Analisa Data Statistik - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Lecture_9_Analisis_data_statistik...Contoh masalah yg akan dijawab dengan hipotesa statistik: ... Soal: test 1

Analisa Data Statistik

Ratih Setyaningrum , MT

Referensi

Agoes Soehianie, Ph.D

Daftar Isi

Inferensi Statistik

Hipotesa Statistik : Konsep Umum

Hipotesa statistik adalah sebuah klaim/pernyataan atau conjecture

tentang populasi.

Contoh masalah yg akan dijawab dengan hipotesa statistik:

- Apakah merokok menaikkan resiko kanker?

- Apakah tipe darah ada hubungannya dengan berat badan?

- Berapa persen pemilih yg akan memilih calon A sebagai

presiden?

Benar atau tidaknya sebuah hipotesa statistik secara mutlak hanya

akan diperoleh bilamana seluruh populasi dipelajari. Hal ini sulit

atau tidak mungkin pada banyak kasus. Sehingga diambil sampel

saja, berdasarkan data dari sampel kemudian diambil keputusan

untuk menerima atau menolak hipotesa tentang populasi.

Situasi Yang Mungking Dalam Test Hipotesa Statistik

H0 benar H0 salah

H0 Tidak ditolak Keputusan Benar Error Tipe II (β)

H0 Ditolak Error Tipe I (α) Keputusan Benar

Error tipe I adalah situasi dimana H0 benar tetapi ditolak (berarti H1

diterima)

Besarnya probabilitas ( α) untuk melakukan error tipe I disebut juga

tingkat signifikan (level of significance) dari test statistik.

Error tipe II adalah situasi dimana H0 salah tetapi tidak ditolak,

sehingga H1 tidak diterima

Daerah Kritis dan Nilai Kritis

Daerah kritis adalah luas ekor di kurva normal, yang menyatakan

probabilitas untuk mendapatkan nilai rata-rata sampel lebih besar atau

lebih kecil dari nilai kritis tertentu, walaupun nilai rata-rata populasinya

sebesar X=X0. Luas daerah kritis ini mencerminkan probabilitas untuk

menolak H0 walaupun sebenarnya H0 benar.

Daerah kritis

Nilai kritis

Test 1 Ekor dan 2 Ekor

Jika Hipotesa Alternatif berupa ketidaksamaan disebut test 1 ekor:

H0 : X = X0

H1 : X > X0

Atau

H0 : X = X0

H1 : X < X0

Sedangkan jika H1 berupa ketidaksamaan disebut test 2 ekor:

H0 : X = X0

H1 : X ≠ X0

Prosedur Testing Hipotesis Dengan Error Tipe I ditentukan dulu (α Fixed)

1. Tuliskan H0 dan H1

2. Pilih tingkat signifikan yaitu α (biasanya 5% atau 10%)

3. Pilih test statistik yg sesuai dan nilai kritis yg membatasi daerah

kritis sesuai dengan tingkat signifikan yg dipilih

4. Hitung statistik yg bersesuaian dengan (3) di atas berdasarkan

sampel data.

5. Ambil keputusan : H0 ditolak jika hasil hitung test statistik masuk

di daerah kritis, kalau tidak H0 tidak bisa ditolak (atau terima H1)

6. Buat kesimpulan

Test STatistik Berkenaan dengan Rata-Rata 1 Populasi (Variansi Populasi diketahui)

Situasi : ingin diketahui rata-rata sebuah populasi. Variansi populasi

(σ) diketahui . Dari sampel yg diambil berukuran n diketahui rata-

rata sampelnya xs.

Test – 1 ekor

1. Tuliskan H0 dan H1

H0 : μ = μ0

H1 : μ ≠ μ0

2. Pilih tingkat signifikan : α (misal 5%)

3. Test statistik bagi rata-rata adalah nilai Z dari rata-rata, karena

α=5% maka nilai kritis yg bersesuaian dari tabel adalah Z0.025 =

1.96 dan –Z0.025 (test 2 ekor).

