AljaBar

TUGAS MANDIRIMATA KULIAH DASAR-DASAR ALJABAR LINEARSISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

OLEHTIO MEYSA GINTING130210178Dosen : Handra Tipa S.pdi

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS PUTERA BATAMTAHUN AKADEMIK GENAP 2013/2014

KATA PENGANTARAssalamuaikum,wr,wb. Salam Sejahtera bagi kita semua.Puji syukur saya sampaikan kepada Tuhan Yang Maha Esa telah memberikan petunjuk Nya dalam menyelesaikan makalah ini, untuk itu saya panjatkan atas semua anugerah,lindungan, dan bimbingan nya karena hanya dia yang pantas menerima segala puja dan puji.Terimakasih saya sampaikan pula kepada Bapak Handra Tipa S,pdi selaku Dosen matakuliah Dasar-Dasar Aljabar Linear yang telah mengajari dan membimbing saya agar saya lebih mengetahui dan mendalami apa itu Sistem matematika dengan Aljabar.Sejumlah materi yang ada pada Dasar-Dasar Aljabar Linear makalah ini berisikan salah satu dari Pelajaran tersebut yaitu Sistem Persamaan Linear dan matriks. Pembuatan makalah ini agar para mahasiswa dan mahasiswi dapat mengerti apa itu Sistem Persamaan Linear dan matriks dengan mudah dan gampang.Akhir kata semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pembaca yang ingin menambah ilmu wawasan tentang Sistem Persamaan. Saya juga menyadari banyaknya kekurangan pada buku ini, dan diharapkan adanya saran atau kritik yang membangun, agar di lain waktu saya dapat memperbaikinya. Tak lupa saya mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah mendukung saya dalam menyiapkan makalah ini da membantu serta bekerja sama dalam penulisan buku ini.

Batam, 08 Mei 2014

Tio Meysa Ginting

DAFTAR ISISISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS1. Pengantar Sistem Persamaan Linear......................................................................4 1.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear.............................................................4 Pembahasan Sistem Persamaan Linear......................................................5 1.2 Pengertian Sistem Persamaan Linear 2 Variabel............................................7 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear 2 Variabel...................................8 Contoh dan Penyelesaian Soal SPL 2 variabel..........................................92. Eliminasi Gauss...................................................................................................12 2.1 Ciri-Ciri Eliminasi Gauss..................................................................13 2.2 Alogaritma Eliminasi Gauss..............................................................14 2.3 Eliminasi Gauss-Jordan.....................................................................15 Langkah-Langkah Eliminasi Gauss-Jordan.............................................163. Matriks.................................................................................................................20 3.1 Pengertian Matriks...................................................................................20 3.2 Operasi Hitung Matriks...........................................................................20 Contoh dan Penyelesaian Soal Operasi Matriks............................................21 3.3 Transpose Matriks...................................................................................23 3.4 Jenis-Jenis Matriks..................................................................................24Daftar Pustaka..................................................................................................................26

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS1.Pengantar Sistem Persamaan LinearSistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmupengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong duagaris dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik seringditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama denganbanyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel.Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancanganlinear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalamteknik listrik sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karenabeberapa dari persamaan mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masihmungkin untuk diperoleh.Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yangmempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai jawaban banyak.Untuk membantu penyelesaian masalah dipergunakan konsep matriks.Dan dengan mempelajari tentang Sistem persamaan Linear ini mempunyai tujuan agar mahasiswa/i dapat menjelaskan pengertian sistem persamaan linear serta dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear.1.1 Pengertian Sistem Persamaan Linear Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2, dan bukanlah persamaan linearDefinisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable x1, x2, , xndapat dinyatakan dalam bentuk :a1x1 + a 2x 2 + + a n x n = b,dengan a 1, a 2, , a n dan b adalah konstanta realcontoh sistem persamaan Linear1. Diketahui x1 dan y1 memenuhi persamaan 2x 3y = 7 dan 3x 4y = 9Nilai x1 + y1 = . A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 E. 4(UN 2012)Jawab APembahasan :2x 3y = 7 | 3| 6x 9y = 213x 4y = 9 | 2| 6x 8y = 18 - y = - 3 2x 3y = 7 2x 3.(-3) = 7 2x + 9 = 7 2x = - 2 x = - 1 Jadi x1 + y1 = ( - 1 ) + ( - 3 ) = - 42. Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp. 600.000,00 sedangkan harga 3 koper dan 2 tas adalah Rp 570.000,00. Harga sebuah koper dan 2 tas adalah . A. Rp. 240.000,00 B. Rp. 270.000,00 C. Rp. 330.000,00 D. Rp. 390.000,00 E. Rp. 400.000,00 (UN 2010)Jawab : BPembahasan :Misal koper = K ; Tas = T2 K + 5 T = 600.000 ...(1)3K + 2T = 570.000 (.2)Dari (1) dan (2)2 K+5 T= 600.000 x 3 6K + 15 T = 1800.0003K +2T = 570.000 x 2 6K + 4 T = 1140.000 11T = 660.000 T = 60.0002 K + 5 T = 600.0002K = 600.000 5 T2K = 600.000 5. 60.000 2K = 300.000 K = 150.000Maka harga sebuah koper dan 2 tas adalah: K + 2 T = 150.000 + (2 x 60.000) = Rp. 270.000,-1.2 Pengertian Sistem Persamaan Linear 2 VariabelPersamaan linier dua variabel adalah suatu persamaan yang memuat dua buah variabel dengan pangkat tertinggi dari masing-masing variabel adalah 1(satu).Contoh : (i) 3x-y-9 =0; adalah sebuah PLDV dengan variabel x dan y(ii)4m+3n = 24 ; adalah sebuah PLDV dengan variabel m dan n.1.2.1 .Mengubah Bentuk PLDV- Bentuk 3x-y-9 = 0 dapat diubah menjadi 3x-9= y atau y=3x-9.y = 3x-9 dapat diartikan bahwa variabel y dinyatakan dalam x. m = 24-3n/4.- Bentuk 4m+3n = 24 dapat di ubah menjadi 4m= 24-3n atau m= 24-3n/4,diartikan bahwa variabel m dinyatakan dalam n.1.2.2 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel(SPLDV)Sistem persamaan linear dengan dua variabel bisa disingkat dengan SPLDV.Dengan demikin, SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagaiax + by = c atau a1x + b1y = c1

