Bab 3 Pemodelan Matematika dan Metode · PDF fileBab 3 Pemodelan Matematika dan Metode Numerik 3.1 Model Keadaan Tunak Model keadaan tunak hanya tergantung pada jarak saja. Oleh

Bab 3

Pemodelan Matematika dan Metode

Numerik

3.1 Model Keadaan Tunak

Model keadaan tunak hanya tergantung pada jarak saja. Oleh karena itu,

distribusi temperatur gas sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak dapat dihitung

dengan menggunakan hukum kekekalan energi yang menyatakan laju perubahan

energi suatu sistem sama dengan jumlah panas dikurangi jumlah kerja pada sistem

tersebut, dengan mengasumsikan proses perpindahan panas yang terjadi bersifat tu-

nak dan tidak ada kerja yang dilakukan oleh sistem, sehingga diperoleh persamaan

sebagai berikut :

q =dEdt

. (3.1)

Perhitungan laju perubahan energi dalam kasus ini dijelaskan dengan menggu-

nakan konsep fluks. Akan diperhatikan proses aliran energi dalam suatu segmen x

sampai dengan x + ∆x pada kontrol volum (Gambar 3.1), untuk mendapatkan laju

29

BAB 3. PEMODELAN MATEMATIKA DAN METODE NUMERIK 30

perubahan energi dengan konsep fluks. Misalkan energi yang masuk melalui titik

x adalah f (x) sedangkan energi yang masuk melalui titik x + ∆x adalah f (x + ∆x).

Jika f bernilai positif, maka energi mengalir masuk ke dalam segmen melalui sebe-

lah kiri titik ujung x, sedangkan penulisan tanda minus untuk f (x +∆x) dibutuhkan

karena f (x + ∆x) > 0 menunjukkan energi mengalir ke sebelah kanan titik ujung

x +∆x. Sehingga laju perubahan energi adalah :

f (x)− f (x +∆x) . (3.2)

Berdasarkan aproksimasi Taylor, Persamaan (3.2) merupakan turunan pertama f (x),

yaitu :

− ∂ f∂x

∆x . (3.3)

Dengan mengabaikan energi potensial dan kinetik, dan mengasumsikan tidak ada

efek nuklir, listrik, dan magnetik, maka dengan menguraikan energi yang terjadi

pada sistem yaitu hanya energi panas (MCvT ) dan energi yang menyebabkan ke-

hilangan tekanan (M pρ ) , dengan M sebagai mass flow, yaitu aliran massa yang

melewati luas penampang A, M = ρvA, maka f adalah :

M(CvT +pρ

) . (3.4)

Gambar 3.1: Segmen x sampai dengan x +∆x pada Kontrol Volum.


Dengan mensubstitusikan f yang berbentuk Persamaan (3.4) ke dalam Persamaan

(3.3) dan menotasikan V sebagai volume sehingga V = 1/ρ, maka laju perubahan

energi menjadi,

−Md(CvT + pV)

dxdx . (3.5)

Dengan mengasumsikan gas yang dialirkan bersifat ideal, sehingga pV = RT

dan Cp = Cv + R, maka Persamaan (3.5) menjadi,

−MCpdT . (3.6)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (3.6) ke dalam Persamaan (3.1), maka dipero-

leh,

q = −MCpdT . (3.7)

Mengenai panas (q) yang terjadi di sistem, dengan sistem pada kasus ini adalah

sebuah pipa (Gambar 3.2), akan dibahas sebagai berikut. Terjadi aliran gas sepan-

jang pipa dari ujung pipa di kiri x sampai dengan ujung pipa di kanan x+∆x, dengan

temperatur gas (T ) yang lebih besar dibandingkan dengan temperatur lingkungan

(Tamb). Hal ini yang mengakibatkan terjadinya perpindahan panas sepanjang dx

dari gas ke lingkungan sekitarnya secara konveksi, sehingga temperatur gas terus

berkurang sampai mendekati temperatur sekitarnya. Konveksi adalah perpindahan

panas yang terjadi antara permukaan dan media bergerak (fluida) yang mempu-

nyai temperatur berbeda melalui proses difusi ataupun dengan cara mengalirnya

fluida tersebut dari molekul dengan temperatur yang lebih tinggi ke molekul de-

ngan temperatur yang lebih rendah. Dengan demikian, panas yang terjadi akibat

proses konveksi menurut Newton’s law of cooling, dapat dituliskan ke dalam ben-

tuk persamaan seperti,

q = kL(T −Tamb)dx , (3.8)