Daerah kritis adalah Z>1.96 atau Z<-1.96.

4. Hitung Z dari sampel

5. Ambil keputusan berdasarkan (4) dan (3)

n

xZhitung

/

Contoh

Sebuah pabrik senar pancing mengklaim produk barunya memiliki

kekuatan rata-rata 8kg dan standard deviasi 0.5kg. Sampel

random 50 buah senar baru tsb menghasilkan rata-rata kekuatan

7.8kg. Periksalah hipotesa μ=8kg tsb dengan alternative μ≠8kg

dengan tingkat signifikan 1%.

Solusi

1. H0: μ=8 dan H1: μ≠8

2. α = 0.01

3. Daerah kritis

Z0.005 = 2.575

Tolak H0 jika Z < -2.575 atau Z > 2.575, dengan

4. Hitung statistik:

5. Keputusan : Tolak H0 sebab Zhitung < -2.575

6. Kesimpulan: kekuatan rata-rata senar tidak 8 kg (kenyataannya < 8 kg)

n

xZ

/

83.250/5.0

8.78

hitungZ

n

xZhitung

/

Soal: test 1 ekor

Sampel random 100 catatan kematian di USA tahun lalu menyatakan

umur rata-rata penduduknya 71.8 tahun. Misalkan diketahui

standard deviasi populasi adalah 8.9 tahun, apakah hasil ini

mendukung dugaan bahwa umur rata-rata penduduk USA lebih

dari 70 tahun? Pergunakan tingkat signifikan 5%.

Test STatistik Berkenaan dengan Rata-Rata 1 Populasi (Variansi Populasi Tidak diketahui)

Situasi : ingin diketahui rata-rata sebuah populasi. Variansi populasi

(σ) TIDAK diketahui tetapi populasi dianggap normal. Dari sampel

yg diambil berukuran n diketahui rata-rata sampelnya xs. Maka

statistik yg bersesuaian adalah student-t statistik:

Dengan derajat kebebasan v=n-1

nS

xt

/

0

Contoh

Hasil studi tentang konsumsi listrik berbagai peralatan rumah tangga

mengklaim bahwa vacuum cleaner rata-rata mengkonsumsi 46

KwH/tahun. Sampel random 12 rumah tangga yg memiliki

vacuum cleaner menghasilkan rata-rata 42 KwH/tahun dengan

standard deviasi sampel 11.9 KwH. Apakah hasil ini menyarankan

bahwa sebenarnya vacuum cleaner mengkonsumsi listrik rata-

rata di bawah 46 KwH /tahun? Pergunakanlah tingkat signifikan

5% dan asumsikan populasimnya terdistribusi normal.

Solusi

1. H0: μ=46 dan H1: μ < 46

2. α = 0.05

3. Daerah kritis (1 ekor, student-t)

n= 12, derajat kebebasan v=n-1=11

t0.05 =-1.796 (ekor kiri)

Tolak H0 jika t < -1.796

4. Hitung statistik:

5. Keputusan : Tidak bisa menolak H0 sebab thitung > -1.796

6. Kesimpulan: rata-rata konsumsi listrik vacuum cleaner tidak secara

signifikan kurang dari 46 KwH/tahun

16.112/9.11

4642

/

nS

xthitung

Test STatistik Berkenaan dengan Rata-Rata 2 Populasi (Variansi Populasi diketahui)

Situasi : berdasarkan 2 set sampel dengan rata-rata xSA dan xSB yg

berasal dari dua populasi, ingin diketahui perbedaan rata-rata dari

dua buah populasi asal sampel diambil. Jika variansi populasi (σ1

dan σ2 ) diketahui, maka variabel statistik:

Akan terdistribusi normal standard.

