ANALISA DAN PEMBAHASAN - digilib.its.ac.iddigilib.its.ac.id/public/ITS-Master-13330-Presentation.pdf · Nilai estimasi dari tiap-tiap variabel diberikan pada tabel berikut: ... diperoleh

ANALISA DAN ANALISA DAN PEMBAHASAN

STATISTIK DESKRIPTIF

Statistik Deskriptif Data Polusi Udara

Variabel TotalTotal Non

MisingTotal

MisingMean

Standardeviasi

MinimumMaksi-mum

PM10 1096 940 156 54.903 21.154 11.48 311.96

CO 1096 1053 43 1.2347 0.5246 0.1 4.46

O3 1096 1071 25 64.5 38.42 17.77 723.19

MISSING OBSERVATIONS

• Pada data terdapat beberapa data yang hilang (missing observations)

U t k i l h t b t di k t d i t i• Untuk menangani masalah tersebut, digunakan metode imputasiyang terdapat pada paket statistika SAS

Perbandingan Metode imputasi

Metode MSE

MEAN 374,7,

MIN 595

MAX 8098

• MSE terkecil yaitu dengan menggunakan metode MEAN

• untuk tahap selanjutnya, data yang hilang diganti.dengan rata-rata dari data polusi udara pada tiap-tiap variabel.

PEMODELAN DATA POLUSI UDARA

Pemodelan Data Polusi UdaraSetelah diregresikan antara variabel independent (X) dan variabeldependent (Y) diperoleh model sebagai berikut :dependent (Y), diperoleh model sebagai berikut :

dimana t= 1, 2, ….,1096.

Nilai estimasi dari tiap-tiap variabel diberikan pada tabel berikut:

Prediktor Koefisien SE T P

Constant 47,444 1,521 31,20 0,000

Variabel yang tidak signifikan dikeluarkan dari model dan dilakukan

, , , ,

CO 6,024 1,139 5,29 0,000

O3 0,00465 0,01542 0,30 0,763

Variabel yang tidak signifikan dikeluarkan dari model, dan dilakukanpemodelan regresi yang melibatkan variabel yang berpengaruh.Sehingga,diperoleh model untuk polusi udara di Kota Surabaya adalah sebagaiberikut:berikut:

PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL

Asumsi residual dalam analisis regresi meliputi ujiindependen identik dan berdistribusi normal (0 σ2)

Uji Asumsi Independen

independen, identik dan berdistribusi normal (0, σ ).

Dengan melihat hasilnya, nilai Durbin-Watson akan kecil jika terdapatkorelasi positif, dan besar jika terdapat korelasi negatif.Sehubungan dengan data di atas, maka dengan bantuan MINITAB 14diperoleh nilai Durbin-Watson sebesar 1.0663. dengan nilaidL=1,8988772 dan nilai dU=1,9025316. Karena nilai dW < dL, makatolak H0, sehingga dapat disimpulkan bahwa residual terdapatautokorelasi atau asumsi independen tidak terpenuhi.Selain menggunakan Uji Durbin-Watson, keberadaan autokorelasijuga dapat dilihat dari plot ACF (Autocorrelation Function).

PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (2)

Uji Asumsi Independen

Autocorrelation Function for RESIDUAL

n

1.0

0.8

0.6

0.4

(w ith 5% significance lim its for the autocorrelations)

Aut

ocor

rela

tion 0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

0 6

Lag1009080706050403020101

-0.6

-0.8

-1.0

PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (3)

Uji Asumsi IdentikSalah satu uji untuk menguji heteroskedastisitas ini adalah denganmelihat scatter plot dari varians residual tersebut. Jika dari scatter plotterlihat bahwa penyebaran residual tidak teratur, maka dapatdisimpulkan bahwa varian homoskedastisitas atau asumsi dipenuhi.Berikut ditampilkan output residual versus fit untuk mengetahuikehomogenan pada residual regresi.

PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (4)

Uji Asumsi Identik

Residuals Versus the Fitted Values(response is PM10)

sidu

al

10.0

7.5

5.0

Stan

dard

ized

Re

2.5

0.0

Fitted Value180160140120100806040200

-2.5

-5.0

PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (5)

Uji Asumsi Berdistribusi NormalSelanjutnya, asumsi lain yang perlu dipenuhi adalah residualberdistribusi normal. Berikut merupakan Probability Plots dariresidual.