dengan kL adalah koefisien perpindahan panas secara konveksi yang bergantung

pada kondisi batas yang dipengaruhi oleh geometri permukaannya dan gerakan

fluida.

Gambar 3.2: Perpindahan Panas secara Konveksi di dalam Pipa.

Dengan mensubstitusikan Persamaan (3.8) ke dalam Persamaan (3.7), maka

diperoleh persamaan,

MCpdT = −kL(T −Tamb)dx . (3.9)

Dengan membentuk Persamaan (3.9) seperti berikut,

dT(T −Tamb)

=−kL

MCpdx .

akan diperoleh persamaan untuk menghitung distribusi temperatur gas sepanjang

pipa sebagai fungsi dari jarak, yaitu dengan cara mengintegralkan kedua suku per-


samaan tersebut. Langkah - langkahnya adalah sebagai berikut :

T (x)∫

T (0)

dT(T −Tamb)

=−kL

MCp

x∫

0

dx .

Hasil pengintegralannya adalah sebagai berikut,

ln(T −Tamb)|T (x)T (0) =

−kL

MCpx|x0 .

Dengan mensubstitusi batas integralnya akan menghasilkan persamaan,

ln((T (x)−Tamb)(T (0)−Tamb)

)=−kL

MCpx .

Dengan memberikan eksponen di kedua ruas persamaan di atas, maka akan dipero-

leh persamaan untuk menghitung distribusi temperatur gas sepanjang pipa sebagai

fungsi dari jarak, yaitu:

T (x) = Tamb + (T (0)−Tamb)exp−αx , (3.10)

dengan α = kL/MCp

Sedangkan untuk mendapatkan persamaan yang dapat menghitung distri-

busi tekanan sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak, dapat diperoleh dengan cara

berikut :

• Dari persamaan untuk mendapatkan mass flow, bisa diperoleh v = M/ρA, per-

samaan ini akan di substitusikan ke dalam persamaan penurunan tekanan aki-


bat gaya gesek, Persamaan (2.37) (dpdx =

−2 f ′gρv2

D ), sehingga akan diperoleh,

dpdx

=−2 f ′g M2

ρA2D. (3.11)

• Persamaan mencari rapat massa, Persamaan (2.15) (ρg =pMgZRT ), akan disubs-

titusikan ke dalam Persamaan (3.11), sehingga diperoleh,

dpdx

=−2 f ′g M2ZRT

pMgA2D. (3.12)

• Dengan menggunakan turunan parsial, dp2

dx yang dapat dituliskan menjadi

bentuk 2pdpdx , sehingga dengan mensubstitusi Persamaan (3.12) ke dalam ben-

tuk turunan parsial tersebut, akan diperoleh,

dp2

dx=−4 f ′g M2ZRT

MgA2D. (3.13)

• Dengan mensubstitusi persamaan untuk menghitung distribusi temperatur gas

sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak, Persamaan(3.10) ke dalam Per-

samaan (3.13), maka akan diperoleh,

dp2 =−4 f ′g M2ZR(Tambdx + (T (0)−Tamb)exp−αx dx)

MgA2D. (3.14)

• Dengan mengintegralkan Persamaan (3.14), suku kiri terhadap p2 dengan

batas p dari p(0) sampai dengan p(x) dan suku kiri terhadap x dengan batas

x dari 0 sampai dengan x, maka akan diperoleh,

p2|p(x)p(0) =

−ZRA2Mg

[4 f ′

D

(Tambx|x0− (

T (0)−Tamb

α)[(exp−αx)

]x

0

)M2

]. (3.15)


• Dengan memasukkan nilai batas integralnya, maka akan diperoleh persamaan

akhir untuk menghitung distribusi tekanan yang hanya bergantung pada jarak

saja, yaitu :

p(x) =

√p(0)2−KM2 , (3.16)

dengan

K =ZR

A2Mg

[4 f ′

D

(Tambx + (

T (0)−Tamb

α)(1− exp−αx)

)].

