulkan data yang diperlukan meliputiproses

pembelajaran yang terjadi di kelas serta proses berpikir siswa

baikdari perspektif sosial yang mencakup norma sosial kelas,

sosio-matematikdan praktik matematik di kelas maupun

perspektif psikologi mencakuppandangan (beliefs) tentang

peran sendiri di kelas serta tentang aktivitasmatematika;

pendangan dan nilai matematik secara khusus; serta

konsepsidan aktivitas matematika. Pada tahap ini dimulai

dengan mendiskusikantentang desain eksperimen

menggunakan siklusintegrasi dari desain dan analisis yang


35

merupakan kunci untuk prosespengujian, perbaikan, dan

pemahaman dan dilanjutkan dengan generalisasidata.

3) Restrospective analysis

Tujuan tahap ini adalah menganalisis data yang telah

diperoleh untukmengetahui apakah mendukung atau sesuai

tidak dengan konjekturyang sudah dirancang. Data yang

dianalisis meliputi rekaman videoproses pembelajaran dan

hasil interview terhadap siswa dan guru,lembar hasil

pekerjaan siswa, catatan lapangan serta rekaman videodan

audio yang memuat proses penelitian dari awal.

F. Program Linear

Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimasi (Kasmina dkk, 2008). Dengan kata lain,

program linear merupakan suatu teknik dalam mendapatkan nilai optimum

(maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dengan kendala-kendala

tertentu yang diterjemahkan dalam suatu pertidaksamaan linear.

Program linear sendiri telah lahir pada tahun 1939 oleh

L.W.Kantorovich dengan metode yang masih amat terbatas. Barulah

George B.Dantzig (1947) dari Amerika Serikat yang pertama kali

memperkenalkan metode yang umum yaitu metode simpleks (Susanta,

1994:12). Susanta (1994 : 13) menyatakan bahwa pola umum masalah

yang dapat dimodelkan dengan program linear adalah sebagai berikut:

1) Adanya pilihan kombinasi beberapa faktor kegiatan;


36

2) Adanya sumber penunjang beserta batasnya;

3) Adanya fungsi sasaran/tujuan/objektif yang harus dioptimumkan;

4) Relasi yang timbul antara faktor-faktor semuanya linear.

Sedangkan langkah-langkah penyelesaian masalah program linear adalah

sebagai berikut:

1) Mengidentifikasi (mempertegas masalahnya);

2) Mencari metode-metode penyelesaian;

3) Memilih metode yang paling cocok, paling murah, atau paling

cepat (optimisasi);

4) Melaksanakan (implementasi);

5) Mengevaluasi hasil.

Bentuk baku model matematika suatu program linear untuk masalah

maksimum adalah sebagai berikut,

𝑀𝑎𝑘𝑧 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛

Harus memenuhi

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0

Sedangkan bentuk baku model matematika suatu program linear untuk

masalah minimum adalah sebagai berikut,

𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛

Harus memenuhi

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ +<1𝑛 𝑥𝑛 ≥ 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 0


37

Keterangan :

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 merupakan variabel keputusan

𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 merupakan kontribusi setiap variabel keputusan terhadap

fungsi tujuan, disebut pula sebagai koefisien fungsi tujuan suatu model

matematika

𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎𝑚𝑛 merupakan penggunaan setiap unit sumber daya dari

setiap variabel keputusan yang terbatas, disebut pula suatu koefisien fungsi

kendala model matematika.

Selanjutnya fungsi kendala yang telah dimodelkan akan dibuat grafik.

Ada 3 metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah

program linear, yaitu metode garis selidik, metode titik pojok, dan metode

simpleks. Dalam penelitian ini yang akan diteliti adalah masalah program

linear yang akan diselesaikan dengan metode garis selidik. Berikut ini

merupakan contoh masalah program linear yang akan diselesaikan dengan

metode garis selidik.

(Masalah Produksi) (Susanta, 1994:13)

Sekelompok petani transmigran mendapatkan 6 ha tanah yang dapat

ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber

daya, petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi

dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija yang

lain ternyata tidak menguntungkan. Dalam 1 masa tanam tenaga yang

tersedia hanya 1590 jam/orang, pupuk juga terbatas tidak lebih dari 480

kg, sedangkan air dan sumber daya lainnya dianggap cukup tersedia.


38

Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 12

jam- orang tenaga dan 4 kg pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan

9 jam-orang tenaga dan 2 kg pupuk. Kondisi tanah memungkinkan

menghasilkan 50 kuintal padi per ha atau 20 kuintal jagung per ha.

Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp. 32.000 sedang dari 1

kuintal jagung Rp. 20.000, dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya

selalu habis terjual. Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana

(program) produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya,

berapa ha tanah ditanami padi dan berapa ha tanah yang ditanami jagung.

Perumusan masalah:

Guna mempermudah penyusunan model disusun tabel pertolongan sebagai

berikut:

Tabel 2.1

Produksi tani

Per kuintal

Sumber Padi Jagung Batas sumber

Tanah (ha) 0,02 0,05 6

Tenaga (jam-

orang)

12 9 1590

Pupuk (kg) 4 2 480

Pendapatan (Rp) 32000 20000

Catatan:

1. Satuan jam/orang (man-hour) adalah banyaknya orang kali banyaknya

jam bekerja.

2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala.

3. Batas sumber dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas.

Misalkan x : Banyak kuintal padi yang diproduksi

y : Banyak kuintal jagung yang diproduksi


39

maka keterbatasan tanah akan menimbulkan kendala yang berbunyi

“banyaknya ha tanah yang diperlukan untuk x kuintal padi dan y kuintal

jagung tidak boleh melebihi 6 ha”. Syarat ini dirumuskan dan akan

diperoleh relasi : 0,02 𝑥 + 0,05𝑦 ≤ 6. Demikian pula untuk syarat tenaga

dan akan diperoleh relasi : 12𝑥 + 9𝑦 ≤ 1590, sedangkan untuk syarat

pupuk timbul relasi : 4𝑥 + 2𝑦 ≤ 480. Mengingat x dan y disini mewakili

besaran yang tidak boleh bernilai negatif, maka harus ditambahkan syarat

tak negative bagi keduannya: 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Terakhir dirumuskan

besar pendapatan total yang harus dimaksimumkan ialah : 𝑓 = 32𝑥 +

20 𝑦 (satuan dalam ribu rupiah). Bila disederhanakan relasi-relasi di atas

akan menjadi :

Mencari x dan y yang memenuhi

𝑥 ≥ 0 (1) kendala tak negatif

𝑦 ≥ 0 (2)

2 𝑥 + 5𝑦 ≤ 600 (3) kendala utama

4𝑥 + 3𝑦 ≤ 530 (4)

2𝑥 + 𝑦 ≤ 240 (5)

dan memaksimumkan 𝑓 = 32𝑥 + 20 𝑦 (fungsi sasaran)

Peubah x dan y ( dalam perumusan umum di muka : 𝑥𝑚) dinamai peubah

keputusan, dan koefisien mereka dalam kendala utama (𝑎𝑚𝑛) disebut

koefiesien teknis, suku tetap di ruas kanan kendala utama (𝑏𝑚) disebut

suku tetap, sedangkan koefisien dalam f (ialah 𝑐𝑚𝑛) dinamai koefisien

ongkos. Setelah dirumuskan, semua relasi dalam model di atas ternyata

linear dalam x dan y, maka memang masalah di atas termasuk masalah

program linear.


40

Setiap kendala di atas jika digambar akan menghasilkan suatu bidang

daerah tertutup (konveks) OABCD. Grafiknya adalah sebagai berikut :

Gambar 2.2 Grafik daerah layak fungsi kendala

Pasangan (x,y) yang memenuhi semua kendala tersebut disebut

penyelesaian layak (feasible solution), titik wakilnya dalam bidang

koordinat disebut titik layak. Himpunan titik layak yang dalam

permasalahan ini berupa daerah segi lima OABCD disebut daerah layak.

Jadi daerah layak di atas konveks.

Sekarang ditinjau fungsi sasaran 𝑓 = 32𝑥 + 20 𝑦 . Jika kepada 𝑓

diisikan nilai tetap lalu 32𝑥 + 20 𝑦 = 𝑘 maka fungsi sasaran tersebut

dapat dilukiskan dalam sebuah bidang. Grafik fungsi sasaran ini berupa


41

garis lurus yang disebut garis senilai (isoquant, isoprofit, isocost) karena

menggambarkan pasangan-pasangan (x,y) yang memberikan nilai 𝑓 yang

sama. Berikut ini merupakan gambar fungsi sasaran 32𝑥 + 20 𝑦 = 𝑘:

Gambar 2.3 Grafik fungsi sasaran 𝟑𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 𝒚 = 𝒌

Dalam gambar 2.3 terlukis 3 garis senilai yaitu 𝑓 = 800, berarti

32𝑥 + 20 𝑦 = 800 (melalui (0,40) dan (25,0)), kemudian 𝑓 = 1000, dan

𝑓 = 2000. Jelas bahwa 3 garis tersebut saling sejajar dengan gradien- 8

5.

Lebih jauh juga dapat disimpulkan bahwa makin ke kanan garis senilai

digeser makin besar nilai 𝑓 yang diberikan.

Hal yang dicari dalam permasalahan program linear adalah

penyelesaian optimum (optimal solution) yaitu penyelesaian layak yang

memaksimumkan nilai 𝑓. Secara gambar berarti mencari titik anggota F

yang membuat nilai F sebesar mungkin. Ini terjadi dengan cara


42

menggambar 2 garis senilai misalnya 𝑓 = 1000 dan 𝑓 = 2000, melihat

arah membesarnya 𝑓 lalu menggeser garis senilai ke arah itu dan sampai

ke titik irisannya dengan F yang terakhir. Titik itulah titik optimum

sebagai gambar dari penyelesaian optimum. Karena kedua garis senilai

yang dilukis di atas diperlukan guna menyelidiki kemiringan (gradien)

garis senilai dan arah membesarnya (arah pergeserannya) maka keduanya

disebut juga sebagai garis selidik.

Dalam contoh, titik terakhir F yang memberikan nilai 𝑓 terbesar

adalah titik B yang juga merupakan titik potong batas kendala (4)( 4𝑥 +

3𝑦 ≤ 530) dan batas kendala (5) (2𝑥 + 𝑦 ≤ 240). Setelah koordinatnya

dihitung, ditemukan titik optimum B (95,50) yang memberikan nilai

𝑓𝑚𝑎𝑘𝑠 = 4040.

Penyelesaian optimum berbunyi : untuk memaksimumkan

pendapatan total maka sebaiknya diproduksi 95 kuintal padi dan 50 kuintal

jagung. Ini berarti bahwa luas tanah untuk penanaman padi ialah 1,9 ha

dan untuk penanaman jagung ialah 2,5 ha, dan akan didapat pendapatan

maksimum sebesar Rp. 4.040.000.

Dari segi kendala utama terlihat bahwa tanah masih tersisa 1.6 ha

sedangkan tenaga dan pupuknya habis terpakai (karena titik optimum

terletak pada batas kendala tenaga dan batas kendala pupuk), maka

kendala tenaga dan kendala pupuk disebut sebagai kendala yang

membatasi (resirictive) sedangkan kendala tanah tidak membatasi.


43

Dari contoh di atas jelas bahwa garis fungsi sasaran yang

menghasilkan 𝑓 optimum memuat paling sedikit 1 titik sudut (yang

merupakan titik pojok daerah layak F yang konveks). Dalam keadaan

tertentu memilih titik sudut terakhir dalam penggeseran garis fungsi

sasaran tidaklah mudah, karena orang tidak dapat menggantungkan diri

pada lukisan dan pengamatan mata, maka diperlukan pengujian lewat

penghitungan.

Dari masalah produksi di atas, setelah mengetahui bahwa garis

senilai harus digeser ke arah kanan (ke arah normal terhadap 𝑓 = 2000,

orang sulit mengetahui bahwa titik terakhir adalah titik B bukannya titik C

atau A. Gradien 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (batas kendala (5)) adalah 𝑚5 = −2, gradien 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

(batas kendala (4)) adalah 𝑚4 = −4

3, sedangkan gradien 𝑓 = 𝑘 adalah

𝑚 = −8

5. Karena −2 < −

8

5< −

4

3 maka garis senilai 𝑓 = 𝑘 lebih tegak

dari 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ tetapi lebih tunduk dari 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , sehingga perpotongan batas (4) dan

(5), yaitu B yang merupakan titik paling jauh pada arah pergeseran.

Berikut ini merupakan gambar relasi gradien garis dengan

kecondongan (tegak tunduknya) garis:


44

Gambar 2.4 Relasi gradien garis dengan kecondongan garis

1) Gradien positif

𝑂 < 𝑚1 < 𝑚2 < 𝑚3 → sudut dengan 𝑂𝑋+ membesar → garis makin

tegak

2) Gradien negatif

𝑚1 < 𝑚2 < 𝑚3 < 𝑂 → sudut dengan 𝑂𝑋+ membesar → garis makin

tunduk

G. Penelitian yang Relevan

Berbagai penelitian mengenai pembelajaran matematika realistik dan

blended learning sudah banyak dilakukan. Beberapa penelitian sejenis

mengenai blended learning, antara lain :

1. Penelitian yang dilakukan oleh oleh Rully Amrizal (2015)

Penelitian ini dilakukan sebagai jawaban dari kritik mengenai

kekurangan e-learning dan kritik atas ketertinggalan pembelajaran

tatap muka. Proses pembelajaran menggunakan model pembelajaran


45

blended digunakan di MTs Negeri Pemalang pada kelas VIII pada

mata pelajaran matematika, dalam penggunaan pembelajaran ini

dipersiapkan secara matang mengenai koneksi dan peralatan agar

pembelajaran berlangsung sukses.

Aplikasi yang digunakan dalam pembelajaran blended ialah

quipper school, dimana sebelumnya guru mendaftar dan membuat

kelas maya di quipper dan siswa diminta untuk memasuki kelas maya

tersebut dengan mengetikan kode kelas yang telah dibuat oleh guru,

selanjutnya siswa dan guru dapat melakukan pembelajaran tanpa tatap

muka dengan aplikasi tersebut, contohnya guru memberikan kuis atau

ulangan lewat aplikasi tersebut. Model pembelajaran konvensional

digunakan sebagai pematangan teori, sedangkan pengayaannya

menggunakan online learning.

Implementasi pembelajaran blended learning pada mata pelajaran

matematika di kelas VIII MTsN Pemalang keseluruhan dapat

dikatakan lebih dari cukup meningkatkan hasil belajar siswa serta

menambah semangat belajar siswa dalam belajar, pembelajaran ini

mampu membuat siswa belajar mandiri dan bersaing secara sehat

dalam pengerjaan kuis melalui quipper school, walaupun dalam

penerapannya belum sesuai dengan komponen pembelajaran blended

karena hanya menggunakan 3 komponen blended diantaranya: (1)

face-to-face learning (2) e-learning online (3)mobilelearning tanpa

menggunakan komponen e-learning offline.


46

Kendala dalam pelaksanaan penelitian ialah terkait sarana

prasarana mengenai koneksi internet menjadi masalah utama dalam

penerapan pembelajaran blended ini. Pemecahan masalahnya

terkadang guru meminimalkan pengerjakan kuis melalui quipper di

sekolah, melainkan terkadang siswa mengerjakannya dirumah

mengunakan smartphone masing-masing. Saran yang bisa diberikan

dari penelitian ini ialah pemanfaatan quipper school harus

dimaksimalkan, pihak sekolah seharusnya memperbaiki koneksi

internet dan komputer, dan bagi lembaga pendidikan dapat

meningkatkan teknologi edukasi kedalam pembelajaran.

2. Penelitian yang dilakukan oleh I Wayan Sumandya (2016)

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh banyaknya siswa yang

mengganggap matematika sulit. Kondisi ini mengakibatkan mata

pelajaran matematika tidak disenangi sehingga hasil belajar

matematika secara umum menjadi rendah. Untuk mengatasi hal ini

perlu diupayakan penyajian pelajaran matematika yang menarik,

menyenangkan, praktis dan efektif. Salah satu pembelajaran

matematika yang menghubungkan permasalahan matematika dengan

permasalahan kontekstual adalah pendidikan matematika realistic

(Sembiring, 2008). Pendidikan matematika realistik ini dikembangkan

oleh Institut Freudenthal sejak tahun 1971 yang dikenal dengan nama

RME (Realistic MathematicsEducation) dengan ide bahwa matematika

adalah aktivitas manusia dan matematika harus dihubungkan dengan


47

masalah kontekstual, dimana masalah kontekstual digunakan sebagai

titik awal untuk pengembangan ide dan konsep matematika.

Di samping dengan pendidikan matematika realistik, setiap

individu siswa memerlukan cara yang berbeda untuk memahami apa

yang telah dipelajari. Wasis(2011) menyatakan blended learning

adalah pembelajaran yang menggabungkan pembelajaran online dan

pembelajaran offline secara harmonis (Wasis, 2011). Munir (2010)

menyatakan keuntungan penggunaan internet dalam pembelajaran

adalah guru dapat menyediakan bahan-bahan pembelajaran di situs

internet sehingga secara langsung dapat diakses oleh siswa dan siswa

juga dapat memperkaya bahan-bahan pembelajaranyang telah ada

dengan mencari informasi yang dibutuhkan di situs lain yang terdapat

pada internet. Berdasarkan keuntungan tersebut pembelajaran blended

learning merupakan pembelajaran yang baik diterapkan di sekolah

khususnya di SMK, mengingat pembelajaran di SMK harus dikaitkan

dengan vocasional yang mereka tekuni, khususnya di SMK Teknologi

Informatika.

Dalam penelitian ini, penulis mengembangkan suatu bahan ajar

sistem persamaan linier satu dan dua variabel. Penelitian ini telah

berhasil mengembangkan bahan ajar sistem persamaan linier satu dan

dua variabel berwawasan pendidikan matematika realistik berorientasi

blended learning yang berkualitas valid, praktis, dan efektif. Adapun

karakteristik pembelajarannya adalah menggunakan masalah


48

kontekstual, menggunakan berbagai model, kontribusi siswa,

interaktivitas, keterkaitan, serta kombinasi pembelajaran online dan

offline. Sedangkan karakteristik bahan ajarnya adalah: bahan ajar

disusun secara sistematis, berisi tentang petunjuk penggunaan buku,

peta konsep, kompetensi inti, kompetensi dasar, tujuan pembelajaran,

urutan isi materi di awali dengan memberikan suatu permasalahan

realistik, tugas-tugas yang diberikan didiskusikan melalui

pembelajaran online dan offline, latihan soal yang diberikan sifatnya

untuk menguatkan konsep yang telah dipahami siswa, langkah-langkah

pembelajaran pada buku guru berada disebelah kiri buku siswa, dan

kunci jawaban disesuaikan dengan permasalahan yang ada pada buku

siswa.

Saran dari penelitian ini adalah: bahan ajar yang dihasilkan masih

perlu diujicobakan di sekolah-sekolah lain dengan berbagai kondisi

agar diperoleh bahan ajar yang benar-benar berkualitas; bagi pihak

yang ingin menerapkan bahan ajar yang telah dikembangkan dalam

penelitian ini, maka sebisa mungkin dianalisis kembali untuk

disesuaikan penerapannya, terutama dalam penyediaan sarana dan

prasarana serta karakteristik siswa yang ada pada sekolah-sekolah

tempat bahan ajar ini akan diterapkan; pembelajaran di SMK sebisa

mungkin menggunakan permasalahan matematika realistik, agar siswa

dapat menyelesaikan permasalahan realistik yang akan dihadapi

sehingga pembelajaran matematika akan menjadi lebih bermakna bagi


49

siswa; pembelajaran di SMK sebisa mungkin memanfaatkan teknologi,

khususnya internet sebagai sumber belajar, karena dalam internet

terdapat beberapa materi dan contoh-contoh yang berbeda, sehingga

siswa mempunyai lebih banyak pengalaman tentang suatu materi yang

dipelajari.

H. Kerangka Berpikir

Pendekatan pembelajaran matematika realistik (PMR) adalah

pembelajaran yang berdasarkan realita yang dapat diamati, dibayangkan,

dan dipahami oleh siswa. Melalui pendekatan PMR, ide dan konsep

matematika dibangun sendiri oleh siswa dan guru hanya sebagai fasilitator.

Hal ini bertujuan agar siswa dapat langsung terlibat dalam situasi yang

sesuai dengan pengalaman mereka sehingga siswa mampu untuk

mengonstruksi sendiri konsep matematika dari permasalahan yang

diberikan.

Salah satu upaya yang dapat dilakukan untuk mengubah situasi ini

adalah dengan mengubah model pembelajaran yang biasanya digunakan

di kelas dengan model yang lain, yang akan membuat siswa tertarik dan

bersemangat serta menjadi kreatif dan kritis terhadap apa yang sedang

dipelajarinya. Oleh sebab itu, pembelajaran yang diperlukan juga harus

menekankan pada learning by doing sesuai dengan konsep dasar

matematika realistik bahwa mathematic as a human activity. Siswa tidak

langsung disuguhkan dengan konsep matematika yang abstrak, tetapi

diantarkan terlebih dahulu melalui pembelajaran yang dimulai dengan


50

masalah kontekstual yang dapat dibayangkan dan dipahami siswa (diambil

dari dunia siswa atau pengalaman siswa) yang akhirnya diubah ke dalam

konsep abstrak. Dalam pembelajaran, siswa harus diberi kesempatan untuk

menemukan kembali ide atau konsep matematika dengan suatu aktivitas

yang dilakukan oleh siswa dengan bimbingan guru. Model pembelajaran

yang dimaksud adalah model pembelajaran PMR (Pendidikan Matematika

Realistik).

Di samping dengan Pendidikan Matematika Realistik, setiap siswa

memerlukan cara yang berbeda untuk memahami apa yang telah dipelajari.

Blended learning adalah pembelajaran yang menggabungkan pembelajaran

online dan pembelajaran offline. Keuntungan penggunaan internet dalam

pembelajaran adalah guru dapat menyediakan bahan-bahan pembelajaran

dan kuis di internet dalam format yang lebih menarik dan menyenangkan

bagi siswa. Selain itu bahan pelajaran dapat diakses pula secara online oleh

siswa kapanpun dan dimanapun melalui perangkat siswa sendiri.

Berdasarkan tes yang diadakan peneliti, kemampuan memodelkan

yang dimiliki siswa saat menyelesaikan permasalahan program linear

masih kurang terlihat dari cara siswa menyelesaikan masalah. Padahal

kemampuan memodelkan erat hubungannya dalam menyelesaikan

permasalahan program linear karena pada salah satu tahap penyelesaian

masalah program linear, siswa dituntut untuk mengubah masalah dalam

kehidupan sehari-hari ke dalam bahasa matematika. Selain itu, penggunaan

model juga merupakan karakteristik dari Pendidikan Matematika Realistik


51

yaitu dimana pembelajaran matematika dipandang sebagai proses

peningkatan dan pengembangan ide matematika secara bertahap yang

mencakup matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal.

Matematisasi horizontal diawali dengan pengidentifikasian konsep

matematika berdasarkan keteraturan dan hubungan melalui visualisasi dan

skematisasi masalah. Sedangkan matematisasi vertikal merupakan bentuk

proses formalisasi di mana model yang diperoleh dari matematisasi

horizontal menjadi landasan dalam pengembangan konsep matematika

yang jauh lebih formal.

Berdasarkan pertimbangan ciri khas pada pembelajaran matematika

realistik dan tersebut maka pembelajaran matematika realistik ini dianggap

mampu meningkatkan kemampuan memodelkan siswa dalam materi

Program Linear. Berikut ini merupakan bagan yang menyatakan hubungan

karakteristik PMR terhadap karakteristik kemampuan memodelkan siswa:

Keterkaitan

Interaktivitas

Penggunaankonteks

Penggunaan model

Pemanfaatan hasil

konstruksi siswa

Level situasional

Level formal

Level general

Level referensial

Karakteristik PMR Karakteristik kemampuan

memodelkan

Indikator kemampuan memodelkan

Mengidentifikasi konsep matematika yang relevan dengan masalah

dunia nyata


52

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian desain atau design research. Menurut

Van Den Akker, et al (2006:3), penelitian desain adalah studi sistematis

merancang, mengembangkan, dan mengevaluasi program-program

pendidikan, proses, dan produk. Penelitian ini menggunakan jenis penelitian

desain karena salah satu tujuannya adalah untuk menghasilkan dampak dari

aktivitas pembelajaran yang dirancang dan untuk mengetahui bagaimana

pembelajaran tersebut dapat berjalan.

B. Subjek Penelitian

Subjek dalam penelitian ini adalah siswa kelas XI-IPS 2 sebagai kelas uji

coba dan siswa kelas XI-IPS 1 sebagai kelas penelitian.

C. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian dilaksanakan di SMA Pangudi Luhur Yogyakarta pada tahun

ajaran 2018/2019 semester I. Waktu pelaksanaan penelitian adalah 20

Agustus 2018 sampai 2 Oktober 2018.

D. Desain Penelitian

Pada penelitian desain terdapat 3 tahap yang dapat dilakukan secara

berulang-ulang sampai ditemukannya teori baru yang merupakan hasil revisi

dari teori yang dicobakan. Menurut Gravemeijer & Cobb (dalam Akker,

Gravemeijer, McKeney, dan Nieveen, 2006), penelitian desain terdiri dari 3


53

tahap, yakni: Preparing for the experiment, experiment design, dan

retrospective analysis.

1. Preparing for the Experiment

Dalam penelitian ini, peneliti menyusun Hypothetical Learning

Trajectory (HLT) yang mencakup masalah-masalah matematis yang akan

diajukan pada siswa, beserta antisipasi-antisipasi tentang kemungkinan

yang akan terjadi pada siswa yang akan mendapatkan pembelajaran

dengan blended learning yang mengombinasikan pembelajaran dengan

pendekatan matematika realistik dengan penggunaan aplikasi Kahoot!

yang mengungkap kemampuan memodelkan siswa, baik proses berpikir

siswa maupun hal-hal yang akan terjadi dalam proses pembelajaran. Pada

tahap ini peneliti juga melakukan studi literatur tentang pendekatan

matematika realistik, kemampuan memodelkan, blended learning, dan

materi program linear sebagai dasar untuk merancang langkah-langkah

pembelajaran yang bertujuan agar siswa mampu menyelesaikan

permasalahan matematis terkait program linear 2 variabel dengan metode

garis selidik.

Selanjutnya peneliti menyusun lembar kerja siswa, menyusun

soal tes yang akan digunakan untuk menganalisis kemampuan

memodelkan siswa untuk dalam menyelesaikan masalah program linear

2 variabel dengan metode garis selidik, menyusun dugaan-dugaan

jawaban siswa dari masalah-masalah yang akan diberikan,

merencanakan jadwal penelitian, dan hal-hal lain yang dibutuhkan dalam


54

penelitian. Kemudian uji keabsahan HLT pada penelitian ini

menggunakan uji pakar. Dalam penelitian ini pengujian instrumen

penelitian dilakukan oleh desain pembimbing. Desain HLT bersifat

dinamis dan direvisi selama proses pembelajaran.

2. Design Experiment

Setelah penyusunan HLT, peneliti melakukan uji coba HLT di kelas

XI-MIPA 1 yang didemonstrasikan oleh peneliti sendiri. Terdapat 1 orang

pengamat sebagai pihak lain yang menilai keterlaksanaan HLT selama

proses pembelajaran berlangsung. Uji coba dilakukan 1 kali yang terdiri

dari 5 pertemuan yang dilakukan pada tanggal 21,22,28,29 Agustus 2018

dan 4 September 2018. Tujuan kegiatan ujicoba tersebut adalah agar

peneliti mengetahui bagian-bagian dari desain pembelajaran yang tidak

dapat berjalan sehingga dapat dilakukan perbaikan desain serta dapat

memberikan gambaran proses pembelajaran yang akan berlangsung saat

penelitian sehingga peneliti dapat membuat prediksi mengenai strategi

lain yang muncul dari siswa serta proses berpikirnya.

HLT yang telah diuji coba akan direvisi sesuai dengan temuan

kemampuan awal siswa yang telah didapatkan selama uji coba. HLT ini

dikembangkan berdasarkan studi literatur dan disesuaikan dengan

pembelajaran yang sebenarnya selama percobaan mengajar (teaching

experiment) di kelas subjek uji coba HLT. Setelah HLT direvisi

selanjutnya HLT akan didemonstrasikan di kelas implementasi HLT yaitu

kelas XI-MIPA 2.


55

3. Retrospective Analysis

Pada tahap ini, data yang diperoleh dari aktivitas pembelajaran di

kelas XI-MIPA 1 dianalisis tentang bagaimana kemampuan memodelkan

siswa dalam menyelesaikan masalah terkait program linear 2 variabel

serta aktivitas-aktivitas siswa dalam proses pelaksanaan desain

pembelajaran dengan blended learning yang mengombinasikan

pembelajaran dengan pendekatan matematika realistik dengan

penggunaan aplikasi Kahoot!. Hasil analisis ini digunakan untuk

merencanakan kegiatan ataupun mengembangkan desain pada

pembelajaran berikutnya. Kemudian HLT yang telah disusun akan

dibandingkan dengan hasil uji coba pembelajaran di kelas XI-MIPA 2,

hasilnya akan digunakan untuk menjawab rumusan masalah.

E. Metode Pengumpulan Data

Dalam penelitian ini data dikumpulkan dengan metode dokumentasi. Data

dari penelitian ini berbentuk transkrip video pembelajaran,dokumentasi hasil

pekerjaan siswa, dan hasil wawancara. Melalui transkrip video pembelajaran,

peneliti dapat melihat bagaimana aktivitas siswa selama proses pembelajaran

dan pelaksanaan dari desain yang dirancang di kelas.

Video digunakan untuk merekam kegiatan guru dan siswa di depan kelas

serta diskusi-diskusi kecil yang terjadi saat siswa mencoba menyelesaikan

permasalahan yang diberikan oleh guru. Melalui hasil pekerjaan siswa,

peneliti dapat melihat bagaimana strategi-strategi dan cara berpikir siswa


56

dalam memahami dan menyelesaikan masalah yang terkait dengan program

linear 2 variabel.Sedangkan melalui wawancara, peneliti dapat mengonfirmasi

cara berpikir siswa dalam menyelesaikan tes secara lebih detail.

F. Instrumen Penelitian

Berikut ini adalah instrumen yang digunakan dalam penelitian ini:

1. HLT (Hypothetical Learning Trajectory)

HLT digunakan untuk menduga prediksi strategi dan antisipasi-

antisipasi tentang kemungkinan proses berpikir siswa yang akan

mendapatkan pembelajaran dengan blended learning yang mengungkap

kemampuan memodelkan siswa, baik proses berpikir siswa maupun hal-

hal yang akan terjadi dalam proses pembelajaran. Tujuan pembelajaran

yang terdapat dalam HLT pada penelitian ini adalah (a) Siswa dapat

memodelkan masalah matematis ke dalam pertidaksamaan linear 2

variabel, (b) Siswa dapat menggambar grafik penyelesaian pertidaksamaan

linear 2 variabel, dan (c) Siswa dapat menyelesaikan masalah matematis

terkait program linear 2 variabel.

Tabel 3.1 Garis Besar Langkah-langkah Pembelajaran

No. Aktivitas Pembelajaran

1 Siswa diminta untuk menyatakan beberapa peristiwa ke dalam

kalimat matematika berbentuk persamaan dan pertidaksamaan

matematika. Sebagai contoh : “Ibu ingin menyiapkan kue untuk

acara keluarga. Ibu akan membuat dua jenis kue yang berbeda dan

jumlahnya paling sedikit 20 buah. Nyatakan permasalahan tersebut


57

dalam suatu kalimat matematika!”

2 Diadakan kuis tentang mengubah masalah matematika ke dalam

pertidaksamaan linear 2 variabel menggunakan aplikasi Kahoot!

3 Siswa diminta untuk menggambar grafik penyelesaian persamaan

dan grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2 variabel

dari masalah matematika yang telah diubah ke dalam kalimat

matematika.

4 Diadakan kuis tentang menggambar daerah penyelesaian grafik

pertidaksamaan linear 2 variabel menggunakan aplikasi Kahoot!

5 Siswa diminta untuk menggambar grafik fungsi objektif dengan 2

nilai z yang berbeda.dan diminta untuk melihat arah pergeseran

grafik tersebut sejalan dengan membesarnya atau mengecilnya nilai

z yang diambil.

6 Siswa bersama guru mengeksplorasi untuk menentukan pada titik

mana grafik fungsi objektif memotong grafik fungsi kendala.

7 Guru mengajak siswa untuk menarik kesimpulan bahwa harus

digunakan 2 garis yang senilai untuk menyelidiki dimana fungsi

objektif optimum. Diperlukan 2 garis senilai untuk mengetahui arah

kecondongan dan arah pergeseran garis, dan garis tersebut

digunakan untuk menentukan titik layak terakhir sebagai irisan

batas daerah penyelesaian dengan garis senilai.

8 Guru mengajak siswa untuk kesimpulan bahwa kandidat nilai

optimum didapatkan di titik perpotongan garis selidik dengan grafik

fungsi kendala, dan titik-titik perpotongan tersebut dinamakan titik

pojok.


58

2. Lembar Tes

Lembar tes digunakan untuk mengumpulkan informasi mengenai

kemampuan memodelkan siswa yang dapat dilihat dari strategi yang

digunakan dalam menyelesaikan masalah program linear 2 variabel

dengan blended learning


59

Tabel 3.2 Kisi-kisi Soal Tes

Kompetensi Dasar Indikator Soal Indikator kemampuan

memodelkan

Soal

Siswa dapat

menyelesaikan

masalah program

linear dengan

daerah

penyelesaian

berhingga

• Siswa dapat menyederhanakan

asumsi dari masalah yang

terkait dengan program linear

dengan 2 variabel.

• Siswa dapat mengklarifikasi

tujuan penyelesaian masalah

yang terkait dengan program

linear dengan 2 variabel.

• Siswa dapat merumuskan

masalah terkait dengan program


• Siswa dapat menentukan

variabel, konstanta, dan

parameter dari masalah terkait

Level situasional :

Pada level ini model yang

dibuat siswa masih pada

konteks situasi yang

digunakan.

Level referensial :

Pada level ini model dan

strategi yang dibuat siswa

menyelesaikan permasalahan

sudah tidak berada di dalam

konteks situasi melainkan

sudah merujuk pada konteks.

Pada level ini siswa membuat

Ibu ingin memproduksi 2 jenis

keripik ketela, yaitu rasa coklat

dan rasa keju. Setiap kilogram

keripik rasa coklat membutuhkan

modal Rp. 10.000,00, dan keripik

rasa keju membutuhkan modal

Rp. 15.000,00 perkilogram.

Modal yang dimiliki Ibu adalah

Rp. 500.000,00. Tiap hari Ibu

hanya dapat memproduksi paling

banyak 40 kilogram. Keuntungan

tiap kilogram keripik ketela rasa

coklat adalah Rp. 2.500,00 dan

keripik rasa keju adalah Rp.

3.000,00 perkilogram.


60

dengan program linear dengan 2

variabel.


pernyataan matematika dan

menentukan model matematika.

• Siswa dapat menyelesaikan

masalah yang terkait dengan

program linear dengan 2

variabel.

• Siswa dapat mengintepretasikan

kembali hasil penyelesaiannya

sesuai dengan konteks masalah

awal.

model untuk menggambarkan

situasi konteks.

Level general :


dikembangkan siswa sudah

mengarah kepada pencarian

solusi secara matematis.

Level formal :

Pada level ini siswa dapat

menggunakan simbol

matematika formal,

mengombinasikan model

matematis, menggunakan

berbagai representasi

matematis yang berbeda,

argumentasi matematis,

Keuntungan terbesar yang dapat

diperoleh Ibu adalah…


61

generalisasi. Siswa dapat

Memahami perluasan dan

keterbatasan konsep

matematika, merefleksi

argumen matematis serta

menjelaskan hasil,

mengomunikasikan proses dan

hasil

Siswa dapat

menyelesaikan

permasalahan

program linear

dengan daerah

penyelesaian tak

berhingga

• Siswa dapat menyederhanakan

asumsi dari masalah yang


dengan 2 variabel.

• Siswa dapat mengklarifikasi

tujuan penyelesaian masalah

yang terkait dengan program



masalah terkait dengan program

Level situasional :


dibuat siswa masih pada

konteks situasi yang

digunakan.

Level referensial :

Pada level ini model dan

strategi yang dibuat siswa

Toko “SUBUR” menyediakan 2

merek pupuk, yaitu Standard dan

Super. Setiap jenis mengandung

campuran bahan nitrogen dan

fosfat dalam jumlah tertentu.

Pupuk Standard mengandung 2 kg

nitrogen tiap sak dan fosfat

mengandung 4 kg tiap sak. Pupuk

Super mengandung nitrogen 4 kg

tiap sak dan fosfat 3 kg tiap sak.


62


• Siswa dapat menentukan

variabel, konstanta, dan

parameter dari masalah terkait


variabel.


pernyataan matematika dan

menentukan model matematika.

• Siswa dapat menyelesaikan


program linear dengan 2

variabel.

• Siswa dapat mengintepretasikan

kembali hasil penyelesaiannya

sesuai dengan konteks masalah

awal.

menyelesaikan permasalahan

sudah tidak berada di dalam

konteks situasi melainkan

sudah merujuk pada konteks.

Pada level ini siswa membuat

model untuk menggambarkan

situasi konteks.

Level general :


dikembangkan siswa sudah

mengarah kepada pencarian

solusi secara matematis.

Level formal :

Pada level ini siswa dapat

menggunakan simbol

matematika formal,

mengombinasikan model

Petani tersebut membutuhkan

paling sedikit 16 kg nitrogen dan

24 kg fosfat untuk lahan

pertaniannya. Harga pupuk

Standard dan Super masing-

masing Rp. 30.000,00 dan Rp.

60.000,00. Tentukan banyaknya

masing-masing jenis pupuk yang

harus dibeli agar total harga

pupuk mencapai minimum dan

kebutuhan pupuk untuk lahannya

terpenuhi !


63

matematis, menggunakan

berbagai representasi

matematis yang berbeda,

argumentasi matematis,

generalisasi. Siswa dapat

Memahami perluasan dan

keterbatasan konsep

matematika, merefleksi

argumen matematis serta

menjelaskan hasil,

mengomunikasikan proses dan

hasil


64

3. Pedoman Wawancara

Pedoman wawancara digunakan untuk mengumpulkan informasi

data yang lebih detail mengenai hasil belajar siswa berupa cara berpikir

dan strategi yang digunakan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan kemampuan memodelkan siswa saat menyelesaikan masalah

terkait program linear 2 variabel menggunakan garis selidik dengan

blended learning. Berikut ini merupakan tabel kisi-kisi pertanyaan

wawancara.


65

Tabel 3.3 Kisi-kisi pertanyaan wawancara

Fokus Indikator soal Indikator kemampuan

memodelkan

Pertanyaan

Program linear

dengan daerah

penyelesaian

berhingga

• Menyederhanakan asumsi dari


program linear dengan 2 variabel.

• Mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah yang terkait


variabel.

• Merumuskan masalah terkait


variabel.

• Menentukan variabel, konstanta,

dan parameter dari masalah terkait


variabel.

• Merumuskan pernyataan

matematika dan menentukan

• Bagaimana langkah

awal dalam

menyelesaikan

permasalahan tersebut?

• Mengapa variabel-

variabel ini yang kamu

misalkan?

• Apa artinya 𝑥, 𝑦 ≥ 0?

• Mengapa menggunakan

tanda pertidaksamaan

“≤”,”≥”,”<”,”>”?


66

model matematika.

• Mengapa daerah

penyelesaian ini yang

kamu pilih?

• Mengapa memilih nilai z

tersebut dalam

menggambar garis

selidik?

• Apa arti dari pergerakan

grafik persamaan garis

selidik ini?

• Mengapa kamu

memutuskan titik

optimum tersebut?

• Apa arti dari

penyelesaian yang kamu


67

• Menyelesaikan masalah yang


dengan 2 variabel.

• Mengintepretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan

konteks masalah awal.

dapatkan?

Program linear

dengan daerah

penyelesaian tak

berhingga

• Menyederhanakan asumsi dari


program linear dengan 2 variabel.

• Mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah yang terkait


variabel.

• Merumuskan masalah terkait


variabel.

• Menentukan variabel, konstanta,

dan parameter dari masalah terkait

• Bagaimana langkah

awal dalam

menyelesaikan

permasalahan tersebut?

• Mengapa variabel-

variabel ini yang kamu

misalkan?

• Apa artinya 𝑥, 𝑦 ≥ 0?

• Mengapa menggunakan

tanda pertidaksamaan

“≤”,”≥”,”<”,”>”?


68


variabel.

• Merumuskan pernyataan

matematika dan menentukan

model matematika.

• Menyelesaikan masalah yang


dengan 2 variabel.

• Mengintepretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan

konteks masalah awal.

• Mengapa daerah

penyelesaian ini yang

kamu pilih?

• Mengapa memilih nilai z

tersebut dalam

menggambar garis

selidik?

• Apa arti dari pergerakan


69

grafik persamaan garis

selidik ini?

• Mengapa kamu

memutuskan titik

optimum tersebut?

• Apa arti dari

penyelesaian yang kamu

dapatkan?


83

4. Catatan Lapangan

Catatan lapangan adalah catatan yang dibuat saat penelitian

berlangsung, dalam hal ini adalah saat pembelajaran dengan blended learning

berlangsung. Catatan lapangan digunakan untuk melengkapi dokumentasi dan

mendeskripsikan proses pembelajaran.

G. Teknik Analisis Data

Teknik analisis data dalam penelitian dilakukan secara deskriptif kualitatif.

Menurut Doorman (dalam Ariyadi, 2008) hasil penelitian desain bukan hasil

kerja desain yang ada, melainkan berupa prinsip-prinsip mendasar yang

menerangkan bagaimana dan mengapa desain tersebut berjalan. Oleh karena itu,

data dalam penelitian ini dianalisis dengan cara membandingkan antara prediksi

yang dibuat peneliti mengenai reaksi siswa dan jawaban siswa selama proses

pembelajaran berlangsung dengan proses pembelajaran yang sebenarnya. Hal

tersebut dilakukan dengan tujuan menginvestigasi dan menerangkan bagaimana

siswa dapat memahami konsep program linear dengan metode garis selidik.

Langkah analisis data yang digunakan adalah :

1) Reduksi Data

Reduksi data yaitu berarti merangkum, memilih hal-hal pokok,

memfokuskan pada hal-hal yang penting, dicari tema dan polanya dan

membuang yang tidak perlu.

(a) Catatan lapangan


84

Reduksi data catatan lapangan dan dokumentasi dilakukan

dengan memperhatikan dan mengklarifikasi aktivitas-aktivitas siswa

selama proses pembelajaran yang termasuk ke dalam karakteristik

pendekatan pembelajaran matematika realistik yaitu (a) penggunaan

konteks, (b) penggunaan model untuk matematisasi progresif, (c)

pemanfaatan hasil konstruksi siswa, (d) interaktivitas, dan (e)

keterkaitan. Serta memperhatikan kemampuan memodelkan siswa

dalam mengubah kalimat sehari-hari ke dalam kalimat matematika

dalam hal ini ke dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan linear 2

variabel. Selain itu peneliti juga mengobservasi dan

mendokumentasikan aktivitas siswa saat mengikuti kuis menggunakan

aplikasi Kahoot.

(b) Tes

Tes dilaksanakan setelah serangkaian pembelajaran dengan

blended learning dilaksanakan, baik di kelas uji coba (XI IPS 2)

maupun di kelas penelitian (XI IPS 1). Tes ini bertujuan untuk

mengungkap strategi-strategi penyelesaian siswa dalam menyelesaikan

masalah terkait program linear dan untuk menelaah kemampuan

memodelkan siswa. Reduksi data lembar pekerjaan siswadilakukan

dengan memperhatikan dan mengklarifikasi jawaban-jawaban siswa

dengan memperhatikan indikator kemampuan memodelkan siswa

yaitu (a) Level situasional : Pada level ini model yang dikembangkan


85

siswa masih berkembang dalam konteks situasi masalah yang

digunakan, (b)Level referensial : Pada level ini model dan strategi

yang dikembangkan siswatidak berada di dalam konteks situasi,

melainkan sudah merujuk pada konteks. Pada level ini, siswa

membuat model untuk menggambarkan situasi konteks, (c)Level

general :Pada level general, model yang dikembangkan siswa sudah

mengarah pada pencarian solusi secara matematis, (d) Level formal :

Pada level formal, siswa sudah bekerja dengan menggunakan simbol

dan representasi matematis. Tahap formal merupakan tahap

perumusan dan penegasan konsep matematika yang dibangun oleh

siswa.

(c) Wawancara

Wawancara dilakukan untuk mengonfirmasi strategi

penyelesaian masalah yang tertulis di lembar pekerjaan siswa dan

untuk menentukan level kemampuan memodelkan siswa. Wawancara

dilakukan setelah peneliti mengklasifikasi jawaban-jawaban siswa.

Subjek wawancara dipilih berdasarkan klasifikasi jawaban yang

sejenis. Selanjutnya peneliti juga membuat klasifikasi untuk mereduksi

data dari hasil pekerjaan siswa dan wawancara berupa data yang

mengungkap strategi dan cara berpikir siswa dalam menyelesaikan

permasalahan yang diukur berdasarkan indikator kemampuan

memodelkan siswa dalam menyelesaikan masalah terkait program


86

linear. Indikator kemampuan memodelkan yaitu (a) Level situasional :

Pada level ini model yang dikembangkan siswa masih berkembang

dalam konteks situasi masalah yang digunakan, (b)Level referensial :

Pada level ini model dan strategi yang dikembangkan siswatidak

berada di dalam konteks situasi, melainkan sudah merujuk pada

konteks. Pada level ini, siswa membuat model untuk menggambarkan

situasi konteks, (c)Level general :Pada level general, model yang

dikembangkan siswa sudah mengarah pada pencarian solusi secara

matematis, (d) Level formal : Pada level formal, siswa sudah bekerja

dengan menggunakan simbol dan representasi matematis. Tahap

formal merupakan tahap perumusan dan penegasan konsep

matematika yang dibangun oleh siswa.

2) Penyajian data

Sajian data adalah suatu rangkaian organisasi informasi yang

memungkinkan kesimpulan riset dapat dilakukan. Penyajian data

dimaksudkan untuk menemukan pola-pola yang bermakna serta memberikan

kemungkinan adanya penarikan kesimpulan dan memberikan tindakan (Miles

dan Huberman, 1992 : 17). Dengan menyajikan data maka akan memudahkan

untuk memahami apa yang terjadi, merencanakan kerja selanjutnya

berdasarkan apa yang telah dipahani tersebut (Sugiyono, 2013 : 341).

Penyajian data dalam penelitian ini menggunakan catatan lapangan yang

merupakan produk dari reduksi data. Kemudian ringkasan catatan lapangan


87

tersebut diuraikan sesuai dengan data pengklasifikasian ke dalam kategori

karakteristik pendekatan pembelajaran matematika realistik dan data kategori

hasil belajar berdasarkan indikator kemampuan memodelkan siswa.

Data akan disajikan berdasarkan catatan lapangan serta dokumentasi,

maka peneliti menyajikan data tentang bagaimana aktivitas-aktivitas siswa

dalam proses pembelajaran yang telah didesain berdasarkan karakteristik dari

pendekatan pembelajaran matematika realistik. Aktivitas-aktivitas yang terjadi

dalam pembelajaran akan dijelaskan dari tahap awal yaitu penggunaan

konteks, penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil

konstruksi siswa, interaktivitas dan keterkaitan. Peneliti juga akan menyajikan

data dari hasil lembar tes dan hasil wawancara dengan menjelaskan

bagaimana strategi dan cara berpikir siswa dalam menyelesaikan

permasalahan berdasarkan indikator kemampuan memodelkan siswa pada

materi program linear. Indikator kemampuan memodelkan tersebut yaitu : \(a)

Level situasional : Pada level ini model yang dikembangkan siswa masih

berkembang dalam konteks situasi masalah yang digunakan, (b)Level

referensial : Pada level ini model dan strategi yang dikembangkan siswatidak

berada di dalam konteks situasi, melainkan sudah merujuk pada konteks. Pada

level ini, siswa membuat model untuk menggambarkan situasi konteks,

(c)Level general :Pada level general, model yang dikembangkan siswa sudah

mengarah pada pencarian solusi secara matematis, (d) Level formal : Pada


88

level formal, siswa sudah bekerja dengan menggunakan simbol dan

representasi matematis. Tahap formal merupakan tahap perumusan dan

penegasan konsep matematika yang dibangun oleh siswa.

3) Kesimpulan atau verifikasi

Penarikan kesuimpulan merupakan bagian dari suatu kegiatan

konfigurasi yang utuh (Miles dan Huberman, 1992:19). Kesimpulan-

kesimpulan juga diverifikasi selama penelitian berlangsung. Kesimpulan

awal yang dikemukakan setelah uji coba HLT di kelas XI-IPS 2 masih

bersifat sementara dan akan berubah bila tidak ditemukan bukti-bukti yang

kuat yang mendukung pada tahap pengumpulan data berikutnya. Tetapi

apabila kesimpulan yang dikemukakan pada tahap awal didukung oleh bukti-

bukti yang valid dan konsisten saat peneliti kembali ke lapangan untuk

mengumpulkan data pada tahap implementasi HLT di kelas XI-IPS 1 maka

kesimpulan yang dikemukakan merupakan kesimpulan yang kredibel.

Kesimpulan dan verifikasi pada penelitian ini adalah ketercapaian mendesain

HLT mendeskripsikan hasil pekerjaan siswa.

H. Proses Penelitian

1. Mengurus surat izin penelitian di sekolah yang akan dijadikan tempat

penelitian.

2. Menyiapkan desain HLT dan instrument penelitian yang digunakan untuk

pengambilan data selama proses pembelajaran berlangsung.


89

3. Melakukan uji coba HLT (tahap Pilot Experiment) di kelas XI-IPS 2 yang

didemonstrasikan oleh peneliti, hasil dari uji coba HLT akan direvisi. Selama

proses pengambilan data, peneliti membuat catatan lapangan dan melakukan

dokumentasi. Wawancara dilakukan setelah uji coba JLT selesai.

4. Mengimplementasikan HLT (tahap Teaching Experiment) yang telah direvisi

pada kelas XI-IPS 1. Dalam proses pembelajaran HLT akan didemonstrasikan

oleh peneliti sendiri. Selama proses pengambilan data juga dilakukan

pembuatan catatan lapangan dan dokumentasi. Wawancara akan dilakukan

setelah proses implementasi HLT selesai.

5. Dari hasil wawancara dan pencatatan dokumentasi, dibuat catatan lapangan

secara lengkap. Catatan lapangan ini terdiri atas deskripsi dan refleksi.

6. Berdasarkan catatan lapangan, selanjutnya dibuat reduksi data. Reduksi data

ini merupakan pokok-pokok temuan yang penting, yaitu data berupa aktivitas-

aktivitas siswa yang dikategorikan berdasarkan karakteristik pendekatan

pembelajaran matematika realistik dan data berupa strategi dan cara berpikir

siswa dalam menyelesaikan masalah yang dikategorikan berdasarkan

indikator kemampuan memodelkan siswa.

7. Dari reduksi data kemudian diikuti penyusunan sajian data yang berupa cerita

sistematis dengan suntingan peneliti agar maknanya lebih jelas dipahami.

Sajian data ini dilengkapi dengan faktor pendukung antara lain metode,

skema, bagan, tabel, dan sebagainya.


90

8. Berdasarkan sajian data tersebut, kemudian dirumuskan kesimpulan

sementara.

9. Kesimpulan sementara tersebut senantiasa akan terus berkembang sejalan

dengan penemuan data baru dan pemahaman baru sehingga akan didapat

suatu kesimpulan yang benar-benar sesuai dengan keadaan yang sebenarnya.

Demikian seterusnya aktivitas penelitian ini berlangsung yaitu terjadi interaksi

yang terus menerus antara ketiga komponen analisisnya bersamaan dengan

pengumpulan data baru yang dirasakan bisa menghasilkan data yang lengkap

sehingga dirumuskan kesimpulan akhir.

10. Selanjutnya tahap Retrospective Analysis, data yang diperoleh dari aktivitas

pembelajaran di kelas dianalisis dan hasil analisis ini digunakan untuk

merencanakan kegiatan ataupun mengembangkan desain pada kegiatan

pembelajaran berikutnya. Tujuan pada tahap ini untuk mendapatkan jawaban

dari rumusan masalah yang telah dibuat yaitu menghasilkan LIT dan hasil

deskripsi pekerjaan siswa.


91

Gambar 3.1 Skema Alur Penelitian


83

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Rancangan Lintasan Belajar pada Saat Uji Coba

Lintasan belajar yang dirancang meliputi prediksi strategi yang dibuat

oleh siswa dan antisipasi-antisipasi tentang kemungkinan proses berpikir

siswa. Tujuan pembelajaran yang dimuat dalam HLT yaitu agar siswa dapat

menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program linear 2

variabel. Indikator dari tujuan pembelajaran yaitu (1) siswa dapat

memodelkan masalah nyata dalam pertidaksamaan linear 2 variabel, (2) siswa

dapat menyajikan grafik pertidaksamaan linear 2 variabel, (3) siswa dapat

memodelkan suatu masalah program linear 2 variabel, (4) siswa dapat

menyelesaikan masalah terkait program linear 2 variabel menggunakan


Selain itu, lintasan belajar yang dirancang oleh peneliti juga memuat

karakteristik Pembelajaran Matematika Realistik. Karakteristik PMR terdiri

dari (1) penggunaan konteks, (2) penggunaan model untuk matematisasi

progresif, (3) pemanfaatan hasil konstruksi siswa, (4) interaktivitas, dan (5)

keterkaitan.


84

1. Pertemuan pertama

Pada pertemuan pertama, peneliti menyediakan 2 konteks masalah.

Berikut merupakan kegiatan guru dan siswa yang direncanakan untuk

pertemuan pertama:

a) Siswa diminta untuk menyatakan sebuah peristiwa ke dalam kalimat

matematika secara klasikal.

“Ibu ingin menyiapkan kue untuk acara keluarga. Ibu akan membuat

dua jenis kue yang berbeda dan jumlahnya sama dengan 20 buah.

Nyatakan permasalahan tersebut dalam suatu kalimat matematika!

b) Siswa diminta untuk menyatakan sebuah peristiwa ke dalam kalimat

matematika secara klasikal.

“Ibu ingin menyiapkan kue untuk acara keluarga. Ibu akan membuat

dua jenis kue yang berbeda dan jumlahnya paling sedikit 20 buah.

Nyatakan permasalahan tersebut dalam suatu kalimat matematika!”

Poin (a) dan (b) tersebut dimaksudkan peneliti untuk

memunculkan karakteristik PMR yaitu penggunaan konteks,

interaktivitas dan penggunaan kontribusi siswa. Dengan memberikan

masalah realistik diharapkan dapat memunculkan konteks di pikiran

siswa dalam mengaitkannya ke dalam kalimat matematika. Sedangkan

pemberian masalah secara klasikal juga diharapkan dapat


85

memunculkan interaktivitas antar siswa maupun antara antara guru-

siswa.

Dengan jawaban-jawaban yang diberikan oleh siswa sendiri pada poin

(a), maka siswa juga dapat mengonstruksi pengetahuannya sendiri untuk

menjawab pertanyaan pada poin (b). Selain itu dengan meminta siswa

untuk memodelkan masalah persamaan linear 2 variabel (pada poin (a))

diharapkan siswa mampu untuk memodelkan masalah pertidaksamaan

linear 2 variabel pada poin (b). Sehingga poin (a) menjadi model of untuk

poin (b).

c) Jika siswa mengalami kesulitan dalam memisalkan 2 jenis kue ke dalam

variabel-variabel maka guru memberikan ilustrasi 2 jenis kue yang akan

dibeli Ibu dan bertanya apakah 2 jenis kue tersebut sama atau tidak.

d) Jika siswa mengalami kesulitan dalam menerjemahkan istilah “paling

sedikit” ke dalam kalimat matematika maka guru memberikan

penggunaan kalimat sejenis. Misalnya : Uang jajan Rino minimal

Rp.1000,- selanjutnya guru bertanya apa arti kalimat tersebut.

e) Siswa diberi waktu untuk berdiskusi secara berpasangan.

f) Guru memberikan latihan soal terkait memodelkan masalah sehari-hari ke

dalam pertidaksamaan linear 2 variabel. Soal tersebut meliputi :


86

Latihan 1

1. Sebuah area parkir dengan luas 3750 m2, maksimal hanya dapat

ditempati 300 kendaraan yang terdiri atas sedan dan bus. Diketahui

luas parkir untuk sedan 5 𝑚2dan bus 15 m2.

2. Sasa berbelanja peralatan sekolah dan membawa uang Rp 250.000,-.

Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga

sehingga Sasa dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang

sanggup ia beli dengan uang yang dibawa. Berdasarkan daftar harga,

jika Sasa membeli 2 seragam dan 3 buku maka ia masih mendapatkan

uang kembalian. Buatlah pemodelan matematika belanjaan Sasa

tersebut

Poin (c), (d), (e), dan (f), dimaksudkan peneliti untuk memunculkan

karakteristik PMR interaktivitas, penggunaan kontribusi siswa, dan

keterkaitan. Topangan yang diberikan guru pada poin (c) dan (d) dapat

memunculkan interaksi antara guru siswa dan dapat memancing siswa

untuk mengaitkan masalah dengan kalimat matematika yang akan

disusun. Poin (e) dan (g) merupakan upaya guru untuk dapat

memunculkan interaksi antar siswa untuk saling berdiskusi menanggapi

cara penyelesaian siswa satu sama lain.

Dari pemberian soal pada poin (f), guru bermaksud untuk

mengembangkan kemampuan memodelkan siswa mengubah masalah nyata ke

dalam kalimat matematika. Selain itu guru juga bermaksud untuk

memunculkan karakteristik PMR yaitu penggunaan kontribusi siswa dan

keterkaitan, dari proses pengerjaan siswa dalam latihan soal diharapkan siswa

dapat memanfaatkan keterkaitan-keterkaitan konsep matematika untuk


87

mengubah kalimat masalah menjadi suatu pertidaksamaan linear 2 variabel

dan dari situ juga siswa dapat mengonstruksi pengetahuannya sendiri. Ada

kemungkinan jawaban siswa sebagai berikut :

a. Siswa menuliskan pertidaksamaan linear 2 variabel tersebut sebagai

persamaan linear 2 variabel. Sehingga untuk nomor 1 dan 2

persamaannya adalah 5𝑥 + 15𝑦 = 3750

𝑥 + 𝑦 = 300 dan

2𝑥 + 3𝑦 = 250000.

b. Siswa menggunakan tanda pertidaksamaan dengan tidak tepat (nomor

1 dan 2).

Jika siswa mengalami miskonsepsi seperti kemungkinan jawaban di

atas, maka guru memberikan topangan-topangan sebagai berikut :

a. Apa persyaratan yang diminta terkait luas lahan parkir dan jumlah

kendaraan? (nomor 1)

Jawaban yang diharapkan : total luas lahan parkir untuk sedan dan

bus maksimal/paling banyak/tidak boleh melebihi 3750 m2 dan

jumlah sedan dan bus maksimal/paling banyak/tidak boleh

melebihi 300 unit.

b. Apa persyaratan yang diminta terkait jumlah harga total belanja

Sasa? (nomor 2)

Jawaban yang diharapkan : Sasa mendapatkan uang kembalian

setelah berbelanja 2 seragam dan 3 buku.

c. Hal apa yang dapat kalian cari kemungkinan-kemungkinannya agar

memenuhi persyaratan? (nomor 1)

Jawaban yang diharapkan : luas lahan parkir sedan dan bus serta

jumlah sedan dan bus.

d. Hal apa yang dapat kalian cari kemungkinan-kemungkinannya agar

memenuhi persyaratan? (nomor 2)


88

Jawaban yang diharapkan : harga buku dan seragam yang dibeli

Sasa.

e. Coba kalian daftar satu per satu kemungkinan-kemungkinan

jumlah sedan dan bus sehingga memenuhi persyaratan. (nomor 1)

Jawaban yang diharapkan :

x (m2) y (m2) 5𝑥 + 15 𝑦(m2)

200 100 2500

300 100 3000

300 149 3735

… … …

f. Apa yang terjadi jika 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 260 ?

g. Menurut kalian berapa sedan paling banyak dan berapa bus paling

banyak yang mungkin ditampung di lahan parkir? Mengapa?

Bagaimana cara kalian menuliskan keadaan tersebut ke dalam

pertidaksamaan linear 2 variabel?

dan

x (unit) y (unit) 𝑥 + 𝑦 (unit)

100 150 250

130 152 282

175 123 298

… … …

h. Apa yang terjadi jika 𝑥 = 301 dan 𝑦 = 0 ?


89

i. Menurut kalian berapa sedan paling banyak dan berapa bus paling

banyak yang mungkin ditampung di lahan parkir? Mengapa?

j. Bagaimana cara kalian menuliskan keadaan tersebut ke dalam


k. Coba kalian daftar satu per satu kemungkinan-kemungkinan harga

buku dan seragam Sasa sehingga memenuhi persyaratan. (nomor 2)

Jawaban yang diharapkan :

x (Rp) y (Rp) 2𝑥 + 3𝑦 (Rp) Uang kembalian

20000 5000 55000 195000

30000 6000 78000 172000

40000 10000 11000 140000

50000 20000 160000 90000

… … … …

l. Apa yang terjadi jika 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 90000?

m. Menurut kalian berapa harga paling mahal 1 baju dan harga paling

mahal 1 buku yang mungkin dibeli oleh Sasa? Mengapa?

Bagaimana cara kalian menuliskan keadaan tersebut ke dalam


n. Guru meminta siswa untuk menjelaskan kepada siswa lain apa

yang ia lakukan untuk memodelkan masalah dalam kehidupan

sehari-hari dalam kalimat matematika.

Pertanyaan-pertanyaan topangan yang ada pada poin (a) sampai (n)

merupakan upaya guru dalam mengembangkan kemampuan memodelkan

siswa. Guru mengupayakan agar siswa mengonstruksi pengetahuannya sendiri


90

mengenai konsep tanda pertidaksamaan kurang dari dan lebih dari yang ada

pada masalah nyata dengan cara mendaftar kemungkinan-kemungkinan

jumlah mobil atau bus dan harga seragam atau harga buku. Sehingga kegiatan

tersebut dapat dikatakan sebagai model of.

2. Pertemuan kedua

a) Guru mengadakan kuis dengan aplikasi Kahoot! tentang mengubah

masalah ke dalam pertidaksamaan linear 2 variabel.

Penggunaan aplikasi Kahoot! pada poin (a) dalam rangka untuk melihat

pengaruh penggunaan blended learning pada kelas uji coba. Selain itu hal ini

juga dapat memunculkan karakteristik PMR yaitu interaksi antara guru siswa

maupun antar siswa karena dalam kuis tersebut siswa atau kelompok siswa

akan bersaing dalam menjawab pertanyaan kuis sehingga mereka dapat masuk

3 besar.

b) Guru meminta siswa untuk menggambar grafik pertidaksamaan linear 𝑥 +

𝑦 ≥ 20dan menentukan daerah penyelesaiannya.

c) Jika siswa mengalami kesulitan dalam menggambar grafik, maka guru

meminta siswa untuk mengambar grafik 𝑥 + 𝑦 = 20 terlebih dahulu.

d) Jika siswa masih mengalami kesulitan dalam menggambar grafik, maka

guru memberikan pertanyaan-pertanyaan topangan.

e) Guru meminta siswa untuk menentukan 1 titik lagi yang memenuhi

persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 20.


91

f) Jika siswa mengalami kesulitan dalam menentukan daerah penyelesaian

grafik maka guru memberikan pertanyaan topangan.

g) Guru meminta siswa untuk menentukan titik lain yang tidak memenuhi

pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 dan titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan

𝑥 + 𝑦 ≥ 20.

Poin (b) sampai poin (g) merupakan upaya guru dalam merangsang siswa

untuk mengonstruksi pengetahuannya dalam menggambar grafik penyelesaian

suatu pertidaksamaan linear 2 variabel. Selain itu aktivitas-aktivitas di atas

juga dapat memunculkan interaksi antara guru dengan siswa. Dalam upaya

siswa untuk menggambar grafik penyelesaian pertidaksamaan linear 2

variabel, siswa harus mampu untuk menentukan 2 titik dan menentukan

daerah yang merupakan daerah layak. Dalam proses tersebut maka siswa

harus mampu untuk mengaitkan konsep-konsep matematika lain untuk

akhirnya dapat menggambar grafik penyelesaian pertidaksamaan linear 2

variabel.

h) Guru meminta siswa untuk berdiskusi secara berpasangan untuk mencari

daerah penyelesaian pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 20.

i) Guru memberikan latihan soal terkait menentukan daerah penyelesaian

linear 2 variabel.


92

j) Setelah siswa menggambar grafik pertidaksamaan linear 2 variabel yang

sudah didapatkan di latihan 1, guru mengonfirmasi pengetahuan yang

sudah dikonstruksi siswa saat menyelesaikan latihan 1.

k) Guru meminta siswa untuk mempresentasikan cara penyelesaiannya dalam

menggambar grafik pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 20.

l) Guru mengajak siswa untuk mengambil suatu kesimpulan bahwa

dibutuhkan minimal 2 titik untuk menggambar suatu garis dan yang

termudah adalah dengan menentukan titik potong grafik terhadap

𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥 dan 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦.

m) Guru bersama siswa menyimpulkan bahwa untuk menentukan suatu

daerah merupakan daerah penyelesaian atau bukan, maka perlu di uji titik

yang ada di kanan atau kiri grafik tersebut.Selanjutnya untuk menentukan

daerah yang diarsir harus disepakati apakah yang akan diarsir adalah

daerah penyelesaian atau yang bukan daerah penyelesaian.

Poin (h) sampai poin (m) dimaksudkan guru untuk memunculkan

karakteristik PMR interaksi antar siswa. Dengan berdiskusi berpasangan

diharapkan siswa dapat dengan efektif dalam mencari cara untuk menggambar

grafik pertidaksamaan linear variabel tersebut. Dengan mempresentasikan

cara penyelesaian siswa di depan kelas juga diharapkan dapat merangsang

siswa lain untuk mengkritisi pendapat temannya sekaligus mengungkapkan

pendapatnya.


93

Selanjutnya guru meminta siswa untuk menggambar grafik penyelesaian

dari masalah yang telah dimodelkan pada latihan 1, diharapkan dari kegiatan

tersebut siswa dapat mengaitkan hubungan-hubungan antar konsep

matematika yang sudah diketahui sebelumnya sehingga dapat memunculkan

karakteristik PMR keterkaitan.

3. Pertemuan ketiga

a) Guru mengadakan kuis dengan aplikasi Kahoot! tentang menggambar

grafik pertidaksamaan linear 2 variabel dan grafik sistem pertidaksamaan

linear 2 variabel.

Penggunaan aplikasi Kahoot! pada poin (a) dalam rangka untuk melihat

pengaruh penggunaan blended learning pada kelas uji coba. Selain itu hal ini

juga dapat memunculkan karakteristik PMR yaitu interaksi antara guru siswa

maupun antar siswa karena dalam kuis tersebut siswa atau kelompok siswa

akan bersaing dalam menjawab pertanyaan kuis sehingga mereka dapat masuk

3 besar.

b) Guru meminta siswa untuk memodelkan permasalahan sehari-hari berikut

ini ke dalam bahasa matematika :

“Seorang petani memerlukan zat kimia A, B, dan C berturut-turut

sebanyak 20 kg, 18 kg, dan 12 kg untuk memupuk kebun sayurnya. Pupuk

cair setiap kantong mengandung zat kimia A, B, dan C berturut-turut 1 kg,

2 kg, dan 3 kg. Pupuk kering setiap kantong mengandung zat kimia A, B,


94

dan C berturut-turut 5 kg, 3 kg, dan 1 kg. Apabila satu kantong pupuk cair

harganya Rp1000,00 dan satu kantong pupuk kering Rp1.500,00, berapa

kantong pupuk cair dan berapa kantong pupuk kering harus ia beli agar

harganya paling murah dan tetap memenuhi keperluan?”

c) Guru meminta siswa untuk mengidentifikasi model-model matematika

tersebut mana yang merupakan fungsi kendala, fungsi tujuan, dan apa

yang akan dioptimumkan dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan

topangan.

d) Guru meminta siswa untuk membuat grafik pertidaksamaan dari fungsi-

fungsi kendala dan fungsi tujuan yang didapatkan.

e) Guru meminta siswa untuk menggambar 2 grafik fungsi tujuan dan

memberikan pertanyaan :

a. Kemanakah arah pergeseran grafik fungsi objektif tersebut? Apakah

artinya?

b. Dimana garis selidik tersebut memotong grafik fungsi kendala

sehingga mencapai harga pupuk cair dan kering yang paling murah?

f) Jika siswa kesulitan dalam menggambar fungsi tujuan maka guru dapat

memberikan pertanyaan topangan :

a. Apabila Z diisikan suatu nilai tertentu misalnya Z=2000 apakah kalian

dapat menggambar grafiknya?


95

b. Apabila Z=2000 maka akan didapatkan titik potong sumbu y adalah

(0,4

3) dan titik tersebut tidak bulat dan cenderung sulit digambar secara

akurat di kertas, oleh karena itu guru bertanya pada siswa bagaimana

menentukan nilai Z agar fungsi tujuan tersebut mudah digambar.

g) Guru meminta siswa untuk menentukan berapa kantong pupuk kering

harus dibeli agar harganya paling murah dan tetap memenuhi keperluan

sayuran labu dengan menggunakan grafik fungsi kendala dan fungsi

tujuan yang telah dibuat.

h) Guru meminta siswa untuk mempresentasikan penyelesaian masalahnya

di depan siswa yang lain.

i) Jika siswa mengalami kesulitan untuk menarik kesimpulan dimana fungsi

objek tersebut memotong grafik fungsi kendala maka guru dapat

menggunakan aplikasi geogebra sambil mengajukan beberapa pertanyaan

topangan sebagai berikut :

a. Dimana saja grafik fungsi objektif memotong grafik fungsi kendala

sehingga fungsi objektif menjadi minimum?

b. Jika siswa menjawab di titik B atau di titik A, maka guru bertanya

mana titik yang membuat fungsi objektif lebih minimum?

c. Bagaimana gradien grafik fungsi kendala di titik A dan di titik B?

j) Jika siswa mengalami kesulitan menentukan gradien, maka guru

memberikan pertanyaan topangan:


96

a. Hal apa yang akan diminimumkan dalam masalah yang disajikan?

b. Dari 2 garis di bawah ini, mana garis yang lebih miring? Mengapa?

k) Guru mengajak siswa untuk mengambil kesimpulan bahwa harus

digunakan 2 garis yang senilai untuk menyelidiki dimana fungsi objektif

optimum. Diperlukan 2 garis senilai untuk mengetahui arah kecondongan

dan arah pergeseran garis, dan garis tersebut digunakan untuk

menentukan titik layak terakhir sebagai irisan batas daerah penyelesaian

dengan garis senilai.

l) Guru mengajak siswa untuk mengambil kesimpulan bahwa kandidat nilai

optimum didapatkan di titik perpotongan garis selidik dengan grafik

fungsi kendala, dan titik-titik perpotongan tersebut dinamakan titik pojok.

Poin (b) sampai poin (l) adalah proses dimana guru merangsang

pikiran siswa untuk mengonstruksi pengetahuannya dalam menyelesaikan

permasalahan program linear 2 variabel menggunakan metode garis selidik.

Dimana dalam prosesnya siswa juga berkontribusi dalam menentukan

pengambilan keputusan titik-titik mana yang mengoptimumkan fungsi


97

objektif. Hal ini dimaksudkan guru untuk memunculkan karakteristik PMR

penggunaan kontribusi siswa.

B. Deskripsi Hasil Pembelajaran Uji Coba

Pembelajaran uji coba dilaksanakan pada hari Rabu 15 Agustus 2018

di kelas XI IPS 2. Peneliti melakukan uji coba desain dalam 3 kali

pembelajaran yakni pada hari Rabu 15 Agustus 2018, Senin 27 Agustus 2018,

dan Rabu 29 Agustus 2018.

Pembelajaran hari Rabu 15 Agustus 2018 dan Rabu 29 Agustus 2018

dilaksanakan selama 2x45 menit (2 jam pelajaran) yakni pada pukul 12.30

sampai 14.00. Pembelajaran hari Senin 27 Agustus 2018 dilaksanakan selama

2x45 menit (2 jam pelajaran) yakni pada pukul 08.30 sampai 09.15

dilanjutkan pada pukul 10.30 sampai 11.15.

Tujuan pembelajaran pada pertemuan pertama adalah siswa dapat

memodelkan masalah nyata dalam pertidaksamaan linear 2 variabel. Tujuan

pembelajaran pada pertemuan kedua adalah siswa dapat menyajikan grafik

pertidaksamaan linear 2 variabel serta siswa dapat memodelkan suatu masalah

program linear 2 variabel. Sedangkan tujuan pembelajaran pada pertemuan

ketiga dan keempat adalah siswa dapat menyelesaikan masalah terkait

program linear 2 variabel dengan metode garis selidik.

Peneliti masuk kelas bersama dengan rekan yang bertugas untuk

mengambil rekaman pembelajaran. Dalam pembelajaran ini peneliti bertidak


98

sebagai guru (selanjutnya peneliti disebut guru). Hasil proses pembelajaran uji

coba pembelajaran tersebut sebagai berikut :

1. Pembelajaran uji coba pertama

Pembelajaran diawali dengan perkenalan siswa dengan peneliti.

Perkenalan ini dipandu oleh guru matematika kelas XI-IPS 2 yang

bernama Ibu Zeny Ernaningsih, S.Pd. Setelah perkenalan, peneliti

menyampaikan tujuan peneliti dan tujuan pembelajaran yang akan

dilaksanakan selama beberapa pertemuan ke depan. Pada pertemuan

pertama ini tujuan pembelajarannya adalah siswa dapat memodelkan

masalah ke dalam kalimat matematika (persamaan linear 2 variabel).

Selanjutnya pembelajaran dipegang sepenuhnya oleh peneliti. Berikut ini

merupakan karakteristik PMR yang muncul pada uji coba pembelajaran

pertemuan yang pertama :


Peneliti memberikan pengantar mengenai apa yang dimaksud

dengan program linear. Selanjutnya peneliti mengajukan sebuah

permasalahan pada siswa secara klasikal yang ditampilkan pada slide

yaitu sebagai berikut :

“Ibu ingin menyiapkan kue untuk acara keluarga. Ibu akan membuat 2

jenis kue yang berbeda dan jumlah 2 kue tersebutsama dengan 20 buah.



99

Dari permasalahan di atas siswa diminta untuk mengubah kalimat

sehari-hari ke dalam kalimat matematika yaitu ke dalam persamaan linear

2 variabel. Dengan memberikan permasalahan seperti di atas, maka telah

dimunculkan karakteristik pembelajaran PMR yaitu penggunaan konteks.

Selanjutnya guru melanjutkan pembelajaran dengan memberikan

permasalahan pertidaksamaan linear 2 variabel pada slide sebagai berikut :


jenis kue yang berbeda dan jumlahnya paling sedikit 20 buah. Nyatakan

permasalahan tersebut dalam suatu kalimat matematika!”

Dari permasalahan yang diberikan oleh guru tersebut ternyata siswa

dengan cepat dapat mengubah kalimat tersebut ke dalam suatu

pertidaksamaan linear 2 variabel, yaitu 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Guru hanya

menanyakan mengapa pertidaksamaan tersebut menggunakan tanda ‘ ≥’

bukan ‘>’ dengan memberikan pertanyaan sebagai berikut :

G : “Kalau kuenya paling sedikit 20 berarti kalau jumlah kue apem

ditambah jumlah onde-ondenya sama dengan 20 boleh tidak?”

S : “Boleh”

G : “Kalau 21?”

S : “Boleh.”

G : “Kalau 19?”

S : “Tidak boleh.”

G : “Kenapa?”

S : “Karena minimal 20.”

G : “Nah betul jadi kata lain dari paling sedikit bisa juga dipakai istilah

minimal gitu ya. Makanya kalau x di tambah y jadinya jumlahnya

lebih dari 20 karena kan 20 boleh, 21 boleh, 22 dan seterusnya

boleh.”

Dari cuplikan transkrip di atas terlihat bahwa siswa telah memahami

penggunaan tanda pertidaksamaan. Namun dalam hal memberi penegasan


100

dan kesimpulan, guru terlalu mendominasi sehingga siswa tidak memiliki

kesempatan untuk menarik kesimpulan sendiri. Pada pembelajaran

selanjutnya seharusnya guru mempersilakan siswa untuk menarik

kesimpulan baru setelah itu guru memberikan penegasan.

Setelah melakukan penegasan, guru bersama siswa menarik kesimpulan

tentang bagaimana langkah-langkah dalam mengubah masalah nyata ke

dalam kalimat matematika. Penarikan kesimpulan yang dilakukan sudah

cukup melibatkan siswa dikarenakan guru meminta siswa untuk membuat

kalimat sendiri dan meminta siswa yang tidak memperhatikan untuk

mengulang langkah-langkah memodelkan yang sudah terlebih dahulu

diucapkan oleh temannya sehingga semua siswa memberikan perhatian

pada kesimpulan yang sedang dibicarakan.


101

Gambar 4.1 Guru memberikan konteks pada siswa

Gambar 4.2Latihan soal yang ditampilkan pada slide

Selanjutnya guru melanjutkan pembelajaran dengan memberikan 2 latihan

soal yang dikerjakan secara mandiri. Dua soal tersebut adalah sebagai

berikut

Latihan 1




2. Sasa berbelanja peralatan sekolah dan membawa uang Rp 250.000,-.

Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga

sehingga Sasa dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang

sanggup ia beli dengan uang yang dibawa. Berdasarkan daftar harga,

jika Sasa membeli 2 seragam dan 3 buku maka ia masih mendapatkan

uang kembalian. Buatlah pemodelan matematika belanjaan Sasa

tersebut

b) Penggunaan model


102

Setelah peneliti menanyakan masalah persamaan linear 2

variabel, siswa menjawab pertanyaan tersebut dengan bersahutan

seperti pada cuplikan transkrip pembelajaran sebagai berikut :

(Guru membacakan permasalahan yang ada pada slide)

G : “Coba bagaimana jika kalimat ini diubah menjadi kalimat

matematika?”

S1 : “2𝑥 + 2𝑦 = 20”

G : “Oke coba Ivan tadi bilang 2𝑥 + 2𝑦 = 20. Kenapa

2𝑥 + 2𝑦 = 20?”

S1 : “Eh eh enggak tapi 𝑥 + 𝑦 = 20”

G : “Oke tapi x itu apa y itu apa?”

S1 : “x itu jenis kue 1 dan y itu jenis kue 2.”

(Guru menuliskan jawaban siswa ke papan tulis)

G : “Oke ini jawaban Ivan. Bagaimana ada pendapat lain?”

S : “Enggak.”

Dari transkrip di atas terlihat bahwa siswa sudah mampu dalam

memodelkan masalah ke dalam suatu kalimat matematika persamaan

linear 2 variabel, namun ternyata ketika guru menanyakan apa yang

dimaksud dengan x dan y siswa justru menjadi kebingungan. Siswa

menjawab bahwa x merupakan jenis kue 1 dan y merupakan jenis kue

2. Padahal seharusnya x merupakan banyaknya kue 1 dan y merupakan

banyaknya kue 2. Mengetahui terdapat miskonsepsi dalam hal

pemisalan variabel ini, maka guru memberikan topangan seperti pada

cuplikan transkrip pembelajaran sebagai berikut :

G : “Tadi kan dikatakan kalau 2 jenis kue tersebut berbeda, nah

misalkan

aja nih kue pertama itu kue apem, tau kan apem? Terus yang kedua

tu..mmm apa ya onde-onde gitu. Jadi nanti baca kaliamatnya jadi

gimana?”

S : “Kue apem ditambah onde-onde sama dengan 20.”


103

G : “Mmmm….yang sama dengan 20 itu apanya sih?”

S : “Kuenya Bu.”

G : “Iya kuenya, tapi 20 itu apa?”

S : “Total kuenya.”

G : “Nah total itu apa?”

S2 : “Jumlahnya.”

G : “Nah iya total itu jumlah, jadi x itu apa y itu apa?”

(Kemudian siswa masih kebingungan)

Dari cuplikan transkrip di atas terlihat bahwa siswa masih kesulitan

untuk memisalkan variabel x dan y dengan tepat. Pada akhirnya guru

yang menegaskan bahwa x dimisalkan banyaknya kue jenis 1 dan y

dimisalkan banyaknya kue jenis 2. Guru menekankan bahwa kata

‘banyaknya’ atau ‘jumlah’ merupakan kata yang harus sangat

diperhatikan penggunaanya dalam memisalkan variabel sebab tanpa

kata tersebut maka akan terjadi salah pemaknaan kalimat matematika.

Berikut ini merupakan beberapa penyelesaian yang dilakukan siswa.

Pemilihan lembar pekerjaan siswa didasarkan pada pengklasifikasian

jawaban-jawaban yang sejenis.

a) Lembar pekerjaan siswa 1 pada latihan soal nomor 1


104

Gambar 4.3Lembar pekerjaan siswa 1 pada latihan 1 nomor 1

1) Deskripsi hasil pekerjaan siswa

Dari hasil pekerjaan siswa di atas, nampak langkah-langkah

pengerjaan yang dilakukan oleh siswa. Langkah pengerjaan yang

dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Siswa memisalkan variabel s dan b sebagai banyaknya sedan

dan banyaknya bus.

b. Siswa membentuk sebuah pertidaksamaan linear 2 variabel 𝑠 +

𝑏 ≤ 300 dan 5𝑠 + 15𝑏 ≤ 3750.

c. Siswa menyederhanakan 5𝑠 + 15𝑏 ≤ 3750 menjadi

𝑠 + 3𝑏 ≤ 750.

2) Deskripsi hasil wawancara


105

a. Siswa memisalkan terlebih dahulu variabel s dan b sebagai

banyaknya sedan dan banyaknya bus sesuai dengan langkah-

langkah yang sebelumnya telah dibicarakan di kelas bersama

guru.

b. Siswa membentuk sebuah pertidaksamaan linear 2 variabel 𝑠 +

𝑏 ≤ 300 karena jika jumlah sedan ditambah jumlah bus

jumlahnya hanya boleh sampai 300.

c. Siswa membentuk sebuah pertidaksamaan 5𝑠 + 15𝑏 ≤ 3750

karena jika jumlah area parkir sedan (5𝑚2) ditambah jumlah

area parkir bus (15𝑚2) hanya boleh seluas (3750 𝑚2)

d. Siswa menyederhanakan pertidaksamaan 5𝑠 + 15𝑏 ≤ 3750

karena guru mengatakan bahwa pertidaksamaan tersebut boleh

dibagi dengan faktor yang sama.

3) Kesimpulan hasil deskripsi pekerjaan siswa dan wawancara

Siswa telah mampu untuk memisalkan variabel dengan benar

dan siswa mampu untuk membentuk suatu kalimat pertidaksamaan

linear 2 variabel dengan benar.

b) Lembar pekerjaan siswa 2 pada latihan soal nomor 1


106

Gambar 4.4Lembar pekerjaan siswa 2 pada latihan 1

nomor 1

1) Deskripsi pekerjaan siswa




a. Siswa menuliskan pertidaksamaan 𝑠 + 𝑏 ≤ 300 dan diberi

keterangan melihat dari sisi jumlah kendaraan.

b. Siswa menuliskan pertidaksamaan 𝑠(5𝑚2) + 𝑏(15𝑚2) ≤

3750𝑚2.

c. Siswa menuliskan pertidaksamaan 5𝑠 + 15𝑏 ≤ 3750𝑚2dan

diberi keterangan melihat dari sisi luas.

d. Siswa menyederhanakan pertidaksamaan 5𝑠 + 15𝑏 ≤

3750𝑚2 menjadi 𝑠 + 3𝑏 ≤ 750.


a. Siswa tidak menuliskan pemisalan variabel s dan b, namun

siswa mengatakan bahwa ia memahami bahwa


107

smerepresentasikan banyaknya sedan dan b merepresentasikan

banyaknya bus.

b. Siswa mengatakan bahwa dalam kalimat tersebut terdapat 2 hal

yang dapat dibentuk menjadi kalimat matematika, yaitu jika

dilihat dari sisi jumlah kendaraan dan dari sisi luas lahan

parkir.

c. Siswa mengatakan bahwa ia lupa menghapuskan satuan 𝑚2

ketika menuliskan pertidaksamaan 5𝑠 + 15𝑏 ≤ 3750𝑚2.

d. Siswa menyederhanakan pertidaksamaan 5𝑠 + 15𝑏 ≤ 3750

karena guru mengatakan bahwa pertidaksamaan tersebut boleh

dibagi dengan faktor yang sama.

3) Kesimpulan deskripsi pekerjaan siswa dan hasil wawancara

Siswa telah mampu menganalisis bahwa terdapat 2 kendala pada

masalah tersebut sehingga dari kalimat tersebut dapat dibuat 2

pertidaksamaan linear 2 variabel. Siswa juga mampu untuk

membentuk 2 pertidaksamaan linear 2 variabel tersebut dengan

benar meskipun siswa tersebut tidak menuliskan pemisalan

variabel di awal pengerjaan.

c) Lembar pekerjaan siswa 3 pada latihan soal nomor 1


108






a. Siswa menuliskan 3750 𝑚2 ≤ 300(𝑥5𝑚2 + 𝑦15𝑚2).

b. Siswa menuliskan pertidaksamaan 𝑥(5𝑚2) + 𝑦(15𝑚2) ≤

3750𝑚2.

c. Siswa menuliskan pertidaksamaan 𝑠 + 𝑏 ≤ 300 dan 𝑠 + 3𝑏 ≤

750.

d. Siswa menuliskan alasan penulisan pertidaksamaan 𝑠 + 𝑏 ≤

300 dan 𝑠 + 3𝑏 ≤ 750 adalah karena dari soal tersebut jumlah


109

sedan dan bus maksimal 300 buah dan luas tempat maksimal

3750𝑚2.dengan luas sedan 5𝑚2 dan luas bus (15𝑚2.


a. Siswa mengatakan bahwa ketika ia menuliskan (𝑥5𝑚2 +

𝑦15𝑚2), ia masih terpaku pada pemisalan sebelumnya yang

menggunakan variabel x dan y.

b. Siswa mengatakan bahwa ketika ia menuliskan 3750 𝑚2 ≤

300, ia beranggapan bahwa lahan seluas 3750 𝑚2 harus cukup

untuk 300 kendaraan. Oleh sebab itu ia menggunakan tanda

‘≤’.

c. Lalu kemudian siswa menuliskan pertidaksamaan 𝑠 + 𝑏 ≤

300 dan 𝑠 + 3𝑏 ≤ 750 adalah karena mendengarkan jawaban

teman sebelahnya ketika berdiskusi.

d. Siswa mengatakan ia memahami syarat-syarat yang ada pada

soal hanya saja ia masih kebingungan menuliskannya ke dalam

kalimat matematika.

3) Kesimpulan hasil perkerjaan siswa dan wawancara

Siswa sebenarnya mengerti kendala-kendala yang ada pada soal,

namun ia belum mampu mengidentifikasi bahwa terdapat 2

kendala pada soal tersebut sehingga siswa menuliskan kendala-

kendala tersebut pada 1 pertidaksamaan. Siswa juga tidak


110

memisalkan variabel-variabel terlebih dahulu. Hal ini membuat

siswa yang tadinya menggunakan variabel x dan y lalu jadi

menggunakan variabel s dan b. Meskipun siswa mengatakan

bahwa ia meniru jawaban temannya, namun apabila siswa tersebut

mengetahui makna pemisalan variabel tersebut, mungkin siswa

tersebut tidak akan menuliskan variabel s dan b dan akan tetap

konsisten pada variabel x dan y yang telah ia gunakan sebelumnya.

d) Lembar pekerjaan siswa 4 pada latihan soal nomor 2






a. Siswa memisalkan 𝑥 + 𝑦 = 250000 dengan x = seragam dan


111

y =buku

b. Siswa menuliskan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 < 250000 dengan

menuliskan alasannya karena ada kembalian.


a. Siswa mengatakan bahwa dengan memisalkan x sebagai

seragam dan y sebagai buku sudah dapat merepresentasikan

pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 = 250000 (seragam ditambah buku

sama dengan 250000).

b. Siswa mengatakan bahwa ia menuliskan 𝑥 + 𝑦 = 250000

karena tidak memperhatikan kondisi bahwa ada 2 seragam dan

3 buku yang dibeli. Ia beranggapan bahwa pada kalimat

tersebut Sasa membeli seragam dan buku menghabiskan

Rp.250.000.

c. Siswa mengatakan bahwa ia menuliskan 2𝑥 + 3𝑦 < 250000

karena Sasa membeli 2 seragam dan 3 buku dengan uang Rp.

250000,- dan masih mendapatkan uang kembalian.

3) Kesimpulan hasil pekerjaan siswa dan wawancara

Siswa tidak memahami kalimat matematika yang dituliskannya. Ia

juga tidak teliti dalam membaca soal. Ia menuliskan kalimat

matematika berdasarkan ‘kebiasaan’ tanpa memaknainya. Selain

itu siswa juga melakukan kesalahan dalam memisalkan variabel


112

xdan y, ia tidak dapat mampu merepresentasikan x sebagai harga

seragam dan y sebagai harga buku. Meski begitu siswa ini

memahami digunakannya tanda pertidaksamaan ‘<’ yaitu karena

uang Rp. 250000,- yang dibayarkan Sasa ke toko tersebut masih

mendapatkan kembalian maka pasti harga seragam dan harga buku

tersebut adalah kurang dari Rp 250000,-

e) Lembar pekerjaan siswa 5 pada latihan soal nomor 2






a. Siswa memisalkan x sebagai harga seragam dan y sebagai

harga buku.


113

b. Siswa menuliskan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 < 250000 dan

diberi keterangan bahwa 2 adalah jumlah seragam yang dibeli,

3 adalah jumlah buku yang dibeli, dan tanda ‘<’ diberi

keterangan ‘masih mendapatkan uang kembali’.


a. Siswa mengatakan bahwa ia memisalkan x sebagai harga

seragam dan y sebagai harga buku adalah karena Rp. 250000,-

adalah harga yang dibayarkan.

b. Siswa mengatakan ia menggunakan tanda ‘<’ adalah karena

Sasa masih mendapatkan uang kembalian sehingga tidak

mungkin harga seragam dan baju yang dibeli lebih dari atau

sama dengan Rp.250000,-.


Siswa mengetahui dan memahami dengan tepat kalimat

matematika yang ia tulis. Ia juga sudah dengan tepat

mengungkapkan alasan penggunaan tanda ‘<’.

f) Lembar pekerjaan siswa 6 pada latihan soal nomor 2


114

Gambar 4.8 Lembar pekerjaan siswa 5 pada latihan 1 nomor 2

Deskripsi pekerjaan siswa




a. Siswa memisalkan x sebagai banyaknya seragam dan y sebagai

banyaknya buku.

b. Siswa menuliskan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 250000.


a. Siswa mengatakan bahwa ia memisalkan x sebagai banyaknya

seragam dan y sebagai banyaknya buku karena tadi guru

mengatakan bahwa dalam memisalkan jangan sampai lupakata

‘banyaknya’.

b. Siswa menuliskan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 250000 karena

mencontoh latihan soal pada nomor sebelumnya.



115

Siswa menuliskan kalimat matematika hanya berdasarkan cara

pengerjaan soal sebelumnya. Ia tidak memaknai alasan-alasan

digunakannya variabel dan simbol pertidaksamaan. Siswa ini

belum mampu untuk mengubah masalah ke dalam sebuah

pertidaksamaan linear 2 variabel.

c) Penggunaan kontribusi siswa

Kontribusi siswa terlihat saat siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan

dari guru yang berusaha memancing munculnya penggunaan kata

‘banyaknya’ atau ‘jumlah’.

d) Interaktivitas

Interaktivitas muncul karena terjadinya interaksi yang kondusif antara

guru siswa. Dalam pembelajaran tersebut terlihat bahwa semua siswa

ikut memikirkan jawaban dari pertanyaan-pertanyaan yang diberikan

oleh guru.

Gambar 4.9 Guru membimbing siswa dalam memodelkan masalah


116

Gambar 4.10Siswa memodelkan masalah matematika

Refleksi pembelajaran uji coba pertama

Refleksi dari guru sekaligus peneliti dalam pembelajaran uji coba

pertama adalah :

a. Perlu pertanyaan topangan yang lebih kuat untuk merangsang

pengetahuan siswa tentang pemisalan variabel karena siswa sangat

kesulitan untuk memunculkan kata ‘banyaknya’ atau ‘jumlah’ pada

saat memisalkan variabel.

b. Pertanyaan topangan yang dituliskan oleh peneliti pada latihan soal

1 dan 2 ternyata dapat disampaikan secara lisan dengan lebih

sederhana sehingga siswa tidak perlu menuliskan kemungkinan-

kemungkinan banyaknya sedan dan mobil serta kemungkinan

harga seragam dan harga buku pada tabel.


117

c. Pengerjaan latihan soal secara mandiri ternyata kurang efektif

dikarenakan siswa akan tetap berkelompok dan guru kesulitan

untuk menjangkau seluruh siswa apabila pengerjaan dilakukan

secara individu. Hal ini juga menyebabkan banyaknya pekerjaan

siswa yang sama persis namun mereka tidak memahaminya.

d. Terdapat 15 siswa yang masih belum dapat memisalkan variabel

dengan tepat.

2. Pembelajaran uji coba kedua

Pembelajaran uji coba kedua dilaksanakan pada hari Senin 27 Agustus

2018 pada pukul 08.30 sampai 09.15 dilanjutkan pukul 19.30 sampai

10.15. Uji coba dilaksanakan di kelas XI.IPS 2. Tujuan pembelajaran pada

pertemuan kedua adalah penggunaan aplikasi Kahoot! untuk mengevaluasi

kemampuan siswa dalam mengubah masalah program linear 2 variabel ke

dalam pertidaksamaan linear 2 variabel. Tujuan kedua adalah agar siswa

mampu menggambar grafik pertidaksamaan linear 2 variabel ke dalam

diagram Cartesius. Berikut ini merupakan karakteristik PMR yang muncul

dalam pembelajaran kedua:


Konteks yang digunakan pada pertemuan kedua melanjutkan

pada penggunaan konteks yang digunakan pada pertemuan pertama.

Masalah yang ada pada pertemuan pertama adalah siswa diminta

untuk mengubah masalah program linear menjadi suatu


118

pertidaksamaan linear 2 variabel, selanjutnya pada pertemuan ini guru

meminta siswa untuk menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Selain itu

masalah-masalah yang disajikan pada kuis di aplikasi

Kahoot!(lampiran 3) juga merupakan masalah realistik yang dapat

dengan mudah dibayangkan oleh siswa. Dari permasalahan-

permasalahan tersebut siswa diminta untuk mengubah masalah

program linear ke dalam bentuk pertidaksamaan linear 2 variabel.

b) Penggunaan model

Model yang digunakan pada pertemuan ini terlihat pada

pekerjaan-pekerjaan siswa saat menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 dan

grafik pertidaksamaan linear 2 variabel yang didapatkan dari

penyelesaian latihan 1 pada pertemuan sebelumnya. Berikut ini

merupakan beberapa pekerjaan siswa yang menggunakan model

untuk menyelesaikan masalah pada pertemuan kedua :


119

Gambar 4.11Contoh pekerjaan siswa pada pertemuan 2

Dari pekerjaan siswa di atas, terlihat bahwa dalam menggambar

grafik pertidaksamaan linear 2 variabel 𝑥 + 𝑦 ≥ 20, siswa mencari

titik potong grafik terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y terlebih

dahulu. Setelah itu siswa mengambil sample titik (1,1) untuk

disubstutiusi ke pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 dan didapatkan bahwa

1 + 1 ≥ 20 bernilai salah. Pada pembelajaran sudah disepakati bahwa

daerah yang tidak diarsir merupakan daerah penyelesaian sehingga

siswa mengarsir bagian bawah grafik.

Grafik daerah penyelesaian yang dibuat siswa ini merupakan

model yang digunakan siswa dalam merepresentasikan pertidaksamaan

linear 2 variabel 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Sehingga dari proses pembuatan grafik

ini siswa dapat memvisualkan atau menuangkan 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 ke dalam

bentuk lain. Berikut ini merupakan pekerjaan siswa lain dalam

menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 :


120

Gambar 4.12Pekerjaan siswa pada pertemuan 2

Dari pekerjaan siswa di atas, terlihat bahwa yang dilakukan siswa

adalah mencari titik potonggrafik terhadap sumbu x dan sumbu y

terlebih dahulu selanjutnya ia menggambar grafik dan mengambil titik

(5,5) yang ada di bawah grafik untuk diuji ke 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Selanjutnya

didapatkan bahwa 5 + 5 ≥ 20 adalah bernilai salah sehingga daerah

yang diarsir adalah daerah yang ada pada bagian bawah grafik.

Dari 2 pekerjaan siswa di atas, siswa pertama menguji daerah

penyelesaian menggunakan titik (1,1) dan siswa kedua menguji daerah

penyelesaian dengan mengambil titik (5,5). Guru membebaskan siswa

menggunakan titik apapun dalam menguji daerah penyelesaian. Dari

kedua pekerjaan di atas terlihat bahwa siswa sudah mampu

menyajikan bentuk 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 ke dalam suatu gambar atau grafik

dalam diagram Cartesius.


121


Kontribusi siswa didapatkan saat siswa mengontruksi

pengetahuannya sendiri untuk menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20.

Berikut ini merupakan cuplikan transkrip pembelajaran saat guru

bersama siswa membahas cara menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 :

G : “Kalian masih ingat permasalahan Ibu dan kue kemarin?”

S : “Lupa Bu kan kertasnya dikumpul.”

G : “Ini saya tampilkan lagi masalahnya…kemarin kalimat

matematikanya apa?”

(suara ricuh siswa saling bersautan)

G : “Apa kalimat matematikanya kemarin?”

