Algoritmos de Optimizac ¸˜ ao para Planeamento Florestal Amˆ andio de Jesus Cordeiro Almada Dissertac ¸˜ ao para obtenc ¸˜ ao do Grau de Mestre em Engenharia Inform ´ atica e de Computadores Orientadores: Prof. Vasco Miguel Gomes Nunes Manquinho Prof.ª Maria Inˆ es Camarate de Campos Lynce de Faria J´ uri Presidente: Prof. Lu´ ıs Manuel Antunes Veiga Orientador: Prof. Vasco Miguel Gomes Nunes Manquinho Vogal: Prof. Lu´ ıs Manuel Silveira Russo Abril 2018
81
Embed
Algoritmos de Optimizac¸ao para Planeamento Florestal˜ · Algoritmos de Optimizac¸ao para Planeamento Florestal˜ Amandio de Jesus Cordeiro Almadaˆ Dissertac¸ao para obtenc¸˜
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Algoritmos de Optimizacao para Planeamento Florestal
Amandio de Jesus Cordeiro Almada
Dissertacao para obtencao do Grau de Mestre em
Engenharia Informatica e de Computadores
Orientadores: Prof. Vasco Miguel Gomes Nunes Manquinho
Prof.ª Maria Ines Camarate de Campos Lynce de Faria
Juri
Presidente: Prof. Luıs Manuel Antunes Veiga
Orientador: Prof. Vasco Miguel Gomes Nunes Manquinho
Vogal: Prof. Luıs Manuel Silveira Russo
Abril 2018
Resumo
O desenvolvimento industrial e um dos maiores factores que contribuem para destruicao do habitat
da vida selvagem existente nas florestas, principalmente quando se faz recurso das florestas para
aquisicao de materia prima. Todas as alteracoes a floresta, como por exemplo a colheita de madeira
ou a construcao, devem seguir um plano de boas praticas para garantir a consistencia da floresta.
A destruicao da vida selvagem e seu habitat pode ser minimizada com a criacao de uma reserva
florestal conectada. Quando se elabora agendamento de colheitas, e recomendavel reservar lotes
para construcao de uma reserva para as especies locais.
Este trabalho propos uma formulacao que combina o problema de agendamento de colheitas e a
criacao de reservas conectadas e compactas para a proteccao das especies. Foi desenvolvida uma
formulacao multi-objectivo que combinou o modelo URM de Murray [Murray, 1999] para o agenda-
mento de colheitas e um modelo para reservas conectadas e compactas denominado de RCC-nR. A
formulacao multi-objectivo apresentou-se com dois modelos: o modelo CRC caracterizado por deixar
lotes livres na floresta e o modelo CRC-T que reaproveita esses lotes para adicionar qualidade no
habitat das especies. Para ambos, o numero de variaveis e linear no numero de lotes e verifica-se
que calculam a fronteira de Pareto, onde o modelo CRC-T apresenta um numero inferior de solucoes.
Adicionalmente foi desenvolvido solucoes singulares tanto para colheita como para as reservas.
Palavras Chave
Programacao Linear Inteira; Satisfacao Modulo Teorias; Algoritmos de Optimizacao; Planeamento Flo-
restal; Proteccao de Especies; Agendamento de Colheitas.
i
Abstract
Industrial development is one of the major factors contributing to wildlife habitat destruction in forests,
especially due to resource exploration. The process of harvesting wood, construction or any alteration
that changes the forest should follow a plan of good practices in order to ensure its consistency. The des-
truction of wildlife and its habitat can be minimized with the creation of a connected forest reserve. When
scheduling a harvest it is advisable to take into account the arrangement of stands for the construction
of a reserve for local species.
This work proposes a formulation that combines both harvest scheduling and the creation of con-
nected and compacted reserves for the protection of species. The development of this multi-objective
formulation combines, the URM of Murray [Murray, 1999] for the harvest scheduling and a model for con-
nected and compacted reserves known as RCC-nR. The multi-objective formulation is presented with
two models: the model CRC characterized by leaving free stands in the forest and the model CRC-T
which utilize these stands to add quality to the species habitat. In both cases, the number of variables
is linear for the number of stands and it is possible to verify that they calculate the Pareto front in which
the CRC-T model presents a lower number of solutions. In addition, single-objective formulations were
Este capıtulo aborda essencialmente conceitos fundamentais para o suporte e compreensao do
conteudo deste documento. Aborda tambem as formulacoes que resolvem problemas afectos a proteccao
do habitat da vida selvagem e a criacao de agendamento de colheitas. O agendamento de colheitas, a
proteccao de especies e a conectividade, sao os problemas abordados e com solucoes dispostas em
formulacoes neste capıtulo.
2.1 Conceitos Fundamentais
Nesta seccao apresenta-se os conceitos e definicoes determinadas como essenciais para a com-
preensao das proximas seccoes. A subseccao 2.1.1 apresenta conceitos referentes a floresta, a
subseccao 2.1.2 apresenta os conceitos sobre Programacao Linear e a subseccao 2.1.3 finaliza com
overview sobre Satisfacao Modulo Teorias, da expressao em Ingles Satisfiability Modulo Theories
(SMT).
2.1.1 Plano Florestal
Ao efectuar uma tarefa, e necessario elaborar um plano de modo a nao o fazer empiricamente, sem
nocao dos efeitos e consequencias. Quando se trata de tarefas/problemas complexos ou de impacto
abrangente, elaborar um plano torna-se um requisito obrigatorio que leva a uma visao antecipada da
viabilidade antevendo metodos para colmatar as necessidades.
Todas as alteracoes a floresta provocada pelo homem, como colher madeira ou construir industria,
devem seguir um plano de boas praticas. Esse plano deve garantir a consistencia da floresta.
Tres factores importantes devem ser considerados na criacao dos planos florestais com o objectivo
de a tornar consistente.
Factores ambientais e biologicos, avaliam as caracterısticas significativas das especies que ocorrem
na area, o que cresce, e o que pode crescer em um determinado terreno, como tambem o tipo de terreno
que esta disponıvel para o plano florestal. Factores economicos e de mercados, considera o potencial
de uma area para producao do retorno financeiro suficiente. E o factor socio-economico que se refere
as pessoas e suas condicoes socio-economicas (e.g. posse de terras, valores e crencas) [Asia-Pacific
Forestry Commission, 1999].
Uma floresta e dividida em partes que iremos denominar por lotes 1. A Figura 2.1 apresenta uma
floresta que foi dividida em 104 lotes.
Quando o plano florestal e voltado a colheita, e feito um plano de longo prazo (varios perıodos) e
considera os seguintes pontos [Asia-Pacific Forestry Commission, 1999]:
1 Alguns estudos usam o termo cell quando se trata de areas uniformes e quadradas [Onal et al., 2016] e stands ou polıgonosquando sao areas nao uniformes [Carvajal et al., 2013]. Neste documento usaremos o termo lote.
9
Figura 2.1: Exemplo de floresta dividida em 104 lotes.
• Lotes a serem reservados para a conservacao da biodiversidade.
• Lotes a serem reservados dentro das areas de colheita propostas (e.g. proteccao do cursos de
agua).
• As futuras areas de colheita e uma agenda para a colheita.
• O tamanho aproximado e os limites de cada lote de colheita.
• Os volumes aproximados de madeira a serem colhidas em cada perıodo.
Um remendo representa o conjunto de lotes conectados. O conjunto de lotes conectados ou
contıguos e de tal forma que uma determinada especie consegue deslocar-se entre os lotes sem difi-
culdades e riscos. O conjunto de remendos seleccionados e protegidos constitui uma reserva.
A conectividade entre lotes pode ser classificada em conectividade estrutural e conectividade fun-
cional, em que a conectividade estrutural ou fısica trata de garantir que os lotes sejam adjacentes
(partilham uma fronteira fısica), permitindo que as especies habitem na reserva sem ter de sair da
mesma. A conectividade funcional esta relacionada com o grau de uma reserva facilitar a capacidade
das especies de se deslocarem entre os lotes (e.g. uma ave, nao necessita que os lotes tenham fron-
teiras fısicas) [Onal et al., 2016].
2.1.2 Programacao Linear
A Programacao Linear, da expressao em Ingles Linear Programming (LP) e um metodo utilizado
para optimizar funcoes lineares sujeitas a restricoes lineares. A optimizacao consiste em maximizar ou
minimizar a funcao linear e as restricoes lineares podem ser igualdades ou desigualdades lineares. A
funcao linear a ser optimizada e chamada de funcao objectivo [Igor Griva, 2009].
Supondo a existencia de duas especies animais que precisam expandir o seu habitat para os lotes
vizinhos. As variaveis x1 e x2 denotam o numero de hectares por especie. A expansao por hectare
acresce 3 e 5 para x1 e x2, respectivamente. No entanto, existem restricoes que dizem respeito a 50
10
hectares sem grandes arvores e 45 com acesso a recursos hıdricos, dando maior poder de escolha
para x2. Esse problema, pode ser formulado da seguinte forma:
Maximizar 3x1 + 5x2
Sujeito a:
3x1 + 2x2 ≤ 50
5x1 + 3x2 ≤ 45
x1, x2 ≥ 0
Este problema pode ser expandido para n especies e m restricoes. Denota-se j pela especie e sua
qualidade representada por qj . O limite para cada restricao i e dado por bi e aij representar o poder de
escolha das especies para restricao i. Com isso, ilustra-se a formulacao generica:
Maximizarn∑j=1
qjxj
Sujeito a:n∑j=1
aijxj ≤ bi, i = 1, . . . , m
xj ≥ 0, j = 1, . . . , n
De modo a familiarizar com as formulacoes LP, e dado mais um exemplo em que as variaveis
pertencem ao conjunto dos Inteiros: Dado as variaveis x1 e x2;
Maximizar x2
Sujeito a:
x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 2 ; x2 ≥ 0 x1, x2 ∈ N
Neste exemplo, a funcao objectivo e x2, por ser a funcao a optimizar. Temos duas variaveis (x1 e x2
sao variaveis inteiras) e tres restricoes. Todas as restricoes sao lineares e por casualidade sao todas
desigualdades (tambem poderiam ser igualdades). A Figura 2.2(a) ilustra a solucao optima para x2.
A Programacao Linear Inteira, da expressao em Ingles Integer Linear Programming (ILP) e definido
como um problema de LP em que as variaveis pertencem ao conjunto dos numeros Inteiros. Quando no
conjunto de variaveis, algumas pertencem aos Inteiros e outras aos Nao-Inteiros, considera-se como
extensao de ILP e denomina-se Programacao Linear Inteira Mista, da expressao em Ingles Mixed-
11
Integer Linear Programming (MILP).
Um algoritmo muito utilizado para a resolucao dos problemas ILP e o algoritmo Ramificacao e
Limitacao, da expressao em Ingles Branch-and-Bound (BnB) que consiste na identificacao de todos
os candidatos a solucao (efectua uma enumeracao desses candidatos), descartando subconjuntos de
candidatos invalidos de acordo aos limites superior e inferior do valor optimizado.
Quando o problema a ser optimizado tem apenas uma funcao objectivo conforme mostra a formulacao
anterior, diz-se formulacao de objectivo unico. E quando tem mais de uma funcao objectivo, dizemos
que a formulacao e multi-objectivo. Uma formulacao multi-objectivo, se tiver definido uma hierarquia
para as funcoes objectivo, apresenta apenas uma solucao optima (a solucao optima e calculada de
acordo a hierarquia). Caso nao exista hierarquia das funcoes objectivo, a formulacao pode apresentar
varias solucoes optimas. O conjunto de solucoes optimas numa formulacao multi-objectivo, e conhecido
por Fronteira de Pareto [Pareto, 1906].
Uma formulacao multi-objectivo pode ser escrita da seguinte forma:
Maximizar x2
Minimizar x2 − x1Sujeito a:
x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 2 ; x2 ≥ 0 x1, x2 ∈ N
1.8 2 2.2 2.4
3.5
4
4.5
x1
x2
(a) Solucao da formulacao de funcao objectivounico.
2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
x1
x2
(b) Solucao da formulacao multi-objectivo.Varias solucoes optimas, nao existe hie-rarquia nos objectivos.
Figura 2.2: Solucoes optimas dos exemplos apresentados de LP com conjuntos Inteiros. Os pontos sao assolucoes encontradas.
Podemos ver na Figura 2.2, para a primeira formulacao apresentada com uma e unica funcao objec-
12
tivo (Maximizar x2), a Figura 2.2(a) nos apresenta apenas uma solucao que a considera como a optima.
Mas, a Figura 2.2(b) que esta relacionada com a formulacao a seguir (multi-objectivo e sem hierarquia
das funcoes objectivo) apresenta varias solucoes optimas ou a fronteira de Pareto.
2.1.3 Satisfacao Modulo Teoria
O Problema de Satisfacao Booleana, da expressao em Ingles Boolean Satisfiability Problem (SAT)
e o problema de determinar se uma formula proposicional e satisfeita. Uma formula proposicional e
satisfeita quando e possıvel atribuir alguns valores verdadeiros-falsos para as variaveis da formula, de
modo que seja satisfeita. Caso contrario, a formula e insatisfeita.
SMT e uma extensao de SAT, que adiciona argumentos de igualdade, aritmetica, bit-vectors, arrays,
quantificadores e outras teorias de primeira ordem uteis [Barrett et al., 2009]. A Figura 2.3 resume essa
extensao, adicionado as teorias (Theory Solver (TS)) a SAT que resulta em SMT.
Figura 2.3: SMT, uma extensao de SAT que adiciona teorias.
Uma ferramenta Solver de SMT decide a satisfacao ou e a validade das formulas nessas teorias.
Existem varios solvers para SMT, mas esta dissertacao limita-se num overview do Z3.
Z3 e um solver de SMT da Microsoft Research [de Moura and Bjørner, 2008]. Utiliza por padrao
o Simplex primario para optimizar formulacoes com restricoes aritmeticas, e ainda possui metodos de
decisao alternativos [Bjørner and Phan, 2014].
2.1.3.A Combinacao dos Objectivos
As solucoes de uma formulacao multi-objectivo de Z3, pode ser combinada usando a prioridade le-
xicografica, fronteira de Pareto ou objectivos box independente. De modo a sumarizar as combinacoes,
considere dois objectivos, t1 e t2 por maximizar e sujeito a restricao F :
Combinacoes Lexicografica: A combinacao lexicografica resume-se em encontrar o modelo M , tal
que M satisfaz F e o par 〈M(t1),M(t2)〉 e o maximo lexicograficamente. De outro modo, nao
existe um modelo M ′ que satisfaz F tal que M ′(t1) > M(t1) ou M ′(t1) =M(t1), M′(t2) > M(t2).
Fronteira de Pareto: A fronteira de Pareto, e obtida pelo conjunto de modelosM1, · · · ,Mi, · · · ,Mj , · · · ,
tal que, ou Mi(t1) > Mj(t1) ou Mi(t2) > Mj(t2), ao mesmo instante, ou Mi(t1) < Mj(t1) ou
Mi(t2) < Mj(t2). Para cada Mi, nao existe M ′ que domina Mi. O Z3 utiliza o Guided Improve-
ment Algorithm (GIA) para calcular a fronteira de Pareto [Bjørner and Phan, 2014].
13
Objectivos box: A combinacao box calcula dois modelos M1 e M2, tal que M1(t1) e o valor optimo de
t1 e M2(t2) e o optimo de t2.
2.2 Trabalhos Relacionados
Nesta seccao, sao apresentados os algoritmos de optimizacao para a criacao de planos florestais.
A presente seccao esta estruturada por quatro subseccoes, nomeadamente, a subseccao 2.2.1 aborda
o agendamento de colheitas (elaborar cronograma para colheita dos lotes) e apresenta dois modelos
fundamentais. A subseccao 2.2.2, apresenta solucoes de optimizacao para a proteccao das especies,
criando reservas conectadas e garantindo que as especies protegidas possam usufruir do seu habitat
sem sair da reserva. Tanto a subseccao 2.2.1 quanto a subseccao 2.2.2, avaliam em seus metodos
restricoes de adjacencias ou de conectividade. Na subseccao 2.2.3 sao apresentadas solucoes focadas
na conectividade dos lotes de uma reserva. Por fim, a subseccao 2.2.4 faz um resumo que classifica
os trabalhos relacionados.
2.2.1 Agendamento de Colheitas
Relativamente ao problema de agendamento de colheitas, dois modelos de optimizacao com restri-
coes de adjacencia foram definidos [Murray, 1999]. O Modelo de Restricao por Unidade, da expressao
em Ingles Unit Restriction Model (URM) impoe que para cada adjacencia, no maximo um lote seja
colhido. A Figura 2.4(a) exemplifica a colheita pela abordagem URM. O Modelo de Restricao por Area,
da expressao em Ingles Area Restriction Model (ARM) permite a colheita dos lotes adjacentes desde
que o tamanho do remendo colhido 2 nao seja superior ao tamanho maximo permitido. Na Figura 2.4(b),
definiu-se uma area contıgua maxima de 32 hectares. Em seguida e apresentada a formulacao ILP do
modelo URM por ser mais simples de compreender e de seguida sao apresentadas as mudancas para
se tornar no modelo ARM.
Consideremos a notacao em que L representa o conjunto dos lotes e T o conjunto dos perıodos das
colheitas. Temos i ∈ L a representar o ındice dos lotes e t ∈ T o ındice do perıodo. Adicionalmente,
temos que xit denota uma variavel binaria que especifica se o lote e colhido/tratado ou nao, onde
xit = 1 indica que o lote i e tratado no perıodo t e xit = 0 caso contrario. O sımbolo `it denota o lucro
associado ao tratamento do lote i no perıodo t e βit o volume (volume de madeira) de contribuicao para
o tratamento do lote i no perıodo t. It e St definem os limites inferior (It) e superior (St) para o volume
total produzido no perıodo t. Ni representa o conjunto dos lotes adjacentes ao lote i.
A funcao objectivo (2.1), maximiza o lucro associado ao tratamento da actividade agendada. A
restricao (2.2) impoe que cada lote seja tratado no maximo uma vez. A restricao (2.3) garante que o
2 Tamanho do remendo colhido pode ser chamado de area de corte aberta.
14
(a) Abordagem URM. (b) Abordagem ARM.
Figura 2.4: Exemplo de colheita para URM e ARM, assumindo que a area maxima contıgua de 32 hectares.
Maximizar∑i∈L
∑t∈T
`itxit (2.1)
Sujeito a:
∑t∈T
xit ≤ 1 ∀ i ∈ L (2.2)
It ≤∑i∈L
βitxit ≤ St ∀ t ∈ T (2.3)
xit + xjt ≤ 1 ∀ i ∈ L, t ∈ T, j ∈ Ni (2.4)
xit ∈ {0, 1} ∀ i ∈ L, t ∈ T (2.5)
volume produzido em cada perıodo esteja entre os limites It e St. A restricao (2.4) e a restricao para
o tratamento de lotes adjacentes. A restricao (2.5) define os valores inteiros que a variavel de decisao
pode ter. Para termos uma formulacao ARM, consideremos A que corresponde a area (tamanho)
maxima contıgua permitida, αi denota o tamanho do lote i e Ci que representa o conjunto de todos os
lotes tratados e contıguos ao lote i. Substitui-se a restricao (2.4) pela restricao (2.6), permitindo assim,
xit ·∑
j∈Ni∪Ci
αjxjt ≤ A ∀ i ∈ L, t ∈ T (2.6)
colher lotes adjacentes e contıguos desde que a area nao seja superior a A.
Entretanto, a restricao (2.6) e recursiva devido a expressao j ∈ Ni ∪ Ci presente no somatorio.
15
Com isso, Ci era pre-calculado atraves da programacao dinamica 3. E as tecnicas heurısticas para a
identificacao de solucoes aproximadas foram essenciais [Murray, 1999].
Portanto, ARM nao era considerado como um problema de LP e so uns anos depois e que foram
apresentadas duas formulacoes MILP que incluem restricoes de adjacencias baseadas em ARM [McDill
et al., 2002], nomeadamente o Path Algorithm e um modelo que define o conjunto de Unidade de Gestao
Generalizada, da expressao em Ingles Generalized Management Unit (GMU). O conjunto GMU baseia-
se na identificacao de todas as combinacoes de lotes adjacentes em que a sua area total contıgua
nao ultrapassa o maximo autorizado. Consideremos u como a representacao de uma combinacao dos
lotes adjacentes e Gi o conjunto formado por todas as combinacoes que contem o lote i. Para cada
combinacao, GMU cria uma variavel de decisao xut ∈ {0, 1}, tal que se xut = 1 temos que cada lote
da combinacao u foi colhido no perıodo t, no entanto, para controlar os lotes ao ponto de nao serem
colhidos mais de uma vez no mesmo perıodo, aplica-se a restricao∑u∈Gi xut ≤ 1 ∀ i ∈ L, t ∈ T .
Enquanto que Path Algorithm baseia-se em, tendo os lotes A, B e C, onde AB e BC sao adjacentes de
acordo a Figura 2.5, numa visao basica sao criadas restricoes com os lotes adjacentes xAt + xBt ≤ 1
e xBt + xCt ≤ 1, se uma entre as restricoes tiver a area inferior que o maximo permitido entao e
excluıda, permanecendo apenas a que possuı a area superior ou igual ao maximo permitido. Caso
ambas tenham a area inferior e a combinacao dos tres lotes (ABC) for superior, entao coloca-se a
restricao xAt + xBt + xCt ≤ 2 da exclusao das anteriores. Avalia-se que ABC formam um caminho e
limita-se em nao criar restricoes redundantes [McDill et al., 2002].
Figura 2.5: Exemplo de floresta com tres lotes, A, B e C [McDill et al., 2002].
Surge duas formulacoes ILP para ARM em que uma trabalha com variaveis para os lotes e restricoes
explıcitas para as areas restritas e a outra utiliza variaveis para grupos que correspondem a area de
corte aceitavel. Essas formulacoes apresentaram um numero exponencial de variaveis e restricoes
de acordo ao numero de lotes. No entanto, dessas formulacoes, foi apresentado um modelo que as
combina (variaveis para lotes e variaveis para grupos que correspondem a area de corte aceitaveis) e
reduz o numero de variaveis e restricoes para polinomial [Constantino et al., 2008], resolvida usando
BnB.
3 Sobre programacao dinamica siga a referencia [Cormen et al., 2009].
16
2.2.2 Proteccao de Especies
Um estudo feito por Cerdeira et al. [Cerdeira et al., 2010], conclui que a incorporacao da conectivi-
dade como funcao objectivo para identificar a maxima ocorrencia e conectividade das especies, pode
levar a resultados de alta conectividade para algumas especies e nula para outras. No entanto, o
mesmo estudo apresentou uma abordagem alternativa que considera explicitamente os requisitos de
conectividade como parte do modelo e nao como parte da funcao objectivo. Para a solucao do pro-
blema foram usados tres algoritmos 4, entre eles, dois de corte mınimo que garantem a optimalidade e
uma heurıstica.
Um outro estudo por Onal and Briers [Onal and Briers, 2006], preocupou-se com o problema no que
diz respeito a deslocacao das especies entre os lotes sem sair da reserva e propos uma formulacao
ILP a qual e apresentada e explicada.
Entretanto, para melhor compreensao da formulacao, o mesmo estudo [Onal and Briers, 2006] divi-
diu a potencial area para reserva em lotes quadrados (conforme apresenta a Figura 2.6) e fez uso da
teoria dos grafos para desenvolver a formulacao. Denomina um lote seleccionado para a reserva por no,
a adjacencia dos lotes por arcos (neste caso por arcos direccionados) e evita que a reserva crie ciclos.
A Figura 2.6(a) mostra uma reserva com duas componentes desconectada, com uma delas que forma
ciclo (3, 4, 5, 6, 7 e 8). A Figura 2.6(b) apresenta uma reserva conectada, onde, o lote 9 representa
um no de direccao (todos os outros nos tem os seus arcos direccionados para ele). O comprimento da
cauda, dado um no, calcula-se de acordo ao numero de nos com os arcos direccionados para ele (o
no) (e.g. o no 8 tem o comprimento 2, o no 5 tem o comprimento 4).
(a) Exemplode reservacom lotesdesconec-tados e umciclo.
(b) Exemplo de reserva conectadacom o lote 9 como no de direcao.
Figura 2.6: Exemplo de reserva conectada e desconectada [Onal and Briers, 2006].
4 Dois algoritmos que garantem a optimalidade onde sIC (specialized Integer Cutting) e mais rapido que IC (Integer Cutting)em tempo de execucao e uma heurıstica que obtem solucoes em pouco tempo para instancias que IC e sIC nao gerem.
17
Consideremos a notacao em que L representa o conjunto de lotes. As variaveis i ∈ L e j ∈ L
denotam os lotes individuais, onde, se o lote i e seleccionado entao o no i e incluıdo na rede de
reservas. Nj corresponde ao conjunto dos lotes que sao adjacentes ao lote j. S e o conjunto das
especies identificadas para a preservacao e s corresponde a uma especie, s ∈ S. φsi especifica se
a especie esta presente no lote, onde φsi = 1 se a especie s esta presente no lote i, caso contrario,
φsi = 0. Ks e o parametro que representa o numero mınimo de lotes na reserva que deve ter a especie
s. M representa um numero arbitrariamente grande que serve como superestimacao do numero de
lotes na reserva. xi e a variavel binaria, onde, xi = 1 se o lote i esta na reserva, caso contrario, xi = 0.
yij e a variavel binaria definida para cada j e i ∈ Nj , onde yij = 1 se o arco dirigido tem origem no no i
e fim no no j, yij = 0 caso contrario. wj e uma variavel nao-negativa que representa o comprimento da
cauda do no j e zij uma variavel nao-negativa que representa o comprimento da cauda do no i quando
esta ligado ao no adjacente j. A formulacao tem como objectivo minimizar o numero de lotes da reserva
satisfazendo a representacao das especies. Segue-se a formulacao [Onal and Briers, 2006]:
Minimizar∑i∈L
xi (2.7)
Sujeito a:
∑i∈L
φsixi ≥ Ks ∀ s ∈ S (2.8)
∑i∈Nj
yij ≤ 4xj ∀ j ∈ L (2.9)
∑j∈Ni
yij ≤ xi ∀ i ∈ L (2.10)
∑i∈L
∑j∈L
yij =∑i∈L
xi − 1 (2.11)
zij ≥ wi + 1−M(1− yij) ∀ i, j ∈ L onde i 6= j (2.12)
wj =∑i∈L
zij ∀ j ∈ L (2.13)
xi ∈ {0, 1}; yij ∈ {0, 1} ∀ i, j ∈ L (2.14)
18
A funcao objectivo (2.7) minimiza o numero de lotes na reserva. Ja a restricao (2.8) garante as
exigencias das especies asseguradas (a reserva deve incluir pelo menos Ks lotes para cada especie).
A restricao (2.9) garante que se o lote j nao for seleccionado entao nenhum lote adjacente i direcciona-
se para j (yij = 0), caso contrario (se o lote j for selecionado, xj = 1), entao podera ter ate 4 arcos
em sua direccao com origem dos seus adjacentes i. A restricao (2.10) trata de garantir que se o no
i nao e reservado, entao nenhum arco com inıcio em i pode ser seleccionado (o inverso diz que no
maximo deve existir um arco com inıcio em i seleccionado). A restricao (2.11) garante que o numero
de arcos dirigidos seja igual ao numero de lotes menos 1. Ja as restricoes (2.12) e (2.13) restringem a
possibilidade de se formarem ciclos (a Figura 2.6(a) ilustra a formacao de ciclo).
Foram adicionadas melhorias a formulacao que acelerou em tempo de execucao em aproximada-
mente 4, 5 vezes no encontro da solucao [Billionnet, 2012]. As melhorias levaram a substituicao da
restricao (2.9) por yij ≤ xi para todo o i e j, a nova restricao impoe que se o lote i nao for se-
leccionado (xi = 0) entao nenhum arco com inıcio em i deve existir (essa substituicao aumenta o
numero total de restricoes, mas no entanto torna a formulacao mais eficiente [Billionnet, 2012]). E a
substituicao das restricoes que tratam de restringir a possibilidade de se criarem ciclos (2.12) e (2.13)
por Tj ≥ Ti+1−M(1− yij) para todo o i e j, onde Ti ≥ 0 e uma variavel que pertence ao conjunto dos
reais e que esta associada a cada lote i. Se tiver um arco do lote i para o seu adjacente j (yij = 1) entao
o valor associado ao lote j deve ser maior ou igual que o valor mais 1 do lote i (Tj ≥ Ti + 1) e se nao
tiver arco (yij = 0), a condicao sera sempre verdadeira porque M representa um valor arbitrariamente
grande (conforme detalhado na notacao). Essa restricao evita que sejam criados ciclos na reserva.
No que diz respeito a corredores com restricoes orcamentais, um estudo recente [Dilkina et al.,
2016] desenvolveu um modelo MILP e adicionou restricoes espaciais para resistencias especıficas de
especies.
2.2.3 Conectividade
Nas subseccoes 2.2.1 e 2.2.2 vimos que os requisitos de adjacencias ou conectividade sao indis-
pensaveis. Visto que sao esses requisitos e restricoes que nos levam a promover nas formulacoes o
cumprimento das necessidades como o controlo da area de colheita maxima, a criacao de corredores,
criacao de reservas conectadas e outras restricoes associadas a preservacao das especies.
Portanto, a conectividade e um factor importante para o funcionamento eficiente na conservacao
das reservas [Onal et al., 2016]. Foi apresentada uma formulacao ILP [Carvajal et al., 2013], capaz de
impor conectividade para instancias com mais de 1.000 lotes e para diferentes restricoes ambientais,
onde a promocao de lotes conectados por si so leva a reservas antigas que podem ter a forma longa e
estreita [Carvajal et al., 2013,Rebain and McDill, 2003] conforme ilustra a Figura 2.7.
No entanto, um trabalho mais recente [Onal et al., 2016], preocupou-se com a configuracao optima
19
Figura 2.7: Exemplo de uma reserva na forma longa e estreita, as partes de cor preta representa a reserva [Car-vajal et al., 2013].
das reservas conectadas e compactas, onde a conectividade pode ser aplicada sob a forma estrutural
e/ou funcional. O mesmo trabalho, apresentou um modelo ILP e aplicou essa abordagem na proteccao
de especies que necessitam das duas formas de conectividade. Neste trabalho sera apresentada
apenas a conectividade estrutural. Para a notacao dessa formulacao, temos N a denotar o numero
de reservas, com N ≥ 1. L corresponde ao conjunto de todos os lotes, em que o lote pode ser
representado por i, j e k ∈ L. A variavel binaria xki representa o lote seleccionado a que reserva
pertence, onde xki = 1 indica que o lote i foi seleccionado e pertence a reserva cujo o centro e o lote k.
Caso contrario, xki = 0. xkk = 1 significa que o lote k foi seleccionado para tornar-se o centro de uma
reserva. A constante Dki denota a distancia entre os lotes k e i. A qualidade do lote i para o habitat
de especies e representado por Qi. A constante Q determina o mınimo de qualidade que uma reserva
deve apresentar com o objectivo de albergar as especies alvo. Por fim a constante Q∗ determina o
mınimo de qualidade total do habitat fornecido por todas as reservas.
A funcao objectivo (2.15) minimiza a soma das distancias de cada lote em relacao ao centro da
reserva em que pertence, soma de todas as areas protegidas. Ja a restricao (2.16) garante que sejam
criadas N reservas. A restricao (2.17) impoe que cada lote seleccionado deve pertencer a apenas uma
reserva cuja o centro e k, enquanto que a restricao (2.18) diz que o lote centro k tem a sua volta ate
M lotes, onde M e dado como um numero inteiro arbitrario e positivo. A restricao (2.19) garante que
cada reserva deve ter o mınimo de qualidade para o habitar e a restricao (2.20) assegura que o total de
qualidades apresentadas pelas reservas seja pelo menos Q∗.
Quanto a conectividade, temos a restricao (2.21). Nj representa o conjunto de todos os lotes ad-
jacente a j. A restricao (2.21) garante que se j for seleccionado para fazer parte da reserva com k o
centro, entao, pelo menos um dos lotes i adjacentes a j deve fazer parte desta reserva, com o detalhe
de que a distancia de i em relacao ao de j deve ser menor (Dki < Dkj).
20
Minimizar∑k∈L
∑i∈L
Dkixki (2.15)
Sujeito a:
∑k∈L
xkk = N (2.16)
∑k∈L
xki ≤ 1 ∀ i ∈ L (2.17)
∑i∈L
xki ≤Mxkk ∀ k ∈ L (2.18)
∑i∈L
Qixki ≥ Qxkk ∀ k ∈ L (2.19)
∑k∈L
∑i∈L
Qixki ≥ Q∗ (2.20)
xkj ≤∑i∈Nj
Dki<Dkj
xki ∀ k ∈ L, j ∈ L nao adjacentes (2.21)
xki ∈ {0, 1} ∀ k ∈ L, i ∈ L (2.22)
2.2.4 Resumo
A conectividade entre lotes e um factor a considerar na elaboracao de planos florestais. A sua im-
portancia e inclusao e avaliada de acordo com os objectivos do plano. A revisao da literatura esteve
focada nas solucoes (em especial as formulacoes) para proteccao de especies e a criacao de cro-
nogramas para colheita, que por sua vez, necessitou da inclusao de solucoes para conectividade de
lotes.
A colheita de madeira e uma actividade necessaria para industrias que utilizam essa materia prima.
As solucoes para o agendamento de colheitas seguem duas abordagens diferentes, nomeadamente,
a abordagem URM que cria um cronograma restringindo que os lotes adjacentes nao sao colhidos no
mesmo perıodo, ganhando um impacto positivo na consistencia da floresta e a abordagem ARM em
que a restricao de adjacencia e abrangida por um limite superior de area a colher (com bons estudos
e limites beneficos para o habitat, tem um impacto tambem positivo). URM e ARM foram estudados
21
por Murray [Murray, 1999] que apresentou uma formulacao ILP para URM e considerou heurısticas e
a programacao dinamica para resolver ARM. McDill et al. [McDill et al., 2002] apresentou solucoes
LP para ARM que tenho a destacar apenas o modelo GMU que trabalha em volta do conjunto Gi
denominado de todas as combinacoes de lotes adjacentes em que i pertence e que cumpre com o
limite da area estabelecida.
Quanto a proteccao de especies, ate mesmo os modelos URM e ARM incorporam essa pratica
implicitamente, mas, Onal and Briers [Onal and Briers, 2006] propuseram uma formulacao ILP a qual
preocupava-se com a deslocacao das especies entre os lotes sem sair da reserva. Entretanto, esta
formulacao foi melhorada e transformada em MILP por Billionnet [Billionnet, 2012] ao nıvel de reduzir o
tempo de execucao em aproximadamente 4, 5 vezes.
A conectividade e um facto inevitavel porque existe e esta presente na elaboracao de planos flo-
restais, onde, o objectivo desses planos menosprezam ou prezam a sua importancia. Uma formulacao
ILP capaz de impor conectividade para diferentes restricoes ambientais foi apresentada por Carvajal et
al. [Carvajal et al., 2013] e que promove a criacao de reservas antigas com uma estrutura paisagıstica
longa e estreita. Esta estrutura paisagıstica motivou a inclusao na dissertacao a criacao de reserva
compacta e conectada sem a forma longa e estreita. Ainda nos trabalhos relacionados, Onal et al. [Onal
et al., 2016] preocupou-se com a configuracao optima das reservas com a conectividade a ser aplicada
na forma estrutural e/ou funcional. Para esta formulacao usou ILP.
A Tabela 2.1 mostra-nos as relacoes entre os trabalhos quanto aos tipos de problemas tratados, as
formulacoes utilizadas para resolve-las e o modelo resolvido.
Tabela 2.1: Caracterizacao dos trabalhos relacionados.
Trabalhos Problemas Modelos Formulacoes[Dilkina et al., 2016] especies min-custo MILP
[Onal and Briers, 2006,Billionnet, 2012] especies min-lotes MILP[Cerdeira et al., 2010] especies min-lotes ILP‡
[Onal et al., 2016] especies∗ † ILP[Carvajal et al., 2013] ∗ max-lucro ILP
Garantir a proteccao do habitat e obter o melhor lucro da colheita numa floresta, sao dois problemas
que esse capıtulo unifica e apresenta uma formulacao ILP multi-objectivo.
O desenvolvimento, comeca com o estudo e melhoria das solucoes para reservas compactas e
posterior para o agendamento de colheitas. E determinado tanto para reserva, como para colheita,
as melhores solucoes combinadas na multi-objectivo. A formulacao multi-objectivo termina com dois
modelos a custa de duas versoes de uma restricao, que calculam estrutura paisagıstica diferente.
3.1 Formulacao para Reservas Compactas
Para o calculo de reservas compactas, baseou-se na formulacao apresentada por Onal et al. [Onal
et al., 2016] por se tratar de uma solucao muito proxima do desejado. Inicialmente implementou-se a
formulacao original e verificou-se nao escalavel quando todos os lotes sao candidatos para o centro da
reserva, incluindo o calculo optimo para mais de uma reserva.
E determinado que precisa-se de apenas uma reserva (de acordo aos objectivos), conectada e
compacta. Tambem ponderou-se que o lote centro da reserva seria identificado a priori, de acordo com
as condicoes apresentadas pelo habitat. Depois dessas avaliacoes, excluiu-se restricoes e variaveis
para obter a formulacao deseja e descrita mais abaixo.
Consideremos a notacao, L representa o conjunto de lotes da floresta em estudo e xiγ a variavel
binaria que representa o lote, com i ∈ L e γ o lote centro identificado a priori (e uma constante). Quando
xiγ = 1, indica que o lote i faz parte da reserva, caso contrario xiγ = 0. A distancia entre os lotes γ e i e
dado por Diγ , enquanto que a qualidade dos lotes representa-se por Qi. A constante Q∗, diz respeito a
qualidade mınima que a reserva deve ter. Por fim, o conjunto de todos os vizinhos de i e representado
por Ni.
Minimizar∑i∈L
Diγxiγ (3.1)
Sujeito a:
∑i∈L
Qixiγ ≥ Q∗ (3.2)
xiγ ≤∑j∈Ni
Djγ<Diγ
xjγ ∀ i ∈ L nao adjacente a γ (3.3)
xiγ ∈ {0, 1} ∀ i ∈ L (3.4)
25
A funcao objectivo (3.1), minimiza a soma das distancias dos lotes pertencentes a reserva. A
restricao (3.2), garante que a reserva criada tenha o mınimo de qualidade exigida por Q∗. A restricao
de adjacencia e imposta pela restricao (3.3), onde, se um lote xiγ for reservado, entao, pelo menos um
dos seus vizinhos tambem sera desde que esteja mais proximo do centro γ. A restricao (3.4) limita os
valores da variavel xiγ , tornando-a binaria.
Apos testes, verificou-se que a formulacao nao e capaz de criar uma reserva compacta para todas
as instancias. A formulacao apresenta um resultado nao desejado quando esta perante instancias com
lotes de variadas caracterısticas, tais como a forma geometrica, a qualidade do habitat e o numero de
vizinhos. Na Figura 3.1 e ilustrada uma amostra da solucao dada pela formulacao, a zona escura e a
reserva e verifica-se que nao criou reserva compacta, permitindo a existencia de lotes ilhas na reserva.
Figura 3.1: Reserva nao compacta com lotes ilha, zona escura e a reserva.
Esses resultados motivou a criacao de duas solucoes que garantem a criacao da reserva compacta.
3.1.1 Solucao 1: Modelo RCC
Para esta solucao, a motivacao esteve a volta da restricao (3.3), que e satisfeita desde que pelo
menos um lote vizinho de xiγ mais proximo do centro γ seja reservado. Daı surgiu a hipotese de
reservar todos os lotes vizinhos de xiγ desde que a distancia seja menor relativamente ao centro γ.
Para tal, foi necessario definir a constante Ciγ que indica o numero de vizinhos do lote i cuja
distancia com o lote centro γ seja menor. Esta constante pode ser calculada pela expressao (3.5).
Ciγ =∑j∈Ni
Djγ<Diγ
1 ∀ i ∈ L nao adjacente a γ (3.5)
Substitui-se a restricao (3.3) pela restricao (3.6) de modo a garantir a reserva de todos os lotes que
26
estejam no interior da reserva. Tornando-a uma reserva compacta.
Ciγxiγ ≤∑j∈Ni
Djγ<Diγ
xjγ ∀ i ∈ L nao adjacente a γ (3.6)
Foi feito testes e verificou-se que a hipotese e valida, mas, em alguns casos a reserva separa os
lotes nao reservados, tornando-o inacessıvel sem ter que passar pela reserva ou entao dar a volta
pela floresta. A Figura 3.2 ilustra a amostra obtida da solucao, com a zona escura a indicar a reserva.
Verifica-se que existe um lote na extremidade da floresta que nao foi reservado e no entanto inacessıvel
sem passar pela reserva ou entao dar a volta pela floresta.
Figura 3.2: Reserva compacta, lote nao reservado inacessıvel. A zona escura representa a reserva.
Esta e uma solucao que preocupou-se apenas com a reserva e passara a ser denominada de
Reserva Conectada e Compacta (RCC), nao da importancia aos lotes nao reservados. Daı ter uma
solucao que abrange ate aos lotes nao reservados na subseccao 3.1.2.
3.1.2 Solucao 2: Modelo RCC-nR
E certo que o objectivo centra-se na criacao de reservas e agendamento de colheitas, nessa ordem,
ao criar as reservas e torna-la num habitat melhor e necessario evitar que a colheita seja um motivo
para entrar na reserva. A subseccao 3.1.1 apresenta a solucao RCC com reservas compactas, mas
nao deixa os lotes nao reservados acessıveis para uma colheita que reduz a perturbacao do habitat.
Esta nova solucao tem como hipotese a definicao de dois lotes centros, uma para reserva e outra
para os lotes nao reservados. E indicado α para o lote centro dos lotes nao reservados e γ para o lote
centro da reserva (com α 6= γ).
Adiciona-se a restricao (3.7), essa restricao impoe que o lote i faca parte da reserva ou da nao-
27
reserva.
xiα 6= xiγ ∀ i ∈ L (3.7)
Substitui-se a restricao (3.3) pela restricao (3.8) de modo a garantir que a reserva seja conectada e
os lotes nao reservados tambem. Com isso, tem-se a possibilidade de existir uma reserva compacta e
a zona nao reservada ligada.
xjk ≤∑i∈Nj
Dik<Djk
xik ∀ k ∈ {γ, α}, j ∈ L nao adjacente a k (3.8)
Foi feito os testes e verificou-se que a hipotese e valida. A solucao e capaz de criar reservas
compactas e garantir que a zona nao reservada seja acessıvel sem perturbar o habitat da reserva. A
Figura 3.3 ilustra a configuracao paisagıstica da solucao calculada. A zona escura representa a reserva
e verifica-se a configuracao de uma reserva conectada e compacta ao mesmo tempo que os lotes nao
reservados sao conectados.
Figura 3.3: Reserva compacta e conectada, zona nao reservada e acessıvel. A zona escura representa a reserva.
Devido a caracterıstica de tornar a reserva e os lotes nao reservados conectados, esta solucao
passara a denominar-se de Reserva e Nao-Reserva Conectadas e Compactas (RCC-nR).
3.2 Formulacao para Agendamento de Colheitas
Existem dois modelos fundamentais para o agendamento de colheitas, a citar o modelo URM que
impede colher no mesmo perıodo os lotes adjacentes e o modelo ARM que permite colher lotes adja-
centes no mesmo perıodo desde que a area total seja menor que a area maxima indicada.
A formulacao que optimiza o agendamento de colheitas desta dissertacao baseou-se nesses mode-
28
los, a comecar pelo URM descrito de seguida e posteriormente o modelo ARM reservado na subsec-
cao 3.2.1.
Quanto a formulacao do modelo URM, utilizou-se a solucao ILP apresentada por Murray [Murray,
1999]. Apresento uma variacao deste modelo.
Consideremos a notacao, L representa o conjunto dos lotes e T o conjunto dos perıodos das colhei-
tas. Temos xit, a variavel binaria de controle do lote, com i ∈ L e t ∈ T . Quando xit = 1, indica que o
lote i e colhido no perıodo t, caso contrario, xit = 0. A constante `it denota o lucro associado ao lote i
no perıodo t e βit o volume de madeira. It e St definem os limites inferior e superior, respectivamente,
de volume total por produzir no perıodo t.
Maximizar∑t∈T
∑i∈L
`itxit (3.9)
Sujeito a:
∑t∈T
xit ≤ 1 ∀ i ∈ L (3.10)
It ≤∑i∈L
βitxit ≤ St ∀ t ∈ T (3.11)
xit + xjt ≤ 1 ∀ i > j, i ∈ L, j ∈ Ni, t ∈ T (3.12)
xit ∈ {0, 1} ∀ t ∈ T, i ∈ L (3.13)
A funcao objectivo (3.9) pretende maximizar o lucro das colheitas. Temos a restricao (3.10) a impor
que um lote seja colhido no maximo em um perıodo e a restricao (3.11) a garantir que em cada perıodo
de colheita seja obtido um volume de madeira compreendido entre It e St. A restricao (3.12) impoe a
restricao de adjacencia que identifica o modelo URM, com i > j para que nao seja repetida restricoes.
Por fim, o domınio da variavel xit e limitada para binaria na restricao (3.13).
Esta solucao apresentou o comportamento esperado quanto a distribuicao dos lotes a serem colhi-
dos em cada perıodo. Foram feitos testes com tres perıodos de colheita e e ilustrada na Figura 3.4 o
cronograma da colheita representada na floresta (cada cor representa um perıodo).
29
Figura 3.4: Agendamento de colheitas, modelo URM com tres perıodos. cada cor representa um perıodo.
3.2.1 Modelo ARM
ARM e um modelo mais complexo que URM, uma vez que URM e visto como um caso particular
de ARM. Isso tambem aplica-se ao tempo de execucao, URM e mais rapido. Isto motivou a criacao da
hipotese de calcular solucoes ARM tirando proveito do modelo URM.
Esta hipotese pauta na geracao de instancias descendente da original de ARM para URM. Este
processo e explicado na subseccao 3.2.2, mas antes, foi necessario implementar o modelo GMU que
baseia-se no modelo ARM de modo a medir a veracidade da hipotese e qualidade da solucao.
O modelo GMU, trabalha em torno de um conjunto Gi, designado por conjunto de todas as combi-
nacoes de lotes adjacentes em que i pertence e cuja a area nao ultrapassa o maximo determinado.
Utilizou-se o conjunto Gi para impor restricoes ARM e modificou-se o modelo URM de modo a
alcancar a implementacao do modelo GMU. Para tal, definiu-se k ∈ Gi e a variavel binaria ykt que
recebe o valor 1 quando a combinacao dos lotes k forem colhidos no perıodo t e 0 caso contrario.
Em termos de formulacao, substituiu-se a restricao (3.12) que trata das adjacencias do modelo URM
pela restricao (3.14) que garante a restricao GMU, mas que so produz efeitos positivos quando tambem
e incluıda a restricao (3.15), garante que os lotes combinados em k nao sejam colhidos mais de uma
vez.
ykt + xjt ≤ 1 ∀ t ∈ T, i ∈ L, k ∈ Gi, j ∈ Nk (3.14)
xit =∑k∈Gi
ykt ≤ 1 ∀ t ∈ T, i ∈ L (3.15)
30
Por fim, adiciona-se a restricao (3.16) para tornar a variavel ykt binaria.
ykt ∈ {0, 1} ∀ k ∈ Gi, t ∈ T, i ∈ L (3.16)
Antes das consideracoes sobre o comportamento da formulacao, determinou-se necessario abor-
dar sobre como calcular o conjunto Gi. O Algoritmo 3.1 apresenta um algoritmo recursivo capaz de
determinar o conjunto para todo i dado a instancia. De forma pragmatica, a constante A representa a
area maxima permitida, αi simboliza a area do lote i. Uma combinacao que pertence ao conjunto Gi
e representada por Ci e por fim, Ni representa os lotes adjacentes a i. O algoritmo verifica para cada
vizinhanca de i se a combinacao das areas esta dentro dos requisitos, caso afirmativo, entao actualiza
as componentes e invoca recursivamente de modo a incluir outros elementos que nao sao vizinhos de
i mais que sao vizinhos dos vizinhos escolhidos para o conjunto.
Algoritmo 3.1: Metodo recursivo Gi com os parametros Ci, Ni e αibegin
A←− getArea()
for each l ∈ Ni do
if αi + αl ≤ A then
Ni+1 ←− Ni ∪NlCi+1 ←− Ci ∪ {l}αi+1 ←− αi + αlreturn Ci ∪Gi(Ci+1, Ni+1, αi+1)
return Ci
Os testes realizados permitiram consolidar que nao e recomendavel a solucao GMU, porque alem
do tempo de execucao ser muito elevado, tambem e muito elevado o numero de variaveis e restricoes
a medida que o tamanho da instancia cresce comparativamente ao modelo URM. Consolidou e serve
como um medidor de avaliacao da hipotese criada e que e apresentada de seguida.
3.2.2 Modelo URM Estocastico
Dado que, calcular solucoes URM e menos difıcil que ARM pelo facto de URM ser um caso particular
de ARM, surgiu a hipotese de calcular solucoes ARM com a complexidade de URM.
Para ser possıvel calcular solucoes ARM no modelo URM, e necessario converter as instancias
originais em instancias menores, fruto dos agrupamentos dos lotes dentro do requisito da area maxima.
Esses lotes agrupados sao considerados como um lote 1, o que torna mais facil de calcular solucoes
1 Actualiza-se tambem as componentes, tais como a area, a vizinhanca e outros.
31
(diminui o tamanho da instancia e resolve-se no modelo URM).
A dificuldade que surge nessa abordagem, e que o numero de instancias/paisagens convertidas da
original seria exponencial de acordo ao numero de lotes e a area maxima permitida. Eis que surge a
ideia de nao gerar todas as paisagens e sim gerar de forma estocastica num tempo finito. A medida
que gera, calcula a solucao URM e guarda a melhor solucao entre as paisagens que sao executadas.
Essa abordagem sera denominada de URM-Estocastico (URM-S).
O Algoritmo 3.2 espelha a estrategia por tras da geracao das paisagens.
Algoritmo 3.2: Estrategia para gerar paisagembegin
A←− getArea()L←− getInstancia()paisagem←− {}
while len(L) > 0 do
i←− escolhe elemento na LL←− L \ i
while escolhe(0, 1) = 1 and len(L) > 0 and A < αi do
j ←− escolhe elemento na Ni ⊂ L
if A > αi + αj then
L←− L \ {j}i←− i ∪ {j}
paisagem←− paisagem ∪ {i}return paisagem
Relativamente ao Algoritmo 3.2, a letra A representa a area maxima permitida, enquanto que αi
simboliza a area de i (onde i representa um conjunto de lotes contıguos). L e a lista de controlo
dos elementos que falta escolher. Para cada iteracao, escolhe um lote de forma aleatoria. Depois,
enquanto tiver lotes em L e a area combinada entre os lotes escolhidos estiver dentro dos requisitos,
entao, aleatoriamente decide se continua a escolher lotes para essa combinacao. O algoritmo executa
enquanto tiver elementos nao escolhidos em L.
De acordo aos testes elaborados, e comparados com a solucao oferecida pelo modelo GMU, verificou-
se que o modelo URM-S apresenta solucoes muito proximas ao optimo apresentado por GMU e me-
lhores solucoes quando e limitado a execucao em 30 minutos.
As Figuras 3.5(a) e 3.5(b) ilustram as amostras das solucoes obtidas por URM-S e GMU, respec-
tivamente. Considerando que os modelos foram executados num limite de 30 minutos. Mais detalhes
sobre a avaliacao sao apresentados no Capıtulo 4.
32
(a) Solucao URM-S (b) Solucao GMU
Figura 3.5: Avaliacao paisagıstica da solucao URM-S e GMU, ambas em 30 minutos.
3.3 Formulacao Multi-Objectivo
Nesta seccao, e apresentado o estudo da combinacao entre a formulacao para o agendamento de
colheitas e a de reserva compacta. Combinacao essa que da origem a formulacao multi-objectivo, que
maximiza o lucro das colheitas e garante a criacao da reserva para proteccao do habitat. De acordo as
solucoes obtidas na seccao 3.1 e na seccao 3.2, decidiu-se utilizar a solucao RCC-nR (subseccao 3.1.2)
e o modelo URM de Murray [Murray, 1999], reserva compacta e agendamento de colheita, respectiva-
mente.
Para o agendamento de colheitas, nao se recomenda a utilizacao do modelo GMU baseado em
ARM devido a complexidade comparativamente ao URM. Quanto ao modelo URM-S, sua integracao
iria transformar a solucao multi-objectivo com a mesma caracterıstica estocastica, isso e algo nao pre-
tendido. Para a reserva compacta, foi manifestado que o modelo RCC-nR e o unico que preocupou-se
em conectar tanto a reserva como os lotes nao reservados, que possibilita a colheita sem atravessar a
reserva.
As funcoes objectivo (3.17) e (3.18), maximiza o lucro das colheitas e minimiza a soma das distancias
dos lotes da reserva, respectivamente. Para a reserva, a restricao (3.19) garante a sua qualidade
mınima, enquanto que as restricoes (3.20) e (3.21) tratam de garantir a conectividade da reserva e
dos lotes nao reservados. Enquanto que para o agendamento de colheitas, a restricao (3.22) impoe
os limites superior e inferior do volume de madeira a ser colhido em cada perıodo, e a restricao (3.23)
garante a restricoes de adjacencia de URM.
A primeira restricao que relaciona os modelos (URM e RCC-nR), parte da restricao (3.24) que
restringe a variavel xik para binaria, uma vez que essa variavel representa tanto para colheita, como
para reserva.
Por fim e para completar a formulacao, e necessario restringir que cada lote xit nao seja colhido em
33
Maximizar∑t∈T
∑i∈L
`itxit (3.17)
Minimizar∑i∈L
Diγxiγ (3.18)
Sujeito a:
∑i∈L
Qixiγ ≥ Q∗ (3.19)
xjk ≤∑i∈Nj
Dik<Djk
xik ∀ k ∈ {γ, α}, j ∈ L nao adjacente a k (3.20)
xiα 6= xiγ ∀ i ∈ L (3.21)
It ≤∑i∈L
βitxit ≤ St ∀ t ∈ T (3.22)
xit + xjt ≤ 1 ∀ i > j, i ∈ L, j ∈ Ni, t ∈ T (3.23)
xik ∈ {0, 1} ∀ i ∈ L, k ∈ T ∪ {γ, α} (3.24)
mais de um perıodo ou que seja reservado. Para este caso, fez-se uso da restricao (3.10) do modelo
URM para dar origem a restricao (3.25). Esta restricao permite garantir que se o lote e colhido (no
maximo em um perıodo) jamais deve ser reservado e vice-versa.
xiγ +∑t∈T
xit ≤ 1 ∀ i ∈ L (3.25)
Apos os testes, apercebeu-se pela estrutura paisagıstica que quando a instancia possui qualidades
superior que o exigido pelos limites do volume de madeira e qualidade da reserva, passa a existir lotes
nao colhidos e nao reservado (de acordo a Figura 3.6(a), esses lotes sao denominados de lotes livre).
Os lotes livres, continuam a ter acesso livre sem ter de passar pela reserva, mas estaria melhor
se fossem aproveitados para acrescer qualidades a reserva. Esta avaliacao deu origem a substituicao
da restricao (3.25) pela restricao (3.26) para impor aos lotes que sejam colhidos ou reservados. Os
34
(a) Colheita e reserva com a restricao (3.25) (b) Colheita e reserva com a restricao (3.26)
Figura 3.6: Colheita em tres perıodos e criacao de reserva. A cor verde simboliza a reserva, a branca a zona livree as restantes cores os perıodos colhidos.
resultados paisagısticos e tal ilustrado na Figura 3.6(b).
xiγ 6=∑t∈T
xit ≤ 1 ∀ i ∈ L (3.26)
O modelo com a restricao (3.25) passara a ser denominado de Colheita e Reserva Compacta (CRC),
enquanto que com a restricao (3.26) se denominara de Colheita e Reserva Compacta Total (CRC-T).
Quanto aos modelos CRC e CRC-T, nao e determinado qual a melhor paisagisticamente. Depen-
dendo dos objectivos de quem utiliza, ditara o melhor modelo para a solucao. Para esta dissertacao,
tanto uma como outra apresentam solucoes optimas que serao avaliadas no Capıtulo 4.
3.4 Resumo
Este Capıtulo apresentou o desenvolvimento das formulacoes que garantem a proteccao do habitat
e obtem o maximo lucro de colheita de madeira. Para a solucao, foi apresentada uma formulacao multi-
objectivo que combinou a formulacao para reserva compacta (proteccao do habitat das especies) e a
formulacao para o agendamento de colheitas.
A solucao desenvolvida para a criacao de reservas conectadas e compactas baseou-se na solucao
ILP apresentada por Onal et al. [Onal et al., 2016] por apresentar restricoes de adjacencias muito similar
ao pretendido. Apos modificacoes e avaliacoes, obteve uma formulacao que cria reserva com lotes ilha.
Os lotes ilhas motivou a criacao de duas solucoes, a destacar o modelo RCC com restricoes que so
preocupa-se com a reserva e o modelo RCC-nR que preocupa-se em conectar tambem os lotes nao
35
reservados.
Enquanto que para formulacao de agendamento de colheitas, considerou-se os modelos fundamen-
tais URM e ARM, utilizou-se a solucao ILP do modelo URM de Murray [Murray, 1999] e verificou-se
que seu comportamento e o ideal para integrar na multi-objectivo. No entanto, criou-se a hipotese de
ser possıvel obter bons resultados equivalentes ao modelo ARM, usando URM. Daı desenvolveu-se
um algoritmo que gera de forma estocastica paisagens descendente da instancia original e executada
no modelo URM (denominada de URM-S). Para avaliar esse resultado foi necessario implementar
o modelo GMU e verificou-se que URM-S apresenta resultados satisfatorios (a avaliacao e feita no
Capıtulo 4).
Por fim, foram escolhidas as formulacoes RCC-nR e URM, para reservas compactas e agendamento
de colheitas, respectivamente, com motivos justificados para a criacao da formulacao multi-objectivo.
Essa solucao multi-objectivo apresentou-se com dois modelos, a destacar o modelo CRC-T que nao
deixa lotes livre (colhe ou reserva) e o modelo CRC que depois de adquirir o optimo das suas funcoes
Linguagem R: Ambiente e linguagem para graficos e calculos estatısticos [Maindonald and Braun,
2010]. Com o Ambiente de Desenvolvimento Integrado, da expressao em Ingles Integrated De-
velopment Environment (IDE) RStudio 4, a linguagem foi util para o tratamento das instancias e
visualizacao dos resultados.
SMT: Apesar das formulacoes desenvolvidas serem ILP (Capıtulo 3), e existirem muitos formalismos
para o implementar, decidiu-se o SMT por se tratar de um formalismo que combina varias teorias
(que poderia ser util se necessario).
Z3: Solver escolhido e utilizado para solucionar SMT neste trabalho. Existem varios Solvers para
SMT (e.g. Yices [Dutertre, 2014], CVC [Barrett et al., 2011] e MathSAT [Cimatti et al., 2013]),
mas, Z3 tem recursos para formulacoes multi-objectivo uteis para o trabalho (fronteira de Pareto
e objectivos box).
4.1.2 Dados e Requisitos
Todas as instancias adquiridas, tem suas particularidades quanto ao numero de ficheiros e estrutura
interna. De modo a uniformizar e facilitar a entrada de dados, as instancias tiveram um processo de
transformacao que implicou, a definicao do numero de ficheiros para dois, inclusao de dados bem
definidos (novos atributos) e exclusao dos dados desnecessarios.
Figura 4.1: Diagrama do processo de preparacao das instancias.
Para compreensao do processo de transformacao, foi preparado um diagrama ilustrado na Fi-
gura 4.1. Entendemos os retangulos por fases do processo, com inıcio nas origens das instancias
e as setas direcionais indicarem as fases seguintes.
Em cada fase, sucede-se:
FLG e FMOS: As instancias com origem da FMOS, depois da avaliacao visual, e verificar-se con-
sistencia no conteudo, passa para fase seguinte. Quanto ao FLG, por se tratar de um pacote
dependente, foi necessario utilizar a ferramenta ArcView para gerar as instancias e so assim pas-
sar para a proxima fase.
4 https://www.rstudio.com
40
R: Faz-se recurso da linguagem R para o tratamento das instancias manualmente. Esta fase trans-
forma a entrada (exclui o desnecessario) para uma saıda homogenea, independentemente das
diferentes entradas de dados.
Unifica: Na fase anterior, os dados sao extraıdos separadamente, o que da origem a varios ficheiros
com os dados. Razao que incentivou criar uma pequena rotina para unificar esses ficheiros e ter
como saıda o ficheiro da fase seguinte.
Lotes: Apos unificar o ficheiro, gera a saıda do primeiro ficheiro a ser utilizado como instancia valida
e constituıdo com a estrutura de dados encontrada na Tabela 4.2. Antes dessa estrutura, o fi-
cheiro tem uma linha (primeira linha, nao representada) composta por 4 campos separados com
espacos, nomeadamente o numero de lotes, a qualidade mınima da reserva a ser obtida e por
fim dois campos que indicam os lotes centro da reserva e o centro da nao-reserva (sobre os lotes
centro, o Capıtulo 3 explica com mais propriedade).
Tabela 4.2: Estrutura da instancia obtida em Lotes.
ındice area coordenada ponto x coordenada ponto y qualidade do lote total vizinhos vizinhos
De forma pragmatica, descrevo os campos menos obvios existente na Tabela 4.2. Todos os
dados de uma linha, estao afectos ao lote indicado no campo ındice, assim sendo, os campos
coordenada ponto x e coordenada ponto y juntos formam a coordenada do centro do lote, utilizada
para calcular a distancia entre lotes.
Complemento: O resultado de Lotes e usado como um dos ficheiros de entrada, mas a instancia e
composta por dois ficheiros. Nesta fase, utiliza-se o conteudo de Lotes e cria-se um segundo
ficheiro que contem parte dos dados para o problema do agendamento de colheitas.
Colheita: A Tabela 4.3 ilustra a estrutura de dados desse ficheiro, a semelhanca do Lotes, este tambem
tem uma linha primaria, composta por numero de lotes, numero de perıodos por colher e um
conjunto de pares, nomeadamente os limites inferior e superior de volume de madeira permitido
a ser colhido em cada perıodo.
Tabela 4.3: Estrutura da instancia obtida em Colheita.
lucro do perıodo 1 volume do perıodo 1 ... lucro do perıodo n volume do perıodo n
Caso um lote seja selecionado para colheita, a estrutura de dados da Tabela 4.3 mostra o volume e
lucro que pode ser obtido em cada um dos perıodos.
41
4.2 Avaliacao dos Resultados para Reservas Compactas
Para as formulacoes para reservas conectadas e compactas, desenvolveu-se os modelos RCC
(Subseccao 3.1.1) e RCC-nR (Subseccao 3.1.2). Nos testes efectuados se verificou resultados com
configuracoes de reservas aceitaveis e que cumprem com a criacao das reservas conectadas e com-
pactas (ver Figura 4.2). No entanto, trata-se de duas solucoes e que possuem suas particularidades,
algumas melhores que outras que sao discutidas na Subseccao 4.2.1.
(a) Modelo RCC, 30%de qualidade.
(b) Modelo RCC-nR,30% de qualidade.
(c) Modelo RCC, 60%de qualidade.
(d) Modelo RCC-nR,60% de qualidade.
Figura 4.2: Reservas Conectadas e Compactas.
4.2.1 Modelo RCC vs Modelo RCC-nR
Relativamente as restricoes, o modelo RCC e caracterizado pela restricao (3.6), que impoe reservar
os lotes a volta do centro, ao passo que o modelo RCC-nR impoe conectividade para a reserva e para os
lotes nao reservados (caracterizada pela restricao (3.8)). O modelo RCC tem variaveis para a reserva
e RCC-nR tem tanto para a reserva, como para a nao-reserva.
Pelo facto de RCC-nR avaliar os lotes nao reservados, implicou que tivesse duas vezes mais
variaveis que o modelo RCC. Considerando que o numero de variaveis e linear no numero de lotes
das instancias.
Quanto ao aspecto paisagıstico, se verificou que RCC criar reservas com uma configuracao que
tende a forma circular, pode ser observada nas Figuras 4.2(a) e 4.2(c). A medida que a qualidade da
reserva cresce (mais de 40% do total da floresta), implica uma reserva maior e desconecta os lotes
nao reservados (ver Figura 4.2(c), com 60% de qualidade). Esta caracterıstica tambem e observada
quando o centro da reserva e indicado para lotes proximos ao extremo da paisagem, mesmo quando a
qualidade da reserva e inferior a 40% (no Capıtulo 3, se verifica na Figura 3.2).
O modelo RCC-nR, devido a sua caracterıstica, liga os lotes nao reservados independentemente
da qualidade mınima definida para se calcular a reserva. A sua configuracao paisagıstica nao tem um
padrao tao definido como da RCC, mas garante a criacao de reservas compactas e sem caminhos
42
(a) Instancia FLG 4, modelo RCC e a linha azul e o modelo RCC-nR a linha vermelha.
(b) Instancia FLG 5, modelo RCC e a linha azul e o modelo RCC-nR a linha vermelha.
Figura 4.3: Tempo de execucao para reservas conectadas e compacta, RCC vs RCC-nR. O eixo vertical re-presenta o tempo em segundos e o eixo horizontal representa o percentual da qualidade mınima dareserva por calcular.
estreitos (ver Figuras 4.2(b) e 4.2(d)).
O tempo de execucao, e influenciado pelo tamanho das instancias e a qualidade mınima da reserva.
Se verificou que quando a qualidade mınima varia entre 30% a 70%, relativamente ao total de quali-
dade que a floresta oferece, encontra-se o tempo mais elevado no calculo da solucao optima (ver as
Figuras 4.3(a), 4.3(b) e 4.4(a)), com maior incidencia a variar na qualidade mınima entre 40% a 60%.
De acordo com os testes, se verificou na generalidade que o modelo RCC e relativamente mais
rapida que RCC-nR no que refere ao calculo da optimalidade. As Figuras 4.3(a), 4.3(b) e 4.4(a) ilustram
os tempos das execucoes em segundos para as qualidades mınimas em percentagem indicada pelo
conjunto {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}. Verifica-se que a solucao RCC-nR (linha vermelha) acima
da solucao RCC. Na Figura 4.3(a), a solucao RCC-nR esteve sempre acima e teve um tempo maximo
de 14 segundos para cada qualidade, enquanto que a solucao RCC precisou apenas 4 segundos. Para
43
(a) Instancia FLG 6, RCC e a linha azul e RCC-nR a linha vermelha.
(b) Instancias FLG 5 e FLG 6, observa-se o numero de lotes reservado, soma dasdistancias e qualidade da reserva.
Figura 4.4: Tempo e qualidade para reservas conectadas e compacta, RCC vs RCC-nR.
a Figura 4.3(b), apenas com 80% da qualidade mınima e que a solucao RCC-nR foi dominada, mas
para cada qualidade precisou de 100 segundos no maximo, enquanto que 40 segundos foi o tempo
maximo para RCC. Por fim, na Figura 4.4(a) se verifica que RCC-nR precisou mais de 1 hora para
obter o optimo, enquanto que RCC, para 50% e 60% nao calculou o optimo em menos de 6 horas, mas
a solucao de RCC-nR foi mais demorada na maioria das qualidades (ver Figura 4.4(a), nao e ilustrado
o tempo de RCC para 50% e 60%).
Um outro aspecto a considerar, e o numero de lotes que cada modelo selecciona para a reserva,
a soma das distancias dos lotes da reserva relativamente ao centro e a qualidade obtida pela reserva.
Relativamente ao numero de lotes reservados, o modelo RCC-nR reserva um numero inferior de lotes,
e se verifica que obtem a qualidade e distancia dos lotes equivalente ao de RCC (ver Figura 4.4(b)).
O facto do modelo RCC-nR reservar menos lotes, obter uma qualidade equivalente e permitir que os
lotes nao reservados sejam conectados, atribui vantagens relativamente ao modelo RCC. Isso porque
44
(a) Instancia Hardwicke. (b) Instancias Shulkell.
Figura 4.5: Em 4 horas de execucao, RCC nao obteve uma solucao satisfeita para as instancias Hardwicke eShulkell.
a zona nao reservada e conectada e maior, beneficiando para outros fins (nesta dissertacao e benefico
para o agendamento de colheitas).
4.2.2 Trabalhos Relacionados
A formulacao de Carvajal et al. [Carvajal et al., 2013], impoe conectividade nas instancias com ate
1.000 lotes e calcula reservas cuja configuracao paisagıstica tem a forma longa e estreita, ao passo
que RCC e RCC-nR sao capazes de calcular reservas conectadas e compactas. No entanto, RCC e
RCC-nR sao incapazes de calcular solucoes optimas nas instancias com mais de 400 lotes (instancias
Hardwicke, Shulkell e NBCL9 1.0) num tempo limitado por 4 horas.
A abordagem aplicada para a conectividade e apenas estrutural. Se considerarmos florestas com
rios e lotes sem vizinhanca estrutural, verificou-se que RCC-nR nao se aplica por impor conectividade
tambem nos lotes nao reservados. A formulacao de Onal et al. [Onal et al., 2016], na qual foi baseada
para a construcao dos modelos, considera a conectividade estrutural e funcional, sendo capaz de re-
solver problemas que RCC-nR nao resolve. Mas, a solucao de Onal et al. [Onal et al., 2016] permite
a existencia de lotes ilhas dentro da reserva e RCC-nR nao. O modelo RCC, apesar de tambem nao
impor a conectividade funcional, e capaz de resolver instancias com lotes sem vizinhancas. Isso e
possıvel porque RCC impoe conectividade apenas na reserva, podendo deixar os lotes sem vizinhanca
e separados estruturalmente para zona nao reservada.
As Figuras 4.5(a) e 4.5(b) ilustram as solucoes obtidas com o modelo RCC, nao sao optimas e
calculadas em 4 horas de execucao. Os lotes de cor verde representam os lotes nao reservados, os
lotes escuros representam a reserva e os lotes de cor branca sao considerados de espacos vazios
(podendo ser considerado qualquer coisa excepto de lotes da floresta).
45
4.3 Avaliacao dos Resultados para Agendamento de Colheita
Sendo o modelo URM considerado um caso particular do modelo ARM, e por sua vez ser menos
difıcil obter resultados optimos, implementou-se uma abordagem URM-S com objectivo de calcular
solucoes de ARM. Neste caso, URM-S e avaliado com os resultados da implementacao GMU que
integra restricoes ARM.
4.3.1 Modelo GMU vs Modelo URM-S
GMU e um modelo que requer um numero exponencial de variaveis que varia conforme a relacao
entre o numero de lotes, area maxima permitida para colheita e o numero de perıodos. Este facto,
torna GMU exigente em capacidade de armazenamento no acto da execucao, enquanto que URM-S
necessita apenas de um numero linear de variaveis que varia de acordo ao produto do numero de lotes
e o numero de perıodos.
URM-S e um metodo desenvolvido que serve para calcular solucoes proximas do optimo, embora
nao se exclui a possibilidade de apresentar solucoes optimas.
Relativamente ao tempo de execucao, se verificou que GMU calcula solucoes optimas em menos
de 30 minutos para instancias com ate 21 lotes e limitado por 10% do volume de madeira colhida em
cada perıodo. Com parametros com valores superiores (numero de lotes e limite do volume), GMU e
incapaz de calcular solucoes optimas, mesmo considerando 3 horas como tempo limite. Para URM-S,
com as mesmas instancias que GMU, se verificou solucoes muito proximas do optimo. A Figura 4.6
ilustra o lucro optimo de GMU com a cor vermelha e o aproximado do optimo por URM-S (cor azul).
Figura 4.6: Lucro adquirido com a colheita, A solucao optima de GMU e representado pela cor vermelha e URM-Spela cor azul. Para cada instancia, variou-se os limites inferior e superior do volume de madeira. Oslimites variam em percentagem do total da floresta. URM-S, em 10% de volume, esteve a 0, 01% dedistancia para o valor optimo (o que nao e perceptıvel e da a impressao que tem o mesmo lucro).
Depois de limitar o tempo de execucao em 30 minutos, para ser obtida solucoes de GMU e ser
avaliada com URM-S (sempre em 30 minutos), com instancias com mais de 21 lotes, verificou-se que
46
(a) Instancia FLG 2, lucro adquirido.
(b) Instancia FLG 3, lucro adquirido.
Figura 4.7: Lucro adquirido com a colheita, GMU e representado pela cor vermelha e URM-S pela cor azul. Paracada instancia, variou-se os limites inferior e superior do volume de madeira. Os limites variam empercentagem relativamente ao total da floresta.
URM-S apresenta lucros superiores que GMU consegue calcular nesse intervalo de tempo. As Figu-
ras 4.7(a) e 4.7(b), com os limites dos volumes de madeira definidos por 10%, 30% e 50% do total da
floresta, se pode verificar que URM-S calcula lucros superiores relativamente a GMU.
Verificou-se ainda na Figura 4.7(b), com 50% de volume de madeira, GMU nao conseguiu calcular
uma solucao em 30 minutos e na Figura 4.8(b), GMU nao obteve solucoes independentemente do limite
do volume. Nestas mesmas instancias (Figuras 4.7(b) e 4.8(b)), se verifica que URM-S e capaz de
calcular solucoes. E ilustrada na Figura 4.8(a) a selecao dos lotes para instancia FLG 5 e 4 perıodos,
obtida por URM-S e que GMU foi incapaz.
De acordo com os resultados avaliados e discutidos, GMU nao e uma solucao recomendada para os
objectivos dessa dissertacao porque, alem do numero exponencial de variaveis, o tempo de execucao
para calcular solucoes optimas e superior a 5 horas para instancias maiores que URM-S calcula boas
solucoes em 30 minutos.
De forma geral, URM-S tem um numero de variaveis linear no numero de lotes e calcula melhores
47
(a) Instancia FLG 5 e 4perıodos (cada coridentifica um perıodo),agenda de colheitaproduzida por URM-S.
(b) Instancia FLG 5, lucro produzido por URM-S, GMU sem solucao em30 minutos.
Figura 4.8: Agendamento de colheita, GMU nao consegue calcular solucao em 30 minutos. GMU vs URM-S.
solucoes que GMU quando e limitado o tempo de execucao para 30 minutos. O modelo URM-S nao
permite provar optimalidade da solucao encontrada.
4.3.2 Trabalhos Relacionados
As formulacoes MILP apresentadas por McDill et al. [McDill et al., 2002], nomeadamente o Path
Algorithm e GMU, determina-se que Path Algorithm precisa de 5 vezes ou mais tempo de execucao
que URM para calcular solucoes e consequentemente, pelo facto de URM-S reduzir o tamanho das
instancias antes de executar e ter a mesma complexidade de URM, verifica-se que precisa menos
tempo de execucao para calcular solucoes. Verifica-se ainda que URM-S utiliza um numero de variaveis
inferior, por ser linear no numero de lotes e o Path Algorithm ser exponencial. Tambem foi determinado
por McDill et al. [McDill et al., 2002] que a formulacao MILP GMU precisa de mais tempo de execucao e
utiliza mais variaveis e restricoes que Path Algorithm, resultando em URM-S precisar de menos tempo
e ter um numero inferior de variaveis.
Foi feito um teste com tres perıodos de colheita e 40 hectares de area maxima com a instancia
El Dorado e verificou-se que URM-S em 2 horas foi capaz de apresentar solucoes quando se limita o
volume de madeira ate 25% por perıodo (ver Figura 4.9). Esta mesma instancia, foi objecto de teste
para Constantino et al. quando apresentaram as duas formulacoes ILP para ARM e resolvida usando
BnB [Constantino et al., 2008]. No entanto, as formulacoes de Constantino et al. precisaram de um
numero polinomial (quadratico) de variaveis, ao passo que URM-S e linear.
O modelo URM-S, apesar de se apresentar superior em qualidade do numero de variaveis e tempo
48
Figura 4.9: Solucao URM-S em 2 horas, 25% de volume de madeira e tres perıodos de colheita para instancia ElDorado.
de execucao (devido o facto de utilizar URM como a base), nao e capaz de provar optimalidade das
solucoes encontradas devido a componente estocastica utilizada na geracao das instancias de tamanho
menor que a instancia original.
4.4 Avaliacao dos Resultados para Formulacao Multi-Objectivo
Na Seccao 3.3 (Capıtulo 3), verificou-se que os modelos CRC e CRC-T proporcionam solucoes com
impacto no aproveitamento dos lotes, quando o limite superior do volume de madeira combinado com
a qualidade mınima da reserva nao impoe o aproveitamento de todos os lotes. A tıtulo ilustrativo, a
Figura 4.10(a) ilustra uma solucao com aproveitamento total dos lotes (proporcionado por CRC-T) e na
Figura 4.10(b) verifica-se que ha lotes nao aproveitados (proporcionado por CRC).
Os lotes livres (nao aproveitados) proporcionado pelo modelo CRC, sao aproveitados e adicionados
na reserva compacta pelo modelo CRC-T. Neste caso, CRC impoe na formulacao multi-objectivo,
(a) Solucao CRC-T. (b) Solucao CRC.
Figura 4.10: Solucao multi-objectivo, instancia FLG 1 e 3 perıodos. 50% de qualidade mınima para reserva e 25%de volume de madeira para colheita. A cor verde representa a reserva e a branca significa lotes livres,as restantes cores ilustram a colheita em diferentes perıodos.
49
Figura 4.11: Instancia FLG 1, tempo de execucao para o calculo da primeira solucao na fronteira de Pareto. Linhavermelha identifica CRC e a linha azul identifica CRC-T. As variacoes da instancia foi feita com aalternancia do volume de madeira e a qualidade da reserva (e.g. v50.q10 significa 50% de volume demadeira como limite e 10% de qualidade mınima da reserva).
solucoes com reservas compactas cuja qualidade e muito proxima a qualidade mınima. Enquanto que
o modelo CRC-T reaproveita todos os lotes livres para adicionar qualidades na reserva.
Relativamente ao numero de variaveis, a formulacao multi-objectivo combina as variaveis dos mo-
delos URM e RCC-nR. Ambos sao lineares no numero de lotes, portanto, a formulacao multi-objectivo
e linear.
Quanto ao tempo de execucao para calcular uma solucao, verificou-se que o modelo CRC precisa de
mais tempo para solucionar relativamente ao modelo CRC-T. A Figura 4.11 ilustra o tempo de execucao
para ambos, verifica-se a linha azul (modelo CRC-T) sempre abaixo da linha vermelha (modelo CRC).
Figura 4.12: Instancia FLG 2, tempo de execucao para o calculo da primeira solucao na fronteira de Pareto. Linhavermelha identifica CRC e a linha azul identifica CRC-T. Verifica-se que CRC nao resolve para umainstancia quando se limita o tempo para 8 horas.
50
Figura 4.13: Fronteira de Pareto para o modelo CRC, instancia FLG 1 e 3 perıodos. 50% de qualidade mınimapara reserva e 25% de volume de madeira para colheita. O eixo vertical representa a maximizacaoda funcao objectivo do agendamento de colheitas e o eixo horizontal representa a minimizacao dafuncao objectivo da reserva compacta.
Verifica-se ainda na Figura 4.12 para instancia FLG 2, um momento em que CRC-T demorou mais
tempo, mas que depois de variar o volume de madeira CRC foi incapaz de calcular solucao, ate mesmo
com 8 horas de tempo limite.
A formulacao multi-objectivo, com o modelo CRC, qualifica os lotes com tres possıveis estados,
nomeadamente para reserva, colheita e livre. Enquanto que o modelo CRC-T qualifica apenas com
dois estados (reserva e colheita). Esse aspecto podem ser verificados nas restricoes 3.25 e 3.26, e
impulsiona CRC-T ser relativamente mais rapida que CRC.
Outro aspecto que se verificou, e que CRC-T e tambem relativamente mais rapido em calcular a
fronteira de Pareto. Esse aspecto verificou-se para todos os testes, inclusive houve instancias que CRC
nao calculou nenhuma solucao da fronteira de Pareto enquanto que CRC-T calculou.
Na avaliacao do comportamento das solucoes de CRC e CRC-T para o calculo da fronteira de
Pareto, se verificou que ambos calculam para instancia FLG 1 (independentemente da variacao dos
parametros e limitado em 30 minutos). Enquanto que para as instancias FLG 2 e FLG 3, o tempo de
execucao nao nos permitiu verificar o modelo CRC, mas, CRC-T calculou a fronteira de Pareto. Se
verifica na Figura 4.13 a fronteira de Pareto para o modelo CRC com a instancia FLG 1, calculada em
um tempo inferior a 30 minutos e a Figura 4.14 ilustra a fronteira de Pareto para o modelo CRC-T, com a
mesma instancia e o mesmo limite superior de tempo de execucao. Se verifica claramente que CRC-T
tem um numero inferior de solucoes (ver Figuras 4.13 e 4.14).
Outro aspecto verificado nas Figuras 4.13 e 4.14 e o facto de CRC obter melhores solucoes para
as funcoes objectivo. Obtem um lucro superior e uma distancia inferior, relativamente ao que CRC-T
calcula. Para o modelo CRC-T, as solucoes da funcao objectivo da reserva, justifica-se com o reapro-
51
Figura 4.14: Fronteira de Pareto para o modelo CRC-T, instancia FLG 1 e 3 perıodos. 50% de qualidade mınimapara reserva e 25% de volume de madeira para colheita. O eixo vertical representa a maximizacaoda funcao objectivo do agendamento de colheitas e o eixo horizontal representa a minimizacao dafuncao objectivo da reserva compacta.
veitamento dos lotes livres, enquanto que para as solucoes da funcao objectivo da colheita e justificada
com a imposicao da conectividade dos lotes nao reservados.
Apesar da variacao do numero de solucoes na fronteira de Pareto nao serem uniformes para CRC-T
e CRC (comparativamente), pode-se verificar que CRC-T apresenta um numero inferior de solucoes
em mais ocasioes. Este aspecto pode ser verificado na Figura 4.15.
Na avaliacao dos modelos CRC e CRC-T, conclui-se que ambos tem um numero linear de variaveis
herdadas da combinacao dos modelos URM e RCC-nR. Apesar de se verificar optimalidade em ambos,
CRC-T e relativamente mais rapido no calculo da primeira solucao e na fronteira de Pareto. Verificou-se
tambem que o modelo CRC-T cria reservas com qualidades superior, fruto do aproveitamento dos lotes
livres de CRC.
Figura 4.15: Total de solucoes na fronteira de Pareto. A cor vermelha simboliza o modelo CRC-T e a azul o modeloCRC. Instancia FLG 1 com variacoes no volume de madeira e qualidade da reserva (e.g. v75.q10significa 75% de volume de madeira como limite e 10% de qualidade mınima da reserva).
52
Em termos da apresentacao paisagıstica, CRC deixa lotes livres quando os parametros (volume de
madeira e qualidade mınima da reserva) permitem, enquanto que CRC-T reaproveita esses lotes para
adicionar qualidades na reserva. Nesse aspecto, nao se verifica qual a melhor, mas quanto a perfor-
mance dos resultados obtidos da avaliacao, verifica-se que CRC-T e melhor em tempo de execucao e
em numero inferior de solucoes na fronteira de Pareto (generalizando).
4.5 Resumo
A avaliacao dos resultados foi dividida em 3 seccoes, de acordo com o tipo de problema que as
formulacoes resolvem. Relativamente a formulacao para criacao de reservas conectadas e compactas,
avaliou-se os modelos RCC e RCC-nR. RCC e um modelo com um numero de variaveis linear no
numero de lotes e que impoe restricoes de conectividade apenas para a reserva, enquanto que o
modelo RCC-nR tem o dobro das variaveis e impoe restricoes de conectividade para a reserva e para
os lotes nao reservados. Verificou-se que quando e limitado o tempo de execucao para 2 horas, ambos
nao calculam solucoes optimas para instancias com mais de 400 lotes e tambem que RCC-nR nao se
aplica a instancias que possuem lotes sem vizinhanca (ao passo que RCC aplica-se). Outro aspecto
verificado tem a ver com RCC ser relativamente mais rapido ao passo que RCC-nR calcula solucoes
que favorece a melhor utilizacao dos lotes nao reservados.
Quanto a formulacao para o agendamento de colheitas, avaliou-se os modelos URM-S e GMU. O
modelo URM-S e caracterizado por calcular solucoes de ARM com os recursos do modelo URM e
instancias geradas estocasticamente de uma instancia original de ARM. URM-S tem a mesma com-
plexidade de URM (restricoes e numero de variaveis) para as instancias geradas. O modelo GMU e
caracterizado por definir as variaveis a partir dos conjuntos de todas as combinacoes de lotes contıguos
e restringidos por uma area maxima. GMU calcula solucoes optimas e serviu de metrica para avaliar o
modelo URM-S que nao prova optimalidade. Na avaliacao, verificou-se que URM-S e capaz de apre-
sentar solucoes de melhor qualidade quando o tempo e limitado em 30 minutos. Quando as instancias
tem pelo menos 100 lotes, verificou-se que GMU nao consegue calcular solucoes em 30 minutos, ao
passo que URM-S consegue encontrar solucoes aproximadas do optimo.
Por fim, na formulacao multi-objectivo avaliou-se os modelos CRC e CRC-T. Um lote para a
formulacao multi-objectivo, tem por default um entre dois estados, nomeadamente o estado reserva
ou o estado colheita. O modelo CRC-T impoe apenas esses dois estados para os lotes, enquanto
que CRC adiciona mais um estado (denominado de estado livre) e permite que alguns lotes sejam
desaproveitados e deixados livres. O modelo CRC-T mostrou-se relativamente mais rapido no calculo
da primeira solucao e da fronteira de Pareto. Verificou-se tambem que CRC-T apresenta um numero
inferior de solucoes na fronteira de Pareto em mais ocasioes.