NOTAS DE CLASE 15 DE MAYO DE 2015La sexta sesin de clase, se
llev acabo en uno de los salones del colegio Capellana. Contaba con
la presencia de la profesora Carmen Samper, quien era la encargada
de dirigir la sesin de clase, la profesora Patricia Perry y la
monitora del grupo, Andrea Ortiz, quienes eran acompaantes de la
profesora Carmen. Tambin asistieron 4 profesores del colegio:
Andrea, Miguel, Dilia y XiomaraLa profesora Carmen dio inicio a la
clase preguntando sobre la solucin del ejercicio b de la tarea
planteada:Determine si la respuesta a la pregunta es S, No o No se
sabe. Justifique su repuesta usando solo elementos del sistema
terico conformado en las sesiones anteriores.b) es un punto tal que
Es punto medio del Miguel comenta que realizo la tarea con Xiomara
y que ellos decidieron que no se sabe. A pesar de que Miguel y
Xiomara trabajanron juntos, las construcciones que cada uno propona
eran diferentes. Xiomara comenta la construccin que ella propona:
1. Hace una circunferencia centrada en .2. Coloca los puntos y en
la circunferencia.
3. Traza el , y
De esta forma se obtena un tringulo issceles. (La propuesta
descrita fue comentada en la clase, pero no fue construida con
geometra dinmica). Miguel hizo un tringulo cualquiera y el
arrastraba hasta que fuera issceles. La profesora Carmen cuestiona
que porque con el arrastre. Lo siguiente lo escribi la profe Carmen
en el tablero, aludiendo a las dos construcciones realizadas, la
cual una es de Xiomara y la otra es de Miguel. Construccin robusta
(Xiomara)Construccin blanda (Miguel)
con arrastre encuentra
La profesora Carmen comenta al respecto sobre las construcciones
propuestas por Xiomara y Miguel: los dos terminaron haciendo
triangulo, en que difieren las construcciones, la de Miguel es una
construccin blanda, la de Xiomara es una construccin robusta. Luego
de esto, cuando Xiomara estaba haciendo la tarea, empez a explorar
en las figuras, de esa exploracin Xiomara concluye que: se
convierte en punto medio siempre y cuando en la circunferencia se
forma un dimetro. La profesora Carmen comenta que si la respuesta
es no se sabe, se debe justificar en qu casos si se cumple y en qu
casos no. 1 caso: se cumple si es dimetro de la circunferencia. 2
caso: no se cumple si no es dimetro de la circunferencia. A partir
de esto, la profesora Carmen le pide a Xiomara que diga cul sera la
conjetura segn la construccin que ella realiza. Xiomara intenta
realizar una conjetura: Si el segmento , (Xiomara no haba escrito
de manera formal la conjetura) Para solucionar la situacin, la
profesora Carmen les da el sistema terico para que se vayan guiando
de lo que se tiene y poder llevar a cabo una justificacin. La
conjetura de Xiomara la formula la profesora Carmen, la cual
quedara: si esta entre y entonces es punto medio del . Por otro
lado se tendra: si no colineales entonces no es punto medio. La
profesora Carmen pregunta a Miguel que porque la respuesta es no se
sabe.Miguel responde que si no son colineales determinan un
tringulo. La profesora Carmen sugiere buscar otra forma de
escribirlo cuando se forma un tringulo issceles, para ello, vuelve
y les dice que se pueden apoyar en el marco terico. Por otro lado,
la profesora Carmen crea una justificacin de lo realizado por
Miguel y Xiomara, la cual sera:Si y entonces por definicin de punto
medio, es punto medio del segmento. Una manera ms formal de hacerlo
sera: Qu seQu usoQu concluyo
1, Definicin de punto medio es punto medio del segmento .