S : “𝑥 + 𝑦 ≥ 20"

G : “Oke trimakasih. Semuanya sudah ingat?”

S : “ingat Bu.”

G : “Sekarang bagaimana kalau 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 digambar pada

diagram Cartesius?”

(Siswa lupa apa yang dimaksud diagram Cartesius, lalu guru

menggambarkan diagram Cartesius)

G : “Oke sekarang kalau grafik 𝑥 + 𝑦 = 20 aja dulu lah ini

gimana?

S: “O iya ini udah pernah waktu SMP Bu, tapi sekarang lupa.”

G: “Wah kok lupa. Kira-kira nanti ini 𝑥 + 𝑦 = 20 kalau

digambar bentuknya apa?

(Siswa tidak menjawab)

G: “Kemarin yang dimaksud linear itu apa masih inget engga?”

S : “Lurus Bu.”

G : “Nah kalo lurus berarti 𝑥 + 𝑦 = 20 bentuknya apa?”

S : “Garis lurus Bu.”

G: “Kalau garis kan pasti lurus kan ya?”

G : “Kemarin kalau persamaannya kuadrat bentuk grafiknya

apa?”

S : “Parabola Bu.”

G : “Oke baik, sekarang kalau mau menggambar sebuah garis

kita butuh berapa titik?”

S : “1 Bu.”

G : “Satu? (sambil menggambarkan 1 titik di papan tulis) kalau

satu begini bisa kita menggambar garis?


122

S : “Tidak.”

G :”Berarti berapa?”

S : “Dua.”

S : “Tiga.”

G : “Yak kita butuh 2 titik. 3 titik engga salah tapi kalau 2 titik

aja sudah bisa tergambar belum garisnya?”

S : “Sudah Bu.”

G : “Nah sekarang titiknya apa saja yang buat bikin garis ini?”

(Siswa kesulitan menjawab)

G : “Perhatikan 𝑥 + 𝑦 = 20, ini x nya sama y nya bisa diisi apa

supaya nanti hasilnya = 20 ?”

(Siswa saling bersahutan menjawab)

S : “10 10 Bu.”

G : “Oke 10 10 bisa, tapi apakah hanya 10 10?”

(Selanjutnya siswa melanjutkan dengan menjawab titik-titik lain

selain (10,10)

Dari transkrip pembelajaran di atas, terlihat bahwa siswa berkontribusi

dalam mengonstruksi pengetahuannya mengenai cara menentukan titik-

titik untuk menggambar grafik pertidaksamaan linear 2 variabel. Guru

memberikan pertanyaan-pertanyaan topangan yang sebelumnya sudah

dibuat untuk mengantisipasi kesulitan-kesulitan siswa. Adapun

pertanyaan topangan tersebut sudah disusun dalam HLT.

d) Interaktivitas

Interaktivitas pada pertemuan 2 terlihat saat siswa berkompetisi

dalam kuis menggunakan aplikasi Kahoot!. Pada kuis tersebut siswa

secara berkelompok maupun individual menyelesaikan soal-soal yang

ada pada kuis terkait mengubah masalah nyata yang berkaitan dengan

program linear ke dalam bentuk suatu pertidaksamaan linear 2

variabel. Untuk melaksanakan kuis menggunakan Kahoot!, siswa


123

diminta untuk masuk ke website kahoot.it lalu siswa memasukkan pin

yang sudah diberikan guru, setelah berhasil memasukkan pin, siswa

menuliskan namanya atau nama kelompoknya, jika nama siswa sudah

muncul di layar berarti siswa tersebut sudah dapat mengikuti kuis

dalam Kahoot!. Adapun soal-soal kuis sudah terlampir dalam

lampiran.

Dalam mengerjakan kuis, siswa terlihat senang dan antusias.

Berikut ini adalah beberapa gambar saat siswa melaksanakan kuis :

Gambar 4.13Siswa mengikuti kuis dengan aplikasi Kahoot!

Gambar 4.14 Siswa mengikuti kuis dengan aplikasi Kahoot!


124

e) Keterkaitan

Karakteristik ‘keterkaitan’ terlihat saat pengerjaan soal yang

meminta siswa untuk menggambar grafik dari masalah ‘Ibu dan kue’

pada pertemuan 1. Dari masalah tersebut, siswa diminta untuk

menentukan daerah penyelesaian. Merujuk pada gambar 4.11 dan

gambar 4.12 di sana terlihat dalam menggambar daerah penyelesaian

grafik pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≥ 20, siswa mencari titik potong 𝑥 +

𝑦 ≥ 20 terhadap sumbu x dan sumbu y dimana disitu siswa

menerapkan metode substitusi, persamaan linear 2 variabel, dan uji

titik. Dalam menguji titik pada 𝑥 + 𝑦 ≥ 20, siswa harus berlogika

bahwa titik yang diujinya ada di bawah atau di atas garis, setelah itu

siswa memutuskan daerah mana yang harus diarsir.

Pada pekerjaan siswa pada gambar 4.11, siswa tersebut

mengambil titik (1,1) untuk diuji pada 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 sehingga

didapatkan 2 ≥ 20 bernilai salah. Sehingga daerah yang memuat titik

(1,1) bukan merupakan daerah penyelesaian. Perjanjian yang dibuat

dalam mengarsir daerah penyelesaian adalah yang diarsir adalah yang

bukan daerah penyelesaian. Sehingga siswa tersebut mengarsir daerah

di bawah grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Pada pekerjaan siswa pada gambar 4.12

siswa tersebut mengambil titik (5,5) lalu didapatkan 10 ≥ 20(bernilai


125

salah) sehingga daerah yang memuat titik (5,5) merupakan daerah

yang diarsir.

Refleksi dari pembelajaran uji coba kedua :

Pada pertemuan kedua seharusnya siswa juga menggambar

daerah penyelesaian yang ada pada latihan 1, namun ternyata waktu

yang ada tidak cukup karena banyak terpakai untuk persiapan kuis,

misalnya saat siswa membagi handphone, kecepatan internet siswa

yang tidak sama, dan pembagian kelompok karena terdapat siswa yang

tidak membawa hand phone atau saat itu sedang tidak memiliki kuota

internet. Saat di tengah-tengah kuis terdapat juga kendala aplikasi

tersebut log out dengan sendirinya sehingga siswa tidak dapat

melanjutkan kuis. Untuk pembelajaran selanjutnya hendaknya guru

memperhatikan alokasi waktu sehingga siswa tidak kehilangan

kesempatan untuk berlatih soal dan pembelajaran tetap berjalan sesuai

dengan HLT.

Selain itu kuis menjadi kurang bermakna karena ketika siswa

tidak dapat memodelkan atau mengubah masalah yang berkaitan

dengan program linear ke dalam suatu pertidaksamaan linear 2

variabel, maka dari nomor 1 sampai 15 siswa juga akan terus tidak

dapat mengerjakan soal tersebut. Maka untuk kuis selanjutnya

seharusnya guru membahas penyelesaian tiap jenis soal setelah siswa

menyelesaikan masalah dan memilih jawaban.


126

3. Pembelajaran uji coba ketiga

Pembelajaran uji coba ketiga dilaksanakan pada hari Rabu, 29

Agustus 2018. Tujuan pembelajaran pada pertemuan ini adalah

penggunaan aplikasi Kahoot! sebagai kuis dengan topik menggambar

grafik pertidaksamaan linear 2 variabel dan agar siswa dapat

menyelesaikan permasalahan program linear menggunakan metode garis

selidik. Berikut ini merupakan karakteristik PMR yang muncul dalam

pembelajaran uji coba ketiga :


Konteks yang digunakan dalam pertemuan ini adalah masalah

“petani dan pupuk” sebagai berikut :


sebanyak 20 kg, 18 kg, dan 12 kg untuk memupuk kebun sayurnya.

Pupuk cair setiap kantong mengandung zat kimia A, B, dan C

berturut-turut 1 kg, 2 kg, dan 3 kg. Pupuk kering setiap kantong

mengandung zat kimia A, B, dan C berturut-turut 5 kg, 3 kg, dan 1 kg.

Apabila satu kantong pupuk cair harganya Rp1000,00 dan satu

kantong pupuk kering Rp1.500,00, berapa kantong pupuk cair dan

berapa kantong pupuk kering harus ia beli agar harganya paling murah

dan tetap memenuhi keperluan?”

Dari masalah di atas siswa diminta untuk menentukan banyaknya

kantong pupuk cair dan pupuk kering yang garus petani tersebut beli

agar harganya paling murah dan tetap memenuhi keperluan.

Permasalahan di atas dianggap masalah yang dapat dibayangkan oleh

siswa.


127

b) Penggunaan model

Dalam menyelesaikan permasalahan pada pembelajaran uji

coba ketiga, guru meminta siswa untuk memodelkan masalah tersebut

ke dalam kalimat matematika. Selanjutnya guru meminta siswa untuk

mengidentifikasi model-model matematika tersebut mana yang

merupakan fungsi kendala, fungsi tujuan, dan apa yang akan

dioptimumkan. Berikut ini merupakan salah satu model matematika

yang disusun oleh siswa :


128

Gambar 4.15 Contoh pekerjaan siswa saat memodelkan masalah

pada pertemuan 3

Dari pekerjaan siswa di atas terlihat bahwa siswa

mengidentifikasi terlebih dahulu hal-hal yang diketahui lalu ia

menuliskannya dalam sebuah tabel. Siswa mengatakan bahwa cara

seperti itu ia dapatkan karena melihat buku namun siswa tersebut

mengatakan bahwa menuliskan hal-hal yang diketahui di tabel

memudahkannya dalam membuat fungsi kendala. Siswa mengalami


129

kesalahan dalam menuliskan tanda pertidaksamaan, seharusnya tanda

pertidaksamaan yang digunakan adalah “≥”.

Gambar 4.16Contoh pekerjaan siswa saat memodelkan masalah

pada pertemuan 3

Dari pekerjaan siswa di atas terlihat bahwa siswa memodelkan

masalah ke dalam sistem persamaan linear 3 variabel. Ia memisalkan x

sebagai zat kimia A, y sebagai zat kimia B, z sebagai zat kimia C. Dari

situ siswa tersebut memodelkan masalah tersebut menjadi

20𝑥 + 18𝑦 + 12𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 05𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0

yang mana apabila sistem persamaan tersebut

diartikan dalam bahasa sehari-hari menjadi tidak bermakna. Siswa ini

juga menyusun fungsi objektif menjadi 1000𝑥 + 1500𝑦 = 0. Melalui

percakapan antara guru dengan siswa (saat guru berkeliling kelas),

siswa tidak dapat menjelaskan fungsi objektif yang ia susun. Siswa

tersebut mengatakan bahwa ia memodelkan masalah tersebut


130

mengikuti cara-cara saat ia memodelkan masalah ke dalam suatu

sistem persamaan linear sewaktu SMP.

Dari pekerjaan siswa tersebut, terlihat bahwa siswa mengubah

masalah ke dalam kalimat matematika, namun siswa tidak

menyesuaikan dengan konteks yang ada sehingga model yang ia

hasilkan menjadi tidak bermakna. Siswa tersebut hanya mengikuti

teknik yang sudah ada. Ia juga tidak menggunakan tanda

pertidaksamaan karena tidak memahami masalah tersebut

Gambar 4.17Contoh pekerjaan siswa saat memodelkan masalah

pada pertemuan 3

Dari pekerjaan siswa di atas, terlihat bahwa siswa

mengidentifikasi hal-hal yang diketahui pada soal. Lalu dari situ,

siswa memodelkan masalah menjadi

𝑥 + 5𝑦 ≤ 202𝑥 + 3𝑦 ≤ 183𝑥 + 𝑦 ≤ 12

. Siswa mengalami

kesalahan dalam meggunakan tanda pertidaksamaan. Seharusnya tanda


131

yang digunakan adalah ‘≥’, namun siswa menggunakan ‘≤’. Siswa

tidak menuliskan syarat kenonnegatifan. Selanjutnya siswa menyusun

fungsi objektif namun kurang tepat. Melalui percakapan saat guru

berkeliling di kelas, siswa sudah memahami maksud dari fungsi

objektif yang ia susun meskipun dalam penulisannya siswa ini

mengalami kesalahan.

Selanjutnya penggunaan model muncul saat siswa menggambar

daerah penyelesaian. Siswa mengubah fungsi kendala dan fungsi

objektif ke dalam diagram Cartesius. Siswa banyak mengalami

kebingungan karena selama ini yang siswa lakukan adalah

menggambar 1 grafik dalam 1 diagram Cartesius. Sedangkan kali ini

siswa harus menggambar 3 persamaan fungsi kendala, syarat

kenonnegatifan, dan fungsi tujuan dalam 1 diagram Cartesius. Berikut

ini merupakan contoh pekerjaan siswa dalam menggambar model

matematika pada masalah pada pertemuan ketiga :


132

Gambar 4.18 Contoh pekerjaan siswa saat menggambar daerah

penyelesaian pada pertemuan 3

Pada pekerjaan siswa di atas terlihat bahwa siswa tidak tepat

dalam menggambar daerah penyelesaian karena model fungsi kendala

yang dibuat juga salah. Namun siswa tepat dalam menggambarkan

grafik jika didasarkan pada fungsi kendala yang ada.


Kontribusi siswa digunakan saat guru mengonstruksi

pengetahuan siswa untuk menyelesaikan permasalahan tersebut

menggunakan garis selidik. Soal diselesaikan secara berpasangan.

Guru membimbing siswa dengan berkeliling di kelas. Hal tersebut

dapat dilihat dari cuplikan transkrip pembelajaran berikut ini :


133

G : (Sebelumnya guru sudah meminta siswa untuk

memodelkan masalah program linear yang diberikan)

G : “Bagaimana model matematika yang kalian dapatkan?”

S : “

𝑥 + 5𝑦 ≤ 202𝑥 + 3𝑦 ≤ 183𝑥 + 𝑦 ≤ 12

”

(Lalu guru menuliskan jawaban ini di papan tulis)

G : “Kenapa kok tandanya ‘≤’?”

S :“ Soalnya kan zat A butuhnya 20 kg, zat B butuhnya 18

kg, dan zat C butuhnya 12 kg.”

G : “Ok sebentar itu tadi x y nya dimisalin apa dulu?”

S : “x nya pupuk cair trus y nya pupuk kering.”

G : “Maksudnya jumlah pupuk cair sama jumlah pupuk

kering ya, jangan lupa lho.”

G : “Oke lanjut, jadi kalo yang pertama 𝑥 + 5𝑦 ≤ 20 ini kalo

diubah ke kalimat sehari-hari gimana?”

(siswa tidak mampu menjawab)

G : “Ya tadi x sama y nya apa berarti, karena kita lihatnya ini

dari sisi kebutuhan zat A maka bacanya gimana?”

(siswa tidak mampu menjawab)

G : ‘Bacanya jumlah zat A pada pupuk cair ditambah dengan

jumlah zat A pada pupuk kering kurang dari atau sama

dengan 20. Gitu.”

G : “Padahal tadi petani perlunya 20, berarti mencukupi

enggak kalo nanti jumlah zat A dari 2 pupuk itu kurang

dari 20?”

S : “Tidak.”

G : “Jadi harusnya pakai tanda apa?”

S : “sama dengan Bu.”

G : “Kenapa kok ‘sama dengan’?”

S : “Soalnya butuhnya 20.”

G : “Kalo misalnya lebih gitu boleh ngga?”

(Siswa tidak menjawab)

S : “Boleh Bu.”

G : “Jadinya tandanya apa?’

S : “ Oh ≥ ya Bu?’

G : “Yang lain sudah pada tahu ini dapatnya dari mana?”

(Sebagian siswa menjawab)

S : “Tau.”

Dari cuplikan transkrip pembelajaran di atas, terlihat bahwa siswa

ternyata masih kesulitan dalam menentukan tanda pertidaksamaan. Saat


134

guru berkeliling kelas, didapatkan bahwa sebagian besar masih salah

dalam memodelkan fungsi kendala. Guru membahas penyusunan fungsi

kendala ini ke depan kelas, agar siswa mengonstruksi pengetahuannya

sendiri dalam menggunakan tanda pertidaksamaan ≤ atau ≥. Saat guru

membahas mengenai pemodelan fungsi kendala ini, terlihat guru terlalu

mendominasi penjelasan sehingga siswa kurang diberikan kesempatan

untuk mengonstruksi pengetahuannya sendiri. Selanjutnya guru

melanjutkan dengan membahas syarat kenonnegatifan dan penyusunan

fungsi objektif seperti pada cuplikan transkrip pembelajaran berikut ini :

G : “Selain ini ada apa lagi modelnya?”

S : “𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. "

G : “Oke kenapa kok 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0?’

S : “Soalnya pupuknya tidak mungkin minus.”

G : “Pupuknya atau jumlah pupuknya?”

S : “Iya maksudnya jumlah pupuknya Bu.”

G : “Jangan lupa menggunakan kata ‘jumlah’ ya?”

Dari cuplikan transkrip di atas terlihat bahwa siswa sudah memahami arti

dari syarat kenonnegatifan. Siswa hanya mengalami memngalami

kesalahan dalam mengartikan syarat kenonnegatifan tersebut. Selanjutnya

guru membahas tentang fumgsi objektif seperti berikut ini :

G : “Fungsi tujuannya apa? Dia tujuannya apa disini?”

S : “Mendapatkan harga pupuk minimum dan memenuhi

kebutuhan.”

G : “Nah berarti fungsi tujuannya apa?”

S : “1000𝑥 + 1500𝑦”

G : “Gimana itu nulisnya?”

S : “f(x,y)”

G : “Iya nulisnya f(x,y) karena fungsi tujuan ini ditulisnya

dalam x dan y ya, jadi di dalam fungsi ini terdapat 2


135

variabel yaitu x dan y.”

S : “Kalo Z Bu?”

G : “Nah kalo itu ditulis z karena z itu melambangkan

konstanta, soalnya nanti ada saatnya fungsi tujuan itu

kita isi nilainya sama konstanta-konstanta…itu nanti.

Makanya kita nulisnya fungsi tujuannya 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧 =

1000𝑥 + 1500𝑦”

(Guru menuliskan fungsi tujuan di papan tulis)

Dari cuplikan transkrip di atas, terlihat bahwa siswa sudah dapat

menuliskan fungsi tujuan, namun berdasarkan observasi, hal itu karena

siswa sudah mendapatkan bimbingan dari guru sewaktu guru berkeliling

kelas. Seharusnya guru memberikan pertanyaan topangan seperti yang

sudah dituliskan dalam HLT, yaitu guru menanyakan apa yang

dioptimumkan, namun dalam pembelajaran ini guru justru langsung

menanyakan apa fungsi tujuannya. Siswa menjadi kurang dapat

mengonstruksi pengetahuannya sendiri untuk menyusun fungsi tujuan.

Selanjutnya guru bersama siswa mengidentifikasi model yang sudah

siswa susun manakah yang termasuk fungsi kendala dan mana yang

termasuk fungsi objektif seperti pada cuplikan transkrip pembelajaran

berikut ini :

G : “Oke lanjut ya, jadi yang ini tu

(merujuk pada

𝑥 + 5𝑦 ≤ 202𝑥 + 3𝑦 ≤ 183𝑥 + 𝑦 ≤ 12

) dinamakan fungsi

kendala, karena kita membuat fungsi ini berdasarkan

syarat-syarat atau kendala-kendala yang ada pada soal.

Coba itu apa aja kendalanya yang di soal?”

S : (Siswa membacakan soalnya)

G : “Iya jadi kondisi apa yang membatasi fungsi-fungsi ini.”


136

S : “Kebutuhan pupuk petani.”

G : “Betul, disitu kebutuhan pupuk petaninya berapa?”

S : “Zat kimia A, B, dan C berturut-turut sebanyak 20 kg, 18

kg, dan 12 kg.”

G : “Iya betul jadi gimana kendalanya kalau dari dari

keperluan zat kimianya?”

S : “Kendalanya zat kimianya harus sama dengan..”

G : “Kok masih sama dengan? Kan barusan dibahas.”

S : “Iya maksudnya harus lebih dari..”

G : “Oke jadi ini fungsi kendala adalah fungsi-fungsi yang

merepresentasikan kendala-kendala atau syarat-syarat

yang ada pada masalah tersebut.”

G : “Terus berarti mana lagi yang termasuk fungsi kendala?”

S : “2𝑥 + 3𝑦 ≤ 183𝑥 + 𝑦 ≤ 12

””

G : “Oke terus apalagi?”

S : “Yang ini kan tujuan ya Bu?” (merujuk pada fungsi

tujuan)

G : “Iya yang itu tujuan, kalo yang kendala masih ada

engga?”

S : “Kalo yang 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 iya nggak Bu?”

G : “Ya gimana itu kondisinya membatasi enggak?”

S : “Membatasi.”

G : “Gimana membatasinya?”

S : “x dan y nya tidak boleh negatif.”

G : “Oke baik, sekarang fungsi tujuannya mana?”

S : “𝑓(𝑥, 𝑦) = 1000𝑥 + 1500𝑦”

G : “Ya betul, kenapa kok itu namanya fungsi tujuan?”

S : “Karena tujuannya harganya.”

G : “Ya karena petaninya minta agar harga pupuknya

minimum jadi tujuannya adalah bagaimana agar harga

pupuk minimum, makanya fungsi tujuannya pakai

harga.”

G : “Oke sekarang kalian lanjutkan dengan menggambar

grafik dari fungsi kendala.”

Dari cuplikan transkrip di atas, terlihat bahwa siswa tidak

kesulitan dalam mengidentifikasi fungsi kendala dan fungsi objektif

dari model matematika. Siswa mampu mengonstruksi pengetahuannya

tentang fungsi kendala dan fungsi objektif. Hanya saja dalam proses


137

pembelajaran ini guru terlalu mendominasi. Hal ini terlihat saat guru

menjelaskan hal-hal yang seharusnya dipikirkan sendiri oleh siswa

seperti pengertian fungsi kendala dan fungsi objektif, dan mengapa

suatu fungsi dinamakan fungsi kendala atau fungsi objektif.

Seharusnya guru memberikan pertanyaan-pertanyaan topangan seperti

yang telah disusun dalam HLT, namun kenyataannya guru justru

mendominasi pembelajaran. Selanjutnya pembelajaran dilanjutkan

dengan siswa menggambar daerah penyelesaian dan menentukan titik

peminimum fungsi objektif. Berikut ini merupakan transkrip

pembelajaran saat guru mengontruksi pengetahuan siswa untuk

menggunakan garis selidik :

G : “Oke tadi kan tujuannya kita akan meminimumkan harga beli

pupuk ya…Jadi sekarang kita butuh grafik fungsi tujuannya

dulu. Sekarang kita gambar grafik fungsi tujuan dulu.”

G : “Gimana bisa ga grafik 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1000𝑥 + 1500𝑦

digambar?”

G : “Sekarang kalian masukkan nilai suatu konstanta agar grafik

ini bisa digambar.”

Siswa kesulitan dalam menentukan nilai z. Lalu guru memberikan

pertanyaan-pertanyaan topangan.

G : “Kalian cari konstanta berapa aja supaya kalo dicari titiknya

gampang, gimana?”

(Siswa masih kesulitan dalam menentukan konstanta)

G : “Kalo misal ini sama dengan 6, brarti titik-titik potongnya

apa?”

S : “(0,2) dan (3,0)”

G : “Sekarang coba kalian cari titik lain.”


138

Dari cuplikan transkrip pembelajaran di atas, terlihat bahwa siswa

terlihat pasif dalam menemukan ide menentukan konstanta fungsi

objektif, selanjutnya guru memberikan contoh konstanta yang dapat

digunakan yaitu dengan memasukkan nilai z=6. Selanjutnya siswa

dapat menentukan nilai z=12 dan z=18.

G : “Nah fungsi objektif yang sudah kalian ganti nilai z nya itu

dinamakan garis selidik, gunanya untuk menyelidiki dimana

fungsi objektif itu optimum. Optimum maksudnya bisa

maksimum bisa minimum.

G : “Sekarang coba kalian gambar 2 garis selidik dengan 2 nilai z

yang berbeda.”

Dari transkrip di atas, terlihat bahwa guru bermaksud untuk

menunjukkan arah pergerakkan garis selidik sering dengan bertambah

atau berkurangnya nilai z. Selanjutnya guru membantu siswa untuk

melihat pergerakan garis selidik dengan menggambarkan fungsi

kendala dan garis selidik pada aplikasi Geogebra seperti dapat dilihat

pada gambar di bawah ini :


139

Gambar 4.20Guru menunjukkan grafik fungsi objektif

menggunakan geogebra

Dari gambar di atas terlihat bahwa ternyata garis selidik berimpit

dengan grafik fungsi kendala 2𝑥 + 3𝑦 = 18. Selanjutnya guru

melanjutkan pembelajaran dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan

topangan pada siswa.

G : “Coba kalian amati, garisnya waktu nilai z nya = 6 disini, lalu

waktu diganti z=18 jadi disini. 18 lebih besar atau lebih kecil

dari 6?”

S : “Lebih besar.”

G : “Jadi makin besar nilai z nya garisnya makin ke kanan atau ke

kiri?”

S : “Makin ke kanan Bu.”

G : “Tadi yang dicari harga yang maksimum atau yang

minimum?”

S : “Yang minimum.”

G : “Nah berarti sekarang kalian cari kapan garis selidiknya

memotong fungsi kendala tapi yang minimum.”

(siswa bingung)

G : “Tadi kalo minimum berarti makin ke kiri atau ke kanan?”

S : “Makin ke kiri.”

S : “Berarti motongnya di (0,4) Bu.”

G : “Nah tapi dia motongnya harus di daerah penyelesaian. (0,4)

termasuk daerah penyelesaian enggak?”

S : “Tidak.”

G : “Kalo motongnya pas daerah penyelesaian berarti mana?”

(Siswa tidak dapat menjawab)

G : “Ini kebetulan garis selidiknya berimpit ya sama fungsi

kendalanya. Nah ini berarti dia motongnya di titik A dan B

ini” (Sambil menuliskan titik A dan B)

G : “Berarti yang mana yang minimum?”

G : “Ya berarti ini kalian cek ya, antara titik A sama titik B,

kemana ngeceknya?”

(Siswa tidak dapat menjawab)

G : “Tadi yang mau diminimumkan apanya?”

S : “Harganya.”

G : “ Ya jadi fungsi mana yang ada mengandung informasi

harga?”


140

S : “Fungsi tujuan ya Bu, f(x,y)=1000x+1500y.”

G : “Ya jadi kalian substitusi kesitu.”

Dari cuplikan transkrip pembelajaran di atas, terlihat bahwa

siswa sudah dapat mengonstruksi pengetahuan bahwa semakin

besar nilai z pada garis selidik maka garis selidik makin ke kanan.

Namun ketika guru menanyakan kapan garis selidik memotong

fungsi kendala siswa kebingungan. Siswa kebingungan karena garis

selidik tersebut berimpit dengan fungsi kendala. Guru pun tidak

siap dengan pertanyaan topangan. Ketika didapatkan bahwa garis

selidik berimpit dengan fungsi kendala, guru meminta siswa untuk

menguji titik A dan B ke fungsi objektif. Hal ini membuat rencana

pembelajaran yang sudah dirancang tidak terlaksana seperti

meminta siswa untuk memutuskan titik mana yang lebih minimum

dengan konsep gradien, menyimpulkan bahwa titik-titik yang

dipotong garis selidik merupakan cikal bakal metode penyelesaian

masalah program linear 2 variabel dengan metode uji titik pojok.

d) Interaktivitas

Interaksi yang terjadi pada pertemuan ini adalah antara guru

siswa dan antar siswa. Interaksi antara guru dengan siswa terjadi saat

guru mengonstruksi pengetahuan siswa dalam memodelkan dan

mengidentifikasi fungsi kendala dan fungsi objektif, menggambar

grafik fungsi kendala dan fungsi objektif, dan saat menentukan titik


141

pengoptimum fungsi objektif menggunakan garis selidik. Sedangkan

interaksi antar siswa terjadi saat siswa berpasangan dalam

memodelkan dan menggambar grafik masalah program linear 2

variabel.

Gambar 4.21Guru menjelaskan tentang daerah penyelesain fungsi

kendala

Gambar 4.22Siswa sedang mengungkapkan pendapatnya

e) Keterkaitan


142

Merujuk pada gambar 4.18, terlihat ketika siswa menyelesaikan

soal program linear 2 variabel, siswa mencari titik potong antara

grafik 𝑥 + 5𝑦 = 20 dan 3𝑥 + 𝑦 = 12 dengan metode eliminasi

substitusi. Selain itu dalam menentukan daerah penyelesaian siswa

tersebut juga mensubstitusi titik (0,5) pada masing-masing fungsi

kendala. Dalam menentukan titik pengoptimum siswa tersebut

mencontoh pembahasan yang dilakukan bersama guru sehingga bukan

merupakan idenya sendiri.

Pada pekerjaan siswa pada gambar 4.19 siswa menggunakan

metode subsitusi untuk mencari titik potong grafik 𝑥 + 5𝑦 = 20 dan

3𝑥 + 𝑦 = 12. Siswa tersebut mensubstitusi 𝑥 = −5𝑦 + 20 ke dalam

3𝑥 + 𝑦 = 12. Selanjutnya ia mesubstitusi nilai y yang didapatkan ke

dalam 𝑥 = −5𝑦 + 20 untuk mendapatkan nilai x. Dalam menentukan

titik pengoptimum siswa tersebut mencontoh pembahasan yang

dilakukan bersama guru sehingga bukan merupakan idenya sendiri.

Refleksi pada pembelajaran uji coba ketiga:

Dalam pembelajaran ini, terlihat guru terlalu mendominasi

pembelajaran terutama di saat mengonstuksi pengetahuan siswa saat

menentukan tanda pertidaksamaan pada fungsi kendala,

mengidentifikasi fungsi kendala dan fungsi objektif, dan saat proses

menentukan peminimum fungsi objektif. Padahal guru sudah


143

mempersiapkan pertanyaan-pertanyaan topangan namun guru tidak

mengungkapkan pertanyaan-pertanyaan tersebut. Untuk pembelajaran

selanjutnya seharusnya guru lebih konsisten untuk membelajarkan

sesuai dengan HLT yang telah disusun.

Dalam menentukan garis selidik siswa juga terlihat masih

mengalami kesulitan dalam menggeser garis selidik (dengan

menggunakan 2 penggaris) untuk memotong grafik fungsi kendala.

Siswa kesulitan mendapatkan hasil yang akurat karena skala titik pada

diagram Cartesius yang siswa buat tidak sesuai dan tidak konsisten.

Ketika siswa meminta penjelasan pada guru, mereka seperti tidak

mengerti penjelasan guru namun enggan untuk bertanya lagi

kemungkinan karena mereka menganggap mereka yang tidak bisa

memahami penjelasan. Sehingga dapat dikatakan pada pertemuan

ketiga masih banyak siswa yang kebingungan.

Jika dilihat dari segi alokasi waktu, 1 jam pertama digunakan

untuk melaksanakan kuis dengan aplikasi Kahoot!, lalu 1 jam

berikutnya digunakan untuk melaksanakan pembelajaran mengenai

metode garis selidik. Ternyata 1 jam pelajaran masih kurang karena

siswa masih banyak terkendala dalam memodelkan masalah dan dalam

menggambar grafik sehingga pembahasan mengenai garis selidik

menjadi terburu-buru dan konsentrasi siswa sudah berkurang. Untuk

pembelajaran selanjutnya sebaiknya alokasi waktu untuk kuis dibuat di


144

akhir pembelajaran sehingga sebagian besar energi siswa dapat

digunakan untuk mengonstruksi pengetahuannya tentang metode garis

selidik.

Pada pertemuan ini terlihat bahwa pembelajaran kurang

kondusif karena banyak siswa yang tidak bersemangat untuk belajar.

Mereka mengatakan bahwa materi program linear sudah mulai susah

dan ribet karena mereka kesulitan untuk menentukan titik

pengoptimum fungsi objektif. Dalam latihan soal juga kelas kurang

kondusif karena banyak siswa yang sibuk dengan urusannya masing-

masing. Guru telah menegur siswa namun siswa hanya tenang sebentar

lalu kembali ribut. Pada latihan soal pada pertemuan ini hanya sedikit

siswa (2 pasang) yang aktif dan mengerjakan latihan dengan seksama.

Untuk pembelajaran selanjutnya seharusnya guru lebih tegas dalam

mengelola kelas sehingga tujuan pembelajaran tercapai. Jika dilihat

dari soalnya, menurut pengakuan salah satu siswa, soal ini dianggap

membingungkan dan sulit dibayangkan oleh siswa.

C. Deskripsi Pembelajaran Penelitian

1. Pembelajaran penelitian pertama

Pembelajaran penelitian pertama dilakukan pada hari Kamis 23

Agustus 2018 di kelas XI-IPS 1. Pembelajaran diawali dengan perkenalan

yang dipandu oleh guru mata pelajaran yaitu Ibu Zeny Ernaningsih, S.Pd.

