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MODELO DE APOIO DECISO PARA UM PROBLEMA DE
POSICIONAMENTO DE BASES, ALOCAO E REALOCAO DE
AMBULNCIAS EM CENTROS URBANOS: ESTUDO DE CASO NO MUNICPIO
DE SO PAULO
RESUMO
Este artigo apresenta uma proposta de modelo matemtico para o
problema de localizao de bases de
atendimento emergencial, alocao de ambulncias a essas bases em
mltiplos perodos de tempo num horizonte
de planejamento definido e realocao das viaturas entre perodos
subsequentes. Esse problema relevante para
planejamento de sistemas de atendimento emergencial em grandes
centros urbanos, nos quais existem variaes
das condies de trfego e da concentrao de pessoas em diferentes
locais ao longo do dia, fazendo com que os
sistemas emergenciais nesses locais precisem ser dinmicos o
suficiente para acompanhar essas variaes.
Como objetivo tem-se a maximizao de probabilidade de atendimento
de um determinado chamado dentro de
um tempo mximo de cobertura pr-definido. Neste artigo tambm
apresentada uma aplicao prtica do
modelo no sistema de ambulncias do municpio de So Paulo. O
sistema analisado utilizando o modelo
matemtico como uma ferramenta de apoio deciso.
ABSTRACT
In this article a mathematical formulation for the problem of
base location, ambulance allocation and relocation
in multiple periods of time in a planning horizon is proposed.
This problem is relevant for emergency systems
planning, especially in large urban centers where traffic
conditions and population's concentration change during
the day. These characteristics result in the necessity for those
systems of being dynamic enough to follow the
city conditions in terms of traffic and demand. The objective of
the model if to maximize the probability of one
determined call is served within a given covering time. This
paper also presents a case study regarding So
Paulos emergency system. The system is analyzed using the
mathematical model as a decision aiding tool.
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1. INTRODUO
O servio de atendimento urgncia, ou emergncia, compreende os
primeiros socorros e a
remoo de pacientes sujeitos a acidentes, traumas e outras
ocorrncias mdicas que podem
representar risco a vidas humanas. Busca-se oferecer um servio
que maximize a
probabilidade de sobrevivncia dos socorridos, desde o
acontecimento da situao de risco
at a entrada do paciente a uma unidade de sade especializada.
Todo o trabalho realizado
por veculos de transporte e suporte vida.
As chances de sobrevivncia de um indivduo que necessita de
atendimento emergencial,
devido a acidente ou outra ocorrncia, aumentam com a diminuio do
tempo de resposta,
que o tempo gasto entre o acontecimento do acidente e o momento
da chegada de uma
viatura de socorro. Uma parte importante deste tempo o tempo de
deslocamento da viatura
de uma base at o local da ocorrncia.
Um requisito importante desses sistemas o planejamento da malha
de atendimento, definida
pelas localizaes das bases de veculos e pelas viaturas de
atendimento, que por sua vez
impacta o tempo de deslocamento entre as viaturas localizadas
nas bases e os locais dos
acidentes. A operao desses sistemas ainda mais crtica em grandes
centros urbanos, nos
quais as condies de trnsito e os padres de variao da demanda por
atendimento
emergencial resultam numa maior dificuldade de realizar os
atendimentos dentro de tempos
de resposta pequenos.
Este trabalho trata do problema de planejamento das localizaes
de bases e viaturas ao longo
de um perodo de planejamento, considerando as caratersticas
dinmicas de variao espao-
temporal das demandas e dos tempos de deslocamento em centros
urbanos, levando em conta
tambm aspectos estocsticos do atendimento emergencial.
Mais especificamente, prope-se uma ferramenta de planejamento,
representada por um
modelo matemtico, para os gestores de servios de atendimento
mvel pr-hospitalar de
urgncia, no que se refere localizao de bases e alocao de veculos
ao longo de um
horizonte de tempo; tambm chamada de malha de atendimento.
Busca-se com a formulao
matemtica, determinar a malha de atendimento que maximiza a
probabilidade de um
determinado chamado ser atendido dentro de um tempo de resposta
pr-estabelecido,
considerando aspectos dinmicos e estocsticos do problema de
atendimento emergencial.
-
Essa ferramenta considera explicitamente a possibilidade de
realocaes de veculos ao longo
do perodo de planejamento, o que permite frota acompanhar as
variaes espao-temporais
dos padres de demanda e tempos de deslocamento entre as diversas
partes de uma regio.
Este artigo est organizado da seguinte forma: a prxima seo
corresponde a uma reviso
bibliogrfica de modelos matemticos para problemas de localizao
de ambulncias e
instalaes de atendimento emergencial. A seo trs contempla uma
descrio detalhada do
problema tratado neste artigo, bem como a formalizao do modelo
matemtico proposto. A
seo quatro descreve uma aplicao do modelo matemtico em um estudo
de caso no
municpio de So Paulo. Na quinta seo so feitas algumas concluses
acerca dos resultados
obtidos no estudo de caso, da validade do modelo e de possveis
frentes de pesquisa futura.
2. REVISO BIBLIOGRFICA
Os problemas de localizao de veculos para atendimento de
emergncias ocorrem em
muitos casos prticos, por exemplo: localizao de veculos do corpo
de bombeiros, veculos
de apoio mecnico, veculos de suporte medico e embarcaes para
atendimento de acidentes
martimos (Medina, 1996).
Os problemas de localizao de ambulncias esto, em geral,
definidos em grafos no
direcionados com pontos de demanda e pontos candidatos a
receberem bases ou viaturas
(Daskin, 1995). Nos casos reais, a demanda por servios de
atendimento de emergncia
distribuda geograficamente numa regio, contudo, na resoluo de
problemas desse tipo, o
que geralmente se faz determinar o nvel de agregao de demandas
que se deseja (por
distritos ou por bairros, por exemplo) e acumular a demanda de
cada subdiviso num nico
ponto, sendo esse ponto tratado matematicamente no grafo do
problema.
