-
Capitolul 1
SPATII LINIARE
1.1 Structuri algebrice
(recapitulare)
1.1.1 Grupuri
Definitia 1.1 Fie X o multime nevida. O functie f definita pe XX
si cu valori n X senumeste lege de compozitie interna n X.
Notam, pentru (x, y) X2, f(x, y) = x y si se citeste x compus cu
y dupa legea .Legile de compozitie interne pot avea urmatoarele
proprietati:
Definitia 1.1 O lege de compozitie interna n X se numeste lege
asociativa daca(x, y, z) X3 avem:
(x y) z = x (y z).
Definitia 1.2 O lege de compozitie interna n X se numeste lege
cu element neutrudaca e X astfel ncat x X avem: x e = e x = x.
Elementul e se numeste elementneutru a legii .
Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o multime
si o lege decompozitie interna n X. Daca admite un element neutru
atunci acesta este unic.
Definitia 1.3 Daca o lege de compozitie interna n X admite un
element neutru eatunci spunem ca unui element x X i corespunde un
element numit element simetricn raport cu legea daca exista x X
astfel ncat
x x = x x = e. (1.1)
Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o
multime si o legede compozitie interna n X asociativa cu elementul
neutru e. Daca un element x X areun element simetric n raport cu
legea , atunci acest element simetric este unic.
1
-
2 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE
Definitia 1.4 O lege de compozitie interna n X se numeste lege
comutativa daca(x, y) X2 avem x y = y x.
Definitia 1.5 Fie X o multime si o lege de compozitie interna n
X. Perechea ordonata(X, ) se numeste semigrup daca legea este
asociativa.
Definitia 1.6 Semigrupul (X, ) se numestemonoid daca legea are
si element neutru.
Definitia 1.7 Monoidul (X, ) se numeste grup daca legea daca
orice element din Xare simetric n raport cu legea . Un grup (X, )
se numeste grup comutativ (abelian)daca legea este comutativa.
Observatia 1.1 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu
simbolul + , atuncigrupul (X, +) se numeste grup aditiv, legea + se
numeste adunarea elementelordin X, elementul sau neutru se numeste
zero si se noteaza 0, iar simetricul unuielement x X, se numeste
opusul elementului x n raport cu adunarea n X, si senoteaza (x). n
grupul aditiv (X, +) notam x y n loc de x+ (y).
Observatia 1.2 Daca (X, ) este un grup si notam legea cu
simbolul , atunci grupul(X, ) se numeste grup multiplicativ, legea
se numeste nmultire a elementelor dinX, elementul sau neutru se
numeste unitate si se noteaza 1, iar simetricul unuielement x X, se
numeste inversul elementului x n raport cu nmultirea n X, si
senoteaza x1.
1.1.2 Morfisme de grupuri
Definitia 1.8 Fie (X,) si (Y, B) doua grupuri. Aplicatia f : X Y
se numeste morfismde grupuri daca satisface conditia:
x, y X : f(x y) = f(x) B f(y).
Daca morfismul f este injectiv (respectiv surjectiv) atunci el
se numestemonomorfism(respectiv epimorfism) de grupuri. Daca
morfismul f este bijectie atunci grupurile (X,)si (Y, B) se numesc
izomorfe iar f : X Y este un izomorfism. Daca X Y si Batunci orice
izomorfism f se numeste automorfism.
Observatia 1.3 Izomorfismul a doua grupuri identifica un grup cu
altul si astfel din punctde vedere algebric este suficient sa se
studieze unul din ele. Un morfism nu are aceastaproprietate.
-
1.1. STRUCTURI ALGEBRICE 3
1.1.3 Inele si corpuri
Definitia 1.9 Daca si sunt doua legi de compozitie interne n X,
spunem calegea este distributiva la stanga (respectiv la dreapta) n
raport cu lugea daca(x, y, z) X3 avem x (y z) = (x y) (x z)
(respectiv (x y) z = (x z) (y z)).In cazul n care legea este
distributiva la stanga si la dreapta n raport cu legea spunem ca
legea este dublu distributiva n raport cu legea .
Definitia 1.10 Fie (X,+, ) o terna ordonata unde X este o
multime, + este operatia deadunare n X, iar este operatia de
nmultire n X. Terna ordonata (X,+, ) se numesteinel daca (X,+) este
grup comutativ aditiv, iar nmultirea este asociativa ((X,)este
semigrup) si dublu distributiva n raport cu adunarea.
Definitia 1.11 Un inel (X,+, ) se numeste inel cu unitate daca
nmultirea are unitate.Un inel (X,+, ) se numeste inel cu comutativ
daca nmultirea este comutativa.
Exemplul 1.1 Multimea Z a numerelor ntregi nzestrata cu
operatiile de adunare sinmultire este un inel comutativ cu element
unitate.
Intr-un inel (X,+, ) elementul neutru fata de legea + se noteaza
cu 0X sau, cand nu suntposibile confuzii, se noteaza cu 0. De
asemenea elementul neutru fata de legea multiplicativase noteaza cu
1X sau, cand nu sunt posibile confuzii, se noteaza cu 1.Este usor
de demonstrat ca n orice inel (X,+, ),a = 0 a b = 0,b Xb = 0 a b =
0,a X,
dar nu ntotdeauna a b = 0 a = 0 sau b = 0. De exemplu n inelul
(M2(Z),+, ) avem:1 00 0
0 01 2
=
0 00 0
.
Definitia 1.12 Daca ntr-un inel exista a 6= 0, b 6= 0, astfel
ncat a b = 0 se spune ca asi b sunt divizori ai lui zero si ca
inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nuadmite
divizori ai lui zero se numeste inel integru. Daca un inel integru
este comutativsi cu element unitate, el se numeste domeniu de
integritate.
Definitia 1.13 Un inel (X,+, ) se numeste corp daca (X,+, ) este
inel cu unitate si oriceelement din X, diferit de zeroul adunarii,
are invers n aport cu legea .
Definitia 1.14 Un corp (X,+, ) se numeste corp comutativ sau
camp daca nmultireaeste comutativa.
Observatia 1.4 Daca (X,+, ) este un corp, notam xy1 = xy, x X, y
X, y 6= 0.
Teorema 1.3 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp
comutativ este un domeniude integritate.
-
4 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE
1.1.4 Morfisme de corpuri
Definitia 1.15 Fie (X,+, ) si (Y,,) doua corpuri. Aplicatia f :
X Y se numestemorfism de corpuri daca satisface relatiile:
f(x+ y) = f(x) f(y)x, y X,f(x y) = f(x) f(y)x, y X.
Daca n plus, f este bijectie, corpurile se numesc izomorfe iar f
este un izomorfism.
1.2 Spatii liniare
In acest capitol sunt studiate proprietati matematice ale unei
multimi de elemente careformeaza un spatiu liniar sau vectorial.
Elementele acestui spatiu pot fi entitati de naturacu totul
diferita: forte, viteze, semnale electrice, vectori geometrici,
solutii ale unor ecuatiidiferentiale etc. In ciuda acestei
diversitati vom descrie spatiul vectorial n mod abstract,adica
printr-o multime de elemente lipsita de orice atribut fizic.O
componenta importanta a notiunii de spatiu liniar este notiunea de
corp. Vom utiliza
corpurile numerelor reale R si numerelor complexe C. Fie K un
corp comutativ (care poatefi R sau C) ale carui elemente sunt
numite scalari.
Definitia 1.16 Fie (K,+, ) un corp comutativ cu elementul
unitate notat 1 si elementulnul notat 0. Fie X 6= este o multime,
pe care se definesc doua legi de compozitie:- o lege interna
aditiva,
: XX X : x,y X, (x, y) x y X,- o lege externa
multiplicativa,
: K X X : K,x X, (,x) x X.Cuaterna ordonata (X,,,K) se numeste
spatiu liniar (vectorial) peste campul K (sauKspatiu liniar) daca
(X,) este grup comutativ adica
G1. x,y, z X : x (y z) = (x y) z,G2. Exista n X un vector notat
X (vectorul X se numeste vectorul nul al lui X), astfel
ncat oricare ar fi x X :x X = Xx = x,G3. x X exista un vector
notat cu x (vectorul x se numeste opusul vectorului
x) :x (x) = (x) x = X,G4. x,y Xx y = y x,si sunt satisfacute
axiomeleSL1. , K,x X : ( x) = ( ) xSL2. , K,x X : (+ ) x = ( x) (
x)SL3. K,x,y X : (x y) = ( x) ( y)SL4. x X : 1 x = x, unde 1 este
elementul neutru pentru operatia din K.
-
1.2. SPATII LINIARE 5
Elementele multimii X se numesc vectori (vom nota vectorii cu
litere mici bold).
Exemplul 1.2 X = {X} , constand dintr-un singur vector, vectorul
nul, este un Kspatiuliniar, peste orice camp K, numit spatiu
vectorial nul.
Exemplul 1.3 Spatiul liniar aritmetic Kn. Fie (K,+, ) un corp
comutativ si n N, n 1. Consideram produsul cartezianKn = K K, Kn =
{x|x = (x1, . . . , xn), xi K, i = 1, n}.Pe Kn definim
operatiile(x,y) KnKn,x y = (x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn) =
(x1+y1, . . . , xn+yn) (adunarea
pe componente)si
(,x) K Kn, x = ( x1, . . . , xn) (nmultirea cu un scalar a
fiecareicomponente).Folosind cele doua operatii si proprietatile
campului K se verifica axiomele spatiului
liniar. (Kn,,,K) se numeste spatiu liniar aritmetic.In
particular, daca consideram K = R atunci (Rn,+, ,R) se numeste
spatiu liniar
aritmetic real, iar daca consideram K = C atunci (Cn,+, ,C) se
numeste spatiu liniararitmetic complex.Pentru n = 1 obtinem (K,+,
K) spatiu liniar. Putem vorbi deci despre spatiul liniar
real al numerelor reale si de spatiu liniar complex al numerelor
complexe.
Exemplul 1.4 Analog definim spatiul Kn = {x|x =
x1...xn
, xi K, i = 1, n}.
Teorema 1.4 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar) Daca
(X,+, ,K) este unspatiu liniar, atuncia) x X : 0x = X;b) K : X =
X;c) x X : (1)x = x;d) K,x X : x = X = 0 sau x = X;e) , K,x (X \
{X}) : x = x = f) (K \ {0}),x,y X : x = y x = yDemonstratie.
a) x X : 0x = (0 + 0)x = 0x 0x 0x = X.b) K, X = (X X) = X X X =
X.c) x X : x (1)x = 1x (1)x = ((1 + (1))x = 0x = X (1)x = xd) daca
6= 0 1 K x = X 1(x) = 1X (1 )x =X 1x = X x = Xe) , K,x (X \ {X}) :
x = x (+ ())x = X, x 6= X = f) (K\{0}),x,y X : x = y x()y = X x(y)
= X (x ( y)) = X, 6= 0 x = y.
-
6 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE
Consecinta 1.1 a) K,x X : x = ()x = (x),()x x = (+ )x = 0x = X
()x = x;b), K,x X : ( )x = x ()x = x x;c) K,x,y X : (x y) = (x (y))
= x (y) = x y.
Observatia 1.5 In cele ce urmeaza nu vom mai face n scriere
distinctie ntre + si , lafel ntre si , dar vom tine seama de
semnificatia lor pe multimile K si X.
1.3 Subspatii liniare
Definitia 1.17 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar. O submultime V,V
6= , a multimii X senumeste subspatiu liniar al spatiului X daca
(V,+, ,K) este un spatiu liniar.Teorema 1.5 (Teorema de
caracterizare a subspatiilor liniare) Fie (X,+, ,K) unspatiu
liniar. Conditia necesara si suficienta ca o submultime V a
multimii X sa fie unsubspatiu liniar a spatiului X este:
x,y V : x+ y V, (1.2)
K,x V : x V. (1.3)Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca V
este un spatiu liniar. Rezulta ca este
nchis n raport cu operatia aditiva definita pe X, deci are loc
relatia (1.2); nmultirea cuscalari este o operatie externa n raport
cu K, peste tot definita pe X, deci are loc
relatia(1.3).Suficienta. Presupunem (1.2) si (1.3) ndeplinite, ceea
ce nseamna ca V este nchis n
raport cu operatiile de adunare a elementelor lui si de
multiplicare la stanga cu elemente dincorpul de scalari.
Proprietatile de asociativitate si axiomele SL1, SL2, SL3, SL4 sunt
satis-facute pe X, deci cu atat mai mult sunt satisfacute pe V X.
Demonstram ca x Vx V si X V. Pentru x V, considerand n (1.3) = 1
rezulta (1) x = x V;utilizand (1.2) cu y = x obtinem x+ (x) = X
V.Observatia 1.6 Relatiile (1.2) si (1.3) pot fi nlocuite printr-o
singura relatie de forma
(,x,y) KV2 : x+ y V. (1.4)Exemplul 1.5 Fie (X,+, ,K) este un
spatiu liniar. Multimile V = {X} si X suntsubspatii liniare ale lui
X. Ele se numesc subspatii improprii. Orice alt subspatiu alui X se
numeste subspatiu propriu.Exemplul 1.6 Consideram spatiul liniar
aritmetic Kn si fie multimeaV = {(0, x2, . . . , xn), xi K, i = 2,
n} Kn.
Observam ca (, (0, x2, . . . , xn), (0, y2, . . . , yn)) KV2 :
(0, x2, . . . , xn)+(0, y2, . . . , yn) =(0, x2+y2, . . . , xn+yn)
V. Rezulta ca V este un subspatiu liniar coform relatiei
(1.4).Exemplul 1.7 Consideram submultimea W = {(1, x2, . . . , xn),
xi K, i = 2, n} Kn.Observam ca ((1, x2, . . . , xn), (1, y2, . . .
, yn)) W2 : (1, x2, . . . , xn) + (1, y2, . . . , yn) =(2, x2 + y2,
. . . , xn + yn) /W, deci W nu este subspatiu liniar al spatiului
Kn.
-
1.4. SUBSPATIU GENERAT DE UN SISTEM DE VECTORI 7
1.3.1 Operatii cu subspatii liniare
Definitia 1.18 Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar
(X,+, ,K). Definim
V1\V2 = {v | v V1 si v V2}
V1[V2 = {v | i {1, 2} : v Vi}
Teorema 1.6 Fie Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar
(X,+, ,K). IntersectiaV1TV2 este un subspatiu liniar al spatiului
liniar X.
Demonstratie.Observam ca V1
TV2 6= deoarece X Vi,i {1, 2} X V1
TV2. Pentru
K si x,y V1TV2, rezulta x + y Vi,i {1, 2} si deci x + y V1
TV2. De
asemenea x Vi,i {1, 2} si deci x V1TV2.Rezulta, conform Teoremei
1.5 de
caracterizare a subspatiilor liniare, ca V1TV2 este un subspatiu
liniar.
Observatia 1.7 Reuniunea unui sistem de subspatii liniare nu
este, n general, un subspatiuliniar. Ca exemplu consideram V1 =
{(x1, 0) | (x1, 0) R2} , V2 = {(0, x2) | (0, x2) R2} .Daca
consideram u = (1, 0) V1 si v = (0, 1) V2, u,v V1 V2, dar u+ v / V1
V2.
Definitia 1.19 Fie V1 si V2 doua subspatii ale spatiului liniar
(X,+, ,K). Se numestesuma subspatiilor V1 si V2 multimea V definita
prin
V = V1 +V2 = {v X | v1 V1,v2 V2 : v = v1 + v2} .
Teorema 1.7 Suma subspatiilor V1 si V2 ale spatiului liniar
(X,+, ,K), notata V, este unsubspatiu liniar al lui X.
Demonstratie. Observam ca V 6= deoarece X + X V.Fie K si (u,v)
V2 astfel ncat u = u1+u2,v = v1+ v2,u1,v1 V1, u2,v2 V2,
u+ v = (u1 + u2) + (v1 + v2) = ( u1 + v1) + ( u2 + v2).Dar V1,
V2 sunt subspatii liniare rezulta u1+v1 V1, u2+v2 V2 u+v V
si deci, conform relatiei (1.4),V este subspatiu liniar.
Definitia 1.2 Fie V1,V2 doua subspatii ale spatiului liniar
(X,+, ,K). Daca V = V1+V2si V1 V2 = {X} atunci V se numeste suma
directa a subspatiilor V1,V2 si se noteazaV = V1
LV2.
1.4 Subspatiu generat de un sistem de vectori
Definitia 1.3 Daca f : I X este o functie definita pe o multime
de indici I si cu valorintr-o multime X si daca f(i) = xi, i I,
atunci notam f prin (xi)iI pe care-l numimsistem de elemente din
X.
-
8 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE
Fie (X,+, ,K) este un spatiu liniar S = (vi)i=1,n un sistem de
vectori din X.
Definitia 1.20 Spunem ca un vector v X este o combinatie liniara
a sistemului devectori S daca exista (1, . . . , n) Kn astfel
ncat
v = 1 v1 + . . .+ n vn =nXi=1
i vi.
Exemplul 1.8 In spatiul liniar F(R,R) al functiilor definite pe
R cu valori n R consideramsistemul de functii (f0(x) = 1, f1(x) =
x, . . . , fn(x) = xn). Orice functie polinomialade grad mai mic
sau egal cu n poate fi scrisa ca o combinatie liniara de aceste
functii,
p(x) =nXi=0
ifi(x) =nXi=0
ixi n care unii din coeficienti i, i = 0, n pot fi nuli. In
schimb
functia f(x) = ex nu poate fi scrisa ca o combinatie liniara de
aceleasi functii.
Fie S = (vi)i=1,n un sistem de vectori din X. Notam cu [S]
multimea tuturor combinati-ilor liniare de vectori ai sistemului
S,
[S] =
(v X ; (1, . . . , n) Kn : v =
nXi=1
i vi).
Teorema 1.8 Multimea [S] X este un subspatiu liniar al lui
X.
Demonstratie. Daca K, u, v [S] , (1, . . . , n) Kn : u
=nXi=1
ivi si (1, . . . , n) Kn :
v =nXi=1
i vi u+ v = nXi=1
i vi +nXi=1
i vi =nXi=1
[( i) vi + i vi] =
=nXi=1
( i + i) vi [S] .
Definitia 1.21 Subspatiul [S] , multimea tuturor combinatiilor
liniare de vectori ai sistemu-lui S, se numeste subspatiul generat
de vectorii sistemului S.
Definitia 1.22 Un sistem de vectori din X, S = (vi)i=1,n se
numeste sistem de gener-atori pentru X daca subspatiul generat de S
coincide cu X, adica [S] = X. In acest cazspunem ca S genereaza pe
X.
Definitia 1.23 Un K-spatiu liniar X se numeste finit generat
daca pentru X exista unsistem finit de generatori.
In cadrul acestui curs ne vom ocupa numai de spatii finit
generate.
-
1.5. DEPENDENTA SI INDEPENDENTA LINIARA 9
1.5 Dependenta si independenta liniara
Definitia 1.24 Un sistem de vectori din X, S = (vi)i=1,n se
numeste sistem liniar de-pendent (vectorii v1, . . . ,vn se numesc
liniar dependenti) daca exista (1, 2, . . . , n) Kn, (1, . . . , n)
6= Kn astfel ncat
1 v1 + 2 v2 + . . .+ n vn = X.
In caz contrar sistemul de vectori S se numeste sistem liniar
independent (vectoriiv1, . . . ,vn se numesc liniar
independenti).
Observatia 1.8 Din definitie rezulta ca sistemul de vectori S
este liniar independent dacasi numai daca (1, . . . , n) Kn : 1
v1+2 v2+. . .+n vn = X (1, . . . , n) = Kn.
Observatia 1.8 este utilizata n practica pentru a verifica daca
un sistem de vectori esteliniar independent.
Exercitiul 1.1 Vectorii v1 = (1, 0, 0),v2 = (0, 1, 0),v3 = (0,
0, 1) din R3 sunt liniar inde-pendenti deoarece
1v1+2v2+3v3 = R3 1(1, 0, 0)+2(0, 1, 0)+3(0, 0, 1) = R3 (1, 2, 3)
=(0, 0, 0) 1 = 2 = 3 = 0.
Exercitiul 1.2 Vectorii v1 = (1, 2,1),v2 = (2,1, 0),v3 = (4,
3,2) din R3 sunt liniardependenti deoarece
1v1 + 2v2 + 3v3 = R3 1(1, 2,1) + 2(2,1, 0) + 3(4, 3,2) = R3 ( 1
+ 22 + 43, 2 1 2 + 33, 1 23) = (0, 0, 0)
1 + 22 + 43 = 021 2 + 33 = 01 23 = 0
. (1.5)
Sistemul (1.5), care este un sistem liniar omogen, are solutii
diferite de solutiabanala daca si numai daca determinantul
sistemului este zero. Se verifica prin
calcul ca
1 2 42 1 31 0 2
= 0, deci vectorii sunt liniar dependenti.
Exemplul 1.9 Sistemul format numai din vectorul nul, (X) este
liniar dependent deoare-ce avem 1 X = X, iar sistemul format
dintr-un singur vector nenul, v 6= X esteliniar independent
deoarece v = X, 6= 0 v = X.
Teorema 1.9 (Teorema de caracterizare a dependentei liniare)
Conditia nece-sara si suficienta ca un sistem de vectori din X, S =
(vi)i=1,n sa fie liniar dependent esteca cel putin unul din vectori
sa se poata exprima ca o combinatie liniara de ceilalti
vectori.
-
10 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE
Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca sistemul de vectori S =
(vi)i=1,n este liniardependent. Rezulta ca exista (1, 2, . . . , n)
Kn, (1, 2, . . . , n) 6= Kn, astfel ncat1 v1 + 2 v2 + . . .+ n vn =
X .Presupunem, de exemplu, j 6= 0, j {1, 2, . . . , n} . Atuncij vj
= 1 v1 . . . j1 vj1 j+1 vj+1 . . . n vn, j 6= 0 1j vj = 1j 1 v1 . .
. 1j j1 vj1 1j j+1 vj+1 . . . 1j n vn
adica vj este o combinatie liniara de ceilalti vectori ai
sistemului.
Suficienta. Daca vj este o combinatie liniara de ceilalti
vectori ai sistemului S atunciexista (1, . . . j1, j+1, . . . , n)
Kn1vj = 1 v1 + . . .+ j1 vj1 + j+1 vj+1 + . . .+ n vn 1 v1 + . . .+
j1 vj1 vj + j+1 vj+1 + . . .+ n vn = X.Notam k = k, k = 1, n, k 6=
j, j = 1 6= 0, (1, 2, . . . , n) 6= Kn, rezulta ca vectorii
sistemului S sunt liniar dependenti.
Consecinta 1.2 Orice sistem de vectori care contine vectorul nul
este liniar dependent.
1.6 Baza si dimensiune
Definitia 1.25 Un sistem de vectori S = (ei)i=1,n din X se
numeste baza n K-spatiulliniar X daca satisface conditiile:a) S
este un sistem de vectori liniari independenti;b) S este un sistem
de generatori pentru K-spatiul liniar X.
Exemplul 1.10 In spatiul liniar Kn consideram sistemul de
vectori S = (ei)i=1,n unde
e1 = (1, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , en
= (0, 0, . . . , 0, 1) . (1.6)
Din orice relatie de forma 1e1 + 2e2 + . . . + nen = X rezulta i
= 0,i = 1, n decisistemul de vectori S = (ei)i=1,n este liniar
independent.Pe de alta parte, pentru orice x = (x1, x2, . . . , xn)
Kn avem x = x1 (1, 0, . . . , 0) +
x2 (0, 1, 0, . . . , 0) + . . . + xn (0, 0, . . . , 0, 1) = x1e1
+ x2e2 + . . . + xnen, adica sistemul devectori S = (ei)i=1,n este
un sistem de generatori pentru Kn.Sistemul de vectori S = (ei)i=1,n
definit de (1.6) se numeste baza canonica (baza nat-
urala) din Kn.
Teorema 1.10 (Teorema de caracterizare a bazelor) Conditia
necesara si suficientaca un sistem de vectori S = (ei)i=1,n din X
sa fie o baza n K-spatiul liniar X este ca oricevector din X sa se
exprime n mod unic ca o combinatie liniara de vectori din S,
adica
x X,(1, 2, . . . , n) Kn : x = 1e1 + 2e2 + . . .+ nen. (1.7)
-
1.6. BAZA SI DIMENSIUNE 11
Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca sistemul de vectori S =
(ei)i=1,n este o bazan K-spatiul liniar X. Deoarece [S] = X rezulta
ca
x X,(1, 2, . . . , n) Kn : x = 1 e1 + 2 e2 + . . .+ n
en.Demonstram ca descompunerea este unica prin reducere la absurd.
Presupunem ca mai
exista o descompunere a lui x.(1, . . . , n) Kn, (1, . . . , n)
6= (1, . . . , n):x = 1 e1+ 2 e2+ . . .+ n en. Prin
scadere obtinem
(1 1) e1 + (2 2) e2 + . . .+ (n n) en = X.Dar sistemul de
vectori (ei)i=1,n este liniar independent rezulta k = k, k = 1, n,
deci
unicitatea scrierii.
Suficienta. Presupunem cax X,(1, 2, . . . , n) Kn : x = 1e1 +
2e2 + . . .+ nen.De aici rezulta ca S este un sistem de generatori
pentru X. Demonstram ca vectorii
sistemului S sunt liniar independenti. Pentru aceasta consideram
o relatie de forma1 e1 + 2 e2 + . . .+ n en = X
care constituie o descompunere a vectorului X dupa vectorii
sistemului S. Pe de alta parteavem si urmatoarea descompunere a
vectorului X dupa vectorii sistemului S de forma:
X = 0 e1 + 0 e2 + . . .+ 0 en.Cum descompunerea dupa vectorii
din S este unica, rezulta k = 0, k = 1, n, adica
sistemul de vectori S este liniar independent. Deci S este o
baza.
Definitia 1.4 Scalarii care formeaza n-upla ordonata (1, 2, . .
. , n) Kn din descom-punerea unica (1.7) a lui x X se numesc
coordonatele vectorului x n baza S.
Daca se alege o alta baza, coordonatele unui vector se vor
schimba (vor fi diferite decele din prima baza).Teorema urmatoare
demonstreaza ca ntr-un spatiu finit dimensional toate bazele au
acelasi numar de vectori.
Teorema 1.11 Fie X un K-spatiul liniar si fie sistemul de
vectori S = (ei)i=1,n o baza nX. Au loc afirmatiile:a) Orice alta
baza din X este formata din n elemente.b) Orice sistem de vectori
liniar independent format din n elemente este o baza n X.
Definitia 1.5 Fie X 6= {X} un K-spatiu liniar finit generat.
Numarul de vectori ai uneibaze a lui X se numeste dimensiunea
spatiului X si se noteaza dimK X.
Teorema 1.12 (Teorema de completare a unui sistem de vectori
liniar indepen-dent pana la o baza) Daca (ei)i=1,n este o baza n
Xn, sistemul liniar independent (wi)i=1,pse poate completa pana la
o baza Xn adaugand n p vectori din baza (ei)i=1,n astfel ncatnoul
sistem obtinut sa fie liniar independent. Completarea nu este
unica.
-
12 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE
1.7 Schimbarea coordonatelor unui vector la schimba-
rea bazei
Consideram X un K-spatiu liniar de dimensiune n si doua baze
apartinand acestui spatiu,B = (ei)i=1,n si B0 = (e0i)i=1,n. Un
vector oarecare u X se poate descompune n raport cucele doua baze
sub forma: (1, 2, . . . , n) Kn astfel ncat n baza B vectorul u se
poatescrie sub forma
u =nXi=1
iei = (1 2 . . . n)
e1e2...en
, (1.8)
Fie (1, 2, . . . , n) Kn astfel ncat n baza B0 vectorul u se
poate scrie sub forma
u =nX
j=1
je0j = (1 2 . . . n)
e01e02...e0n
. (1.9)
Vectorii bazei B0 = (e0i)i=1,n se pot descompune n raport cu
vectorii bazei B dupa relatiile:
e0j = (a1j a2j . . . anj)
e1e2...en
, j = 1, n. (1.10)
Inlocuind relatia (1.10) n (1.9) rezulta
u = (1 2 . . . n)
a11 a21 an1a12 a22 an2...
......
...a1n a2n ann
e1e2...en
.
Din unicitatea descompunerii unui vector dupa vectorii bazei
(Teorema 1.10) rezulta
(1 2 . . . n) = (1 2 . . . n)
a11 a21 an1a12 a22 an2...
......
...a1n a2n ann
sau, transpus,
12...n
=
a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann
12...n
.
-
1.7. SCHIMBAREA COORDONATELOR UNUI VECTOR LA SCHIMBAREA
BAZEI13
Daca notam matricea de trecere de la baza B la baza B0
A =
a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann
,
obtinem scrierea matriceala
12...n
= A
12...n
(1.11)
Relatia (1.11) se numeste formula matriceala de schimbare a
coordonatelor unuivector la o schimbare de baze.
Exercitiul 1.3 In R3 consideram baza canonica e1 =
100
, e2 =
010
, e3 =
001
si alta baza u1 =
100
,u2 =
110
,u3 =
111
. Un vector oarecare x, dat prin x =
123
se scrie n prima baza x = 1e1+2e2+3e3, iar n a doua x =
1u1+2u2+3u3.
Deoarece u1 = e1, u2 = e1+ e2 si u3 = e1+ e2+ e3, matricea de
trecere de baza de la baza
(e1, e2, e3) la baza (u1,u2,u3) este
1 1 10 1 10 0 1
iar coordonatele vectorului x n raport cu
baza (e1, e2, e3) n functie de coordonatele vectorului n raport
cu baza (u1,u2,u3) suntdate de relatia
123
=
1 1 10 1 10 0 1
123
Definitia 1.26 Se numeste matricea schimbarii de baza sau
matricea de trecerede la baza B la baza B0 matricea A a carei
coloana j este formata din coordonatelevectorului e0j al bazei B0 n
raport cu vectorii bazei B, j = 1, n.
Teorema 1.13 Matricea A de trecere de la baza B la baza B0 este
inversabila.
-
14 CAPITOLUL 1. SPATII LINIARE
Demonstratie. Fie X un K-spatiu liniar de dimensiune n si doua
baze B = (ei)i=1,n siB0 = (e0i)i=1,n. Exprimam vectorii bazei B cu
ajutorul vectorilor bazei B0 :
ei = (b1i b2i . . . bni)
e01e02...e0n
, i = 1, n. (1.12)
Tinand seama de relatiile (1.8), (1.12) si (1.9) obtinem
u = (1 2 . . . n)
b11 b21 bn1b12 b22 bn2...
......
...b1n b2n bnn
e01e02...e0n
= (12 . . . n)
e01e02...e0n
de unde rezulta, daca notam cu B = (bij)i,j=1,n ,
(12 . . . n) = (1 2 . . . n)BT B
12...n
=
12...n
Inlocuind n relatia (1.11)
12...n
= A
12...n
= A B
12...n
B A = In
unde In = (ij)i,j=1,n , reprezenta matricea unitate de ordin
n.Printr-un rationament analog, folosind relatiile (1.9),(1.10) si
(1.8), obtinemA B = In,
deci matricea A este inversabila.O justificare mai simpla este
urmatoarea: deoarece descompunerea dupa vectorii bazei
este unica, rezulta ca sistemul (1.11) are solutie unica
pentru
12...n
dati, deci det(A) 6= 0,
adica matricea A este inversabila.
Definitia 1.27 Doua baze B = {e1, e2, ..., en} si B0 = {e01,
e02, ..., e0n} din spatiul vectorialXn, se numesc baze la fel
orientate daca determinantul matricei schimbarii de baza de labaza
B la B0 este pozitiv. Daca acest determinant este negativ, cele
doua baze se numesccontrar orientate.
-
Capitolul 2
SPATII LINIARE EUCLIDIENE
Definitia 2.1 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. O functie:h, i : X
X R se numeste produs scalar real n X daca satisface
conditiile:SP1) (u,v,w) X3 : hu+ v,wi = hu,wi+ hv,wi,SP2) (,u,v) R
X2 : h u,vi = hu,vi,SP3) u,v X : hu,vi = hv,ui ,SP4) u X : hu,ui 0
si hu,ui = 0 u = X.
Definitia 2.2 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar. Perechea ordonata
(X, h, i) se numestespatiu liniar cu produs scalar real sau spatiu
liniar euclidian.
Teorema 2.1 (Consecinte ale definitiei spatiului liniar
euclidian)Daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian atunci au
loc relatiile:SP5) (u,v,w) X3 : hu,v +wi = hu,vi+ hu,wi,SP6) (,u,v)
R X2 : hu, vi = hu, vi,SP7) u X : hu,Xi = hX,ui = 0,
Demonstratie.
S6) (u,v,w) X3 : hu,v +wi SP3= hv +w,ui SP1= hv,ui+ hw,ui SP3=
hu,vi+ hu,wi,S7) (,u,v) RX2 : hu, vi SP3= h v,ui SP2= hv,ui,S8) n
relatia SP2 consideram = 0 si obtinem: (u,v) X2, h0 v,ui = 0 hv,ui
= 0
dar h0 v,ui = hX,ui de unde rezulta h0 v,ui = hX,ui. Analog se
obtine cealaltarelatie.
Exemplul 2.1 Fie (Rn,+, ,R), n 1 spatiul liniar aritmetic
ndimensional si aplicatiah, i : Rn Rn R definita prin
(x,y) Rn Rn,x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . , yn) : hx,yi
=nXi=1
xiyi.(2.1)
Demonstram ca aplicatia astfel definita satisface axiomele
produsului scalar real.
15
-
16 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE EUCLIDIENE
SP1) (x,y, z) (Rn)3 , x = (x1, . . . , xn) ,y = (y1, . . . ,
yn), z = (z1, . . . , zn) : hx+ y, zi =nPi=1(xi + yi)zi =
nPi=1
xiyi +nPi=1
xizi = hx, zi+ hy, zi.
SP2)(,x,y) R (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn)
: hx,yi =nPi=1(xi)yi =
nPi=1
xiyi = hx,yi.
SP3) (x,y) (Rn)2, x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) :
hx,yi =nPi=1
xiyi =nPi=1
yixi =
hy,xi.SP4) x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi =
nPi=1
x2i 0.
x Rn, x = (x1, . . . , xn) , hx,xi = 0nPi=1
x2i = 0 xi = 0, i = 1, n x = Rn .Produsul scalar definit prin
(2.1) se numeste produs scalar standard (sau canonic)
iar (Rn, h, i) este numit spatiul euclidian aritmetic canonic
ndimensional. Analogse defineste produsul scalar standard n (Rn,+,
,R).Exemplul 2.2 Fie (C ([a, b] ,R) ,+, ,R) spatiul liniar al
functiilor reale continue pe inter-valul nchis [a, b] R, unde a
< b. Aplicatia h, i : C ([a, b] ,R)C ([a, b] ,R) R
definitaprin
(f, g) (C ([a, b] ,R))2 : hf, gi =bZ
a
f(x)g(x)dx (2.2)
este un produs scalar real, numit produs scalar canonic
(standard) definit pe C ([a, b] ,R) ,iar (C ([a, b] ,R) , h, i) are
structura de spatiu liniar euclidian.Definitia 2.3 Fie (X, h, i) un
spatiu liniar euclidian. Pentru orice vector v X definimlungimea
(norma euclidiana) vectorului v, numarul real nenegativ:
kvk =phv,vi. (2.3)
Vectorul v cu proprietatea ca kvk = 1 se numeste versor sau
vector unitar.
Observatia 2.1 Daca v 6= X atunci vectorul v = 1kvkv este versor
si se numeste versorulvectorului nenul v. Remarcam ca pentru orice
v X,v 6= X are loc relatia v = kvk v.Exemplul 2.3 (Particularizari
ale lungimii (normei) unui vector)In cazul spatiului euclidian
aritmetic canonic ndimensional (Rn, h, i), cu produsul
scalar definit prin relatia (2.1), lungimea unui vector x
este:
kxk =vuut nX
i=1
x2i .
-
17
In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu
produsul scalar definit prinrelatia (2.2), lungimea unui vector f
este:
kfk =
vuuut bZa
f2(x)dx.
Teorema 2.2 (Proprietati ale lungimii (normei) unui vector)Daca
(X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci au loc
relatiile:i)
u X : kuk = 0 u = X,ii)
(,u) RX : k uk =| | kuk ,iii)
(u,v) X2 :| hu,vi | kuk kvk , (2.4)numita inegalitatea
Cauchy-Schwarz-Buniakowski. Egalitatea are loc daca si numaidaca
vectorii (u,v) X2 sunt liniar dependenti.
iv)
(u,v) X2 :k u+ v kk u k + k v k, (2.5)numita inegalitatea
triunghiulara sau inegalitatea lui Minkowski.
Demonstratie. i) u X, k u k= 0 hu,ui = 0 SP4 u = X.ii) (,u) KX :
k u k= ph u, ui = phu,ui = p2hu,ui =
= | |k u k .iii) Inegalitatea este evident adevarata pentru u =
X sau v = X. Presupunem u 6= X
si v 6= X. Atunci k u+ v k2= hu+ v,u+ vi =
hu,ui+hu,vi+hv,ui+2hv,vi,utilizand definitia si proprietatile
produsului scalar. Deoarece k u + v k2 0, R,rezulta 2hv,vi+2hu,vi+
hu,ui 0, R, care poate fi privita ca o ecuatie de graduldoi care
pastreaza semn constant oricare ar fi real. Deci = 4 (hu,vi2
hv,vihu,ui) 0si obtinem |hu,vi| phu,uiphv,vi, adica inegalitatea
Cauchy-Schwarz-Buniakowski.Egaliatea are loc n cazurile:a) cel
putin unul din vectori este X, deci sistemul de vectori (u,v) este
liniar dependent,b) u + v = X, relatie care nseamna dependenta
liniara. Reciproc, daca sistemul de
vectori (u,v) este liniar dependent, atunci exista R : v = u si
obtinem | hu,vi |=| |k u k2=k u kk v k .
iv) (u,v) X2 : k u+ v k2= hu+ v,u+ vi = hu,ui + hu,vi + hv,ui +
hv,vi =k u k2 +2hu,vi+ k v k2 k u k2 +2 | hu,vi | + k v k2 k u k2
+2 k u kk v k ++ k v k2 (k u k + k v k)2 , adica inegalitatea
triunghiulara. Am avut n vedere inegalita-tea hu,vi | hu,vi |.
-
18 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE EUCLIDIENE
Exemplul 2.4 Particularizari ale inegalitatii
Cauchy-Schwarz-Buniakowski.In cazul spatiului euclidian aritmetic
canonic ndimensional (Rn, h, i) cu produsul
scalar definit prin relatia (2.1), inegalitatea (2.4) este de
forma:
|nXi=1
xiyi |vuut nX
i=1
x2i
vuut nXi=1
y2i .
In cazul spatiului liniar euclidian (C ([a, b] ,R) , h, i) cu
produsul scalar definit prinrelatia (2.2), inegalitatea (2.4) este
de forma:
|bZ
a
f(x)g(x)dx |
vuuut bZa
f2(x)dx
vuuut bZa
g2(x)dx.
Observatia 2.2 Daca (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, atunci
functia k k: X Rdefinta de u X, k u k= phu,ui, care reprezinta
lungimea vectorului u, relatia (2.3),este o norma pe X (satisface
axiomele normei ( i, ii, iv ). Aceasta norma se numeste normaindusa
n X de produsul scalar definit n spatiul liniar X.
Definitia 2.4 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar n care este
definita o norma. Perecheaordonata (X, k k) se numeste spatiu
liniar normat.Definitia 2.5 Fie (X,+, ,R) un spatiu liniar
euclidian. Daca (X, k k) este un spatiuliniar normat cu norma k k
indusa de produsul scalar h, i, atunci perechea ordonata(X, k k) se
numeste spatiu prehilbertian.Definitia 2.6 Daca (X, k k) este un
spatiu prehilbertian complet (n sensul ca orice sirCauchy de
elemente din X este un sir convergent) atunci (X, k k) se numeste
spatiuHilbert.
Exemplul 2.5 Spatiul (Rn,+, ,R), n 1 este evident un spatiu
Hilbert relativ la produsulscalar canonic definit n Exemplul
2.1.
Observatia 2.3 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Pentru
orice pereche ordonata devectori (u,v) (X \ {X})2 inegalitatea
Cauchy - Schwarz - Buniakowski poate fi scrisa deforma:| hu,vi
|
k u kk v k 1 1 hu,vi
k u kk v k 1.
Definitia 2.7 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Solutia
unica n intervalul [0, ],notata \(u,v), a ecuatiei
cos\(u,v) =hu,vi
k u kk v kse numeste unghiul neorientat al perechii ordonate
(u,v) (X \ {X})2.
-
2.1. BAZE ORTONORMATE 19
Definitia 2.8 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Daca
(u,v) X2 si hu,vi = 0atunci u se numeste vector ortogonal cu
vectorul v. Folosim notatia u v.
In plan sau n spatiu aceasta notiune coincide cu cea de
perpendicularitate.
Definitia 2.9 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian.
Aplicatiad : XX R
definita prinu,v X : d(u,v) = ku vk
se numestemetrica sau distanta pe X. Numarul real d(u,v) se
numeste distanta dintrevectorii u si v, iar perechea ordonata (X,
d) se numeste spatiu metric.
Exemplul 2.6 In cazul spatiului euclidian aritmetic canonic
ndimensional (Rn, h, i)cu produsul scalar definit prin relatia
(2.1), distanta dintre vectorii x,y Rn, x =(x1, . . . , xn) , y =
(y1, . . . , yn) este data de
d(x,y) =
vuut nXi=1
(xi yi)2.
2.1 Baze ortonormate
Definitia 2.10 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un
sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortogonal daca vectorii
sai sunt ortogonali doi cate doi, adica
i, j = 1,m, i 6= j : vi vj.
Definitia 2.11 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian. Un
sistem de vectori S = (vi)i=1,mse numeste ortonormat daca este
ortogonal si format numai din vectori unitari (versori).
Observatia 2.4 Din orice sistem de vectori ortogonal, format din
vectori nenuli, se poateobtine un sistem ortonormat nmultind
fiecare vector vi,vi 6= X, i = 1,m, al sistemului cuk vi k1,
obtinandu-se astfel vectori unitari.
Exemplul 2.7 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = x,
f2(x) = 12(3x2 1)) este
un sistem ortogonal n (C ([1, 1] ,R) , h, i) cu produsul scalar
definit n Exemplul 2.2.Intr-adevar,
hf0, f1i =1R1
xdx = 0, hf1, f2i =1R1
x12(3x2 1)dx = 0, hf0, f2i =
1R1
12(3x2 1)dx = 0.
Teorema 2.3 Orice sistem de vectori ortogonal, format din
vectori nenuli, este liniar in-dependent.
-
20 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE EUCLIDIENE
Demonstratie. Fie un sistem de vectori S = (vi)i=1,m ortogonal,
format din vectorinenuli. Sa presupunem ca avem: 1v1 + . . .+ nvn =
X. Obtinem:
k = 1, n : h1v1 + . . .+ nvn,vki = ik k vik k2= 0, k vik k6= 0
ik = 0, k = 1, p,deci sistemul S este liniar independent.
Consecinta 2.1 Daca dimK X =n, utilizand Teorema 2.3 rezulta ca
orice sistem de n vec-tori ortogonal (sau ortonormat), format din
vectori nenuli, formeaza o baza n X.
Definitia 2.12 Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X
=n. O baza S = (ei)i=1,nse numeste baza ortonormata daca S =
(ei)i=1,n este un sistem ortonormat de vectori.
Observatia 2.5 Un sistem de vectori S = (ei)i=1,n este o baza
ortonormata daca
i, j = 1, n : hei, eji = ij, unde ij =1, daca i = j0, daca i 6=
j este simbolul lui Kronecker.
Exemplul 2.8 Sistemul de functii S = (f0(x) = 1, f1(x) = sinx,
f2(x) = cosx, . . . ,f2n1(x) = sinnx, f2n(x) = cosnx) este un
sistem ortogonal n (C ([, ] ,R) , h, i) cu pro-
dusul scalar definit n Exemplul 2.2 deoarece
Z
f2i1(x) f2j1(x)dx =
Z
sin(ix) sin(jx)dx =
0,
Z
f2i(x)f2j(x)dx =
Z
cos(ix) cos(jx)dx = 0 pentru i 6= j.
Ortonormam sistemul. Pentru aceasta calculam norma fiecarui
vector din sistem.
k f0 k2=R
dx = 2,
k f2k1 k2=Rsin2 kxdx = ,
k f2k k2=Rcos2 kxdx = .
Sistemul S0 = (g0(x) =12
, g1(x) =1sinx, f2(x) =
1cosx, . . . , f2n1(x) =
1sinnx, f2n(x) =
1cosnx) este un sistem ortonormat. Acest sistem va fi utilizat
la
construirea seriei Fourier atasata unei functii periodice.
2.2 Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt
Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimK X =n. Evident ca
acest spatiu trebuie sacontina o baza. Nu este evident ca acest
spatiu contine o baza ortonormata. Urmatoareateorema asigura
existenta unei asemenea baze si totodata ne da un procedeu de
constructiea acesteia, pornind de la o baza oarecare.
-
2.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 21
Teorema 2.4 (Procedeul de ortonormare Gram-Schmidt) In orice
spatiu liniareuclidian (X, h, i) exista cel putin o baza
ortonormata.Demonstratie. Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian,
dimK X =n. Pornind de la o
baza arbitrara S = (v1,v2, . . . ,vn) Construim o baza
ortonormata S0 folosind procedeulGram-Schmidt. Consideram
vectorii:
u1 = v1u2 = v2 + 21u1u3 = v3 + 31u1 + 32u2 un = vn + n1u1 + +
n,n1un1
(2.6)
si vom determina scalarii ij care apar n (2.6) impunand conditia
ca fiecare vector ui sa fieortogonal pe vectorii (u1,u2, . . .
,ui1). u1 u2 hu2,u1i = 0 si folosind a doua relatiedin (2.6)
obtinem: 21 =
hv2,u1ik u1 k2 .
In general hui,uki = 0 pentru k < i, hvi + i1u1 + +
i,i1ui1,uki = 0 ik =hvi,ukik uk k2 , pentru i = 2, n si k <
i.Ramane de demonstrat ca vectorii din sistemului (u1,u2, . . .
,un) construiti conform
procedeului descris sunt diferiti de zero, n caz contrar
mpartirea cu k uk k2 nu ar aveasens. Observam ca uj este o
combinatie liniara formata din v1,v2, . . . ,vj1, deci nlocuindpe
u1,u2, . . . ,uk1 prin aceste combinatii liniare n uk = vk + k1u1 +
+ k,k1uk1obtinem uk = vk + 1v1+ + k1vk1. Dar uk = 0 (v1,v2, . . .
,vk) liniar dependenti,ceea ce este fals deoarece ei formeaza un
subsistem al unui sistem liniar independent.Astfel am construit
sistemul ortogonal S = (ui)i=1,n care nu contine vectorul nul.
Con-
form Teoremei 2.3 sistemul S = (ui)i=1,n este liniar
independent, rezulta ca formeaza o baza.
Sistemul S0 = (e1, . . . , en), e1 =1
k u1 ku1, . . . , en =1
k un kun, este baza ortonormata .
Exercitiul 2.1 Fie spatiul liniar (R3,+, ,R) pe care este
definit produsul scalar standard(vezi Exemplul 2.1). Sa se afle o
baza ortonormata n R3, plecand de la baza
v1 =
122
,v2 =
135
,v3 =
402
. (2.7)
Rezolvare. Fie u1 = v1 si u2 = v2 + 21v1, hu2,u1i = 0 21 =
hv2,u1i / hu1,u1i =
5/3. Va rezulta ca u2 este dat prin u2 =
8/31/35/3
. Cautam pe u3 de forma u3 =
v3+31u1+32u2 si gasim 31 = 0, 32 = 7/5. Va rezulta ca u3 =
4/157/155/15
. Calculam
lungimile vectorilor u1, u2 si u3.
-
22 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE EUCLIDIENE
ku1k =12 + 22 + 22 = 3,
ku2k =q(8/3)2 + (1/3)2 + (5/3)2 =
10,
ku3k =q(4/15)2 + (7/15)2 + (5/15)2 = 1
5
10
Impartind u1, u2 si u3 cu lungimea lor, am gasit trei vectori
ortonormati si anume
132323
,
8310
1310
5310
,
4310
7310
5310
(2.8)
formand o baza ortonormata.
Exercitiul 2.2 Se considera spatiul liniar (R2 [x] ,+, ,R) al
polinoamelor de grad cel mult
doi pe care se defineste produsul scalar: (p,q) (R2 [x])2 :
hp,qi =1Z
1
p(x)q(x)dx.
Consideram baza B = (1, x, x2) . Aplicand procedeul Gram-Schmidt
sa se obtina din bazadata o baza ortonormata.
Rezolvare. Fie r1(x) = 1,
r2(x) = x
1Z1
x1dx
1Z1
11dx
1 = x 02 1 = x,
r3(x) = x2
1Z1
x21dx
1Z1
11dx
1
1Z1
x2xdx
1Z1
xxdx
x = x2 2/32 1 0
2/3 x = x2 13 .
Sistemul de vectori1, x, x2 1
3
este ortogonal. Il ortonormam, mpartind vectorii la
lungimea lor.s1(x) = 1yxxxxxxw
1Z1
11dx
1 = 12,
s2(x) = 1yxxxxxxw
1Z1
xxdx
x =q
32 x,
-
2.2. PROCEDEUL DE ORTOGONALIZARE GRAM-SCHMIDT 23
s3(x) = 1yxxxxxxw
1Z1
(x2 13)(x2 13)dx
x2 13
= 1
2
q52(3x2 1) .
Sistemul de vectori12, xq
32, 12
q52(3x2 1)
este ortonormat.
2.2.1 Expresia produsului scalar ntr-o baza ortonormata
Fie (X, h, i) un spatiu liniar euclidian, dimR X =n si S =
(ei)i=1,n o baza ortonormatan X. Fie (u,v) X2, (1, . . . , n) Rn,
(1, . . . , n) Rn : u =
nXi=1
iei,v =
nXj=1
jej. si S = (ei)i=1,n o baza ortonormata n X. Atunci expresia
produsului scalar n
baza ortonormata data va fi:
hu,vi = (1 . . . n)
1...n
=
nXi=1
ii. (2.9)
Observam ca daca (X, h, i) este un spatiu liniar euclidian,
expresia produsului scalarntr-o baza ortonormata se reduce la
produsul scalar standard din Rn. In acest caz expresialungimii unui
vector ntr-o baza ortonormata este:
u X,u =nXi=1
iei :k u k= (1 . . . n)
1...n
=
vuut nXi=1
2i .
