Aljabar Boolean · 2016-10-05 · •Gerbang Logika •Aritmatika ... dua gerbangAND dan sebuah gerbang OR) ... sama seperti fungsi gerbang NAND

Aljabar Boolean•Boolean Variable dan Tabel Kebenaran

•Gerbang Logika

•Aritmatika Boolean

•Identitas Aljabar Boolean

•Sifat-sifat Aljabar Boolean

•Aturan Penyederhanaan Boolean

•Fungsi Eksklusif OR

•Teorema De’ Morgan

•Konversi Table Kebenaran ke Aljabar Boolean

Representasi Boolean

Representasi Boolean

Variable dan Konstanta Boolean

Tabel Kebenaran (Truth Table)

Operasi Dasar

Gerbang OR (Operasi OR)

Gerbang AND (Operasi AND)

Gerbang NOT (Operasi NOT)

Aljabar Boolean

Sifat-sifat Aljabar Boolean

Identitas Aljabar Boolean

Penyederhanaan Rangkaian

Teorema De’Morgan

Variable Boolean dan

Tabel Kebenaran

Representasi Boolean

Logic 0 Logic 1

False True

Off On

Low High

No Yes

Open Switch Close Switch

Variable Boolean

Binary 0: besar tegangan

antara 0 – 0,8 volt

Binary 1: besar tegangan

antara 2 – 5 volt

Not used: besar tegangan

antara 0,8 – 2 volt

•Not used dapat mengakibatkan error

•Nilai boolean 0 dan 1 tidak merepresentasikan nilai sebenarnya hanya merepre-

sentasikan keadaan sebuah variabel tegangan

Tabel Kebenaran

Tabel kebenaranfungsinya memberikangambaran hubunganoutput suatu rangkaiandigital terhadapkombinasi input yang diberikan

Terdapat semuakombinasi input yang mungkin (dari variable A dan B) dengan level keadaan output yang berkesesuaian

Logic Gates

Gerbang OR (operasi OR)

Pernyataan:

◦ X=A+B X sama dengan A or B

◦ Tanda “+” operasi or tidak memilki arti

yang sama dengan aljabar penjumlahan

Gerbang AND (operasi AND)

Pernyataan:

◦ X=A*B X sama dengan A and B

◦

Gerbang (operasi) NOT

Gerbang (operasi) NOR

Gerbang (operasi) NAND

Aritmatika Boolean (1)

Dengan menambahkan bilangan-bilangan

biner, diperoleh:

◦

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=1

Aritmatika Boolean (3)

Pejumlahan boolean ekuivalen dengan

gerbang OR

Aritmatika Boolean (4)

Perkalian dalam aljabar boolean,

◦

0x0=0

0x1=0

1x0=0

1x1=1

Aritmatika Boolean (5)

Perkalian dalam aljabar boolean dan

gerbang AND

Aritmatika Boolean (6)

Seperti aljabar pada umumnya, aljabarboolean menggunakan huruf untukmerepresentasikan sebuah variable.

◦ Aljabar boolean menggunakan huruf CAPITAL

Karena hanya memiliki dua kemungkinannilai, yaitu 0 dan 1, maka setiap variable boolean memiliki komplementnya.

◦ Komplement ditandai dengan “bar” atau “tandapetik tunggal” yang dituliskan di atas sebuahvariable boolean

0',0,1

1',1,0

AatauAmakaAJika

AatauAmakaAJika

Aritmatika Boolean (7)

Komplement boolean ekuivalen dengan

gerbang NOT

Identitas Aljabar Boolean (1)

Penjumlahan Dalam istilah matematika, identitas adalah

sebuah pernyataan bernilai benar untuk

semua kemungkinan nilai variable.

◦

Identitas Aljabar Boolean (2)

Penjumlahan Identitas 1 aljabar boolean adalah:

◦ Penjumlahan sebuah variable dengan 0 sama

dengan nilai variable itu sendiri

◦

Identitas Aljabar Boolean (3)

Penjumlahan Identitas berikutnya merupakan identitas

yang sangat berbeda dengan identitas

aljabar aritmatika, yaitu

◦ Penjumlahan sebuah variable dengan 1 akan

selalu menghasilkan nilai 1.

◦

Identitas Aljabar Boolean (4)

Penjumlahan sebuah variable ditambahkan denga

variable itu sendiri akan menghasilkan nilai

yang sama dengan nilai variable tersebut.

◦

Identitas Aljabar Boolean (5)

Penjumlahan Identitas berikut ini berhubungan dengan

sifat komplement bilangan biner, yaitu

◦ Sebuah variable ditambahkan dengan

komplement variable tersebut

Identitas Aljabar Boolean (6)

Perkalian Terdapat juga empat identitas untuk

perkalian aljabar boolean, yaitu:

◦ A x 0, A x 1, A x A, and A x A‘

Identitas Aljabar Boolean (7)

Perkalian Identitas I:

Identitas II:

Identitas Aljabar Boolean (8)

Perkalian Identitas III:

Identitas Aljabar Boolean (9)

Perkalian Identitas IV:

Identitas Aljabar Boolean (10)

Identitas penjumlahan dan perkalian dalam

aljabar boolean dapat dirangkum sebagai

berikut:

Identitas Dasar Aljabar Boolean

Penjumlahan Perkalian

A + 0 = A

A + 1 = 1

A + A = A

A + A = 1

0A=0

1A=A

AA=A

AA=0

Sifat-sifat Aljabar Boolean (1)