Na definio de problemas de localizao de bases de veculos de
emergncia, assume-se que
determinado ponto de demanda coberto se ele pode ser atendido
num intervalo de tempo
mximo pr-estabelecido. Segundo Rajagopalan et al. (2008), essa
noo de cobertura
amplamente aceita e inclusive utilizada como meio de definio de
nveis de servio. A
demanda dos pontos definida genericamente como um nmero de
ocorrncias por unidade
de tempo originadas dentro do distrito representado pelo ponto.
Alguns autores definem a
demanda como um nmero de ocorrncias mdio tomado num horizonte de
tempo
-
suficientemente grande, outros ainda definem a demanda como uma
frequncia de
ocorrncias computada num perodo de anlise.
O problema de localizao de ambulncias, um caso mais simples do
problema tratado neste
artigo, considera um conjunto de pontos de demanda e um conjunto
de pontos candidatos
dispostos num grafo. Cada arco do grafo entre quaisquer pontos i
e j representa o tempo de
deslocamento entre esses pontos. Os dois primeiros trabalhos
encontrados na literatura foram
propostos por Toregas et al. (1971) e Church e ReVelle (1974).
Nos dois trabalhos define-se
um tempo mximo de atendimento S, acima do qual uma viatura
localizada num ponto
candidato j no consegue cobrir um ponto de demanda i
adequadamente.
Em Toregas et al. (1971) o problema definido como: encontrar o
menor nmero possvel de
viaturas necessrio para que todos os pontos de demanda sejam
cobertos. O modelo resultante
foi denominado Location Set Covering Model (LSCM), que o modelo
clssico do conjunto
de cobertura aplicado ao caso do posicionamento de
ambulncias.
Do ponto de vista dos planejadores de sistemas de ambulncias, a
quantidade de recursos
limitada e, portanto, um parmetro do problema. Uma alternativa
para a formulao LSCM
foi proposta por Church e ReVelle (1974), chamada de Maximal
Covering Location Problem
(MCLP). Sendo fixo e conhecido o nmero de instalaes que se
deseja posicionar, o MCLP
busca maximizar a demanda coberta por essa quantidade
pr-definida.
Grande parte do desenvolvimento posterior dos modelos para o
problema de localizao de
ambulncias foi baseado nessas duas definies. Uma caracterstica
da definio proposta por
Toregas et al. (1971) que, em geral, resulta em um nmero muito
grande de viaturas, o que
do ponto de vista prtico invivel, dadas as restries oramentrias
dos sistemas de
ambulncias. A definio proposta por Church e ReVelle (1974) mais
condizente com as
restries enfrentadas pelos planejadores dos sistemas de
ambulncia, e como consequncia,
os modelos posteriormente desenvolvidos aderem mais a essa
segunda vertente de
modelagem.
Como apontado por Brotcorne et al. (2003), esses modelos
matemticos mais antigos,
propostos para o problema de localizao de ambulncias consideram
definies muito
restritas e genricas para o problema. Esses dois modelos foram
aprimorados, resultando em
-
modelos determinsticos que consideram aspectos mais realistas do
problema, como por
exemplo, o fato da localizao de bases ser independente da
localizao de viaturas, ou o fato
de existirem diferentes tipos de veculos com tempos mximos de
atendimento distintos;
alguns modelos ainda introduziram o conceito de cobertura
mltipla que define um ponto de
demanda como atendido, se ele coberto por mais de uma
viatura.
Uma formulao que pode ser considerada como extenso do modelo
MCLP foi proposta por
Schilling et al. (1979), os quais desenvolveram uma modelagem
para a localizao de
veculos de emergncia de dois nveis: bsicos e avanados. A
formulao proposta pelos
autores, denominada Tandem Equipment Allocation Model (TEAM), no
distingue entre a
localizao das bases e a localizao dos veculos em si e considera
que um veculo avanado
s pode ser posicionado num ponto candidato caso nesse ponto
tambm seja posicionado um
veculo bsico. Nessa abordagem, a localizao de bases e veculos
feita de maneira
conjunta, de modo que se um determinado veculo localizado num
determinado ponto,
decorre que neste ponto dever haver uma base para ele.
Outra extenso do MCLP tambm desenvolvida por Schilling et al.
(1979) o modelo
Facility-Location Equipment-Emplacement Technique (FLEET),
criado para a localizao de
bases de unidades de combate a incndio juntamente com dois tipos
de veculos. Apesar de
ser um modelo desenvolvido para a soluo de problemas de
localizao de bases e veculos
de combate a incndios, seus conceitos se aplicam ao problema de
localizao de
ambulncias. Um ponto do modelo FLEET que difere do modelo TEAM,
que no primeiro
no existe hierarquia entre os veculos, porm considerada
explicitamente na modelagem
uma hierarquia entre as bases e os veculos, ou seja, veculos s
podem ser alocados a pontos
candidatos que contenham bases. Uma reviso detalhada de outros
modelos determinsticos e
probabilsticos para o problema de localizao de ambulncias pode
ser encontrada em
Schilling et al. (1993).
Levando em considerao a estocasticidade do processo de gerao de
demanda e do
processo de atendimento dos acidentados, modelos probabilsticos
foram tambm propostos
com o intuito de aproximar os modelos matemticos realidade do
problema. Os modelos
determinsticos citados no consideram uma caracterstica
importante do problema de
localizao de ambulncias: a possibilidade de um ponto no ser
atendido, pois o veculo que
garantia a sua cobertura est alocado a um chamado. Um modelo
probabilstico que considera
-
essa situao foi proposto por Daskin (1983), denominado Maximum
Expected Covering
Location Problem (MEXCLP). A modelagem proposta pelo autor
considera que uma
ambulncia genrica possui uma probabilidade q de estar
indisponvel para atendimento. Esta
probabilidade recebe o nome de frao de ocupao (busy fraction).
Os autores assumem que
cada ambulncia opera independentemente das demais e assumem que
a frao de ocupao
igual para todas as ambulncias do sistema e independente do
estado do sistema, ou seja,
independe de quantas ambulncias esto ocupadas no momento da
ocorrncia de uma
demanda.
O modelo MEXCLP fornece meios para localizar apenas um tipo de
veculo e no considera
a localizao de bases de veculos separadamente. Em Bianchi e
Church (1988), os autores
desenvolveram um modelo hbrido entre os modelos FLEET e MEXCLP,
denominado
Multiple cover, One unit, FLEET problem (MOFLEET). Esse modelo,
alm de se tratar de
uma formulao probabilstica para o problema, considera
explicitamente a separao entre a
localizao de bases e ambulncias. Contudo, a formulao do MOFLEET
no permite a
localizao de mltiplos tipos de veculos, algo que foi
desenvolvido por Jayaraman e
Srivastava (1995). Para localizar mltiplas instalaes e veculos
os autores desenvolveram
um modelo probabilstico chamado Multiple Equipment Multiple
Cover Facility Location
Allocation Problem (MEMCOLA), o qual permite a localizao de
bases e dois tipos de
veculos, cada qual com uma frao de ocupao especfica.
Outros modelos probabilsticos de localizao de ambulncias foram
propostos por ReVelle e
Hogan (1989). Os autores formularam dois modelos chamados
Maximum Availability
Location Problem I e II (MALP I e MALP II). Assim como o MEXCLP,
o modelo MALP I
considera que a frao de ocupao q a mesma para todos os pontos
candidatos j e
consequentemente igual e independente para todos os veculos.
Sendo assim, pode-se
calcular o nmero mnimo de ambulncias necessrias para cobrir um
ponto de demanda i
com uma probabilidade . A formulao do MALP I considera esse
valor explicitamente em
sua formulao, e busca maximizar a demanda coberta com uma
probabilidade .
Na formulao do MALP II, a premissa de fraes de ocupao idnticas
para todos os
pontos candidatos no tomada. Em vez disso, os autores associam
uma frao de ocupao
qi para cada ponto de demanda i, que corresponde probabilidade
de uma ambulncia
localizada na vizinhana do ponto i estar ocupada, sendo que
vizinhana do ponto i o
-
subconjunto de pontos localizados a menos de um raio mximo de
cobertura em relao ao
ponto. Essas fraes de ocupao locais proporcionam estimativas
mais realistas da
probabilidade de uma ambulncia randomicamente selecionada estar
ocupada. Dessa
maneira, calcula-se para cada ponto de demanda i um nmero mnimo
de ambulncias
necessrias bi para que o ponto i seja coberto com probabilidade
.
Um avano maior nos conceitos presentes nos modelos MALP I e MALP
II foi proposto por
Marianov e ReVelle (1996), que consideram uma vizinhana de um
ponto de demanda i
como um sistema isolado com demandas e servidores funcionando
num sistema de filas do
tipo M/G/s-loss. So utilizados resultados da Teoria das Filas
para fornecer melhores
estimativas das fraes de ocupao qi. Esse modelo foi denominado
Queuing Maximal
Availability Location Problem (Q-MALP).
Uma abordagem probabilstica do modelo FLEET tambm foi formulada
por ReVelle e
Marianov (1991). O Probabilistic FLEET model (P-FLEET) procura
localizar bases,
caminhes e bombas independentemente, de maneira a buscar uma
maximizao da cobertura
da demanda com probabilidade . Para cada ponto de demanda i,
calculam-se fraes de
ocupao locais para os diferentes tipos de veculos e, com base
nesses valores, calcula-se o
nmero de servidores necessrios para cobrir o ponto de demanda i
com probabilidade , para
cada tipo de veculo. O P-FLEET um modelo bastante completo e
possui uma caracterstica
interessante para representar o problema prtico pelo fato de
considerar um ponto coberto s
se o mesmo for coberto com probabilidade por mais de um tipo de
veculo. Ele possui a
desvantagem de permitir a alocao de apenas um veculo de cada
tipo por base. Os autores
apresentam tambm uma formulao alternativa para o P-FLEET,
denominada Probabilistic
Facility-Location Equipment-Emplacement Technique with Multiple
Co-location (P-FLEET-
MC), a qual permite relaxar essa restrio permitindo a localizao
de mltiplos veculos por
base.
Outras abordagens probabilsticas foram propostas baseadas no
modelo do Hipercubo
(LARSON, 1974) que permite um tratamento detalhado das
caractersticas estocsticas do
problema. Dentre esses vrios desdobramentos do modelo do
Hipercubo destaca-se o trabalho
de Batta et al. (1989) que utilizam o modelo proposto por Larson
(1974) em conjunto com o
modelo MEXCLP de Daskin (1983).
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Nos ltimos anos, avanos na capacidade de processamento de
computadores e o
desenvolvimento de algoritmos de soluo eficientes permitiram o
desenvolvimento de
modelos que consideram caractersticas dinmicas do problema, como
a variao da demanda
e dos tempos de deslocamento entre pontos durante um ciclo de
operao do sistema. Esses
modelos, seguindo a nomenclatura dada por Brotcorne et al.
(2003), so os modelos
dinmicos do problema, os quais resultam em planos de localizao e
alocao ao longo de
horizontes de planejamento.
Um trabalho que considera essas caractersticas foi desenvolvido
por Gendreau et al. (2001),
e atende ao problema de realocao de veculos especificamente. A
formulao proposta
pelos autores, denominada Redeployment Problem t (RPt) pode ser
considerada como uma
extenso do modelo DSM (BROTCORNE et al., 2003).
Outra abordagem para as questes de realocao foi proposta por
Schmid e Doerner (2010).
O modelo formulado foi denominado pelos autores de Multi-period
Double Standard Model
(mDSM). Trata-se de uma formulao determinstica multi-perodo que
considera alm das
premissas de Gendreau et al. (2001), que dependendo do perodo t
considerado, os valores
dos tempos de viagem so diferentes. Isso retrata condies de
trfego de regies densamente
povoadas como grandes centros urbanos. Assim, os arcos do grafo,
no qual o problema de
localizao de ambulncias definido, passam a possuir parmetros
dinmicos tijs de tempo
de viagem entre os pontos i e j.
3. CARACTERIZAO DO PROBLEMA E MODELO MATEMTICO
Os sistemas de ambulncias so caracterizados pelo despacho de
veculos de emergncia, que
atendem acidentes, traumas e outras situaes de risco sade e
vidas humanas. Busca-se
maximizar a probabilidade de sobrevivncia de um indivduo
acidentado por meio da
minimizao do tempo de chegada ao local do acidente, pelo rpido
diagnstico das equipes
de resgate que operam as viaturas, pela aplicao dos
procedimentos mdicos corretamente e
pela minimizao do tempo de transporte do local do acidente at o
centro de sade mais
prximo. Dentre esses objetivos citados, a minimizao do tempo de
chegada se relaciona
com o planejamento da localizao de bases de atendimento e com a
alocao de viaturas a
essas bases. Segundo Singer e Donoso (2008), esses sistemas
podem ser vistos como sistemas
-
de filas, nos quais os chamados representam a demanda ou o
processo de chegada, e os
servidores so representados pelos veculos e suas equipes.
A posio das ambulncias de um sistema de atendimento de emergncia
impacta
especificamente o tempo de resposta do sistema, sendo um fator
que condiciona o
desempenho do mesmo. Sendo assim, busca-se uma formulao
matemtica que represente o
problema de encontrar, em vrios perodos, a localizao de bases,
alocao de veculos a
essas bases, e as consequentes realocaes de veculos entre os
perodos que proporcione o
maior nvel de servio possvel, respeitando restries mnimas de
viabilidade e
disponibilidade de recursos (bases e viaturas), sendo o nvel de
servio definido como a
frao da demanda que se espera atender em tempos inferiores
tempos de cobertura pr-
definidos para cada tipo de veculo do sistema. Outra definio
para o nvel de servio a de
cobertura esperada, ou probabilidade de cobertura: dado um tempo
de cobertura para cada
tipo de veculo do sistema, qual a frao da demanda que
possivelmente ser atendida num
tempo inferior a este.
Para a caracterizao do problema, deve-se considerar tambm que:
(i) existe uma quantidade
finita de bases e ambulncias de dois tipos; (ii) cada veculo
possui um parmetro de
cobertura associado que define, em termos temporais, sua
capacidade de cobertura; (iii) so
conhecidas as distribuies espao-temporais das demandas pelos
servios de atendimento de
cada tipo de viatura em uma regio; (iv) so conhecidos tambm os
padres de variao dos
tempos de deslocamento nessa regio; e (v) uma vez que entre
perodos subsequentes podem
haver realocaes de ambulncias, deseja-se tambm minimizar o tempo
de percurso dessas
realocaes de acordo com um fator de proporcionalidade. Dessa
forma, busca-se encontrar
um plano de operao capaz de maximizar, em mltiplos perodos de um
horizonte de
planejamento, a cobertura esperada do sistema, e ao mesmo tempo
capaz de minimizar as
realocaes de viaturas necessrias entre perodos subsequentes de
acordo com um fator de
proporcionalidade. Esse plano deve respeitar as restries: (i) em
todos os perodos, todos os
pontos de demanda devem ser cobertos por uma viatura de cada
tipo; (ii) em todos os
perodos, a quantidade de bases e ambulncias constante; (iii) em
todos os perodos, a
quantidade de veculos posicionados em uma base no deve
ultrapassar a capacidade de
acomodao de viaturas dessa base; (iv) o plano de operao deve ser
conexo, ou seja, as
realocaes resultantes no ltimo perodo do horizonte de
planejamento devem resultar a
alocao de viaturas do primeiro perodo, sendo cclico o plano
completo.
-
O problema tratado definido num grafo G no direcionado, com um
conjunto de pontos de
demanda iV e um conjunto de pontos candidatos jW a receberem
bases e veculos;
assume-se que WV, o que verdadeiro na maioria dos casos prticos.
Esses pontos
constituem uma simplificao da realidade uma vez que representam
uma determinada
localizao geogrfica concentrada em um nico ponto. A determinao
do nvel de
agregao da demanda que resulta nos pontos i depende da preciso
desejada na localizao
de bases. Esse nvel de agregao dos pontos de demanda considerado
o mesmo para os
pontos candidatos. O que define se um ponto candidato a sua
capacidade de receber uma
base de veculos, por exemplo, pontos que representam distritos
com instalaes do corpo de
bombeiros, hospitais prximos, ou zonas muito isoladas e
distantes de um municpio. So
considerados tambm perodos de tempo t={0,1,2,...,t,...,T}, sendo
a soma dos perodos t
equivalente ao horizonte de planejamento para o qual sero
definidas as localizaes de bases
e alocaes de ambulncias.
Para cada perodo t, define-se deterministicamente o tempo de
deslocamento entre dois
pontos i{VW} e j{VW}, tijs . Com isso define-se o grafo no
direcionado G.
WVjWV|is W ; AV; NANG tijtt ; , (1)
A formulao definida para dois tipos de veculos k, bsicos (Basic
Life Support - BLS) e
avanados (Advanced Life Support - ALS). O ndice k igual a um
utilizado para representar
veculos do tipo BLS, e o ndice k igual a dois utilizado para
representar veculos do tipo
ALS. Como condio mnima de desempenho do sistema, deseja-se que,
em todos os
perodos, todos os pontos de demanda possuam pelo menos uma
unidade BLS localizada num
ponto candidato j a menos de um tempo de deslocamento inferior a
r1; e deseja-se tambm
que todos os pontos de demanda possuam pelo menos uma unidade
ALS localizada num
ponto candidato j a menos de um tempo de deslocamento inferior a
r2. Em geral, um sistema
de ambulncias possui mais veculos do tipo BLS do que ALS, o que
resulta que na maioria
dos casos prticos r1r2.
