ANALISA ALIRAN TAK TUNAK KONVEKSI PAKSA FLUIDA KENTAL ...repository.its.ac.id/1237/2/1214201037-Master Thesis.pdf · Aliran MHD penting diteliti terutama yang berkaitan dengan aplikasi

i

TESIS - SM 142501 ANALISA ALIRAN TAK TUNAK KONVEKSI PAKSA FLUIDA KENTAL MAGNETOHIDRODINAMIK (MHD) MELEWATISILINDER ELIPTIK DWI ARIYANI KHALIMAH NRP 1214 201 037 DosenPembimbing: Prof. Dr. BasukiWidodo, M.Sc Dr. ChairulImron, M.I.Komp PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2016

ii

iii

THESIS - SM 142501 ANALYSIS OF UNSTEADY MAGNETOHYDRODYNAMICS (MHD) FORCED CONVECTIVE VISCOUS FLUIDFLOW PAST AN ELLIPTIC CYLINDER DWI ARIYANI KHALIMAH NRP 1214 201 037 Supervisor: Prof. Dr. BasukiWidodo, M.Sc Dr. ChairulImron, M.I.Komp MASTER’S DEGREE MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2016

iv

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL i

LEMBAR PENGESAHAN v

ABSTRAK vii

ABSTRACT ix

KATA PENGANTAR xi

DAFTAR ISI xiii

DAFTAR GAMBAR xvii

DAFTAR TABEL xix

DAFTAR SIMBOL xxi

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Kontribusi Hasil Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 5

2.1 Penelitian Terdahulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Viskositas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2 Fluida Newtonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Fluida Non-Newtonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Tipe Aliran Fluida Berdasarkan Kriteria Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Perpindahan Panas Konveksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Konveksi Bebas (Free Convection Flow) . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 Konveksi Paksa (Forced Convection Flow) . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.3 Konveksi Aliran Campuran (Mixed Convection Flow) . . . . . 10

2.5 Aliran Lapisan Batas (Boundary Layer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

xiii

2.5.1 Aliran Laminer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.2 Aliran Transisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.3 Aliran Turbulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Magnetohidrodinamik (MHD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Metode Beda Hingga (Finite Difference Method) . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7.1 Skema Keller-Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

BAB III METODA PENELITIAN 17

3.1 Tahapan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Tahap Analisa Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Tahapan Implementasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Tahap Analisis Akhir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Tempat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

BAB IV MODEL MATEMATIKA 21

4.1 Persamaan Pembangun Model Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.1 Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.2 Persamaan Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.3 Persamaan Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Penurunan Persamaan Pembangun Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 Persamaan Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.2 Transformasi Variabel Takberdimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.3 Pendekatan Lapisan Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.4 Fungsi Arus atau Fungsi Alir (Stream Function) . . . . . . . . . 37

4.2.5 Persamaan Similaritas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

BAB V PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA 43

5.1 Penyelesaian Numerik Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1 Diskritisasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.2 Linierisasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.3 Teknik Eliminasi Blok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Hasil Simulasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.1 Pengaruh Parameter Magnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.2 Pengaruh Bilangan Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.3 Pengaruh Variasi Parameter Konveksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.4 Pengaruh Variasi Sumbu Vertikal dan Horisontal SilinderElliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

xiv

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 616.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

DAFTAR PUSTAKA 63

LAMPIRAN 65

BIODATA PENULIS 99

xv

xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 6.1 Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi ParameterMagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Tabel 6.2 Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi ParameterMagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Tabel 6.3 Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1

dengan Variasi Parameter Magnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Tabel 6.4 Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Bilangan

Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Tabel 6.5 Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Bilangan

Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Tabel 6.6 Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1

dengan Variasi Bilangan Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Tabel 6.7 Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Parameter

Konveksi (α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Tabel 6.8 Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Parameter

Konveksi (α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Tabel 6.9 Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1

dengan Variasi Parameter Konveksi (α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Tabel 6.10 Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu

Horizontal (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Tabel 6.11 Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu

Horizontal (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Tabel 6.12 Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1

dengan Variasi Sumbu Horizontal (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Tabel 6.13 Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu

Vertikal (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Tabel 6.14 Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu

Vertikal (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Tabel 6.15 Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1

dengan Variasi Sumbu Vertikal (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

xix

xx

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Lapisan Batas yang Terbentuk Pada saat Fluida MelewatiSebuah Silinder Eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Gambar 2.1 Model fisik dan sistem koordinat dari aliran yang melaluisilinder eliptik pengamatan Sulistyaningtyas (2015) . . . . . . . 6

Gambar 2.2 Model fisik dan sistem koordinat dari aliran yang melaluisilinder eliptik bluff body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Gambar 2.3 Klasifikasi Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Gambar 2.4 Lapisan Batas di Sekitar Airfoil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Gambar 2.5 Stensil Skema Keller-Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Gambar 3.1 Model fisik dan sistem koordinat dari aliran yang melaluisilinder eliptik bluff body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Gambar 4.1 Bentuk 3-Dimensi (kiri) dan Sistem Koordinat SilinderEliptik 2-Dimensi (kanan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Gambar 4.2 Volume Atur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Gambar 4.3 Aliran Fluida Masuk dan Keluar Volume Atur . . . . . . . . . . . . 23

Gambar 4.4 Gaya-gaya Permukaan dalam Arah x yang Bekerja padaElemen Fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Gambar 5.1 Stensil Beda Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Gambar 5.2 Profil Kecepatan dengan Variasi Parameter Magnetik (M) . 53

Gambar 5.3 Profil Temperatur dengan Variasi Parameter Magnetik (M) . 53

Gambar 5.4 Profil Kecepatan dengan Variasi Bilangan Prandtl (Pr) . . . . . 55

Gambar 5.5 Profil Temperatur dengan Variasi Bilangan Prandtl (Pr) . . . . 55

Gambar 5.6 Profil Kecepatan dengan Variasi Parameter Konveksi (α) . . 56

Gambar 5.7 Profil Temperatur dengan Variasi Parameter Konveksi (α) . . 56

Gambar 5.8 Profil Kecepatan dengan Variasi Nilai Sumbu Horizontal (b) 57

Gambar 5.9 Profil Temperatur dengan Variasi Nilai Sumbu Horizontal(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Gambar 5.10 Profil Kecepatan dengan Variasi Nilai Sumbu Vertikal (a) . . 59

Gambar 5.11 Profil Temperatur dengan Variasi Nilai Sumbu Vertikal (a) . 59

xvii

Gambar 6.1 (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi M dan (b.) ProfilTemperatur dengan Variasi M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Gambar 6.2 (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi Pr dan (b.) ProfilTemperatur dengan Variasi Pr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Gambar 6.3 (a.)Profil Kecepatan dengan Variasi α dan (b.) ProfilTemperatur dengan Variasi α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Gambar 6.4 (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi b dan (b.) ProfilTempertur dengan Variasi b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Gambar 6.5 (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi a dan (b.) ProfilTemperatur dengan Variasi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

xviii

DAFTAR SIMBOL

ρ Densitas fluidaµ0 Viskositas dinamiku Komponen kecepatan fluida, dengan u = (u, v, 0)

u Komponen kecepatan pada sumbu-xv Komponen kecepatan pada sumbu-yg Gravitasia Jari-jari silindern Vektor normal terhadap elemen dAτ Tegangan geserF Gaya pada bendaFs Gaya permukaanJ Kerapatan arusB Gaya magnetB0 Medan magnetb Induksi medan magnetE Medan listrikσ Konduktivitas listrikP TekananPh Tekanan hidrostatisPd Tekanan dinamisI Matriks identitasM Parameter magnetikα Parameter konveksiPr Bilangan PrandtlRe Bilangan ReynoldsGr Bilangan GrashofT TemperaturU∞ Kecepatan aliran bebast Waktu∀ Volume fluidaν Viskositas kinematikψ Fungsi aliran

xxi

xxii

KATA PENGANTAR

Dengan Rahmat Allah SWT, syukur Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikanTesis yang berjudul:

”Analisa Aliran Tak Tunak Konveksi Paksa Fluida KentalMagnetohidrodinamik (MHD) Melewati Silinder Eliptik”

Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat kelulusan Program Studi Strata 2 (S-2)Program Magister Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu PengetahuanAlam (FMIPA) Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.

Terselesaikannya Tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari banyakpihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Kedua orang tua, Bapak Samsul Arifin dan Ibu Sri Kayatin, yang telahmemberikan motivasi lahir dan batin sampai terselesaikannya Tesis ini.

2. Bapak Prof. Ir. Joni Hermana, M.Sc.Es., Ph.D., selaku Rektor InstitutTeknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya yang telah memberikankesempatan dan fasilitas yang mendukung kepada penulis untuk menyele-saikan Tesis ini.

3. Direktorat Jendral Perguruan Tinggi (DIKTI) selaku penyandang dana yangtelah memberikan beasiswa Fresh Graduate

4. Bapak Prof. Ir. Djauhar Manfaat, M.Sc., Ph.D., selaku Direktur ProgramPascasarjana ITS.

5. Bapak Dr. Imam Muchlas, S.Si, M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika ITS.

6. Bapak Dr. Subiono, M.S., selaku Koordinator Program Studi PascasarjanaMatematika ITS.

7. Bapak Prof. DR. Mohammad Isa Irawan, MT. selaku dosen wali.

8. Bapak Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc., dan Bapak Dr. Chairul Imron,M.I.Komp., selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu untukmemberikan bimbingan, perhatian, arahan, nasehat, dan motivasi kepadapenulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis ini.

xi

9. Bapak Dr. Drs. Hariyanto, M.Si, Bapak Dr. Mahmud Yunus, M.Si., danBapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji atasmasukan, kritik, dan saran yang membantu penulis untuk memperbaiki Tesisini.

10. Seluruh dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika ITS yang telahmemberikan bekal ilmu pengetahuan kepada penulis dan juga atas segalabantuan, kemudahan, dan kelancaran selama penulis mengikuti prosesperkuliahan.

11. Saudara kandung, Eko Arifianto dan Nurhayati Sholichah, yang telahmemberikan dukungan moral selama penulis menempuh pendidikan sampaimendapat gelar Magister.

12. Teman-teman Tim CFD, Indira Anggriani, Firdha Dwishafarina, AnnisaDwi Sulistyaningtyas, Galuh Oktavia Siswono, Mohammad Ghani, WayanRumite, Putri Pradika Wanti, dan Mohamad Tafrikan, atas dukungan yangdiberikan kepada penulis selama penelitian sampai terselesaikannya Tesis ini.

13. Teman-teman S2 Matematika ITS angkatan 2014 khususnya Ngatini, IrmaFitria, Nurlita Wulansari, dan Cynthia Alvionita yang telah menemani,memotivasi, dan memberikan segala bantuannya selama ini.

14. Teman-teman S1 Matematika ITS angkatan 2009 yang telah memberikanmotivasi kepada penulis dalam menyelesaikan pendidikan magister.

15. Muhammad Ikbal W., atas segala dukungan, nasihat, dan motivasi selamapenulis menyelesaikan Tesis ini.

16. Teman-teman Kantor Primagama Wringinanom khususnya Dwi Nur Allendan Afifi Mutiarani yang telah memberikan dukungan, motivasi, dan segalabantuannya selama ini.

17. Semua pihak yang turut serta mendukung dalam penyusunan Tesis ini.

Penulis menyadari bahwa tulisan ini jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu,penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari berbagai pihak,sehingga penelitian selanjutnya diharapkan bisa lebih baik dan semoga laporanTesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, bagi kemajuan dan perkembanganilmu pengetahuan, dan dapat berkonstribusi terhadap kemajuan ITS, bangsa, dannegara.

xii

ANALISA ALIRAN TAK TUNAK KONVEKSI PAKSAFLUIDA KENTAL MAGNETOHIDRODINAMIK (MHD)

MELEWATI SILINDER ELIPTIK

Nama Mahasiswa : Dwi Ariyani KhalimahNRP : 1214 201 037Pembimbing : 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

2. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp

ABSTRAK

Magnetohidrodinamik (MHD) merupakan studi mengenai pergerakan aliranfluida yang dapat menghantarkan listrik dan dipengaruhi oleh medan magnet.Aliran MHD penting diteliti terutama yang berkaitan dengan aplikasi bidangteknik dan industri salah satunya yaitu MHD generator. Pada tesis ini dibahasmengenai permasalahan MHD tak tunak pada aliran konveksi paksa yang melewatisuatu silinder eliptik pada fluida kental. Aliran fluida kental yang dipengaruhioleh medan magnet tersebut menimbulkan lapisan batas (boundary layer). Darilapisan batas tersebut dibentuk persamaan pembangun dimensional. Persamaanpembangun dimensional yang terbentuk adalah persamaan kontinuitas, momentumdan persamaan energi. Kemudian persamaan tersebut ditransformasikan ke dalambentuk non-dimensi dan selanjutnya ditransformasikan ke dalam bentuk persamaansimilaritas. Persamaan similaritas yang didapatkan diselesaikan secara numerikdengan metode Keller-Box. Pada tesis ini dipelajari mengenai pengaruh beberapaparameter yaitu parameter magnetik, bilangan Prandtl, parameter konveksi, danvariasi sumbu vertikal dan sumbu horizontal. Hasil simulasi numerik menunjukkanbahwa profil kecepatan semakin besar dengan bertambahnya parameter magnetik,parameter konveksi dan bertambah panjangnya sumbu vertikal. Sedangkankecepatan menurun dengan bertambahnya sumbu horizontal. Pada saat bilanganPrandtl diperbesar kecepatan mengalami penurunan yang tidak signifikan. Profiltemperatur semakin menurun dengan bertambahnya parameter magnetik, bilanganPrandtl, parameter konveksi dan sumbu vertikal, sedangkan mengalami kenaikanpada saat pertambahan sumbu horizontal.

Kata kunci: konveksi paksa, magnetohidrodinamik, fluida kental, metode Keller-Box

vii

viii

ANALYSIS OF UNSTEADY MAGNETOHYDRODYNAMICS(MHD) FORCED CONVECTIVE VISCOUS FLUID FLOW

PAST AN ELLIPTIC CYLINDER

Name : Dwi Ariyani KhalimahNRP : 1214 201 037Supervisors : 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

2. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp

ABSTRACT

Magnetohydrodynamic (MHD) is a study about the movement of fluid flowthat can conduct electricity and be affected by magnetic fields. MHD flow is animportant research area especially in industrial and engineering application, suchas MHD generator. These thesis is researched about unsteady MHD problem onforced convection flow through an elliptic cylinder in viscous fluid. Viscous fluidflow that influenced magnetic field evokes boundary layer. From the boundary layercan be formed a dimensional governing equation, they are continuity, momentumand energy equation. After that the equations would be transformed into non-dimensional form and then they were transformed into similarity equation. Thesimilarity equations are solved numerically solution by Keller-Box method. On thisthesis is studied about influence some parameters which is magnetic parameter,Prandtl’s number, convection parameter, and vertical axis and horizontal axis.The result of numerical simulation that the velocity profile be increased alongwith magnetic parameter, convection parameter and vertical axis be increased.Meanwhile the velocity profile is decreased when horizontal axis of ellipticalcylinder be increased. And when Prandtl’s number increased, the velocity profile bedecreased but the difference isn’t significant. The temperature profile are decreasedwhen magnetic parameter, Prandtl’s number, convection parameter and vertical axisof elliptical cylinder increased, meanwhile the temperature profile decrease whenthe horizontal axis is increased.Keywords: forced convection, magnetohydrodynamics, viscous fluid, Box Keller

Method

ix

x

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangMagnetohidrodinamik (MHD) merupakan studi mengenai pergerakan aliran

fluida yang dapat menghantarkan listrik yang dipengaruhi oleh medan magnet.Aliran MHD penting untuk diteliti terutama yang berkaitan dengan aplikasibidang teknik dan industri. MHD power generator, pendingin reaktor nuklirdan kristal merupakan bentuk pengembangan dari bidang MHD. Saat ini mulaibanyak digunakan pembangkit listrik berbasis dengan sistem MHD generator yangmemiliki efisiensi tinggi dan rendah polusi. Banyak peneliti yang telah melakukanpenelitian mengenai aliran MHD ini yang sampai saat ini masih terus dikem-bangkan, salah satunya yaitu aliran konveksi paksa MHD (Mohammad, 2014).

Konveksi merupakan perpindahan panas yang biasanya terjadi pada fluida.Secara umum, konveksi dibagi menjadi tiga jenis yaitu konveksi bebas (alamiah),konveksi paksa dan konveksi campuran. Konveksi bebas terjadi ketika aliran fluidadipengaruhi oleh perbedaan temperatur atau yang biasa disebut dengan efek gayaapung, sedangkan konveksi paksa menggambarkan perpindahan panas pada fluidayang dipengaruhi oleh gaya dari luar (Kasim, 2014).

Penelitian mengenai konveksi paksa saat ini juga sedang dikembangkan untukbeberapa jenis fluida, baik itu fluida Newtonian maupun fluida non-Newtonian.Salah satunya yaitu fluida kental yang merupakan fluida Newtonian. Meskipunmemiliki tipe dasar yang sederhana, akan tetapi fluida ini banyak diteliti. Saatini juga telah banyak dilakukan penelitian mengenai pengaruh MHD pada fluidakental. Dengan adanya MHD pada suatu fluida kental akan berpengaruh terhadaptertundanya separasi aliran maupun terjadinya perubahan aliran (Mohammad,2014, Kudenatti, 2013). Dalam kaitannya dengan perkembangan MHD dalambidang industri, banyak peneliti yang menyelidiki pengaruh dari MHD pada aliranfluida dan perpindahan panas baik pada fluida Newtonian maupun non-Newtonian.Akan tetapi masih sedikit yang mempelajari tentang pengaruh MHD pada aliranfluida yang tak tunak (Mohammad, 2014). Oleh karena itu, pada tesis inidilakukan penelitian mengenai permasalahan aliran konveksi paksa pada fluidakental (viscous) yang melewati suatu silinder elliptik dan dipengaruhi oleh MHDyang tak tunak.

1

Gambar 1.1: Lapisan Batas yang Terbentuk Pada saat Fluida Melewati SebuahSilinder Eliptik

Aliran fluida kental yang melewati silinder eliptik, yang berdasarkan ilustrasimodel aliran yang melewati silinder eliptik pada Gambar 1.1 tersebut menimbulkanlapisan batas (boundary layer). Persamaan lapisan batas yang diperoleh selanjutnyaditransformasikan dalam bentuk non-dimensi dan selanjutnya ditransformasikandalam persamaan lapisan batas tak-sama (non-similar), kemudian akan diselesaikansecara numerik menggunakan metode Keller-Box. Hasil numerik yang diperolehberupa profil kecepatan dan profil temperatur untuk beberapa variasi parametermagnetik dan bilangan Prandtl, selain itu juga didapatkan profil kecepatan dantemperatur dipengaruhi adanya parameter konveksi, sumbu vertikal dan sumbuhorizontal silinder eliptik yang digambarkan dalam bentuk grafik.

1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan uraian latar belakang yang ada, permasalahan yang dibahas dalam

penelitian ini adalah

1. Bagaimana model matematika dari aliran konveksi paksa MHD tak tunakpada fluida kental yang melewati silinder eliptik.

2. Bagaimana menyelesaikan model matematika aliran konveksi paksa MHDtak tunak pada fluida kental yang melewati silinder eliptik dengan menggu-nakan skema Metode Beda Hingga (Finite Difference Method) Keller-Box.

2

3. Bagaimana pengaruh bilangan Prandtl, parameter magnetik, parameterkonveksi, sumbu vertikal dan sumbu horizontal silinder terhadap profilkecepatan dan profil temperatur pada aliran.

1.3 Batasan MasalahPermasalahan yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi sebagai berikut:

1. Fluida yang digunakan bersifat tak mampu-mampat (incompressible).

2. Posisi silinder eliptik yang diamati adalah yang tegak lurus dengan aliran.

3. Aliran fluida dua dimensi yang melewati elips.

4. Silinder eliptik yang diamati terletak pada aliran bebas tanpa ada halangandidekat silinder.

5. Tidak ada induksi medan magnet yang terjadi pada aliran fluida dan silindereliptik.

6. Tidak ada tegangan listrik pada aliran fluida sehingga pada silinder eliptikmedan listriknya sama dengan nol.

7. Penyelesaian numerik menggunakan skema Metode Beda Hingga Keller-Box.

1.4 Tujuan PenelitianDari perumusan masalah yang ada, maka tujuan dari penelitian ini adalah

1. Menyusun model matematika dari aliran konveksi paksa MHD tak tunak padafluida kental yang melewati silinder eliptik.

2. Mendapatkan solusi numerik dari model aliran konveksi paksa MHD taktunak pada fluida kental yang melewati silinder eliptik dengan menggunakanskema Metode Beda Hingga Keller-Box.

3. Menganalisis pengaruh bilangan Prandtl, parameter magnetik, parameterkonveksi, sumbu vertikal dan sumbu horizontal silinder terhadap profilkecepatan dan profil temperatur.

1.5 Manfaat PenelitianManfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah sebagai suatu bentuk

konstribusi dalam pengembangan ilmu Matematika terapan di bidang teknologi danindustri, khususnya aplikasi metode beda hingga Keller-Box pada permasalahanaliran fluida dan pengaruh MHD pada permukaan silinder eliptik.

3

1.6 Kontribusi Hasil PenelitianKontribusi hasil penelitian ini terhadap pengembangan ilmu di bidang teknologi

dan industri adalah pada perusahaan pembangkit listrik dengan MHD generator,reaktor pendingin nuklir dan kristal.

4

BAB IIKAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

Bab ini menjelaskan mengenai penelitian terdahulu dan teori yang digunakandalam penelitian ini. Berikut adalah uraian dari penelitian-penelitian yang pernahdilakukan sebelumnya dan teori yang berkaitan dengan penyelesaian masalah dalampenelitian ini.

2.1 Penelitian Terdahulu

Pada penelitian yang dilakukan oleh Mohammad (2014), tentang aliran lapisanbatas MHD tak tunak, telah dijelaskan beberapa permasalahan yang membahasmengenai aliran konveksi paksa maupun aliran konveksi campuran pada fluidakental yang melewati bola. Pada penelitian tersebut diamati pengaruh adanyamedan magnet terhadap profil kecepatan, profil temperatur dan skin friction. Padapenelitian tersebut juga dijelaskan bahwa nilai parameter magnetik jika ditingkatkanatau diperbesar maka dapat meningkatkan ketebalan dari lapisan batas. Denganmeningkatnya parameter magnetik didapatkan bahwa kecepatan yang dihasilkansemakin meningkat, dan temperatur semakin menurun.