La profesora Carmen cuestiona cmo se sabe que se usa la
definicin de punto medio?, a lo cual dice que es porque se mira en
el sistema terico, en el cual esta definicin de punto medio y esta
cuadra perfecto con los datos que se tienen; luego, haba de como al
estudiante se le puede facilitar el uso del sistema terico, dado
que si el estudiante ve algo que se encuentra relacionado con estos
datos, el estudiante va a decir: aqu profesora encontr la definicin
de punto medio. La idea es que lo digan usando la teora. La
anterior justificacin, sera la justificacin para el s, cul sera la
justificacin para no. Se tiene la siguiente conjetura para el no:Si
no colineales y entonces es vrtice de un tringulo issceles. Qu seQu
usoQu concluyo
1. no colinealesDefinicin de TringuloExiste el
2. Existe el Definicin de Tringulo issceles El es issceles
Ya se encuentra resuelto el problema planteado, pero es posible
llegar a otra solucin a partir de las dos partes de la respuesta no
se sabe, por un lado si el punto pertenece al segmento este es
punto medio, por otro lado, si no pertenece a segmento forma un
tringulo issceles. El punto que hace posible que se den estas dos
partes de la respuesta tiene una propiedad. Segn lo expuesto,
Andrea dice que los puntos que cumplen esa propiedad son uno de los
puntos pertenecientes a la mediatriz, para lo cual la profesora
Carmen est de acuerdo y complementa diciendo que lo que se sabe de
ese punto es que equidistan, lo que quiere decir que esos puntos
estn en la mediatriz. Si se tiene que punto cumple , se concluye
que pertenece a la mediatriz de , tengo cmo llegar a eso?,
cuestiona la profesora CarmenXiomara afirma que a partir del
sistema terico si se puede llegar a eso, luego de esto, para hacer
uso del sistema terico, Miguel lee el hecho geomtrico de la
mediatriz (si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento,
entonces equidista de los extremos del segmento). Luego la
profesora Carmen pregunta que es lo que se tiene dado, con el fin
de poder justificar lo que cuestiono. Para dar pautas de la
justificacin, la profesora Carmen comenta que lo que se necesita
saber para usar ese hecho geomtrico es saber que la mediatriz est
en y la consecuencia seria la existencia de ese punto que equidista
de los extremos del segmento. Si se quiere justificar tericamente
toca introducir un hecho geomtrico, si no pertenece al puedo
concluir que esta en la mediatriz?Dilia propone construir un punto
que no pertenezca al segmento, luego construir la mediatriz y mirar
si al poner igual las distancias ese punto se encuentra en la
mediatriz. La profesora Carmen le pide a Dilia realizar la
construccin. Pasos de la construccin propuestos por Dilia: 1. Hacer
el .
2. Un punto cualquiera.
3. Toma la distancia de a y de a .
4. Arrastra hasta obtener la misma distancia. 5. Mediatriz
del
Efectivamente, cuando se mueve el punto y las distancias son las
mismas entonces pertenece a la mediatriz. A partir de esto, surge
un nuevo hecho geomtrico:Hecho geomtrico de la equidistancia: si
tengo puntos que equidistan de los extremos de un segmento entonces
estos puntos pertenecen a la mediatriz. La profesora Carmen comenta
que con geometra dinmica se puede hacer de manera inmediata la
mediatriz, pero la construccin propuesta por Dilia comprueba que
ese punto cumple las condiciones para que este pertenezca a la
mediatriz. A partir del problema planteado, se puede dar una
justificacin haciendo uso del sistema terico de porque la respuesta
es no se sabe, por un lado, si est en la mediatriz equidista de los
extremos de segmento, por otra parte, si est en la mediatriz y en
el segmento entonces es punto medio. Las dos afirmaciones se pueden
justificar con el nuevo hecho geomtrico de la equidistancia. Luego
de discutido el problema, Miguel pregunta que si es mejor trabajar
sin circunferencia para construir tringulos issceles, la profesora
Carmen le dice que si por ejemplo va a trabajar la mediatriz, se
podra decir a los estuantes que construyan tringulos issceles,
seguramente algn estudiante sale con la construccin de la
mediatriz, como puede que salga la construccin con circunferencia,
es bueno que surjan diferentes opciones. Dilia comenta que con los
chicos de sptimo, cuando estaban viendo polgonos regulares e
irregulares, ella les daba un segmento y les peda ubicar 4 puntos
de ese segmento para construir un rectngulo sin usar regla. Para la
solucin de esta situacin planteada los estudiantes utilizan el
comps. El comps es una herramienta muy til para transferencia de
medidas. Despus de realizar el problema planteado y de reflexionar
sobre la importancia de trabajar este tipo de ejercicios, se
procede a realizar el siguiente punto, en el cual, de igual manera
que en el anterior, debe escribir si la respuesta es s, no o no se
sabe. es altura del Se tiene que est entre y ? La profesora Carmen
pregunta que quien quiere hablar sobre eso. Xiomara sugiere hacer
el esquema de justificacin, dado que esto hace que la demostracin y
la construccin que realiza se ve organizada y le da pautas para
continuarla.Dilia propone hacer un tringulo normal para mostrar la
altura. La profesora Carmen pregunta si no sera mejor cambiar la
concepcin del estudiante respecto a lo que considera l es la altura
de un tringulo.Dilia pasa y hace en geogebra una construccin
blanda. Pasos de la construccin propuesta por Dilia: 1. Hace un
segmento al tanteo de manera vertical.
2. Hace una recta que sera la base.
3. Une los puntos de la recta y del segmento hasta formar un
tringulo.4. Luego, el punto lo coloca de tal manera que sea punto
medio del
Dilia comenta que en la construccin que ella realizo, se obtiene
un tringulo issceles, que esta seria a construccin por la que ella
empezara para introducir altura. A partir de la construccin
realizada por Dilia, la profesora Carmen pregunta si el tringulo es
issceles ese segmento es la altura. Por qu es la altura?, adicional
pregunta a Dilia cual es la definicin de altura, dado que Dilia
quiere involucrar el punto medio en la construccin. Dilia dice que
esta es la perpendicular trazada desde un vrtice a la recta que
contiene el lado opuesto, bueno, al segmento que tiene el lado
opuesto; luego dice que es el segmento desde un vrtice al lado
opuesto al punto medio del lado opuesto que contiene la recta. La
profesora Carmen mueve el punto y pregunta si en ese caso sigue
siendo altura o no.