Cada ponto de demanda i possui uma demanda ktid , em frequncia
de chamados por unidade
de tempo, em cada perodo t para cada tipo de veculo k.
Definem-se tambm os conjuntos
kt
iW , kt
jV e kt
iN conforme as expresses (2), (3) e (4).
-
{1,2} ; | krsWjW ktijkti (2)
{1,2} ; | krsViV ktijktj (3)
{1,2} ; | krsVzN ktizkti (4)
O modelo matemtico tem o intuito de localizar, no grafo G, pz
bases e alocar, nos diversos
perodos de tempo t, pB ambulncias bsicas e pA ambulncias
avanadas. Considera-se
tambm que em cada ponto candidato j, em qualquer instante de
tempo, no podem ser
alocados mais do que Cj veculos.
As bases devem ser localizadas nos pontos candidatos e, em cada
perodo, as viaturas devem
ser alocadas as bases. Para isso definem-se as variveis de
deciso jz , kt
jy e wkt
ix de acordo
com as expresses (5), (6) e (7).
contrrio caso , 0
candidato ponto no base uma aberta se , 1 Wjz j
(5
)
tWjkyktj perodo no , ponto no osposicionad tipodo veculosde
nmero
(6
)
contrrio caso, 0
perodo no tipodo veculospor coberto demanda de ponto o se, 1
tkwixwkti
(7
)
Simultaneamente questo do posicionamento de bases e ambulncias,
existe o problema de,
sendo diferente a alocao de viaturas entre perodos subsequentes,
movimentar as viaturas
entre esses perodos, partindo da alocao de um perodo para o
prximo de maneira a
minimizar o tempo total de percurso de todas as ambulncias; esse
o problema da
realocao. Considerando essa situao definem-se as variveis de
deciso ktjjr ' :
1 e perodos os entreW paraW de realocados veculosde nmero '
ttj'jkrkt
jj (8)
De maneira anloga ao modelo Q-MALP desenvolvido por Marianov e
ReVelle (1996),
consideram-se duas vizinhanas do ponto i, definidas para cada
parmetro de cobertura, r1 e
r2, ou seja, para cada ponto i, em cada perodo de tempo t e para
cada tipo de veculo k,
define-se uma vizinhana. Admite-se que essas vizinhanas
funcionam como sistemas de
filas M/G/s-loss, ou seja, um sistema de filas com s servidores
tal que: a chegada de clientes
ocorre de acordo com um processo de Poisson com mdia 1/, o
servio de atendimento
ocorre com um tempo definido segundo uma distribuio de
probabilidade genrica com
mdia 1/, e quando um cliente entra no sistema e no existem
servidores disponveis ele no
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atendido e sai do sistema, no havendo a formao de filas. Para
cada uma dessas
vizinhanas, em cada perodo de tempo t, calculada uma frao de
ocupao q, que equivale
probabilidade de uma ambulncia randomicamente selecionada estar
ocupada. Como o
modelo trata de dois tipos de veculos, para cada ponto de
demanda i em cada perodo t so
consideradas duas fraes de ocupao: uma referente cobertura por
veculos BLS
(vizinhana relativa ao parmetro r1) e outra referente cobertura
por veculos ALS
(vizinhana relativa ao parmetro r2). Essas fraes de ocupao t
irkq , podem ser calculadas
segundo a expresso (9).
kti
ti
k
Wj
kt
j
Nz
tk
z
t
iry
dt
q24
1
,
, (9)
Sendo que t o tempo mdio de atendimento em horas, ktzd a
demanda, expressa em
chamados por dia, do ponto z por veculos do tipo k durante o
perodo t, e ktjy a quantidade
de veculos do tipo k localizados no ponto j no perodo t. O
divisor 24 serve apenas para
compatibilizar a unidade de tempo da demanda e do tempo de
atendimento. Considerando
que a soma das demandas, expressas em frequncias de chamadas por
dia, equivalente a
uma taxa de gerao de clientes e que o inverso do tempo mdio de
atendimento, definido em
horas, equivalente a uma taxa de atendimento de servidores em
sistemas de filas, o
quociente entre eles anlogo a uma taxa de congestionamento do
sistema kti . Alm disso,
reescrevendo o somatrio de ktjy em todos os pontos candidatos
jkt
iW como uma varivel
kt
zb que representa a quantidade total de ambulncias do tipo k
localizadas no perodo de
tempo t na vizinhana ktiW do ponto i, a expresso (11) pode ser
reescrita conforme a
expresso (10).
tk
i
tk
i
Wj
t
j
tk
i
tk
it
irby
q
ti
k ,
,
,1,
,
,
1
(10)
Essas taxas de congestionamento kti so utilizadas, considerando
o modelo de filas M/G/s-
loss para a vizinhana ktiW do ponto i, para calcular a
probabilidade de um servidor
selecionado randomicamente estar ocupado. Considerando uma taxa
genrica de
congestionamento de um sistema de filas M/G/s-loss, a
probabilidade p(w) de w servidores
estarem ocupados dada pela expresso (11).
-
ww
w
wwp
!1...
!211
!1
2 (11)
Com a expresso (11) possvel calcular, num sistema de filas, a
probabilidade de
atendimento E(w), que simplesmente a probabilidade complementar
de p(w), representando
a probabilidade de haver ao menos um servidor disponvel no
momento de ocorrncia de uma
demanda.
wpwE 1 (12)
Assim, a cobertura incremental wiC obtida por haver w ao invs de
(w-1) veculos atendendo
chamados dentro do sistema pode ser obtida de acordo com a
expresso (13), que
desenvolvida algebricamente, considerando especificamente as
vizinhanas ktiW , resulta nas
coberturas incrementais wktiC dadas pela expresso (14).