Definitia 2.13 Matricea A Mn(R) se numeste ortogonala daca ATA =
AAT= In.Observatia 2.6 Din definitie rezulta ca dacaA Mn(R) este o
matrice ortogonala, atunciavem det(A) = 1, A este inversabila si
inversa sa este A1 = AT .Teorema 2.5 Fie (X, h, i) un spatiu liniar
euclidian si dimR X =n si S = (ei)i=1,n, S1 =(e0i)i=1,n doua baze
ortonormate n X. Daca S
A S1, unde A = (aij)i,j=1,n, atunci matriceaA este ortogonala.
Reciproc, daca baza S este ortonormata, iar matricea A este
ortogonala,atunci baza S1 este ortonormata.
Demonstratie. Neesitatea. Vectorii (e0i)i=1,n se pot descompune
n raport cu vectoriibazei S dupa relatiile:
e0j = (a1j, a2j, . . . , anj)
e1e2...en
=
nXi=1
aijei, j = 1, n.
-
24 CAPITOLUL 2. SPATII LINIARE EUCLIDIENE
Atunci he0i, e0ji = hnX
k=1
akiek,nX
h=1
ahjehi =nX
k=1
nXh=1
akiahjhek, ehi =nX
k=1
nXh=1
akiahjkh =
nXk=1
akiakj ij =nX
k=1
akiakj In = AtA, adica A este o matrice ortogonala.
Suficienta. Daca A este o matrice ortogonala, atunci din he0i,
e0ji =nX
k=1
nXh=1
akiahjkh =
nXk=1
akiakj = ij rezulta ca S1 este o baza ortonormata.
-
Capitolul 3
Transformari liniare
In acest capitol definim aplicatii pe spatii liniare de
dimensiune finita.Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) spatii
liniare(vectoriale).
Definitia 3.1 O aplicatie T : X Y se numeste transformare
liniara (aplicatie liniarasau functie liniara sau operator liniar
sau morfism de spatii liniare) daca satisfaceconditiile:a)
u,v X : T (u+ v) = T (u) + T (v) (3.1)
(numita proprietatea de aditivitate a aplicatiei T ),b)
K, u X : T (u) = T (u) (3.2)
(numita proprietatea de omogeneitate a aplicatiei T ).
Se obtine prin inductie relatia
T
mXi=1
cixi
!=
mXi=1
ciT (xi) ,ci R,xi Xn, i = 1,m. (3.3)
Teorema 3.1 (Teorema de caracterizare a transformarilor
liniare)Conditia necesara si suficienta ca o transformare sa fie
liniara este:
K,u, v X : T (u+ v) = T (u) + T (v). (3.4)
Demonstratie.Necesitatea. Presupunem ca T este o transformare
liniara. Conform Definitiei 3.1 K,u,v X : T (u+ v) (3.1)= T (u) + T
(v) (3.2)= T (u) + T (v).Suficienta. Considerand n (3.4) = 1
rezulta (3.1). Considerand n (3.4) v = X si
folosind Observatia 3.1 rezulta (3.2).Vom nota L(X,Y) = {T | T :
X Y, T transformare liniara} .In cazul particular al
endomorfismelor (X = Y), vom nota L(X,X) =L(X).
25
-
26 CAPITOLUL 3. TRANSFORMARI LINIARE
Teorema 3.2 (L(X,Y),+, ,K) este un spatiu
liniar.Demonstratie.Definim legea interna din L(X,Y). Fie (T, S)
L(X,Y) L(X,Y) si introducem suma
lor prin (T + S)(u) = T (u) + S(u), u X. Folosind definitia
sumei a doua transformari,liniaritatea si Teorema 3.1 obtinem:
(T, S) L(X,Y) L(X,Y):(T + S)(u + v) = T (u + v) + S(u + v) = T
(u) +T (v) + S(u) + S(v) = (T (u) + S(u)) + (T (v) + S(v)) = (T +
S)(u) + (T + S)(u), K,u X, adica T + S L(X,Y).Definim legea externa
din L(X,Y). Introducem produsul dintre un scalar si o transfor-
mareT L(X,Y), K : (T )(u) = T (u),u X.Folosind definitia
produsului dintre un scalar si o transformare, liniaritatea ei si
Teorema
3.1 obtinem:(, T ) K L(X,Y):(T )(u+ v) = T (u+ v) = (T (u) + T
(v)) = (T (u)) +
T (v) = (T )(u) + (T (u),(,u) KX, adica T L(X,Y).Avand definite
aceste operatii se verifica usor ca (L(X,Y),+) este grup comutativ
si
sunt satisfacute axiomele SL1 SL4 din Definitia 2.1 a spatiului
liniar.
Definitia 3.2 O transformare liniara T se numeste monomorfism,
epimorfism sauizomorfism dupa cum T este respectiv injectiva,
surjectiva sau bijectiva.Daca X = Y atunci aplicatia liniara T se
numeste endomorfism. Un endomorfism
bijectiv se numeste automorfism.
Observatia 3.1 Daca n Definitia 3.1, a) nlocuim u = v = X
obtinem T (X) = T (X)+T (X), de unde rezulta ca
T (X) = Y, (3.5)
unde X si respectiv Y sunt vectorii nuli din K-spatiile liniare
X si respectiv Y. Conditia(3.5) este doar o conditie necesara ca o
aplicatie sa fie liniara. De aici rezulta ca dacaT (X) 6= Y atunci
T nu este liniara.Exemplul 3.1 Aplicatia T : R3 R2, definita prin T
(x) = (x1 + 2x3, x1 + x2 x3),x = (x1, x2, x3) R3 este o
transformare liniara (se verifica prin calcul conditiile (3.1)
si(3.2)).
Exemplul 3.2 Aplicatia T : R2 R3, definita prin T (x) = (x1 + 1,
x2, x1 + x2), x =(x1, x2) R2 nu este o transformare liniara
deoarece T (R2) = (1, 0, 0), conform observatiei3.1 unde R2 = (0,
0).
Teorema 3.3 Fie (X,+, ,K), (Y,+, ,K) si (Z,+, ,K) spatii liniare
si T L(X,Y), S L(Y,Z). Atunci S T L(X,Z) (compunerea a doua
transformari liniare este o transfor-mare liniara), unde (ST )(u) =
S(T (u)),u X. Mai mult, daca T si S sunt izomorfisme,atunci S T
este izomorfism.
-
3.1. MATRICEA UNEI TRANSFORMARI LINIARE 27
Pentru orice izomorfism T L(X,Y), aplicatia inversa T1 L(Y,X)
(inversul unuiizomorfism liniar este un izomorfism liniar), unde v
Y :T1(v) = u T (u) = v, esteun izomorfism.
Demonstratie. Fie (,u,v) KX2 : (S T )(u+ v) = S(T (u+ v)) = S(T
(u)+T (v)) = S(T (u)) + S(T (v)) = (S T )(u) + (S T )(v).Daca T si
S sunt bijective, atunci S T este bijectiva, deci S T este
izomorfism.Daca T este bijectie rezulta ca T1 este
bijectie.Demonstram ca T1 este o transformare liniara. Fie (,w1,w2)
KY2 (u1,u2)
X2 : T (u1) = w1, T (u2) = w2 : T1(w1+w2) = T1(T (u1) + T (u2))
= T1(T (u1+u2)) = (T1 T )(u1+ u2) = u1+ u2 = T1(w1) + T1(w2), deci
T1(w1+w2) =T1(w1) + T1(w2).
3.1 Matricea unei transformari liniare
Teorema 3.4 Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) spatii liniare, dimK X =
n,dimK Y = m siT L(X,Y). Daca S1 = (e1, . . . , en) este o baza n
(X,+, ,K) si S2 = (e01, . . . , e0m) obaza n (Y,+, ,K), atunci
exista o matrice unica P Mmn(K), P = (pij)i=1,m,j=1,n
astfelncat
T (e1)...T (en)
= PT
e01...e0m
. (3.6)
Daca u X, u = (1 . . . n)
e1...en
are imaginea T (u) = (1 . . . m)
e01...e0m
,
atunci
1...m
= P
1...n
. (3.7)
Demonstratie. Demonstram existenta matricei P. Daca S1 = (e1, .
. . , en) este o baza n(X,+, ,K), vectorii T (ei) Y, i = 1, n au
descompunerile n raport cu baza S2 de forma:
T (e1) =mPj=1
pj1e0j
T (ei) =
mPj=1
pjie0j
T (en) =
mPj=1
pjne0j
, unde pji K, i = 1, n, j = 1,m,
-
28 CAPITOLUL 3. TRANSFORMARI LINIARE
echivalenta cu scrierea matriceala
T (e1)...T (en)
=
p11 pm1...
...p1n pmn
e01...e0m
T (e1)...T (en)
= PT
e01...e0m
,
(3.8)
ceea ce reprezinta relatia (3.6).Matricea P este unica datorita
unicitatii descompunerii unui vector dupa vectorii bazei.
Demonstram relatia (3.7). Fie T L(X,Y) si u X, u = (1 . . .
n)
e1...en
. Atunci
T (u) = (1 . . . n)
T (e1)...T (en)
= (1 . . . m)
e01...e0m
. Utilizand relatia (3.8) rezulta:
(1 . . . n)PT
e01...e0m
= (1 . . . m)
e01...e0m
(1 . . . n)PT = (1 . . . m).
Prin transpunere rezulta relatia (3.7).
Exemplul 3.3 Fie aplicatia T L(R3,R4) definita prinT (x) = (x1 +
x2, x1 + x3, x2 x3, x1 x2 + 2x3),x = (x1, x2, x3) R3.Sa se
determine matricea lui T n bazeleS1 = (e1 = (1, 1,1), e2 = (1,1,
1), e2 = (1, 1, 1)) si respectivS2 = (e01 = (0, 1, 1, 1), e02 = (1,
0, 1, 1), e03 = (1, 1, 0, 1), e04 = (1, 1, 1, 0)) .
Rezolvare. Calculam T (e1) = (1 + 1, 1 1, 1 + 1, 1 1 2) = (2, 0,
2,2) =4X
i=1
pi1e0i =
43(0, 1, 1, 1) + 2
3(1, 0, 1, 1) 4
3(1, 1, 0, 1) + 8
3(1, 1, 1, 0)
T (e2) = (1 1, 1 + 1,1 1, 1 + 1 + 2) = (0, 2,2, 4) =4X
i=1
pi2e0i =43(0, 1, 1, 1)
23(1, 0, 1, 1) + 10
3(1, 1, 0, 1) 8
3(1, 1, 1, 0)
T (e3) = (1 + 1,1 + 1, 1 1,1 1 + 2) = (0, 0, 0, 0) =4X
i=1
pi3e0i = 0(0, 1, 1, 1) +
0(1, 0, 1, 1) + 0(1, 1, 0, 1) + 0(1, 1, 1, 0).
P =S1 (T )S2 =
43
43
023
230
43
103
083
830
.
-
3.1. MATRICEA UNEI TRANSFORMARI LINIARE 29
Definitia 3.3 Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) doua spatii liniare,
dimK X = n, dimK Y =m,S1 = (ej)j=1,n, S2 = (e0j)j=1,m doua baze n X
si respectiv Y iar T L(X,Y). MatriceaP Mmn(K), ale carei coloane
sunt coordonatele vectorilor T (ej), j = 1, n n baza S2din spatiul
liniar Y, se numeste matricea asociata transformarii liniare T n
raport cuperechea de baze (S1, S2) .
Folosim notatia P = S1(T )S2 .
Observatia 3.2 Relatia (3.7) scrisa sub forma
1...n
=S1 (T )S2
1...n
(3.9)
se numeste ecuatia matriceala a transformarii liniare T.
Teorema 3.5 (Legea de schimbare a matricei unui endomorfism la
schimbareabazelor) Fie (X,+, ,K) spatiu liniar, dimK X = n si T
L(X,X). Fie S1 = (ei)i=1,n,S2 = (e0i)i=1,n doua baze n (X,+, ,K) si
S1 A S2. Atunci are loc relatia:
S2(T )S2 = A1 S1 (T )S1 A. (3.10)
Demonstratie. Fie T L(X,X) si u X deci se poate exprima o
combinatie de elemente
ale bazei S1, u = (1 . . . n)
e1...en
si T (u) = (1 . . . n)
T (e1)...T (en)
.
Dar u X deci se poate exprima ca o combinatie de elemente ale
bazei S2, u = (1 . . .
n)
e01...e0n
si T (u) = (1 . . . n)
T (e01)...T (e0n)
.
Folosim ecuatia matriceala a transformarii liniare T n perechea
de baze (S1, S1) , (3.9):
T (e1)...T (en)
= PT
e1...en
,P =S1 (T )S1 . (3.11)
Folosim ecuatia matriceala a transformarii liniare T n perechea
de baze (S2, S2)
T (e01)...T (e0n)
= QT
e01...e0m
,Q =S2 (T )S2 .
-
30 CAPITOLUL 3. TRANSFORMARI LINIARE
Folosim formula de schimbare a coordonatelor unui vector la
schimbarea bazei, schim-barea coordonatelor (1 . . . n) n baza S1 n
coordonatele (1 . . . n) n baza S2, relatia(2.10), rezulta
1...n
= A
1...n
(3.12)
Dar
T (u) = (1 . . . n)
T (e1)...T (en)
= T (u) = (1 . . . n)PT
e1...en
T (u) = (1 . . . n)QT
e01...e0m
= (1 . . . n)QTAT
e1...en
.
Din unicitatea descompunerii rezulta
(1 . . . n)PT = (1 . . . n)QTAT P
1...n
= AQ
1...n
.
Folosind relatia (3.12) rezulta
PA
1...n
= AQ
1...n
,u X.
De unde rezultaQ = A1PA.Exemplificam continutul teoremei prin
urmatoarea schema:
XS1S1(T )S1 XS1
A AXS2
S2(T )S2 XS2S2(T )S2 = A
1S1(T ) S1A.
Formula (3.10) se numeste formula de schimbare a matricei unei
transformariliniare T L(X,X) la schimbarea bazei n spatiul liniar
(X,+, ,K).
Exemplul 3.4 Fie aplicatia T L(R3,R3) definita prinT (x) = (x1 +
x2, x1 + x3, x2 x3),x = (x1, x2, x3) R3.Sa se determine matricea
lui T n baza canonica din R3, S = (e1 = (1, 0, 0), e2 =
(0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)) si in bazaS1 = (u1 = (1, 1,1),u2 =
(1,1, 1),u2 = (1, 1, 1)) .
Rezolvare. Observam ca T este un endomorfism deci folosim
relatia (3.10). Determinammatricea lui T n baza canonica, S(T )S =
P
-
3.1. MATRICEA UNEI TRANSFORMARI LINIARE 31
T (e1) = (1, 1, 0) = 1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)T (e2)
= (1, 0, 1) = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)T (e3) = (0, 1,1)
= 0(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) 1(0, 0, 1),
S(T )S =
1 1 01 0 10 1 1
.
Determinam matricea de trecere de la baza S la baza S1,A =
1 1 11 1 11 1 1
.
Inversa matricei A este A1=
12
120
120 1
2
0 12
12
.
Rezulta
S1(T )S1 = A1 S (T )S A =
12
120
120 1
2
0 12
12
1 1 01 0 10 1 1
1 1 11 1 11 1 1
=
=
1 1
212
121 1
212
12
0
1 1 11 1 11 1 1
=
1 1 02 1 01 0 0
.
Acelasi rezultat l obtinem daca calculam T (ui), i = 1, 3 si
descompuneam acesti vectoridupa vectorii bazei S2.
T (u1) = (2, 0, 2) = 1(1, 1,1) + 2(1,1, 1) + 1(1, 1, 1)T (ui) =
(0, 2,2) = 1(1, 1,1) 1(1,1, 1) + 0(1, 1, 1)T (ui) = (0, 0, 0) =
0(1, 1,1) + 0(1,1, 1) + 0(1, 1, 1)
Deci S1(T )S1 =
1 1 02 1 01 0 0
.
Definitia 3.4 Matricele A si C1AC se numesc matrice
asemenea.
Observatia 3.3 Matricele unui endomorfism T L(X) relativ la doua
baze alese n Xsunt matrice asemenea.
Teorema 3.6 Fie (X,+, ,K), (Y,+, ,K) si (Z,+, ,K) trei spatii
liniare, dimK X = n,dimK Y = m, dimK Z = p si T L(X,Y), S L(Y,Z).
Fie S1 = (ei)i=1,n, S2 = (e0i)i=1,m,S3 = (e00i )i=1,p baze n (X,+,
,K), (Y,+, ,K) si respectiv n (Z,+, ,K). Atunci are locrelatia:
S1(S T )S3 =S2 (S)S3 S1(T )S2. (3.13)
Demonstratie. Fie u X, u = (1 . . . n)
e1...en
, T (u) = v Y, v = (1 . . .
-
32 CAPITOLUL 3. TRANSFORMARI LINIARE
m)
e01...e0m
, S(v) = w Z, w = (1 . . . p)
e001...e00p
.
Fie S1(T )S2 = P Mmn(K). Are loc relatia:
1...m
= P
1...n
.
Fie S2(S)S3 = Q Mpm(K). Are loc relatia:
1...p
= Q
1...m
.
Atunci
1...p
= QP
1...n
, adica S1(ST )S3 = QP care reprezinta relatia (3.13).
Teorema 3.7 Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) doua spatii liniare, dimK
X = n,dimK Y = nsi T L(X,Y), T izomorfism. Fie S1 si S2 doua baze n
(X,+, ,K) si respectiv (Y,+, ,K).Atunci are loc relatia:
S2(T1)S1 = (S1(T )S2)
1 . (3.14)
Demonstratie.Deoarece T T1 = idY si T1 T = idX, tinand seama de
Teorema 3.6 si de faptul ca
matricea aplicatiei identitate este matricea unitate,
rezulta:
S1(T )S2 S2 (T1)S1 =S2 (T1)S1 S1 (T )S2 = I (S1(T )S2)1 =S2
(T1)S1 .
3.2 Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare
Definitia 3.5 Fie T L(X,Y). Multimea ker(T ) = {u | u X : T (u)
= Y} se numestenucleul transformarii liniare T .
Definitia 3.6 Fie T L(X,Y). Multimea Im(T ) = {w | w Y : u X : T
(u) = w} senumeste imaginea transformarii liniare T .
Teorema 3.8 Nucleul lui T este un subspatiu liniar al spatiului
liniar X. Imaginea lui Teste un subspatiu liniar al spatiului
liniar X.Demonstratie. Observam ca ker(T ) 6= deoarece X ker(T ).
Fie R si u,v
ker(T ) astfel ncat T (u) = , T (v) = . Atunci T (u+ v) = T (u)
+ T (v) = X si deciu+ v ker(T ).Observam ca Im(T ) 6= deoarece Y
Im(T ). Fie R si u,v Im(T ). Rezulta
ca exista w1,w2 Y astfel ncat T (u) = w1, T (v) = w2; w1 + w2 =
T (u) + T (v) =T (u+ v) de unde rezulta ca w1 +w2 Im(T ).
-
3.3. RANGUL SI DEFECTUL UNEI TRANSFORMARI LINIARE 33
3.3 Rangul si defectul unei transformari liniare
Definitia 3.7 Dimensiunea spatiului ker(T ) se numeste defectul
lui T si se noteaza def(T ).Dimensiunea spatiului Im(T ) se numeste
rangul lui T si se noteaza rang(T ).
Teorema 3.9 Transformarea liniara T este injectiva daca si numai
daca ker(T ) = {X} .Demonstratie. Necesitatea. Presupunem ca
transformarea liniara T este injectiva si fie
u ker(T ) deci T (u) = Y. Dar T (X) = Y si cum T (u) = T (X)
rezulta ca u = X,adica ker(T ) = {X} .Suficienta. Presupunem ca
ker(T ) = {X} si fie T (u) = T (v). Rezulta T (u v) = Y
deci u v ker(T ), adica u = v, deci T injectiva.Exercitiul 3.1
Transformarea liniara T este surjectiva daca si numai daca Im(T ) =
Y.
Teorema 3.10 (Teorema rang-defect) Fie (X,+, ,K) si (Y,+, ,K)
spatii liniare, dimK X =n si T L(X,Y). Atunci
rang(T ) + def(T ) = n.
Demonstratie. Fie def(T ) = r n si fie (v1,v2, . . . ,vr) o baza
n ker(T ). Com-pletam sistemul de vectori (v1,v2, . . . ,vr) pana
la o baza n spatiu X (Teorema 2.7),{v1,v2, . . . ,vr,vr+1,vr+2, . .
. ,vn} .Vom demonstra ca sistemul de vectori (T (vr+1), . . . , T
(vn)) este o baza n Im(T ).