3.2 Model Keadaan Transien

Berbeda dengan keadaan tunak, keadaan transien merupakan keadaan yang

bergantung pada jarak dan waktu. Pada Persamaan energi (2.48), akan dijabarkan

panas per unit massa per unit satuan luas (qρA) yang terjadi pada sistem dengan

kondisi transien. Dengan mengasumsikan perpindahan panas yang terjadi hanya

proses konduksi yang melewati dinding pipa dan konveksi yang terjadi antara par-

tikel fluida di dalam pipa, yang dapat mengakibatkan perpindahan panas dari gas

ke lingkungan sekitar (Gambar 3.3).

Dengan menggunakan konsep fluks pada proses konduksi dan asumsi seperti

yang telah disebutkan di atas, maka didapatkan persamaan,

qρAdx = qkonduksi|x−qkonduksi|x+dx−qkonveksi . (3.17)

Konduksi adalah perpindahan panas melalui media diam yang diakibatkan oleh

aktivitas partikel dan energi yang berpindah dari partikel dengan temperatur yang

lebih tinggi ke partikel dengan temperatur yang lebih rendah. Dengan demikian,

panas yang terjadi akibat proses konduksi menurut Fourier’s law of cooling, dapat


Gambar 3.3: Perpindahan Panas Konveksi dan Konduksi di dalam Pipa.

dituliskan ke dalam bentuk persamaan,

q = −λ∂T∂x

, (3.18)

dengan λ adalah konduktivitas bahan yang dilalui panas. Lalu, Persamaan (3.18)

dan (3.8) akan disubstitusikan ke dalam Persaman (3.17), sehingga menjadi,

qρAdx = −λ∂T∂x

+

(λ∂T∂x

+∂

∂x(λ∂T∂x

))− kL(T −Tamb)dx ,

dengan ∂∂x (λ∂T

∂x ) sebagai perubahan panas akibat konduksi sepanjang dx. Dengan

menyederhanakan persamaan tersebut, akan diperoleh persamaan akhir yaitu :

qρAdx =∂

∂x(λ∂T∂x

)− kL(T −Tamb)dx . (3.19)

Dengan mengkombinasikan antara Persamaan (2.48) dan (3.19), akan diperoleh


persamaan,

∂

∂x(ρvACvTdx)

︸︷︷︸1

+∂

∂x(ρvApρ

dx )︸︷︷︸

2

− ∂

∂x

(λA

∂T∂x

dx)

︸︷︷︸3

+ kL (T −Tamb ) dx︸︷︷︸4

+∂

∂t(ρACvTdx)

︸︷︷︸5

= 0 .(3.20)

Akan diintegralkan tiap suku Persamaan (3.20) terhadap x, dengan x dari x = 0

sampai x = L. Lalu dengan memasukkan data yang dibutuhkan pada hasil pengin-

tegralan, akan dilakukan analisis dimensi untuk mendapatkan model yang lebih

sederhana. Data masukan yang dibutuhkan adalah,

Besaran Keterangan Nilai Satuanγg Specific Gravity gas 0,6538 −P0 Tekanan di inlet 1146,17 psiaT0 Temperatur di inlet 306,48 0KTL Temperatur di outlet 285,7 0KTamb Temperatur lingkungan 284,7 0KR Konstanta gas universal 518,8 J/kg 0KCv Specific Heat 1,759x103 J/kg0KCp Specific Heat 2,278x103 J/kg0KkL Koef. perpindahan panas konveksi 25 W/m0KL Panjang pipa 369000 mD Diameter pipa 0,67945 mε Koef. kekasaran pipa 0,00001968 −λ Konduktivitas bahan 3,4x10−2 W/m0KQ Laju alir 8508791,67 m3/h

Tabel 3.1: Data Masukan.

Dari data masukan di atas, dapat dicari rapat massa, faktor deviasi, kecepatan

suara, dan faktor gesekan dengan korelasi pada bab 2, yaitu :


Besaran Keterangan Nilai Satuanρ Rapat massa 69,51853 kg/m3

Z Faktor deviasi 0,8445 −c Kecepatan suara 337,188 m/sfg Faktor gesekan 0,008 −

Tabel 3.2: Hasil Perhitungan ρ,Z, c dan fg.

Proses pengintegralan Persamaan (3.20) dan proses memberikan data yang

ada di Tabel 3.1 dan 3.2 pada hasil pengintegralan adalah sebagai berikut :

1.

L∫

0

∂

∂x(ρvACvT )dx ≈ ρQCv(T |x=L−T |x=0)

≈ 69,5× 8508791,673600

×1,759x103×−20,78

≈ −6x109 .

2.

L∫

0

∂

∂x

(ρvApρ

)dx ≈ ρQZR(T |x=L−T |x=0)

≈ 69,5× 8508791,673600

×0,8445×518,8×−20,78

≈ −1,5x109 .


3.

L∫

0

∂

∂x

(−λA

∂T∂x

)dx ≈ −λA(

∆T |x=L−∆T |x=0

∆x)

≈ −3,4x10−2× π4

0,679452× (0,56−23,93)

≈ 4,36x10−5 ,

Dengan ∆T |x=0 dan ∆T |x=L diperoleh dari selisih nilai temperatur pada keadaan

tunak di titik x = 0 dan x = L.

4.

L∫

0

kL (T −Tamb)dx ≈ kLL (T −Tamb)

≈ 25×369000× (306,48−284,7)

≈ 2x108 .

5.

L∫

0

∂

∂t(ρACvT )dx ≈ ρACvL

∆T∆t

≈ 69,5× π4

0,679452×1759×369000× 53600

≈ 2,2x107 ,

Dengan memisalkan penambahan temperatur yang terjadi adalah 5 0K dalam

waktu 1 jam.

Dengan melihat hasil pengintegralan di atas, akan dilakukan analisis di-

mensi, yaitu dengan mengabaikan suku yang nilainya sangat kecil dibandingkan


dengan nilai yang lainnya, dalam arti nilai tersebut sangat kecil pengaruhnya. De-

ngan demikian, suku ke empat akan diabaikan, karena nilainya terlalu kecil diban-

dingkan dengan nilai suku lainnya, sehingga akan didapatkan penyederhanaan dari

Persamaan energi (3.20) menjadi,

∂

∂t[ρAdx (CvT )

]+∂

∂x

[ρvAdx

(CvT +

pρ

)]= −kL (T −Tamb)dx . (3.21)

Dengan mensubstitusikan p = c2ρ dan m(x, t) = ρ(x, t)v(x, t) ke dalam Persamaan

(3.21), maka model aliran transien dengan pipa horizontal dapat direpresentasikan

oleh persamaaan berikut :

∂ρ∂t +

∂(m)∂x = 0 ,

∂m∂t +

∂(

m2ρ +c2ρ

)

∂x =− fgm|m|

2Dρ ,

∂∂t

[ρACvT

]+ ∂∂x

[mA

(CvT + c2

)]= −kL (T −Tamb) .

(3.22)

3.3 Metode Numerik

Pada subbab ini akan dibahas skema numerik yang akan digunakan pada

Persamaan (3.22) untuk mengetahui distribusi aliran yang bersifat transien sepan-

jang pipa. Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai analisis dimensi,

syarat awal dan syarat batas.

3.3.1 Analisis Dimensi

Analisis dimensi yang dilakukan disini adalah mengubah besaran menjadi

besaran tidak berdimensi dengan tujuan menyederhanakan model yang akan dise-

lesaikan secara numerik. Akan dilakukan analisis dimensi pada Persamaan (3.22),


dengan memilih beberapa besaran sebagai acuan. Untuk besaran panjang, dipilih

panjang pipa (L) sebagai acuan, lalu untuk rapat massa dipilih rapat massa di in-

let (ρ0) sebagai acuan, sedangkan untuk temperatur dipilih temperatur lingkungan

(Tamb) sebagai acuan dan untuk kecepatan dipilih kecepatan suara (c) sebagai acuan.

Selain itu, ada besaran yang dibuat tak berdimensi terhadap besaran acuan yang

telah ditentukan di atas, seperti fluks massa, besaran ini akan dibuat tak berdimensi

terhadap fluks massa di inlet (m0) dengan m0 = ρ0c. Selain itu, besaran waktu,

besaran ini akan dibuat tak berdimensi terhadap t0 dengan t0 = L/c. Apabila ruas

kanan t0 = L/c dikalikan dengan ρ0ρ0

, maka t0 =Lρ0m0

. Secara umum, analisis dimensi

dapat diringkas sebagai berikut :

x̃ =xL, ρ̃ =

ρ

ρ0, T̃ =

TTamb

, m̃ =mm0

, t̃ =tt0.

Dengan mensubstitusi besaran yang telah dibuat tak berdimensi pada Persamaan

(3.22) yang pertama, diperoleh

∂ρ̃

∂̃t+∂m̃∂x̃

= 0 . (3.23)

Sedangkan dengan mensubstitusikan besaran yang telah dibuat tak berdimensi un-

tuk Persamaan (3.22) yang kedua, diperoleh

∂m̃∂̃t

+∂(

m̃2

ρ̃+ ρ̃

)

∂x̃=−L fgm̃ |m̃|

2Dρ̃. (3.24)

Dan yang terakhir, akan disubstitusikan besaran yang telah dibuat tak berdimensi

untuk Persamaan (3.22) yang ketiga, dengan sebelumnya membuat persamaan terse-

but menjadi lebih sederhana, yaitu dengan membagi persamaan tersebut dengan


ACv, sehingga menjadi,

∂

∂t[ρT

]+∂

∂x

[m

(T +

c2

Cv

)]=−kL

ACv(T −Tamb) .

Akan dibuat pemisalan, yaitu λ1 = c2

Cvdan λ2 =

kLACv

. Dengan mensubstitusikan λ1,

λ2, dan besaran yang telah dibuat tak berdimensi, maka akan diperoleh

∂ρ̃T̃∂̃t

+∂m̃

(T̃ +

λ1Tamb

)

∂x̃= −λ2t0

ρ0

(T̃ −1

). (3.25)

Persamaan (3.23), (3.24) dan (3.25) memuat semua variabel yang sudah tidak berdi-

mensi lagi. Ketiga persamaan tersebut yang akan digunakan dalam skema numerik.

Namun, untuk kemudahan notasi, tanda .̃ akan dihilangkan, sehingga penulisannya

menjadi,

∂ρ∂t + ∂m

∂x = 0 ,

∂m∂t +

∂(

m2ρ +ρ

)

∂x =−L fgm|m|

2Dρ ,

∂ρT∂t +

∂m(T+

λ1Tamb

)

∂x = −λ2t0ρ0

(T −1) .

(3.26)

3.3.2 Syarat Awal

Dalam melakukan proses numerik, dibutuhkan syarat awal. Pada kasus ini,

proses aliran bersifat tunak pada kondisi awalnya. Oleh karena itu, keadaan tunak

digunakan sebagai syarat awal. Proses aliran bersifat tunak dalam arti sifat flui-

danya tidak mengalami perubahan terhadap waktu. Apabila direpresentasikan ke

dalam bentuk persamaan, maka menjadi

∂ρ

∂t= 0,

∂m∂t

= 0,∂(ρT )∂t

= 0 . (3.27)


Akan disubstitusikan Persamaan (3.27) ke dalam Persamaan (3.26), yaitu menjadi

∂m∂x = 0 ,

∂(

m2ρ +ρ

)

∂x =−L fgm|m|

2Dρ ,

∂m(T+

λ1Tamb

)

∂x = −λ2t0ρ0

(T −1) .

(3.28)

Dari Persamaan (3.28) yang pertama, ∂m∂x = 0 memberi arti bahwa fluks

massa bernilai konstan sepanjang pipa, karena yang diketahui adalah nilai fluks

massa di inlet yaitu m0, maka untuk keadaan tunak nilai fluks massa sepanjang pipa

konstan sebesar nilai fluks massa di inlet yaitu m0. Dengan hubungan antara fluks

massa dan laju alir, akan diperoleh distribusi laju alir sepanjang pipa untuk keadaan

tunak. Distribusi laju alir untuk keadaan tunak bersifat konstan sepanjang pipa,

sama seperti nilai fluks massa untuk keadaan tunak.

Sedangkan untuk Persamaan (3.28) kedua,∂(

m2ρ +ρ

)

∂x =−L fgm|m|

2Dρ dengan meng-

ganti m dengan m0 diperoleh

−m02 lnρ+

12ρ2 =

−L fgm02x

2D+C . (3.29)

Dengan mensubstitusi ρ0 = 1, maka akan diperoleh C = 1/2, sehingga apabila di-

substitusikan ke dalam Persamaan(3.29) diperoleh persamaan akhir, yaitu :

f (ρ) =2D lnρ

L fg− D

L fgm02

(ρ2−1

)− x = 0 . (3.30)

Masalah di atas sama dengan mencari akar fungsi terhadap ρ. Dalam tugas akhir

ini, digunakan metode Newton Raphson untuk mencari akar fungsi terhadap ρ, de-

ngan x yang merupakan panjang pipa akan dibagi menjadi beberapa segmen, misal-


kan J segmen, dengan tiap segmen mempunyai panjang ∆x. Dengan proses terse-

but dan hubungan antara rapat massa dan tekanan yang direpresentasikan melalui

persamaan keadaan, maka akan diperoleh distribusi tekanan sepanjang pipa un-

tuk keadaan tunak (Gambar 3.4). Distribusi tekanan untuk keadaan tunak bersifat

menurun sepanjang pipa.

Gambar 3.4: Tekanan pada Keadaan Tunak.

Dan terakhir untuk persamaan (3.28) ketiga,∂m

(T+

λ1Tamb

)

∂x = −λ2t0ρ0

(T −1) de-

ngan mengganti m dengan m0, diperoleh

m0 ln(T −1) = −λ2t0ρ0

x +C . (3.31)

Dengan mensubstitusikan temperatur di inlet yang telah dibuat tak berdimensi yaitu

T =T0

Tamb, maka diperoleh C = m0 ln

(T0

Tamb−1

), sehingga apabila disubstitusikan ke

dalam Persamaan (3.31) dan membentuk kedalam fungsi temperatur T terhadap x,


diperoleh persamaan akhir, yaitu :

T (x) = 1 + exp−λ2t0ρ0m0

x(

T0

Tamb−1

). (3.32)

Dengan Persamaan (3.32) akan diperoleh distribusi temperatur sepanjang pipa

pada keadaan tunak (Gambar 3.5). Distribusi temperatur bersifat menurun menuju

temperatur lingkungan, setelah mencapai temperatur lingkungan, nilai temperatur

tidak dapat turun lagi.

Gambar 3.5: Temperatur pada Keadaan Tunak.

3.3.3 Syarat Batas

Pada dasarnya syarat batas diperoleh dari masalah di lapangan. Dalam tu-

gas akhir ini, syarat batas yang diketahui adalah nilai laju alir di inlet dan di outlet

(Gambar 3.6) dan (Gambar 3.7) , yang akan dikonversikan ke dalam fluks massa.


Gambar 3.6: Laju Alir di Inlet Waktu Simulasi 7 jam.

Data diberikan pada Tabel 3.3. Selain itu, diketahui juga syarat batas untuk tempe-

ratur di inlet yaitu bernilai konstan.

Waktu Laju Alir di Inlet Laju ALir di Outlet Satuan0−1 jam 204.211 191.42 MMS CF/D1−2 jam 204.780 175.192 MMS CF/D2−3 jam Turun secara linear 166.53 MMS CF/D3−4 jam 0 176.556 MMS CF/D4−5 jam 0 163.224 MMS CF/D5−6 jam Naik secara linear 166.564 MMS CF/D6−7 jam 285.620 160.842 MMS CF/D

Tabel 3.3: Syarat Batas.