1 wEwECw (13)
tkw
iwtk
i
tk
i
tk
i
wtk
i
wtk
i
tk
i
tk
i
wtk
i
C
w
w
w
w ,,,2,,
,
1,2,,
1,
!1...
!211
!1
!11...
!211
!11
(14)
Alm disso, seguindo os conceitos dos modelos MALP I e II
propostos por ReVelle e Hogan
(1989), pode-se calcular com o uso da expresso (11) a quantidade
ktiM que a quantidade
mnima de veculos do tipo k de modo que a probabilidade de todos
os veculos desse tipo
estarem ocupados na vizinhana ktiM do ponto i no perodo t seja
inferior a (1-).
1
!1...
!211
!1
1 2 kti
iii
kti
i
Mktkti
ktkt
Mktktikt
i
M
MMp (15)
Assim, considerando todos os pontos de demanda do conjunto V,
todos os perodos do
conjunto e os dois tipos de veculo, k=1 e k=2, que definem dois
tipos de vizinhana,
possvel calcular a cobertura esperada em um sistema de
atendimento emergencial pela
expresso (16).
t k Vi
M
w
tkw
i
tkw
i
tk
i
tki
xCd2
1 0
,,,,,
,
(16)
-
Vale ressaltar que a cobertura esperada do sistema, dada pela
expresso (16), limitada
superiormente pelo produto entre a demanda total do sistema e a
probabilidade , uma vez
que a quantidade w de ambulncias do tipo k que cobrem um ponto i
em um perodo de
tempo t sempre menor ou igual a ktiM .
O modelo proposto busca maximizar a cobertura esperada do
sistema, calculada conforme a
expresso (16), ao mesmo tempo em que busca minimizar o tempo
total de realocao de
viaturas entre perodos subsequentes. Esse tempo total de
realocao, que depende dos
tempos de deslocamento tijs e das variveis de deciso kt
jjr ' , pode ser calculado segundo a
expresso (17).
t Wj Wj k
kt
jj
t
jj rs'
2
1
'' (17)
O modelo matemtico para o problema de localizao de bases, alocao
de ambulncias em
mltiplos perodos e realocao entre perodos subsequentes, proposto
neste artigo, pode ser
definido conforme as expresses (18) a (32). A sua resoluo
permite determinar um plano de
operao num horizonte pr-definido de tempo, ou seja, resulta na
localizao de bases que
deve ser estabelecida, na alocao de viaturas que varia nos
mltiplos perodos de tempo e
nas realocaes necessrias entre perodos subsequentes.
t Wj Wj k
kt
jj
t
jj
k Vi
M
w
tkw
i
tkw
i
tk
i rsxCd
tki
'
2
1
''
2
1 0
,,,,,
,
[max] (18)
Sujeito a:
}2,1{,,, 1,
,
ktViytk
iWj
tk
j (19)
}2,1{,,,
,
, 0
,,
ktVixy
tki
tki
M
w
tkw
i
Wj
kt
j (20)
},...,2,1{},2,1{,,, ,,,1,, tkitkw
i
tkw
i MwktVixx (21)
}2,1{,,, , ktWjyzp tkjjk (22)
}2,1{},{,, )1(,
kTtWjyrry tkjWi
kt
ji
Wi
kt
ij
kt
j (23)
}2,1{,, 1,,
kWjyrry kjWi
kT
ji
Wi
kT
ij
Tk
j (24)
Wj
zj pz
(25)
-
tpyWj
B
t
j , ,1
(26)
tpyWj
A
t
j , ,2
(27)
tWjCyy jt
j
t
j ,, ,2,1
(28)
{1,2},, inteiro, 0, ktWjy tkj (29)
},...,2,1,0{},2,1{,,, }1,0{ ,tkiwkt
i MwktVix (30)
Wjz j , }1,0{ (31)
}2,1{,,)',( inteiro, 0,' ktWjjrtk
jj (32)
A funo objetivo (18) busca a maximizao da cobertura esperada
para os pontos de
demanda em todos os perodos de tempo, ao mesmo tempo busca
minimizar as realocaes
de veculos de maneira proporcional distncia de realocao, sendo a
constante de
proporcionalidade igual ao parmetro . Para um detalhamento sobre
o parmetro de
proporcionalidade do tempo total de realocao sugere-se consultar
Schmid e Doerner
(2010).
A restrio (19) assegura o nvel de servio mnimo do sistema, ou
seja, garante que em
todos os perodos, todos os pontos de demanda devem ter pelo
menos uma ambulncia BLS
alocada a uma base a menos de um raio de cobertura r1, e tambm
pelo menos uma
ambulncia ALS alocada a uma base a menos de um raio de cobertura
r2. As expresses (20)
e (21) garantem consistncia das definies das variveis de deciso
wktix e kt
jy . As restries
(22) estabelecem que veculos s podem ser alocados a pontos
candidatos que contenham
bases localizadas neles.
As restries (23) e (24) so equivalentes a equaes de
balanceamento de fluxo de
ambulncias numa base. Elas garantem a consistncia na definio das
realocaes, de modo
que em um determinado perodo t, a quantidade de viaturas do tipo
k alocadas em uma base
localizada em um determinado ponto j igual a quantidade de
viaturas k neste ponto no
perodo anterior, mais a quantidade de viaturas do tipo k
realocadas de outras bases para essa
base j no perodo anterior, menos o nmero de viaturas do tipo k
realocadas dessa base j para
outras bases no perodo anterior. Vale ressaltar que as restries
(24) garantem uma
continuidade do plano de operao resultante da soluo do modelo
matemtico, de maneira
-
que a realocao do ltimo perodo t=T deve resultar na alocao do
primeiro perodo do
plano de operao t=1.