Pada penelitian Kudenatti (2013) dalam paper MHD Boundary Layer Flow

Over A Non-Linear Streching Boundary with Suction and Injection menjelaskanmengenai pengaruh MHD yaitu ketika nilai dari parameter magnet atau bilanganHartmann ditingkatkan atau diperbesar maka dapat mengakibatkan ketebalanlapisan batas menurun atau menipis. Hal ini menjelaskan tren hubungan timbalbalik antara medan magnet dan aliran fluida. Untuk parameter magnet ataubilangan Hartmann yang nilainya kecil dapat meningkatkan nilai parameter aliranfluida, sehingga dapat menyebabkan aliran fluida bergerak cepat. Selain itu, nilai-nilai koefisien dari gesekan kulit akan meningkat dengan meningkatnya parametermagnetik yang dilibatkan. Selain itu Abel dan Nandeppanavar (2009) menjelaskanbahwa nilai koefisien skin friction pada aliran konveksi paksa semakin meningkatakibat dari adanya gaya magnet. Medan magnet yang bertambah dengan cepat dapatmengakibatkan ketebalan lapisan batas menjadi lebih tebal.

Penelitian pada aliran fluida yang melewati silinder eliptik pernah dilakukanoleh Cheng (2012), Bharti (2007), dan Sulistyaningtyas (2015). Pada penelitianyang dilakukan oleh Cheng (2012) tentang aliran konveksi bebas pada lapisan

5

batas yang melalui silinder eliptik horizontal pada fluida nano atau nanofluiddengan temperatur dinding dan partikel nano yang tetap. Pada penelitianyang dilakukan menunjukkan bahwa bilangan Nusselt meningkat seiring denganparameter thermophoresis dan parameter Brownian yang semakin rendah. Selainitu juga dijelaskan bahwa bilangan Nusselt pada saat penampang silinder eliptikberbentuk bluff body atau sumbu mayor pada arah vertikal lebih besar dari padasilinder eliptik berbentuk blunt body atau sumbu mayor arah horizontal. Penelitianjuga dilakukan oleh Bharti (2007) mengenai perpindahan panas konveksi paksadari silinder eliptik pada power-law fluid. Pada penelitian tersebut dijelaskanbahwa bilangan Nusselt dari silinder eliptik bergantung pada bilangan Reynolddan bilangan Prandtl. Selain itu, pada penelitian tersebut juga dijelaskan bahwaperpindahan panas lebih mudah terjadi pada fluida yang cepat encer akibat geseran(shear thinning fluid), sementara perpindahan panas akan terhambat pada fluidayang mengental akibat geseran (shear thickening fluid).

Gambar 2.1: Model fisik dan sistem koordinat dari aliran yang melalui silindereliptik pengamatan Sulistyaningtyas (2015)

Penelitian yang dilakukan oleh Sulistyaningtyas (2015) sesuai dengan Gambar2.1 yaitu tentang pengaruh aliran fluida viskoelastik yang melewati silindereliptik. Berdasarkan penelitiannya disebutkan bahwa dengan bertambahnyabilangan Prandtl maka dihasilkan distribusi kecepatan dan temperatur yang semakinkecil. Selain itu, pada penelitian yang dilakukan Sulistyaningtyas (2015) jugamenyebutkan bahwa semakin besar luas penampang silinder eliptik, maka distribusitemperatur dan kecepatannya semakin kecil.

Berdasarkan penelitian-penelitian yang sudah pernah dilakukan, pada penelitianini akan dilakukan penelitian pengembangan yaitu penelitian pada fluida kentalyang bermedan magnet yang alirannya tak tunak dengan penyebaran panas konveksipaksa dan objek geometri yang digunakan adalah silinder eliptik bluff body. Gambar

6

Gambar 2.2: Model fisik dan sistem koordinat dari aliran yang melalui silindereliptik bluff body

fisik dan sistem koordinat secara umum dari permasalahan ini dapat dilihat padaGambar 2.2. Selain itu, pada penelitian ini akan digunakan metode Keller-Box

untuk menyelesaikan permasalahan secara numerik.

2.2 FluidaTerdapat tiga fase zat yang tersebar di alam, yaitu fase padat, gas, dan cair.

Karena fase gas dan cair tidak dapat mempertahankan bentuk yang tetap, makakeduanya mempunyai kemampuan untuk mengalir, dengan demikian keduanyadisebut dengan fluida. Fluida merupakan zat yang berubah bentuk secara kontinubila terkena tegangan geser, berapapun tegangan geser tersebut (Widodo, 2012).

Perbedaan zat cair dan gas ialah zat cair merupakan zat yang tak mampumampat (incompressible), sedangkan gas merupakan zat yang mampu mampat(compressible). Kemampatan adalah perubahan (pengecilan) volume karena adanyaperubahan tekanan. Untuk fluida cair, tekanan dapat diabaikan dan viskositasnyaakan turun dengan cepat bila temperaturnya dinaikkan. Pada fluida mengenaladanya viskositas atau kekentalan fluida dan berdasarkan karakteristiknya, fluidafase cair dibagi menjadi dua yaitu, fluida Newtonian dan Non-Newtonian.

2.2.1 Viskositas

Viskositas adalah ukuran kekentalan fluida yang menyatakan besar kecilnyagesekan di dalam fluida. Makin besar viskositas suatu fluida, makin sulit fluidamengalir dan makin sulit suatu benda untuk bergerak dalam fluida tersebut. Olehkarena itu, viskositas dari suatu fluida dapat menjelaskan ketahanan internal fluida

7

untuk mengalir dan dapat digunakan untuk menganalisa pengukuran dari perge-seran suatu fluida. Viskositas zat cair secara umum berkurang sejalan denganpeningkatan suhu. Sedangkan viskositas gas secara umum bertambah sejalandengan peningkatan suhu. Hal ini dapat dikatakan bahwa Viskositas zat cairberbanding terbalik dengan suhu zat, sedangkan viskositas gas berbanding lurusdengan suhu suatu zat. Semua fluida (kecuali superfluida) memiliki ketahanandari tekanan sehingga disebut kental, tetapi fluida yang tidak memiliki ketahanantekanan dan tegangan disebut fluida ideal.

2.2.2 Fluida Newtonian

Fluida Newtonian adalah suatu fluida yang memiliki kurva tegangan/reganganyang linier. Keunikan dari fluida Newtonian adalah fluida ini akan terus mengalirsekalipun terdapat gaya yang bekerja pada fluida. Hal ini disebabkan karenaviskositas dari suatu fluida Newtonian tidak berubah ketika terdapat gaya yangbekerja pada fluida. Viskositas dari suatu fluida Newtonian hanya bergantungpada temperatur dan tekanan. Viskositas sendiri merupakan suatu konstanta yangmenghubungkan besar tegangan geser dan gradien kecepatan pada persamaan

τ = µdu

dy

dengan:τ = tegangan geser pada fluida ( N

m2 )µ = viskositas fluida ( N

m2 .s)dudy

= gradien kecepatan fluida (s−1 )

2.2.3 Fluida Non-Newtonian

Fluida non-Newtonian adalah fluida yang akan mengalami perubahan viskositasketika terdapat gaya yang bekerja pada fluida tersebut. Hal ini yang menyebabkanfluida non-Newtonian tidak memiliki viskositas yang konstan (berkebalikan denganfluida Newtonian). Berikut ini adalah contoh dari fluida non-Newtonian dalamkehidupan sehari-hari, yakni fluida plastik padat, fluida eksponensial, fluidaviskoelastik (yang memiliki karakteristik viskos dan elastik), fluida thiksotropikatau fluida yang viskositasnya bergantung pada waktu, dan fluida rheopektik ataufluida yang viskositasnya seolah makin lama makin besar.

Berdasarkan kedua uraian tentang karakteristik suatu fluida diatas, perbedaanantara fluida yang berkarakteristik Newtonian dan non-Newtonian adalah linier dantidaknya antara tegangan geser dengan gradien kecepatannya. Hal ini diperjelasmelalui gambar yang menunjukkan kurva antara tegangan geser dengan gradien

8

Gambar 2.3: Klasifikasi Fluida

kecepatan fluida yang berkarakteristik Newtonian dan non-Newtonian (Potter,2008)

2.3 Tipe Aliran Fluida Berdasarkan Kriteria WaktuTipe aliran fluida yang memiliki pengaruh terhadap perubahan waktu pada

umumnya dibagi menjadi dua, yaitu:(Widodo, 2012)

1. Aliran Tunak (Steady Flow) Aliran tunak yaitu kecepatan aliran fluida tidakdipengaruhi oleh perubahan waktu. Pada aliran tunak berlaku:

∂u

∂t= 0

2. Aliran Tak Tunak (Unsteady Flow) Aliran tak tunak yaitu kecepatan aliranfluida yang dipengaruhi oleh perubahan waktu. Pada aliran tak tunak berlaku:

∂u

∂t6= 0

2.4 Perpindahan Panas KonveksiPada umumnya terdapat tiga tipe dari perpindahan panas yaitu konduksi,

konveksi dan radiasi. Secara umum, jenis perpindahan panas yang biasa terjadidiantara fluida adalah konveksi. Perpindahan panas konveksi merupakan perpin-dahan panas dari satu tempat ke tempat lain yang disebabkan oleh perbedaan

9

temperatur dan menggunakan fluida sebagai penghantarnya. Secara umum konveksidapat dibagi ke dalam tiga jenis, yaitu konveksi bebas (alamiah), konveksi paksa dankonveksi campuran.

2.4.1 Konveksi Bebas (Free Convection Flow)

Konveksi bebas (alamiah) terjadi pada saat pergerakan fluida yang disebabkanoleh gaya apung (buoyancy forces) yang dihasilkan dari perbedaan massa jenissesuai dengan variasi temperatur pada fluida. Contoh konveksi bebas yaitu asapyang berasal dari api, fenomena ini dapat dilihat ketika suatu hutan terbakar, asapakan naik ke atas karena adanya perbedaan massa jenis antara asap dan udara sekitar(Kasim, 2014)

2.4.2 Konveksi Paksa (Forced Convection Flow)

Konveksi paksa terjadi pada saat fluida dipaksa untuk mengalir di ataspermukaan oleh sumber eksternal ataupun internal, sedangkan gaya apungdiabaikan. Sumber internal bekerja pada saat fluida mengalir di antara bendasolid seperti mengalir melalui pipa, sedangkan sumber eksternal bekerja padasaat fluida mengalir tanpa batasan dari benda solid atau dapat dikatakan padasaat fluida mengalir di atas permukaan pelat datar. Konveksi paksa menggam-barkan perpindahan panas pada fluida yang dipengaruhi oleh gaya dari luar (Kasim,2014). Konveksi paksa, dalam pengaplikasiannya pada perpindahan panas, seringdigunakan untuk meningkatkan laju perubahan panas.

2.4.3 Konveksi Aliran Campuran (Mixed Convection Flow)

Pada perkembangan perpindahan panas konveksi, dikenal konveksi alircampuran (mixed convection flows) atau konveksi campuran (mixed convection)yang merupakan kombinasi dari aliran konveksi bebas dan aliran konveksi paksa.Konveksi campuran terjadi pada saat efek dari konveksi paksa pada konveksi bebasmenjadi signifikan. Contoh dari konveksi campuran dalam kehidupan sehari-haridapat kita lihat pada saat asap timbul dari api (konveksi bebas) dan pada saatbersamaan asap juga ditimbulkan oleh faktor eksternal seperti ledakan dari gassilinder (konveksi paksa).

2.5 Aliran Lapisan Batas (Boundary Layer)Boundary layer atau lapisan batas adalah suatu lapisan tipis pada permukaan

padat dimana fluida mengalir. Boundary layer suatu fluida dipengaruhi olehviskositas maupun gaya inersia benda tersebut. Konsep lapisan batas pertama kalidikemukakan pada tahun 1904 oleh Ludwig Prandtl, seorang ahli aerodinamikaJerman.

10

Aliran fluida pada lapisan batas menurut perbandingan gaya-gaya inersiadengan viskositasnya secara garis besar terdiri dari tiga jenis aliran, yakni aliranlaminer, aliran transisi dan aliran turbulen (Widodo,2012).

2.5.1 Aliran Laminer

Pada aliran laminer, partikel-partikel zat cair bergerak teratur mengikuti lintasanyang saling sejajar. Aliran ini terjadi apabila bilangan Reynolds kurang dari 500(Re < 500) atau pada saat fluida bergerak dengan kecepatan kecil dan atau fluidamemiliki viskositas (kekentalan) yang besar.

2.5.2 Aliran Transisi

Aliran transisi adalah adalah aliran yang terjadi antara aliran laminar danturbulen. Terjadinya masa transisi antara aliran laminar dan turbulen karena adanyaperubahan viskositas dan kecepatan yang menyebabkan daya redam terhadapgangguan akan berkurang hingga batas tertentu. Aliran transisi terjadi apabilabilangan Reynolds antara 500 sampai 12.500 (500 < Re < 12.500).

2.5.3 Aliran Turbulen

Aliran turbulen terjadi pada saat partikel-partikel zat cair bergerak secara acakatau tidak teratur. Aliran turbulen terjadi apabila bilangan Reynolds lebih dari12.500 (Re > 12.500).

Bilangan Reynolds untuk suatu aliran dapat dihitung menggunakan rumusberikut:

Re =U∞a

ν(2.1)

dengan:Re = bilangan ReynoldsU∞ = kecepatan pada aliran bebas (m

s)

a = panjang karakteristikν = komponen kecepatan pada arah-y

Pada saat memformulasikan hukum kekekalan massa, momentum, dan energi,hukum termodinamik dan gas dinamik juga harus diperhatikan. Sehingga dapatdisimpulkan bahwa bersama dengan aliran boundary layer, ada juga thermal

boundary layer dan pengaruh timbal balik dari lapisan-lapisan batas lain yangjuga harus diperhitungkan. Teori mengenai lapisan batas digunakan pada berbagaiilmu teknik sains, seperti hidrodinamik, aerodinamik, automobile dan teknikkelautan. Beberapa penelitian dengan menggunakan boundary layer pun sudahsering dilakukan contohnya aliran fluida pada pelat datar (Hussanan, dkk (2014)),

11

aliran fluida pada sirkular silinder (Anwar, dkk(2008)) dan aliran fluida pada bola(Mohammad (2014))

Gambar 2.4: Lapisan Batas di Sekitar Airfoil

Secara garis besar, contoh sederhana dari lapisan batas di fluida viskos dapatdijumpai di airfoil karena selama ini penelitian terhadap lapisan batas berkembangdiawali dengan adanya minat para peneliti pada airfoil. Gambaran lapisan batas disekitar airfoil dapat dilihat pada Gambar 2.4.

2.6 Magnetohidrodinamik (MHD)

Magnetohidrodinamik (MHD) (dinamika fluida magneto atau hydromagnetics)adalah studi mengenai pergerakan aliran fluida yang dapat menghantarkan listrik(konduksi listrik) yang dipengaruhi oleh medan magnet. Contoh fluida yang dapatdikonduksi adalah plasma, logam cair, dan air garam atau elektrolit. Kata MHDberasal dari kata magneto- yang berarti medan magnet, -hydro- yang berarti cairandan -dynamics yang berarti perubahan. MHD diperkenalkan dan dikembangkanoleh Hannes Alfven seorang fisikawan yang pernah mendapatkan nobel dalamfisika pada tahun 1970. MHD berperan penting dalam fisika solar, astrofisika,fisika plasma, dan eksperimen plasma laboratorium. Himpunan persamaan yangmenggambarkan MHD adalah kombinasi dari persamaan Navier-Stokes padadinamika fluida dan persamaan Maxwell pada elektromagnetik.

Bentuk ideal persamaan MHD terdiri dari persamaan fluida, yakni persamaankontinuitas, persamaan momentum dan persamaan energi, dan persamaan Maxwell.Berikut ini adalah persamaan dasar yang dibutuhkan untuk membuat bentuk idealpersamaan MHD:

12

Persamaan momentum:

ρ(dv

dt) = −∇p+ J ×B

Persamaan konservasi massa:

∂ρ

∂t+∇.(ρV ) = 0

Persamaan konservasi energi:d

dt(p

ργ) = 0

Persamaan Maxwell:

∇ · E =1

ε0

ρ (2.2)

∇ ·B = 0 (2.3)

∇× E = −∂B∂t

∇×B = µ0J + ε0µ0∂E

∂t

dengan:B = medan magnetE = medan listrikV = kecepatan massal plasmaJ = kerapatan arusρ = massa jenisp = tekanan plasmat = waktuµ0 = permeabilitas ruang hampa (µ0 = 4π × 10−7N/A2)

Pada permasalahan MHD Persamaan (2.2) pada persamaan Maxwell tidakberlaku sehingga dapat dihilangkan dan Persamaan (2.2) hanya digunakan padakondisi awal (initial condition). Selain itu, untuk frekuensi/kecepatan rendah,perpindahan arus bisa diabaikan (Arber, 2013). Sehingga, persamaan umum MHD

13

dapat dirumuskan sebagai berikut:

∂B

∂t= −∇× E (2.4)

∂ρ

∂t+∇.(ρV ) = 0 (2.5)

ρ(dv

dt) = −∇p+ J ×B (2.6)

∇×B = µ0J (2.7)d

dt(p

ργ) = 0 (2.8)

dan untuk mencari besar medan listrik, digunakan formulasi berikut:

E + v ×B = ηJ (2.9)

jika η = 0 maka persamaan MHD tersebut dikatakan sebagai persamaan MHDideal.

2.7 Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)Dalam matematika, metode beda hingga (FDM) adalah metode numerik untuk

mendekati solusi dari persamaan diferensial menggunakan persamaan beda hinggauntuk mendekati derivatif. Metode beda hingga secara umum memiliki tigapendekatan yaitu beda maju, beda pusat dan beda mundur. Berikut ini akandisajikan macam-macam metode beda hingga yaitu:

a. Beda Maju

f′(x) =

f(x+4x)− f(x)

4x

b. Beda Mundurf′(x) =

f(x)− f(x−4x)

4x

c. Beda Pusatf′(x) =

f(x+4x)− f(x−4x)

24x

2.7.1 Skema Keller-Box

Metode Keller-Box) adalah salah satu teknik untuk menyelesaikan persamaanparabolik, terutama persamaan lapisan batas. Skema ini merupakan bentuk implisitdengan keakurasiannya orde kedua baik terhadap ruang maupun waktu yang manastep size untuk waktu dan ruang tidak harus sama. Hal ini membuat penyelesaianpersamaan diferensial parsial parabolik lebih efisien dan tepat. Penerapan metode

14

Keller-Box ini dimulai dengan terlebih dahulu mengubah bentuk persamaandiferensial orde dua atau orde tinggi menjadi persamaan diferensial orde satu.Berikut adalah contoh mengubah persamaan diferensial orde dua menjadi orde satu:

∂u

∂t= α

∂2u

∂x2

dengan mendefinisikan

v =∂u

∂x

sehingga bentuk persamaan orde kedua tersebut dapat dituliskan menjadi duapersamaan orde pertama sebagai berikut

∂u

∂x= v

∂u

∂t= α

∂v

∂x

Gambar 2.5: Stensil Skema Keller-Box

Berdasarkan bentuk skema Keller-Box pada Gambar 2.5 untuk menyelesaikanpersamaan diferensial orde satu yaitu sebagai berikut

uni − uni−1

∆xi= vn

i− 12

(2.10)

2uni− 1

2

− un−1i− 1

2

∆tn=

α(vni − vni−1)

∆xi+α(vn−1

i − vn−1i−1 )

∆xi(2.11)

15

Karena menggunakan titik-titik pada step size setengah maka berlaku

uni− 1

2=

uni + uni−1

2

vn− 1

2i =

vni + vn−1i

2

secara umum dapat dituliskan sebagai berikut

()n− 1

2i =

1

2[()ni + ()n−1

i ]

()ni− 1

2=

1

2[()ni + ()ni−1]

Selanjutnya disubstitusikan ke Persamaan (2.10) dan (2.11) didapatkan

uni − uni−1

∆xi=

vni + vni−1

2(2.12)

2uni + uni−1

∆tn= α

vni − vni−1

∆xi+ α

vn−1i − vn−1

i−1

∆xi+ 2

un−1i + un−1

i−1

∆tn(2.13)

Berdasarkan hasil pada Persamaan (2.12) dan (2.13), selanjutnya dapat direpresen-tasikan dalam bentuk matriks tridiagonal.

16

BAB III

METODA PENELITIAN

Bab ini menjelaskan mengenai tahapan dan tempat penelitian yang dilakukanuntuk menyelesaikan permasalahan aliran konveksi paksa MHD tak tunak yangmelewati silinder eliptik pada fluida kental. Adapun tahapan dan tempat penelitianyang digunakan adalah sebagai berikut

3.1 Tahapan Penelitian

Sesuai dengan rumusan masalah yang telah dijelaskan pada BAB I, penelitianini diselesaikan dengan menggunakan tiga tahap, yaitu tahap analisa awal atauanalisa permasalahan, tahap implementasi, dan tahap penyelesaian dan analisaakhir.

Gambar 3.1: Model fisik dan sistem koordinat dari aliran yang melalui silindereliptik bluff body

17

3.1.1 Tahap Analisa Awal

Pada penelitian ini fluida kental memiliki pengaruh yang cukup dominan karenaviskositas memiliki pengaruh besar pada fluida Newtonian. Penelitian ini dilakukanpada daerah lapisan batas dengan membangun model aliran dari tiga hukum, yaituhukum konservasi massa, hukum II Newton, dan hukum I Termodinamika. Padapenelitian ini model yang dibangun adalah model matematika didaerah lapisan batasdari silinder eliptik bluff body, yakni disekitar titik stagnasi terendah (x ≈ 0).Titik stagnasi terendah adalah titik dimana lapisan batas berada paling dekat denganpermukaan benda.

Pada Gambar 3.1 dapat diketahui bahwa fluida kental bergerak dari bawah keatas melewati sebuah silinder eliptik yang memiliki panjang sumbu vertikal atausumbu yang searah dengan aliran (a), dan panjang sumbu pada arah horizontal (b),dengan kecepatan ambient fluid U∞ dan temperatur seragam T∞.