Untuk nilai yang tidak diketahui pada batasnya, dalam kasus ini adalah ra-

pat massa (ρ) dan (ρT ) di outlet, dapat diperoleh dengan cara diskritisasi Persamaan

(3.26) untuk persamaan yang pertama dan ketiga. Sebelumnya L yang merupakan

panjang pipa akan dibagi menjadi beberapa segmen, misalkan J segmen, dengan


tiap segmen mempunyai panjang ∆x dan t yang merupakan waktu proses terjadinya

transien akan dibagi menjadi beberapa segmen, misalkan N segmen, dengan tiap

segmen mempunyai panjang ∆t. Maka notasi ρn0 dan ρn

J yang berturut - turut adalah

rapat massa gas di inlet dan outlet pada waktu ke-n. Proses diskritisasi persamaan

(3.26) untuk persamaan yang pertama dan ketiga, yaitu :

1. Diskritisasi untuk rapat massa (ρ) di inlet :

ρn+10 = ρn

0 +∆t∆x

(mn

0−mn1

). (3.33)

2. Diskritisasi untuk rapat massa (ρ) di outlet :

ρn+1J = ρn

J +∆t∆x

(mn

J−1−mnJ

). (3.34)

3. Diskritisasi untuk (ρT ) di outlet :

ρn+1J T n+1

J = ρnJ T n

J − ∆t∆x

[mn

J

(T n

J +λ1

Tamb

)− mn

J−1

(T n

J−1 +λ1

Tamb

) ]

− λ2t0ρ0

(T n

J − 1)

∆t .(3.35)

3.3.4 Skema Lax-Wendroff

Pada sub bab ini, akan dijelaskan mengenai skema numerik yang digunakan

dalam penyelesaian. Sebelumnya perhatikan Persamaan (3.26). Persamaan tersebut

dapat ditulis ke dalam bentuk vektor seperti,

∂ ~U∂t

+∂~F( ~U)∂x

= ~r( ~U) , (3.36)


Gambar 3.7: Laju Alir di Outlet Waktu Simulasi 7 jam.

dengan

~U =

ρ

m

ρ T

, ~F( ~U) =

mm2

ρ + ρ

m(T +

λ1Tamb

)

, ~r( ~U) =

0−L fgm|m|

2ρD−λ2t0ρ0

(T − 1)

.

Skema numerik yang akan digunakan merupakan skema Lax-Wendroff dua langkah,

dengan stencil (Gambar 3.8). Adapun skema Lax-Wendroff dua langkah yaitu :

~Un+1j+ 1

2=

12

(~Unj+1 + ~Un

j

)− ∆t

2∆x

(~F ~Un

j+1− ~F ~Unj

)+~r( ~Un

j )∆t , (3.37)

~Un+1j = ~Un

j −∆t∆x

(~F ~Un+1

j+ 12− ~F ~Un+1

j− 12

)+~r( ~Un

j )∆t , (3.38)


dengan j = 1,2, ..., J−1, dan

~Unj =

ρnj

mnj

ρnj T n

j

, ~Fn

j (~Un

j ) =

mnj

mnj2

ρnj

+ ρnj

mnj

(T n

j +λ1

Tamb

)

, ~r( ~U) =

0−L fgmn

j

∣∣∣∣mnj

∣∣∣∣2ρn

j D

−λ2t0ρ0

(T n

j − 1).

Gambar 3.8: Stencil Skema Lax-Wendroff Dua Langkah.

Notasi Unj menyatakan rapat massa (ρ), fluks massa (m) dan (ρT ) di segmen

ke- j pada step waktu ke-n.

Bab 3 Pemodelan Matematika dan Metode · PDF fileBab 3 Pemodelan Matematika dan Metode Numerik 3.1 Model Keadaan Tunak Model keadaan tunak hanya tergantung pada jarak saja. Oleh

Documents