Jenis lain dari sebuah identitas dalam

istilah matematika adalah sifat atau hukum

(aturan)

Sifat-sifat (hukum-hukum) aljabar boolean

adalah:

◦ Kamutatif, asosiatif, dan distributif

Sifat-sifat Aljabar Boolean (2)

Sifat komutatif

Sifat-sifat Aljabar Boolean (3)

Sifat asosiatif

penjumlahan

Sifat asosiatif

perkalian

Sifat-sifat Aljabar Boolean (4)

Sifat berikutnya adalah distributif,

◦

Sifat-sifat Aljabar Boolean (5)

Sifat-sifat aljabar boolean dapat dirangkum

sebagai berikut:

Sifat-sifat Dasar Aljabar Boolean

Penjumlahan Perkalian

A + B = B + A

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

AB = BA

A(BC) = (AB)C

A ( B + C ) = AB + AC

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (1) Dengan menggunakan identitas dan sifat

aljabar boolen dapat digunakan untuk

menyederhanakan persamaan aljabar

boolean yang lebih kompleks

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (2) Contoh: sederhanakanlah A+AB

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (3) Aturan ini dapat dibuktikan dengan

langkah-langkah:

◦ Faktorkan A, terapkan identitas A + 1 = 1, dan

terapkan identitas 1A=A

Perhatikan: identitas A + 1 =1 digunakan untuk mereduksi

(1 + B) = 1. Dengan demikian dapat disimpulkan ABC + 1

juga akan menghasilkan nilai 1 dengan menggunakan

identitas tersebut

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (4) Contoh: sederhanakanlah A+A’B

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (5) Untuk membuktikan aturan

penyederhanaan di atas dilakukan dengan

cara:

◦ A diekspand, faktorkan B, gunakan identitas A

+ A’ = 1, dan gunakan identitas 1A = A

Perhaitkan bahwa (A+AB) digunakan untuk

mengekspand A menjadi “A+AB”. Langkah ini

disebut “backward”. Kadang kala di dalam

matematika, langkah “backward” diperlukan untuk

memperoleh solusi yang baik.

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (6) Aturan penyederhaan pada contoh

berikut melibatkan sifat distributif

Sederhanakan: (A+B)(A+C)

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (7) Bukti aturan penyederhaan di atas adalah:

Langkah-langkahnya adalah:

-Distribusikan

-Gunakan identitas AA = A

-Gunakan aturan A + AB = A untuk mereduksi A + AC

-Gunakan aturan A + AB = A untuk mereduksi A + AB

Aturan Penyederhanaan Aljabar

Boolean (8) Beberapa aturan penyederhanaan dapat

dirangkum sebagai berikut:

Aturan Penyederhanaan yang Sering Digunakan

A + AB = A

A + AB = A + B

(A + B)(A + C) = A + BC

Fungsi Eksklusif OR (1)

Selain fungsi-fungsi yang telah dibahas,

terdapat fungsi yang cukup penting adalah

fungsi eksklusif OR

Jika fungsi OR ekuivalen dengan aljabar

penjumlahan, fungsi AND ekuivalen

dengan aljabar perkalian dan fungsi NOT

ekuivalen dengan aljabar kompelementer,

maka untuk fungsi Eksklusif OR tidak ada

tidak ada ekuivalen secara langsung

Fungsi Eksklusif OR (2)

Fungsi eksklusif OR (XOR)

direpresentasikan dengan simbol:

Fungsi tersebut:

◦ AB ekuivalen dengan AB’ +A’B

Fungsi Eksklusif OR (3)

Dalam bentuk rangkaian,

Ekuivalensi aljabar boolean ini

sangat membantu dalam proses

penyederhanaan rangkaian:

Suatu pernyataan boolean yang

berbentuk AB’+A’B ( atau

sebuah rangkain yang terdiri dari

dua gerbang AND dan sebuah

gerbang OR) dapat diwakili oleh

AB (atau gerbang XOR

Aturan De’Morgan (1)

Jika semua input suatu gerbang AND

diinvers, maka fungsi gerbang tersebut

sama seperti fungsi gerbang NOR

Jika semua input suatu gerbang OR

diinvers, maka fungsi gerbang tersebut

sama seperti fungsi gerbang NAND

Aturan De’Morgan memiliki prinsip yang

sama, tetapi yang diinvers adalah

outputnya.

Aturan De’Morgan (2)

Contoh ekuivalensi De’Morgan:

Teorema De’Morgan (1)

Teorema De’Morgan dapat diilustrasikan

sebagai pemisah simbol “bar” yang

panjang,

Teorema De’Morgan (2)

Jika terdapat lebih dari satu “bar” untuk

suatu variable (atau beberapa variable),

pemisahan “bar” hanya boleh dilakukan

satu per satu

Untuk mempermudah penyederhanaan

rangkaian, pemisahan “bar” dilakukan

pertama kali untuk “bar” paling panjag

(paling atas)

Teorema De’Morgan (3)

Sebagai ilustrasi, misal

sebuah pernyataan

boolean:

◦ (A + (BC))

◦ Disederhanakan

menggunakan aturan

de’Morgan

◦

Alternative Representasi

Sederhanakan Rangkaian ini:

Teorema De’Morgan (4)

Latihan:

◦ Sederhanakan rangkaian berikut ini

menggunakan teorema deMorgan

Teorema De’Morgan (5)

Latihan: