Alin Edisi 2013

5/24/2018 Alin Edisi 2013

1/160

1

ALJABAR LINIER(ALIN)

Untuk Lingkungan Sendiri dan Tidak DiizinkanDiperbanyak Tanpa Seizin Penulis

Edisi Ketiga

ASWAN, M.Si

STMIK AMIKBANDUNG

12 Desember 2012

5/24/2018 Alin Edisi 2013

2/160

2

Mata Kuliah : Aljabar LinierKode MK : MI-081307/TI-08307Bobot SKS : 3 (tiga)

a. Deskripsi Mata Kuliah

Perkuliahan ini dimaksudkan agar mahasiswa dapat mengenal beberapa konsep dasar dalammatematika, melakukan proses generalisasi sederhana dalam matematika dan dapatmenggunakan pengetahuan tentang Aljabar Linier untuk mempelajari lebih lanjut tentangprogram komputer dan simulasi dalam komputer/sof tware.

Lingkup materi perkuliahan meliputi : Ruang Euclidis, Ruang Vektor Umum, Ruang Bagian,Bebas Linier, Tak Bebas Linier, Basis dan Dimensi, Ruang Baris dan Ruang Kolom Matriks,Ruang Hasil Kali Dalam, Panjang dan Sudut pada Ruang Hasil Kali Dalam, Basis Ortonomal,Koordinat dan Perubahan Basis, Transformasi Linier, Nilai dan Vektor Eigen, Diagonalisasi danMatriks Simetri.

b. PrasyaratMahasiswa telah mengikuti perkuliahan ALJABAR MATRIKS

c. Sumber Howars Anton. 1993,Aljabar Linear Elementer, Erlangga, Jakarta. Serge Lang, 1981, Linear Algebra, Addison-Wesley, New York.

d. OutlineMinggu Pertemuan Pokok Bahasan/Sub Pokok BahasanI 1 Ruang EuclidisII 2 Ruang Vektor UmumIII 3

4

Ruang Bagian

Bebas LinierIV 5 Tak Bebas LinierV 6

7Basis dan DimensiRuang Baris dan Ruang Kolom Matriks

VI 8 Rank dan Mencari BasisVII 9

10Ruang Hasil Kali DalamPanjang dan Sudut pada Ruang Hasil Kali Dalam

VIII 11 Basis OrtonormalIX 12 Koordinat dan Perubahan BasisX 13 Tarnsformasi LinierXI 14

15Sifat Transformasi LinierKernel dan Jangkauan

XII 16 Transformasi Linier dari Rn Ke RmXIII 17 Matrik Transformasi LinierXIV 18 Nilai dan Vektor Eigen

Silabi1. Tujuan ( Kemampuan yang di harapkan )

Sasaran dari perkuliahan ini agar mahasiswa dapat :(1) mengenal beberapa konsep dasar Aljabar Linier(2) melakukan proses generalisasi sederhana dalam Aljabar Linier(3) menggunakan pengetahuan tentang aljabar linier untuk mempelajari matematika

lanjut2. Cakupan isi

Lingkup perkuliahan ini meliputi :(1) Ruang euclidis, ruang vektor umum, ruang bagian, bebas linier, basis dan dimensi

5/24/2018 Alin Edisi 2013

3/160

3

ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis,ruang hasil kali dalam, panjang dan sudut pada runag hasil kali dalam, basisortonormal, proses Gram-Schmidt, koordinat dan perubahan basis.

(2) Transformasi linier : sifat tarnsformasi linier, kernel dan jangkaun transformasi linierdari Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier.

(3) Nilai dan vektor eigen : nilai eigen, vektor eigen, diagonalisasi, diagonalisasi ortogonal,dan matriks simetri.

3. EvaluasiPenentuan nilai akhir dari mata kuliah ini, penilaian dilakukan pada beberapa aspek yaitu :1. Kehadiran Minimum : 85% (kali 14 Pertemuan)2. Nialai tugas-tugas : 20%3. Quiz : 10%4. Nilai ujian tengah semester : 20%5. dan Nilai ujian akhir semester: 30%

5/24/2018 Alin Edisi 2013

4/160

4

RENCANA MUTU PEMBELAJARAN

Nama Dosen : Aswan, M.SiProgram Studi : Teknik InformatikaKode Mata Kuliah : MI-081307/TI-08307

Nama Mata Kuliah : Aljabar LinierJumlah SKS : 3 sksKelas/Semester : IIPertemuan : 14 kaliAlokasi Waktu : 1x120 Menit

I. Standard KompetensiMahasiswa mampu menguasai konsep-konsep aljabar linear dan dapat menggunakannya untukmembantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupunmasalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

II. Kompetensi DasarMenjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung eAdan menggunakantheorema Caely-Hamilton

III. IndikatorDapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung eA; menggunakan theoremaCaely-Hamilton

IV. Materi AjarBentuk kanonik Jordan, teorema Caely-Hamilton

V. Metode / Strategi PembelajaranEkspository, tanya jawab, diskusi, dan tugas-tugas.

VI. Tahap PembelajaranA. Kegiatan Awal :Dosen membuka pelajaran dan menjelaskan tentang konsep bentuk kananik jordan danteorema caely hamilton.

B. Kegiatan Inti :C. Mengkaji dan mensikusikan konsep bentuk kanonik jordan dari konsep eAserta theorema

Caely-hamiltonD. Kegiatan Akhir :

Dosen membuat rangkuman hasil perkuliahan.

VII. Alat/Sumber/bahan belajar1. Alat/Media : LCD proyektor, komputer

2. Bahan/Sumber Belajar :Referensi :[1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia

Indonesia, Jakarta, 1995.[2]. D. Suryadi H.S., S. Harini Machmudi, Teori dan Soal Pendahuluan ALJABAR LINIER, Ghalia-

Indonesia, Jakarta, 1986.[3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.[4] Ho Kwak dan Sungpyo Hong. Linear Algebra. Boston : Birkhauser[5] Wono Setyo Budi.Aljabar Linier. Jakarta : Gramedia[6] Seymour Lipschutz, Theory and Problems of Linear Algebra. Singapore :Mc-Graw-Hill Inc.[7] Frank Ayres, Jr, Theory and Problems of Matreces. Singapore :Mc-Graw-Hill Inc.[8]www.budimurtiyasa.wordpress.com

VIII. Penilaian

5/24/2018 Alin Edisi 2013

5/160

5

A. Teknik dan instrumen penilaian :1. Hasil diskusi2. Keaktifan dan sumbangan materi dalam diskusi/tanya jawab.3. Tugas-tugas/portofolio4. Test Formatif/Quiz

B. Kriteria Penilaian :2 Pt + 3 Ps + 5 Tt----------------------------- = Nf

10KeteranganPt = Tugas/PortofolioPs = ProsesTt = Tes formatif / quizNf = Nilai Formatif

Bandung, 12 Desember 2012

MengetahuiKetua Jurusan Teknik Informatika Penanggung Jawab

Tedjo Darmanto, MT Aswan, M.Si

MATERI PERKULIAHAN

5/24/2018 Alin Edisi 2013

6/160

6

MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT 2 (S1/IF)Kode Mata Kuliah / SKS :MI-081307/TI-08307/ 3 SKS

Pertem

uan Ke

Pokok Bahasan danTIU

Sub-pokok Bahasan dan TIK Referensi

1 Pendahuluan

1. Vektor.

Mahasiswa mampumemahami :- pengertian vektor,

baik definisi, notasimaupun operasiyang berlakudidalamnya.

-Susunan koordinatruang Rn.

Pengertian vektor dankoordinatnya di dalamruang berdimensi 1, 2, 3,dan n.

Pengantar mata kuliah aljabar linier. Mengerti cakupan materi aljabar linier. Mengerti aplikasi mata kuliah aljabar linier1.1. Definisi Vektor, Notasi,1.2. Vektor secara ilmu ukur1.3. Operasi pada vektor1.4. Vektor di dalam ruang Rn atau berdimensi n.1.5 Susunan Koordinat Ruang Rn

1.6 Persamaan garis lurus dan bidang rataMahasiswa dapat :

Menjelaskan definisi dari vektorMenjelaskan notasi sebuah vektorMenjelaskan jenis operasi dan hasil operasi padavektor.Menjelaskan dan memberikan contoh susunankoordinat ruang Rn.Menjelaskan vektor bentuk vektor di RnMenjelaskan persamaan parameter dan persamaanvektor garis lurus dan persamaan bidang rata.

1.7. Latihan dan Tugas Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian

vektor. Mahasiswa mampu menyatakan suatu vektor

secara ilmu ukur. Mahasiswa mampu menemukan hasil dari suatu

operasi yang dilakukan terhadap dua vektor ataulebih.

Mahasiswa mampu menjelaskan pengertianvektor dalam ruang berdimensi satu, dua, tiga dann.

Mahasiswa mampu menyatakan suatu vektordalam susunan koordinat ruang berdimensi satu,dua dan tiga.

1

2 2. Ruang VektorRuang Vektor (1)Mahasiswa mampu

memahami pengertian/konsep dari :-

sebuah field,- ruang vektor diatas

suatu field,- ruang vektor bagian,- vektor-vektor yang

bebas linier danbergantungan linier,

- kombinasi linier danartinya secara ilmu

ukur,- Teorema-teorema

tentang kombinasilinier, serta

Basis dan dimensidari suatu ruangvektor.

2.1. Field2.2 Ruang vektor di atas suatu field.2.3 Ruang Vektor Bagian2.4 Vektor Bebas Linier dan Bergantungan Linier

Mahasiswa dapat menuliskan definisi,sifat-sifat, dan contoh dari :- sebuah field.- ruang vektor diatas suatu field.- ruang vektor bagian.- vektor-vektor yg bebas linier dan bergantungan

linier.Mahasiswa dapat menentukan/menyelidiki/

membuktikan bahwa suatu himpunanvektor-vektor adalah :

- bebas/bergantung linier.- pembentuk suatu ruang vektor

ruang vektor bagian atau bukan

1

5/24/2018 Alin Edisi 2013

7/160

5/24/2018 Alin Edisi 2013

8/160

5/24/2018 Alin Edisi 2013

9/160

9

- konseppenghitunganpenghitungan nilaideterminan darisuatu matriks dgnberbagai cara.

Definisi matriks singulardan non-singular.

kolom)5.4.2. Memanfaatkan sifat-sifat determinan.

4.6 Matriks Singular dan Non Singular.4.7 Ekspansi secara Baris dan Kolom4.8 Menghitung nilai Determinan dengan sifat-sifat

Determinan

Mahasiswa dapat :- menentukan nilai determinan dari suatu matriks

dengan cara sarrus, sifat-sifat determinan,ekspansi matriks secara baris dan kolom, dandengan minor/kofaktor.

4.9 Latihan dan tugas Menjelaskan pengertian determinan. Menjelaskan sifat-sifat determinan. Menjelaskan pengertian dari sifat-sifat determinan. Menjelaskan pengertian minor dari suatu matriks. Menjelaskan pengertian kofaktor dari suatu matriks. Mencari kofaktor dari suatu matriks. Menghitung nilai determinan dari suatu matriks

dengan menggunakan sifat-sifat determinan. Menjelaskankan Teorema Laplace. Menghitung nilai determinan dengan menggunakan

teorema Laplace. Menjelaskan pengertian dari matriks singular. Menjelaskan pengertian dari suatu matriks non-

singular. Menetapkan suatu matriks termasuk dalam matriks

singular atau tidak.9. 5. Matriks Invers

Mahasiswa mampumemahami :- definisi dari matriks

invers serta caramenentukanmatriks invers.

5.1 Definisi matriks invers5.2 Matriks Singular, Non-singular

5.3 Matriks Adjoint dan Invers5.4 Mencari Invers matriks dengan menggunakan

matriks adjoint.5.5 Mencari invers matriks dengan menggunakan

transformasi elementer dan Partisi.5.6 Invers matriks yang tidak bujur sangkar.

5.6.1. Invers kiri.5.6.2. Invers kanan

Mahasiswa dapat :- menjelastkan definisi dari matriks invers, matriks

singular dan non singular, serta matriks adjoint.- menentukan invers dari matriks bujur sangkar

dengan beberapa cara.- menentukan invers dari matriks yang tidak bujur

sangkar.

5.7. Latihan dan tugas Menjelaskan pengertian dari matriks adjoin. Menjelaskan pengertian matriks invers. Mencari matriks invers dengan memanfaatkan

matriks adjoin. Mencari matriks invers dengan menggunakan

transformasi elementer. Menjelaskan pengertian invers kanan dan kiri dari

suatu matriks yang tidak bujur sangkar. Mencari invers suatu matriks tidak bujur sangkar

(jika ada).

1

5/24/2018 Alin Edisi 2013

10/160

10

10. 6. Sistem PersamaanLinier

Mahasiswa mampumemahami :- pengertian

persamaan linierdan susunanpersamaan linier.

- PengertianPersamaan linierhomogen dan non-homogen.

Cara penyelesaiansusunan persamaanlinier homogen dannon-homogen.

6.1. Persamaan Linier dan Sistem Persamaan Linier.6.2. Susunan Sistem Persamaan Linier.6.3. Sistem Persamaan Linier Homogen dan

Penyelesaiannya.Mempunyai jawab Trivial.

6.4. Sistem Persamaan Linier Non Homogen dan

Penyelesaiannya.6.5. Penyelesaian sistem persamaan linier.

Aturan Cramer.6.6. Latihan dan tugas

Menjelaskan pengertian dari persamaan linier. Menjelaskan pengertian sistem Persamaan

Linier. Menyebutkan susunan (jenis) dari sistem

persamaan linier. Menjelaskan sistem persamaan linier Homogen. Membedakan sistem persamaan linier homogen

dengan jawab trivial saja atau jawab trivial dannon trivial,

Menyebutkan syarat suatu sistem persamaanlinier homogen mempunyai solusi (selain solusitrivial).

Menjelaskan pengertian dari sistem persamaanlinier non homogen.

Mencari solusi dari sistem persamaan linierdengan aturan cramer.

Mahasiswa dapat :- Mencari bentuk persamaan linier dan susunan

persamaan linier.- Menjejaskan perbedaan susunan persamaan linier

homogen dan non-homogen.

- Menentukan jawab dari susunan persamaan linierhomogen dan non-homogen.

1

11. 7. Transformasi Linier

Mahasiswa mampumemahami pengertiandari :- transformasi linier- basis.- matriks transisi- transformasi vektor

linier.- transformasi vektor

linier.- matriks representasi.

Mahasiswa mampumemahami :- pengertian dari ruang

peta dan ruang nol- pengertian dari

produk transformasi.

7.1. Transformasi7.2. Pengertian Transformasi7.3. Pergantian Basis7.4. Transformasi Vektor Linier

Mahasiswa dapat :- Menjelaskan pengertian dari transformasi linier

dan memberikan contoh sebuah transformasilinier.

- Menjelaskan pengertian dari basis dan dapatmemberikan contoh basis.

- Menentukan matriks transisi dari suatu pergantianbasis.

- Menentukan bentuk vektor baru akibat pergantianbasis

- Menjelaskan definisi dari transformasi vektor linier.- Menentukan bentuk matriks representasi dari

suatu transformasi linier.

1

12. 7. Transformasi Linier

Mahasiswa mampumemahami :- pengertian/definisi

7.5. Matriks dan transformasi vektor linier.7.6. Ruang peta dan ruang nol.

7.7. Produk transformasi.7.8. Akar dan vektor karakteristik

1

5/24/2018 Alin Edisi 2013

11/160

11

dari transformasiinvers pada suaturuang vektor.

pengertian/definisi daritransformasisimilaritas pada

suatu ruang vektor

Mahasiswa dapat :- Menjelaskan pengertian dari ruang peta dan

memberikan contoh sebuah ruang peta.- Menjelaskan pengertian dari ruang nol dan

memberikan contoh sebuah ruang nol.- Menentukan basis dan dimensi dari ruang peta dan

ruang nol dari suatu transformasi.- Menjelaskan pengertian dari produk transformasi- Menentukan bentuk produk transformasi dan

matriks transformasi dari dua buah transformasi13 Transformasi Linier

Mahasiswa mampumemahami :- definisi/pengertian

dari eigenvalue daneigenvector.

- prosesdiagonalisasi

- definisi/pengertiandari transformasiorthogonal.

7.9. Diagonalisasi7.10. Transformasi Invers7.11. Transformasi Similaritas7.12. Eigen value dan vektor EigenMahasiswa dapat :

- Menjelaskan pengertian dan contoh daritransformasi invers.

- Menjelaskan pengertian dan contoh daritransformasi similaritas.

- Menentukan matriks transformasi invers dan hasiltransformasi invers.

- Menentukan matriks transformasi similaritas danhasil transformasi similaritas.

14 Transformasi Linier

Mahasiswa mampumemahami :- pengertian/definisi

dari transformasirota-si dantransformasi simetris

- Proses transformasirotasi dantransforma-sisimetris.

7.13. Diagonalisasi7.11. Transformasi ortogonal7.12. Rotasi7.13. Transformasi Simetris

Mahasiswa dapat :- Menjelaskan definisi dari nilai eigen dan vektor

eigen.- Menentukan/mencari nilai eigen dan vektor eigen.

- Mereduksi suatu matriks ke bentuk diagonal.- Menjelaskan definisi dan memberikan contoh

bentuk transformasi orthogonal.- Menentukan/mencaari bentuk matriks transformasi

orthogonal.

Mahasiswa dapat :- Menjelaskan bentuk persamaan hasil

transformasi rotasi.- Menentukan/mencari bentuk matriks

transformasi yang simetris.

8.6. Latihan dan tugas Menjelaskan pengertian akar karakteristik. Menjelaskan pengertian vektor karakteristik. Menentukan nilai akar karakteristik. Menemukan vektor karakterisitik matriks. Menjelaskan pengertian diagonalisasi Melakukan proses diagonalisasi secara efektif

Menjelaskan pengertian dari transformasi. Menjelaskan pengertian dari transformasi vektor

linier. Menjelaskan hubungan antara matriks dengan

transformasi vektor linier.

Menjelaskan pengertian ruang peta dan ruangnol. Mencari ruang peta dan ruang nol.

5/24/2018 Alin Edisi 2013

12/160

12

Menjelaskan pengertian dari produktransformasi.

Mencari hasil dari suatu transformasi vektorlinier.

Daftar Referensi1. Suryadi H.S, Pengantar Aljabar Linier dan Geometri Analitik, Seri Diktat Kuliah, Penerbit

Gunadarma.2. Lipschutz, Seymour, Theory & Problems of Linear Algebra , Schaum Series, Mc.Graw Hill.3. Anton, Howard, Penerapan Aljabar Linier.

5/24/2018 Alin Edisi 2013

13/160

13

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur saya panjatkan kepada Allah s.w.t, satu-satunya yang maha Dzat yangMaha Mengetahui dan Maha Melihat dan salam sejahtera kepada junjungan kita Nabi

Muhammad s.a.w berserta keluarganya dan para sahabatnya.

Atas berkat rahmat dan karunia-Nya, saya dapat menyelesaikan penulisan modul ini sebagaisalah satu Mata Kuliah Aljabar Linier pada Jurusan Manajemen Informatika STMIKAMIKBANDUNG dengan Judul ALJABAR LINIER.

Dalam menyelesaikan modul ini penulis sedikit banyak mengalami kesulitan karena berebutpemakaian komputer di STMIK AMIKBANDUNG. Hal ini tidak lain disebabkan olehketerbatasan sarana yang ada dan banyaknya dosen yang menggunakan komputer tersebut,penulis menyadari betul bahwa modul ini masih jauh dari sempurna, masih banyak kekuranganbaik dari segi penyajian, pengkajian materi, bahasa maupun contoh-contoh di dalamaplikasinya, oleh karena itu saya dengan lapang hati menanti kritik dan saran yangmembangun dari semua pihak sehingga dapat menjadi lebih baik lagi tulisin ini.

Penulis telah berusaha dengan semaksimal tenaga untuk menuangkan hal-hal yang penulisbaca dan ketahui untuk dijadikan sebagai suatu informasi. Penyelesaian penulisan modul initidak lepas dukungan moral semua pihak, dan lembaga sehingga dapat selesai padawaktunya.

Akhirnya Penulis berharap modul ini dapat berguna dan memberikan sumbangan yang

bermanfaat bagi lingkungan akademik di mana Penulis selama ini mengabdi, maupun pihaklain yang membutuhkan. Semoga Allah SWT senantiasa melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya yang tiada henti-hentinya kepada kita semua. Amin Yaraabul Alamin.

Bandung, 12 Desember 2012

Penulis

Aswan, M.Si

5/24/2018 Alin Edisi 2013

14/160

14

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ............................................................................................................Daftar Isi .

iii

BAB 1

BAB 2

BAB 3

BAB 4

BAB 5

BAB 6

VEKTOR1.1 Pendahuluan ................................................................................

1.1.1 Euclides .........................................................................................1.1.2 Vektor dalam Ruang Euklide (Euklidian dalam n-Ruang) ...................1.1.3 Vektor (Definisi dan Notasi) ................................................................1.1.4 Operasi Vektor ...................................................................................1.1.5 Beberapa Dalil pada Operasi Vektor .................................................1.1.6 Dot Product (Hasil Kali Titik) ..............................................................1.1.7 Cross Product (Hasil Kali Silang) ........................................................1.2 Susunan Koordinat Ruang R

n .........................................................

1.2.1 Ruang Dimensi Satu (R1) .................................................................1.2.2 Ruang Dimensi Dua (R2) ...................................................................1.2.3 Ruang Dimensi Tiga (R3) .................................................................1.2.4 Ruang Dimensi n ( Rn) .....................................................................1.3 Vektor di dalam R

n .

1.4 Persamaan Garis Lurus dan Bidang Rata ....................................1.4.1 Garis Lurus .......................................................................................1.4.2 Bidang Rata ......................................................................................

RUANG VEKTOR .....................................................................................2.1 Field 2.2 Ruang Vektor di atas suatu Field ......................................................2.3 Ruang Vektor Bagian ..2.4 Vektor Bebas Linier dan Bergantungan Linier 2.5 Kombinasi Linier dan Arti Kombinasi Linier secara ilmu ukur. .2.6 Teorema-teorema mengenai Kombinasi Linier.2.7 Dimensi dan Basis. ..

MATRIKS

3.1 Definisi dan Notasi Matriks3.2 Operasi pada Matriks3.3 Transpose Matriks3.4 Beberapa Jenis Matriks khusus3.5 Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom3.6 Matriks Ekivalen3.7 Ruang Baris dan Ruang Kolom dari suatu matriks3.8 Rank Matriks

DETERMINAN

4.1 Pendahuluan (Permutasi)4.2 Sifat-sifat Determinan4.3 Minor dan Kofaktor4.4. Ekspansi secara Baris dan Kolom4.5. Menghitung nilai Determinan dengan sifat-sifat Determinan

MATRIKS INVERS5.1 Definisi matriks invers5.2 Matriks Singular, Non-singular5.3 Matriks Adjoint dan Invers5.4 Mencari Matriks Invers dengan Transformasi Elementer dan Partisi5.4. Invers pada matriks yang tidak bujur sangkar

PERSAMAAN-PERSAMAAN LINIER6.1 Persamaan Linier dan Susunan Persamaan Linier.

1616

1818

3334

66899

121377777777777777777

5/24/2018 Alin Edisi 2013

15/160

15

BAB 7

6.2 Susunan Persamaan Linier Homogen dan Penyelesaiannya.6.3 Susunan Persamaan Linier Non-homogen dan Penyelesaiannya.

TRANSFORMASI LINIER

7.1 Pengertian Transformasi7.2 Pergantian Basis

7.3 Transformasi Vektor Linier7.4 Ruang Peta dan Ruang Nol7.5 Produk Transformasi7.6 Transformasi Invers7.7 Transformasi Similaritas7.8 Eigenvalue dan Eigenvector7.9 Diagonalisasi7.10 Transformasi ortogonal7.11 Rotasi7.12 Transformasi Simetris

5/24/2018 Alin Edisi 2013

16/160

16

BAB 1VEKTOR

1.1 PendahuluanAljabar linier adalah bidang studimatematika yang mempelajari sistem persamaanlinier dansolusinya,vektor, serta transformasi linier. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yangberkaitan erat dengan bidang aljabar linier.

1,1,1 EuclidesEuclides1 ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh sepertiNapoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapidalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.

Hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui.Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Iskandariah, Mesir, di sekitar tahun 300 SM,tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benuaapa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masihada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada textbooknya yanghebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.

Born fl. 300 BCResidence Alexandria,EgyptEthnicity GreekFields MathematicsKnown for Euclidean geometry

Euclid's Elements

1Seratus Tokoh yang Paling Berpengaruh dalam Sejarah, Michael H. Hart, 1978.

Terjemahan H. Mahbub Djunaidi, 1982

5/24/2018 Alin Edisi 2013

17/160

17

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yangdilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orangsebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak padacara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruhdalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurusdiantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudahdifahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk carapemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaanterhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selainterutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itumengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.

Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku sudah lebih dari 2000 tahun dantak syak lagi merupakan textbook yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begituhebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkansemua textbook yang pernah dibikin orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi.

Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalampelbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuanmesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalamberibu-ribu edisi yang beragam corak.

Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih berpengaruhketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplitsekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semuahasil kreasi otak manusia. Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakanfaktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlahsekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedargeneralisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modernberasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satupihak, dengan analisis hati-hati dan simpulan yang punya dasar kuat di lain pihak.

Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo danCopernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnyamengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjolapa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani,bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa.

Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang daripadanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid

yang berada di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinyaEuclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Eucliddengan teorinya memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya.

Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis bukukesohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagaiilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimanasemua simpulan mereka secara logis berasal dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuatoleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza.

Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid . bukan satu-satunyasistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan

pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskangeometri bukan ala Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para

5/24/2018 Alin Edisi 2013

18/160

18

ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapanmasalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar Lubang hitam dan bintangneutron misalnya di mana gayaberat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidakmemberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yangtepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karenadalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekatikenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasilupaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.

1.1.2 Vektor dalam Ruang Euklide (Euklidian dalam n-Ruang)

Vektor di dalam n-Ruang

Definisi :Jika n adalah sebuah bilangan integer positif, sebuah n-grup topel adalah sekuensdari n bilangan real (a1.a2.....an). Himpunan dari semua grup yang terdiri dari n-grup topeldinamakan n-ruang dan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan

grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap ngrup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real.Kita akan menuliskan R dari R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang simbol dari (a1, a2, a3) mempunyai duainterpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasusini a1, a2, a3merupakan koordinat, atau bisa juga diinterpretasikan sebagai vektor, dimana a1,a2, a3merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa ngrup topel (a1, a2,...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah titik umum atau vektor umum- perbedaan antarakeduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5-topel (-2, 4, 0 ,1,6) antara titik dalam R5 atau vektor pada R5.

u1= v1u2= v2un= vnProses Gram-SchmidtDalam matematika, khususnya aljabar linier dan analisis numerik, maka proses Gram-Schmidtadalah metode untuk orthonormalizing satu himpunan vektor dalam sebuahprodukdalam ruang, yang paling sering ruang Euclides R n. Proses GramSchmidt dapat melaluisebuah himpunan bebas liner, set S= { v 1 , , v k} untuk k n dan menghasilkan sebuahhimpunanorthogonal S' = { u1, , u k} that spans the same k-dimensional subspace of R

nas S. Gram-Schmidt yang memakan waktu prosesyang terbatas,independen linear set S= (v1,..., v k)untuk k ndan menghasilkan sebuahset ortogonal S'= (u1,..., u k)yang membentangkdimensi yang sama subruang dari ruang Rnsebagai S.

Proses Gram-Schmidt untuk ruang vektor?Diketahui R3 adalah sebuah ruang vektor yang mempunyai hasil kali dalam Euclidean(Euclidean inner product). Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis{u1,u2,u3} menjadi basis ortonormal {v1,v2,v3} dengan u1 = {0, 2, 1}, u2 = {1, -1, 0}, dan u3 ={1, 2, 0}

Jawaban Terbaik - Dipilih oleh Suara Terbanyakv1 = u1 = {0,2,1}v2 = u2 - [v1 u2/(v1 v1)] v1v2 = {1, -1, 0} - [{0,2,1} {1, -1, 0}/({0,2,1} {0,2,1})] {0,2,1}v2 = {1,-0.2,0.4}

v3 = u3 - [v2 u3/(v2 v2)] v2 - [v1 u3/(v1 v1)] v1

5/24/2018 Alin Edisi 2013

19/160

19

v3 = {1, 2, 0} - [{1,-0.2,0.4} {1, 2, 0}/({1,-0.2,0.4} {1,-0.2,0.4})] {1,-0.2,0.4} - [{0,2,1} {1, 2, 0}/({0,2,1} {0,2,1})] {0,2,1}

v3 = {0.5, 0.5, -1}

periksa lagi hasil yang diperoleh. v1, v2 dan v3 harus saling orthogonal.v1 v2 = {0,2,1} {1,-0.2,0.4} = 0 + (-0.4) + 0.4 = 0v1 v3 = {0,2,1} {0.5, 0.5, -1} = 0 + 1 + (-1) = 0v2 v3 = {1,-0.2,0.4} {0.5, 0.5, -1} = 0.5 + (-0.1) + (-0.4) = 0

Metode ini dinamai untukJrgen Pedersen Gram danErhard Schmidt tetapi munculsebelumnya dalam karyaLaplace danCauchy. I. Dalam teorigrup Lie dekomposisinyadigeneralisasi oleh dekomposisiIwasawa. Penerapan proses Gram-Schmidt untuk vektorkolom penuhperingkatmatriks menghasilkandekomposisi QR (hal ini didekomposisi ke dalamorthogonal danmatriks segitiga).

Proses Gram-SchmidtMisalkan V adalah suatu inner product ruang dan W sebuah m-dim. Subruangan dari V dimanam>= 1.

Input : S = { mvvvv

,,,, 321 } adalah sebuah basis untuk W,Output : mVVVVT

,,,,

~321 adalah suatu basis orthogonal untuk W.

5/24/2018 Alin Edisi 2013

20/160

5/24/2018 Alin Edisi 2013

21/160

21

Dua langkah pertama dari proses Gram Schmidt.

Urutan u1, ..., ukadalah sistem yang diperlukan vektor ortogonal, dan normalisasi vektor e1,..., ekmembentuk orthonormalyang ditetapkan. Perhitungan urutan u1, ..., ukadalah dikenalsebagai Gram-Schmidt orthogonalization, sedangkan perhitungan urutan e1, ..., e k adalahdikenal sebagai Gram-Schmidt orthonormalizationsebagai vektor yang normalkan.

Untuk memastikan bahwa formula ini menghasilkan sebuah urutan ortogonal, pertamamenghitung dengan menggantikan rumus di atas untuk u 2: kita mendapatkan nol.Kemudian gunakan ini untuk menghitung lagi dengan menggantikan formula untuk u3:kita mendapatkan nol. Bukti umum berlangsung denganinduksi matematika.

Geometrically, this method proceeds as follows: to compute ui, it projects viorthogonally ontothe subspace Ugenerated by u1, , ui1, which is the same as the subspace generated by v1 , , v i 1 . Secara Geometris, metode ini melakukan proses sebagai berikut: untukmenghitung ui,viproyek-proyek itu ke orthogonally Usubspace yang dihasilkan oleh u1,..., ui-1,yang sama dengan yang dihasilkan oleh subspace v1,..., vi-1.The vector uiis then definedto be the difference between v iand this projection, guaranteed to be orthogonal to all of thevectors in the subspace U. Vektor u i ini kemudian didefinisikan sebagai perbedaan antara v idan proyeksi ini, dijamin akan ortogonal ke semua vektor di subspace U.

The GramSchmidt process also applies to a linearly independent infinite sequence { v i } i .

Yang proses Gram-Schmidt juga berlaku untuk independen linear tak terhingga urutan (v i) i.The result is an orthogonal (or orthonormal) sequence { u i} isuch that for natural number n:the algebraic span of v1, , vnis the same as that of u1, , un. Hasilnya adalah ortogonal(atau orthonormal) urutan (ui) ialam sedemikian rupa sehingga bilangan n:aljabar span v1,...,vnadalah sama dengan u1,..., un.

Jika proses Gram-Schmidt diterapkan pada urutan linear, itu vektor output angka 0 padalangkah ke-i, dengan asumsi bahwa is a linear combination of adalah kombinasi linear

. . If this can happen, then in order to meet the condition that the outputs beorthogonal, and furthermore to avoid division by zero if producing an orthonormal basis, thealgorithm should test for zero vectors in the output and discard them. Jika hal ini dapat terjadi,maka dalam rangka untuk memenuhi syarat bahwa output akan ortogonal, dan lebih jauh lagi

untuk menghindari pembagian dengan nol jika menghasilkan orthonormal dasar, algoritmaharus tes vektor nol dalam output dan membuang mereka. Jumlah vektor output denganalgoritma kemudian akan dimensi ruang yang direntang oleh input asli.

5/24/2018 Alin Edisi 2013

22/160

5/24/2018 Alin Edisi 2013

23/160

23

Pendekatan ini (kadang-kadang disebut sebagai "diubah Gram-Schmidt") memberikan hasilyang sama seperti aslinya persis rumus dalam aritmatika, tetapi lebih kecil memperkenalkanterbatas-kesalahan dalam aritmatika presisi.

1.1.3 Vektor

Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur, dapat dijelaskan secaralengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah diberikan. Kuantitas seperti ini dinamakanskalar. Kualitas fisik lainnya disebut vektor, penjelasannya tidak begitu lengkap sehingga baikbesarannya maupun arahnya dapat dispesifikasikan. Sebagai contoh, angin yang bergerakpada umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya, misalnyamendekati 25 km/jam dari Barat ke Tengara.

Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmensegmen garis terarahataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah vektor danpanjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah disebut t i t ik awal (ini t ial po int)dari vektor,dan ujung panah dinamakan t i t ik termin al (terminal point).

Gambar 1.1

Pada gambar 1.1a, titik awal vector vadalah Adan titik terminalnya adalah B, maka dituliskan

v=

AB

Vektorvektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada gambar 1.1bdisebut ekivalen. Untuk menuliskan panjang vektor vdigunakan notasi |v|

1.1.4 Operasi Vektor

a. Penjumlahan Vektor

Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vector

B

A

(a) (b)

5/24/2018 Alin Edisi 2013

24/160

24

a.1 Metode Jajaran Genjang

Gambar 1.2

Vektor hasil (resultant) yaitu a + bdiperoleh dari diagonal jajaran genjang yang dibentuk oleh

vektor adan bsetelah titik awal dan titik akhir ditempatkan berimpit.

a.2 Metode Segitiga

Gambar 1.3

Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik ujung vektoryang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik awal adan bertitik ujung di titikujung b

Catatan :

1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor.

Misalnya a + b + c + d + e, maka resultannya adalah vektor dengan titik awal dititik awal vektor adan bertitik ujung di titik ujung vektore

3. Pengurangan vektor a dan b adalah ab = a + (-b)

b. Perkalian SkalarJika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar kamenghasilkansuatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang adan arahnya sama dengan arah a bila k positifatau berlawanan arah bila k negatif. Bila k = 0 maka ka =0 disebut vektor nol, yaitu vektor yangtitik awal dan titik ujungnya berimpit.

a

b

a+b

a+b

a

b

a+b

ab

a

2a -2a

5/24/2018 Alin Edisi 2013

25/160

25

Gambar 1.4

1.1.5 Beberapa Dalil pada Operasi Vektor

Untuk setiap vektor a = [a1, a2, a3,. . ., an] , b= [b1, b2, b3, . . . , bn] , c=[c1, c2, c3, . . ., cn] Rn,

dan m, k adalah skalarskalar, maka berlaku :

(1). a + b = b + a

(2). (a + b) + c = a + (b + c )

(3). k(a + b) = ka+ kb

(4). a+ 0= a

(5). a+ (-a) =0

(6). (k + m)a= ka+ ma

(7). (km)a= k(ma) = m(ka)

1.1.6 Dot Product (Hasil Kali Titik)

Definisi

Bila vdan wadalah vektor, dan adalah sudut antara v danw(0 ).Maka hasil kali titik

(dot product) v . wdidefinisikan dengan :

v .w=

0

cos|||| wv

00

00

watauvjika

wdanvjika

)1.1.....(....................

Gambar 1.5

Perhatikan gambar 1.5 di atas. Jika v =(v1, v2, v3) dan w= (w1, w2, w3) adalah 2 vektor tak nol.

Dan adalah sudut antara vdan w, maka hokum cosinus menghasilkan :

|

PQ |2= |v|2+ |w|22|v||w| cos ..(1.2)

Karena

PQ = w vmaka dapat (1.2) dapat dituliskan kembali sebagai :

2|v||w| cos = |v|2

+ |w|2

- |w v|2

|v||w| cos =

21 (|v|2+ |w|2 - |w v|2)

z

x

y

P(v1, v2, v3)

Q(w1, w2, w3)

5/24/2018 Alin Edisi 2013

26/160

26

Atau

v . w =21 (|v|2+ |w|2 - |w v|2)

Dengan mensubstitusikan

|v|2= 21v +

2

2v +2

3v dan |w|2= 21w +

2

2w +2

3w

dan|w v|2 = 211 )( vw +

2

22 )( vw +2

33 )( vw

Maka setelah disederhanakan akan diperoleh :

v. w = v1w1+ v2w2+ v3w3

Jika v dan w bukan vektor nol, maka persamaan (1.2) dapat ditulis menjadi:

Cos =

||||

.

wv

wv

Contoh 1.1

Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)

Carilah v.w dan tentukan sudut antara vdan w.

Jawab:

v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 21 + 2 = 3

|v| = 114 = 6

|w| = 411 = 6

Jadi Cos =6

3= 21 , maka sudut antara v dan w adalah 60

o

1.1.7 Cross Product (Hasil Kali Silang)

Dalam banyak penerapan vektor pada bidang geometri, fisika, dan teknik, kita perlumembentuk vektor di ruang-3 yang tegak lurus dengan 2 vektor lain yang diberikan.

Definisi

Jika v =(v1, v2, v3) dan w= (w1, w2, w3) adalah vektorvektor di Ruang-3, maka hasil kali silang

(cross product) v x w adalah vektor yang didefinisikan oleh

vx w= (v2w3v3w2, v3w1v1w3, v1w2v2w1)

atau dalam notasi determinan

vx w =

21

21

31

31

32

32,,

ww

vv

ww

vv

ww

vv

Contoh 1.2Carilah u xvdimana u= (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1)Jawab :

5/24/2018 Alin Edisi 2013

27/160

27

103

221

u x v =

03

21,

13

21,

10

22

= 6,7,2

Teorema

Jika v dan w adalah vector dalam Ruang-3, maka

1. v. (v x w) = 0

2. v. (v x w) = 0

3. |v x w|2= |v|

2|w |

2(v.w)

2 (Identitas Lagrange)

Jika adalah sudut di antara v dan w , maka v.w = |v| |w| cos , sehingga Identitas Lagrange

dapat dituliskan kembali sebagai :

|v x w|2= |v|

2|w |

2(v.w)

2

= |v|2|w |

2- (|v| |w| cos )

2

= |v|2|w |

2- |v|

2|w |

2cos

2

= |v|2|w |

2(1 - co s

2 )

= |v|2|w |

2s in

2

Jadi

|v x w| = |v| |w| sin

Gambar 1.6Jadi luas A dari jajaran genjang di atas diberikan oleh

A = |v | |w| sin = |v x w|

1.2 Susunan Koordinat Ruang Rn

1.2.1 Ruang dimensi satu (R1)

R O P E A

w sin

|w|

|v|

v

5/24/2018 Alin Edisi 2013

28/160

5/24/2018 Alin Edisi 2013

29/160

29

Lebih dahulu kita pandang suatu susunan koordinat di R2. Suatu vektor disebut satuan bilapanjangnya = 1.

Kita ambil sekarang vektor satuan :

e1 = OE1yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E1(1,0)

e2 = OE2yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E2(0,1)

Kemudian kita tulis e1 = 1e1 + 0 e2

e2 = 0e1 + 1 e2

Yang selanjutnya penulisan itu disingkat dengan

e1 = [1,0]

e2 = [0,1]

Sekarang pandang vektor ayang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya titik A(a1, a2). Vektor

a disebut vektor posisi dari titik A.

e1

e2

A(a1, a2)

a1e1

a2e2

Gambar 1.10

Bilanganbilangan a1, a2 disebut komponenkomponen dari a

Panjang vektor aadalah 222

1 aa

Secara umum untuk vektorp yang titik awalnya P(p1, p2) dan titik ujungnya di Q(q1, q2) :

PQ = (q1p1) e1+ (q2p2) e2= [(q1p1), (q2p2)]

Simpulan (untuk Rn):

1. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, , an) adalah OA = [a1, a2, , an]

2. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, , pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, , qn) adalah

PQ = [q1p1, q2p2, , qnpn]

3. Panjang vektor a= [a1, a2, , an] adalah |a| =22

2

2

1 .... naaa

Jarak 2 titik P(p1, p2, , pn) dan Q(q1, q2, , qn) adalah panjang vektor PQ yaitu :

|PQ| = 22222

11 )(....)()( nn qpqppq

5/24/2018 Alin Edisi 2013

30/160

5/24/2018 Alin Edisi 2013

31/160

31

Merupakan persamaan linier garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vektor arah [a, b, c].

1.4.2 Bidang Rata

Gambar 1.12

Misal diketahui 3 titik P(p1, p2, p3) , Q(q1, q2, q3) dan R(r1, r2, r3) pada sebuah bidang rata sepertidi atas.