Berdasarkan penjelasan tersebut, dapat dilakukan langkah-langkah dalammenjawab rumusan masalah pada Bab I, yaitu:

1. Studi literatur

2. Penurunan persamaan konservasi massa, hukum Newton II, dan hukum ITermodinamika untuk mendapatkan persamaan pembangun

3. Persamaan pembangun disederhanakan dengan menggunakan pendekatanBoussinesq dan teori lapisan batas sehingga diperoleh persamaan pembangunyang berdimensi dari aliran konveksi paksa MHD tak tunak yang melewatisilinder eliptik pada fluida kental

4. Menentukan kondisi batas

3.2 Tahapan ImplementasiPada tahap ini, dilakukan ilmplementasi metode Keller Box yang digunakan

untuk menyelesaikan permasalahan ini. Persamaan yang didiskritisasi denganmetode ini adalah persamaan similaritas, yang mana persamaan similaritas darimodel ini didapatkan dengan melakukan beberapa tahapan berikut:

1. Persamaan pembangun yang berdimensi disederhanakan dan ditransfor-masikan ke dalam bentuk non-dimensional dengan menggunakan variabelnon-dimensional.

2. Mengubah non-dimensional ke persamaan similaritas dengan menggunakanfungsi alir (stream function) pada silinder elliptik.

18

Persamaan similaritas model aliran konveksi paksa MHD tak tunak yang melewatisebuah silinder eliptik pada fluida kental pada titik stagnasi terendah (x ≈ 0) adalahsebagai berikut

f ′′′ +η

2f ′′ + t(1− (f ′)2 + ff ′′) + Mt(1− f ′) = t

∂f ′

∂t(3.1)

s′′ + Prη

2s′ + Prtfs′ = Prt

∂s

∂t(3.2)

Implementasi metode Keller-Box pada Persamaan (3.1) dan (3.2) dilakukan denganterlebih dahulu mengubah kedalam bentuk orde pertama yang kemudian dilakukandiskritisasi dengan menggunakan metode beda pusat.

3.2.1 Tahap Analisis AkhirPada tahap ini dilakukan beberapa tahapan sebagai berikut:

1. Hasil diskritisasi dari Persamaan (3.1) dan (3.2) diselesaikan secara numerikdengan menggunakan Matlab.

2. Dilakukan variasi pada parameter magnetik (M), bilangan Prandtl (Pr),parameter konveksi (α) dan panjang sumbu (a) dan sumbu (b). Hal inidilakukan untuk mengetahui pengaruh parameter-parameter tersebut terhadapkarakteristik dari fluida yaitu profil kecepatan dan profil temperatur.

3. Visualisasi hasil numerik dilakukan dengan menggunakan Matlab untukmempermudah dan mendukung hasil-hasil pengukuran.

4. Analisa hasil dari simulasi numerik yang dipengaruhi oleh parameter-parameter terhadap karakteristik fluida.

3.3 Tempat PenelitianPenelitian ini dilakukan di laboratorium Pemodelan Matematika dan Simulasi,

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, InstitutTeknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

19

20

BAB IVMODEL MATEMATIKA

Pada bab ini dijelaskan mengenai model matematika aliran tak tunak konveksipaksa fluida kental MHD melewati silinder eliptik dalam bentuk model matematikayang berdimensi kemudian ditransformasikan ke bentuk model matematika yangtak berdimensi dan selanjutnya dibentuk dalam model similar. Model matematikaaliran tak tunak konveksi paksa fluida kental MHD melewati sebuah silinder eliptikdidapat dari persamaan pembangun. Persamaan pembangun yang digunakan untukmembangun model didapatkan dari penurunan hukum konservasi massa, hukum IINewton, dan hukum I Termodinamika. Hasil penurunan tersebut membentuk tiga

Gambar 4.1: Bentuk 3-Dimensi (kiri) dan Sistem Koordinat Silinder Eliptik 2-Dimensi (kanan)

persamaan pembangun yaitu persamaan kontinuitas, persamaan momentum, danpersamaan energi. Berikut ini deskripsi dari permasalahan aliran tak tunak konveksipaksa fluida kental MHD melewati silinder eliptik diilustrasikan pada Gambar 4.1.

Pada Gambar 4.1 menunjukkan sistem koordinat dari silinder eliptik.Berdasarkan Gambar 4.1, aliran dari fluida pada permasalahan ini dianggapbergerak dari bawah ke atas melewati permukaan sebuah silinder eliptik dengansuhu fluida disekitar silinder eliptik (T∞). Pada penelitian ini diasumsikan bahwakecepatan aliran fluida sebelum melewati silinder eliptik yaitu U∞. Aliran padafluida kental ini dalam keadaan tak tunak (unsteady) dan incompressible. Aliran

21

konveksi paksa pada fluida kental yang melewati permukaan sebuah silinder eliptikini membentuk lapisan batas, dan dari lapisan batas tersebut selanjutnya dikontruksimodel matematika.

4.1 Persamaan Pembangun Model Matematika

Persamaan pembangun adalah persamaan yang diuraikan dari lapisan batas yangterbentuk didekat permukaan silinder eliptik akibat dari aliran fluida yang melewatisilinder eliptik. Persamaan pembangun yang digunakan didapatkan dari HukumKekekalan Massa, Hukum II Newton dan Hukum I Termodinamika. Berikut adalahuraian untuk persamaan pembangun yang digunakan membangun model.

4.1.1 Persamaan Kontinuitas

Konsep dari hukum konservasi massa yaitu laju perubahan massa terhadapwaktu pada suatu sistem sama dengan nol atau jumlah massa dalam suatusistem adalah konstan. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut (Potterdkk,2012):

DMsys

Dt= 0 (4.1)

dengan D()Dt

disebut sebagai turunan material dan Msys adalah massa sistem yangsama dengan jumlah dari semua perkalian antara densitas fluida dengan volumefluida pada sistem tersebut yang dinyatakan dengan

Msys =

∫sys

ρd∀ (4.2)

dengan ρ adalah densitas fluida dan ∀ adalah volume fluida. Dengan mensubsti-tusikan Persamaan (4.2) pada Persamaan (4.1) didapatkan bentuk:

DMsys

Dt=

D

Dt

∫sys

ρd∀ = 0 (4.3)

Dengan menggunakan teorema pengangkutan Reynolds, laju perubahan massaterhadap waktu pada suatu sistem dapat dituliskan sebagai berikut

DMsys

Dt=

∂

∂t

∫cv

ρd∀+

∫cs

ρu · ndA (4.4)

sehingga dengan mensubstitusikan Persamaan (4.4) ke Persamaan (4.3) didapatkan

D

Dt

∫sys

ρd∀ =∂

∂t

∫cv

ρd∀+

∫cs

ρu · ndA (4.5)

22

dengan u · ndA merupakan perkalian dari komponen kecepatan u yang tegak lurusterhadap suatu bagian kecil permukaan atur dan bidang diferensial dA. Jadi u · ndAmeruoakan laju dari aliran volume yang melalui dA dan ρu · ndA laju aliran massamelalui dA. Sehingga persamaan volume atur untuk kekekalan massa dinyatakandalam bentuk:

∂

∂t

∫cv

ρd∀+

∫cs

ρu · ndA = 0 (4.6)

Gambar 4.2: Volume Atur

Dimisalkan volume atur yang digunakan berupa sebuah elemen kubus kecildalam keadaan diam seperti pada Gambar 4.2. Pada bagian pusat elemen terdapatdensitas ρ dan komponen kecepatan u, v, dan w. Karena elemen diasumsikan kecil,maka laju perubahan terhadap waktu dari massa dari kandungan volume atur yaitu:

∂

∂t

∫cv

ρd∀ ≈ ∂ρ

∂tδxδyδz (4.7)

Gambar 4.3: Aliran Fluida Masuk dan Keluar Volume Atur

23

Jumlah aliran massa pada permukaan elemen dapat diperoleh dari aliran sumbukoordinat yang digambarkan secara terpisah. Seperti pada Gambar 4.3, aliran padasumbu-x digambarkan dengan jumlah massa dari aliran yang masuk dan keluar daribagian pusat elemen, sehingga pada aliran yang keluar didefinisikan:

ρu |x+ δx2

= ρu+∂(ρu)

∂x

δx

2(4.8)

sedangkan untuk bagian aliran yang masuk

ρu |x− δx2

= ρu− ∂(ρu)

∂x

δx

2(4.9)

Sehingga jumlah aliran massa yang keluar pada arah-x dapat didefinisikan sebagaiberikut:[

ρu+∂(ρu)

∂x

δx

2

]δyδz −

[ρu− ∂(ρu)

∂x

δx

2

]δyδz =

∂(ρu)

∂xδxδyδz (4.10)

Dengan langkah yang sama, didapatkan aliran massa yang keluar pada arah-yberikut ini:[

ρv +∂(ρv)

∂y

δy

2

]δxδz −

[ρv − ∂(ρv)

∂y

δy

2

]δxδz =

∂(ρv)

∂yδxδyδz (4.11)

dan aliran massa yang keluar pada arah-z adalah[ρw +

∂(ρw)

∂z

δz

2

]δxδy −

[ρw − ∂(ρw)

∂z

δz

2

]δxδy =

∂(ρw)

∂zδxδyδz (4.12)

Sehingga total aliran dapat ditulis sebagai berikut[∂(ρu)

∂x+∂(ρv)

∂y+∂(ρw)

∂z

]δxδyδz (4.13)

Jadi laju terhadap perubahan waktu dari massa sistem yaitu

∂ρ

∂tδxδyδz +

[∂(ρu)

∂x+∂(ρv)

∂y+∂(ρw)

∂z

]δxδyδz (4.14)

kedua ruas dibagi dengan δxδyδz didapatkan:

∂ρ

∂t+∂(ρu)

∂x+∂(ρv)

∂y+∂(ρw)

∂z= 0 (4.15)

Pada penelitian ini diasumsikan bahwa aliran fluida yang dianalisa adalah aliran

24

fluida pada bidang xoy, sehingga persamaannya menjadi

∂ρ

∂t+∂(ρu)

∂x+∂(ρv)

∂y= 0 (4.16)

Persamaan (4.16) dapat ditulis dalam bentuk notasi vektor sebagai berikut:

∂ρ

∂t+ ρ(∇.u) = 0 (4.17)

Karena pada penelitian ini fluida bersifat incompressible yang berarti bahwadensitas fluida tidak bergantung terhadap waktu (∂ρ

∂t= 0) sehingga persamaan

kontinuitas diberikan sebagai berikut

∇ · u = 0 (4.18)

dengan u = (u, v, 0)

4.1.2 Persamaan Momentum

Selain persamaan kontinuitas, persamaan momentum berperan dalam pemben-tukan model aliran fluida. Prinsip dari persamaan momentum adalah hukum IINewton, yaitu jumlah gaya yang bekerja pada sistem sama dengan besar momentumpada sistem yang berubah terhadap waktu. Karena momentum adalah massadikalikan dengan kecepatan, maka momentum dari sebuah partikel kecil ρd∀ adalahuρd∀, sehingga momentum dari seluruh sistem adalah

∫sysρud∀. Secara matematis

Hukum II Newton dapat ditulis sebagai berikut (Potter dkk, 2012):

D

Dt

∫sys

ρud∀ =∑

F (4.19)

dengan menggunakan Teorema Transport Reynolds, laju perubahan terhadap waktudari momentum sistem sama dengan jumlahan laju perubahan terhadap waktu darimomentum kandungan volume atur dan laju aliran netto dari momentum melewatipermukaan atur, yang dapat dituliskan sebagai

D

Dt

∫sys

ρud∀ =∂

∂t

∫cv

ρd∀u +

∫cs

ρu · ndA · u (4.20)

dengan mensubstitusikan Persamaan (4.20) ke Persamaan (4.19) didapatkan

∂

∂t

∫cv

ρud∀+

∫cs

ρu(u · n)dA =∑

F (4.21)

25

dengan u · n merupakan bentuk skalar yang terjadi disetiap luasan dA. Bentukintegral permukaan kendali menunjukkan flux momentum net yang melewatipermukaan kendali fluida yang masuk maupun keluar volume kendali.

Berdasarkan persamaan kontinuitas, Persamaan (4.21) dapat dibentuk dalamnotasi vektor yaitu

ρ((∂u

∂t

)+∇ · (uu)

)δxδyδz =

∑F (4.22)

Berdasarkan sifat difergensi bahwa∇·(uu) = (u·∇u)+(u(∇·u)) karena∇·u = 0

maka ∇ · (uu) = u · ∇u, sehingga Persamaan (4.22) menjadi

ρ(∂u∂t

+ u · ∇u)δxδyδz =

∑F (4.23)

Gambar 4.4: Gaya-gaya Permukaan dalam Arah x yang Bekerja pada ElemenFluida

Dengan∑F menunjukkan komponen gaya-gaya yang bekerja pada permukaan

silinder eliptik. Komponen gaya-gaya tersebut adalah gaya permukaan, gaya apungdan gaya magnet. Dengan demikian Persamaan (4.23) dapat ditulis sebagai berikut

ρ(∂u∂t

+ u · ∇u)δxδyδz = Fs + Fbuo + Fmag (4.24)

yang mana Fs adalah gaya permukaan, Fbuo adalah gaya apung dan Fmag adalahgaya magnet. Pada Persamaan (4.24) kedua ruas dibagi dengan δxδyδz sehingga

26

didapatkan

ρ(∂u∂t

+ u · ∇u)

=Fs

δxδyδz+

Fbuoδxδyδz

+Fmagδxδyδz

(4.25)

Gaya permukaan atau Fs bekerja pada elemen sebagai hasil interaksinya dengansekelilingnya. Gaya-gaya permukaan yang bekerja pada sebuah elemen kubus kecildari sebuah fluida dalam bentuk tegangan-tegangan yang bekerja pada permukaanseperti pada Gambar 4.4. Dapat dinyatakan tegangan-tegangan pada berbagaipermukaan dalam bentuk tegangan-tegangan pada berbagai permukaan dalambentuk tegangan-tegangann yang bersesuaian pada pusat elemen. Dengan menjum-lahkan seluruh gaya pada arah-x dapat diuraikan sebagai berikut

Fsx =(∂σxx∂x

+∂τyx∂y

)δxδyδz (4.26)

dan gaya dalam arah y

Fsy =(∂σyy∂y

+∂τyx∂x

)δxδyδz (4.27)

Sehingga dapat dituliskan resultan gaya permukaan yaitu

Fs = Fsxi+ Fsy jFs

δxδyδz=

(∂σxx∂x

+∂τyx∂y

)i+(∂σyy∂y

+∂τyx∂x

)j (4.28)

Untuk fluida Newtonian tak mampu-mampat, diketahui bahwa tegangan berbandinglurus terhadap laju deformasi dan dapat dinyatakan sebagai berikut

a. Tegangan normal

σxx = −p+ 2µ∂u

∂x(4.29)

σyy = −p+ 2µ∂v

∂y(4.30)

b. Tegangan geser

τxy = τyx = µ(∂u∂y

+∂v

∂x

)(4.31)

dengan menyubstitusikan Persamaan (4.29) - (4.31) pada Persamaan (4.28) didap-atkan

Fsδxδyδz

= −∇p+ µ∇2u (4.32)

Selain gaya permukaan yang bekerja, juga terdapat gaya Lorentz dalam

27

persamaan momentum karena adanya medan magnet, maka Gaya Lorentz dapatdituliskan sebagai

Fmagδxδyδz

= E + J× B (4.33)

dengan E adalah medan listrik, J massa jenis arus, dan B adalah total medanmagnet. Massa jenis arus dapat dituliskan sebagai

J = σ(E + u× B) (4.34)

yang mana σ adalah konduktifitas listrik. Jika disubstitusikan Persamaan (4.34) kePersamaan (4.33) didapatkan

Fmagδxδyδz

= E + σ(E + u× B)× B (4.35)

karena pada penelitian ini aliran tidak mengandung arus listrik maka E = 0,sehingga Persamaan (4.35) menjadi

Fmagδxδyδz

= σ(u× B)× B (4.36)

dengan menggunakan indentitas vektor maka Persamaan (4.36) dapat dituliskansebagai berikut

Fmagδxδyδz

= σ{(u · B) · B− (B · B)u}

= σ{(‖u‖‖B‖ cos θuB)B− (B · B)u} (4.37)

karena B adalah total medan magnet yang merupakan jumlahan dari medan magnetyang teraplikasikan yaitu B0 dengan medan magnet yang terinduksi yaitu b, ataudapat dituliskan secara matematis yaitu

B = B0 + b

Oleh karena bilangan Reynold magnetiknya diasumsikan kecil maka induksimagnet b dapat dihilangkan, sehingga medan magnet B dapat dituliskan sebagai

B = B0 (4.38)

dengan θuB = π/2, maka gaya Lorentz pada Persamaan (4.37) dapat dituliskan

28

sebagaiFmagδxδyδz

= −σB20u (4.39)

Gaya apung dapat dituliskan sebagai Fbuo = ρgδxδyδz. Sedangkan untuktekanan p pada Persamaan (4.32) dapat dituliskan sebagai p = pd + ph denganph merupakan tekanan hidrostatis dan pd tekanan dinamik. Bentuk gradien tekananyang disebabkan oleh tekanan hidrostatis dapat dituliskan sebagai berikut

∇ph = ρ∞g (4.40)

yang mana ρ∞ adalah massa jenis fluida diluar area lapisan batas. Selanjutnyabentuk −∇p pada Persamaan (4.32) dapat dituliskan sebagai berikut

−∇pd −∇ph = −∇pd − ρ∞g (4.41)

selanjutnya pd dituliskan tanpa subskrip ’d’. Dengan menyubstitusikan Persamaan(4.32), (4.41) dan Persamaan (4.39) serta Fbuo pada Persamaan (4.24) didapatkanpersamaan momentum sebagai berikut

ρ(∂u∂t

+ (u · ∇)u)

= −∇p+ µ∇2u− σB20u + (ρ− ρ∞)g (4.42)

dengan g = (gx, gy, 0).

4.1.3 Persamaan Energi

Selain persamaan kontinuitas dan persamaan momentum, pada penelitian inijuga digunakan persamaan energi. Menggunakan persamaan energi karena adanyatemperatur yang berbeda dari aliran fluida sehingga menimbulkan adanya perpin-dahan energi yang berasal dari kalor antara media dengan fluida. Fenomena inimenunjukkan berlakunya hukum I Termodinamika mengenai energi total yangtersimpan dari suatu sistem. Hukum pertama Termodinamika untuk sebuah sistemadalah laju pertambahan terhadap waktu dari energi total yang tersimpan dari suatusistem sama dengan laju netto pertambahan energi dari kalor ke dalam sistemditambah dengan laju netto pertambahan dari kerja yang dipindahkan ke dalamsistem. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

D

Dt

∫sys

eρd∀ =

(∑Qin −

∑Qout

)sys

+

(∑Win −

∑Wout

)sys

29

atau dapat ditulis:

D

Dt

∫sys

eρd∀ =

(Qinnetto + Winnetto

)sys

(4.43)

Energi total yang tersimpan per satuan massa dari setiap partikel di dalam sistem(e), dihubungkan dengan energi dalam per satuan massa (u), energi kinetik persatuan massa (V

2

2), dan energi potensial per satuan massa (gz), diperoleh persamaan

e = u+V 2

2+ gz (4.44)

karena volume kendali untuk hukum pertama termodinamika berimpit dengansebuah sistem, maka diperoleh persamaan menurut Teorema Transport Reynoldsyaitu

D

Dt

∫sys

eρd∀ =∂

∂t

∫cv

eρd∀+

∫cs

eρ(u · n)dA (4.45)

Dengan menyubstitusikan Persamaan (4.45) dengan (4.43) didapatkan bentukvolume kendali untuk hukum I Termodinamika sebagai berikut:

∂

∂t

∫cv

eρd∀+

∫cs

eρ(u · n)dA =

(Qinnetto + Winnetto

)cv

(4.46)

Karena pada penelitian ini benda dianggap diam maka tidak terjadi usaha padasistem, maka W = 0, sehingga Persamaan (4.46) menjadi

∂

∂t

∫cv

eρd∀+

∫cs

eρ(u.n)dA =

(Qinnetto

)cv

(4.47)

atau dalam bentuk persamaan volume kendali yaitu

∂

∂t

∫cv

eρd∀+

∫cs

∇ · (eρu)d∀ =

∫cv

∇ · (c∇T )d∀+

∫cv

qd∀ (4.48)

Dengan ∇ · (c∇T ) adalah konduksi panas yang terjadi pada volume kendali dan qadalah sumber panas (heat generation). Karena pada penelitian ini tidak terdapatsumber panas pada volume kendali maka q = 0, sehingga Persamaan (4.48) dapatditulis

ρ

(∂e

∂t+∇ · (eu)

)= ∇ · (c∇T ) (4.49)

30

berdasarkan sifat divergensi diketahui bahwa (Sen, 1996):

∇ · (eu) = u · (∇e) + e(∇ · u) (4.50)

dengan mensubstitusikan persamaan kontinuitas pada Persamaan (4.50) didapatkan

∇ · eu = u · (∇e) + e(∇ · u)

= u · (eu) + 0

= u · (∇e)

maka Persamaan (4.46) dapat dinyatakan sebagai berikut:

ρ

(∂e

∂t+ u · (∇e)

)= ∇ · (c∇T ) (4.51)

Menurut Lienhard(2002) pengaruh dari tekanan dan perubahan kerapatan dapatdiabaikan karena dalam sistem tekanan konstan (tetap), sehingga perubahan darienergi dapat didekati dengan perubahan entalpi sebagai berikut

∂e = ∂h− ∂(P

ρ

)≈ ∂h (4.52)

dengan menyubstitusikan ∂h ≈ Cp∂T ke Persamaan (4.51),sehingga didapat:

ρCp

(∂T

∂t+ u · (∇T )

)= ∇ · (c∇T ) (4.53)

dengan∇ · (Tu) = u · (∇T ) + T · (∇u)

sesuai dengan persamaan kontinuitas, maka

∇ · (Tu) = u.(∇T ) (4.54)

kemudian disubstitusikan Persamaan (4.54) ke Persamaan (4.53), sehinggadiperoleh persamaan sebagai berikut:

ρCp

(∂T

∂t+ u · (∇T )

)= ∇ · (c∇T ) (4.55)

31

dengan

u · (∇T ) = (iu+ jv) ·(i∂T

∂x+ j

∂T

∂y

)=

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)∇ · (c∇T ) = c∇ · (∇T )

= c

[(i∂

∂x+ j

∂

∂y

)·(i∂T

∂x+ j

∂T

∂y

)]= c

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)Maka Persamaan (4.55) menjadi

ρCp

(∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= c

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y

)(4.56)

4.2 Penurunan Persamaan Pembangun Model

Persamaan pembangun model yang meliputi persamaan kontinuitas, persamaanmomentum dan persamaan energi telah dibahas pada sub bab sebelumnya. Berikutini persamaan pembangun yang digunakan pada aliran fluida yang bersifat unsteady

dan incompressible:

a. Persamaan Kontinuitas

∇ · u = 0∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (4.57)

b. Persamaan Momentum

ρ(∂u∂t

+ (u · ∇)u)

= −∇p+ µ∇2u− σB20u + (ρ− ρ∞)g (4.58)

c. Persamaan Energi

ρCp

(∂T∂t

+ u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= c(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)(4.59)

Tanda ’-’ menandakan bahwa variabel-variabelnya merupakan variabel yang berdi-mensi.