99.99Mean 1.789388E-13StDev 19.34

Probability Plot of RESI2Normal

Perc

ent

99

95

80

50

<0.005

N 1096AD 10.084P-Value

P 20

5

1

0.01

RESI23002001000-100

PENGUJIAN ASUMSI RESIDUAL (5)

Dari beberapa pengujian asumsi di atas, hanya asumsi identik yangterpenuhi sehingga residual dari model regresi tersebut perlu dianalisisterpenuhi, sehingga residual dari model regresi tersebut perlu dianalisislebih lanjut.

Plot ACF menunjukkan bahwa masih terdapat lag-lag yangsignifikan yang dapat diartikan bahwa masih terdapat pengaruh residualsignifikan yang dapat diartikan bahwa masih terdapat pengaruh residualpada periode pengamatan saat ini (t) dengan residual pada pengamatansebelumnya (t-k). Selanjutnya residual dari model regresi dimodelkandengan pemodelan timeseries.dengan pemodelan timeseries.

Pada penelitian kali ini akan dilakukan pemodelan pada residualdengan pendekatan ARIMA dan ARFIMA. Model yang terbaik adalahmodel yang menghasilkan kesalahan yang lebih kecil.model yang menghasilkan kesalahan yang lebih kecil.

PEMODELAN ARIMATahap ini meliputi identifikasi model, penaksiran parameter, ujidiagnostik, pemilihan model terbaik dan peramalan.

Identifikasi ModelPertama-tama, data dibagi dua menjadi data in sample dan out sample.Pada umumnya, tahapan identifikasi yang pertama kali dilakukandalam pemodelan time series adalah melihat plot time series in sample.

Time S e r ie s P lot of Ins a mple

sam

ple

250

200

150

100

Ins

10809728647566485404323242161081

50

0

-50

Ind e x

PEMODELAN ARIMA(2)

ARIMA mengasumsikan kondisi stasioner, sehingga perlu diujistasioner dalam varian dan mean Dilihat dari TS plot dan ACF Plotstasioner dalam varian dan mean. Dilihat dari TS plot dan ACF Plotterlihat bahwa data telah stasioner dalam varian dan mean. Untukmenguji kestasioneran dalam mean digunakan uji Dickey Fullerdengandengan

Didapatkan hasil sebagai berikut :

Prediktor Koefisien SE Koefisien T P value

Sehingga data telah stasioner, sebab δ signifikan dengan alpha 0.05.

Prediktor Koefisien SE Koefisien T P_value

Yt-1 -0,54331 0,02708 -20,06 0,000

Sehingga data telah stasioner, sebab δ signifikan dengan alpha 0.05.

PEMODELAN ARIMA(3)

Karena residual model regresi sudah stasioner dalam mean dan varian,maka dapat dilakukan penentuan orde dari model AR atau MA Berikutmaka dapat dilakukan penentuan orde dari model AR atau MA. Berikutadalah plot ACF dan PACF dari residual regresi.

Autocorrelation Function for Insample(with 5% significance limits for the autocorrelations)

Partial Autocorrelation Function for Insample(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

corr

elat

ion

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0 2

utoc

orre

lati

on

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0 2

Lag

Aut

oc

757065605550454035302520151051

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Part

ial A

757065605550454035302520151051

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Plot ACF dan PACF residual RegresiSehingga, dapat dilakukan pendugaan model yaitu :ARIMA ([1 2 3 5 8 9 11 12] 0 0)ARIMA ([1,2,3,5,8,9,11,12],0,0)

PEMODELAN ARIMA(4)

Penaksiran Parameter dan Uji Signifikansi Parameter

Setelah diperoleh model dugaan, selanjutnya dilakukan pengujiansignifikansi parameter model. Taksiran parameter dari model sertas g s p e e ode s p e e d ode sepengujian signifikansi parameter adalah ARIMA([1,2,3,5,8,9,11,12],0,0). Setelah diestimasi dan dilakukan pengujiansignifikansi parameter, terdapat parameter yang tidak signifikan.signifikansi parameter, terdapat parameter yang tidak signifikan.Parameter yang tidak signifikan dikeluarkan dari model satu persatudimulai dari yang memiliki nilai p_value terbesar.

SIGNIFIKANSI PARAMETER ARIMA

Sehingga diperoleh model yang semua parameternya signifikan yaitu modelARIMA ([1,2,5,12],0,0). Estimasi dan pengujian signifikansi parameter modelARIMA ([1 2 5 12] 0 0) ditampilkan pada berikutARIMA ([1,2,5,12],0,0) ditampilkan pada berikut.