2

2

2

1

2

1

2121 )()(

nn

xxZ

Contoh

Pabrik benang mengklaim bahwa rata-rata kekuatan benang tipe A

paling tidak 12 kg lebih besar dibandingkan benang tipe B. Untuk

memeriksa klaim tersebut diambil sampel 50 buah dari tiap-tiap

tipe benang. Ternyata sampel benang A memiliki rata-rata

kekuatan 86.7 kg, standard deviasi populasi dari benang tipe A

diketahui 6.26 kg. Sedangkan rata-rata kekuatan sampel benang

B adalah 77.8 kg, dan dari data-data sebelumnya diketahui

standard deviasi kekuatan benang B adalah 5.61. Periksalah

klaim pabrik tsb pada tingkat signifikan 5%.

Solusi

Diketahui:

Benang A Benang B

nA = 50 nB=50

xsA = 86.7 xsB = 77.8

σA = 6.26 σB = 5.61

α=5%

Klaim : xSA-xsB > 12

1. Hipotesa

H0: μA- μB ≤ 12

H1: μA- μB> 12

2. Tingkat signifikansi α=5%

3. Daerah kritis

Solusi

608.2

50

61.5

50

26.6

)12()8.777.86()()(

22

2

2

2

1

2

1

2121

nn

xxZhitung

3. Daerah kritis

Test statistik untuk kasus ini adalah Z, :

dengan nilai kritis Z0.05 = 1.65.

Tolak H0 jika Z > 1.65

4. Hitung statistik

5. Keputusan

Karena Zhitung = -2.608 < 1.65, maka

Tidak bisa menolak H0, jadi μA-μB ≤ 12

2

2

2

1

2

1

2121 )()(

nn

xxZ

Test STatistik Berkenaan dengan Rata-Rata 2 Populasi (Variansi Populasi TIDAK diketahui TAPI SAMA)

Situasi : berdasarkan 2 set sampel yg memiliki rata-rata sampel xSA

dan xSB serta standard deviasi sampel SA dan SB yang berasal

dari dua populasi normal, ingin diketahui perbedaan rata-rata dari

dua buah populasi asal sampel diambil. Variansi populasi (σ1 dan

σ2 ) TIDAK diketahui tapi dapat dianggap SAMA, maka variabel

statistik:

Akan terdistribusi menurut student t dengan derajat kebebasan

v=n1+n2-2

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS P

11

2121

11

)()(

nnS

xxt

P

Contoh

Kecepatan penipisan lapisan pelindung produksi dari sebuah pabrik

ditest secara statistik. Pabrik tsb ingin mengetahui perbedaan

kecepatan penipisan lapisan pelindung yg terbuat dari bahan A dan

dari bahan B. 12 sampel dari bahan A dicek, dan didapati rata-rata

penipisan 85 unit dan standard deviasi 4. Sedangkan 10 buah sampel

dari bahan B memiliki rata-rata 81 dengan sampel standard deviasi 5.

Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata penipisan bahan A lebih besar

dari 2 unit dibandingkan penipisan bahan B? Asumsikan populasi

keduanya normal, dan variansi kedua populasi sama. Pergunakan

tingkat signigikan 5%

Solusi

Diketahui:

Sampel A Sampel B

nA = 12 nB = 10

xsA = 85 xSB = 81

SA = 4 SB = 5.

σ tidak diketahui, tapi dianggap sama. Populasi normal.

α= 5%

Klaim μA – μB > 2

Solusi

1. Hipotesa

H0: μA – μB ≤ 2

H1: μA – μB > 2

2. Tingkat signifikan α = 5%

3. Daerah kritis

Test statistik yg dipakai adalah student t, dengan derajat kebebasan

v=nA+nB – 2 = 12+10-2 = 20, dengan t adalah

Nilai kritis t0.05 = 1.725 (untuk v=20).