As restries (25), (26) e (27) so, respectivamente, as restries
da quantidade de bases que
devem ser localizadas, e as restries das ambulncias bsicas e
avanadas que devem ser
alocadas ao longo dos perodos. As restries (28) limitam, para
todos os perodos, a
quantidade de veculos que pode ser alocada em uma determinada
base. O domnio das
variveis de deciso definido pelas equaes (29), (30), (31) e
(32).
Na expresso (1) o grafo G foi definido considerando os tempos de
deslocamento como
grandezas determinsticas e conhecidas a priori. Uma abordagem
alternativa, como
apresentado em Marianov e ReVelle (1996), seria a considerao de
tempos de deslocamento
como variveis aleatrias com distribuio de probabilidade
conhecida; dessa forma os
tempos de deslocamento entre os pontos do grafo podem ser
definidos considerando um nvel
de confiana . Pode-se ilustrar essa definio probabilstica dos
tempos de deslocamento
assumindo que cada varivel tijs siga uma distribuio normal com
mdia tijs e desvio padro
t
ij ; sendo que os tempos de deslocamento podem ser definidos de
acordo com a expresso
(33).
t
ij
tij
t
ij zss .* (33)
Tal que z o valor da funo cumulativa normal de probabilidade que
satisfaz o nvel de
confiana . Essa definio dos tempos de deslocamento estendida
definio dos
conjuntos de pontos ktiW , kt
jV e kt
iN .
{1,2} ; .*| krzssWjW ktijtijtijkti (34)
{1,2} ; .*| krzssViV ktijtijtijktj (35)
{1,2} ; .*| krzssVzN ktijtijtijkti (36) A considerao de tempos
de deslocamento determinsticos ou probabilsticos no altera o
restante do modelo, impactando somente no clculo de t
ijs e na definio dos conjuntos.
O modelo pode ser considerado original no sentido em que no h
outro idntico na literatura.
Porm, ele pode tambm ser visto como uma extenso do modelo Q-MALP
proposto por
Marianov e ReVelle (1996), utilizando alguns dos conceitos
apresentados em Schmid e
-
Doerner (2010) relativos realocao das ambulncias, apresentando
as seguintes
contribuies: (i) considerao de mltiplos perodos de planejamento
e consequente
considerao do problema de realocao entre perodos subsequentes,
(ii) considerao da
caracterstica dinmica da questo, no sentido em que as demandas e
tempos de deslocamento
so diferentes para cada perodo, (iii) distino entre a localizao
de bases e a alocao de
viaturas, (iv) considerao de mltiplos tipos de veculos e
diferentes raios de cobertura para
cada um e (v) considerao de restries de capacidade nas bases.
Maiores detalhes sobre o
modelo matemtico podem ser encontrados em Andrade (2012).
4. APLICAO DO MODELO
O modelo matemtico proposto foi aplicado para avaliao e melhoria
do Sistema de
Atendimento Mvel Pr-hospitalar de Urgncia do municpio de So
Paulo (SAMU-SP),
sendo sua soluo realizada por um algoritmo de soluo baseado na
meta-heurstica de
Colnia Artificial de Abelhas proposto por Andrade (2012). O
municpio apresenta um alto
adensamento demogrfico nas regies centrais durante os perodos
diurnos, sendo esse
adensamento distribudo nos perodos noturnos, alm disso, a malha
viria da cidade
diariamente apresenta congestionamento de veculos.
O SAMU-SP conta com 140 viaturas divididas entre viaturas bsicas
(BLS) e avanadas
(ALS). So empregadas bases fixas e bases mveis de atendimento.
As bases fixas so
edificaes alugadas espalhadas na cidade ou cedidas por outros
rgos pblicos como
estaes do corpo de bombeiros e hospitais. As bases mveis, ou
bases modulares, so
edificaes de montagem e desmontagem rpida (cerca de dois dias)
que ficam localizadas
em geral em praas ou qualquer local pblico. Uma das finalidades
bsicas das bases mveis
assegurar atendimento a eventos especiais com grande concentrao
de pessoas como, por
exemplo, eventos esportivos; contudo, sua rapidez de montagem e
desmontagem, faz com
que sejam tambm uma opo para as bases fixas.
Nesta aplicao, a cidade foi dividida em 96 distritos, todos
candidatos a receberem bases e
viaturas, que representam os pontos de demanda e
consequentemente os ns da rede de
atendimento, sendo que 47 desses distritos contm bases fixas de
atendimento e outros sete
distritos contm bases mveis; contudo existem ao todo 13 bases
mveis que so empregadas
pelo SAMU-SP. Ressalta-se que nesse estudo de caso foram
identificados distritos contendo
mais de uma base, resultando que o nmero total de bases do
SAMU-SP diferente do
-
nmero de distritos que contm bases considerando a configurao
atual. Foi considerado um
horizonte de planejamento de uma semana dividido em 21 perodos
(3 perodos ao longo de 7
dias).
O procedimento de recebimento e triagem de chamados do SAMU-SP
no distingue entre
chamados que necessitam de viaturas do tipo bsico e chamados que
necessitam de viaturas
do tipo avanado; assim, as demandas foram definidas apenas em
relao a um tipo de
veculo; o mesmo foi feito com relao aos tempos de cobertura r1 e
r2 do modelo
matemtico, ou seja, foi feita uma simplificao do modelo
considerando apenas um
parmetro de cobertura tc. tendo em vista a no disponibilidade de
dados das demandas de
chamados por tipo.
Inicialmente, foi feita uma avaliao da configurao atual do
sistema de atendimento do
SAMU-SP, no que diz respeito localizao de bases. Foram
realizadas tentativas de soluo
do problema considerando a configurao atual de bases, variando o
tempo de cobertura,
entre 15 e 30 minutos, e assumindo valores de duas, trs e quatro
horas para o tempo de
atendimento. Constatou-se que a configurao atual apresenta
solues viveis apenas a partir
de um tempo de cobertura de 27 minutos.