Tabel. Estimasi Parameter untuk Model ARIMA ([1,2,5,12],0,0)

Parameter Estimasi T_hit P_value

φ1 0,37403 12,44 <0,001

φ2 0,09073 2,98 0,0029

φ3 0,11098 3,99 <0,001

Dari tabel 4.4 dapat dilihat bahwa semua parameter untuk model ARIMA([1 2 5 12] 0 0) i ifik d 5%

φ4 0,11651 3,84 0,001

([1,2,5,12],0,0) signifikan pada α=5% .

CEK DIAGNOSA RESIDUAL ARIMA

Cek DiagnosaPada tahap ini dilakukan pengujian terhadap residual dari model, yaitu ujip p g j p , y jwhite noise yaitu residual bersifat identik dan independen serta pengujianterhadap asumsi kenormalan residual.

Uji Asumsi White Noise

Pengujian yang digunakan untuk uji asumsi independensi adalah LjungBBox.

CEK DIAGNOSA RESIDUAL ARIMA(2)

Tabel Nilai Statistik Uji Chi-Square Residual Model ARIMA ([1,2,5,12],0,0)

Lag p_value Kesimpulan

6 4,76 0,0925 Gagal Tolak Ho

12 11,57 0,1714 Gagal Tolak Ho, , g

18 13,18 0,5127 Gagal Tolak Ho

24 16,21 0,7033 Gagal Tolak Ho

30 20 10 0 7869 Gagal Tolak Ho30 20,10 0,7869 Gagal Tolak Ho

36 28,64 0,6371 Gagal Tolak Ho

42 32,26 0,7314 Gagal Tolak Ho

Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa dari residual ARIMA ([1,2,5,12],0,0)

48 40,10 0,6396 Gagal Tolak Ho

memenuhi asumsi white noise karena semua p-value lebih besar dariα=5%.

CEK DIAGNOSA RESIDUAL ARIMA(3)

Pengujian Kenormalan Residual

Hasil perhitungan Kolmogorov-Smirnov dengan tingkat signifikansi kesalahan5% untuk pengujian kenormalan residual dapat dilihat pada Tabel berikut.

Pengujian Kenormalan Residual untuk Model

Model Statistik Uji D p-value

ARIMA 0 09659 0 0100

nilai p value untuk uji Kolmogorov-Smirnov (<0,0100) lebih kecil dari α=5%,

([1,2,5,12],0,0)0,09659 <0,0100

nilai p_value untuk uji Kolmogorov Smirnov ( 0,0100) lebih kecil dari α 5%,maka dapat disimpulkan bahwa residual untuk model ARIMA ([1,2,5,12],0,0)tidak berdistribusi normal pada tingkat signifikansi kesalahan 5%.

MODEL ARIMA TERBAIK

Model terbaik untuk residual regresi adalah model ARIMA ([1,2,5,12],0,0)

AIC sebesar 9159,503 dan MSE out sample sebesar 537.5336

residual model ARIMA ([1 2 5 12] 0 0) tidak memenuhi asumsiresidual model ARIMA ([1,2,5,12],0,0) tidak memenuhi asumsinormal karena terdapat outlier

250

Time Series Plot of Aktual, Ramalan O utsample

ata

250

200

150

100

Var iab leA k tualRamalan O u tsamp le

Da 100

50

0

-50

Index9908807706605504403302201101

50

PEMODELAN ARFIMA

2000000

1500000

Time Series Plot of periodogram

1.0

0.8

0 6

Autocorrelation Function for Insample(with 5% significance limits for the autocorrelations)

peri

odog

ram

1000000

500000Aut

ocor

rela

tion

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

0 6

Index495440385330275220165110551

0

Lag757065605550454035302520151051

-0.6

-0.8

-1.0

( ) (b)

Long memory dapat dilihat dari plot ACF yang autokorelasinyaturun lambat secara hiperbolik

(a) (b)

Selain itu dengan melihat bentuk periodogram. Bentukperiodogram yang meningkat menuju nilai yang sangat besartetapi berhingga untuk frekuensi yang semakin mendekati nol(Gambar (b)) menunjukkan adanya ketergantungan jangkapanjang

ESTIMASI PARAMETER MODEL ARFIMA

Langkah-langkah:

1. estimasi nilai d.

Pada penelitian ini ditentukan terlebih dahulu nilaiparameter differencing d pada data keseluruhan (data in sample), sehingga dalam estimasi parameter darimodel-model awal ARFIMA menggunakan nilai d yang sama.