Tolak H0 jika t > t0.05 = 1.725

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

SnSnS P

11

2121

11

)()(

nnS

xxt

P

Solusi

4. Hitung statistik:

478.421012

5*)110(4*)112(

2

)1()1( 22

21

2

22

2

112

nn

SnSnS P

04.1

10

1

12

1478.4

)2()8185(

11

)()(

11

2121

nnS

xxt

P

hitung

5. Keputusan:

Karena thitung < 1.725, maka H0 tak dapat ditolak,

Berarti μA – μB ≤ 2, tak dapat disimpulkan rata-rata penipisan bahan

A tak dapat disimpulkan lebih dari 2 unit dibandingkan dari bahan B

Test Statistik Berkenaan dengan Rata-Rata 2 Populasi (Variansi Populasi TIDAK diketahui TAPI BEDA)

Situasi : berdasarkan 2 set sampel yg memiliki rata-rata sampel xSA

dan xSB serta standard deviasi sampel SA dan SB yang berasal

dari dua populasi normal, ingin diketahui perbedaan rata-rata dari

dua buah populasi asal sampel diambil. Variansi populasi (σ1 dan

σ2 ) TIDAK diketahui tapi dapat dianggap BEDA, maka variabel

statistik:

dengan derajat kebebasan v: 2

2

2

1

2

1

2121 )()(

n

S

n

S

xxt

1

/

1

/

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

nS

n

nS

n

S

n

S

Contoh

Berikut ini adalah data lama waktu pemutaran film yg diproduksi oleh

dua buah rumah produksi:

Rumah

Produksi LAMA WAKTU (menit)

A 102 80 98 109 92

B 81 165 97 134 92 87 114

Hipotesanya adalah rata-rata lama waktu film produksi B lebih lama 10

menit dibandingkan rumah produksi A, dengan alternatif hipotesanya

adalah lama waktu film dari A kelebihannya < 10 menit dibandingkan

dengan film produksi B. Pergunakan tingkat signifikansi 10% dan

asumsikan distribusi populasi A dan B normal dengan variansi yang

tidak sama!

Solusi

XA XB dA=XA-Xsa dB=XB-Xsb dA2 dB2

102 81

5.8 -29 33.64 841

80 165

-16.2 55 262.4 3025

98 97 1.8 -13 3.24 169

109 134

12.8 24 163.8 576

92 92

-4.2 -18 17.64 324

87 -23 529

114 4 16

Sum 481 770 480.8 5480

Rata 96.2 110

Perhitungan rata-rata dan variansi

N

x

x

N

j

j

1

)( 2

2

N

xx

S

N

j

j

2.96Ax 110Bx

2.1204/8.4802 AS

3.9136/54802 BS

Solusi

00.8

17

7/3.913

15

5/2.120

7

3.913

5

2.120

1

/

1

/22

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

nS

n

nS

n

S

n

S

Variabel t :

Derajat kebebasan v:

306.07/3.9135/2.120

)10()2.96110()()(

22

B

B

A

A

ABAB

n

S

n

S

xxt

Solusi

1. Hipotesa

H0: μB – μA ≥ 10

H1: μB – μA <10

2. Tingkat signifikan α = 0.1

3. Daerah kritis

Test statistik yg dipakai adalah variabel t:

Nilai kritis -t0.1 = -1.397 untuk derajat kebebasan v=8

Tolak H0 jika t < -1.397

2

2

2

1

2

1

2121 )()(

n

S

n

S

xxt

Solusi

4. Perhitungan statistik:

5. Keputusan:

Karena thitung > -1.397 maka H0 tak bisa ditolak atau lama waktu film

A memang lebih dari 10 menit dari pada film B

306.07/3.9135/2.120

)10()2.96110()()(

22

B

B

A

A

ABABhitung

n

S

n

S

xxt

Test Statistik Berkenaan dengan Pengamatan Pasangan Data

Situasi : Pengamatan pasangan data, dengan d1, d2 dst adalah

selisih dari data-data hasil pengamatan yang diambil dari populasi

normal. Ingin diketahui apakah rata-rata selisihnya sama dengan

nilai tertentu. Dari sampel-sampel diketahui rata-rata dan

standard deviasi selisih sampel sebagai D dan SD. Variabel

statistik yg diperiksa adalah:

dimana μD adalah rata-rata populasi yang memiliki distribusi

student t dengan derajat kebebasan v=n-1

nS

dt

D

D

/