Peneliti memperkenalkan diri dan menyampaikan tujuan peneliti dan


145

tujuan pembelajaran yang akan dilaksanakan selama beberapa pertemuan

ke depan. Selanjutnya pembelajaran dipegang sepenuhnya oleh peneliti

(untuk seterusnya disebut guru). Pada pertemuan pertama ini tujuan

pembelajarannya adalah siswa dapat memodelkan masalah ke dalam

kalimat matematika (persamaan linear 2 variabel). Sebelum memulai

pembelajaran guru menerapkan peraturan yaitu apabila siswa ingin

bertanya, berpendapat, atau menjawab pertanyaan dari guru maka siswa

harus mengangkat tangannya terlebih dahulu. Hal ini dilakukan agar

ketika guru sedang mengajukan masalah secara klasikal, maka suasana

kelas dapat tetap efektif dan kondusif. Berikut ini merupakan karakteristik

PMR yang muncul pada pembelajaran penelitian pertemuan pertama :


Langkah selanjutnya peneliti memberikan pengantar mengenai

apa yang dimaksud dengan program linear. Lalu peneliti mengajukan

sebuah permasalahan pada siswa secara klasikal yang ditampilkan

pada slide yaitu sebagai berikut :


jenis kue yang berbeda dan jumlah 2 kue tersebutsama dengan 20 buah.


Dari permasalahan di atas siswa diminta untuk mengubah

kalimat sehari-hari ke dalam kalimat matematika yaitu ke dalam

persamaan linear 2 variabel. Dengan memberikan permasalahan


146

seperti di atas, maka telah dimunculkan karakteristik pembelajaran

PMR yaitu penggunaan konteks.

b) Penggunaan model

Selanjutnya guru melanjutkan pembelajaran dengan

memberikan permasalahan pertidaksamaan linear 2 variabel pada slide

sebagai berikut :


jenis kue yang berbeda dan jumlahnya paling sedikit 20 buah.


Dari permasalahan yang diberikan oleh guru tersebut ternyata siswa

langsung dapat mengubah kalimat tersebut ke dalam suatu

pertidaksamaan linear 2 variabel, yaitu 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Hal ini terlihat

pada cuplikan transkrip sebagai berikut :

G : “Jadi sekarang kalau masalahnya jumlahnya paling sedikit,

ini tandanya jadi apa?”

S : “Lebih dari.”

G : “Kenapa kok gak kurang dari?”

S4 : “Soalnya kan paling sedikit 20.”

G : “Lebih darinya pake “sama dengan” enggak?”

(Siswa menjawab dengan tidak jelas dan saling bersahutan)

S5 : “Pake.”

G : “Kenapa kok pake?”

S5 : “Soalnya minimal.”

G : “Hmmm…..kalau paling sedikit 20 tu berarti 20 boleh

enggak?”

S : “Boleh.”

G : “Jadi kalau sama dengan 20 boleh enggak?”

S : “Boleh.”

G : “Tapi kalau 21 boleh enggak?”

S : “Boleh.”

G : “Nah itu makanya tandanya bisa ‘lebih dari’ tapi juga


147

bisa‘sama dengan’ makanya jadi ‘lebih dari atau sama

dengan.”

G : “Oke kalo gitu. Yang lain udah mudeng?”

S : “Sudah.”

(Lalu guru berlalu)

Dari cuplikan transkrip di atas terlihat bahwa siswa telah memahami

penggunaan tanda pertidaksamaan. Penggunaan model adalah ketika

guru terlebih dahulu meminta siswa untuk mengubah masalah nyata ke

dalam persamaan linear 2 variabel yang mana siswa sudah lebih

familiar, baru kemudian guru meminta siswa untuk mengubah kalimat

ke dalam suatu pertidaksamaan linear 2 variabel. Sehingga persamaan

;linear 2 variabel 𝑥 + 𝑦 = 20 menjadi model dari pertidaksamaan

linear variabel 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Dalam hal memberi penegasan dan

kesimpulan, guru masih terlalu mendominasi sehingga siswa tidak

memiliki kesempatan untuk menarik kesimpulan sendiri. Seharusnya

guru mempersilakan siswa untuk menarik kesimpulan baru setelah itu

guru memberikan penegasan.

Selanjutnya “penggunaan model” digunakan siswa saat

menyelesaikan permasalahan pada pertemuan 1, guru melanjutkan

pembelajaran dengan memberikan 2 latihan soal yang dikerjakan

secara berpasangan. Dua soal tersebut adalah sebagai berikut

Latihan 1





148

2. Sasa berbelanja peralatan sekolah dan membawa uang Rp

250.000,-. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di

daftar harga sehingga Sasa dapat memperkirakan peralatan sekolah

apa saja yang sanggup ia beli dengan uang yang dibawa.

Berdasarkan daftar harga, jika Sasa membeli 2 seragam dan 3 buku

maka ia masih mendapatkan uang kembalian. Buatlah pemodelan

matematika belanjaan Sasa tersebut

Berikut ini merupakan beberapa penyelesaian yang dilakukan

kelompok. Pemilihan lembar pekerjaan kelompok didasarkan pada

pengklasifikasian jawaban-jawaban yang sejenis.

a) Lembar pekerjaan kelompok 1 pada latihan soal nomor 1

Gambar 4.25Contoh pekerjaan siswa pada latihan 1 soal

pembelajaran penelitian 1

1) Deskripsi hasil pekerjaan kelompok

Dari hasil pekerjaan kelompok di atas, nampak langkah-langkah

pengerjaan yang dilakukan oleh kelompok. Langkah pengerjaan

yang dilakukan adalah sebagai berikut:


149

a. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≤ 300.

b. Kelompok menuliskan alasan bahwa x adalah jumlah sedan

dan y adalah jumlah bus, = adalah parkiran itu dapat ditampung

300 kendaraan.

c. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750.

d. Kelompok menuliskan alasan bahwa 5x adalah luas parkiran

sedan, 15y adalah luas parkiran bus dan ≤ adalah luas parkiran

hanya 3750 m atau kurang dari 3750 m.


a. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≤ 300 karena

jika jumlah sedan ditambahkan dengan jumlah bus maka

jumlahnya hanya boleh 300.

b. Kelompok menuliskan “=” karena kelompok menganggap

bahwa parkiran tersebut hanya dapat menampung sedan dan

bus sebanyak 300.

c. Meskipun yang kelompok maksud adalah seperti pada poin (b)

namun kelompok tersebut tetap menuliskan pertidaksamaan

𝑥 + 𝑦 ≤ 300 karena mencontoh pekerjaan temannya (terdapat

tanda koreksi).

d. Maksud kelompok mengatakan bahwa ia menuliskan 5x

adalah luas parkiran sedan adalah bahwa area parkir 1 sedan


150

adalah seluas 5𝑚2. Kelompok mengatakan bahwa mereka

menuliskan 15y adalah luas parkiran bus karena area parkir 1

bus adalah 15𝑚2.

e. Kelompok mengatakan bahwa mereka menuliskan 3750 m

(bukan 𝑚2) karena kesalahan teknis.

3) Kesimpulan hasil deskripsi pekerjaan kelompok dan wawancara

Kelompok sudah tepat dalam memisalkan variabel x dan y namun

kelompok tidak mengetahui makna penggunaan tanda ‘≤’. Mereka

menganggap bahwa jumlah sedan dan bus yang dapat ditampung

area parkir harus sama dengan 300, ia tidak berpikiran bahwa bisa

saja jumlah sedan dan bus kurang dari 300. Selanjutnya kelompok

sudah tepat dalam memodelkan kendala area parkir dengan alasan

yang sudah tepat.

b) Lembar pekerjaan kelompok 2 pada latihan soal nomor 1


151







a. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≤ 300.

b. Kelompok menuliskan keterangan bahwa x adalah variabel

untuk sedan dan y adalah variabel untuk bus, sedangkan

penggunaan tanda ‘≤’ adalah karena batas maksimal parkir

hanya 300 kendaraan.

c. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 5𝑥 + 15𝑦 ≤ 3750.

d. Kelompok menuliskan 5x karena variabel untuk 5𝑚2 dan 15y

karena variabel untuk 15𝑚2 dan penggunaan tanda ‘≤’ adalah

karena area parkir luasnya hanya 3750 atau kurang dari 3750.


a. Kelompok menganggap bahwa x adalah variabel untuk sedan

(bukan jumlah sedan) dan y adalah variabel untuk bus (bukan

jumlah bus).

b. Pada pemodelan kendala area parkir, kelompok menganggap

bahwa x adalah variabel untuk 5𝑚2 dan y karena variabel

untuk 15𝑚2 karena untuk tiap x lahan parkir yang dibutuhkan


152

adalah 5𝑚2 dan tiap y lahan parkir yang dibutuhkan adalah

15𝑚2.


Kelompok sudah dapat mengubah masalah ke dalam suatu

pertidaksamaan linear 2 variabel dengan tepat, hanya saja dalam

memisalkan variabel siswa tersebut tidak menuliskan kata

“jumlah” atau “banyaknya”. Meski begitu, melalui proses

wawancara kelompok tersebut telah memahami bahwa variabel x

dan y merujuk pada jumlah sedan dan bus.

c) Lembar pekerjaan kelompok 3 pada latihan soal nomor 1







a. Kelompok menuliskan 3750 𝑚2 ≤ 300 𝑥𝑦.


153

b. Kelompok menuliskan bahwa 𝑥 = 5𝑚2 dan 𝑦 = 15𝑚2 lalu

siswa menuliskan x= sedan dan y=bus.

c. Kelompok menuliskan 5𝑥 + 15𝑦 = 300 𝑥𝑦 diberi keterangan :

karena jumlah sedan dan bus untuk memenuhi lahan 3750 𝑚2

adalah 300 kendaraan.

d. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≤ 300 dan 5𝑥 +

15𝑦 ≤ 3750.


a. Kelompok menuliskan 3750 𝑚2 ≤ 300 𝑥𝑦 adalah karena ia

menganggap bahwa 𝑥 = 5𝑚2 dan 𝑦 = 15𝑚2 sehingga jika 300

dikali dengan 5 lalu dikali lagi dengan 15, hasilnya akan lebih

dari 3750.

b. Adapun kelompok menuliskan x=sedan dan y=bus adalah

untuk persamaan 5𝑥 + 15𝑦 = 300 𝑥𝑦. Kelompok mengatakan

bahwa jumlah sedan dan bus (yang ada pada ruas kiri)

bertambah maka ruas kanan juga bertambah.

c. Kelompok menganggap bahwa jumlah sedan dan bus harus

sama dengan 300 dan area parkir sedan dan bus haruslah sama

dengan 3750 𝑚2.


154

d. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≤ 300 dan 5𝑥 +

15𝑦 ≤ 3750 karena melihat jawaban akhir milik kelompok

lain.


Kelompok tidak mampu mengidentifikasi apabila dalam masalah

tersebut terdapat 2 kendala yaitu kendala jumlah kendaraan dan

kendala luas lahan parkir, maka dari itu kelompok tersebut

membuat pertidaksamaan 3750 𝑚2 ≤ 300 𝑥𝑦 dan menuliskan

persamaan 5𝑥 + 15𝑦 = 300 𝑥𝑦. Kelompok juga masih salah

dalam memisalkan variabel x dan y.

d) Lembar pekerjaan kelompok 4 pada latihan soal nomor 1








155

a. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 𝑥 + 𝑦 ≤ 300 dan 5𝑥 +

15𝑦 ≤ 3750.

b. Kelompok memberi keterangan x merupakan jenis 1 kendaraan

sedan, y adalah jenis 2 kendaraan bus. Penggunaan tanda ‘≤’

diberi keterangan karena area parkir hanya dapat ditempati 300

kendaraan atau kurang dari 300 kendaraan.

c. Kelompok memberi keterangan 5x karena luas parkir sedan

5𝑚2, 15y karena luas parkir bus 15𝑚2, penggunaan tanda ‘≤’

diberi keterangan karena area parkir maksimal mempunyai luas

3750 𝑚2 atau kurang dari 3750 𝑚2.


a. Kelompok memberikan keterangan x adalah jenis 1 kendaraan

sedan dan y adalah jenis 2 kendaraan bus karena merujuk pada

latihan soal sebelumnya dimana x merupakan banyaknya kue

jenis 1 dan y merupakan banyaknya kue jenis 2.

b. Kelompok mengatakan bahwa yang mereka maksud dengan

“5x karena luas parkir sedan 5𝑚2, 15y karena luas parkir bus

15𝑚2” adalah untuk 1 sedan luas area parkirnya adalah 5𝑚2

dan untuk 1 bus luas area parkirnya adalah 15𝑚2.



156

Kelompok tersebut sudah dapat mengidentifikasi bahwa terdapat 2

kendala dalam masalah tersebut dan mereka juga telah dapat

menuliskan pertidaksamaan linear 2 variabel dengan tepat. Hanya

saja dalam memisalkan variabel x dan y kelompok tersebut tidak

menyertakan kata “jumlah” atau “banyaknya”. Meskipun

kelompok tersebut tidak tepat dalam menuliskan pemisalan

variabel x dan y, namun ketika dikonfirmasi, mereka telah

memahami bahwa x dan y merujuk pada jumlah sedan dan jumlah

bus.

e) Lembar pekerjaan kelompok 5 pada latihan soal nomor 2

Gambar 4.29Contoh pekerjaan siswa pada latihan 1 nomor 2

soal pembelajaran penelitian 1



157




a. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 <

𝑅𝑝. 250000.

b. Kelompok tidak menuliskan pemisalan variabel x dan y terlebih

dahulu.

c. Kelompok memberikan keterangan bahwa “2” adalah 2 buah

seragam, dan “3’ adalah 3 buah buku, tanda “< " adalah max,

dan “Rp. 250.000” adalah total uang yang dibawa.

d. Kelompok juga memberikan keterangan bahwa Sasa Cuma

bawa 250.000, jadi peralatan sekolah yang dibelinya tidak

boleh melebihi dari jumlah uang yang dibawanya.


a. Kelompok tidak memisalkan x dan y terlebih dahulu, namun

ketika diwawancarai, mereka memisalkan x dan y sebagai

banyaknya seragam dan banyaknya buku.

b. Kelompok memberikan keterangan “max” untuk tanda

pertidaksamaan “<” dan ketika dikonfirmasi oleh guru, ternyata

kelompok menganggap bahwa total harga belanjaan Sasa


158

maksimal harus Rp. 250.000,-. Kelompok tidak memperhatikan

bahwa Sasa masih memiliki uang kembalian.

c. Guru bertanya mengapa kelompok menggunakan tanda ‘<’ dan

bukan “≤” dan kelompok menjawab bahwa mereka

mendengarkan pembahasan kelompok lain.


Kelompok telah dapat membuat pertidaksamaan linear 2 variabel

dengan benar, namun ternyata kelompok tidak memahami

representasi variabel yang mereka misalkan. Sehingga peneliti

menyimpulkan bahwa kelompok dapat menyelesaikan

permasalahan karena terbiasa secara teknik namun tidak mengerti

maknanya.

f) Lembar pekerjaan kelompok 6 pada latihan soal nomor 2





159




a. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 < 250000.

b. Kelompok memberikan keterangan bahwa variabel x dan y

mewakili harga, dan penulisan tanda ‘<’ diberi keterangan

“harus ada sisa, jika lebih tidak akan mendapatkan sisa dari

pembelanjaan barang.


a. Kelompok mengatakan variabel x dan y merepresentasikan

harga karena yang dibicarakan pada soal tersebut adalah

menyangkut harga.

b. Kelompok mengatakan bahwa mereka menggunakan tanda ‘<’

karena Sasa mendapatkan kembalian apabila total belanjaan

Sasa tepat Rp. 250.000,-


Kelompok sudah tepat dalam menuliskan pertidaksaman linear 2

variabel beserta alasan-alasannya.

g) Lembar pekerjaan kelompok 7 pada latihan soal nomor 2


160







a. Kelompok menuliskan pertidaksamaan 2𝑥 + 3𝑦 < 250000.

b. Kelompok memberikan keterangan bahwa x

merepresentasikan seragam, dan y merepresentasikan buku.

Penggunaan tanda ‘<’ diberi keterangan “karena jumlah yang

dibayarkan untuk 2 seragam dan 3 buku tidak mencapai

250.000, maka mendapat kembalian.


a. Kelompok tidak memahami bahwa x dan y merepresentasikan

harga seragam dan harga buku.

b. Kelompok mengganggap bahwa 2x berarti 2 seragam dan 3y

berarti 3 buku, jadi 2 seragam dan 3 buku kurang dari 250000.


161


Kelompok belum memahami konteks masalah yang diberikan

dengan benar. Mereka menganggap bahwa karena jumlah uang

yang dibayarkan tidak mencapai Rp. 250000,- maka Sasa

mendapatkan uang kembalian. Padahal logika berpikir seharusnya

adalah karena Sasa mendapatkan uang kembalian, maka harga 2

seragam dan 3 buku tersebut tidak boleh melebihi atau sama

dengan Rp. 250000,-. Selain itu kelompok juga masih belum tepat

dalam memisalkan, karena x dan y seharusnya merujuk kepada

“harga”, namun mereka tidak menuliskan kata “harga”, meski

begitu melalui proses wawancara mereka mengatakan bahwa yang

mereka maksud dengan “2 seragam dan 3 buku” merupakan harga

yang dibayarkan untuk “2 seragam dan 3 buku” tersebut.

Dari uraian hasil pekerjaan siswa pada pembelajaran penelitian

pertama di atas, terlihat bahwa untuk soal latihan nomor 1 terdapat 13

kelompok masih salah dalam menuliskan pemisalan variabel x dan y,

meskipun begitu sebagian mereka tepat dalam mengubah masalah

menjadi suau pertidaksamaan linear 2 variabel. Hal ini kemungkinan

disebabkan saat guru mengonstruksi pengetahuan siswa di awal hanya

menjangkau siswa yang ada pada 2 kolom di hadapan guru, sedangkan

2 kolom sebelahnya tidak mendapat perhatian sehingga mereka tidak


162

ikut berpikir aktif saat proses pembelajaran dan akhirnya dalam

menyelesaikan permasalahan mereka membuat asumsi-asumsi sendiri

seperti nampak pada poin (c) di atas. Meski begitu guru sudah

memberikan klarifikasi terhadap miskonsepsi-miskonsepsi siswa.

Selanjutnya untuk latihan 1 nomor 2, hanya 7 dari 31 siswa yang

memberikan keterangan bahwa x merepresentasikan harga seragam

dan y merepresentasikan harga buku. Meski begitu beberapa siswa

yang tidak menuliskan pemisalan variabel x dan y memahami bahwa x

dan y merepresentasikan harga dikarenakan siswa membandingkan

variabel-variabel tersebut dengan uang Rp. 250000,-. Sebagian besar

siswa juga telah memahami penggunaan tanda pertidaksamaan ‘<’

yaitu karena Sasa harus memperoleh kembalian sehingga tidak

digunakan tanda pertidaksamaan ‘≤’.

Dari 2 latihan soal yang diberikan, telah muncul karakteristik PMR

yaitu penggunaan konteks, penggunaan model, penggunaan kontribusi

siswa, interaktivitas, dan keterkaitan. Konteks digunakan karena 2

masalah pada latihan soal 1 dapat dibayangkan dengan jelas oleh siswa

(imagineable). Penggunaan kontribusi siswa adalah karena siswa secara

berpasangan berusaha untuk memodelkan sendiri masalah yang

diberikan dan guru memberikan pertanyaan-pertanyaan topangan saat

siswa membutuhkan bantuan. Model yang digunakan sebagai


163

penyelesaian atas masalah yang diberikan. Interaktivitas yang terjadi

adalah antar siswa dan antara guru siswa.

c) Keterkaitan

Berdasarkan pekerjaan siswa pada gambar Keterkaitan konsep-

konsep matematika yang digunakan antara lain, pembagian dan FPB.

d) Penggunaan kontribusi siswa

Setelah guru menanyakan masalah tersebut, siswa menjawab

pertanyaan tersebut dengan bersahutan namun setelah guru

mengingatkan pada perjanjian, kemudian siswa mengacungkan

tangannya terlebih dahulu seperti pada cuplikan transkrip pembelajaran

sebagai berikut :

(Guru membacakan permasalahan yang ada pada slide)

G : “Coba kalian dari kalimat ini kalian ubah menjadi kalimat

matematika!”

(salah satu siswa mengacungkan tangannya)

G : “Yak silakan, namanya siapa?”

S1 :”Michael.”

G : “Ya apa jawabannya?”

S1 : “𝑥 + 𝑥 = 20"

(guru menuliskan jawaban siswa ke papan tulis)

G : “Oke terima kasih Maikel bagus, oke sekarang kita lihat 2 kue

tersebut beda atau sama?”

S : “Berbeda.”

G : “Kalau berbeda berarti jadinya apa?”

S : ““𝑥 + 𝑦 = 20"

Dari transkrip di atas terlihat bahwa siswa awalnya belum mampu

dalam memodelkan masalah ke dalam suatu kalimat matematika

persamaan linear 2 variabel. Siswa mengubah masalah tersebut


164

menjadi 𝑥 + 𝑥 = 20. Hal ini menunjukkan bahwa siswa tidak

memperhatikan keadaan bahwa 2 kue yang ingin dibeli ibu merupakan

2 jenis kue yang berbeda, atau bisa juga siswa sudah mengetahui

kondisinya namun tidak memahami bahwa jika 2 jenis kue tersebut

berbeda maka variabel yang digunakan untuk merepresentasikannya

harus berbeda pula. Selanjutnya guru langsung memberikan

pertanyaan topangan kepada seluruh siswa yaitu apakah kue yang

dibeli ibu merupakan 2 jenis kue yang sama atau berbeda. Siswa

menjawab secara klasikal bahwa 2 jenis kue tersebut berbeda dan

mereka langsung mampu untuk mengubah kalimat matematika

menjadi 𝑥 + 𝑦 = 20. Hal ini menunjukkan bahwa siswa sudah mampu

untuk mengubah masalah ke dalam suatu persamaan linear 2 variabel.

Dari cuplikan transkrip di atas, terlihat ketika guru

memberikan pertanyaan topangan pada siswa, guru langsung

menanyakan apakah 2 jenis kue yang dibeli Ibu berbeda atau sama.

Padahal belum tentu siswa mengetahui apa yang dimaksud dengan

variabel x, seharusnya guru terlebih dahulu menanyakan hal apa yang

direpresentasikan oleh x. Sehingga dapat terlihat apakah siswa

sungguh memahami bagaimana cara mereka mengubah kalimat

tersebut menjadi persamaan linear 2 variabel.


165

Setelah eksplorasi seperti pada cuplikan transkrip di atas, guru

bertanya apa yang dimaksud dengan variabel x dan y. Siswa

mengacungkan tangannya dan menjawab bahwa x merupakan jenis

kue 1 dan y merupakan jenis kue 2. Padahal seharusnya x merupakan

banyaknya kue 1 dan y merupakan banyaknya kue 2. Mengetahui

terdapat miskonsepsi dalam hal pemisalan variabel ini, maka guru

memberikan topangan seperti pada cuplikan transkrip pembelajaran

sebagai berikut :

G : “Kira-kira kalau x ditambah y ini sama dengan 20, x sama y nya

bisa diganti angka berapa?”

S2 : “10 10.”

G : “Ya bisa, trus ada lagi ga?”

S3 : “9 sama 11.”

(lalu siswa saling bersahutan)

G : “Nah berarti banyak kan nilai x dan y itu bisa berubah-ubah. Itu

yang berubah-ubah apanya?”

S : “Jumlahnya.”

G : “Nah jumlahnya, berarti x itu apa, y itu apa?”

S : “Jumlah keseluruhan.”

G : “Apa?”

(Guru melemparkan pertanyaan terus menerus)

S : “Banyaknya kue 1.”

Dari cuplikan transkrip di atas terlihat bahwa guru telah merangsang

pikiran siswa untuk memunculkan ide bahwa x dan y merupakan

representasi dari jumlah kue 1 dan 2 dengan memunculkan angka-angka

yang memiliki kemungkinan untuk mengisi variabel x dan y. Meski begitu

ternyata siswa masih kesulitan untuk memisalkan variabel x dan y dengan

tepat. Namun tidak seperti pada pembelajaran uji coba 1, kali ini guru


166

tidak memberikan jawaban langsung namun menunggu sampai siswa yang

menjawabnya sendiri. Namun saat guru menanyakan apa itu x guru hanya

mengatakan bahwa jawaban para siswa hampir benar tanpa memberikan

topangan lebih lanjut dari jawaban siswa yang telah ada. Seharusnya guru

lebih banyak memberikan topangan sehingga pengetahuan yang

dikonstruksi siswa lebih kuat dan siswa juga menjadi lebih paham.

Selanjutnya guru menekankan bahwa kata ‘banyaknya’ atau ‘jumlah’

merupakan kata yang harus sangat diperhatikan penggunaanya dalam

memisalkan variabel sebab tanpa kata tersebut maka akan terjadi salah

pemaknaan kalimat matematika.

Setelah melakukan penegasan, guru bersama siswa menarik

kesimpulan tentang bagaimana langkah-langkah dalam mengubah masalah

nyata ke dalam kalimat matematika. Penarikan kesimpulan yang dilakukan

sudah cukup melibatkan siswa.

Dalam proses penggunaan kontribusi siswa ini sebenarnya sekaligus

memunculkan karakteristik “interaktivitas” dan “penggunaan model”.

Penggunaan kontribusi siswa terlihat saat siswa menjawab pertanyaan-

pertanyaan dari guru yang berusaha memancing munculnya penggunaan

kata ‘banyaknya’ atau ‘jumlah”, Interaktivitas muncul karena terjadinya

interaksi yang kondusif antara guru siswa. Dalam pembelajaran tersebut

terlihat bahwa semua siswa ikut memikirkan jawaban dari pertanyaan-

pertanyaan yang diberikan oleh guru. Sedangkan penggunaan model


167

terlihat saat jawaban dari konteks pertama digunakan untuk mengubah

masalah lain ke dalam kalimat matematika lain yaitu ke dalam

pertidaksamaan linear 2 variabel.

Karakteristik PMR yang muncul pada pembelajaran ini adalah

penggunaan konteks, penggunaan model, penggunaan kontribusi siswa,

interaktivitas, serta keterkaitan. Konteks digunakan dengan memberikan

masalah nyata untuk diubah ke dalam kalimat matematika. Pembelajaran ini

tentu menggunakan kontribusi siswa karena pengetahuan yang didapatkan

merupakan hasil dari pemikiran-pemikiran siswa sendiri. Interaktivitas yang

terjadi adalah interaksi antara guru dengan siswa. Keterkaitan yang terjadi

adalah ketika siswa menggunakan konsep penjumlahan saat siswa mengganti

mengisi variabel x dan y menggunakan angka-angka yang memenuhi

persamaan x+y=20.


168

Gambar 4.32Guru mengonstruksi pengetahuan siswa pada

pembelajaran penelitian pertemuan 1

2. Pembelajaran penelitian kedua

Pembelajaran penelitian kedua dilaksanakan pada hari Kamis 30

Agustus2018. Tujuan pembelajaran pada pertemuan ini adalah

diadakannya kuis menggunakan aplikasi Kahoot! dan agar siswa dapat

menggambarkan daerah penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear 2

variabel. Berikut ini merupakan karaketristik PMR yang muncul pada

pembelajaran penelitian kedua :


Konteks yang digunakan pada pertemuan kedua melanjutkan

pada penggunaan konteks yang digunakan pada pertemuan pertama.

Masalah yang ada pada pertemuan pertama adalah siswa diminta

untuk mengubah masalah program linear menjadi suatu

pertidaksamaan linear 2 variabel, selanjutnya pada pertemuan ini guru

meminta siswa untuk menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Selain itu

masalah-masalah yang disajikan pada kuis di aplikasi

Kahoot!(lampiran 5) juga merupakan masalah realistik yang dapat

dengan mudah dibayangkan oleh siswa. Dari permasalahan-

permasalahan tersebut siswa diminta untuk mengubah masalah

program linear ke dalam bentuk pertidaksamaan linear 2 variabel.

b) Penggunaan model


169

Model yang digunakan pada pertemuan ini terlihat pada

pekerjaan-pekerjaan siswa saat menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 dan

grafik pertidaksamaan linear 2 variabel yang didapatkan dari

penyelesaian latihan 1 pada pertemuan sebelumnya. Berikut ini

merupakan beberapa pekerjaan siswa yang menggunakan model

untuk menyelesaikan masalah pada pertemuan kedua :


170

Gambar 4.33Contoh pekerjaan siswa pada pertemuan 2

Dari pekerjaan siswa di atas, terlihat bahwa dalam menggambar

grafik pertidaksamaan linear 2 variabel 𝑥 + 𝑦 ≥ 20, siswa mencari


171

titik potong grafik terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y terlebih

dahulu. Setelah itu siswa langsung mengarsir daerah penyelesaian

yang ada di bawah grafik tanpa melakukan uji titik sebelumnya. Pada

pembelajaran sudah disepakati bahwa daerah yang tidak diarsir

merupakan daerah penyelesaian sehingga siswa mengarsir bagian

bawah grafik.

Grafik daerah penyelesaian yang dibuat siswa ini merupakan

model yang digunakan siswa dalam merepresentasikan pertidaksamaan

linear 2 variabel 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Sehingga dari proses pembuatan grafik

ini siswa dapat memvisualkan atau menuangkan 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 ke dalam

bentuk lain. Berikut ini merupakan pekerjaan siswa lain dalam

menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20 :


172

Gambar 4.34Pekerjaan siswa pada pertemuan 2

Dari pekerjaan siswa di atas, terlihat bahwa yang dilakukan siswa

adalah mencari titik potonggrafik terhadap sumbu x dan sumbu y

terlebih dahulu, namun dalam menentukan titik potong ini siswa

mengalami kesalahan karena siswa ini masih menggunakan tanda


173

pertidaksamaan. Dari sana terlihat bahwa sebenarnya siswa belum

memahami arti simbol ‘=’ dan ‘≥’.

c) Interaktivitas

Interaktivitas pada pertemuan dapat dilihat saat penggunaan

aplikasi Kahoot! untuk Interaktivitas pada pertemuan 2 terlihat saat

siswa berkompetisi dalam kuis menggunakan aplikasi Kahoot!. Pada

kuis tersebut siswa sudah diminta untuk secara berpasangan

menyelesaikan soal-soal yang ada pada kuis terkait mengubah

masalah nyata yang berkaitan dengan program linear ke dalam bentuk

suatu pertidaksamaan linear 2 variabel. Untuk melaksanakan kuis

menggunakan Kahoot!, siswa diminta untuk masuk ke website

kahoot.it lalu siswa memasukkan pin yang sudah diberikan guru,

setelah berhasil memasukkan pin, siswa menuliskan namanya atau

nama kelompoknya, jika nama siswa sudah muncul di layar berarti

siswa tersebut sudah dapat mengikuti kuis dalam Kahoot!. Adapun

soal-soal kuis sudah terlampir dalam lampiran.

Dalam mengerjakan kuis, siswa terlihat senang dan antusias.

Berikut ini adalah beberapa gambar saat siswa melaksanakan kuis :


174




175


Pada pembelajaran ini, setiap nomor setelah kuis dilakukan

pembahasan bagaimana jawaban dapat didapatkan untuk pertanyaan-

pertanyaan yang sejenis. Hal ini dilakukan guru agar siswa dapat

menyelesaikan soal sejenis pada nomor sebelumnya dan agar siswa dapat

menaikkan peringkatnya pada permainan Kahoot!.

d) Keterkaitan

Pada gambar 4.33 dan gambar 4.34, terlihat bahwa dalam

menggambarkan daerah penyelesaian pada masalah program linear,

dalam pengerjaannya siswa menggunakan pula konsep substitusi.

e) Penggunaan kontribusi siswa

Kontribusi siswa didapatkan saat siswa mengontruksi

pengetahuannya sendiri untuk menggambar grafik 𝑥 + 𝑦 ≥ 20. Dalam


176

mengonstruksi pengetahuannya mengenai cara menentukan titik-titik

untuk menggambar grafik pertidaksamaan linear 2 variabel. Guru

memberikan pertanyaan-pertanyaan topangan yang sebelumnya sudah

dibuat untuk mengantisipasi kesulitan-kesulitan siswa. Adapun

pertanyaan topangan tersebut sudah disusun dalam HLT.

3. Pembelajaran penelitian ketiga

Pembelajaran penelitian ketiga dilaksanakan pada hari Jumat 31

Agustus 2018. Pembelajaran uji coba ketiga dilaksanakan pada hari Rabu,

29 Agustus 2018. Tujuan pembelajaran pada pertemuan ini adalah

penggunaan aplikasi Kahoot! sebagai kuis dengan topik menggambar

grafik pertidaksamaan linear 2 variabel dan agar siswa dapat

menyelesaikan permasalahan program linear menggunakan metode garis

selidik. Berikut ini merupakan karakteristik PMR yang muncul dalam

pembelajaran uji coba ketiga :


Konteks yang digunakan dalam pertemuan ini adalah masalah

“petani dan pupuk” sebagai berikut :


sebanyak 20 kg, 18 kg, dan 12 kg untuk memupuk kebun sayurnya.

