UNIVERSIDAD AUTNOMA DE YUCATN
FACULTAD DE INGENIERA
INGENIERA MECATRNICA
ROBTICA 1
ROBOT PUMA
Integrantes:
CSAR ALBERTO SOSA ZNIGAEDUARDO ERIBERT ESCOBAR AQUINOANDR JOS
NOVELO CELMOCRISTOPHER CORTS SANCHEZANGEL LLANEZ CABALLEROJONATAN
DEOLARTE MARTINEZ
MRIDA, YUCATN, MXICO2 0 1 4
IntroduccinEl robot PUMA (Programmable Universal Machine for
Asambly) es un brazo articulado con 6 articulaciones rotatorias que
le proporcionan 6 grados de libertad y le permiten posicionar y
orientar su herramienta final. Ver figura 1.
Figura 1. Robot PUMA 560.De manera ms especfica, las 3 primeras
articulaciones (sistema Hombro-codo-Mueca) se utilizan para
posicionar el efector final, mientras que las ltimas tres
articulaciones sirven para orientarlo. La cinemtica directa del
brazo articulado se formul siguiendo la representacin de
Denavit-Hartenberg, cuya descripcin comprende la asignacin de
sistemas de referencia y relacin de parmetros asociados a elementos
y articulaciones.La cinemtica inversa se realiz algebraicamente
partiendo de las ecuaciones proporcionadas de la cinemtica
directa.
CINEMTICA DIRECTA
En la figura 2 se muestra las asignaciones de tramas. La figura
3 muestra los detalles del antebrazo del robot.La trama {0} (que no
se muestra) es coincidente con la trama {1} cuando es cero. Los
ejes de las articulaciones 4, 5, y 6 se intersectan todos en un
punto comn, y este punto de interseccin coincide con el origen de
las tramas {4}, {5} y {6}, los ejes de articulacin de 4, 5 y 6 son
mutuamente ortogonales.Los parmetros de Denavit-Hartenberg que
corresponden a esta disposicin de tramas de vnculos se muestran en
la tabla 1. El robot tiene una combinacin de engranajes en la mueca
del manipulador que acopla los movimientos de las articulaciones 4,
5 y 6.
Figura 2. Asignaciones de tramas para el manipulador.
Figura 3. Asignaciones de tramas para el antebrazo del
manipulador.Tabla 1. Parmetros de Denavit-Hartenberg del robot
PUMA.
1000
2-9000
30
4-90
59000
6-9000
Dada la ecuacin general de transformacin homognea, para
eslabones arbitrarios:
Sustituyendo los valores de la tabla de parmetros de vnculos del
PUMA en la ecuacin general obtenemos cada una de las
transformaciones del vnculo:
Multiplicando las transformadas de las tramas {0} a {6}
Se obtiene:
Dnde:
CINEMTICA INVERSA
En base a las 6 transformaciones de los vnculos:
Se pone la dependencia en del lado izquierdo de la ecuacin:
Se invierte :
De las ecuaciones de posicin se utiliza una simple tcnica en la
que se multiplica cada lado de la ecuacin de transformacin por una
inversa que es regularmente usada para separar las variables de
salida en la bsqueda de una ecuacin con solucin.Tomando los
elementos (2,4) de los dos lados de la ecuacin obtenemos:
Para resolver estas ecuaciones necesitamos algunas relaciones
trigonomtricas.
Sustituyendo (5) en (4)
Manipulando trigonomtricamente:
Ahora conocemos dos posibles soluciones de y esto nos da la
oportunidad de poder tomar los elementos (1,4) y (3,4) de la
ecuacin (3) e igualamos ambos lados.
Si elevamos al cuadrado (10) y (4) y sumamos las ecuaciones
resultantes podemos obtener
Donde
Ahora que la dependencia de de la ecuacin (11) ha sido removida
se puede resolver aplicando los mismos criterios que se usaron para
resolver (4) ya que poseen una forma similar y por tanto se
obtiene
Por lo tanto tenemos tambin dos posibles soluciones para . Si
ahora volvemos a tomar en cuenta a (1) podemos escribir el lado
izquierdo en funcin de solo lo que conocemos y .
o como:
De donde la ecuacin (15) se tiene ya de la cinemtica directa.
Ahora tomamos los elementos (1,4) y (2,4) y los igualamos con los
elementos correspondientes en (15) y obtenemos:
Estas ecuaciones pueden ser simultneamente resueltas para y
.