Maka

PQ = [q1-p1, q2-p2, q3-p3]

PR = [r1-p1, r2-p2, r3-p3]

Untuk setiap titik pada bidang, berlaku

PX =

PQ +

PR

Jelas dari gambar

OX =

OP+

PX

=

OP +

PQ +

PR Atau

[x1, x2, x3] = [p1, p2, p3] + [q1-p1, q2-p2, q3-p3] + [r1-p1, r2-p2, r3-p3]

Adalah persamaan vektoris bidang yang melalui 3 titik. Kedua vektor

PQ dan

PR adalahvektor arah bidang.

Latihan :1. Carilah komponenkomponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal di Q

a. P(3,5) dan Q(2,8) b. P(6,5,8) dan Q(8, -7, -3)2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2, -1, 4) yang mempunyai arah seperti v = [7, 6, -3]

3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(2, 0, -7) yang mempunyai arah berlawanandengan v = [-2, 4, -1]

4. Misalkan P adalah titik (2, 3, -2) dan Q adalah titik (7, -4, 1)a. Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Qb. Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P dan Q yang 43 dari P ke Q.

5. Hitunglah panjang vbila

a. v= [3, 4] b. v= [-8, 7, 4]

PR

O

5/24/2018 Alin Edisi 2013

32/160

5/24/2018 Alin Edisi 2013

33/160

33

b. Gunakanlah matriks yang diperoleh dalam (a) untuk menghitung :

3

8T

BAB 2RUANG VEKTOR

2.1 Field (Medan Vektor)Semua daerah di mana vektor-vektor bekerja atau berada dalam suatu ruang tertentu yangdisebut dengan n-ruang.

Medan (Field)

Medan adalah himpunan elemen dengan dua jenia operasi, perkalian dan penjumlahan. Sebuah medan disebut berhingga (finite field) jika himpunannya memiliki jumlah elemen

yang berhingga.

Medan Berhingga FpFp adalah adalah himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, , p 1} dengan p prima dan operasaritmetika sbb:

1. PenjumlahanJika a, b Fp, maka a + b = rr adalah sisa hasil pembagiana + b dengan p0 r p - 1

2. Perkalian

Jika a, b Fp, maka a b = ss adalah sisa hasil pembagiana b dengan p0 r p - 1

Contoh:F23mempunyai anggota {0, 1, 2, , 22}.

Contoh operasi aritmetika:12 + 20 = 9 (karena 32 mod 23 = 9)8 9 = 3 (karena 72 mod 23 = 3)

Medan Galois (Galois Field) Medan Galois adalah medan berhingga dengan pnelemen, p adalah bilangan prima. Notasi: GF(p) Artinya: Medan Galois berorde p

Galois usia lima belas tahun, digambar oleh teman sekelas.Dilahirkan 25 Oktober 1811Meninggal 31 Mei 1832 (umur 20)Paris, Perancis

Kebangsaan PrancisFields Matematika

5/24/2018 Alin Edisi 2013

34/160

34

Terkenal Bekerja padateori persamaan danintegralHabilian

Agama Katolik Roma

(sumber): Rinaldi Munir/IF5054 Kriptografi

Kon tr ibusi terhadap Matematika

Tidak mengejutkan, Galois 'karya dikumpulkan jumlah yang hanya sekitar 60 halaman, tapi didalamnya banyak ide-ide penting yang memiliki konsekuensi luas bagi hampir semua cabangmatematika.[15]Karyanya telah dibandingkan denganNiels Henrik Abel, namunmatematikawan lain yang meninggal pada usia yang sangat muda, dan banyak pekerjaanmereka telah signifikan tumpang tindih.

Aljabar

Sementara banyak matematikawan sebelum Galois memberikan pertimbangan kepada apayang sekarang dikenal sebagaikelompok, itu Galois yang pertama kali menggunakan kata'kelompok' (dalam bahasa Perancis groupe)dalam pengertian teknis dipahami hari ini,membuatnya di antara pendiri kunci cabang aljabar yang dikenal sebagaiteori grup. Diamengembangkan konsep yang sekarang dikenal sebagaisubkelompok normal. Dia menyebutkelompok dekomposisi ke dalam kiri dan kanancosets yang 'tepat dekomposisi' jika cosets kiridan kanan bersamaan, yang adalah apa yang sekarang dikenal sebagai subkelompok normal.[13]Ia juga memperkenalkan konseplapangan terbatas ( juga dikenal sebagaimedan Galoisdalam kehormatan), dalam bentuk dasarnya sama seperti yang dipahami saat ini.[9]

Teori Galois

Galois 'kontribusi paling signifikan matematika sejauh ini adalah pengembangan teori Galois.Dia menyadari bahwa solusi untuk aljabarpolinomial persamaan berhubungan dengan struktursekelompokpermutasi dikaitkan dengan akar polinomial, parakelompok Galois dari polinomial.Ia menemukan bahwa persamaan dapat dipecahkan dalamradikaljika seseorang dapatmenemukan serangkaian subgrup normal dari kelompok Galois yangHabilian, atau kelompokGaloisdipecahkan. Hal ini terbukti menjadi sebuah pendekatan subur, yang kemudianmatematikawan disesuaikan dengan banyak bidang lain selain matematikateori persamaanyang Galois menerapkannya pada awalnya.[15]

Dalammatematika, lebih spesifik dalamaljabar abstrak, teori Galois,dinamai setelahvaristeGalois, menyediakan hubungan antarateori medan danteori grup. Menggunakan teori Galois,masalah-masalah tertentu dalam bidang teori dapat dikurangi untuk teori grup, yang dalampengertian tertentu lebih sederhana dan lebih baik dipahami.

Originally Galois digunakankelompok permutasi untuk menggambarkan bagaimana berbagaiakar dari suatupolinomial persamaan yang terkait satu sama lain. Pendekatan modern teoriGalois, yang dikembangkan olehRichard Dedekind,Leopold Kronecker, danEmil Artin, antaralain, melibatkan mempelajariautomorphisms dariekstensi lapangan. Lebih lanjut abstraksi dariteori Galois dicapai oleh teoriGalois koneksi.