Pupuk cair setiap kantong mengandung zat kimia A, B, dan C

berturut-turut 1 kg, 2 kg, dan 3 kg. Pupuk kering setiap kantong

mengandung zat kimia A, B, dan C berturut-turut 5 kg, 3 kg, dan 1 kg.

Apabila satu kantong pupuk cair harganya Rp1000,00 dan satu

kantong pupuk kering Rp2000,00, berapa kantong pupuk cair dan

berapa kantong pupuk kering harus ia beli agar harganya paling murah

dan tetap memenuhi keperluan?”


177

Dari masalah di atas siswa diminta untuk menentukan banyaknya

kantong pupuk cair dan pupuk kering yang garus petani tersebut beli

agar harganya paling murah dan tetap memenuhi keperluan.

Permasalahan di atas dianggap masalah yang dapat dibayangkan oleh

siswa.

b) Penggunaan model

Dalam menyelesaikan permasalahan pada pembelajaran uji coba

ketiga, guru meminta siswa untuk memodelkan masalah tersebut ke

dalam kalimat matematika. Selanjutnya guru meminta siswa untuk

mengidentifikasi model-model matematika tersebut mana yang

merupakan fungsi kendala, fungsi tujuan, dan apa yang akan

dioptimumkan.

Selanjutnya penggunaan model muncul saat siswa menggambar

daerah penyelesaian. Siswa mengubah fungsi kendala dan fungsi

objektif ke dalam diagram Cartesius. Siswa banyak mengalami

kebingungan karena selama ini yang siswa lakukan adalah

menggambar 1 grafik dalam 1 diagram Cartesius. Sedangkan kali ini

siswa harus menggambar 3 persamaan fungsi kendala, syarat

kenonnegatifan, dan fungsi tujuan dalam 1 diagram Cartesius.



178

Kontribusi siswa digunakan saat guru mengonstruksi

pengetahuan siswa untuk menyelesaikan permasalahan tersebut

menggunakan garis selidik. Soal diselesaikan secara

berpasangan. Guru membimbing siswa dengan berkeliling di

kelas.

Saat guru berkeliling kelas, didapatkan bahwa sebagian

besar masih salah dalam memodelkan fungsi kendala. Guru

membahas penyusunan fungsi kendala ini ke depan kelas, agar

siswa mengonstruksi pengetahuannya sendiri dalam

menggunakan tanda pertidaksamaan ≤ atau ≥. Saat guru

membahas mengenai pemodelan fungsi kendala ini, terlihat guru

sudah tidak terlalu mendominasi penjelasan, namun ternyata

siswa menjadi lebih kebingungan dalam menjawab pertanyaan-

pertanyaan topangan.

Selanjutnya guru melanjutkan dengan membahas syarat

kenonnegatifan dan penyusunan fungsi objektif. Siswa hanya

mengalami memngalami kesalahan dalam mengartikan syarat

kenonnegatifan. Siswa belum dapat menuliskan fungsi objektif,

lalu guru memberikan bimbingan dari guru sewaktu guru

berkeliling kelas. Seharusnya guru memberikan pertanyaan

topangan seperti yang sudah dituliskan dalam HLT, yaitu guru


179

menanyakan apa yang dioptimumkan, namun dalam

pembelajaran ini guru justru langsung menanyakan apa fungsi

tujuannya. Siswa menjadi kurang dapat mengonstruksi

pengetahuannya sendiri untuk menyusun fungsi tujuan.

Selanjutnya guru bersama siswa mengidentifikasi model

yang sudah siswa susun manakah yang termasuk fungsi kendala

dan mana yang termasuk fungsi objektif. Siswa mampu

mengonstruksi pengetahuannya tentang fungsi kendala dan

fungsi objektif. Hanya saja dalam proses pembelajaran ini guru

terlalu mendominasi. Hal ini terlihat saat guru menjelaskan hal-

hal yang seharusnya dipikirkan sendiri oleh siswa seperti

pengertian fungsi kendala dan fungsi objektif, dan mengapa

suatu fungsi dinamakan fungsi kendala atau fungsi objektif.

Seharusnya guru memberikan pertanyaan-pertanyaan topangan

seperti yang telah disusun dalam HLT. Selanjutnya pembelajaran

dilanjutkan dengan siswa menggambar daerah penyelesaian dan

menentukan titik peminimum fungsi objektif.

Selanjutnya guru untuk menunjukkan arah pergerakkan

garis selidik sering dengan bertambah atau berkurangnya nilai z.

Selanjutnya guru membantu siswa untuk melihat pergerakan

garis selidik dengan menggambarkan fungsi kendala dan garis


180

selidik pada aplikasi Geogebra seperti dapat dilihat pada gambar

di bawah ini :

Gambar 4.38 Guru menunjukkan grafik fungsi objektif

menggunakan geogebra

Dari gambar di atas terlihat bahwa ternyata garis selidik berimpit

dengan grafik fungsi kendala 2𝑥 + 3𝑦 = 18. Selanjutnya guru

melanjutkan pembelajaran dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan

topangan pada siswa.

Siswa sudah dapat mengonstruksi pengetahuan bahwa semakin

besar nilai z pada garis selidik maka garis selidik makin ke kanan.

Rencana pembelajaran yang sudah dirancang terlaksana seperti

meminta siswa untuk memutuskan titik mana yang lebih minimum

dengan konsep gradien, menyimpulkan bahwa titik-titik yang dipotong

garis selidik merupakan cikal bakal metode penyelesaian masalah

program linear 2 variabel dengan metode uji titik pojok.


181

d) Interaktivitas

Interaksi yang terjadi pada pertemuan ini adalah antara guru

siswa dan antar siswa. Interaksi antara guru dengan siswa terjadi saat

guru mengonstruksi pengetahuan siswa dalam memodelkan dan

mengidentifikasi fungsi kendala dan fungsi objektif, menggambar

grafik fungsi kendala dan fungsi objektif, dan saat menentukan titik

pengoptimum fungsi objektif menggunakan garis selidik. Sedangkan

interaksi antar siswa terjadi saat siswa berpasangan dalam

memodelkan dan menggambar grafik masalah program linear 2

variabel.

Gambar 4.39 Guru mengontruksi pengetahuan siswa

e) Keterkaitan

Siswa menyelesaikan soal program linear 2 variabel, siswa

mencari titik potong antara grafik 𝑥 + 5𝑦 = 20 dan 3𝑥 + 𝑦 =


182

12dengan metode eliminasi substitusi. Selain itu dalam menentukan

daerah penyelesaian siswa tersebut juga mensubstitusi suatu titik pada

masing-masing fungsi kendala.Siswa juga menggunakan metode

subsitusi untuk mencari titik potong grafik 𝑥 + 5𝑦 = 20 dan 3𝑥 +

𝑦 = 12.

D. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Uji Coba

Berikut ini merupakan beberapa sample pekerjaan siswa yang diklasifikasikan

berdasarkan jawaban-jawaban yang sejenis.

1) S1.1

Gambar 4.33 Hasil Pekerjaan S1.1

Deskripsi pekerjaan :


183

1. Siswa mengidentifikasi semua hal yang ada pada masalah tersebut

seperti modal, biaya produksi, keterbatasan jumlah produksi, dan

keuntungan produksi.

2. Siswa tidak memisalkan variabel apapun untuk merepresentasikan

banyaknya keripik cokelat dan keju.

3. Siswa membagi 2 kapasitas jumlah produksi keripik per hari (40).

4. Siswa mengalikan modal keripik cokelat dan keripik keju masing-

masing dengan 20 dan didapatkan hasil Rp. 500000,-

5. Siswa mengalikan keuntungan penjualan keripik cokelat dan keripik

keju masing-masing dengan 20 dan didapatkan hasil Rp. 110000,-

6. Siswa menentukan bahwa keuntungan yang diperoleh ibu adalah Rp.

110000,-

Dari poin-poin deskripsi pekerjaan siswa di atas dan jika ditinjau dari

indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut dapat menyederhanakan

asumsi dari masalah yang terkait dengan program linear dengan 2 variabel

(poin 1 dan 2), siswa dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah yang

terkait dengan program linear dengan 2 variabel (poin 6), siswa tidak dapat

merumuskan masalah terkait dengan program linear dengan 2 variabel, siswa

dapat menentukan variabel, konstanta, dan parameter dari masalah terkait

dengan program linear dengan 2 variabel, siswa tidak dapat merumuskan

pernyataan matematika dan menentukan model matematika, siswa

menyelesaikan masalah yang terkait dengan program linear dengan 2 variabel


184

dengan salah (poin 3,4,5), siswa dapat mengintepretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal meskipun caranya salah

(poin 6). Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level situasional.

2) S1.2


Deskripsi pekerjaan:

1. Siswa mengidentifikasi bahwa kemampuan produksi 40 kg adalah

untuk 2 modal keripik rasa coklat dan keripik rasa keju.









185


110000,-


indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut dapat

menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan program

linear dengan 2 variabel (poin 1 dan 2), siswa dapat mengklarifikasi

tujuan penyelesaian masalah yang terkait dengan program linear dengan 2

variabel (poin 6), siswa tidak dapat merumuskan masalah terkait dengan

program linear dengan 2 variabel, siswa dapat menentukan variabel,

konstanta, dan parameter dari masalah terkait dengan program linear

dengan 2 variabel, siswa tidak dapat merumuskan pernyataan matematika

dan menentukan model matematika, siswa menyelesaikan masalah yang

terkait dengan program linear dengan 2 variabel dengan salah (poin

3,4,5), siswa dapat mengintepretasikan kembali hasil penyelesaiannya

sesuai dengan konteks masalah awal meskipun caranya salah (poin 6).

Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level situasional.

3) S1.3


186


1. Siswa menuliskan hal-hal yang ada pada masalah tersebut yaitu

modal untuk membuat keripik cokelat dan keju, biaya produksi, dan










S2.1




187




variabel (poin 6), siswa tidak dapat merumuskan masalah terkait dengan



dengan 2 variabel, siswa tidak dapat merumuskan pernyataan matematika

dan menentukan model matematika, siswa menyelesaikan masalah yang

terkait dengan program linear dengan 2 variabel dengan salah (poin

3,4,5), siswa dapat mengintepretasikan kembali hasil penyelesaiannya

sesuai dengan konteks masalah awal meskipun caranya salah (poin 6).

Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level situasional.

2. S2.1


188


Deskripsi pekerjaan


189

1. Siswa menuliskan pemisalan variabel x dan y dengan tepat.

2. Siswa memodelkan fungsi kendala, menuliskan syarat

kenonnegatifan, dan memodelkan fungsi objektif dengan tepat.

3. Siswa mencari titik-titik potong grafik fungsi-fungsi kendala tersebut

terhadap sumbu x dan y dengan tepat.

4. Siswa kurang tepat dalam menggambar grafik fungsi kendala.

5. Siswa menentukan daerah penyelesaian dengan tepat, namun tidak

menuliskan proses penentuan daerah penyelesaian.

6. Siswa menentukan 2 persamaan garis selidik dengan tepat.

7. Siswa menggambar persamaan garis selidik dengan terlebih dahulu

menentukan titik-titik potong persamaan garis selidik tersebut


8. Siswa menentukan titik pemaksimum fungsi objektif dengan tepat.

9. Siswa menghitung keuntungan maksimum (dari titik pemaksimum

yang ditentukan sebelumnya) dengan tepat.






variabel (poin 5,6,8,9), siswa dapat merumuskan masalah terkait dengan



190


dengan 2 variabel, siswa dapat merumuskan pernyataan matematika dan

menentukan model matematika, siswa menyelesaikan masalah yang

terkait dengan program linear dengan 2 variabel dengan salah (poin),

siswa dapat mengintepretasikan kembali hasil penyelesaiannya sesuai

dengan konteks masalah awal (poin 9). Kemampuan memodelkan siswa

tersebut ada pada level formal.

4) S2.2


191


Deskripsi pekerjaan






4. Siswa kurang tepat dalam menggambar grafik fungsi kendala karena

skala tidak sesuai.



6. Siswa tidak menentukan 2 persamaan garis selidik.


192



terhadap sumbu x dan y dengan tidak tepat (grafik garis selidik tidak

jelas)









variabel (poin 5,6,8,9), siswa dapat merumuskan masalah terkait dengan



dengan 2 variabel, siswa dapat merumuskan pernyataan matematika dan

menentukan model matematika, siswa menyelesaikan masalah yang

terkait dengan program linear dengan 2 variabel dengan tepat, siswa dapat

mengintepretasikan kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks

masalah awal (poin 9). Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada

level formal.


193

5) S3.1


194



1. Siswa kurang tepat dalam memisalkan variabel x dan y.

2. Siswa menyusun fungsi kendala dan fungsi objektif dengan tepat.

3. Siswa tidak menulisakan syarat kenonnegatifan.

4. Siswa mencari titik-titik potong grafik fungsi kendala terhadap sumbu

x dan terhadap sumbu y dengan tepat.

5. Siswa mensketsa grafik fungsi kendala dengan kurang tepat.

6. Siswa mencari daerah penyelesaian dengan tepat namun tidak

mensketsakan daerah penyelesaian tersebut dalam diagram Cartesius.

7. Siswa melakukan uji titik pojok.

8. Siswa menuliskan 1 persamaan garis selidik dengan tepat.

9. Siswa tidak menentukan keuntungan maksimum.




linear dengan 2 variabel, meski dalam memisalkan kurang tepat (poin 1

dan 2), siswa dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah yang

terkait dengan program linear dengan 2 variabel (poin 2,7), siswa dapat

merumuskan masalah terkait dengan program linear dengan 2 variabel,

siswa dapat menentukan variabel, konstanta, dan parameter dari masalah


195

terkait dengan program linear dengan 2 variabel (poin 2), siswa dapat

merumuskan pernyataan matematika dan menentukan model matematika

(poin 2 dan 5), siswa menyelesaikan masalah yang terkait dengan

program linear dengan 2 variabel bukan dengan dengan metode yang

diminta (metode garis selidik), siswa tidak dapat mengintepretasikan

kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (poin

9). Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level referensial.

6) S3.2


196




2. Siswa menyusun fungsi kendala dengan kurang tepat.

3. Siswa menyusun fungsi objektif dengan tepat.

4. Siswa menulisakan syarat kenonnegatifan dengan tepat.




7. Siswa mencari daerah penyelesaian dengan tepat.

8. Siswa mengeliminasi persamaan 2 fungsi kendala (perpotongan antara

2 fungsi kendala) untuk mendapatkan titik maksimum.



197

10. Siswa tidak menggunakan metode garis selidik untuk mendapatkan

titik maksimum.

11. Siswa tidak keuntungan maksimum dengan tepat.




linear dengan 2 variabel, meski dalam memisalkan kurang tepat (poin 1

dan 2), siswa dapat merumuskan masalah terkait dengan program linear

dengan 2 variabel (poin 2 dan 4), siswa dapat menentukan variabel,


dengan 2 variabel (poin 2), siswa dapat merumuskan pernyataan

matematika dan menentukan model matematika (poin 2 dan 5), siswa

tidak dapat menyelesaikan masalah terkait dengan program linear dengan

2 variabel (poin 8,9,11), siswa tidak dapat mengintepretasikan kembali

hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal. Kemampuan

memodelkan siswa tersebut ada pada level referensial.

7) S3.3


198



1. Siswa dalam memisalkan variabel x dan y dengan tepat.



199






menuliskan proses atau alasan penentuan daerah penyelesaian.






linear dengan 2 variabel(poin 1 dan 2), siswa dapat merumuskan masalah

terkait dengan program linear dengan 2 variabel (poin 2), siswa dapat

menentukan variabel, konstanta, dan parameter dari masalah terkait

dengan program linear dengan 2 variabel (poin 2), siswa dapat


(poin 2), siswa tidak dapat menyelesaikan masalah terkait dengan

program linear dengan 2 variabel (poin 8), siswa tidak dapat


masalah awal. Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level

referensial.


200

8) S4.1



1. Siswa tidak menuliskan pemisalan variabel apapun dan ia tidak

memodelkan masalah program linear (fungsi kendala dan objektif).

2. Siswa menuliskan bahwa dibutuhkan 4 sak pupuk standard dan 2 sak

pupuk super. Lalu berdasarkan kendala-kendala yang tertulis pada

masalah, siswa tersebut membagi seperti demikian :

• Siswa menganggap bahwa diperlukan 4 sak pupuk Standard dan 2 sak

pupuk Super agar biaya perawatan minimum:

• Pada masalah dikatakan bahwa pupuk standard mengandung 2 kg

nitrogen tiap sak. Oleh karena siswa menganggap biaya perawatan

minimum didapatkan apabila petani memakai 4 sak pupuk standard,

maka siswa menuliskan 4 →

2222

.


201

• Pada masalah dikatakan bahwa pupuk standard mengandung 4 kg fosfat

tiap sak. Oleh karena siswa menganggap biaya perawatan minimum

didapatkan apabila petani memakai 4 sak pupuk standard, maka siswa

menuliskan 4 →

4444

.

• Pada masalah dikatakan bahwa pupuk super mengandung nitrogen 4 kg



menuliskan 2 →44

.

• Pada masalah dikatakan bahwa pupuk super mengandung fosfat 3 kg



menuliskan 2 →33

.

3. Siswa menuliskan

6121416

4. Siswa mengalikan 4 dengan Rp. 30000,- dan 2 dengan Rp.60000,- (harga

pupuk standard adalah Rp. 30000,- dan harga pupuk super adalah

Rp.60000,-).

5. Siswa memutuskan jumlah pupuk standard adalah 4 dan jumlah pupuk

super 2.


202


indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut tidak dapat

menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan program linear

dengan 2 variabel (poin 1), siswa dapat merumuskan masalah terkait

dengan program linear dengan 2 variabel (poin 2), siswa tidak dapat


dengan program linear dengan 2 variabel (poin 1,2), siswa tidak dapat

merumuskan pernyataan matematika dan menentukan model matematika,

siswa tidak dapat menyelesaikan masalah terkait dengan program linear

dengan 2 variabel (poin 2), siswa tidak dapat mengintepretasikan kembali


memodelkan siswa tersebut ada pada level situasional

9) S4.2




203










Rp.60000,-).

4. Siswa menuliskan bahwa poin 3 adalah “bukti 4 pupuk standard dan 2

pupuk super dengan ini sudah memenuhi 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat.”


super 2.

6. Siswa menuliskan bahwa Rp. 240000,- yang didapatkan pada poin 3

“sudah memenuhi”.




dengan 2 variabel (poin 1), siswa dapat merumuskan masalah terkait dengan

program linear dengan 2 variabel (poin 2), siswa tidak dapat menentukan


204

variabel, konstanta, dan parameter dari masalah terkait dengan program linear

dengan 2 variabel (poin 1,2), siswa tidak dapat merumuskan pernyataan

matematika dan menentukan model matematika, siswa tidak dapat

menyelesaikan masalah terkait dengan program linear dengan 2 variabel (poin

2), siswa tidak dapat mengintepretasikan kembali hasil penyelesaiannya sesuai

dengan konteks masalah awal. Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada

pada level situasional

10) S4.3



1. Siswa menuliskan keterangan bahwa psp ps adalah pupuk standard dan

adalah pupuk super.


205










2222

.




menuliskan 4 →

4444

.




menuliskan 2 →44

.


206




menuliskan 2 →33

.

3. Siswa menuliskan

6121416



Rp.60000,-).

5. Siswa memutuskan jumlah uang yang diperlukan

120000+120000=240000 untuk mencapai minimum dan kebutuhan

pupuk.





dengan program linear dengan 2 variabel (poin 2), siswa tidak dapat


dengan program linear dengan 2 variabel (poin 1,2), siswa tidak dapat

merumuskan pernyataan matematika dan menentukan model matematika,

siswa tidak dapat menyelesaikan masalah terkait dengan program linear


207

dengan 2 variabel (poin 2), siswa tidak dapat mengintepretasikan kembali


memodelkan siswa tersebut ada pada level situasional

11) S5.1


208


Deskripsi pekerjaan

1. Siswa memisalkan variabel x dan y dengan tidak tepat.

2. Siswa menyusun fungsi kendala, syarat kenonnegatifan dengan tepat.

3. Siswa menyederhanakan fungsi objektif (salah).

4. Siswa mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari fungsi

kendala dengan tepat.

5. Siswa menggambar grafik fungsi kendala dengan tepat.

6. Siswa menentukan daerah penyelesaian dengan tidak tepat.


209

7. Siswa membuat 2 persamaan garis selidik dengan tepat.

8. Siswa menggambar garis selidik (dengan sebelumnya mencari titik

potong garis terhadap sumbu x dan y) dengan kurang tepat.

9. Siswa menentukan titik peminimum dengan tidak tepat (dengan

menggunakan metode garis selidik).

10. Siswa menyimpulkan hasil dengan tidak tepat.

Dari poin-poin deskripsi pekerjaan siswa di atas dan jika

ditinjau dari indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut dapat



tujuan penyelesaian masalah yang terkait dengan program linear

dengan 2 variabel meskipun mengalami miskonsepsi (poin 3 dan 9),

siswa dapat merumuskan masalah terkait dengan program linear

dengan 2 variabel, siswa dapat menentukan variabel, konstanta, dan

parameter dari masalah terkait dengan program linear dengan 2

variabel (poin 1,2), siswa dapat merumuskan pernyataan matematika

dan menentukan model matematika, siswa menyelesaikan masalah

yang terkait dengan program linear dengan 2 variabel dengan tidak

tepat, siswa dapat mengintepretasikan kembali hasil penyelesaiannya

sesuai dengan konteks masalah awal (poin 10). Kemampuan

memodelkan siswa tersebut ada pada level formal.

12) S6.1


210



211

Deskripsi pekerjaan

1. Siswa memisalkan variabel x dan y dengan tepat.


3. Siswa menyusun fungsi objektif.



5. Siswa menggambar grafik fungsi kendala dengan kurang tepat (skala

tidak sesuai).

6. Siswa menentukan daerah penyelesaian dengan tepat.



potong garis terhadap sumbu x dan y) dengan kurang tepat (skala

tidak sesuai).

9. Siswa menentukan letak titik peminimum dengan tepat (dengan


10. Siswa menentukan titik minimum dengan kurang tepat karena

kesalahan penghitungan.

11. Siswa tidak melakukan pembulatan dan tidak menyimpulkan hasil.






212


dengan 2 variabel (poin 9 ,10), siswa dapat merumuskan masalah

terkait dengan program linear dengan 2 variabel, siswa dapat


dengan program linear dengan 2 variabel, siswa dapat merumuskan


menyelesaikan masalah yang terkait dengan program linear dengan 2

variabel dengan tepat, siswa tidak dapat mengintepretasikan kembali

hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (poin 11).

Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level formal.

13) S6.2


213


214


Deskripsi pekerjaan







tidak sesuai).



8. Siswa tidak menggambarkan garis selidik.

9. Siswa mencari titik potong garis selidik terhadap sumbu x dan sumbu

y dengan tepat.


215

10. Siswa menentukan titik minimum minimum dengan mengeliminasi 2

persamaan fungsi kendala (tidak menggunakan metode garis selidik).





linear dengan 2 variabel (poin 1,2,3), siswa dapat mengklarifikasi


dengan 2 variabel (poin 3,10), siswa dapat merumuskan masalah





tidak menyelesaikan masalah yang terkait dengan program linear

dengan 2 variabel dengan tepat, siswa tidak dapat mengintepretasikan

kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal

(poin 11). Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level

referensial.

E. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Penelitian

1) S7.1


216


217


Deskripsi pekerjaan


2. Siswa menyusun fungsi kendala dilihat dari segi modal dan dari

segi kapasitas jumlah produksi dengan tepat.

3. Siswa menuliskan syarat kenonnegatifan dengan tepat.

4. Siswa menentukan titik potong sumbu x dan titik potong sumbu y

dari fungsi-fungsi kendala dengan tepat.



218

6. Siswa mencari titik perpotongan antara persamaan garis kendala 1

dengan persamaan garis kendala 2.

7. Siswa menggambarkan grafik fungsi-fungsi kendala ke dalam

diagram Cartesius dengan tepat.

8. Siswa tidak mencari daerah penyelesaian dari grafik fungsi-fungsi

kendala.

9. Siswa mensubstitusikan titik-titik pojok ke fungsi objektif.

10. Siswa menentukan keuntungan maksimum melalui uji titik pojok

dengan tepat.

11. Siswa menentukan persamaan garis selidik dengan tidak tepat.

12. Siswa menentukan titik potong sumbu x dan y dari persamaan

garis selidik dengan tidak tepat.

13. Siswa tidak menggambar persamaan garis selidik.


ditinjau dari indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut

dapat menyederhanakan asumsi dari masalah yang terkait dengan

program linear dengan 2 variabel (poin 1,2,3), siswa dapat

mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah yang terkait dengan

program linear dengan 2 variabel (poin 3,10), siswa dapat

merumuskan masalah terkait dengan program linear dengan 2

variabel, siswa dapat menentukan variabel, konstanta, dan

parameter dari masalah terkait dengan program linear dengan 2


219

variabel, siswa dapat merumuskan pernyataan matematika dan

menentukan model matematika, siswa tidak menyelesaikan

masalah yang terkait dengan program linear dengan 2 variabel

dengan tepat, siswa tidak dapat mengintepretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal (poin 11).

Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada pada level

referensial.

2) S7.2


220




2. Siswa menyusun fungsi kendala, syarat kenonnegatifan, dan fungsi

objektif dengan tepat.




tidak sesuai).


221

5. Siswa menentukan daerah penyelesaian dengan tepat dan menuliskan

caranya.


7. Siswa mencari titik potong persamaan garis selidik terhadap sumbu x

dan sumbu y dengan tepat.

8. Siswa tidak menggambar garis selidik.

9. Siswa menentukan letak titik pemaksimum dengan tepat.

10. Siswa menentukan titik maksimum dengan cara mengeliminasi 2

persamaan fungsi kendala. .







dengan program linear dengan 2 variabel, siswa dapat menentukan

variabel, konstanta, dan parameter dari masalah terkait dengan

program linear dengan 2 variabel, siswa dapat merumuskan






222


referensial.

3) S7.3


223



1. Siswa memisalkan variabel x dan y dengan kurang tepat.


3. Siswa tidak menuliskan syarat kenonnegatifan.




tidak sesuai).

6. Siswa tidak menentukan daerah penyelesaian dari grafik fungsi

kendala..

7. Siswa tidak membuat persamaan garis selidik.

8. Siswa tidak menggambar garis selidik.


224

9. Siswa menentukan titik pemaksimum dengan cara mengeliminasi

persamaan 2 fungsi kendala.

10. Siswa menentukan letak titik pemaksimum dengan kurang tepat

karena skala tidak sesuai.

Dari poin-poin deskripsi pekerjaan siswa di atas dan jika ditinjau

dari indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut dapat


linear dengan 2 variabel (poin 2), siswa dapat mengklarifikasi tujuan

penyelesaian masalah yang terkait dengan program linear dengan 2

variabel (poin 3), siswa dapat merumuskan masalah terkait dengan



dengan 2 variabel, siswa dapat merumuskan pernyataan matematika

dan menentukan model matematika, siswa tidak menyelesaikan

masalah yang terkait dengan program linear dengan 2 variabel dengan

tepat, siswa tidak dapat mengintepretasikan kembali hasil

penyelesaiannya sesuai dengan konteks masalah awal. Kemampuan

memodelkan siswa tersebut ada pada level referensial.

4) S8.1


225


Deskripsi pekerjaan


2. Siswa menyusun fungsi kendala dilihat dari segi modal dan dari segi

kapasitas jumlah produksi dengan kurang tepat.


226


4. Siswa tidak menuliskan titik potong sumbu x dan titik potong sumbu

y dari fungsi-fungsi kendala.

5. Siswa tidak menuliskan fungsi objektif.




diagram Cartesius dengan kurang tepat (skala tidak sesuai).


kendala.


dengan tepat.

10. Siswa tidak menentukan persamaan garis selidik.


ditinjau dari indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut tidak




program linear dengan 2 variabel (poin 9), siswa dapat merumuskan

masalah terkait dengan program linear dengan 2 variabel, siswa dapat




227






referensial.

5) S8.2


228


Deskripsi pekerjaan











229




kendala.


dengan tepat.
















referensial.


230

6) S8.3


Deskripsi pekerjaan


231













kendala.


dengan tepat.









232

masalah terkait dengan program linear dengan 2 variabel, siswa

dapat menentukan variabel, konstanta, dan parameter dari masalah


merumuskan pernyataan matematika dan menentukan model

matematika, siswa tidak menyelesaikan masalah yang terkait dengan

program linear dengan 2 variabel dengan tepat, siswa tidak dapat

mengintepretasikan kembali hasil penyelesaiannya sesuai dengan

konteks masalah awal (poin 10). Kemampuan memodelkan siswa

tersebut ada pada level referensial.

7) S9.1


233



234

Deskripsi pekerjaan

1. Siswa tidak memisalkan variabel x dan y.

2. Siswa tidak menuliskan fungsi kendala dengan tepat, siswa juga tidak

menuliskan syarat kenonnegatifan.

3. Siswa menyusun fungsi objektif.dengan tepat.

4. Siswa tidak mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari

fungsi kendala, namun siswa dapat menggambarkan grafik fungsi



6. Siswa menentukan titik perpotongan antara 2 fungsi kendala, namun

siswa mengalami kesalahan perhitungan.



9. Siswa menentukan titik peminimum dengan tidak tepat.





program linear dengan 2 variabel (poin 1,2), siswa dapat





235





dengan 2 variabel dengan tepat, siswa dapat mengintepretasikan



referensial.

8) S10.1


236


Deskripsi pekerjaan


2. Siswa menuliskan fungsi kendala dengan tepat dan siswa juga

menuliskan syarat kenonnegatifan dengan tepat.



kendala dengan tepat dan siswa dapat menggambarkan grafik fungsi


5. Siswa tidak menentukan daerah penyelesaian.

6. Siswa menentukan titik perpotongan antara 2 fungsi kendala dengan

tepat.


237

7. Siswa langsung mensubstitusi titik potong 2 fungsi kendala ke dalam

fungsi objektif.

8. Siswa memutuskan bahwa titik optimum berada pada titik potong 2

fungsi kendala.

9. Siswa tidak melakukan pembulatan titik peminimum yang ia

dapatkan.

10. Siswa tidak menghitung biaya minimum yang dapat dikeluarkan

petani.



indikator soal, maka terlihat bahwa siswa tersebut dapat menyederhanakan

asumsi dari masalah yang terkait dengan program linear dengan 2 variabel

(poin 1,2,3), siswa dapat mengklarifikasi tujuan penyelesaian masalah

yang terkait dengan program linear dengan 2 variabel (poin 3), siswa dapat

merumuskan masalah terkait dengan program linear dengan 2 variabel,

siswa dapat menentukan variabel, konstanta, dan parameter dari masalah

terkait dengan program linear dengan 2 variabel, siswa tidak dapat


(poin 5), siswa tidak menyelesaikan masalah yang terkait dengan program

linear dengan 2 variabel dengan tepat, siswa tidak dapat



238

masalah awal (poin 9,10). Kemampuan memodelkan siswa tersebut ada

pada level referensial.

9) S10.2


239


Deskripsi pekerjaan








5. Siswa menentukan daerah penyelesaian dengan kurang tepat karena

tidak memperhatikan syarat kenonnegatifan. .


tepat.


240


fungsi objektif.


fungsi kendala.


dapatkan.


petani.










program linear dengan 2 variabel, siswa tidak dapat merumuskan

pernyataan matematika dan menentukan model matematika (poin 5),

siswa tidak menyelesaikan masalah yang terkait dengan program




241

konteks masalah awal (poin 9,10). Kemampuan memodelkan siswa


10) S10.3


242


Deskripsi pekerjaan







5. Siswa menggambarkan grafik fungsi kendala dengan kurang tepat

karena skala yang tidak sesuai.



243

7. Siswa tidak selesai menentukan titik perpotongan antara 2 fungsi

kendala, yang siswa cari baru nilai y nya.

8. Siswa tidak mensubstitusi titik potong 2 fungsi kendala ke dalam

fungsi objektif.

9. Siswa tidak memutuskan dimana titik minimum berada.


dapatkan.


petani.










program linear dengan 2 variabel, siswa tidak dapat merumuskan

pernyataan matematika dan menentukan model matematika (poin 5),

siswa tidak menyelesaikan masalah yang terkait dengan program



244


konteks masalah awal (poin 9,10). Kemampuan memodelkan siswa


F. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Uji Coba dengan Wawancara

Tes dilaksanakan pada hari Selasa 2 Oktober 2018 pada pukul 12.30

sampai 14.00 (2 JP) di kelas XI-IPS 2. Terdapat 31 siswa yang mengikuti tes.

Tes terdiri dari 2 soal yakni program linear dengan daerah penyelesaian

berhingga dan program linear dengan daerah penyelesaian tak berhingga.