Los denominadores son iguales y positivos, por tanto resolvemos
para la suma de
(] (19)
Obteniendo los valores resultan cuatro posibles valores de
debido a las combinaciones de y, por tanto Se obtienen
Siempre y cuando 0, podremos resolver para de la siguiente
manera:
Se elige arbitrariamente y, cuando se calcule posteriormente, se
calcular acorde con ello. Se puede escribir la ecuacin (3) de modo
que todo el lado izquierdo sea una funcin solamente de variables
conocidas y
En donde se da mediante
Y mediante la ecuacin. Igualando los elementos (1,3) y (3,3) de
ambos lados de la ecuacin (21) obtenemos
Por lo tanto podemos resolver para
En donde se obtienen mediante la ecuacin (22)Aplicando el mismo
mtodo calculamos y escribimos la ecuacin (2) como sigue:
Igualando los elementos (3,1) y (1,1) de ambos lados de la
ecuacin (21) obtenemos
En donde
Debido a los signos positivo y negativo que aparecen en las
ecuaciones (9) y (13), estas cuatro soluciones. Adems, hay cuatro
soluciones adicionales que se obtienen volteando la mueca del
manipulador. Para cada una de las cuatro soluciones calculadas
antes, obtenemos la solucin inversa mediante.
Una vez que se han calculado las ocho soluciones, habr que
descartar algunas de ellas (o incluso todas) debido a violaciones
en los lmites de las articulaciones. De cualquier solucin vlida
restante, generalmente se selecciona la ms cercana a la
configuracin actual del manipulador.
DINMICA DEL ROBOT.La dinmica del robot trata con las
formulaciones matemticas de las ecuaciones de movimiento del brazo.
Las ecuaciones de movimiento de un manipulador son un conjunto de
ecuaciones matemticas que describen su conducta dinmica. Tales
ecuaciones son tiles para la simulacin en computadora del
movimiento del robot, el diseo de ecuaciones de control apropiadas
para el robot y la evaluacin del diseo y estructura del brazo. En
el presente documento se proporciona la dinmica del robot PUMA 560,
considerando su velocidad lineal y angular y las fuerzas que actan
sobre l, resulta ser que el estudio de ambas velocidades y fuerzas
estticas nos lleva a una matriz llamada jacobiano del manipulador,
la cual se utilizar para determinar la dinmica del robot
mencionado.En primera instancia se determinaron las posiciones de
los eslabones del manipulador con respecto al centro de masa del
mismo. Y se dividi en cada una de sus posiciones en X, Y y Z para
su fcil manipulacin.Para determinar las posiciones de los eslabones
que se encargan de posicionar el efector final se utiliz el anlisis
geomtrico considerando el ngulo y las distancias que se muestran en
la Figura 4.
Figura 4.Plano X-Y.
POSICION. La posicin del eslabn 1 es:
Se agrega el siguiente eslabn de la estructura del robot para
determinar la posicin del eslabn 2 como se muestra en la Figura
2.
Figura 5.Plano X-Y.
h
Figura 5.Plano X-Z.La posicin del eslabn 2 es:
La posicin del eslabn 3 es:
Se tienen la Inercia de 3 eslabones
Usando la matriz general Jacobiana
La cual consta de derivadas parciales, se aplica para cada
eslabn
Jacobiana del primer eslabn.
Jacobiana del segundo eslabn.
Jacobiana del tercer eslabn.
Jacobiana del cuarto eslabn
Jacobiana del quinto eslabn
=
+
Jacobiana del sexto eslabn
Ya con todos los jacobianos calculados se obtuvo la Velocidad
Angular
Por lo que tenemos todo lo necesario para poder calcular la
matriz de masas e Inercias de cada eslabn y cuya suma da como
resultado la Matriz de masas e Inercias de todo el Robot.
Matriz de masas e inercias:
M1=
M3=
=
Una vez obtenida la matriz de masas, se sigue el siguiente
procedimiento para poder calcular el vector de fuerzas centrpetas y
de coriolis, donde se calcula la derivada con respecto del tiempo
de cada elemento de la matriz de las variables articulares
Y el resultado se multiplica por la derivada con respecto al
tiempo de la Matriz de Masas e Inercias
Se calcula la transpuesta de la derivada de las variables
articulares y se multiplica por la matriz de Masas e Inercias y por
la derivada con respecto al tiempo de las variables
articulares.
Y a ese resultado se le deriva nuevamente con respecto del
tiempo para cada una de las variables articulares.
Finalmente se aplica la siguiente frmula para poder obtener el
vector de fuerzas centrpetas y de coriolis.
Por tanto, lo ltimo que queda por calcular es el vector de
Gravedad
Donde se aplica la siguiente formula
Y se obtiene al final el vector de gravedad.
BIBIOGRAFACraig, John J. (2006). Robtica.Pearson Educacin.
Mxico.Spong W. Mark., Hutchinson S., & Vidyasagar, M. (2004).
Robot Dynamics and Control.Tsai, Lung-Wen. (1999). Robot analysis:
the mechanics of serial and parallel manipulators.
Wiley.http://personal.us.es/jcortes/Material/Material_archivos/Articulos%20PDF/RobotPUMA.pdf
Visitado 17 Noviembre de 2014.