Data in sample residual regresi memiliki nilai d sebesar0.331096. Ini dilihat dari nilai p_value = 0,000 yang lebih kecil dari nilai .

2. Estimasi aspek jangka pendek yaitu parameter p dan q dilihat dari plot ACFdan q dilihat dari plot ACF

ESTIMASI PARAMETER MODEL ARFIMA (2)

NoModel

φ φ φ θNoARFIMA

φ1 φ2 φ3 θ1

1 1,d, 1]-0,880165 0.919562

, , ][0.000] [0.000]

2 [1,2],d, 10.720971

[0 000]

-0.577182

[0 059]

-0.688728

[0 000][0.000] [0.059] [0.000]

3 [1,2,3],d, 10,686064

[0 003]

-0,0503132

[0 183]

-0,0110528

[0 744]

-0,654334

[0 000][0,003] [0,183] [0,744] [0,000]

model dugaan adalah ARFIMA (1,d,1).

UJI ASUMSI RESIDUAL ARFIMA (1, d, 1)

Model ARFIMA Normal ARCH 1-1 Portmanteau

ARFIMA [0 000]** [0.0183]* [0 8670]ARFIMA

(1,d, 1)

[0.000] [ ] [0.8670]

Residual untuk model ARFIMA (1 d 1)Residual untuk model ARFIMA (1,d, 1)memenuhi asumsi white noise, tetapi tidak memenuhi asumsi kenormalan.

MODEL ARFIMA TERBAIK

AIC 9159,00399 MSE outsample 280,337AIC 9159,00399 MSE outsample 280,337Pada ARFIMA (1,d,1) tidak memenuhi asumsi normal, sehingga analisis dilanjutkan dengan pendeteksianoutlier.outlier.

PEMODELAN ARIMA DENGAN DETEKSI OUTLIER

Outlier pada data menyebabkan ketidaknormalan. Outlier dapat dideteksi dengan menggunakan BoxplotP d liti i i di bil d b h tli li Pada penelitian ini, di ambil dua buah outlier yang paling ekstrim yaitu data ke-804 dan data ke-1070.

Boxplot of Resi

250

200

150

1070

Boxplot of Resi

Res

i

150

100

501059

104510431039

907

898893892891854851827825824816806

804

803

787782

756

753738711706669

616

4584554374113923742782021541251036763462018

0

-50

-100

107310721071

942909899896843828810805707617575515460388129

00

SIGNIFIKANSI PARAMETER ARFIMA

Parameter Estimasi t-hit P_value

φ -0 800973 -7,15 0 000φ1 -0,800973 , 0,000

θ1 0,849818 8,60 0,000

92 1031 6 04 0 00092,1031 6,04 0,000

Model di atas sudah memenuhi asumsi white noise dan homogenitas

tetapi belum memenuhi asumsi distribusi normal

Persamaan model ARFIMA (1,d, 1) dapat dituliskansebagai berikutg

AIC 9125 61531 dan MSE sebesar 271 304AIC = 9125,61531 dan MSE sebesar 271,304

HISTOGRAM RESIDUAL ARFIMA

A nderson-Darling Normality Test

A -Squared 19.98P-V alue < 0.005

Mean 0.173

Summary for REsi5

V ariance 271.524Skewness 3.4151Kurtosis 46.9632N 1080

Minimum -62.4471st Q uartile -8.353Median -0.551

StDev 16.478

250200150100500-503rd Q uartile 6.889Maximum 246.490

95% C onfidence Interv al for Mean

-0.811 1.156

95% C onfidence Interv al for Median

-1.114 0.068

95% C onfidence Interv al for StDev9 5% Confidence Intervals

Median

Mean

1.00.50.0-0.5-1.0

15.811 17.2049 5% Confidence Intervals

Ketidaknormalan data juga dapat dilihat dari nilai kurtosis yaitu 46,9632 (berdistribusi normal bila nilai kurtosis adalah nol).

Pada penelitian ini, residual model ARFIMA (1,d,1) dengan outlier t=804 p , ( , , ) gmemiliki kurtosis positif, yang biasa disebut dengan leptoturtic

PERBANDINGAN MODEL ARIMA DAN ARFIMA

Model AIC MSE

ARIMA ([1,2,5,12],0,0) 9259,903 537,5336ARIMA ([1,2,5,12],0,0) 9259,903 537,5336

ARFIMA (1,d, 1) dengan outlier

t=804

9125,61531 271,304

t=804

model regresi untuk pemodelan polusi udara

mengikuti model ARFIMA sebagai berikut:g g

KESIMPULAN1. Metode yang paling baik untuk mengatasi missing observations

pada data penelitian ini adalah metode MEAN jika dibandingkandengan metode MINIMUM dan MAKSIMUM.

2. Berdasarkan perhitungan MSE model regresi dengan error, kombinasi model regresi dan ARFIMA memberikan nilai MSE yang jauh lebih kecil dibandingkan model dengan kombinasi regresi danARIMA, sehingga dapat dikatakan bahwa model regresi denganARFIMA merupakan metode terbaik untuk memodelkan polusiudara di Kota Surabayaudara di Kota Surabaya

3. Model terbaik yang diperoleh adalah model ARFIMA(1,d, 1) dengan outlier t=804dengan outlier t 804

SARAN

Saran yang dapat direkomendasikan untuk penelitianSaran yang dapat direkomendasikan untuk penelitianselanjutnya adalah dengan menambah variabelprediktor untuk mendapatkan pemodelan yang lebihsesuai.

DAFTAR PUSTAKADahlhaus, R., 1995. Efficient location and regression estimation for long range dependent regression models. Ann.Statist. 23, 1029–1047.Doornik, J. A. dan Ooms, M. (2001) Computational Aspects of Maximum Likelihood Estimation of Autoregressive Fractionaly Integrated Moving Average models. Nuffield College, University of Oxford, Oxford OXI 1NF, UK and Departemen of Econometrics, Free University of Amsterdam 1081 HV Amsterdam, T N d l dTe Nederlands.Granger, C. W. J. (1980), An Introduction to Long-Memory Time Series Models and Fractional Differencing. Journal of Time Series Analysis, 1, 15-39Hall, P., Lahiri, S.N. dan Polzehl, J., 1995. On bandwidth choice in nonparametric regression with both short and longrange dependency errors. Ann. Statist. 23, 1921–1936.Hanea, R., 2005. Data assimilation Concept and the Kalman Filter Approach for an Atmospheric Application. Bahan RWS, TU Delft.Hauser, M. A. (1998). Maximum Likelihood Estimators for ARMA and ARFIMA Models : A Monte Carlo Study. University of Econometrics and Business Administraton, Department of Statistics, Vienna.

Iglesias, P., Jorquera, H., dan Palma, W. (2005). Data Analysis Using Regression Model with Missing Observations and Long-memory: An Application Study. Journal of Computational Statistics and Data g y pp y pAnalysis 50, 2028–2043.

Irhamah. (2001). Perbandingan Metode – metode Pendygaan Parameter Model ARFIMA. Tesis Magister (tidak dipublikasikan). Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.

John H R 1971 Spectrum Estimation With Missing Observations Air Force Office of Scientific Research John, H.R., 1971. Spectrum Estimation With Missing Observations. Air Force Office of Scientific Research, Office of Aerospace Research, United Related Fields 95, 538-553.

Koul, H.L. dan Mukherjee, K., 1993. Asymptotics of R-, MD- and LAD estimators in linear regression with long range dependent errors. Probab. Theory Related Fields 95, 538–553.

DAFTAR PUSTAKALardic S. dan Mignon V. (2003). The Exact Maximum Likelihood Estimation of ARFIMA Processed and Model Selection Criteria: A Monte Carlo Study. MODEM- CNRS, University of Paris X.

Palma, W. dan Chan, N.H., 1997. Estimation and forecasting of long-memory processes with missing values. J. Forecasting 16, 395–410.

Palma, W. dan Del Pino, G., 1999. Statistical analysis of incomplete long-range dependent data. Biometrika86, 165–172.

Robinson, P.M. dan Hidalgo, F.J., 1997. Time series regression with long-range dependence. Ann. Statist. 25, 77–104.25, 77 104.

Sowell, F., 1992. Maximum likelihood estimation of stationary univariate fractionally integrated models. J. Econometrics 53, 165–188

Wei, W.W.S. (1990), Time Series Analysis.Canada: Addison Wisley Pubblishing Company.Widarjono, A., 2007. Ekonometrika. Teori dan Aplikasi untuk Ekonomi dan Bisnis. Ekonisia. Yogyakarta.

Yajima, Y., 1988. On estimation of a regression model with long-memory stationary errors. Ann. Statist. 16, 791–807.

Yajima,Y. dan Nishino, H., 1999. Estimation of the autocorrelation function of a stationary time series with Yajima,Y. dan Nishino, H., 1999. Estimation of the autocorrelation function of a stationary time series with missing observations. Sankhy¯a Ser. A 61, 189–207.