Dilia dice que lo que ella realizo nicamente se cumple para el
tringulo issceles, que ella movera la figura de la misma manera que
lo hizo la profesora Carmen con la intencin de que ellos se den
cuenta que la altura que quedo ah no es altura de un tringulo. La
profesora Carmen comenta que si no es altura que no se refiera a
ese segmento como altura. Luego Dilia dice que si el tringulo lo
tiene de esa manera, ella tomara la altura del tringulo desde el
punto . La profesora Patricia comenta que no siempre el punto medio
determina la altura de un tringulo. A partir de la propuesta
realizada por Dilia, Xiomara comenta que se pueden presentar
diferentes tipos de tringulos y definir la altura para cada
tringulo, se puede empezar por lo ms fcil que es el tringulo
issceles. La profesora Carmen dibuja un tringulo issceles
perceptiblemente (realiza una construccin blanda).
En la anterior construccin, si se mueve el punto este no estara
en el segmento.
Lo primero que debe notar el estudiante es que el punto debe
estar en el segmento. Luego, la profesora Carmen construye el punto
en el segmento.
La profesora Carmen intenta rotar el tringulo para que no pierda
la forma y hacerlo girar en torno a un punto. En el intento, mueve
el punto y obtiene la siguiente construccin:
Dilia dice que en este caso utilizara el punto medio de para
trazar la altura y trazara la perpendicular por ese punto medio. Y
movera al punto hasta que quede en la recta perpendicular. Esa
recta perpendicular seria ahora la mediatriz. En ese sentido, Dilia
estara considerando que los nicos que tienen altura son los
tringulos issceles. A partir de esta discusin, la profesora Carmen
pregunta a Dilia cmo se construira la altura desde el punto .
Mientras Dilia piensa como sera la construccin, Xiomara le explica
a la profesora Patricia como ella construira la altura que pasara
por el punto . La profesora Carmen le pide a Xiomara pasar y
realizar la construccin de la altura que pase por el punto . Pasos
de la construccin propuesta por Xiomara: 1. Recta que pase por el
punto y .
2. Recta perpendicular a la que pase por .
3. Punto , que es interseccin de las dos rectas construidas. La
profesora Carmen comenta que la altura es un segmento, por tanto la
recta perpendicular se debera ocultar. Se construye el , adicional,
tambin se debera ocultar la o puntearla, dado que la altura que de
un tringulo es el segmento perpendicular a la recta que contiene un
lado del tringulo y cutos extremos son un punto de la recta y el
vrtice del tringulo que no pertenece a la recta.
Dilia hace la aclaracin de que solo se refera al punto medio en
el caso del tringulo issceles, que la intencin era mostrar cuales
segmentos no eran altura. Respecto a esto, la profesora Carmen
comenta que no es necesario meter lo del punto medio, eso podra
confundir al estudiante, puede que lo incluya dentro de la
definicin de altura; por otro lado, la profesora Patricia comenta
que es muy difcil definir algn objeto a partir de las
caractersticas que no tiene ese objeto, por ejemplo: para definir
casa no es afortunado decir: esto no es una casa, esto no es una
casa, esto no es una casa (cuando coloca este ejemplo va sealando
objetos que no son casa, como un pupitre, una carpeta, entre otras)
Qu es una casa?, definir casa a partir de otros objetos es muy
difcil. Andrea por su parte comenta que lo que Dilia menciona es
afortunado hacerlo ms adelante para decir que la atura de un
tringulo issceles pasa por el punto medio. La profesora Carmen
comenta como se podra introducir la altura, por un lado, se puede
comenzar con la definicin y que ellos hagan la representacin, otra
forma de abordarlo, seria mostrndoles la representacin y que ellos
definan las propiedades que aparecen; lo que la profesora Carmen no
hara es utilizar punto medio. Volviendo a la pregunta que planteaba
el ejercicio: es altura del Se tiene que est entre y ?, la
profesora Carmen pregunta cul sera la respuesta. Xiomara responde
que la respuesta sera no se sabe. La profesora Carmen comenta que
su justificacin sera con geometra dinmica. Andrea adiciona que el
punto est entre y si es triangulo es acutngulo, pero si el tringulo
es rectngulo y obtusngulo no se cumple.Luego de discutir ese punto,
la prfoesora Carmen propone seguir con el siguiente punto, en el
cual tambin se debe dar una respuesta de si, no o no se sabe. El
siguiente ejercicio es: es mediana del . Es altura del
tringulo?Andrea responde que no se sabe. Por otra parte, la
profesora Patricia antes de seguir con el ejercicio planteado,
sugiere que se haga la demostracin del anterior ejercicio
propuesto, dado que Xiomara en algn momento haba mencionado
realizar la justificacin, pero esta idea no se haba llevado acabo.
A continuacin se presenta la justificacin en la cual la profesora
Carmen con la ayuda de la profesora y de Xiomara desarrolla. Que
sQue usoQue concluyo
1. es altura del Definicin de altura
2. Definicin de interestacia esta:1. A un lado de .2. En .3. En
.4. A un lado de .