Pembahasan pekerjaan siswa dilakukan dengan mengklasifikasikan jawaban-

jawaban yang sejenis lalu jawaban-jawaban tersebut dikategorikan ke dalam

level-level kemampuan memodelkan.

Berikut ini adalah masalah nomor 1:

“Ibu ingin memproduksi 2 jenis keripik ketela, yaitu rasa coklat dan rasa

keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp.

10.000,00, dan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp. 15.000,00

perkilogram. Modal yang dimiliki Ibu adalah Rp. 500.000,00. Tiap hari

Ibu hanya dapat memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan

tiap kilogram keripik ketela rasa coklat adalah Rp. 2.500,00 dan keripik

rasa keju adalah Rp. 3.000,00 perkilogram. Keuntungan terbesar yang

dapat diperoleh Ibu adalah…”

dan berikut ini merupakan masalah nomor 2 :

“Toko “SUBUR” menyediakan 2 merek pupuk, yaitu Standard dan Super.

Setiap jenis mengandung campuran bahan nitrogen dan fosfat dalam


245

jumlah tertentu. Pupuk Standard mengandung 2 kg nitrogen tiap sak dan

fosfat mengandung 4 kg tiap sak. Pupuk Super mengandung nitrogen 4 kg

tiap sak dan fosfat 3 kg tiap sak. Petani tersebut membutuhkan paling

sedikit 16 kg nitrogen dan 24 kg fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga

pupuk Standard dan Super masing-masing Rp. 30.000,00 dan Rp.

60.000,00. Tentukan banyaknya masing-masing jenis pupuk yang harus

dibeli agar total harga pupuk mencapai minimum dan kebutuhan pupuk

untuk lahannya terpenuhi !

1) S1

Gambar 4.57 Hasil Pekerjaan S1

a. Deskripsi pekerjaan siswa


246

7. Siswa mengidentifikasi semua hal yang ada pada masalah tersebut

seperti modal, biaya produksi, keterbatasan jumlah produksi, dan










110000,-

b. Deskripsi wawancara

Berikut ini merupakan transkrip wawancara yang dilakukan untuk

mengonfirmasi atau mengungkap cara berpikir siswa dan untuk

mengkategorikan level kemampuan memodelkan siswa :

G : “Coba ceritakan gimana ini kamu bisa menyelesaikan soal nomor 1.”

S : “Itu saya nulis yang diketahui dulu.”

G : “Trus ini kenapa kok dibagi 2 ‘40’ nya?”

S : “Ya soalnya kan kan tiap hari cuma bisa produksi 40 jadinya keripik

cokelat sama kejunya 20 20.”

G : “Tapi kamu tau nggak ini yang ditanyakan apa?”

S : “Keuntungan Bu.”

G : “Keuntungan apa?”

S : “Keuntungan keripik cokelat sama kejunya.”

G : “Iya tapi keuntungannya yang apa? Coba dibaca lagi soalnya.”

S : “O keuntungan maksimum Bu.”


247

G : “Menurut kamu ini yang kamu cari keuntungan maksimum atau

bukan?”

S : “Mmmm iya Bu.”

G : “Kenapa?”

S : “Soalnya pembagiannya rata 20 20.”

G : “Tapi emang keuntungannya sama kalo njual keripik cokelat sama

keju tu?”

S : “…”

G : “Kalo cokelat untungnya berapa kalo keju untungnya berapa?”

S : “Kalo cokelat untungnya 2500 kalo keju 3000 Bu.”

G : “Jadi menurut kamu biar untungnya maksimum harus lebih banyak

kalau memproduksi apa?”

S : “Keju Bu.”

G : “Nah tapi kan masih ada syarat-syarat lainnya yang harus

diperhatikan kan, kamu aja nggak nyusun fungsi kendalanya.”

(Selanjutnya guru menjelaskan teknik pengerjaan yang tepat pada siswa)

…..

G : “Trus ini kamu ngapain?” (sambil menunjuk jawaban siswa ketika

mengalikan modal keripik cokelat dan keju dengan 20)

S : “ini kan nyocokin Bu, kalo keripik cokelatnya 20 sama keripiki

kejunya 20 kan berarti bener modalnya 500000.”

G : “Iya tapi emangnya modalnya harus banget habis 500000?”

S : ….

G : “Boleh kurang ngga modalnya?”

S : “Boleh Bu.”

Dari transkrip wawancara dan deskripsi pekerjaan siswa di atas, dapat ditarik

beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Siswa mengidentifikasi hal-hal yang ada pada permasalahan 1 dengan

tepat.

2. Siswa tidak mampu memodelkan fungsi kendala dan fungsi objektif dari

permasalahan 1.

3. Siswa tidak mampu menggambar grafik fungsi kendala dan menentukan

daerah penyelesaian.


248

4. Siswa mengalami kesalahan konsep matematis dalam menentukan

pemaksimum fungsi tujuan karena langsung membagi 2 jumlah produksi.

5. Siswa tidak terpikirkan untuk mencari persamaan garis selidik dan

menggambar persamaan garis selidik.

Dari poin-poin kesimpulan di atas, maka dapat dirangkum kemampuan

memodelkan siswa tersebut untuk permasalahan nomor 1 adalah pada level

situasional. Hal ini disebabkan model yang dibuat siswa masih pada konteks

situasi yang digunakan (poin 1) dan siswa tidak mampu untuk menggunakan

simbol matematika formal (poin 2,3,4,5), tidak mampu mengombinasikan

model matematis (poin 3,4,5), tidak mampu berargumentasi secara matematis

(poin 4), tidak mampu memahami perluasan dan keterbatasan konsep

matematika (poin 4).

2) S2


249


a. Deskripsi pekerjaan






13. Siswa kurang tepat dalam menggambar grafik fungsi kendala.



15. Siswa menentukan 2 persamaan garis selidik dengan tepat.


250











G : “Jadi gimana ini kamu Van ngerjainnya coba ceritakan.”

S : “Ya gini Bu. Pertamanya memisalkan x dan y dulu, trus cari fungsi

kendalanya, cari fungsi objektifnya, trus cari garis selidiknya,

gambar, trus dapet maksimumnya terus masukin ke fungsi ini

(fungsi objektif).”

G : “Oke yaudah sekarang saya nanyanya gini aja. Ini kenapa kamu

pakenya pertidaksamaan kurang dari (fungsi kendala)?”

S : “Iya soalnya kan ini modalnya ngga boleh lebih dari 500000 trus

cuma bisa produksi 40 aja.”

G : “Oke bagus, trus ini apa maksudnya x ≥ 0 sama y ≥ 0 ?”

S : “Maksudnya ini Bu kan jumlah keripiknya ngga boleh minus

(negatif).”

G : “O ya bagus. Trus ini gimana kamu cara nentuin daerah

penyelesaiannya?”

S : “Itu masukkin titik (0,0) trus diuji (ke fungsi kendala) kan ‘kurang

dari’ berarti daerah penyelesaiannya yang di dalem.”

G : “Cuma ini ngga kamu tulis ya?’

S : “Iya Bu diorek-orekan.”

G : “Oh iya baik, trus ini gimana kamu menentukan persamaan garis

selidiknya?”

S : “Itu kan saya nyari aja Bu yang kelipatan 5 sama 6.”

G : “Kenapa kok nyarinya yang kelipatan 5 sama 6?”

S : “Ya yang gampang aja Bu.”


251

G : “Oke. Trus ini gimana caranya kamu nentuin titik yang maksimum?”

S : “Ini kan garisnya (garis selidik) sama dengan 30 trus dibesarkan jadi

60 geraknya ke kanan, berarti semakin ke kanan semakin

maksimum.”

G : “Lha ini kamu nggesernya pake apa kok nggak keliatan garis

motongnya?”

S : “Pake penggaris Bu.”

G : “Penggaris apa?”

S :”Penggaris segitiga sama yang panjang.”

G : “Coba kamu praktikan gimana caramu motong grafik kendalanya.”

(Siswa mempraktikan caranya dalam menggambar garis selidik yang

senilai sampai memotong fungsi kendala)

G : “Oke bagus. Besok lain kali perpotongan garisnya juga kamu gambar

biar jelas.”

S : “Oke Bu.”

G : “Trus selanjutnya habis dapat titik maksimum ini kamu apain?”

S : “Disubsitusi ke fungsi objektif trus dapet 110000 ini.”

G : “Jadi jawabanmu ini artinya apa?”

S : “Maksudnya?”

G : “Jadi itu 110000 yang kamu dapet itu apa?”

S : “Itu keuntungan maksimumnya Bu.”

G : “Tadi dapet keuntungan maksimumnya di titik apa?”

S : “(20,20).”

G : “Berarti titik itu artinya apa tau engga?”

S : “Artinya keuntungannya maksimum saat keripik coklatnya 20 dan

keripik kejunya 20.”



1. Siswa memisalkan variabel x dan y dengan tepat dan dengan alasan yang

tepat.

2. Siswa mampu untuk memodelkan masalah program linear meliputi fungsi

kendala dan fungsi objektif dengan tepat dan dengan alasan yang tepat.


252

3. Siswa mampu untuk menggambarkan grafik fungsi kendala dengan

mencari titik-titik potong grafik terhadap sumbu x dan sumbu y dengan

tepat.

4. Siswa mampu untuk menentukan daerah penyelesaian dari grafik fungsi


5. Siswa mampu untuk menentukan 2 persamaan garis selidik dengan tepat.

6. Siswa mengetahui bahwa alasan diperlukannya 2 garis selidik untuk

menentukan titik pemaksimum fungsi kendala

7. Siswa mampu menggambar persamaan garis selidik dengan tepat.

8. Siswa mampu untuk menentukan titik pemaksimum dengan menggunakan


9. Siswa mampu menentukan keuntungan maksimum dan

mengomunikasikan hasil.



formal. Hal ini disebabkan siswa telah mampu untuk menggunakan simbol

matematika formal (poin 1,2,3,5), mengombinasikan model matematis (poin

2,3,4,7,8), berargumentasi secara matematis (poin 1,2,4,6,8), siswa dapat

memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika (poin 4,8),

merefleksi argumen matematis serta menjelaskan hasil (poin 4,6,9).

3) S3


253



254









mensketsakan daerah penyelesaian tersebut dalam diagram Cartesius.








G :”Coba ceritakan ini gimana kamu nyelesein soalnya.”

S : “Saya ngga bisa ini Bu.”

G : “Ya ngga papa ini cuma mau tau aja langkah-langkah kamu ngerjain

soal ini.”

S : “Ini ya awalnya dimisalin dulu Bu.”

G : “Ya misalinnya apa?”

S : “x keripik cokelat y keripik keju.”

G :”Maksudnya apanya keripik cokelat ama apanya cokelat keju?”

S : “Maksudnya Bu?”

G : “Ya coba itu liat kamu bikin fungsi kendalamu itu maksudnya apa?”

(Sambil menunjuk x + y ≤ 40 )


255

S : “Ya itu maksudnya nanti kripik coklat sama kejunya maksimal 40.”

G : “Brarti x ama y itu apanya/”

S : …….

G : “Jumlah bungkusan keripiknya to?”

S : “Owalah iya Bu taulah sama aja.”

G : “Itu gak sama lah keripik cokelat ama jumlah keripik coklat tu.”

S : “Iya wes Bu.”

G : “Trus piye itu selanjutnya kamu?”

S : “Trus selanjutnya bikin fungsi kendala sama objektifnya Bu.”

G : “Ya oke itu kamu pake tanda ‘≤” kenapa?”

S : “Iya soalnya kan maksimal modal sama jumlahnya 40.”

G : “Ya oke..trus selanjutnya kamu ngapain?”

S : “Ini nyari titiknya terus nggambar Bu.”

G : “Daerah penyelesaiannya yang mana?”

S : “Yang di dalem.”

G : “Lha kok gak digambar.”

S : “Itu jadi 1.”

G : “Ini kamu pakai uji titik pojok?”

S : “Ya jadi sebenernya mau pakai garis selidik Bu, tapi dicari dulu

pakai titik pojok.”

G : “Lha kan kalau pakai garis selidik juga langsung ketemu?”

S : “Iya Bu saya masih susah pakai garis selidik makanya nanti biar

jawabannya bener.”

G : “Lha tapi ini kamu udah bikin persamaan garis selidik.”

S : “Iya tapi habis itu bingung mau gimana.”

G : “Tapi ini harusnya mau buat berapa persamaan garis selidik?”

S : “2 kan ya.”

G : “Lha itu tahu.”

S : “Iya tapi habis itu bingung.”

G : “Tapi ini kamu pake titik pojok kok (0,100

3)nya ga diuji?”

S : “Iya Bu.hehe”

G : “Ini juga eliminasinya ga teliti.”

S : “O iya harusnya dikurang ya Bu, malah dibagi.”

G : “Lain kali kerjakan sesuai perintah ya.”

Dari transkrip wawancara dan deskripsi pekerjaan siswa di atas, dapat

ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Siswa tidak menuliskan pemisalan variabel x dan y dengan tepat, namun ia

mampu untuk memodelkan 2 fungsi kendala dengan tepat dan dengan


256

alasan yang tepat, menyusun fungsi objektif dengan tepat dan dengan

alasan yang tepat.


3. Siswa mampu untuk mencari titik-titik potong grafik terhadap sumbu x

dan sumbu y dengan tepat.

4. Siswa mensketsa grafik fungsi kendala pada diagram Cartesius dengan

tidak tepat.


kendala, namun siswa tidak mengarsir dengan tepat dan siswa juga tidak

mengarsir bagian syarat kenonnegatifan.

6. Siswa merencanakan melakukan uji titik pojok terlebih dahulu untuk

menentukan titik maksimum dengan garis selidik.

7. Siswa mampu menentukan 1 persamaan garis selidik dengan tepat.

8. Siswa mengetahui bahwa diperlukan 2 garis selidik untuk menentukan

titik pemaksimum fungsi kendala, namun siswa tidak mengetahui

alasannya.

9. Siswa tidak mengetahui langkah selanjutnya dalam menyelesaikan

permasalahan tersebut. Siswa tidak sampai pada tahap menentukan

keuntungan maksimum.



referensial. Siswa merencanakan untuk menyelesaiakn permasalahan tersebut


257

dengan persamaan garis selidik namun sebelumnya ia mencari titik

maksimum dengan metode uji titik pojok terlebih dahulu (poin 8). Siswa

masih mengalami kesalahan pada perhitungan sederhana. Dari pekerjaan

siswa dan hasil wawancara siswa terlihat belum sampai ke arah penyelesaian

masalah bahkan ia juga tidak mengetahui bagaimana cara menyelesaikan

permasalahan tersebut dengan metode garis selidik.

Di sisi lain siswa telah mampu untuk menggunakan simbol matematika

formal (poin 1), siswa tidak mampu mengombinasikan model matematis (poin

2,5), siswa kurang mampu berargumentasi secara matematis (poin 9), siswa

tidak dapat memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika (poin

2,4,5), siswa tidak mampu merefleksi argumen matematis serta menjelaskan

hasil (poin 8,9).

Dari hasil analisis pekerjaan siswa pada tes uji coba nomor 1, didapatkan

bahwa kemampuan memodelkan sebanyak 70,96% siswa berada pada level

situasional, 22,58% siswa berada pada level referensial, dan sebanyak 6,45%

siswa berada pada level formal.

4) S4


258



1. Siswa merepresentasikan banyaknya pupuk standard dan pupuk super

dengan kurang tepat.

2. Siswa tidak memodelkan permasalahan program linear.

3. Siswa tidak menggambar grafik fungsi kendala dan tidak menentukan

daerah penyelesaian.

4. Siswa tidak menyelesaikan permasalahan program linear

menggunakan metode garis selidik.

5. Penyelesaian siswa salah.





G : “Coba Aryo kamu jelasin ini kamu punya ide ngerjain nomor 2 pake

cara kaya gini bagaimana?”

S : “Itu cuma dikira-kira trus dicoba-coba…ya pokoke gitu lah Bu.”


259

G : “Kok pokoke gitu ini jawaban kamu unik lho, coba kamu jelasin ke

aku gimana dapatnya.”

S : “Itu kan pupuk standar mengandung 2 kg nitrogen tiap sak makanya

begini.” (menunjuk pada 4 →

2222

)

G : “Wo terus?”

S : “Trus pupuk super mengandung fosfat 4 kg tiap sak. (menunjuk pada

2 →44

). Trus pupuk standard mengandung nitrogen 4 kg tiap sak

dan pupuk super mengandung fosfat 3 kg tiap sak.” (menunjuk pada

4 →

4444

dan 2 →33

)

G : “Lha terus kamu dapatnya pupuk standardnya ada 4 sak dan pupuk

supernya ada 2 sak itu gimana?”

S : “ Itu saya ngira-ngira Bu.:

G : “Lha ngira-ngiranya idenya dari mana?”

S : “Soalnya kan harga pupuk super kan 60000 trus pupuk standard kan

30000, jadi kan pupuk yang standard 2 kalinya pupuk super.”

G : “Trus kenapa 4 sama 2? Kok gak 2 sama 1?”

S : “Hehehe gatau Bu.”

G : “Trus ini artinya 6,12,14,16 apaan?”

S : “Itu tadi ngira-ngira Bu kan tersedianya 16.”

G : “Apanya yang tersedia?”

S : “Itu nitrogen.”

G : “Disitu kan tulisannya paling sedikit 16.”

S : “Paling sedikit, iya kan Bu?”

G : “Yo nek paling sedikit 16 tu brarti nek 15 po 14 boleh ga?”

S : “O iya ya Bu. Hehehe.”

G : “Wah piye e kamu ki. Trus ini kok kamu ga pake metode garis

selidik kenapa?”

S : “Saya gatau Bu caranya.:

G : “Lha ini kok nomor 1 bisa modelin fungsi kendala segala dari mana

ini?”

S : “Hehehe kalo itu bisa Bu soalnya kan kaya di latihan soal.”

G : “Ini kan juga pernah ada di latihan soal.”

S : “iya tapi belum mudeng Bu.”

(selanjutnya Guru mengajarkan siswa untuk menggunakan metode garis

selidik)


260

Dari transkrip wawancara dan deskripsi pekerjaan siswa di atas, dapat

ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut :



8. Siswa menganggap bahwa dibutuhkan 4 sak pupuk standard dan 2 sak









2222

.




menuliskan 4 →

4444

.




261


menuliskan 2 →44

.




menuliskan 2 →33

.

9. Siswa menuliskan

6121416

karena mengira-ira bahwa jumlah nitrogen yang

harus dipenuhi adalah sebanyak 16 kg (maksimal).



Rp.60000,-).


super 2 karena harga pupuk super 2 kali pupuk standard.

12. Siswa mengatakan ia tidak mampu untuk menyelesaikan masalah




situasional. Dari pekerjaan siswa dan hasil wawancara siswa terlihat masih

berusaha menyelesaikan permasalahan pada konteks yang disediakan, siswa


262

tidak mengetahui bagaimana cara menyelesaikan permasalahan tersebut

dengan metode garis selidik.

Di sisi lain siswa tidak mampu untuk menggunakan simbol matematika


1,3), siswa kurang mampu berargumentasi secara matematis (poin 3,5), siswa

tidak dapat memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika (poin

2,3,4,5,5), siswa tidak mampu merefleksi argumen matematis serta

menjelaskan hasil (poin 3,5,6).

5) S5


263





13. Siswa menyederhanakan fungsi objektif (salah).



15. Siswa menggambar grafik fungsi kendala dengan tepat.

16. Siswa menentukan daerah penyelesaian dengan tidak tepat.


264



potong garis terhadap sumbu x dan y) dengan kurang tepat.

19. Siswa menentukan titik peminimum dengan tidak tepat (dengan







G : “Coba ini kamu gimana nyelesein soal yang nomor 2.”

S : “Pake metode garis selidik juga Bu.”

G : “Oke piye ini kok bisa hasilnya kaya gini?”

S : “Kayane kok aneh gitu ya Bu kok saya ketemunya (0,))?”

G : “Yo sapa tau kan bener, hehehe.”

S : “Ini sama kaya tadi dimisalin dulu, trus fungsi kendala, fungsi

objektif.”

G : “Ini menurut kamu misalinnya udah bener po?” (merujuk pada

jawaban siswa yang memisalkan x sebagai banyaknya nitrogen dan

y sebagai banyaknya fosfat).

S : “Ya saya gatau Bu tapi kok kayaknya aneh.”

G : “Coba sekarang kamu lihat yang mau dioptimalkan tu apa?”

S : “Mm ini Bu jenis pupuk yang dibutuhkan petani.”

G : “Oke lha jenis pupuknya apa?”

S : “O jadi saya salah Bu harusnya misalinnya x banyaknya pupuk

standard trus y banyaknya pupuk super.”

G : “padahal kamu ini fungsi kendala sama objektifnya udah agak lho.”

S : “Iya ini saya kurang teliti Bu.”

G : “Yawis gapapa trus selanjutmya ini kamu gimana?”

S : “Selanjutnya ini saya bikin fungsi kendalanya Bu sama objektifnya.”

G : “Lha ini kamu bener kan kamu buat 2x+4y≤16 itu kamu lihat dari

sisi nitrogennya padahal kamu misalin itu fosfat kan gak konsisten

to.”


265

S : “Iya Bu saya gak kepikiran soalnya kayak mbingungi gitu.”

G : “Eh tapi bentar ini kamu pake tanda ‘≤’ kenapa?”

S : “Nah itu saya salah Bu kirain tadi tu ada kata sedikit terus jadi ≤.”

G : “Hahaha tapi ‘paling sedikit’ ini kamu udah tau kan artinya gimana?”

S : “Iya Bu, sudah.”

G : “Oke trus ini kok fungsi objektifnya kamu sederhanain kenapa?”

S : “Soalnya kan mau bikin garis selidik supaya angkanya ga besar Bu.”

G : “Nah itu kan garis selidik, kalau fungsi objektifnya bisa nggak

disederhanain?”

S : “Ya kan sama aja Bu.”

G : “Lha kalo kamu udah pake garis selidik trus kamu dapet titiknya,

kamu substitusiin titiknya kemana?”

S : “Ke fungsi objektif Bu.”

G : “Ke fungsi objektif yang udah disederhanain atau belum?”

S : “Ya yang belum disedehanain Bu.”

G : “Nah kecuali kamu ngasih keterangan itu yang udah disederhanain

pake “dalam ribuan” gitu.”

S : “Oh iya Bu.”

G : “Oke selanjutnya kamu piye?”

S : “Ini selanjutnya saya nggambar fungsi kendalanya, trus gambar garis

selidik, terus kok dapetnya gini ya Bu saya juga mau Tanya ini.”

G : “Oke ini benar gambarnya, cuman ini kamu kurang sesuai ya

skalanya, liat ni 4 segini mosok 6 segini?” (merujuk pada penulisan

skala oleh siswa)

S : “O iya hehehe.”

G : “Lha ini kamu nentuin daerah penyelesaiannya gimana?”

S : “Itu Bu kan tadi saya ngiranya pake ‘≤’ jadinya yang saya arsir

sininya.”

G : “Nah iya karena tadi fungsi kendalanya sudah salah jadinya njuk

daerah penyelesaiannya jadi ikutan salah to?”

S : “Hehehe iya je Bu.”

G : “Trus kamu gak itu dampaknya apa lagi karena fungsi kendalanya

salah?”

S : “Iya Bu ini terus saya garis selidiknya juga jadi salah.”

G : “Trus harusnya gimana ini yang bener?”

S : “Harusnya ini daerah penyelesaiannya berarti yang di luar ya Bu?”

G : “Iya. Terus?”

S : “Oh ya sebentar Bu.”

G : “ini semakin kamu kecilkan fungsi objektifnya dia semakin ke kiri

apa ke kanan?”

S : “Semakin ke kiri Bu.”

G : “Ini yang dicari apa to?”

S : “Mmm pengeluaran minimum Bu.”


266

G : “Lha kalo daerah penyelesaiannya yang disini berarti titik

minimumnya mana Van?”

S : “ O ya berarti sini Bu, nah kalo gini baru wajar Bu.”

G : “Hahaha…ya selanjutnya trus piye?”

S : “Kalo gitu kan trus baru subsitusi ya Bu.”

G : “Kemana substitusinya?”

S : “Ke fungsi objektif.”



1. Siswa tidak menuliskan pemisalan variabel x dan y dengan tepat, siswa

juga tidak mampu untuk memodelkan fungsi kendala dengan tepat karena

tidak memahami konteks, siswa menyusun fungsi objektif dengan tepat

dan dengan alasan yang tepat, namun siswa menyederhanakan fungsi

objektif yang mana hal tersebut kurang tepat.

2. Siswa menuliskan sifat kenonnegatifan dengan alasan yang tepat.



tepat, namun skala yang digambarkan kurang sesuai.

4. Siswa menggambarkan daerah penyelesaian dengan tidak tepat karena

kesalahan tanda pertidaksamaan pada fungsi kendala.

5. Siswa mampu untuk menentukan persamaan garis selidik dengan tepat.


titik pemaksimum fungsi kendala dan siswa mengetahui alasannya dengan

tepat.



267

8. Siswa mampu menggunakan metode garis selidik untuk menentukan titik

minimum, namun jawaban siswa kurang tepat (karena fungsi kendalanya

kurang tepat).

9. Siswa mampu mengungkapkan hasil yang seharusnya (meskipun

jawabannya tidak tepat).




matematika formal (poin 1), mengombinasikan model matematis (poin

3,4,6,8), berargumentasi secara matematis (poin 6,8,9), siswa mampu

memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika (poin 1,4,6,8),


6) S6


268



269








tidak sesuai).




potong garis terhadap sumbu x dan y) dengan kurang tepat (skala

tidak sesuai).

19. Siswa menentukan titik peminimum dengan tepat (dengan


20. Siswa menentukan titik minimum dengan kurang tepat karena

kesalahan penghitungan.




270




G : “Jadi ini gimana kamu ngerjain soal nomor 2 Tir?”

S : “Ini misalin dulu kak terus x dan y lebih dari atau sama dengan 0,

buat fungsi kendala, fungsi objektif, digambar, terus cari garis

selidik terus digeser, terus ketemu.”

G : “Oke bentar pelan-pelan ini artinya ‘x dan y lebih dari atau sama

dengan 0’ itu apa Tir?”

S : “Artinya ini nanti pupuknya tidak boleh minus kak.”

G : “O ya maksudnya gak boleh negatif ya..oke betul..trus ini fungsi

kendalamu pake tanda ‘≥’ alasannya kenapa?”

S : “Ya soalnya kan itu keterangannya ‘paling sedikit’ jadinya ya berarti

boleh ‘lebih dari’.”

G : “Oke betul alasanmu, ini fungsi kendala ama fungsi objektifmu udah

benar. Trus selanjutnya?”

S : “Selanjutnya digambar kak fungsi kendalanya sama garis

selidiknya.”

G : “Tapi ini kamu nggambarnya skalanya kurang sesuai ya masa kalo 6

segini 12 segini?”

S : “Iya kak hehehe.”

G : “Trus ini artinya apa garis selidiknya kok 2?”

S : “Iya kan nanti dilihat dia pergerakannya kemana.”

G : “Maksudnya?”

S : “Ini kan tadinya garisnya = 24 trus dikecilin jadi =12.”

G : “Kenapa kok dikecilin?”

S : “Iya kak soalnya kan cari nilai minimum.”

G : “Oke terus pergerakannya kemana?”

S : “Ke kiri kak.”

G : “Trus kamu dapatnya titik minimumnya berapa?”

S : “Itu kak 4/5;1,6”

G : “Eh tapi itu kamu salah ngitung gak eliminasinya?”

(Siswa mengecek pekerjaannya)

S : “O iya kak ini harusnya 96 (merujuk pada kesalahan perhitungan).”

G : “Nah iya jadi salah ya ‘y’ nya.”

S : “Tapi kok hasilnya koma ya kak.”

G : “Yo ndakpapa to koma, bisa dibulatkan engga?”

S : “O iya bisa.”

G : “Trus ini jadinya kesimpulannya gimana?”

S : “Kesimpulannya berarti pupuk standardnya 5 sak trus pupuk


271

supernya 2 sak.”



1. Siswa menuliskan pemisalan variabel x dan y dengan tepat, siswa juga

mampu untuk memodelkan fungsi kendala dengan tepat menuliskan sifat

kenonengatifan dengan alasan yang tepat, siswa menyusun fungsi objektif

dengan tepat dan dengan alasan yang tepat.



tepat, namun skala yang digambarkan kurang sesuai.

3. Siswa menggambarkan daerah penyelesaian dengan tepat.

4. Siswa mampu untuk menentukan persamaan garis selidik dengan tepat.


titik pemaksimum fungsi kendala dan siswa mengetahui alasannya dengan

tepat.


7. Siswa mampu menggunakan metode garis selidik untuk menentukan titik

minimum, namun jawaban siswa kurang tepat (karena kesalahan

penghitungan).

8. Siswa mampu mengungkapkan hasil yang seharusnya (meskipun

jawabannya tidak tepat).


272




matematika formal (poin 1), mengombinasikan model matematis (poin

3,4,6,7), berargumentasi secara matematis (poin 6,7,8), siswa mampu

memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika (poin 1,4,6,7),


Dari hasil analisis pekerjaan siswa pada tes uji coba nomor 2, didapatkan


situasional dan sebanyak 6,46% siswa berada pada level formal.

G. Deskripsi Hasil Pekerjaan Siswa saat Penelitian dengan Wawancara

1) S7


273


274




15. Siswa menyusun fungsi kendala dilihat dari segi modal dan dari

segi kapasitas jumlah produksi dengan tepat.

16. Siswa menuliskan syarat kenonnegatifan dengan tepat.

17. Siswa menentukan titik potong sumbu x dan titik potong sumbu y

dari fungsi-fungsi kendala dengan tepat.



275




diagram Cartesius dengan tepat.


kendala.

22. Siswa mensubstitusikan titik-titik pojok ke fungsi objektif.


dengan tepat.

24. Siswa menentukan persamaan garis selidik dengan tidak tepat.

25. Siswa menentukan titik potong sumbu x dan y dari persamaan

garis selidik dengan tidak tepat.

26. Siswa tidak menggambar persamaan garis selidik.





G : “Coba ceritakan gimana kamu pertamanya memahami

masalah ini?

S : “Ya ini dimisalin dulu Bu.”

G : “Trus?”

S : “Ya ini x nya keripik rasa cokelat trus y nya keripik rasa

keju.”

G : “Itu maksudnya apanya keripik cokelat sama apanya keripik

keju to?”

S : “Yo nanti jumlahnya Bu.”


276

G : “Lha trus kok ga ditulis?”

S : “Hehehe ya maksudnya begitu.”

G : “Trus maksud dari x ≥ 0 sama y ≥ 0 ini apa?”

S : “Kan nanti keripiknya ga boleh min (negatif) Bu.”

G : “O ya bagus, trus selanjutnya kamu ngapain?”

S : “Selanjutnya cari fungsi kendalanya njuk digambar.”

G : “Ini fungsi kendalanya kenapa pake pertidaksamaan ≤”

S : “Soalnya kan ini modalnya maksimal cuma 500000 dan ibu

cuma mampu memproduksi 40 bungkus sehari.”

G : “O ya bagus, trus?”

S : “Cari fungsi sasaran kan yang dicari keuntungan jadi itu

keuntungannya 2500x + 3000y”

G : “Iya oke, trus ini maksudnya apa?” (menunjuk bagian siswa

mencari titik potong dari kedua fungsi kendala)

S : “Ini maksudnya digambar dulu Bu (di sebaliknya) trus baru

menentukan titik maksimumnya.”

G : “Lha ini gimana kamu nyari titik maksimumnya?”

S : “Ini titik-titiknya dimasukkin ke fungsi sasarannya.”

G : “Lha trus kok kamu milihnya titik-titik itu kenapa?”

S : “Soalnya ini kan kurang dari.”

G : “Lha tapi mana daerah penyelesaiannya?”

S : “Hehehe lupa belum digambar Bu.”

G : “Lha berarti itu namanya pake metode apa?”

S : “Ini saya pakai garis selidik juga Bu.”

G : “Gimana kamu menentukan garis selidiknya?”

S : “Ini dari fungsi sasarannya trus disamadenganin hasil kali

angka-angkanya (sambil menunjuk koefisien variabel x dan

y)”

G : “Lha emang fungsi sasaranmu opo to?”

S : “Ini Bu” (2500x + 3000y=f(x,y))

G : “Lha trus kok iso jadi 5x + 20 y ki gimana?”

S : “Itu maksudnya disederhanakan Bu.”

G : “Lha bener gak itu kamu le menyederhanakan?”

S : “O iya salah Bu.”

G : “Lain kali yang teliti. Trus ini kok persamaan garis selidiknya

sama dengan 100 trus ini sama dengan 500 kenapa?”

S : “Soalnya kan cari 2 garis Bu.”

G : “Kenapa kok 2 garis?”

S : “Hmm gatau kemarin disuruhnya gitu.”

G : “Wo lha pie kamu nggak ndengerke tah?”

S : “Saya belum begitu mudeng yang garis selidik Bu.”

G : “Yowes setaumu aja nek pake garis selidik habis nentuin

persamaannya njuk gimana?”


277

S : “Habis itu digambar tapi saya gatau Bu.”

G : “Ya kan sebenernya nggambarnya sama aja sama waktu kamu

nggambar grafik fungsi kendala itu.”

S : “Iya Bu tapi saya gatau gimana terus bisa motong-motongnya

gitu.”



1. Siswa tidak menuliskan pemisalan variabel x dan y dengan tepat, namun ia

mampu untuk memodelkan fungsi kendala dengan tepat dan dengan

alasan yang tepat, menuliskan sifat kenonnegatifan dengan alasan yang

tepat, menyusun fungsi objektif dengan tepat dan dengan alasan yang

tepat.



tepat.


kendala, namun siswa kurang tepat dalam mengungkapkan alasan

pemilihan daerah penyelesaian.

4. Siswa tidak mampu untuk menentukan persamaan garis selidik dengan

tepat karena kesalahan teknis perhitungan.


titik pemaksimum fungsi kendala, namun siswa tidak mengetahui

alasannya.


278

6. Siswa tidak mampu menggambar persamaan garis selidik karena terpaku

dengan langkah-langkah penyelesaian masalah.


memodelkan siswa tersebut untuk permasalahan nomor 1 adalah pada

level general. Hal ini disebabkan siswa telah mampu untuk menggunakan

simbol matematika formal (poin 1), mengombinasikan model matematis

(poin 1,2,3), berargumentasi secara matematis (poin 1,2,3), namun siswa

tidak dapat memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika

(poin 5), merefleksi argumen matematis serta menjelaskan hasil (poin

5,6).

2) S8


279















kendala.


280


dengan tepat.



G : “Ini gimana kamu nyelesein nomer 1 nya, Nik?”

S : “ Ini misal x nya coklat y nya keju.”

G : “Apanya coklat apanya keju.”

S : “Keripiknya Bu.”

G : “Iya keripiknya, tapi itu yang mau kamu cari x nya ama y nya

apa?”

S : “Keuntungannya Bu.”

G : “Iya keuntungannya dapetnya saat apa?”

S : “Ini waktu (20,20).”

G : “(20,20) disitu artinya apa?”

S : “Keripik coklatnya 20, keripik kejunya 20 Bu.”

G : “Nah berarti 20 itu apanya?”

S : “Jumlahnya keripik Bu.”

G : “Berarti pemisalanmu itu udah bener apa belum?”

S : “Hehehe belum Bu.”

G : “Ya oke besok lain kali yang bener. Terus ini selanjutnya kamu

ngapain?”

S : “Ini buat modal sama jumlahnya.”

G : “Itu namanya apa?”

S : “Persamaan Bu.”

G : “Itu namanya fungsi kendala.”

S : “O iya Bu.”

G : “Trus ini tadi soalnya gimana?”

S : “O itu kan modalnya 500000 sama jumlahnya kan 40.”

G : “Kalo modalnya kurang dari 500000 boleh engga?”

S : “Ya boleh Bu.”

G : “Berarti harus ‘sama dengan’ engga?”

S : “Ya engga Bu.”

G : “Berarti ini harusnya pakai tanda apa?”

S : “O yang kurang dari ya Bu.”

G : “Iya. Trus selanjutnya?”

S : “Selanjutnya ini dieliminasi Bu.”

G : “Kenapa kok dieliminasi?”

S : “Seperti yang di catatan Bu.”

G : “Trus ini dapat (20,0) sama (0,20) dari mana?”


281

S : “Soalnya saat x nya 0 y nya 20 trus saat y nya 0 x nya 20.”

G : “Hmm kalo (20,20)?”

S : “Soalnya kan ini x + y = 40 jadi x nya 20 sama y nya 20.”

G : “Jadi ini namanya kamu pake metode apa/”

S : “Gatau nama metodenya Bu.”

G : “Kamu tahu engga gimana pakai metode garis selidik itu?”

S : “Saya masih bingung soal metode garis selidik itu Bu.”




juga tidak mampu untuk memodelkan fungsi kendala dengan tepat (tidak

menggunakan tanda pertidaksamaan), siswa tidak menuliskan sifat

kenonnegatifan, siswa tidak menyusun fungsi objektif.

2. Siswa mampu untuk menggambarkan grafik persamaan kendala dengan


kurang tepat karena skala tidak sesuai.

3. Siswa tidak mampu untuk menentukan daerah penyelesaian dari grafik

fungsi kendala.

4. Siswa mengalami kesalahan konsep ketika mensubstitusi titik ke fungsi

objektif.

5. Siswa tidak mengetahui bahwa diperlukan 2 garis selidik untuk

menentukan titik pemaksimum fungsi kendala.

6. Siswa tidak mengetahui cara menyelesaikan masalah program linear



282


memodelkan siswa tersebut untuk permasalahan nomor 1 adalah pada

level referensial. Siswa merencanakan untuk menyelesaikan permasalahan

tersebut dengan uji titik pojok terlebih dahulu namun ternyata siswa salah

dalam menentukan titik pojoknya (poin 4). Siswa masih mengalami

kesalahan pada perhitungan sederhana. Dari pekerjaan siswa dan hasil

wawancara siswa terlihat sudah akan mengarah ke penyelesaian masalah

namun siswa terkendala kesalahan konsep. Siswa juga tidak mengetahui

bagaimana cara menyelesaikan permasalahan tersebut dengan metode

garis selidik.

Di sisi lain siswa telah mampu untuk menggunakan simbol

matematika formal (poin 1), siswa tidak mampu mengombinasikan model

matematis (poin 1,2,3), siswa kurang mampu berargumentasi secara

matematis (poin 5,6), siswa tidak dapat memahami perluasan dan

keterbatasan konsep matematika (poin 2,3,5), siswa tidak mampu

merefleksi argumen matematis serta menjelaskan hasil (poin 5,6).

Dari hasil analisis pekerjaan siswa pada tes penelitian nomor 1,

didapatkan bahwa kemampuan memodelkan sebanyak 83,87% siswa berada

pada level referensial dan 16,13% siswa berada pada level general.

3) S9


283



284



12. Siswa tidak menuliskan fungsi kendala dengan tepat, siswa juga tidak

menuliskan syarat kenonnegatifan.


14. Siswa tidak mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y dari

fungsi kendala, namun siswa dapat menggambarkan grafik fungsi



16. Siswa menentukan titik perpotongan antara 2 fungsi kendala, namun

siswa mengalami kesalahan perhitungan.



19. Siswa menentukan titik peminimum dengan tidak tepat.






G : “Coba Rik kamu jelasin ini gimana cara kamu menyelesaikan soal

nomor 2.”

S : “Iya Kak itu dicari titik-titiknya terus digambar.”

G : “Sek bentar, ini kan kamu nulis persamaan-persamaan dalam x dan y,


285

nah emangnya x dan y itu apa sih?”

S : “Itu kak x nya kan pupuk standard trus y nya pupuk super.”

G : “Lha iya apanya pupuk standard dan apanya pupuk super?”

S : “Jumlahnya kak.”

G : “Lha kok engga ditulis?”

S : “Hehehe iya kak.”

G : “Lha kalau kaya gini kan yang baca kan nggak tau x itu apa y itu

apa.”

S : “Iya kak kelupaan.”

G : “Trus ini fungsi kendalanya apa Rik?”

S : “Ini kak.” (merujuk pada fungsi kendala yang masih dalam

persamaan linear 2 variabel)

G : “Kenapa kok kamu nggak pakai tanda pertidaksamaan?”

S : “Pake kak ini waktu uji titik cari daerah arsiran.”

G : “Lha itu kan waktu cari daerah penyelesaian. Lha yang tulisannya

fungsi kendala mana?”

S : “Hehehe maaf kak tadi buru-buru kirain bisa sekalian.”

G : “Lanjut, ini kalau misal fungsi kendalanya tak tambahi syarat x ≥ 0

dan y≥0, kamu tau artinya engga Rik?”

S : “O tau kak tadi lupa mau nambahin syarat itu.”

G : “Apa artinya?”

S : “Pupuknya tidak boleh minus (negatif).”

G : “Oke baik. Trus ini kamu kok eliminasi kenapa?”

S : ”Soalnya kan ini mau diuji titik-titiknya kak?”

G : “Emang titik-titiknya kamu dapat dari mana?”

S : “Ini kan dari ujung-ujung daerah penyelesaiannya.”

G : “Brarti itu kamu pakai metode sesuai perintah engga?”

S : “Saya ngga bisa kak kalau pakai yang garis.”

G : “Hmmm lagipula itu kamu eliminasinya juga ada yang salah.”

(Guru menunjukkan kesalahan perhitungan yang dilakukan oleh siswa)

G : “Menurut hasil perhitunganmu titik potongnya (0,4) padahal (0,4)

harusnya dimana coba?”

S : “Di sini kak.” (sambil menunjukkan letak titik (0,4) pada diagram

Cartesius)

G : “Nah berarti masuk akal nggak perhitunganmu?”

S : “Enggak kak.:

G : “Kok nggak diteliti?”

S : “Waktu itu nggak kepikiran kak.”

G : “Kenapa kamu nggak bisa pakai metode garis selidik? Susahnya

dimana?”

S : “Iya kak saya masih bingung cara nggeser-nggesernya.”

G : “Cara nentuin garisnya bisa?”

S : “Kayaknya bisa kak, cuma masukin nilai z ya kak.”


286

G : “Trus kok ngga dicoba kenapa?”

S : “Soalnya pake titik pojok juga bisa kak.”




juga tidak mampu untuk memodelkan fungsi kendala dengan tepat (tidak

menggunakan tanda pertidaksamaan), siswa tidak menuliskan sifat

kenonnegatifan.

2. Siswa menyusun fungsi objektif dengan tepat dan dengan alasan yang

tepat.



tepat (meskipun tidak menuliskan prosesnya).


kendala.

5. Siswa menyelesaikan masalah menggunakan metode uji titik pojok (tidak

sesuai perintah).

6. Siswa mengalami kesalahan perhitungan ketika mencari titik potong dari

grafik fungsi kendala.

7. Siswa tidak menyadari bahwa hasil perhitungan titik potong dari fungsi

kendala tidak sesuai dengan grafik yang ia buat.


287

8. Siswa hanya mengerti cara menentukan persamaan garis selidik, namun

tidak dapat menentukan titik pengoptimum dengan metode garis selidik.





referensial. Siswa menyelesaikan permasalahan menggunakan metode titik

pojok dan tidak sesuai dengan perintah soal (poin 5). Siswa masih mengalami

kesalahan pada perhitungan sederhana. Dari pekerjaan siswa dan hasil

wawancara siswa terlihat sudah akan mengarah ke penyelesaian masalah

namun siswa tidak menggunakan metode yang sesuai. Siswa juga tidak

mengetahui bagaimana cara menyelesaikan permasalahan tersebut dengan




1,3,4), siswa kurang mampu berargumentasi secara matematis (poin 5,8,9),

siswa tidak dapat memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika

(poin 7), siswa tidak mampu merefleksi argumen matematis (poin 8) namun

siswa dapat menjelaskan hasil meskipun hasil yang didapatkan kurang tepat

(poin 9)

4) S10


288



289











tepat.


fungsi objektif.


fungsi kendala.


dapatkan.


petani.




290




G : “Ini gimana kamu ngerjainnya?”

S : “Itu saya ngelompokin yang diketahui dulu terus dibuat fungsi Bu.”

G : “Oke ini jadinya fungsi kendala ya. Trus ini artinya apa x ≥ 0 dan y ≥

0?”

S : “Artinya pupuknya tidak minus Bu.”

G : “Berarti x itu apa y itu apa kok gak boleh negatif?”

S : “Jumlah pupuknya Bu.”

G : ”Kok gak dimisalin dulu sama kamu?”

S : “Ya soalnya kirain gak dimisalin gapapa Bu.”

G : “Ya kalo gak dimisalin yang baca gak tahu x y itu mewakili apa.”

G : “Trus selanjutnya ini kamu ngapain?”

S : “Ini selanjutnya aku trus digambar Bu.”

(Siswa menjelaskan caranya menggambar grafik yaitu dengan mencari

titik potong terhadap sumbu x dan y terlebih dahulu)

G : “Trus ini kok kamu langsung eliminasi kenapa?”

S : “Soalnya mau cari nilai minimumnya Bu.”

G : “Lha kok langsung dieliminasi?”

S : “Soalnya biasanya jawabannya kan yang di titik potong itu Bu.”

G : “Ini perintahnya kan suruh pakai metode garis selidik, kenapa kamu

malah eliminasi?”

S : “Itu saya belum selesai Bu.”

G : “Tapi kok kamu udah eliminasi duluan?”

S : “Iya soalnya kan nanti ini buat nyocokin Bu.”

G : “Emang gimana sih kalo pake metode garis selidik?”

S : “Cari nilainya dulu terus digeser geser pokoknya sampai motong

fungsi kendalanya.”

G : “Cari nilai apa?”

S : “Cari nilai garis selidiknya Bu?”

G : “Berapa persamaan garis selidik yang dibutuhkan?”

S : “2 Bu, yang satu nilainya yang besar satunya kecil.”

G : “Kenapa kok harus dibuat 2 garis selidik?’

S : “Buat motong fungsi kendalanya Bu.”

(Penjelasan siswa kurang tepat lalu guru mengklarifikasi jawaban siswa)




291

1. Siswa tidak menuliskan pemisalan variabel x dan y, namun siswa mampu

memodelkan fungsi kendala dengan tepat siswa menuliskan sifat

kenonnegatifan dan mengetahui artinya dengan benar.

2. Siswa menyusun fungsi objektif dengan tepat dan dengan alasan yang

tepat.



tepat.

4. Siswa tidak mampu untuk menentukan daerah penyelesaian dari grafik

fungsi kendala.

5. Siswa menyelesaikan masalah dengan langsung mengeliminasi 2

persamaan fungsi kendala.

6. Siswa berencana menggambar garis selidik setelah mencari titik optimum

dengan mengeliminasi 2 persamaan fungsi kendala (namun siswa

kehabisan waktu).

7. Siswa mengerti cara menentukan persamaan garis selidik, namun siswa

tidak memahami makna penggunaan garis selidik, siswa tidak mengetahui

alasan mengapa dibutuhkan 2 garis selidik.



9. Siswa tidak membulatkan titik pengoptimum fungsi tujuan.


292

10. Siswa mengalami kesalahan perhitungan dalam menghitung biaya

minimum pembelian pupuk.



referensial. Siswa menyelesaikan permasalahan dengan langsung

mengeliminasi 2 persamaan fungsi kendala (poin 5). Siswa masih mengalami

kesalahan pada perhitungan sederhana (poin 10). Dari pekerjaan siswa dan

hasil wawancara siswa terlihat sudah akan mengarah ke penyelesaian masalah

namun siswa tidak menggunakan metode yang sesuai. Siswa juga tidak

mengetahui bagaimana cara menyelesaikan permasalahan tersebut dengan

metode garis selidik. Siswa berencana menuliskan cara pengerjaan dengan

menggunakan metode garis selidik namun hanya prosedural, sebenarnya ia tak

mengerti makna penggunaan garis selidik.


formal (poin 2,3), siswa mampu mengombinasikan model matematis (poin

1,3,), namun siswa tidak dapat menentukan daerah penyelesaian (poin 4),

siswa kurang mampu berargumentasi secara matematis (poin 7), siswa tidak

dapat memahami perluasan dan keterbatasan konsep matematika (poin

6,7,8,9), siswa tidak mampu merefleksi argumen matematis (poin 7) namun

siswa dapat menjelaskan hasil meskipun hasil yang didapatkan kurang tepat

(poin 9)


293

Dari hasil analisis pekerjaan siswa pada tes penelitian nomor 2, didapatkan


referensial dan sebanyak 6,54% siswa berada pada level formal.

H. Refleksi Pelaksanaan Penelitian

Terjal. Itulah jalan yang saya lalui selama proses menyelesaikan tesis ini.

Sebenarnya program studi Magister Pendidikan Matematika USD sudah baik

sekali dengan menyusun kurikulum yang membuat mahasiswanya sudah dapat

meyusun tesis bahkan dari semester 1 pada mata kuliah Kajian Topik Penelitian

yang saat itu (sampai refleksi ini ditulis) dibimbing oleh Pak Andy, namun pada

saat itu saya masih kebingungan dan belum memiliki rencana yang matang

sehingga jujur saja penelitian yang waktu itu kurancang semata-mata hanya

untuk memenuhi tugas kuliah. Sebenarnya prodi ini juga sudah baik sekali

karena pada semester 2, mahasiswa sudah diperkenankan untuk mendaftarkan

diri pada dosen pembimbing tesis yang dikehendaki dan sesuai dengan topik

penelitian yang diusung, karena pada semester 2 kami mengambil mata kuliah

Metode Penelitian jadi tujuannya agarmengerjakan tugas kuliah sekaligus

konsultasi dengan dosen pembimbing sehingga hasil tugasnya sekaligus untuk

tesis. Sebenarnya USD terkhusus prodi ini sudah baik sekali karena dosennya

baik-baik, tidak ada sekat yang begitu tinggi antara dosen dan mahasiswa, kami

bisa konsultasi dengan dosen siapapun dimanapun asal topiknya cocok, kami

tidak dipersulit untuk bertemu dosen, banyak fasilitas dan sumber belajar yang

disediakan dan selalu diupdate oleh Pak Andy via Whatssap Group, dan masih


294

banyak kebaikan-kebaikan lain yang saya rasakan selama saya berkuliah di

program studi Magister Pendidikan Matematika USD.

Segala kebaikan-kebaikan yang sudah disediakan prodi ini ternyata tiada

berarti apabila tak ada motivasi dalam diri. Rasa tanggung jawab dan

kedewasaan dalam mengelola emosi amat diperlukan agar kita dapat konsentrasi

penuh dalam melaksanakan penelitian dan penulisan penelitian. Harus disadari

bahwa urusan penelitian bukan hanya dengan diri kita sendiri, melainkan

melibatkan kaprodi, dosen pembimbing tesis, guru pamong, pihak sekolah,

siswa, dan partner penelitian kita. Selain itu esensi dari penelitian itu sendiri

merupakan tanggung jawab moral kita sebagai peneliti, bahwa sebuah penelitian

tujuannya untuk kebaikan meskipun di samping itu juga sebagai syarat untuk

memperoleh gelar.

Jujur saja hal-hal yang kutuliskan pada paragraf sebelum ini adalah hal-hal

yang hilang dari diriku selama berkuliah S2. Saya malu menuliskannya namun

itulah kenyataannya. Banyak faktor eksternal yang mengganggu pikiranku

selama 2 tahun ini dan saya malu mengsayai bahwa ternyata saya kalah melawan

kemalasan untuk menyelesaikan penelitian dengan baik. Kemalasan ini membuat

saya harus mengulang penelitian yang sebenarnya sudah saya lsayakan pada

semester 2 di SMP Budya Wacana Yogyakarta. Data-data hasil penelitian dan

instrumennya yang sudah terlalu lama saya tinggalkan membuat saya kesulitan

saat suatu hari saya memutuskan untuk menganalisisnya. Memang ada video


295

pembelajaran, namun ingatan-ingatan kecil selama proses pembelajaran sudah

hilang sehingga sulit sekali untuk menganalisisnya secara mendetil.

Sebenarnya selama hampir 1 semester tak menemui dosen pembimbing

(padahal sudah melaksanakan penelitian) tak serta merta menjadikan saya orang

yang mati rasa tanpa rasa gelisah dan bersalah. Saya sudah berkali-kali berniat

untuk menemui dosbing (dosen pembimbing) tapi saya selalu kalah dengan rasa

malu dan rasa tsayat dimarahi. Padahal sebenarnya saya memang pantas untuk

dimarahi dan merasa malu. Hidupku selama 1 semester itu (semester 3) seperti

dikejar-kejar perasaan bersalah dan itu rupanya amat menyiksa diri sendiri.

Sampai akhirnya saya tak sengaja dipertemukan Tuhan dengan dosbingku saat

saya hendak ke sekretariat JPMIPA untuk menitipkan hasil koreksi USIP

mahasiswa. Tak disangka-sangka ternyata respon beliau biasa saja dan malahan

halus sekali. Padahal di bayanganku jika suatu hari saya menemuinya, beliau

akan terkaget-kaget dan langsung merundungku dengan pertanyaan sambil saya

dimarah-marahi. Hmm.

Respon beliau yang baik sekali dalam menyambut “anak yang hilang”

memang membuatku malu pada diri sendiri dan menyesal mengapa tak kutemui

saja dari dulu-dulu, namun lebih dari itu saya merasakan kelegaan dan

tersemangati karena ketsayatanku tak terbukti. Akhirnya saya mengatakan bahwa

saya sudah terlalu lupa untuk menganalisis data yang sudah “mangkrak” selama

1 semester. Saya mengutarakan ideku untuk mengulang penelitian dengan subjek

mahasiswa, namun setelah melalui beberapa pertimbangan dan bimbingan 1 kali,


296

tersepakati bahwa saya akan tetap mengulang penelitian namun subjeknya tetap

siswa sekolah menengah. Saya amat bersyukur karena beliau masih bersedia

menjadi dosbingku dan mau membimbing lagi padahal saya mengulang

penelitian.

Dalam perjalanannya tentu tidak mudah apalagi melsayakan pembelajaran

di sekolah banyak kendala dari kapan materi diajarkan, harus berbagi kelas

dengan PPL, banyaknya aktivitas-aktivitas non akademik pada bulan Agustus

sampai November misalnya perlombaan dalam rangka 17 Agustus, live in, PL

Cup. Selain itu waktu yang mepet membuat saya juga sedikit tertekan dalam

menjalaninya namun itu bukanlah hal yang pantas dikeluhkan karena saya berada

pada situasi ini juga karena diriku sendiri.

Setelah melalui proses panjang dari saya mulai penelitian bulan Agustus

sampai selesai pertengahan Oktober (sambil wawancara siswa) selanjutnya saya

menganalisis dan saya sempat terkendala lagi karena hidup ini tak lepas dari

masalah. Terseok-seok saya tetap mengerjakan tesis ini meski lambat sekali.

Saya tsayat sekali saya tidak selesai karena masa beasiswsaya sudah akan

berakhir dan apabila saya tidak menyelesaikan tesis pada semester ini maka saya

harus membayar sejumlah uang tertentu untuk kuliah pada semester depan,

padahal saya sudah tinggal sedikit lagi menuju selesai.

Pada akhirnya saya boleh sedikit berbangga dengan diriku sendiri karena

dengan kondisi diri yang menurutku kacau, saya dapat menyelesaikan tesis ini.

Saya sadari tesis ini bukanlah hasil yang maksimal dari diriku, namun dari sini


297

saya amat banyak belajar apa arti bertanggung jawab, berbesar hati mengsayai

kesalahan, menghargai orang lain, tidak membuat orang lain susah karena

kelalaian diri.

Dalam proses penelitian ini justru masalah terbesar datangnya dari

pergumulan diri sendiri, puji Tuhan tak ada halangan berarti yang datangnya dari

luar diri sendiri. Saya bersyukur Tuhan seperti memberi kelancaran dalam proses

penelitian meskipun hasil pembelajaranku pun kurang maksimal. Saya tidak akan

melupakan tahun 2018 yang penuh dengan lika-liku hidup sekaligus saya tak

akan pernah melupakan bahwa tahun 2018 saya juga dapat memenangkan

perkara tesis atas kemalasan diriku sendiri dan tentu saja ini berkat perpanjangan

tangan Tuhan melalui dosbing dan sahabat-sahabatku yang selalu ada. Puji

Tuhan.


272

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian mengenai analisis kemampuan

memodelkan siswa kelas XI SMA Pangudi Luhur Yogyakarta pada materi

program linear dengan menggunakan blended learning, penulis dapat menarik

beberapa kesimpulan yaitu :

1. Karakteristik PMR yang muncul dengan pendekatan Pembelajaran

Matematika Realistik untuk materi program linear menggunakan metode

garis selidik adalah sebagai berikut :

a. Dalam pembelajaran uji coba pertemuan pertama, “penggunaan

konteks” muncul dengan digunakannya masalah real yang dapat

dibayangkan siswa dalam memulai pembelajaran, “penggunaan

kontribusi siswa” muncul saat guru mengonstruksi pengetahuan siswa

mengenai cara mengubah kalimat sehari-hari menjadi suatu

pertidaksamaan linear 2 variabel, “penggunaan model” muncul saat

siswa memodelkan masalah nyata ke dalam suatu pertidaksamaan

linear 2 variabel setelah siswa telebih dahulu memodelkan masalah

nyata ke dalam suatu persamaan linear 2 variabel.

b. Dalam pembelajaran uji coba pertemuan kedua, “interaktivitas”

muncul saat siswa melaksanakan kuis dengan aplikasi “Kahoot!”,


273

“penggunaan konteks” muncul saat siswa diminta untuk

menggambarkan grafik pertidaksamaan linear 2 variabel dari

pertidaksamaan 2 variabel yang sudah didapatkan pada pertemuan

sebelumnya, “penggunaan model” muncul saat siswa menggambarkan

pertidaksamaan linear 2 variabel ke dalam suatu diagram Cartesius,

“penggunaan kontribusi siswa” muncul saat guru mengonstruksi

pengetahuan siswa untuk menemukan cara menggambar grafik

pertidaksamaan linear 2 variabel, “keterkaitan” muncul saat siswa

menyelesaikan soal menggambar grafik pertidaksamaan linear 2

variabel.

c. Dalam pembelajaran uji coba pertemuan ketiga, “interaktivitas”



menyelesaikan masalah optimisasi, “penggunaan kontribusi siswa”

muncul saat guru mengonstruksi pengetahuan siswa untuk

menemukan cara mengoptimumkan fungsi objektif, “keterkaitan”

muncul saat siswa menyelesaikan soal optimisasi.

d. Dalam pembelajaran penelitian pertemuan pertama, “penggunaan

konteks” muncul dengan digunakannya masalah real yang dapat

dibayangkan siswa dalam memulai pembelajaran, “penggunaan

kontribusi siswa” muncul saat guru mengonstruksi pengetahuan siswa

mengenai cara mengubah kalimat sehari-hari menjadi suatu


274

pertidaksamaan linear 2 variabel, “penggunaan model” muncul saat

siswa memodelkan masalah nyata ke dalam suatu pertidaksamaan

linear 2 variabel setelah siswa telebih dahulu memodelkan masalah

nyata ke dalam suatu persamaan linear 2 variabel, “interaktivitas’

muncul saat siswa secara berpasangan untuk menyelesaikan masalah

pada pertemuan pertama.

e. Dalam pembelajaran penelitian pertemuan kedua, “interaktivitas”

muncul saat siswa melaksanakan kuis dengan aplikasi “Kahoot!”dan

saat siswa berpasangan menyelesaikan masalah pada pertemuan

kedua, “penggunaan konteks” muncul saat siswa diminta untuk

menggambarkan grafik pertidaksamaan linear 2 variabel dari

pertidaksamaan 2 variabel yang sudah didapatkan pada pertemuan

sebelumnya, “penggunaan model” muncul saat siswa menggambarkan

pertidaksamaan linear 2 variabel ke dalam suatu diagram Cartesius,

“penggunaan kontribusi siswa” muncul saat guru mengonstruksi

pengetahuan siswa untuk menemukan cara menggambar grafik

pertidaksamaan linear 2 variabel, “keterkaitan” muncul saat siswa

menyelesaikan soal menggambar grafik pertidaksamaan linear 2

variabel.

f. Dalam pembelajaran penelitian pertemuan ketiga, “interaktivitas”




275

menyelesaikan masalah optimisasi, “penggunaan kontribusi siswa”

muncul saat guru mengonstruksi pengetahuan siswa untuk

menemukan cara mengoptimumkan fungsi objektif, “keterkaitan”

muncul saat siswa menyelesaikan soal optimisasi.

2. Kemampuan memodelkan siswa berdasarkan hasil tes akhir setelah

diterapkan blended learning adalah sebagai berikut :

a. Dalam menyelesaikan soal tes nomor 1 pada saat uji coba, 70,96%

siswa berada pada level situasional, 22,58% siswa berada pada level

referensial, dan 6,45% siswa berada pada level formal.

b. Dalam menyelesaikan soal tes nomor 2 pada saat uji coba, 93,59%

siswa berada pada level situasional dan 6,45% siswa berada pada level

formal.

c. Dalam menyelesaikan soal tes nomor 1 pada saat penelitian, 100%

siswa berada pada level referensial.

d. Dalam menyelesaikan soal tes nomor 2 pada saat penelitian, 93,54%

siswa berada pada level referensial dan 6,45% siswa berada pada level

formal.

B. Saran

Adapun saran-saran yang dapat diberikan oleh penulis dari proses penelitian

ini adalah sebagai berikut :


276

a. Hendaknya dalam melaksanakan pembelajaran dalam penelitian, guru

lebih fokus, tidak melsayakan banyak improvisasi dan harus berpegang

pada rancangan yang sudah disusun dalam HLT.

b. Hendaknya untuk peneliti selanjutnya lebih memperhatikan alokasi waktu

dalam melaksanakan kuis menggunakan aplikasiKahoot!.

c. Hendaknya dalam melaksanakan kuis dengan menggunakan aplikasi

Kahoot!, peneliti dapat lebih mempersiapkan kebijakan-kebijakan atas

kendala yang akan ditemui siswa di lapangan seperti (1) aplikasi error di

pertengahan kuis, (2) ada siswa yang gagal log in karena lambatnya

koneksi internet, (3) sistem penilaian apabila ada siswa yang mengerjakan

secara individu maupun berkelompok.


275

DAFTAR PUSTAKA

Amrizal, Rully. 2015. Implementasi Pembelajaran Berbasis Blended Learning pada

Mata Pelejaran Matematika Kelas VIII MTs Negeri Pemalang Tahun Ajaran

2015/2016. Universitas Negeri Semarang.

Dwiyogo, Wasis D. 2011. Pembelajaran Berbasis Blended Learning. Makalah

disampaikan pada Seminardan Lokarkarya Peningkatan Kualitas

Pembelajaran melalui Blended Learning Model, FKMPPS Universitas Negeri

Malang, 26 Maret 2011.

Fitri, dkk. 2017.TIK Untuk AUD : Penggunaan Platform “Kahoot” dalam

Menumbuhkan Jiwa Kompetitif dan Kolaboratif Anak. Makalah disampaikan

pada Seminar Pedagogi : Jurnal Anak Usia Dini dan Pendidikan Anak Usia

Dini di Universitas Narotama, Desember 2017.

Gravemeijer,K.P.E. 1997. Developing Realistic Mathematics Education.Utrech:

Freudenthal Institute.

Hadi, Sutarto. 2005. Pendidikan Matematika Realistik. Banjarmasin: Penerbit Tulip.

Miles, Mattew B dan Amichael Huberman. 2007. Analisis Data Kualitatif

Buku Sumber tentang Metode-metode Baru. Terjemahan Tjetjep Rohendi

Rolusi. Jakarta: Universitas Indonesia.

Rahma Siska Utari, dkk. 2014. Metodologi Penelitian Pendidikan Matematik.

www.mathshareblog.wordpress.com. Diakses pada Agustus 2018.

Sumandya, I Wayan. 2016. Pengembangan Bahan Ajar Sistem Persamaan Linier

Berwawasan Pendidikan Matematika Realistik Berorientasi Blended

Learning. Jurnal EMASAINS Volume V no 1. FPMIPA IKIP PGRI Bali.

Kasmina, Suhendra,dkk (2008). Matematika Program Keahlian Teknologi,

Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta: Penerbit

Erlangga.

Permendiknas No 24 Tahun 2013 tentang Standar Isi Mata Pelajaran Matematika.


http://www.mathshareblog.wordpress.com/

276

Prahmana, R.C.I. 2017. Design Research : Teori dan Impelementasinya. Depok :

Rajawali Press.

Sugiyono. 2013. Metode Penelitian Pendidikan : Pendekatan Kuantitatif Kualitatif

dan R&D. Bandung : Alfabeta.

Susanta B., (1994), Program Linear. Yogyakarta

Van den Akker, et al. 2006. Education Design Research. New York : Routledge.

Van den Akker, J, et al., 20016. “Introducing Educational Design Research”, dalam

Educational Design Research, New York : Routlegge.

Van den Heuvel-Panhuizen,M.1996.Assesment and Realistic Mathematics Education.

Thesis. Utrech : CD-ß Press.

Wijaya, Ariyadi. 2012. Pendidikan Matematika Realistik : Suatu Alternatif

Pendekatan Pembelajaran Matematika. Yogyakarta : Graha Ilmu.


ANALISIS KEMAMPUAN MEMODELKAN SISWA KELAS XI SMA … · Materi Program Linear dengan Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik (PMR). Berdasarkan hasil wawancara dengan

Documents