32

4.2.1 Persamaan Momentum

Aliran fluida kental yang melewati permukaan sebuah silinder eliptik yangdiilustrasikan pada Gambar 4.1 menunjukkan bahwa aliran bergerak ke arah sumbu-x dan ke arah sumbu-y, sehingga dapat dikontruksi persamaan momentum kearah sumbu-x dan sumbu-y. Pada Persamaan momentum (4.58) terdapat bentukkomponen dalam notasi vektor, jika dijabarkan akan didapatkan sebagai berikut:

a. Ruas kiri dari Persamaan (4.58) yang berupa ∂u∂t

adalah

∂u∂t

=∂

∂t(ui+ vj)

=∂u

∂ti+

∂v

∂tj (4.60)

b. Ruas kiri dari Persamaan (4.58) yang berupa (u · ∇)u adalah

(u · ∇)u =(

(ui+ vj) ·( ∂∂xi+

∂

∂yj))

(ui+ vj)

= u∂

∂x(ui+ vj) + v

∂

∂y(ui+ vj)

= u∂u

∂xi+ v

∂u

∂yi+ u

∂v

∂xj + v

∂v

∂yj (4.61)

c. Ruas kanan dari Persamaan (4.58) yang berupa ∇p adalah

∇p =( ∂∂xi+

∂

∂yj)p =

∂p

∂xi+

∂p

∂yj (4.62)

d. Ruas kanan dari Persamaan (4.58) yang berupa µ∇2u adalah

µ∇2u = µ( ∂∂xi+

∂

∂yj)( ∂

∂xi+

∂

∂yj)

(ui+ vj)

= µ( ∂2

∂x2+ 2

∂2

∂xy+

∂2

∂y2

)(ui+ vj)

= µ(∂2u

∂x2i+

∂2v

∂x2j + 2

∂2u

∂xyi+ 2

∂2v

∂xyj +

∂2u

∂y2i+

∂2v

∂y2j)

= µ(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)i+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)j (4.63)

e. Ruas kanan dari Persamaan (4.58) yang berupa σB20u adalah

σB20u = σB2

0(ui+ vj) = σB20 ui+ σB2

0 vj (4.64)

33

Dengan mengelompokkan vektor i untuk sumbu-x dan j untuk sumbu-y, didapatkanpersamaan momentum sumbu-x yaitu

ρ(∂u∂t

+ u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)= −∂p

∂x+ µ(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)− σB2

0 u+ (ρ− ρ∞)gx (4.65)

dan untuk persamaan momentum di sumbu-y yaitu

ρ(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+ µ(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)− σB2

0 v + (ρ− ρ∞)gy (4.66)

Sesuai dengan pendekatan Boussinesq yaitu semua variabel yangberpengaruh dalam Persamaan momentum (4.65) dan (4.66) diabaikan, kecualikerapatan. Pendekatan Boussinesq ini diterapkan pada Persamaan (4.65) dan (4.66)untuk mendekati perbedaan kerapatan yang menyebabkan adanya aliran sebagaiakibat dari interaksi antara gaya gravitasi dan tekanan hidrostatis seperti pengaruhtemperatur. Menurut Leal (1992), diasumsikan bahwa nilai maksimum (T − T∞)

kecil, sehingga berdasarkan definisi pendekatan Deret Taylor yaitu

ρ∞ρ

= 1 + β(T − T∞) +O(T − T∞)2 (4.67)

dengan menghilangkan bagian yang berorder tinggi, maka Persamaan (4.67)menjadi

ρ∞ρ

= 1 + β(T − T∞)

ρ∞ − ρρ

= β(T − T∞) (4.68)

dengan β adalah koefisien ekspansi panas yang dinyatakan dengan

β = −1

ρ

( ∂ρ∂T

)p

(4.69)

dengan mensubstitusikan Persamaan (4.68) pada Persamaan (4.65), maka didap-atkan persamaan momentum sumbu-x:

ρ(∂u∂t

+ u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)= −∂p

∂x+µ(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)−σB2

0 u−ρβ(T −T∞)gx (4.70)

dan persamaan momentum sumbu-y yaitu

ρ(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+µ(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)−σB2

0 v−ρβ(T −T∞)gy (4.71)

34

Pada penelitian ini menggunakan kondisi batas yaitu

t < 0 : u = v = 0, T = T∞ untuk setiap x, y

t ≥ 0 : u = v = 0, T = Tw pada saat y = 0

u = ue(x), T = T∞ saat y →∞ (4.72)

4.2.2 Transformasi Variabel Takberdimensi

Variabel takberdimensi digunakan untuk mempermudah proses komputasi.Pada permasalahan ini variabel tak berdimensi yang digunakan sebagai berikut (Ali,2010):

x =x

a, y = Re1/2 y

a

u =u

U∞, v = Re1/2 v

U∞

t =U∞t

a

p =p

ρU2∞, T =

T − T∞Tw − T∞

(4.73)

dengan Re = U∞aν

, dan ν adalah viskositas kinematik yang dapat dituliskan sebagaiν = µ

ρ. Selanjutnya dilakukan substitusi variabel-variabel tak berdimensi (4.73)

pada Persamaan (4.57), (4.70), (4.71) dan (4.59) sehingga didapatkan

a. Persamaan Kontinuitas∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (4.74)

b. Persamaan Momentum sumbu-x

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

1

Re

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2−Mu+ αT sinA (4.75)

c. Persamaan Momentum sumbu-y

1

Re

(∂v∂t

+u∂v

∂x+v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+

1

Re2

∂2v

∂x2+

1

Re

∂2v

∂y2−MRe

v− α

Re1/2T cosA

(4.76)

d. Persamaan Energi

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

1

Pr1

Re

∂2T

∂x2+

1

Pr∂2T

∂y2(4.77)

35

dengan M , α, Gr, dan Pr adalah parameter tak berdimensi. Parameter-parametertersebut didefinisikan sebagai berikut:

M =σB2

0a

ρU∞(Parameter Magnetik)

α =Gr

Re2(Parameter Konveksi)

Gr =gβ(Tw − T∞)a3

ν2(Bilangan Grashof)

Pr =νρCpc

(Bilangan Prandtl)

Berdasarkan variabel tak berdimensi pada (4.73) maka, kondisi batas pada (4.72)menjadi

t < 0 : u = v = 0, T = 0 untuk setiap x, y

t ≥ 0 : u = v = 0, T = 1 pada saat y = 0

u = ue(x), T = 0 saat y →∞ (4.78)

4.2.3 Pendekatan Lapisan BatasDengan menggunakan pendekatan lapisan batas yang mana Re → ∞ sehingga

1Re→ 0, maka diperoleh

a. Persamaan Kontinuitas∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (4.79)

b. Persamaan Momentum sumbu-x

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+∂2u

∂y2−Mu+ αT sinA (4.80)

c. Persamaan Momentum sumbu-y

−∂p∂y

= 0 (4.81)

d. Persamaan Energi∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

1

Pr∂2T

∂y2(4.82)

Pada Persamaan (4.81) dapat dilihat bahwa tekanan fluida, p tidak bergantungterhadap variabel y. Dikarenakan pada penelitian ini menggunakan penampangaliran 2 dimensi, maka dapat disimpulkan bahwa tekanan aliran hanya bergantung

36

pada variabel x. Oleh karena itu, hanya satu persamaan momentum yang digunakandalam membangun model pada penelitian ini yaitu

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+∂2u

∂y2−Mu+ αT sinA (4.83)

sehingga persamaan momentum di luar lapisan batas yaitu

∂ue∂t

+ ue∂ue∂x

+ v∂ue∂y

= −∂p∂x

+∂2ue∂y2

−Mue + αT sinA (4.84)

dengan menggunakan kecepatan aliran bebas ue = sinx (Ingham dan Merkin,1981), sehingga didapatkan bahwa

∂ue∂t

= 0 ;∂ue∂y

= 0 ;∂2ue∂y2

= 0 (4.85)

dengan menyubstitusikan Persamaan (4.85) pada (4.84) didapatkan

ue∂ue∂x

= −∂p∂x−Mue + αT sinA (4.86)

dan pada saat T = 0 maka

−∂p∂x

= ue∂ue∂x

+Mue (4.87)

dengan menyubstitusikan Persamaan (4.87) pada Persamaan (4.83) didapatkan

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ue

∂ue∂x

+∂2u

∂y2−M(u− ue) + αT sinA (4.88)

4.2.4 Fungsi Arus atau Fungsi Alir (Stream Function)

Pada penelitian ini menggunakan penampang dua dimensi atau hanya terdapatdua komponen kecepatan yaitu u dan v yang alirannya berada pada bidang x dany. Untuk menghubungkan dua fungsi kecepatan tersebut maka dikenalkan sebuahfungsi arus atau fungsi alir. Dengan adanya fungsi alir akan menyederhanakanbanyaknya persamaan dan membuat komputasi hanya dalam satu variabel. Fungsialir ini dinyatakan sebagai berikut

u =∂ψ

∂ydan v = −∂ψ

∂x(4.89)

37

a. Persamaan Kontinuitas

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

∂

∂x

(∂ψ∂y

)+

∂

∂y

(− ∂ψ

∂x

)= 0

∂2ψ

∂x∂y− ∂2ψ

∂x∂y= 0

∂2ψ

∂x∂y=

∂2ψ

∂x∂y(4.90)

b. Persamaan Momentum

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ue

∂ue∂x

+∂2u

∂y2−M(u− ue) + αT sinA

∂2ψ

∂t∂y+

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= ue

∂ue∂x

+∂3ψ

∂y3−M

(∂ψ∂y− ue

)+ αT sinA (4.91)

c. Persamaan Energi

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

1

Pr∂2T

∂y2

∂T

∂t+∂ψ

∂y

∂T

∂x− ∂ψ

∂x

∂T

∂y=

1

Pr∂2T

∂y2(4.92)

Kondisi batas pada (5.22) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi alir yaitu

t < 0 : ψ =∂ψ

∂y= T = 0 untuk semua x, y

t ≥ 0 : ψ =∂ψ

∂y= 0, T = 1 pada saat y = 0

∂ψ

∂y= ue(x), T = 0 pada saat y →∞ (4.93)

4.2.5 Persamaan Similaritas

Persamaan kontinuitas pada Persamaan (4.90) dapat dihilangkan dari hasilfungsi alir sehingga persamaan pembangun hanya ada 2 yaitu persamaanmomentum dan energi. Persamaan untuk variabel similaritas untuk waktu kecil(t ≤ t∗) dengan t∗ sebarang nilai yaitu

ψ = t1/2ue(x)f(x, η, t) T = s(x, η, t) η =y

t1/2(4.94)

38

Persamaan momentum:

∂3f

∂η3+η

2

∂2f

∂η2+ t

∂ue∂x

(1−

(∂f∂η

)2

+ f∂2f

∂η2

)+Mt

(1− ∂f

∂η

)= t

∂2f

∂η∂t

+ tue

(∂f∂η

∂2f

∂x∂η− ∂f

∂x

∂2f

∂η2

)− αtssinA

ue(4.95)

Persamaan energi:

∂2s

∂η2+ Pr

η

2

∂s

∂η+ Prtf

∂ue∂x

∂s

∂η= Prtue

(− ∂f

∂η

∂s

∂x+∂f

∂x

∂s

∂η

)+ Prt

∂s

∂t(4.96)

Variabel similaritas untuk waktu besar (t ≥ t∗) yaitu

ψ = ue(x)F (x, Y, t) T = S(x, Y, t) Y = y (4.97)

dengan mensubstitusikan variabel similaritas (4.97) pada persamaan momentum(4.91) yaitu

∂3F

∂Y 3+∂ue∂x

(1−

(∂F∂Y

)2

+ F∂2F

∂Y 2

)+M

(1− ∂F

∂Y

)=

∂2F

∂Y ∂t

+ ue

(∂F∂Y

∂2F

∂x∂Y− ∂F

∂x

∂2F

∂Y 2

)− αS sinA

ue(4.98)

dan persamaan energi untuk waktu besar yaitu

∂2S

∂Y 2+ PrF

∂ue∂x

∂S

∂Y= Prue

(− ∂F

∂Y

∂S

∂x+∂F

∂x

∂S

∂Y

)+ Pr

∂S

∂t(4.99)

Pada silinder eliptik terdapat dua macam bentuk yaitu (blunt orientation) atausumbu mayornya horizontal dan (slender orientation) yaitu sumbu mayornyavertikal yang mana x dan sinA untuk bentuk slender orientation diberikan sebagaiberikut:

x =

∫ γ

0

(1− e2 cos2 z)1/2dz, sinA =sin γ

(1− e2 cos2 γ)1/2

dengan a adalah sumbu vertikal, b adalah sumbu horizontal dan e2 = 1 − (b/a)2,sehingga untuk bentuk slender orientation dapat dituliskan ω = (a/b)2 (Ahmad,2008).Pada penelitian ini diteliti pada bagian titik stagnasi yaitu (x ≈ 0), dengandemikian maka nilai ue(x) = 0 dan ∂ue(x)

∂x= 1, sinA

ue→ ω sehingga persamaan

39

momentum dan energi untuk waktu kecil adalah

∂3f

∂η3+η

2

∂2f

∂η2+ t(

1−(∂f∂η

)2

+f∂2f

∂η2

)+Mt

(1− ∂f

∂η

)= t

∂2f

∂η∂t−αtsω (4.100)

∂2s

∂η2+ Pr

η

2

∂s

∂η+ Prtf

∂s

∂η= Prt

∂s

∂t(4.101)

dengan kondisi batas

t < 0 : f =∂f

∂η= s = 0 untuk sebarang η dan x

t ≥ 0 : f =∂f

∂η= 0, s = 1 pada saat η = 0

∂f

∂η= 1, s = 0 saat η →∞ (4.102)

dan untuk persamaan momentum dan energi untuk waktu besar yaitu

∂3F

∂Y 3+(

1−(∂F∂Y

)2

+ F∂2F

∂Y 2

)+M

(1− ∂F

∂Y

)=

∂2F

∂Y ∂t− αSω (4.103)

∂2S

∂Y 2+ PrF

∂S

∂Y= Pr

∂S

∂t(4.104)

dengan kondisi batas

F =∂F

∂Y= 0, S = 1 pada saat Y = 0

∂F

∂Y= 1, S = 0 pada saat Y →∞ (4.105)

Pada penelitian ini konveksi yang digunakan adalah konveksi paksa, sehinggapada parameter konveksi α = 0, sehingga model aliran konveksi paksa yangmengandung medan magnet yang melewati silinder eliptik pada fluida kental adalah

a. Pada saat small time (t < t∗) dengan t∗ adalah waktu sebarang yang diinginkan

∂3f

∂η3+η

2

∂2f

∂η2+ t(

1−(∂f∂η

)2

+ f∂2f

∂η2

)+Mt

(1− ∂f

∂η

)= t

∂2f

∂η∂t(4.106)

∂2s

∂η2+ Pr

η

2

∂s

∂η+ Prtf

∂s

∂η= Prt

∂s

∂t(4.107)

dengan kondisi batas

t < 0 : f =∂f

∂η= s = 0 untuk sebarang η dan x

40

t ≥ 0 : f =∂f

∂η= 0, s = 1 pada saat η = 0

∂f

∂η= 1, s = 0 saat η →∞ (4.108)

b. Pada saat large time (t > t∗)

∂3F

∂Y 3+(

1−(∂F∂Y

)2

+ F∂2F

∂Y 2

)+M

(1− ∂F

∂Y

)=

∂2F

∂Y ∂t(4.109)

∂2S

∂Y 2+ PrF

∂S

∂Y= Pr

∂S

∂t(4.110)

dengan kondisi batas

F =∂F

∂Y= 0, S = 1 pada saat Y = 0

∂F

∂Y= 1, S = 0 pada saat Y →∞ (4.111)

Bentuk Persamaan (4.106) dan (4.107) dapat dituliskan sebagai berikut

f ′′′ +η

2f ′′ + t(1− (f ′)2 + ff ′′) + Mt(1− f ′) = t

∂f ′

∂t(4.112)

s′′ + Prη

2s′ + Prtfs′ = Prt

∂s

∂t(4.113)

dimana tanda (′) menunjukkan turunan partial terhadap η atau ∂f∂η

, sedangkan untukbentuk persamaan waktu besar (4.103) dan (4.104) yaitu

F ′′′ + (1− (F ′)2 + FF ′′) + M(1− F ′) =∂F ′

∂t(4.114)

S ′′ + PrfS ′ = Pr∂S

∂t(4.115)

Kondisi awal untuk fungsi f, f ′, f ′′ dan s, s′ didapatkan dengan menyubstitusikant = 0 pada Persamaan (4.112) dan (4.113) yang kemudian diselesaikan denganmenggunakan kondisi batas (4.108) diperoleh

f = ηerf(η

2

)+

2√π

{exp

(− η2

4

)− 1}

f ′ = erf(η

2

)f ′′ =

1√πe−

η2

4

41

s = −erf(√Pr

2η)

+ 1

s′ = −√

Prπ

exp{− Pr

4η2}

(4.116)

dan kondisi batas (4.108) dapat dituliskan sebagai

f(0, t) = f ′(0, t) = 0, s(0, t) = 1

f ′ = 1, s = 0 untuk η →∞ (4.117)

42

BAB VPENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA

Pada bab ini menjelaskan penyelesaian model matematika aliran tak tunakkonveksi paksa fluida kental MHD melewati silinder eliptik secara numerik denganmenggunakan skema Keller-Box. Penyelesaian ini diawali dengan mengimplemen-tasikan metode Keller-Box dengan cara mendiskritisasikan model aliran tak tunakkonveksi paksa fluida kental MHD melewati silinder eliptik yang telah didapatkanpada bab sebelumnya, kemudian dilakukan linierisasi Metode Newton, yang selan-jutnya diselesaikan dengan teknik Eliminasi Matrik Blok Tridiagonal dan disimu-lasikan dengan program. Program simulasi yang telah dibuat menghasilkan hasilberupa grafik yang selanjutnya dianalisa.

5.1 Penyelesaian Numerik ModelSetelah didapatkan model matematika dari aliran tak tunak konveksi paksa

fluida kental MHD melewati silinder eliptik ini, hal yang dilakukan selanjutnyaadalah penyelesaian secara numerik. Pada penelitian ini model persamaan yangdidapatkan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode Keller-Box.Metode ini sesuai dan efisien untuk menyelesaikan persamaan lapisan batas yangberbentuk diferensial parsial parabolik. Tahapan-tahapan dalam penyelesaiannumerik ini yaitu:

1. Persamaan model sistem (4.106) dan (4.107) dibentuk menjadi persamaanorde pertama

2. Dilakukan diskritisasi dengan menggunakan beda hingga pusat

3. Dilakukan linierisasi persamaan yang didapat dengan menggunakan metodeNewton dan dibentuk dalam matriks vektor

4. Hasil linierisasi diselesaikan dengan teknik eliminasi matriks blok tridi-agonal.

5.1.1 Diskritisasi ModelPersamaan (4.112) dan (4.113) merupakan persamaan dengan orde tinggi. Pada

penyelesaian numerik menggunakan metode Keller-Box haruslah persamaan dalambentuk orde pertama, maka dilakukan pemisalan fungsi sebagai berikut

43

Gambar 5.1: Stensil Beda Hingga

f ′ = u (5.1)

u′ = v (5.2)

s′ = q (5.3)

v′ +η

2v + t(1− u2 + fv) +Mt(1− u) = t

∂u

∂t(5.4)

q′ +Pr2ηq + Prtfq = Prt

∂s

∂t(5.5)

Setelah dilakukan pemisalan fungsi selanjutnya dilakukan diskritisasi modeldengan menggunakan metode beda hingga sesuai dengan Gambar 5.1, untukPersamaan (5.1)-(5.3) menggunakan titik tengah (ηj− 1

2, tn) pada ruas P1P2

dengan menggunakan beda hingga pusat, sedangkan untuk bentuk tak linier padapersamaan (5.4) dan (5.5) digunakan titik tengah (ηj− 1

2, tn−

12 ) pada segiempat

P1P2P3P4 sehingga didapatkan sebagai berikut

(fnj − fnj−1)

lj= un

j− 12

(5.6)

(unj − unj−1)

lj= vn

j− 12

(5.7)

(snj − snj−1)

lj= qn

j− 12

(5.8)

(vnj − vnj−1)

lj+ηj− 1

2

2vnj− 1

2+ tn

(1− (un

j− 12)2 + (fj− 1

2vj− 1

2))

44

+ Mtn(1− unj− 1

2)− 2

tn−12

knunj− 1

2= −

(vn−1j − vn−1

j−1 )

lj

−ηj− 1

2

2vn−1j− 1

2

− tn−1(

1− (un−1j− 1

2

)2 + (fn−1j− 1

2

vn−1j− 1

2

))

− Mtn−12 (1− un−1

j− 12

) + 2tn−1/2

knun−1j− 1

2

(5.9)

(qnj − qnj−1)

lj+

Pr2ηj− 1

2qnj− 1

2+ Prtn(fq)n

j− 12− 2

Prtn−12

knsj− 1

2

n

= −(qn−1j − qn−1

j−1 )

lj− Pr

2ηj− 1

2qn−1j− 1

2

− Prtn−1(fq)n−1j− 1

2

− 2Prtn−

12

knsj− 1

2

n−1 (5.10)

dengan lj adalah step size untuk η, sedangkan kn step size dari waktu, dimana

()nj− 1

2=

1

2

[()nj + ()nj−1

]()n− 1

2j =

1

2

[()nj + ()n−1

j

]5.1.2 Linierisasi Model

Setelah didapatkan hasil diskritisasi model, selanjutnya dilakukan linierisasimodel pada Persamaan (5.6)-(5.10) dengan menggunakan metode Newton.Sebelumnya dikenalkan bentuk iterasi untuk metode Newton sebagai berikut

f(i+1)j = f

(i)j + δf

(i)j

u(i+1)j = u

(i)j + δu

(i)j

v(i+1)j = v

(i)j + δv

(i)j

s(i+1)j = s

(i)j + δs

(i)j

q(i+1)j = q

(i)j + δq

(i)j (5.11)