Uma possvel melhoria seria um melhor emprego das 13 bases mveis
que o SAMU-SP j
possui. Foram realizados testes considerando as 47 localizaes
das bases fixas atuais e as
localizaes das sete bases mveis atuais, sendo que a localizao
das outras seis bases
mveis foi determinada pela soluo do modelo matemtico. Os
resultados so apresentados
na Figura 1 e mostram que o reposicionamento de seis bases do
SAMU-SP pode diminuir o
tempo mximo de cobertura do sistema de 27 para 16 minutos com
probabilidade superior a
99%. Isso significa uma melhoria de desempenho apenas com o
melhor emprego dos recursos
atuais.
Alm dessa avaliao do sistema atual, foram realizadas outras
anlises variando a
quantidade de bases e ambulncias do sistema e os tempos de
cobertura e de atendimento.
Para essas anlises, foram considerados dois tipos de cenrio, um
que considera as 47
localizaes de bases fixas atuais, denominadas de instncias de
teste no livres; e outro que
considera 100% das bases como mveis, denominado de instncias de
testes livres podendo
ser posicionadas livremente pela soluo do modelo matemtico.
Foram testadas instncias
-
considerando tempos de cobertura de 15, 10 e cinco minutos, e
tempos de atendimento de
duas, trs e quatro horas; neste artigo so apresentados apenas os
resultados mais relevantes.
Figura 1: Resultados da avaliao de melhoria da configurao atual
de bases do SAMU-SP
A Figura 2 apresenta os resultados considerando a situao de
testes no livres, e um tempo
de cobertura de 15 minutos. Observa-se que existem solues viveis
para o problema mesmo
considerando pequenas quantidades de bases e ambulncias; porm,
com cobertura esperada
da ordem de 80% a 85%, dependendo do nmero de bases. Tambm
possvel verificar que,
para todas as curvas apresentadas, os ganhos marginais de
cobertura obtidos com o aumento
da quantidade de ambulncias no sistema so decrescentes com a
quantidade de viaturas.
Essa constatao est de acordo com as afirmaes de Daskin (1983).
Alm disso, possvel
verificar que a partir de 100 ambulncias no sistema,
independentemente da quantidade de
bases, o aumento no nmero de viaturas contribui pouco para o
aumento de cobertura
esperada.
A Figura 3 apresenta uma comparao entre os resultados das
instncias de testes livres e no
livres considerando um tempo de cobertura de 10 minutos e um
tempo de atendimento de
duas horas. Pode-se observar que solues viveis para as instncias
no livres so
encontradas com uma quantidade de bases a partir de 80 e uma
quantidade de ambulncias a
partir de 70. No caso ds instncias livres, possvel encontrar
solues viveis com uma
menor quantidade de bases e ambulncias; so encontradas solues
com 70 bases e 70
ambulncias. Esse resultado evidencia que existem vantagens em
considerar 100% das bases
mveis, podendo ser posicionadas em qualquer distrito.
-
Figura 2: Resultados das instncias de teste no-livres
considerando 15 minutos como tempo
de cobertura e duas horas como tempo de atendimento
Os resultados considerando um tempo de cobertura de 5 minutos
apresentam solues viveis
apenas com 96 distritos cobertos por bases, ou seja, solues em
que todos os distritos
contm bases; dessa forma, independe se a instncia considera 100%
das bases como mveis
ou no. Os resultados mostram que possvel encontrar solues,
considerando um tempo de
atendimento igual a duas horas e com 140 ambulncias, com
cobertura superior a cerca de
92%.
Figura 3: Comparao entre os resultados das instncias de testes
livres no-livres
considerando 10 minutos como tempo de cobertura e duas horas
como tempo de atendimento
-
5. CONCLUSES
Neste trabalho foi proposto um modelo matemtico indito para o
problema denominado
neste artigo de Problema de localizao de bases, alocao de
veculos em mltiplos
perodos, e realocao entre perodos subsequentes. Esse modelo
abrange os seguintes
pontos do problema de planejamento de sistemas de atendimento
emergencial: determinao
do posicionamento de bases e da correspondente alocao de veculos
feita de forma
independente, possibilidade de considerao de mais de um tipo de
veculos para diferentes
tipos de demanda, diferentes tempos de cobertura para cada tipo
de veculo, considerao de
capacidade de acomodao de viaturas nas bases e disponibilidade
finita de recursos de
atendimento (bases e viaturas), modelagem probabilstica da
cobertura, considerao dos
padres de variao espao-temporal da demanda e considerao das
variaes temporais dos
tempos de deslocamento entre os diversos locais de uma regio.
Pode-se considerar que esse
um modelo bastante abrangente podendo ser aplicado a diversas
situaes.
O estudo de caso do municpio de So Paulo foi realizado
considerando o SAMU-SP, suas
bases e viaturas. Os testes foram feitos levando em conta a
variao de diversos parmetros:
nmero de bases e ambulncias, tempo de atendimento de cada
chamado e tempo de
cobertura desejado. Os resultados mostram que possvel chegar a
um tempo de cobertura de
16 minutos com probabilidade acima de 95% considerando a
quantidade de recursos
existentes, desde que melhor empregados em relao configurao
atual. Pode-se ainda,
com um acrscimo do nmero de bases at um total de 96, chegar a um
tempo de cobertura
de cinco minutos com probabilidade prxima de 95%. Os resultados
tambm mostram que
existem vantagens em operar com bases mveis, que podem ser
reposicionadas em pouco
tempo, ao invs de bases fixas.
Um dos potenciais aprimoramentos seria a considerao do modelo do
Hipercubo na
definio do modelo matemtico, que talvez permitisse a considerao
da caracterstica
estocstica do problema com mais detalhes, sendo esse um
potencial tema para pesquisa
futura. Mesmo na sua forma atual, o modelo matemtico apresentado
neste artigo pode ser
implementado pelos planejadores de sistemas de atendimento
emergencial como um modelo
de apoio deciso, fazendo com que seus tenham seus recursos
otimizados, maximizando o
nvel de servio para os usurios e assim as chances de salvamento
de vidas.
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