px + qy = r atau a2x + b2y = c2 Dengan a,b,c,p,q dan r atau a1,b1,c1,a2,b2 dan c2 merupakan bilangan - bilangan real. Untuk selanjutnya kita menggunakan bentuk SPLDV yang kedua. Jika c1 = c2 = 0 maka SPLDV itu dikatakan homogen,sedangkan jika c1 0 atau c2 0 maka SPLDV itudikatakan tak homogen. 1.2.3 Pengertian Penyelesaian SPLDV Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah pasangan bilangan x dan y, biasanya ditulis (x,y),yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Jika nilai X=X0 dan Y=Y0 dalam pasangan terurut ditulis (X0,Y0),memenuhi SPLDV a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2Dalam hal ini variabelnya adalah x dan y.Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan itu disebut penyelesaian sistem penyelesaian.). Jika a1 b1 atau a2 b2, maka sitem persamaan linear mempunyai tepat satu penyelesaian.). Jika a1 = b1 c1 atau a2 = b2 c2, maka sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian.). Jika a1 = b1 = c1 atau a2 = b2 = c2, maka sistem persamaan linear mempunyai banyak penyelesaian.Sebagai contoh, SPLDV: -x + y = 1 x + y = 5mempunyai penyelesaian (2,3) dengan himpunan penyelesaian {(2,3)}.Untuk menguji kebenaran bahwa (2,3) merupakan penyelesaian SPLDV tersebut,subtitusikan nilai x = 2 dan nilai y = 3 ke persamaan -x + y = 1 dan x + y = 5, diperoleh:-(2) + 3 = 1, benar2 + 3 = 5, benar Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara,diantaranya adalah dengan menggunakan:1). metode subtitusi2). metode eliminasi dan 3). metode subtitusi dan eliminasi4). penerapan SPLDV dalam kehidupan sehari - hari 1. Penyelesaian SPLDV dengan Metode Subtitusi Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel bisa menggunakan metode subtitusi. Berikut ini adalah langkah - langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode subtitusi:a). Nyatakan salah satu persamaan dalam bentuk y = ax + by atau x = my + n.b). Subtitusikan y atau x pada langkah pertama kepersamaan yang lainnya.c). Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mendapatkan nilai x = x1 atau y = y1.d). Subtitusikanlah nilaix = x1 atau y = y1 ke salah satu persamaan linear untuk memperoleh nilai y = y1 atau x = x1.e). Penyelesaiannya adalah (x1,y1).Untuk lebih bisa memahami langkah -langkah diatas perhatikan contoh soal berikut ini:Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut ini.2x - 3y = 73x + 2y = 4Jawab:dari persamaan 2x - 3y = 72x = 7 + 3y x = 7 + 3y2Subtitusikan ke persamaan 3x + 2y = 4, diperoleh:3(7 + 3y/2) + 2y =4, masing - masing ruas dikalikan 2 3(7 + 3y) + 4y = 821 + 9y + 4y = 8 13y = -13 y = -1Subtitusikan nilai y = -1 ke persamaan x = 7 + 3y / 2 diperoleh: x = 7 + 3(-1) / 2 x = 2Jadi,himpunan penyelesaian SPLDV adalah {(2,-1)}

2. Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel dengan menggunakan metode eliminasi dapat ditentukan sebagai berikut:Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y,sedangkan untuk mencari nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah x. Penyelesaian SPLDV dapat juga menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi secara bersamaan.Dalam beberapa soal sering juga dijumpai SPLDV yang belum baku. Dalam hal demikian, SPLDV itu diubah dulu menjadi SPLDV yang baku.Kemudian baru ditentukan himpunan penyelesaiannya.Perhatikan contoh berikut ini:Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini dengan metode eliminasi;x+y=4 dan 2x-y=5jawab:eliminasi variabel y,sehingga didapat nilai x:x + y = 42x - y = 5 +3x=9x=3Nilai y dicari dengan mengeleminasikan variabel x.Caranya kalikan persamaan pertama dengan 2 dan kalikan persamaan kedua dengan 1(agar koefisien x sama).x + y = 4 (x2) 2x + 2y = 82x - y = 5 (x1) 2x - y = 5 -3y = 3y = 1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,1)}3. Penyelesaian SPLDV dengan Metode Subtitusi dan Eliminasi. Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi untuk menemukan nilai dari variabel pertama dan metode substitusi untuk menemukan nilai variabel kedua. Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel bisa menggunakan metode subtitusi dan eliminasi disebut juga metode gabungan.Berikut ini adalah langkah - langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode gabungan: a). Eliminasikan x atau y dengan metode eliminasi.b). Subtitusikan x atau y yang diperoleh pada langkah diatas kedalam salah satu persamaan semula. Untuk lebih bisa memahami langkah -langkah diatas perhatikan contoh soal berikut ini:Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x-y=2 dan 2x+3y=5 dengan metode gabungan.Jawab:3x - y = 2 (x2) 6x - 2y = 4a.2x + 3y = 5 (x3) 6x + 9y = 15 --11 y = -11 y = 1 b. substitusikan y=1 ke persamaan 3x-y=2sehingga 3x-1=23x=3x=1jadi himpunan penyelesaiannya adalah:{(1,1)} 4. Penerapan SPLDV dalam kkehidupan sehari-hariDalam kehidupan sehari - hari diperoleh suatu penyataan yang mengandung sistem persamaan linear dua variabel. Cara yang harus dilaksanakan kita harus merubah dahulu pernyataan - pernyataan dalam soal kebentuk suatu sistem persamaan - persamaan linier. Pernyataan - pernyataan harus kita analisa secara hati - hati dan bentuk suatu kalimat matematika atau model matematika ke dalam bentuk suatu sistem persamaan-persamaan baru yang kita cari himpunan penyelesaianya untuk sistem persamaan tersebut dari penafsiran soal aslinya.Langkah - langkah membuat sistem persamaan linear dari model matematika dari masalah sehari-hari adalah: a). Identifikasi masalah.b). Menggunakan huruf untuk mengganti harga barang,banyak benda,atau yang lain.c). Menuliskan persamaan.Untuk lebih memahami langkah -langkah diatas perhatikan contoh soal berikut ini:Contoh:Ani membeli 3kg beras dan 2kg jagung Rp 27.500,00.Rani membeli 2kg beras dan 3kg jagung pada toko yang sama dengan harga Rp 29.000,00.Tunjukan persamaan dengan mengganti variable harga pada beras dan jagung ?.Jawab:dari soal diatas diperoleh:1. Identifikasi masalah3kg beras dan 2 kg jagung jumlah harga Rp 27.500,002kg beras dan 3 kg jagung jumlah harga Rp 29.000,002. Mengganti hurufMisal: Harga beras = x Harga jagung = y 3. Sistem persamaan yang diperoleh 3x + 2y = Rp 27.500,002x + 3y = Rp 29.000,002. Pengertian Eliminasi GaussEliminasi Gaussadalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan olehCarl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yangEselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalammatriks teraugmentasidan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriksEselon-baris, lakukansubstitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 : : : = :an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss,bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang matrik yang berukuran n x (n+1) seperti berikut ini : Selanjutnya adalah proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan linear sebagai contoh yang terdiri dari empat persamaan matematika,yang sudah diubah kedalam bentuk matrik seperti dibawah ini : Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut : Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu : Lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya:Sebelum dilanjutkan ke substitusi mundur, perhatikan posisi masing-masing elemen matrik augment berikut:2.1 Ciri-ciri Eliminasi Gaussa. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama). b. Baris nol terletak paling bawah c. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnyad. Dibawah 1 utama harus nolContoh : Berikut contoh penyelesaian persamaan linear Diketahui persamaan linear sebagai berikut:x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan nilai x, y dan z!Jawab:Ubah persamaan linear ke dalam bentuk matriks, operasikan matriks tersebut seperti berikut: b1 x 1 untuk merubah a11 menjadi 1 b2 b1 untuk merubah a21 menjadi 0 b3 2b1 untuk merubah a31 menjadi 0 b3 + 3 b2 untuk merubah a32 menjadi 0 b3 x untuk merubah a33 menjadi 1 ( matriks menjadi Eselon- baris)Sehingga didapat 3 persamaan linear baru yaitu : x + 2y + z = 6 y + z = 3 z = 3kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan y + z = 3 y + 3 = 3 y = 0

x+ 2y + z = 6 x + 0 + 3 = 6 x = 3

jadi, nilai x = 3 , y = 0 dan z = 32.2 Algoritma Eliminasi GaussSecara umum,sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2: : : : = :an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn Algoritma dasar metode eliminasi gauss adalah sebagai berikut:A. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n + 1). Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari bi; yaitu ai,n+1 = bi dimana i = 1, 2, ..., n.B. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a11, a22,..., ann atau disingkat aii. Jika aii _= 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i + 1, i + 2, ..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, aii 0.c. Proses triangularisasi.d. Hitunglah nilai xn e. Lakukanlah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1 , xn-2 , ....,x2 , x12.3 Eliminasi Gauss-JordanDalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah algoritma versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama. Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan.Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya dapat dilakukan dengan menambahkan dengan matriks identitas dengan dimensi yang sama, dan melalui operasi-operasi matriks:

Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

Kemudian, setelah ditambahkan dengan matriks identitas:

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks[AI] sampai A menjadi matriks identitas, maka didapatkan hasil akhir:

Eliminasi Gauss-JordanThomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan.Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:1.Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).2.Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.3.Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.4.Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.Misal kita punya matriks berikut:

Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol.

Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.

Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke dua (H21)Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada kolom yang kita peroleh pada langkah 1 adalah a, kalikan dengan baris pertama dengan 1/a sehingga membentuk 1 utama.Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan dengan 1/2 disingkat H2(1/2)Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.

-2 kali baris pertama sebelumnya ditambahkan ke baris ketiga (H21(-2))Langkah 5. Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruhnya matriks berada dalam bentuk eselon baris.

lihat kolom ketiga dari kiri tidak semuanya nol

baris kedua dari matriks dikalikan dengan dengan -1/2 untuk memperoleh 1 utama

-5 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga untuk memperoleh nol di bawah 1 utama.

baris paling atas submatriks ditutup kita kembali ke langkah 1

baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya.Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.

kali baris ketiga dari matriks sebelumnya ditambahkan ke baris kedua.

-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama

5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertamaLangkah 1 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada langkah 6 dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.Dari langkah tersebut kita peroleh persamaanx1 + 22 +3 x4 = 2x3 = 1x5=23.Matriks3.1 Pengertian matriks a) Matriks merupakan susunan kumpulan bilangan dalam bentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom; b) Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks; c) Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks. 3.2 Operasi hitung matriks A) Penjumlahan atau pengurangan matriks Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B

A= dan B=A+B = Contoh Soal :

Diketahui A =, B =, dan C =Tentukan :

a. A + B;b. A + C.

Penyelesaian :

a. A + B = + = =

b. A + C =tidak dapat dijumlahkan karena ordonya tidak sama.Contoh Soal :Carilah nilai x dan y yang memenuhi + = Jawaban :

Terlihat dari persamaan matriks ini, diperoleh 6x + 1 = 3x = 1/3dan 4y = 8y = 2. Jadi, diperoleh nilai x = 1/3 dan y = 2.

1) Sifat penjumlahan matriks Jika A, B, dan C matriks-matriks berordo sama, berlaku: (a) Sifat Komutatif: A + B = B + A; (b Sifat Asosiatif: (A + B) + C = A+(B+C); (c) Terdapat matriks Identitas, yaitu matriks nol, sehingga: A + 0 = 0 + A = A; (d) Setiap matriks A mempunyai invers penjumlahan yaitu matriks A , sehingga: A + ( A ) = ( A ) + A = 0 2) Pada pengurangan matriks bersifat: (a) Tidak Komutatif (b) Tidak Asosiatif (c) Tidak terdapat unsur IdentitasContoh Soal :

Diketahui A =dan B =. Tentukan A B.

Jawaban :

Cara 1:

Karena B =maka

A B = A + (B) = - = =

B) Perkalian Matriks Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan) 1) Am x n . Bn x k = Cm x k 2) Bn x k . Am x n tidak dapat dikalikanContoh Soal 11 :

Diketahui A =dan B =.

Tentukan :

a. 3A; b. 6B; c. 3A + 2B.Jawaban :

3.3 Transpos Matriks Transpos matriks A ( At ) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-I matriks A menjadi kolom ke-I matriks At = t a. At = Beberapa sifat matriks transpos: a) (A + B)t = At + Bt b) ( At )t = A c) (AB)t = BtAt d) (KA)t = KAt, k merupakan konstanta3.4 Jenis-Jenis Matriks1. Matriks barisadalah matriks yang hanya memiliki satu barisContoh : A = [ 2 3 0 7 ]2. 2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom

3. Matriks persegiadalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

4.Matriks Identitasadalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol.Contoh :

5. Matriks segitiga atasadalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol.

6.6.Matriks segitga bawahadalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol.Contoh :7. Matriks noladalah matriks yang semua elemennya nol.Contoh :

DAFTAR PUSTAKAChapra, Steven dkk. 1996. Metode Numerik . Jakarta: ErlanggaMunir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Bandung: InformatikaLipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.Strang, Gilbert (2003). Introduction to Linear Algebra, 3rd edition, Wellesley, Massachusetts: Wellesley-Cambridge Press, 74-76.Sahid. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. 2005. Yogyakarta:ANDISasalusu, A. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu

__________________________Terima Kasih ______________________________

26