Selanjutnya disubstitusikan bentuk iterasi (5.11) pada sistem Persamaan(5.6)-(5.10), secara sederhana dengan menghilangkan orde tinggi pada(δf

(i)j , δu

(i)j , δv

(i)j , δs

(i)j , δq

(i)j ) didapatkan

(δfj − δfj−1)− lj2

(δuj + δuj−1) = (r1)j (5.12)

(δuj − δuj−1)− lj2

(δvj + δvj−1) = (r2)j (5.13)

45

(δsj − δsj−1)− lj2

(δqj + δqj−1) = (r3)j (5.14)

(a1)jδfj + (a2)jδfj−1 + (a3)jδuj + (a4)jδuj−1 + (a5)jδvj + (a6)jδvj−1

= (r4)j (5.15)

(b1)jδqj+(b2)jδqj−1+(b3)jδfj+(b4)jδfj−1+(b5)jδsj+(b6)jδsj−1 = (r5)j (5.16)

dengan

(r1)j = −(fnj − fnj−1) +lj2

(unj + unj−1)

(r2)j = −(unj − unj−1) +lj2

(vnj + vnj−1)

(r3)j = −(snj − snj−1) +lj2

(qnj + qnj−1)

(r4)j = −(vnj − vnj−1)

lj−ηj− 1

2

2vnj− 1

2− tn

(1− (un

j− 12)2 + (fn

j− 12vnj− 1

2))

− Mtn(1− unj− 1

2) + 2

tn−12

knunj− 1

2−

(vn−1j − vn−1

j−1 )

lj−ηj− 1

2

2vn−1j− 1

2

− tn−1(

1− (un−1j− 1

2

)2 + (fn−1j− 1

2

vn−1j− 1

2

))−Mtn−

12 (1− un−1

j− 12

)− 2tn−1/2

knun−1j− 1

2

(r5)j = −(qnj − qnj−1)

lj− Pr

2ηj− 1

2qnj− 1

2− Prtn(fn

j− 12qnj− 1

2) + 2

Prtn−12

knsj− 1

2

n

−(qn−1j − qn−1

j−1 )

lj− Pr

2ηj− 1

2qn−1j− 1

2

− Prtn−1(fn−1j− 1

2

qn−1j− 1

2

)− 2Prtn−

12

knsj− 1

2

n−1

(a1)j =tn

2(vnj− 1

2)

(a2)j = (a1)j

(a3)j = −tnunj− 1

2− Mtn

2− tn−

12

kn

(a4)j = (a3)j

(a5)j =1

lj+ηj− 1

2

4+tn

2fnj− 1

2

(a6)j = − 1

lj+ηj− 1

2

4+tn

2fnj− 1

2

46

(b1)j =1

lj+ Pr

ηj− 12

4+ Prtn−

12

fnj− 1

2

2

(b2)j = − 1

lj+ Pr

ηj− 12

4+ Prtn−

12

fnj− 1

2

2

(b3)j = Prtn−12

qnj− 1

2

2(b4)j = (b3)j

(b5)j = Prtn−

12

kn

(b6)j = (b5)j

Berdasarkan kondisi batas pada (4.102) maka dapat dinyatakan bahwa δf0 =

0, δu0 = 0, δs0 = 0, δuN = 0, δsN = 0.

5.1.3 Teknik Eliminasi Blok

Sistem linier pada Persamaan (5.12)-(5.16) dapat diselesaikan dengan menggu-nakan teknik eliminasi blok (Na, 1979). Struktur tridiagonal blok biasanya terdiridari elemen-elemen yang berupa variabel atau konstanta, sedangkan pada metodeKeller-Box ini elemen-elemen dari blok tridiagonal berupa matriks blok, olehkarena itu terlebih dahulu dibutuhkan penentuan elemen-elemen dari matriks bloktridiagonal dari sistem linier Persamaan (5.12)-(5.16) dengan cara dibentuk tigakeadaan yaitu saat j = 1, j = N − 1, dan j = N .

Keadaan 1 Saat j = 1, maka Persamaan (5.12)-(5.16) menjadi

(δf1 − δf0)− l12

(δu1 + δu0) = (r1)1

(δu1 − δu0)− l12

(δv1 + δv0) = (r2)1

(δs1 − δs0)− l12

(δq1 + δq0) = (r3)1

(a1)1δf1 + (a2)1δf0 + (a3)1δu1 + (a4)1δu0 + (a5)1δv1 + (a6)1δv0

= (r4)1

(b1)1δq1 + (b2)1δq0 + (b3)1δf1 + (b4)1δf0 + (b5)1δs1 + (b6)1δs0 = (r5)1

Berdasarkan kondisi batas δf0 = 0, δu0 = 0, δs0 = 0 maka sistem diatas

47

dapat dibentuk dalam matriks sebagai berikut0 0 1 0 0

− l12

0 0 − l12

0

0 − l12

0 0 − l12

(a6)1 0 (a1)1 (a5)1 0

0 (b2)1 (b3)1 0 (b1)1

δv0

δq0

δf1

δv1

δq1

+

− l1

20 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

(a3)1 0 0 0 0

0 (b5)1 0 0 0

δu1

δs1

δf2

δv2

δq2

=

(r1)1

(r2)1

(r3)1

(r4)1

(r5)1

Dapat dituliskan secara sederhana bahwa untuk j = 1 [A1][δ1] + [C1][δ2] =

[r1].

Keadaan 2 Saat nilai j = N − 1 maka Persamaan (5.12)-(5.16) menjadi

(δfN−1 − δfN−2)− lN−1

2(δuN−1 + δuN−2) = (r1)N−1

(δuN−1 − δuN−2)− lN−1

2(δvN−1 + δvN−2) = (r2)N−1

(δsN−1 − δsN−2)− lN−1

2(δqN−1 + δqN−2) = (r3)N−1

(a1)N−1δfN−1 + (a2)N−1δfN−2 + (a3)N−1δuN−1 + (a4)N−1δuN−2

+ (a5)N−1δvN−1 + (a6)N−1δvN−2 = (r4)N−1

(b1)N−1δqN−1 + (b2)N−1δqN−2 + (b3)N−1δfN−1 + (b4)N−1δfN−2

+ (b5)N−1δsN−1 + (b6)N−1δsN−2 = (r5)N−1

dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu0 0 −1 0 0

0 0 0 − lN−1

20

0 0 0 0 − lN−1

2

0 0 (a2)N−1 (a6)N−1 0

0 0 (b4)N−1 0 (b2)N−1

δvN−2

δqN−2

δfN−1

δvN−1

δqN−1

48

+

− lN−1

20 1 0 0

−1 0 0 − lN−1

20

0 −1 0 0 − lN−1

2

(a4)N−1 0 (a1)N−1 (a5)N−1 0

0 (b6)N−1 (b3)N−1 0 (b1)N−1

δuN−2

δsN−2

δfN−1

δvN−1

δqN−1

+

− lN−1

20 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

(a3)N−1 0 0 0 0

0 (b5)N−1 0 0 0

δuN−1

δsN−1

δfN

δvN

δqN

=

(r1)N−1

(r2)N−1

(r3)N−1

(r4)N−1

(r5)N−1

Secara sedehana bentuk matriks diatas dapat dinyatakan sebagai

[Bj][δj−1] + [Aj][δj] + [Cj][δj+1] = [rj]

dimana bentuk ini berlaku untuk setiap j = 2, 3, ..., N − 1.Keadaan 3 Saat nilai j = N maka Persamaan (5.12)-(5.16) menjadi

(δfN − δfN−1)− lN2

(δuN + δuN−1) = (r1)N

(δuN − δuN−1)− lN2

(δvN + δvN−1) = (r2)N

(δsN − δsN−1)− lN2

(δqN + δqN−1) = (r3)N

(a1)NδfN + (a2)NδfN−1 + (a3)NδuN + (a4)NδuN−1

+ (a5)NδvN + (a6)NδvN−1 = (r4)N

(b1)NδqN + (b2)NδqN−1 + (b3)NδfN + (b4)NδfN−1

+ (b5)NδsN + (b6)NδsN−1 = (r5)N

dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu0 0 −1 0 0

0 0 0 − lN2

0

0 0 0 0 − lN2

0 0 (a2)N (a6)N 0

0 0 (b4)N 0 (b2)N

δvN−1

δqN−1

δfN

δvN

δqN

49

+

− lN

20 1 0 0

−1 0 0 − lN2

0

0 −1 0 0 − lN2

(a4)N 0 (a1)N (a5)N 0

0 (b6)N (b3)N 0 (b1)N

δuN−1

δsN−1

δfN

δvN

δqN

=

(r1)N

(r2)N

(r3)N

(r4)N

(r5)N

secara sederhana dapat dinyatakan sebagai [Bj][δj−1] + [Aj][δj] = [rj] untukj = N .

Dengan demikian secara keseluruhan untuk j = 1, 2, 3, ..., N secara sederhanadapat dituliskan

j = 1 : [A1][δ1] + [C1][δ2] = [r1]

j = 2 : [B2][δ1] + [A2][δ2] + [C2][δ3] = [r2]

j = 3 : [B3][δ2] + [A3][δ3] + [C3][δ4] = [r3]...

...j = N − 1 : [BN−1][δN−2] + [AN−1][δN−1] + [CN−1][δN ] = [rN−1]

j = N : [BN ][δN−1] + [AN ][δN ] = [rN ]

atau dapat dinyatakan sebagaiAδ = r (5.17)

dengan

A =

[A1] [C1]

[B2] [A2] [C2]. . .. . .

[BN−1] [AN−1] [CN−1]

[BN ] [AN ]

δ =

[δ1]

[δ2]...

[δN−1]

[δN ]

, r =

[r1]

[r2]...

[rN−1]

[rN ]

Berdasarkan Persamaan (5.17), dapat dilihat bahwa matriks A adalahmatriks tridiagonal yang elemen-elemennya bernilai nol kecuali pada tiga diagonal

50

utamanya. Persamaan (5.17) dapat diselesaikan dengan menggunakan teknikeliminasi blok dengan mengasumsikan bahwa matriks A adalah matriks non

singular sehingga dapat difaktorkan sebagai

A = LU (5.18)

dimana

L =

[α1]

[B2] [α1]. . .. . .

[αN−1]

[BN ] [αN ]

dan

U =

[I] [Γ1]

[I] [Γ1]. . .. . .

[I] [ΓN−1]

[I]

dengan [I] adalah matriks identitas yang berukuran 5 × 5 dan [αj], [Γj] merupakanmatriks ukuran 5 × 5 dengan elemen-elemennya ditentukan dengan persamaanberikut

[α1] = [A1]

[A1][Γ1] = [C1]

[αj] = [Aj] −[Bj][Γj−1], j = 2, 3, ..., N

[αj][Γj] = [Cj] , j = 2, 3, ..., N − 1

dengan menyubstitusikan Persamaan (5.18) pada Persamaan (5.17) makadidapatkan persamaan

LUδ = r (5.19)

dengan mendefinisikan bahwaUδ = W (5.20)

51

sehingga Persamaan (5.19) dapat dituliskan sebagai

LW = r (5.21)

dimana

W =

[W1]

[W2]...

[WN−1]

[WN ]

dan [Wj] adalah matriks berukuran 5×1 dengan elemen-elemennya didapatkan dariPersamaan (5.21) yaitu

[α1][W1] = [r1]

[αj][Wj] = [rj] −[Bj][Wj−1], 2 ≤ j ≤ N

Setelah didapatkan elemen-elemen dari matriks W, maka selanjutnya dapat diten-tukan penyelesaian dari δ pada Persamaan (5.20) dengan menggunakan persamaanberikut

[δj] = [Wj]

[δj] = [Wj] −[Γj][δj+1], 1 ≤ j ≤ N − 1

dengan didapatkannya nilai δ, maka Persamaan (5.12)-(5.16) dapat digunakan untukmendapatkan penyelesaian Persamaan (5.11) dengan melakukan iterasi sebanyaksampai memenuhi kriteria konvergen. Menurut Cebeci dan Bradshaw kriteriakonvergen menggunakan v(0, t) dan iterasi berhenti saat didapatkan |δv(0, t)| < ε,dimana nilai dari ε sangat kecil. Pada penelitian ini digunakan nilai ε = 10−5

(Mohammad, 2014).

5.2 Hasil Simulasi Numerik

Setelah dilakukan tahapan penyelesaian numerik, dilakukan simulasi denganmenggunakan Matlab. Pada simulasi ini inputan berupa beberapa parameter dansimulasi ini dilakukan dengan menggunakan beberapa kali percobaan parameter.Akan tetapi pada bab ini hanya beberapa yang ditampilkan yang dapat mewakilidari percobaan simulasi yang telah dilakukan. Simulasi ini menggunakan partisi ηsebanyak 60 dengan ∆η = lj = 0.1 dan partisi t sebanyak 33 dengan ∆t = kn =

52

0.05. Berdasarkan hasil simulasi yang telah dilakukan, didapatkan hubungan antaraparameter magnetik (M), bilangan Prandtl (Pr), parameter konveksi (α), sumbuvertikal (a) dan sumbu horisontal silinder eliptik (b) dengan profil kecepatan (f ′)

dan profil temperatur (s). Uraian dari masing-masing pengaruh parameter tersebutadalah sebagai berikut.

5.2.1 Pengaruh Parameter Magnetik

Gambar 5.2: Profil Kecepatan dengan Variasi Parameter Magnetik (M)

Gambar 5.3: Profil Temperatur dengan Variasi Parameter Magnetik (M)

53

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh parameter magnetikterhadap kecepatan dan temperatur fluida kental. Pada simulasi ini digunakanvariasi parameter magnetik yaitu M = 0, 1, 5, 10 dengan α = 0, Pr = 0.7, a = 4

dan b = 2 dengan t = 1.65, pemilihan variasi M ini dapat juga dilakukan untuk0 ≤ M ≤ 100 yang mana maksud dari nilai M = 0 adalah tidak adanya pengaruhmedan magnet pada aliran. Pada Gambar 5.2 didapatkan bahwa kecepatan fluidamengalami kenaikkan seiring dengan bertambahnya parameter magnetik. Nilaikecepatan mengalami peningkatan mulai f ′ = 0 sampai f ′ ≈ 1 . Berdasarkanhasil grafik pada Gambar 5.2 didapatkan bahwa semakin besar nilai parametermagnetik maka semakin besar pula kecepatan aliran fluida. Hal ini terjadi karenabesar Gaya Lorentz yang bekerja semakin besar seiring dengan bertambahnya besarmedan magnet yang mempengaruhi fluida kental, hal ini dapat ditunjukkan secaramatematis oleh M =

σB20a

ρU∞yang berarti bahwa M ∼ B0. Dengan meningkatnya

gaya Lorentz mengakibatkan gerakan muatan-muatan listrik yang ada dalam medanmagnet menjadi meningkat dan bertambah pula momentum dari fluida ini, sehinggafluida kental pun akan bergerak lebih cepat.

Pada Gambar 5.3 yaitu temperatur mengalami penurunan mulai dari s = 1

sampai s ≈ 0. Pada grafik yang ditunjukkan oleh Gambar 5.3 didapatkan bahwaseiring bertambahnya parameter magnetik temperatur yang dihasilkan semakinmenurun. Hal ini dikarenakan gaya Lorentz yang disebabkan oleh adanya medanmagnet yang melintang pada aliran membuat fluida ini semakin bertambah energiinternalnya. Energi internal digunakan untuk partikel fluida bergerak melaju sesuaidengan stream line, sehingga temperatur fluida ini akan semakin berkurang seiringdengan bertambahnya medan magnet.

5.2.2 Pengaruh Bilangan Prandtl

Pada simulasi ini menggunakan beberapa variasi nilai bilangan Prandtl, yaitu0.7, 7, 20, dan 100, dengan nilai M = 1, a = 4, dan b = 2 dengan t = 1.65, untukbilangan Prandtl dapat dipilih nilainya yaitu 0.7 ≤ Pr ≤ 100 yang mana Pr = 0.7

yang berarti gas dan Pr = 7 berarti air. Berdasarkan pada Gambar 5.4 didapatkanbahwa kecepatan fluida mengalami perubahan yang sangat kecil pada saat nilaiα ≈ 0. Hal ini berarti pada saat parameter konveksi menunjukkan adanya konveksipaksa maka pengaruh bilangan Prandtl terhadap kecepatan fluida sangat kecil. Padagrafik Gambar 5.4 didapatkan kecepatan fluida semakin menurun dengan seiringmeningkatnya bilangan Prandtl. Hal ini terjadi dikarenakan Pr = νρCp

csehingga

dapat dinyatakan bahwa Pr ∼ ρ. Oleh karena itu saat bilangan Prandtl diperbesarmaka densitas dari fluida juga akan besar. Hal ini dapat menyebabkan kecepatan

54

Gambar 5.4: Profil Kecepatan dengan Variasi Bilangan Prandtl (Pr)

Gambar 5.5: Profil Temperatur dengan Variasi Bilangan Prandtl (Pr)

fluida semakin menurun.

Pada Gambar 5.5 didapatkan bahwa semakin besar bilangan Prandtl yangdigunakan maka semakin menurun temperatur fluida yang dihasilkan. BilanganPrandtl merupakan rasio dari diffusivitas momentum dengan diffusivitas termal,dengan meningkatnya bilangan Prandtl maka konduktivitas termal akan turun dan

55

panas akan didifusikan dari permukaan benda lebih cepat dibanding fluidanya,hal inilah yang menyebabkan temperatur semakin menurun dengan meningkatnyabilangan Prandtl.

5.2.3 Pengaruh Variasi Parameter Konveksi

Gambar 5.6: Profil Kecepatan dengan Variasi Parameter Konveksi (α)

Gambar 5.7: Profil Temperatur dengan Variasi Parameter Konveksi (α)

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh parameter konveksi

56

terhadap profil kecepatan dan temperatur fluida dengan variasi nilainya yaitu α =

0, 0.5, 1, 1.5 dengan menggunakan nilai M = 1, Pr = 0.7, a = 4, dan b = 2 adalahtetap, selain nilai α tersebut juga dapat digunakan nilai−2 < α < 10 yang memilikiarti bahwa saat nilai α 6= 0 merupakan terjadinya konveksi campuran dan saat α = 0

merupakan konveksi paksa. Berdasarkan Gambar 5.6 didapatkan bahwa semakinbesar nilai parameter konveksi maka semakin besar pula nilai kecepatan fluidanya.Hal ini terjadi karena dengan adanya peningkatan nilai parameter konveksi makasemikin meningkat pula gaya apung yang bekerja pada fluida sehingga kecepatanfluida akan meningkat.

Pada Gambar 5.7 didapatkan bahwa temperatur fluida semakin menurunseiring dengan bertambahnya parameter konveksi. Temperatur fluida mengalamipenurunan mulai dari s = 1 sampai s = 0. Diketahui bahwa dengan α = Gr

Re2

maka α ∼ Gr, sedangkan Gr = gβ(Tw−T∞)a3

ν2yang mana dapat dikatakan bahwa

α ∼ Gr ∼ (Tw − T∞). Oleh karena itu, terjadinya penurunan temperatur inidapat dikarenakan oleh adanya (Tw − T∞) yang semakin besar. Dengan nilaitemperatur dinding yang tetap maka temperatur fluida akan semakin kecil seiringdengan bertambahnya nilai α.

5.2.4 Pengaruh Variasi Sumbu Vertikal dan Horisontal Silinder Elliptik

Gambar 5.8: Profil Kecepatan dengan Variasi Nilai Sumbu Horizontal (b)

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh dari perubahan sumbuhorizontal dan sumbu vertikal terhadap profil kecepatan dan temperatur fluida.

57

Gambar 5.9: Profil Temperatur dengan Variasi Nilai Sumbu Horizontal (b)

Sesuai dengan gambar silinder eliptik pada Gambar 4.1 yaitu a sebagai sumbuyang vertikal dan b sebagai sumbu yang horizontal. Pada penelitian ini menggu-nakan bentuk silinder eliptik bluff body dengan a > b. Akan tetapi pada simulasiini digunakan beberapa variasi nilai sumbu horizotal dengan sumbu vertikal danparameter lainnya tetap yaitu M = 1, Pr = 0.7 dan α = 1. Variasi nilai sumbuhorizontal pada simulasi ini yaitu b = 2, 4, 20, 50 dengan nilai a = 4 atau dapatdituliskan bahwa b = 0.5a, a, 5a, 10a. Pada simulasi pengaruh sumbu vertikal dansumbu horizontal dapat juga dilakukan untuk a > 0 dan b > 0. Pada Gambar5.8 didapatkan bahwa semakin panjang sumbu horizontal maka semakin menurunnilai kecepatan fluidanya. Hal ini terjadi karena gaya hambat dari benda padafluida semakin besar dengan bertambahnya sumbu horizontal atau dapat dikatakanbahwa benda semakin lebar kesamping. Dengan semakin besarnya gaya hambatyang bekerja maka semakin kecil kecepatan fluida yang mengalir didekat denganpermukaan benda. Berbeda dengan kecepatan yang semakin menurun denganbertambah panjangnya sumbu horizontal, pada temperatur fluida terjadi penurunansesuai dengan Gambar 5.9, yaitu semakin besar atau panjang sumbu horizontaldari silinder eliptik maka semakin menurun temperatur fluidanya. Hal ini terjadikarena adanya pengaruh konveksi campuran (α = 1) dan pengaruh medan magnet.Adanya medan magnet pada konveksi campuran akan membuat gradien temperaturpada permukaan meningkat sehingga mempercepat adanya perpindahan panas daripermukaan ke fluida yang mengalir.

Pada grafik yang ditunjukkan oleh Gambar 5.10 dan Gambar 5.11 merupakan

58

Gambar 5.10: Profil Kecepatan dengan Variasi Nilai Sumbu Vertikal (a)

Gambar 5.11: Profil Temperatur dengan Variasi Nilai Sumbu Vertikal (a)

profil kecepatan dan profil temperatur dengan variasi nilai sumbu vertikal. Padasimulasi ini menggunakan nilai a = 2, 4, 16, 40 dengan nilai b = 2 atau dapatdituliskan a = b, 2b, 8b, 20b, α = 0.01, M = 1, dan Pr = 0.7. Berdasarkan grafikpada Gambar 5.10 didapatkan bahwa kecepatan fluida semakin meningkat seiringdengan semakin panjangnya sumbu vertikal dari silinder eliptik. Hal ini terjadi

59

karena bentuk silinder eliptik yang semakin memanjang secara vertikal atau dapatdikatakan bahwa silinder semakin ramping, dengan bentuk silinder yang semakinramping ke arah vertikal maka membuat gaya hambat dari permukaan bendasemakin kecil dan menyebabkan kecepatan semakin meningkat. Sedangkan padaGambar 5.11 didapatkan bahwa temperatur cenderung menurun dengan semakinpanjang sumbu vertikal.

60

BAB VIKESIMPULAN DAN SARAN

6.1 KesimpulanBerdasarkan analisa dan pembahasan yang telah dilakukan pada bab

sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan bahwa:

1. Model matematika aliran tak tunak konveksi paksa fluida kental MHD yangmelewati silinder eliptik dibangun oleh tiga persamaan pembangun yaitupersamaan kontinuitas, persamaan momentum dan persamaan energi yangmasing-masing diperoleh dari penerapan Hukum Kekekalan Massa, HukumII Newton, dan Hukum I Termodinamika. Pendekatan Boussinesq diterapkanpada persamaan pembangun, kemudian diubah kebentuk model persamaanyang tak berdimensi, dan dilakukan transformasi kebentuk persamaansimilaritas untuk mendapatkan model akhir dari aliran tak tunak konveksipaksa fluida kental MHD yang melewati silinder eliptik.

2. Model matematika aliran tak tunak konveksi paksa fluida kental MHD yangmelewati silinder eliptik dapat diselesaikan dengan menggunakan metodenumerik yaitu metode Keller-Box. Penyelesaian numerik ini diawali denganmengubah model matematika kebentuk persamaan orde satu. Kemudianmodel matematika didiskritisasi dengan beda hingga pusat. Modelmatematika hasil diskritisasi berupa sistem persamaan yang tak linier,sehingga dilakukan linierisasi model dengan Metode Newton, dan disele-saikan dengan Metode Eliminasi Matriks Blok Tridiagonal.

3. Hasil simulasi numerik dengan menggunakan beberapa variasi parameteryaitu parameter magnetik, bilangan Prandtl, parameter konveksi, panjangsumbu vertikal dan horizontal silinder eliptik didapatkan bahwa:

a. Semakin meningkatnya parameter magnetik (M) didapatkan bahwakecepatan fluida yang dihasilkan semakin meningkat, sedangkantemperaturnya semakin menurun.

b. Semakin meningkatnya bilangan Prandtl (Pr) didapatkan bahwa kecepatanfluida semakin menurun tetapi penurunan yang dihasilkan tidak

61

signifikan. Temperatur fluida juga semakin menurun seiring bertam-bahnya bilangan Prandtl (Pr)

c. Semakin meningkatnya parameter konveksi (α) didapatkan bahwakecepatan fluida yang dihasilkan semakin meningkat, sedangkantemeperaturnya semakin menurun.

d. Semakin panjang sumbu vertikal silinder eliptik (a) didapatkan bahwakecepatan fluida yang dihasilkan semakin meningkat, sedangkantemperaturnya semakin menurun.

e. Semakin panjang sumbu horizontal silinder eliptik (b) didapatkan bahwakecepatan fluida yang dihasilkan semakin menurun, sedangkantemperaturnya semakin meningkat.

6.2 SaranBerdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang dapat diberikan pada

penelitian yang selanjutnya adalah sebagai berikut:

• Pada penelitian selanjutnya dapat dilakukan studi tidak pada titik stagnasiatau (x 6= 0), sehingga dapat dilihat profil temperatur dan kecepatan diseke-liling permukaan silinder eliptik.

• Pada penelitian ini penelitian dilakukan pada silinder eliptik yang terletakpada aliran bebas tanpa halangan, diharapkan selanjutnya dapat dilakukanpada silinder eliptik yang terletak diantara dua dinding pembatas untukmengetahui pengaruh pada lapisan batas yang dihasilkan.

• Pada penelitian ini penelitian dilakukan pada aliran medan magnet yang tidakmengalami induksi, diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat dilakukanpenelitian dengan memperhitungkan adanya induksi medan magnet.

62

LAMPIRAN

Lampiran 1. Penurunan Persamaan Komponen Tegangan Normal danTegangan Geser pada Penyelesaian Persamaan Momentum Sumbu x dan y

Turunan σxx terhadap x

∂σxx∂x

=∂

∂x

(− p+ 2µ

∂u

∂x

)= −∂p

∂x+ 2µ

∂2u

∂x2

Turunan σyy terhadap y

∂σyy∂y

=∂

∂y

(− p+ 2µ

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+ 2µ

∂2v

∂y2

Turunan τyx terhadap y

∂τyx∂y

=∂

∂y

(µ(∂u∂y

+∂v

∂x

))= µ

(∂2u

∂y2+

∂2v

∂x∂y

)

Turunan τxy terhadap x

∂τxy∂x

=∂

∂x

(µ(∂u∂y

+∂v

∂x

))= µ

( ∂2u

∂x∂y+∂2v

∂x2

)

sehingga komponen gaya permukaan yaitu(∂σxx∂x

+∂τyx∂y

)i+(∂σyy∂y

+∂τyx∂x

)j

dapat dinyatakan sebagai

(− ∂p

∂x+ 2µ

∂2u

∂x2+µ(∂2u

∂y2+

∂2v

∂x∂y

))i+(− ∂p

∂y+ 2µ

∂2v

∂y2+µ( ∂2u

∂x∂y+∂2v

∂x2

))j

65

berdasarkan persamaan kontinuitas yaitu

∂u

∂x+∂v

∂y= 0⇒ ∂u

∂x= −∂v

∂y

oleh karena itu gaya permukaan dapat dinyatakan dengan

(− ∂p

∂x+ 2µ

∂2u

∂x2+ µ

∂2u

∂y2− µ∂

2u

∂x2

)i+(− ∂p

∂y+ 2µ

∂2v

∂y2− µ∂

2v

∂y2+ µ

∂2v

∂x2

)j

⇔(− ∂p

∂x+ µ

∂2u

∂x2+ µ

∂2u

∂y2

)i+(− ∂p

∂y+ µ

∂2v

∂y2+ µ

∂2v

∂x2

)j

⇔(− ∂p

∂xi− ∂p

∂yj)

+ µ(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)i+ µ

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)j

⇔ −∇p+ µ∇2u

66

Lampiran 2. Transformasi Persamaan Pembangun ke PersamaanNon-dimensional

Berdasarkan variabel-variabel tak berdimensi (4.73), dengan mensubstitusikanvariabel-variabel tersebut pada Persamaan (4.57), (4.70), (4.71) dan (4.59) makadidapatkan

Persamaan Kontinu

∂(uU∞)

∂(xa)+∂(vU∞Re

− 12 )

∂(yaRe−12 )

= 0

U∞a

∂u

∂x+U∞a

∂v

∂y= 0

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

sehingga diperoleh persamaan kontinuitas tak berdimensi yaitu

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Persamaan Momentum Sumbu-x

ρ(∂u∂t

+ u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)= −∂p

∂x+ µ(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)− σB2

0 u− ρβ(T − T∞)gx

a. Ruas Kiri

ρ(∂u∂t

+ u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)= ρ( ∂(uU∞)

∂(taU−1∞ )

+ uU∞∂(uU∞)

∂(xa)+ vU∞Re

−1/2 ∂(uU∞)

∂(yaRe−1/2)

)= ρ(U2∞a

∂u

∂t+U2∞au∂u

∂x+U2∞av∂u

∂y

)= ρ

U2∞a

(∂u∂t

+ u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)b. Ruas Kanan

−∂p∂x

+ µ(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)− σB2

0 u− ρβ(T − T∞)gx

= −∂(pρU2∞)

∂(xa)+ µ(∂2(uU∞)

∂(xa)2+

∂2(uU∞)

∂(yaRe−1/2)2

)− σB2

0uU∞

67

+ ρβT (Tw − T∞)gx

= −ρU2∞a

∂p

∂x+ µ(U∞a2

∂2u

∂x2+

U∞a2Re−1

∂2u

∂y2

)− σB2

0uU∞

+ ρβT (Tw − T∞)gx

= −ρU2∞a

∂p

∂x+ µ

U∞a2

(∂2u

∂x2+

1

Re−1

∂2u

∂y2

)− σB2

0uU∞

+ ρβT (Tw − T∞)gx

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka didapatkan

ρU2∞a

(∂u∂t

+ u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)= −ρU

2∞a

∂p

∂x+ µ

U∞a2

(∂2u

∂x2+

1

Re−1

∂2u

∂y2

)−σB2

0uU∞ + ρβT (Tw − T∞)gx

dengan membagi kedua ruas dengan (ρU2∞a

) didapatkan

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

µ

ρU∞a

(∂2u

∂x2+

1

Re−1

∂2u

∂y2

)− σa

ρU∞B2

0u

+a

U2∞βT (Tw − T∞)gx

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

ν

U∞a

∂2u

∂x2+

ν

U∞aRe−1

∂2u

∂y2−(σaB2

0

ρU∞

)u

+a

U2∞β(Tw − T∞)Tg sinA

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

1

Re

∂2u

∂x2+

1

ReRe−1

∂2u

∂y2−Mu+ αT sinA

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

1

Re

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2−Mu+ αT sinA

Persamaan Momentum sb-y

ρ(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+ µ(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)− σB2

0 v − ρβ(T − T∞)gy

a. Ruas Kiri

ρ(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= ρ

(∂(vU∞Re−1/2)

∂(taU−1∞ )

+ uU∞∂(vU∞Re

−1/2)

∂(xa)

+vU∞Re−1/2∂(vU∞Re

−1/2)

∂(yaRe−1/2)

)= ρ(Re−1/2U

2∞a

∂v

∂t+Re−1/2U

2∞au∂v

∂x

68

+Re−1/2U2∞av∂v

∂y

)= ρRe−1/2U

2∞a

(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

b. Ruas Kanan

−∂p∂y

+ µ(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)− σB2

0 v − ρβ(T − T∞)gy

= − ∂(pρU2∞)

∂(yaRe−1/2)+ µ(∂2(vU∞Re

−1/2)

∂(xa)2+∂2(vU∞Re

−1/2)

∂(yaRe−1/2)2

)−σB2

0vU∞Re−1/2 − ρβT (Tw − T∞)gy

= −ρ U2∞

aRe−1/2

∂p

∂y+ µ(U∞Re−1/2

a2

∂2v

∂x2+U∞Re

−1/2

a2Re−1

∂2v

∂y2

)−U∞Re1/2σB2

0v − ρβ(Tw − T∞)Tg cosA

= −ρ U2∞

aRe−1/2

∂p

∂y+ µρ

U∞a2Re−1/2

(∂2v

∂x2+Re

∂2v

∂y2

)−U∞Re−1/2σB2

0v − ρβ(Tw − T∞)Tg cosA

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka didapatkan

ρRe−1/2U2∞a

(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −ρ U2

∞aRe−1/2

∂p

∂y+ µρ

U∞a2Re−1/2(∂2v

∂x2+Re

∂2v

∂y2

)− U∞Re−1/2σB2

0v

−ρβ(Tw − T∞)Tg cosA

dengan membagi kedua ruas dengan(

ρU2∞

aRe−1/2

)didapatkan

Re−1(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+ µ

Re−1

ρaU∞

(∂2v

∂x2+Re

∂2v

∂y2

)− aRe−1

ρU∞σB2

0v

−aRe−1/2

U2∞

β(Tw − T∞)Tg cosA

1

Re

(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+(νρRe−1

aρU∞

)(∂2v

∂x2+Re

∂2v

∂y2

)−Re−1

(σB20a

ρU∞

)v − αRe−1/2T cosA

1

Re

(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+Re−1Re−1

(∂2v

∂x2+Re

∂2v

∂y2

)−Re−1Mv

−αRe−1/2T cosA

69

1

Re

(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+(νρRe−1

aρU∞

)(∂2v

∂x2+Re

∂2v

∂y2

)−Re−1

(σB20a

ρU∞

)v − αRe−1/2T cosA

1

Re

(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+Re−1Re−1

(∂2v

∂x2+Re

∂2v

∂y2

)−Re−1Mv − αRe−1/2T cosA

1

Re

(∂v∂t

+ u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)= −∂p

∂y+

1

Re2

∂2v

∂x2+

1

Re

∂2v

∂y2− M

Rev

− α

Re1/2T cosA

Persamaan Energi

ρCp

(∂T∂t

+ u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= c(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)a. Ruas Kiri

ρCp

(∂T∂t

+ u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= ρCp

(∂(T (Tw − T∞) + T∞)

∂(taU−1∞ )

+uU∞∂(T (Tw − T∞) + T∞)

∂(xa)

+vU∞Re−1/2∂(T (Tw − T∞) + T∞)

∂(yaRe−1/2)

)= ρCp(Tw − T∞)

U∞a

(∂T∂t

+ u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)+ρCp

U∞a

(∂T∞∂t

+ u∂T∞∂x

+ v∂T∞∂y

)Karena T∞ adalah suatu konstanta maka ∂T∞

∂t= 0, sehingga ruas kiri

menjadi

ρCp(Tw − T∞)U∞a

(∂T∂t

+ u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)b. Ruas Kanan

c(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)= c

(∂2(T (Tw − T∞) + T∞)

∂(xa)2+∂2(T (Tw − T∞) + T∞)

∂(yaRe−1/2)2

)= c((Tw − T∞)

a2

∂2T

∂x2+

(Tw − T∞)

a2Re

∂2T

∂y2

)= c

(Tw − T∞)

a2

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)70

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka dapat dituliskan

ρCp(Tw − T∞)U∞a

(∂T∂t

+ u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= c

(Tw − T∞)

a2

(∂2T

∂x2+Re

∂2T

∂y2

)dengan membagi kedua ruas dengan ρCp(Tw−T∞)U∞

adidapatkan

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

c

aU∞ρCp

(∂2T

∂x2+Re

∂2T

∂y2

)∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

c

aU∞ρCp

∂2T

∂x2+

cRe

aU∞ρCp

∂2T

∂y2

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

c

νReρCp

∂2T

∂x2+

cRe

νReρCp

∂2T

∂y2

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

1

PrRe∂2T

∂x2+

1

Pr∂2T

∂y2

71

Lampiran 3. Perhitungan Persamaan Similaritas

Berdasarkan persamaan tak berdimensi yaitu pada Persamaan (4.79), (4.88) dan(4.82) dilakukan transformasi kebentuk persamaan similaritas dengan menggu-nakan fungsi alir sesuai dengan (4.89) yaitu

u =∂ψ

∂ydan v = −∂ψ

∂x

dengan variabel similaritas yang telah ditunjukkan pada Persamaan (4.94) yaitu

ψ = t1/2ue(x)f(x, η, t) T = s(x, η, t) η =y

t1/2

sehingga didapatkan

Persamaan Kontinu

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

∂

∂x

(∂ψ∂y

)+

∂

∂y

(− ∂ψ

∂x

)= 0

∂2ψ

∂x∂y− ∂2ψ

∂x∂y= 0

∂2ψ

∂x∂y=

∂2ψ

∂x∂y

Persamaan Momentum

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ue

∂ue∂x

+∂2u

∂y2

− M(u− ue) + αT sinA

∂

∂t

(∂ψ∂y

)+(∂ψ∂y

) ∂∂x

(∂ψ∂y

)+(− ∂ψ

∂x

) ∂∂y

(∂ψ∂y

)= ue

∂ue∂x

+∂2

∂y2

(∂ψ∂y

)− M

(∂ψ∂y− ue

)+ αT sinA

∂2ψ

∂t∂y+∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= ue

∂ue∂x

+∂3ψ

∂y3

− M(∂ψ∂y− ue

)+ αT sinA

72

dengan

∂η

∂y=

1

t1/2

∂ψ

∂y=

∂ψ

∂η

∂η

∂y=∂(t1/2ue(x)f(x, η, t))

∂η

1

t1/2= ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

∂ψ

∂x=

∂t1/2ue(x)f(x, η, t)

∂x= t1/2f(x, η, t)

∂ue(x)

∂x+ t1/2ue(x)

∂f(x, η, t)

∂x∂2ψ

∂y2=

∂

∂y

(∂ψ∂y

)=

∂

∂y

(ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

)=

∂

∂η

(ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

)∂η∂y

=∂

∂η

(ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

) 1

t1/2=

1

t1/2ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂η2

∂3ψ

∂y3=

∂

∂y

(∂2ψ

∂y2

)=

∂

∂y

( 1

t1/2ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂η2

)=

∂

∂η

( 1

t1/2ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂η2

)∂η∂y

=∂

∂η

( 1

t1/2ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂η2

) 1

t1/2

=1

tue(x)

∂3f(x, η, t)

∂η3

∂2ψ

∂x∂y=

∂

∂x

(∂ψ∂y

)=

∂

∂x

(ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

)=

∂ue(x)

∂x

∂f(x, η, t)

∂η+ ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂x∂η

∂2ψ

∂t∂y=

∂

∂t

(∂ψ∂y

)=

∂

∂t

(ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

)=

∂

∂η

(ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

)∂η∂t

+∂

∂t

(ue(x)

∂f(x, η, t)

∂η

)= ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂η2

(− 1

2

η

t

)+ ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂t∂η= −ue(x)

t

η

2

∂2f(x, η, t)

∂η2+ ue(x)

∂2f(x, η, t)

∂t∂η

untuk selanjutnya dapat dituliskan bahwa ue(x) = ue dan f(x, η, t) = f

sehingga persamaan similaritas untuk persamaan momentum yaitu

• Ruas Kiri

∂2ψ

∂t∂y+∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= −ue

t

η

2

∂2f

∂η2+ ue

∂2f

∂t∂η+ ue

∂f

∂η

(∂ue∂x

∂f

∂η

+ ue∂2f

∂x∂η

)−

(t1/2f

∂ue∂x

+ t1/2ue∂f

∂x

)( 1

t1/2ue∂2f

∂η2

)73

• Ruas Kanan

ue∂ue∂x

+∂3ψ

∂y3−M

(∂ψ∂y− ue

)+ αT sinA = ue

∂ue∂x

+1

tue∂3f

∂η3

− M(ue∂f

∂η− ue

)+ αs sinA

Karena ruas kiri dan ruas kanan sama sehingga didapatkan

−uet

η

2

∂2f

∂η2+ ue

∂2f

∂t∂η+ ue

∂f

∂η

(∂ue∂x

∂f

∂η+ ue

∂2f

∂x∂η

)−(t1/2f

∂ue∂x

+t1/2ue∂f

∂x

)( 1

t1/2ue∂2f

∂η2

)= ue

∂ue∂x

+uet

∂3f

∂η3

−M(ue∂f

∂η− ue

)+ αs sinA

⇔ −uet

η

2

∂2f

∂η2+ ue

∂2f

∂t∂η+ ue

∂ue∂x

(∂f∂η

)2

+ u2e

∂f

∂η

∂2f

∂x∂η− uef

∂ue∂x

∂2f

∂η2

−u2e

∂f

∂x

∂2f

∂η2= ue

∂ue∂x

+uet

∂3f

∂η3+Mue

(1− ∂f

∂η

)+ αs sinA

kedua ruas dibagi dengan uet

didapatkan

−η2

∂2f

∂η2+ t

∂2f

∂t∂η+ t

∂ue∂x

(∂f∂η

)2

+ tue∂f

∂η

∂2f

∂x∂η− tf ∂ue

∂x

∂2f

∂η2− tue

∂f

∂x

∂2f

∂η2

= t∂ue∂x

+∂3f

∂η3+Mt

(1− ∂f

∂η

)+ αts

sinA

ue

⇔ ∂3f

∂η3+

η

2

∂2f

∂η2+ t

∂ue∂x

(1−

(∂f∂η

)2

+ f∂2f

∂η2

)+Mt

(1− ∂f

∂η

)+ αts

sinA

ue

= t∂2f

∂t∂η+ tue

(∂f∂η

∂2f

∂x∂η− ∂f

∂x

∂2f

∂η2

)

Persamaan Energi

∂T

∂t+ u

∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

1

Pr∂2T

∂y2

∂T

∂t+∂ψ

∂y

∂T

∂x− ∂ψ

∂x

∂T

∂y=

1

Pr∂2T

∂y2

74

dengan

∂T

∂t=

∂s(x, η, t)

∂η

∂η

∂t+∂s(x, η, t)

∂t=∂s(x, η, t)

∂η

(− 1

2

η

t

)+∂s(x, η, t)

∂t

= − η2t

∂s(x, η, t)

∂η+∂s(x, η, t)

∂t

∂T

∂y=

∂T

∂η

∂η

∂y=∂s(x, η, t)

∂η

∂η

∂y=

1

t1/2∂s(x, η, t)

∂η

∂2T

∂y=

∂

∂y

(∂T∂y

)=

∂

∂y

( 1

t1/2∂s(x, η, t)

∂η

)=

∂

∂η

( 1

t1/2∂s(x, η, t)

∂η

)∂η∂y

=∂2s(x, η, t)

∂η2

1

t1/21

t1/2=

1

t

∂2s(x, η, t)

∂η2

untuk selanjutnya dapat dituliskan bahwa s(x, η, t) = s sehingga persamaansimilaritas untuk energi yaitu

− η2t

∂s

∂η+∂s

∂t+ ue

∂f

∂η

∂s

∂x−(t1/2f

∂ue∂x

+ t1/2ue∂f

∂x

)( 1

t1/2∂s

∂η

)=

1

t

1

Pr∂2s

∂η2

⇔ − η2t

∂s

∂η+∂s

∂t+ ue

∂f

∂η

∂s

∂x− f ∂ue

∂x

∂s

∂η− ue

∂f

∂x

∂s

∂η=

1

t

1

Pr∂2s

∂η2

Kedua ruas dikalikan dengan Prt didapatkan

−Prη

2

∂s

∂η+ Prt

∂s

∂t+ Prtue

∂f

∂η

∂s

∂x− Prtf

∂ue∂x

∂s

∂η− Prtue

∂f

∂x

∂s

∂η=∂2s

∂η2

⇔ ∂2s

∂η2+ Pr

η

2

∂s

∂η+ Prtf

∂ue∂x

∂s

∂η= Prtue

(∂f∂x

∂s

∂η− ∂f

∂η

∂s

∂x

)+ Prt

∂s

∂t

75

Lampiran 4. Penurunan Kondisi Awal

Bentuk persamaan untuk menentukan kondisi awal yaitu

f ′′′ +η

2f ′′ + t(1− (f ′)2 + ff ′′) + Mt(1− f ′) = t

∂f ′

∂t

s′′ + Prη

2s′ + Prtfs′ = Prt

∂s

∂t

dengan menyubstitusikan t = 0 maka didapatkan persamaan

f ′′′ +η

2f ′′ = 0

s′′ + Prη

2s′ = 0

untuk mendapatkan f digunakan persamaan

f ′′′ +η

2f ′′ = 0

diubah terlebih dulu kedalam bentuk persamaan diferensial tingkat satu, denganmemisalkan f ′′ = h sehingga persamaan menjadi

h′ +η

2h = 0

dengan h′ = dh/dη maka dapat dituliskan

dh+η

2hdη = 0

kedua ruas dibagi dengan h sehingga didapatkan

1

hdh+

η

2dη = 0

kedua ruas diintegralkan didapatkan

lnh+η2

4= c1

lnh = −η2

4+ c1

h = e−η2

4+c1

h = ec1e−η2

4

76

karena h = f ′′ maka

f ′′ = ec1e−η2

4

f ′ =

∫ec1e−

η2

4 dη

f ′ = ec1∫e−

η2

4 dη

dengan substitusi kondisi batas pada Persamaan (4.102) didapatkan

saat η = 0⇒ ec1 =1√π

(6.1)

sehinggaf ′ = erf(

η

2) (6.2)

danf ′′ =

1√πe−

η2

4 (6.3)

dan dengan mengintegralkan f ′ didapatkan

f = ηerf(η

2

)+

2√π

{exp

(− η2

4

)− 1}

Selanjutnya dilakukan penyelesaian untuk mendapatkan s dengan memisalkan s′ =k sehingga

k′ +Prη2k = 0

dengan k′ = dk/dη maka dapat dituliskan

dk +Prη2kdη = 0

kedua ruas dibagi dengan k sehingga didapatkan

1

kdk +

Prη2dη = 0

77

kedua ruas diintegralkan didapatkan

ln k +Prη2

4= c2

ln k = −Prη2

4+ c2

k = e−Prη2

4+c2

k = ec2e−Prη2

4

karena k = s′ maka

s′ = ec2e−η2

4

s =

∫ec1e−

Prη2

4 dη

s = ec2∫e−

Prη2

4 dη

dengan substitusi kondisi batas pada Persamaan (4.102) didapatkan

saat η = 0⇒ ec2 = −√

Prπ

sehingga didapatkan

s′ = −√

Prπ

exp{− Pr

4η2}

dengan mengintegralkan s′ didapatkan

s = −erf(√Pr

2η)

+ 1

78

Lampiran 5. Diskritisasi Model

Berdasarkan pemisalan fungsi dalam bentuk orde pertama yaitu

f ′ = u

u′ = v

s′ = q

v′ +η

2v + t(1− u2 + fv) +Mt(1− u) + αtsω = t

∂u

∂t

q′ +Pr2ηq + Prtfq = Prt

∂s

∂t

dapat didiskritisasi menjadi

1.1

lj(fnj − fnj−1) = un

j− 12⇒ 1

lj(fnj − fnj−1) =

1

2(unj + unj−1)

2.1

lj(unj − unj−1) = vn

j− 12⇒ 1

lj(unj − unj−1) =

1

2(vnj + vnj−1)

3.1

lj(snj − snj−1) = qn

j− 12⇒ 1

lj(snj − snj−1) =

1

2(qnj + qnj−1)

4.1

2

[(L1)n

j− 12

+ (L1)n−1j− 1

2

]= tn−

12

(unj− 1

2

− un−1j− 1

2

kn

)dengan

(L1)nj− 1

2= [v′ +

η

2v + t(1− u2 + fv) +Mt(1− u) + αtsω]n

j− 12

=(vnj − vnj−1

lj

)+ηj−1/2

2vnj−1/2 + tn

(1− (unj−1/2)2 + fnj−1/2v

nj−1/2

)= Mtn(1− unj−1/2) + αωtnsnj−1/2

(L1)n−1j− 1

2

= [v′ +η

2v + t(1− u2 + fv) +Mt(1− u) + αtsω]n−1

j− 12

=(vn−1

j − vn−1j−1

lj

)+ηj−1/2

2vn−1j−1/2 + tn

(1− (un−1

j−1/2)2 + fn−1j−1/2v

n−1j−1/2

)= Mtn−1(1− un−1

j−1/2) + αωtn−1sn−1j−1/2

79

sehingga didapatkan

1

2

((vnj − vnj−1)

lj+

ηj− 12

2vnj− 1

2+ tn

(1− (un

j− 12)2 + (fn

j− 12vnj− 1

2))

+Mtn(1− unj− 1

2)

+ αωtnsnj− 1

2+

(vn−1j − vn−1

j−1 )

lj+ηj− 1

2

2vn−1j− 1

2

+ tn−1(

1− (un−1j− 1

2

)2 + (fn−1j− 1

2

vn−1j− 1

2

))

+Mtn−12 (1− un−1

j− 12

)

+ αωtnsnj− 1

2

)+tn−

12

knunj− 1

2− tn−1/2

knun−1j− 1

2

⇔(vnj − vnj−1)

lj+

ηj− 12

2vnj− 1

2+ tn

(1− (un

j− 12)2 + (fn

j− 12vnj− 1

2))

+Mtn(1− unj− 1

2)

+ αωtn−1sn−1j− 1

2

− 2tn−

12

knunj− 1

2= −

(vn−1j − vn−1

j−1 )

lj−ηj− 1

2

2vn−1j− 1

2

− tn−1(

1− (un−1j− 1

2

)2 + (fn−1j− 1

2

vn−1j− 1

2

))−Mtn−

12 (1− un−1

j− 12

)

− αωtn−1sn−1j− 1

2

+ 2tn−1/2

knun−1j− 1

2

5.1

2

[(L2)n

j− 12

+ (L2)n−1j− 1

2

]= Prtn−

12

(snj− 1

2

− sn−1j− 1

2

kn

)dengan

(L2)nj− 1

2= [q′ +

Pr2ηq + Prtfq]n

j− 12

=(qnj − qnj−1

lj

)+ Pr

ηnj−1/2

2qnj−1/2 + Prtnfnj−1/2q

nj−1/2

(L2)n−1j− 1

2

= [q′ +Pr2ηq + Prtfq]n−1

j− 12

=(qn−1

j − qn−1j−1

lj

)+ Pr

ηn−1j−1/2

2qn−1j−1/2 + Prtn−1fn−1

j−1/2qn−1j−1/2

sehingga didapatkan

1

2

((qnj − qnj−1)

lj+

Pr2ηj− 1

2qnj− 1

2+ Prtn(fq)n

j− 12

+(qn−1j − qn−1

j−1 )

lj

+Pr2ηj− 1

2qn−1j− 1

2

+ Prtn−1(fq)n−1j− 1

2

)=

Prtn−12

knsj− 1

2

n − Prtn−12

knsj− 1

2

n−1

80

⇔(qnj − qnj−1)

lj+

Pr2ηj− 1

2qnj− 1

2+ Prtn(fq)n

j− 12− 2

Prtn−12

knsj− 1

2

n

= −(qn−1j − qn−1

j−1 )

lj− Pr

2ηj− 1

2qn−1j− 1

2

− Prtn−1(fq)n−1j− 1

2

− 2Prtn−

12

knsj− 1

2

n−1

Setelah dilakukan diskritisasi selanjutnya dilakukan linierisasi dengan metodeNewton sebagai berikut

1.

1

lj(fnj − fnj−1) +

1

lj(δfj − δfj−1) =

1

2(unj + unj−1) +

1

2(δuj + δuj−1)

(δfj − δfj−1)− lj2

(δuj + δuj−1) = −(fnj − fnj−1) +lj2

(unj + unj−1)

2.

1

lj(unj − unj−1) +

1

lj(δuj − δuj−1) =

1

2(vnj + vnj−1) +

1

2(δvj + δvj−1)

(δuj − δuj−1)− lj2

(δvj + δvj−1) = −(unj − unj−1) +lj2

(vnj + vnj−1)

3.

1

lj(snj − snj−1) +

1

lj(δqj − δqj−1) =

1

2(snj + snj−1) +

1

2(δqj + δqj−1)

(δsj − δsj−1)− lj2

(δqj + δqj−1) = −(snj − snj−1) +lj2

(qnj + qnj−1)

4. (vnj − vnj−1

lj

)+

(δvj − δvj−1

lj

)+ηj− 1

2

2

(vnj− 1

2+δvj + δvj−1

2

)+ tn

(1−

(unj− 1

2+δuj + δuj−1

2

)2

+(fnj− 1

2+δfj + δfj−1

2

)(vnj− 1

2+δvj + δvj−1

2

))+Mtn

(1−

(unj− 1

2+δuj + δuj−1

2

))81

+ αωtn(snj− 1

2+δsj + δsj−1

2

)− 2

tn−12

kn

(unj− 1

2+δuj + δuj−1

2

)= R1

⇔(δvj − δvj−1

lj

)+

ηj− 12

2

(δvj + δvj−1

2

)− tn

(δuj + δuj−1

2

)2

− tn(

2unj− 1

2

(δuj + δuj−1

2

))+ tnfn

j− 12

(δvj + δvj−1

2

)+ tnvn

j− 12

(δfj + δfj−1

2

)+ tn

(δvj + δvj−1

2

)(δfj + δfj−1

2

)− Mtn

(δuj + δuj−1

2

)+ αωtn

(δsj + δsj−1

2

)− 2

tn−1/2

kn

(δuj + δuj−1

2

)= −

((vnj − vnj−1)

lj+ηj− 1

2

2vnj− 1

2

+ tn(

1− (unj− 1

2)2 + (fn

j− 12vnj− 1

2))

+Mtn(1− unj− 1

2)

+ αωtnsnj− 1

2− 2

tn−12

knunj− 1

2

)+R1

5. (qnj − qnj−1

lj

)+

(δqj − δqj−1

lj

)+

Pr2ηj− 1

2

(qnj− 1

2+δqj + δqj−1

2

)+ Prtn

(fnj− 1

2+δfj + δfj−1

2

)(qnj− 1

2+δqj + δqj−1

2

)− 2

Prtn−12

kn

(sj− 1

2

n +δsj + δsj−1

2

)= R2

⇔(δqj − δqj−1

lj

)+

Pr2ηj− 1

2

(δqj + δqj−1

2

)+ Prtnfn

j− 12

(δqj + δqj−1

2

)+ Prtnqn

j− 12

(δfj + δfj−1

2

)+ Prtn

(δfj + δfj−1

2

)(δqj + δqj−1

2

)− 2

Prtn−12

kn

(δsj + δsj−1

2

)= −

((qnj − qnj−1)

lj+

Pr2ηj− 1

2qnj− 1

2

+ Prtn(fnj− 1

2qnj− 1

2)− 2

Prtn−12

knsj− 1

2

n

)+R2

dengan

R1 = −(vn−1j − vn−1

j−1 )

lj−ηj− 1

2

2vn−1j− 1

2

− tn−1(

1− (un−1j− 1

2

)2 + (fn−1j− 1

2

vn−1j− 1

2

))

− Mtn−12 (1− un−1

j− 12

)− αωtn−1sn−1j− 1

2

+ 2tn−1

knun−1j− 1

2

R2 = −(qn−1j − qn−1

j−1 )

lj− Pr

2ηj− 1

2qn−1j− 1

2

− Prtn−1(fn−1j− 1

2

qn−1j− 1

2

)− 2Prtn−

12

knsj− 1

2

n−1

82

Lampiran 6. Program Matlab

c l e a r a l lc l cc l o s e a l lformat l ongnp = 6 0 ; %% banyak p a r t i s i e t a

n t = 3 3 ; %% banyak p a r t i s i waktu

n t 1 = 2 1 ; %% banyak p a r t i s i waktu u n t u k s m a l l t i m e

Pr = 0 . 7 ; %% b i l a n g a n P r a n d t l

a l p h a =0; %% Parameter K o n v e k s i

may =4; %% sumbu v e r t i k a l

min =2; %% sumbu h o r i z o n t a l

omega =(may / min ) ˆ 2 ;d e l e t a = 0 . 1 ; %% s t e p s i z e d a r i e t a

e t a ( 1 ) = 0 . 0 ;e t a c ( 1 ) = 0 . 0 ;d e l t = 0 . 0 5 ; %% s t e p s i z e d a r i waktu

Magnet ( 1 ) =0 ;Magnet ( 2 ) =10;Magnet ( 3 ) =50;Magnet ( 4 ) =100;%% Pengh i tungan e t a dan e t a ˆ{ j −1/2}f o r j = 2 : np

e t a ( j ) = e t a ( j −1) + d e l e t a ;e t a c ( j ) = 0 . 5 ∗ ( e t a ( j ) + e t a ( j −1) ) ;

end%%Pengh i tungan waktu t dan t ˆ{ n−1/2}f o r n = 1 : n t

i f n == 1t ( 1 ) = 0 . 0 ;t 1 ( 1 ) = 0 . 0 ;

e l s et ( n ) = t ( n−1) + d e l t ;t 1 ( n ) = 0 . 5 ∗ ( t ( n ) + t ( n−1) ) ;

endend

83

f o r i =1 :4%k =1;

M=Magnet ( i ) ;f o r n = 1 : n t

k =1;s t o p = 1 ;

whi le s t o p > 0 .00001%% I n i t i a l C o n d i t i o n

f o r j = 1 : npi f n == 1f ( j , 1 , n ) = e t a ( j ) ∗ e r f ( 0 . 5 ∗ e t a ( j ) ) + (2\ s q r t ( pi ) ) ∗ (

exp ( −0 .25∗ ( ( e t a ( j ) ) ˆ 2 ) )−1) ;u ( j , 1 , n ) = e r f ( 0 . 5 ∗ e t a ( j ) ) ;v ( j , 1 , n ) = ( 1 / s q r t ( pi ) ) ∗exp ( −0 .25∗ ( ( e t a ( j ) ) ˆ 2 ) ) ;s ( j , 1 , n ) = −e r f ( 0 . 5 ∗ ( s q r t ( Pr ) ) ∗ e t a ( j ) ) + 1 ;q ( j , 1 , n ) = − s q r t ( Pr / pi ) ∗exp (−0.25∗ Pr ∗ ( e t a ( j ) ˆ 2 ) ) ;e l s e

f ( j , 1 , n ) = f f ( j , n−1) ;u ( j , 1 , n ) = uu ( j , n−1) ;v ( j , 1 , n ) = vv ( j , n−1) ;s ( j , 1 , n ) = s s ( j , n−1) ;q ( j , 1 , n ) = qq ( j , n−1) ;

endend

f o r j = 2 : npi f n == 1c f b ( j , n ) = 0 ; cub ( j , n ) = 0 ;cvb ( j , n ) = 0 ; cd e r v b ( j , n ) = 0 ;c f v f v b ( j , n ) = c f b ( j , n ) ∗ cvb ( j , n ) ;c sb ( j , n ) = 0 ; cqb ( j , n ) = 0 ;c de rq b ( j , n ) = 0 ; c f q f q b ( j , n ) = 0 ;cunb ( j , n ) =cub ( j , n ) ˆ 2 ;e l s e

c f b ( j , n ) = f f b ( j , n−1) ;cub ( j , n ) = u t b ( j , n−1) ;

84

cvb ( j , n ) = vvb ( j , n−1) ;csb ( j , n ) = s s b ( j , n−1) ;cqb ( j , n ) = qqb ( j , n−1) ;cunb ( j , n ) =cub ( j , n ) ˆ 2 ;c f v f v b ( j , n ) = c f b ( j , n ) ∗ cvb ( j , n ) ;c de rv b ( j , n ) = ddervb ( j , n−1) ;c de rq b ( j , n ) = dderqb ( j , n−1) ;c f q f q b ( j , n ) = c f b ( j , n ) ∗ cqb ( j , n ) ;

endfb ( j , k , n ) = 0 . 5 ∗ ( f ( j , k , n ) + f ( j −1,k , n ) ) ;ub ( j , k , n ) = 0 . 5 ∗ ( u ( j , k , n ) +u ( j −1,k , n ) ) ;vb ( j , k , n ) = 0 . 5 ∗ ( v ( j , k , n ) +v ( j −1,k , n ) ) ;sb ( j , k , n ) = 0 . 5 ∗ ( s ( j , k , n ) +s ( j −1,k , n ) ) ;qb ( j , k , n ) = 0 . 5 ∗ ( q ( j , k , n ) +q ( j −1,k , n ) ) ;de rvb ( j , k , n ) = ( v ( j , k , n )−v ( j −1,k , n ) ) / d e l e t a ;f v f v b ( j , k , n ) = fb ( j , k , n ) ∗vb ( j , k , n ) ;unb ( j , k , n ) = ub ( j , k , n ) ˆ 2 ;de rqb ( j , k , n ) = ( q ( j , k , n )−q ( j −1,k , n ) ) / d e l e t a ;f q f q b ( j , k , n ) = fb ( j , k , n ) ∗qb ( j , k , n ) ;

i f n < n t 1 +1a1 ( j , k ) = 0 . 5∗ t 1 ( n ) ∗vb ( j , k , n ) ;a2 ( j , k ) = a1 ( j , k ) ;a3 ( j , k ) = −t 1 ( n ) ∗ub ( j , k , n ) − 0 . 5∗M∗ t 1 ( n ) − t 1 ( n

) / d e l t ;a4 ( j , k ) = a3 ( j , k ) ;a5 ( j , k ) = 1 / d e l e t a + 0 .25∗ e t a c ( j ) + 0 . 5∗ t 1 ( n ) ∗

fb ( j , k , n ) ;a6 ( j , k ) = −1/ d e l e t a + 0 .25∗ e t a c ( j ) + 0 . 5∗ t 1 ( n ) ∗

fb ( j , k , n ) ;a7 ( j , k ) = a l p h a ∗omega∗ t 1 ( n ) ∗ 0 . 5 ;a8 ( j , k ) = a7 ( j , k ) ;

b1 ( j , k ) = 1 / d e l e t a + 0 .25∗ Pr ∗ e t a c ( j ) + 0 . 5∗ Pr ∗t 1 ( n ) ∗ fb ( j , k , n ) ;

85

b2 ( j , k ) = −1/ d e l e t a + 0 .25∗ Pr ∗ e t a c ( j ) + 0 . 5∗ Pr ∗t 1 ( n ) ∗ fb ( j , k , n ) ;

b3 ( j , k ) = 0 . 5∗ Pr ∗ t 1 ( n ) ∗qb ( j , k , n ) ;b4 ( j , k ) = b3 ( j , k ) ;b5 ( j , k ) =−( Pr ∗ t 1 ( n ) ) / d e l t ;b6 ( j , k ) = b5 ( j , k ) ;

r1 ( j , k ) = f ( j −1,k , n )−f ( j , k , n ) + d e l e t a ∗ub ( j , k , n ) ;r2 ( j , k ) = u ( j −1,k , n )−u ( j , k , n ) + d e l e t a ∗vb ( j , k , n ) ;r3 ( j , k ) = s ( j −1,k , n )−s ( j , k , n ) + d e l e t a ∗qb ( j , k , n ) ;r4 ( j , k ) = −c de rv b ( j , n ) − 0 . 5∗ e t a c ( j ) ∗ cvb ( j , n ) −

t 1 ( n ) ∗(1− cunb ( j , n ) + c f v f v b ( j , n ) ) − M∗ t 1 ( n )∗(1− cub ( j , n ) ) − . . .

2∗ t 1 ( n ) ∗ cub ( j , n ) / d e l t − a l p h a ∗omega∗ t 1 ( n ) ∗csb ( j , n ) − dervb ( j , k , n ) − 0 . 5∗ e t a c ( j ) ∗vb( j , k , n )− t 1 ( n ) ∗(1−unb ( j , k , n ) + f v f v b ( j , k, n ) ) − . . .

M∗ t 1 ( n ) ∗(1−ub ( j , k , n ) ) + 2∗ t 1 ( n ) ∗ub ( j , k , n ) /d e l t − a l p h a ∗omega∗ t 1 ( n ) ∗ sb ( j , k , n ) ;

r5 ( j , k ) = −c de rq b ( j , n ) − 0 . 5∗ Pr ∗ e t a c ( j ) ∗ cqb ( j , n) − Pr ∗ t 1 ( n ) ∗ c f q f q b ( j , n ) − . . .

2∗ Pr ∗ t 1 ( n ) ∗ csb ( j , n ) / d e l t −de rqb ( j , k , n ) −0 . 5∗ Pr ∗ e t a c ( j ) ∗qb ( j , k , n ) − . . .

Pr ∗ t 1 ( n ) ∗ f q f q b ( j , k , n ) + 2∗ Pr ∗ t 1 ( n ) ∗ sb ( j , k , n) / d e l t ;

e l s ea1 ( j , k ) = 0 . 5∗ vb ( j , k , n ) ;a2 ( j , k ) = a1 ( j , k ) ;a3 ( j , k ) = −ub ( j , k , n ) − 0 . 5∗M − 1 / d e l t ;a4 ( j , k ) = a3 ( j , k ) ;a5 ( j , k ) = 1 / d e l e t a + 0 . 5∗ fb ( j , k , n ) ;a6 ( j , k ) = −1/ d e l e t a + 0 . 5∗ fb ( j , k , n ) ;a7 ( j , k ) = a l p h a ∗omega ∗ 0 . 5 ;a8 ( j , k ) = a7 ( j , k ) ;

86

b1 ( j , k ) = 1 / d e l e t a + 0 . 5∗ Pr ∗ fb ( j , k , n ) ;b2 ( j , k ) = −1/ d e l e t a + 0 . 5∗ Pr ∗ fb ( j , k , n ) ;b3 ( j , k ) = 0 . 5∗ Pr ∗qb ( j , k , n ) ;b4 ( j , k ) = b3 ( j , k ) ;b5 ( j , k ) =−Pr / d e l t ;b6 ( j , k ) = b5 ( j , k ) ;

r1 ( j , k ) = f ( j −1,k , n )−f ( j , k , n ) + d e l e t a ∗ub ( j , k , n ) ;r2 ( j , k ) = u ( j −1,k , n )−u ( j , k , n ) + d e l e t a ∗vb ( j , k , n ) ;r3 ( j , k ) = s ( j −1,k , n )−s ( j , k , n ) + d e l e t a ∗qb ( j , k , n ) ;r4 ( j , k ) = −c de rv b ( j , n ) − (1−cunb ( j , n ) + c f v f v b (

j , n ) ) − M∗(1− cub ( j , n ) ) − . . .2∗ cub ( j , n ) / d e l t − a l p h a ∗omega∗ csb ( j , n ) −

de rvb ( j , k , n ) − (1−unb ( j , k , n ) + f v f v b ( j , k, n ) ) − . . .

M∗(1−ub ( j , k , n ) ) + 2∗ub ( j , k , n ) / d e l t − a l p h a ∗omega∗ sb ( j , k , n ) ;

r5 ( j , k ) = −c de rq b ( j , n ) − Pr ∗ c f q f q b ( j , n ) − . . .2∗ Pr ∗ csb ( j , n ) / d e l t − derqb ( j , k , n ) − Pr ∗

f q f q b ( j , k , n ) + 2∗ Pr ∗ sb ( j , k , n ) / d e l t ;end

end% M a t r i c e s

a {2 , k} = [ 0 0 1 0 0 ; −0.5∗ d e l e t a 0 0 −0.5∗ d e l e t a0 ; 0 −0.5∗ d e l e t a 0 0 −0.5∗ d e l e t a ; a6 ( 2 , k ) 0 a1( 2 , k ) a5 ( 2 , k ) 0 ; 0 b2 ( 2 , k ) b3 ( 2 , k ) 0 b1 ( 2 , k ) ] ;

f o r j = 3 : npa{ j , k} = [−0.5∗ d e l e t a 0 1 0 0 ; −1 0 0 −0.5∗

d e l e t a 0 ; 0 −1 0 0 −0.5∗ d e l e t a ; a4 ( j , k ) a8 ( j, k ) a1 ( j , k ) a5 ( j , k ) 0 ; 0 b6 ( j , k ) b3 ( j , k ) 0b1 ( j , k ) ] ;

b{ j , k} = [0 0 −1 0 0 ; 0 0 0 −0.5∗ d e l e t a 0 ; 0 00 0 −0.5∗ d e l e t a ; 0 0 a2 ( j , k ) a6 ( j , k ) 0 ; 0 0b4 ( j , k ) 0 b2 ( j , k ) ] ;

end ;f o r j = 2 : np

87

c{ j , k} = [−0.5∗ d e l e t a 0 0 0 0 ; 1 0 0 0 0 ; 0 1 00 0 ; a3 ( j , k ) a7 ( j , k ) 0 0 0 ; 0 b5 ( j , k ) 0 0

0 ] ;end ;a l f a {2 , k} = a {2 , k } ;gamma{2 , k} = inv ( a l f a {2 , k } ) ∗c {2 , k } ;f o r j = 3 : np

a l f a { j , k} =a{ j , k}−(b{ j , k}∗gamma{ j −1,k } ) ;gamma{ j , k} = inv ( a l f a { j , k } ) ∗c{ j , k } ;

end ;f o r j = 2 : np

r r { j , k} = [ r1 ( j , k ) ; r2 ( j , k ) ; r3 ( j , k ) ; r4 ( j , k ) ; r5 ( j, k ) ] ;

end ;ww{2 , k} = inv ( a l f a {2 , k } ) ∗ r r {2 , k } ;f o r j = 3 : np

ww{ j , k} = inv ( a l f a { j , k } ) ∗ ( r r { j , k}−(b{ j , k}∗ww{ j−1,k } ) ) ;

end ;%% backward sweep

d e l u ( 1 , k ) = 0 ;d e l s ( 1 , k ) = 0 ;d e l f ( 1 , k ) = 0 ;d e l u ( np , k ) = 0 ;d e l s ( np , k ) = 0 ;d e l l {np , k} = ww{np , k } ;

f o r j = np−1:−1:2d e l l { j , k} = ww{ j , k} − (gamma{ j , k}∗ d e l l { j +1 , k } ) ;

end ;d e l v ( 1 , k ) = d e l l {2 , k } ( 1 , 1 ) ;d e l q ( 1 , k ) = d e l l {2 , k } ( 2 , 1 ) ;d e l f ( 2 , k ) = d e l l {2 , k } ( 3 , 1 ) ;d e l v ( 2 , k ) = d e l l {2 , k } ( 4 , 1 ) ;d e l q ( 2 , k ) = d e l l {2 , k } ( 5 , 1 ) ;

88

f o r j = np :−1:3d e l u ( j −1,k ) = d e l l { j , k } ( 1 , 1 ) ;d e l s ( j −1,k ) = d e l l { j , k } ( 2 , 1 ) ;d e l f ( j , k ) = d e l l { j , k } ( 3 , 1 ) ;d e l v ( j , k ) = d e l l { j , k } ( 4 , 1 ) ;d e l q ( j , k ) = d e l l { j , k } ( 5 , 1 ) ;

end ;

%% Newton ’ s Method

f o r j = 1 : npf ( j , k +1 , n ) = f ( j , k , n ) + d e l f ( j , k ) ;u ( j , k +1 , n ) = u ( j , k , n ) + d e l u ( j , k ) ;v ( j , k +1 , n ) = v ( j , k , n ) + d e l v ( j , k ) ;s ( j , k +1 , n ) = s ( j , k , n ) + d e l s ( j , k ) ;q ( j , k +1 , n ) = q ( j , k , n ) + d e l q ( j , k ) ;

end ;s t o p = abs ( d e l v ( 1 , k ) ) ;kmax = k ;k = k + 1 ;

endf o r j = 1 : np

f f ( j , n ) = f ( j , k , n ) ;uu ( j , n ) = u ( j , k , n ) ;vv ( j , n ) = v ( j , k , n ) ;s s ( j , n ) = s ( j , k , n ) ;qq ( j , n ) = q ( j , k , n ) ;

endf o r j =1 : np

f f b ( j , n ) = fb ( j , kmax , n ) ;u t b ( j , n ) = ub ( j , kmax , n ) ;vvb ( j , n ) = vb ( j , kmax , n ) ;s s b ( j , n ) = sb ( j , kmax , n ) ;qqb ( j , n ) = qb ( j , kmax , n ) ;dde rvb ( j , n ) = de rvb ( j , kmax , n ) ;dde rqb ( j , n ) = de rqb ( j , kmax , n ) ;

end

89

end

i f ( i ==1)f i g u r e ( 1 )p l o t ( e t a , u ( : , kmax , n t ) , ’ b ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )hold on ;f i g u r e ( 2 )p l o t ( e t a , s ( : , kmax , n t ) , ’ b ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )hold on ;e l s e i f ( i ==2)f i g u r e ( 1 )p l o t ( e t a , u ( : , kmax , n t ) , ’ : ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )hold on ;f i g u r e ( 2 )p l o t ( e t a , s ( : , kmax , n t ) , ’ : ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )hold on ;e l s e i f ( i ==3)f i g u r e ( 1 )p l o t ( e t a , u ( : , kmax , n t ) , ’−. ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )hold on ;f i g u r e ( 2 )p l o t ( e t a , s ( : , kmax , n t ) , ’−. ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )hold on ;e l s e i f ( i ==4)f i g u r e ( 1 )p l o t ( e t a , u ( : , kmax , n t ) , ’−− ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )hold on ;t i t l e ( ’ P r o f i l Kecepa tan dengan V a r i a s i P a r a m e t e r

Magnet ik ’ )l egend ( ’M=0 ’ , ’M=1 ’ , ’M=5 ’ , ’M=10 ’ )x l a b e l ( ’\ e t a ’ )y l a b e l ( ’ \ p a r t i a l f /\ p a r t i a l \ e t a ’ )gr id on ;f i g u r e ( 2 )p l o t ( e t a , s ( : , kmax , n t ) , ’−− ’ , ’ l i n e w i d t h ’ , 2 )

90

hold on ;t i t l e ( ’ P r o f i l Tempera tu r dengan V a r i a s i P a r a m e t e r

Magnet ik ’ )l egend ( ’M=0 ’ , ’M=1 ’ , ’M=5 ’ , ’M=10 ’ )x l a b e l ( ’\ e t a ’ )y l a b e l ( ’ s ’ )gr id on ;endend% u ( 2 0 : 4 0 , kmax , n t )

% s ( 3 0 : 5 0 , kmax , n t )

91

Lampiran 7. Hasil Simulasi

Hasil 1. Variasi Parameter Magnetik dengan Beberapa Macam Inputan

Gambar 6.1: (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi M dan (b.) Profil Temperaturdengan Variasi M

Tanda panah pada gambar menunjukkan bahwa dengan kecepatan semakinnaik dan temperatur menurun dengan bertambahnya nilai M , nilai variasiM yang digunakan yaitu M = 0, 1, 2, 3, ..., 9. Karena pada gambar menun-jukkan bahwa kecepatan meningkat dan temperatur semakin menurun seiringdengan bertambahnya nilai parameter M maka dapat diambil beberapa nilaiM yang digunakan pada simulasi pada Bab V.

Tabel 6.1: Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Parameter MagnetikM η = 2 η = 3 η = 40 0.966910076 0.998012701 0.9999369851 0.982575644 0.999222978 0.9999761595 0.997194908 0.999949193 0.99999709910 0.999450588 0.999995675 0.999999301

Tabel 6.2: Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Parameter MagnetikM η = 3 η = 4 η = 50 0.031318155 0.003313177 0.000610161 0.02743008 0.002797764 0.0005797775 0.022707616 0.002246165 0.00055098210 0.020375605 0.001988986 0.00053822

92

Tabel 6.3: Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1 dengan VariasiParameter Magnetik

M f ′ s0 0.736836298 0.1742784391 0.807430473 0.1618037732 0.851379862 0.1564265693 0.881453139 0.1513835414 0.903246022 0.1475534325 0.919679008 0.1445192586 0.932434117 0.1420396327 0.942555709 0.1399647278 0.950729375 0.138195679 0.957424843 0.136664563

Hasil 2. Variasi Bilangan Prandtl dengan Beberapa Macam Inputan

Gambar 6.2: (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi Pr dan (b.) Profil Temperaturdengan Variasi Pr

Tanda panah pada gambar menunjukkan bahwa dengan kecepatan dantemperatur semakin menurun dengan bertambahnya nilai Pr, nilai variasiPr yang digunakan yaitu Pr = 1, 2, 3, ..., 10. Karena pada gambar menun-jukkan bahwa kecepatan dan temperatur semakin menurun seiring denganbertambahnya nilai parameter Pr maka dapat diambil beberapa nilai Pr yangdigunakan pada simulasi pada Bab V.

93

Tabel 6.4: Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Bilangan PrandtlPr η = 2 η = 3 η = 40.7 0.982593365 0.999225553 0.9999763727 0.982576874 0.999223035 0.9999761620 0.982576111 0.999223001 0.999976159100 0.982575761 0.999222984 0.999976159

Tabel 6.5: Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Bilangan PrandtlPr η = 3 η = 4 η = 50.7 0.02742799 0.0027975 0.0005797627 0.011891268 2.24× 10−13 1× 10−15

20 0.0051375733 5.257× 10−15 1.34× 10−16

100 0.000128019 3.24× 10−16 1.254× 10−17

Hasil 3. Variasi Parameter Konveksi dengan Beberapa Macam Inputan

Gambar 6.3: (a.)Profil Kecepatan dengan Variasi α dan (b.) Profil Temperaturdengan Variasi α

Tanda panah pada gambar menunjukkan bahwa dengan kecepatan semakinnaik dan temperatur menurun dengan bertambahnya nilai α, nilai variasi αyang digunakan yaitu α = 0, 0.5, 1, 1.5, ..., 4.5. Karena pada gambar menun-jukkan bahwa kecepatan meningkat dan temperatur semakin menurun seiringdengan bertambahnya nilai parameter α maka dapat diambil beberapa nilai αyang digunakan pada simulasi pada Bab V.

94

Tabel 6.6: Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1 dengan VariasiBilangan Prandtl

Pr f ′ s1 0.807430473 0.097357392 0.807430473 0.0207608563 0.807430473 0.0047989794 0.807430473 0.001128425 0.807430473 2.62× 10−4

6 0.807430473 5.85× 10−5

7 0.807430473 1.23× 10−5

8 0.807430473 2.36× 10−6

9 0.807430473 3.93× 10−7

10 0.807430473 5.29× 10−8

Tabel 6.7: Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Parameter Konveksi(α)

α η = 2 η = 3 η = 40 0.982575644 0.999222978 0.9999761590.5 1.051979769 1.007953592 1.0006806951 1.093858523 1.011557935 1.0009925921.5 1.120171494 1.012956752 1.001179312

Hasil 4. Variasi Sumbu Horizontal dengan Beberapa Macam Inputan

Gambar 6.4: (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi b dan (b.) Profil Temperturdengan Variasi b

Tanda panah pada gambar menunjukkan bahwa kecepatan semakin menurundan temperatur meningkat dengan bertambahnya nilai b, nilai variasi b yangdigunakan yaitu b = 2, 6, 10, ..., 38. Karena pada gambar menunjukkan

95

Tabel 6.8: Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Parameter Konveksi(α)

α η = 3 η = 4 η = 50 0.02743008 0.002797764 0.0005797770.5 0.019601335 0.00188864 0.0005330651 0.014482334 0.001376558 0.0005102681.5 0.011146219 0.001085889 0.000498969

Tabel 6.9: Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1 dengan VariasiParameter Konveksi (α)

α f ′ s0 0.807430473 0.1618037730.5 1.030615749 0.1338250141 1.208751643 0.1124702111.5 1.355966251 0.0964690292 1.480841991 0.0840880542.5 1.588890596 0.0742522923 1.68382867 0.0662666233.5 1.768266934 0.0596643434 1.844103924 0.0541217214.5 1.912493938 0.049387032

bahwa kecepatan menurun dan temperatur semakin meningkat seiring denganbertambahnya nilai parameter b maka dapat diambil beberapa nilai b yangdigunakan pada simulasi pada Bab V.

Tabel 6.10: Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu Horizontal(b)

b η = 2 η = 3 η = 42 1.093858523 1.011557935 1.0009925924 1.021839094 1.004538762 1.00040955220 0.984341955 0.999481512 0.99999793550 0.982841834 0.999261951 0.999979578

96

Tabel 6.11: Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu Horizontal(b)

b η = 3 η = 4 η = 52 0.014482334 0.001376558 0.0005102684 0.023246106 0.002297318 0.00055338120 0.027784542 0.00285343 0.0005835350 0.027966575 0.002876785 0.000584854

Tabel 6.12: Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1 dengan VariasiSumbu Horizontal (b)

b f ′ s2 1.208751643 0.1124702116 0.861936307 0.15595245710 0.827399935 0.16069724414 0.817625721 0.16091799518 0.813611099 0.16096287522 0.811561816 0.16289640226 0.810397819 0.16139979930 0.809660148 0.16150018234 0.809140529 0.16323390538 0.808792198 0.163282486

Hasil 5. Variasi Sumbu Vertikal dengan Beberapa Macam Inputan

Gambar 6.5: (a.) Profil Kecepatan dengan Variasi a dan (b.) Profil Temperaturdengan Variasi a

Tanda panah pada gambar menunjukkan bahwa dengan kecepatan semakinnaik dan temperatur menurun dengan bertambahnya nilai a, nilai variasi ayang digunakan yaitu a = 2, 6, 10, ..., 38. Karena pada gambar menunjukkan

97

bahwa kecepatan meningkat dan temperatur semakin menurun seiring denganbertambahnya nilai parameter a maka dapat diambil beberapa nilai a yangdigunakan pada simulasi pada Bab V.

Tabel 6.13: Nilai Kecepatan Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu Vertikal (a)a η = 2 η = 3 η = 42 0.983003238 0.999285636 0.999981564 0.984341955 0.999481512 0.99999793516 1.008908517 1.002890934 1.0002775640 1.093858523 1.011557935 1.000992592

Tabel 6.14: Nilai Temperatur Fluida terhadap η dengan Variasi Sumbu Vertikal (a)a η = 3 η = 4 η = 52 0.027946987 0.002874268 0.0005847114 0.027784542 0.00285343 0.0005835316 0.024809255 0.002483098 0.00056315140 0.014482334 0.001376558 0.000510268

Tabel 6.15: Nilai Kecepatan dan Temperatur Fluida pada saat η = 1 dengan VariasiSumbu Vertikal (a)

a f ′ s2 0.808655842 0.1633015056 0.81869963 0.16190362910 0.83846755 0.15916919114 0.867349361 0.15521507318 0.904497627 0.1502027222 0.948896531 0.14432268926 0.999436197 0.13777986630 1.054982985 0.13077850234 1.11443866 0.12351000738 1.176784227 0.116143766

98

DAFTAR PUSTAKA

Abel, M. S. and Nandeppanavar, M. M. (2009), ”Heat Transfer in MHDViscoelastic Boundary Layer Flow Over A Stretching Sheet with Non-Uniform Heat Source/Sink”, Communications in Nonlinear Science andNumerical Simulation 14(5),2120-2131.

Ahmad, S., Arifin, N. M., Nazar, R. Pop, I.(2008), ”Free Convection BoundaryLayer Flow Over Cylinders of Elliptic Cross Section with Constant SurfaceHeat Flux”, European Journal of Scientific Research, ISSN 1450-216X Vol.23 No.4: 613-625.

Ali, F. M., Nazar, R., Arifin, N. M. (2010), ”Numerical Solutions of UnsteadyBoundary Layer Flow Due to an Impulsively Stretching Surface”, Journalof Applied Computer Science and Mathematics, no. 8(4)

Anwar, I. Amin, N. Prop, I. (2008), ”Mixed Convection Boundary Layer Flowof a Viscoelastic Fluid Over a Horizontal Circular Cylinder”, InternationalJournal of Non-Linear Mechanics. 814-821.

Arber, T. (2013), ”Fundamentals of Magnetohydrodynamics (MHD)”, Lecturehandout: University of Warwick, UK.

Bharti, R. P., Sivakumar, P., Chhabra, R. P. (2007), ”Forced Convection HeatTransfer From An Elliptical Cylinder to Power-law Fluids”, InternationalJournal of Heat and Mass Transfer 51, 1838-1853.

Cheng, C.Y. (2012), ”Free Convection Boundary Layer Flow Over a HorizontalCylinder of Elliptic Cross Section in Porous Media Saturted by a Nanofluid”,International Communications in Heat and Mass Transfer 39, 1-4:931-936. Artikel ini diperoleh dari: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0735193312001133.

D’Alessio, S.J.D. (1997), ”Steady and Unsteady Forced Convection Past an InclinedElliptic Cylinder ”, Acta Mechanica, 123:99-115.

Hussanan, A. Ismail, Z. Khan, I. Hussein, A. Shafie, S. (2014), ”Unsteady BoundaryLayer MHD Free Convection Flow in a Porous Medium with Constant Mass

63

Diffusion and Newtonian Heating”, The European Physical Journal Plus. 1-16.

Imron, C. Suhariningsih. Widodo, B. Yuwono, T. (2013), ”Numerical Simulationof Fluid Flow Around Circular and I-Shape Cylinder in A Tandem Configu-ration”, Applied Mathematical Sciences, Vol.7. 114: 5657-5666.

Ingham, D. B., and Merkin, J. H. (1981), ”Unsteady Mixed Convection from AnIsothermal Circular Cylinder”, Journal of Acta Mechanica. 38: 55-69.

Kasim, A.R.M. (2014), Convective Boundary Layer Flow of Viscouselastic Fluid,Universiti Technology Malaysia, Malaysia.

Kudenatti, R. B. Kirsur, S. R. Achala, L. and Bujurke, N. (2013), ”MHD BoundaryLayer Flow Over A Non-Linear Stretching Boundary with Suction andInjection”, International Journal of Non-Linear Mechanics. 50:58-67.

Leal, L. (1992), Laminar Flow and Convective Transport Processes: Scaling

Principles and Asymptotic Analysis., Butterworth-Heinemann.

Lienhard, J. H. (1992), A Heat Transfer Textbook, Courier Dover Publications.

Mohammad, N. F. (2014), Unsteady Magnetohydrodynamics Convective Boundary

Layer Flow Past A Sphere In Viscous and Micropolar Fluids, UniversitiTechnology Malaysia, Malaysia.

Nazar, R. (2004), Mathematical Models for Free and Mixed Convection Boundary

Layer Flow of Micropolar Fluids, , Universiti Technology Malaysia,Malaysia.

Potter, M.C., Wiggert, D.C., dan Ramadan,B.H. (2008), Schaum’s Outline

Mekanika Fluida, Erlangga, Jakarta.

Potter, M.C., Wiggert, D.C., dan Ramadan,B.H. (2012), Mechanics of Fluids Fourth

Edition, Cengange Learning, USA.

Sen, M. (1996), Lecture Notes on Intermediate Fluid Mechanics, University ofNotre Dame.

Sulistyaningtyas, A. D. (2015), Pengaruh Aliran Fluida Viskoelastik yang Melewati

Silinder Eliptik, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Widodo, B. (2012), Pemodelan Matematika, itsress, Surabaya.

64

99

BIODATA PENULIS

Penulis bernama lengkap Dwi Ariyani Khalimah,

dilahirkan di Dusun Bagusan, Desa Terusan,

Kabupaten Mojokerto, Provinsi Jawa Timur pada

31 Mei 1991 dan merupakan anak kedua dari tiga

bersaudara pasangan Samsul Arifin dan Sri

Kayatin. Pendidikan formal ditempuh mulai dari

TK Al-Khairiyah pada tahun 1996, dilanjutkan

SDN Terusan III, lulus pada tahun 2003

dilanjutkan ke pendidikan SMP Negeri 2 Kota

Mojokerto lulus pada tahun 2006, dan melanjutkan pendidikan ke SMA Negeri

1 Sooko Kabupaten Mojokerto, lulus pada tahun 2009. Setelah lulus SMA

penulis melanjutkan pendidikan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya,

lulus pada tahun 2013 dan melanjutkan pendidikan S2 di Jurusan Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh

Nopember, Surabaya pada tahun 2014. Pada jenjang S1 penulis mengambil

bidang minat Pemodelan Matematika dan Simulasi dengan judul Tugas Akhir

yaitu: Aplikasi Metode State Feedback Linearization pada Sistem Kendali

Gerak Kapal, pada jenjang S2 penulis tetap mengambil bidang minat

Pemodelan Matematika dan Simulasi, Komputasi Dinamika Fluida dengan

judul Tesis yaitu: Analisa Aliran Tak Tunak Konveksi Paksa

Fluida Kental Magnetohidrodinamik (MHD) Melewati

Silinder Eliptik. Informasi, kritik, dan saran yang berhubungan dengan

Tesis ini dapat ditujukan ke alamat e-mail: [email protected].

100