Aratam ca vectorii sistemului (T (vr+1), . . . , T (vn)) sunt
liniar independenti n Im(T ).
FienP
i=r+1iT (vi) = Y rezulta ca T (
nPi=r+1
ivi) = Y decinP
i=r+1ivi ker(T )
nPi=r+1
ivi =rP
i=1ivi
nPi=r+1
ivi rP
i=1ivi = X.
Deoarece {v1,v2, . . . ,vr,vr+1,vr+2, . . . ,vn} este un sistem
de vectori liniar indepen-dent, rezulta r+1 = . . . = n = 1 = . . .
= r = 0, deci vectori {T (vr+1), . . . , T (vn)} suntliniar
independenti.Fie w Im(T ) arbitrar. Demonstram ca vectorii
sistemului (w, T (vr+1), . . . , T (vn))
sunt liniar dependenti. Deoarece w Im(T ) rezulta ca exista v X
astfel ncat T (v) = w.Dar v =
rPi=1
ivi +nP
i=r+1ivi de unde rezulta ca
w = T (v) =rX
i=1
iT (vi) +nX
i=r+1
iT (vi),
deci w =nP
i=r+1iT (vi), deoarece vi ker(T ), i = 1, r. Rezulta ca orice
vector din Im(T ) se
poate scrie ca o combinatie liniara de vectori din sistemul de
vectori (T (vr+1), . . . , T (vn)) ,deci am demonstrat ca avem n
Im(T ), n r vectori liniar independenti iar orice n r+ 1vectori
sunt liniar dependenti.Rezulta ca vectorii Im(T ) formeaza o baza n
(T (vr+1), . . . , T (vn)) , deci rang(T ) =
n r rang(T ) + def(T ) = n.
-
34 CAPITOLUL 3. TRANSFORMARI LINIARE
Exercitiul 3.2 Fie transformarea liniara T : R3 R2, definita
prin T (x) = (x1+2x3, x1+x2 x3), x = (x1, x2, x3) R3. Sa se
verifice teorema rangului.
Rezolvare. Determinam nucleul lui T. T (x) = R
x1 + 2x3 = 0x1 + x2 x3 = 0
1 0 21 1 1
1 0 20 1 3
x1 = 2x3x2 = 3x3
.
Rezulta x ker(T ) x = (2,3, 1), x3 = R, deci def(T ) =
1.Determinam imaginea lui T. T (x) = y
x1 + 2x3 = y1
x1 + x2 x3 = y2
1 0 21 1 1
y1y2
1 0 20 1 3
y1y2 y1
Sistemul este compatibil nedeterminat,
orcare ar fi y R. Rezulta Im(T ) = R2. rang(T ) = 2.Cum n = dimR
R3 = 3 rang(T ) + def(T ) = 1 + 2 = 3 si teorema este
verificata.
3.4 Spatii liniare izomorfe
Definitia 3.8 Doua spatii liniare (X,+, ,K) si (Y,+, ,K) se
numesc spatii liniare izo-morfe daca exista un izomorfism T L(X,Y).
Vom nota X ' Y.
Teorema 3.11 Fie (X,+, ,K) un spatiu liniar de dimensiune n.
Atunci au loc afirmatiile:a) X ' Kn.b) Daca (Y,+, ,K) si (Z,+, ,K)
sunt spatii liniare, atunci Y ' Z daca si numai daca
dimK Y = dimK Z.
Teorema 3.12 Daca (X,+, ,K), (Y,+, ,K), dimK X = n, dimK Y = m
atunci
L(X,Y)'Mmn(K).
Din acest rezultat tragem concluzia ca putem studia
proprietatile unei transformariliniare studiind proprietatile
matricei atasate ei. Astfel, de exemplu, daca (X,+, ,K) si(Y,+, ,K)
doua spatii liniare, dimK X = n,dimK Y = m si T L(X,Y) iar S1 si S2
suntdoua baze n X respectiv Y si P =S1 (T )S2. Atunci au loc
afirmatiile:a) T este aplicatie injectiva daca si numai daca
rang(P) = n, n m.(n este numarul de
coloane ale matricei P)b) T este aplicatie surjectiva daca si
numai daca rang(P) = m,m n.(m este numarul
de linii ale matricei P)c) T este aplicatie bijectiva daca si
numai daca rang(P) = n, n = m.( matricea P este
o matrice patratica nesingulara).
-
Capitolul 4
VALORI SI VECTORI PROPRII
4.1 Diagonalizarea matricelor
Problema: data matricea A Mn(R), sa se determine o matrice
nesingulara P Mn(R)astfel ncat matricea B = P1 A P sa aiba o forma
cat mai simpla. Pentru a rezolvaaceasta problema introducem
notiunile: valoare proprie, vector propriu, polinom caracter-istic
etc.
Definitia 4.1 Fie matricea A = (aij)i,j=1,n Mn(R). Vectorul
coloana x =
x1...xn
Mn1(R) pentru care exista R astfel ncat: Ax = x, x 6= Mn1(R) se
numeste vectorpropriu al matricei A, iar valoare proprie a matricei
A.
Multimea valorilor R care sunt valori proprii ale matricei A se
numeste spectrullui A si se noteaza (A). Raza spectrala a matricei
A este numarul real pozitiv (A) =max {|| , (A)} .Notam cu S(A) =
{x|x Mn1(R) : Ax = x} multimea vectorilor proprii ai
matricei A corespunzatori valorii proprii la care este adaugat
si vectorul nul.
Teorema 4.1 Fie matricea A Mn(R).a) Multimea S(A) are structura
de subspatiu liniar al spatiului liniarMn1(R).b) Subspatiile
proprii corespunzatoare valorilor proprii distincte nu au n comun
decat
vectorul nul, adica daca 1 6= 2 S1(A) S2(A) =Mn1(R)
.
Demonstratie. a) Observam din definitia lui S(A) ca n aceasta
multime este inclus sivectorul coloana nul Mn1(R). Demonstram ca
S(A) este subspatiu liniar folosind teoremade caracterizare a
subspatiilor liniare.Fie x,y S(A) Ax = x, Ay = y si fie R, A(x+ y)
= Ax + Ay =
(x) + y = (x+ y) x+ y S(A).b) Fie valorile proprii distincte 1
si 2 si S1(A), S2(A) subspatiile proprii corespunza-
toare. Presupunem ca exista x S1(A) S2(A),x 6= Mn1(R). Rezulta
Ax = 1x si
35
-
36 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
Ax = 2x deci 1x = 2x (1 2)x = Mn1(R), 1 6= 2 x = Mn1(R), ceea
cecontrazice ipoteza.
Observatia 4.1 Ecuatia matriceala Ax = x,x 6= Mn1(R) este
echivalenta cu (A In)x = Mn1(R) si echivalenta cu sistemul liniar
omogen
(a11 )x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = 0a21x1 + (a22 )x2 + ...+ a2nxn =
0
......an1x1 + an2x2 + ...+ (ann )xn = 0
(4.1)
care are solutii nebanale daca si numai daca det(A In) = 0,
unde
det(A In) =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
...an1 an2 ann
. (4.2)
Definitia 4.2 Fie A Mn(R). Polinomul P () = det(A In) se numeste
polinomcaracteristic al matricei A, iar ecuatia P () = 0 se numeste
ecuatie caracteristica amatricei A. Radacinile ecuatiei
caracteristice poarta denumirea de radacini caracter-istice ale
matricei A. Valorile proprii ale matricei A sunt radacinile
caracteristice dinR.
Exemplul 4.1 Fie matricea A M3(R). Sa se determine valorile
proprii ale matricei:
A =
1 0 00 0 10 1 0
.
Rezolvare. Calculam det(A I3) = det
1 0 00 0 10 1 0
1 0 00 1 00 0 1
=
=
+ 1 0 00 1
0 1
= 2 3 + 1 = (1 ) (2 + 1) .
Ecuatia caracteristica este 2 3 + 1 = 0. Radacinile ecuatiei
caracteristice sunt = 1, = i. Matricea A are numai valoarea proprie
= 1 R, = i / R si deci nueste valoare proprie.In situatii generale,
valorile proprii ale unei matrice nu sunt usor de determinat. Sunt
si
cazuri n care determinantul din definitia polinomului
caracteristic se poate calcula relativusor. Se includ aici
matricele diagonale, matricele triunghiulare superior sau
inferior.
-
4.1. DIAGONALIZAREA MATRICELOR 37
Definitia 4.3 Fie A Mn(R). Se numeste minor principal de ordin k
al matricei Aun minor de ordin k format la intersectia a k linii si
coloane cu acelasi indice.
Observatia 4.2 Fie A Mn(R). Sunt Ckn minori principali de ordin
k, iar suma acestorase noteaza k. In particular 1 =
nXi=1
aii se numeste urma (n engleza trace) matricei A si
se noteaza Tr(A). Mai observam ca n = det(A).
Teorema 4.2 Fie A Mn(R). Au loc afirmatiile:a) Polinomul
caracteristic al matricei A este un polinom de gradul n cu
coeficienti din
R.b) Polinomul caracteristic are expresia
P () = (1)n(n 1n1 + 2n2 + ...+ (1)nn) (4.3)
unde: 1 =nXi=1
aii = Tr(A) (urma matricei A),
2 =a11 a12a21 a22
+
a11 a13a31 a33
+ +
an1.n1 an1,nan,n1 an,n
i = suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A.n =
det(A).
Exemplul 4.2 Sa se calculeze polinomul caracteristic al
matricei
A =
1 0 2 10 1 4 22 1 0 12 1 1 2
.
Rezolvare. 1 = 1 + 1 + 0 + 2 = 4
2 =1 00 1
+
1 22 0
+
1 12 2
+
1 41 0
+
1 21 2
+
0 11 2
=
= 1 4 + 4 + 4 + 0 + 1 = 6
3 =
1 0 20 1 42 1 0
1,2,3
+
1 4 21 0 11 1 2
2,3,4
+
1 2 12 0 12 1 2
1,3,4
+
1 0 10 1 22 1 2
1,2,4
= 4
4 = det(A) = 1P () = 4 43 + 62 4+ 1 = ( 1)4
Teorema 4.3 Doua matrice asemenea au aceleasi valori
proprii.
Demonstratie. Demonstram ca doua matrice asemenea au acelasi
polinom caracteristicsi de aici va rezulta ca au aceleasi valori
proprii. FieA,B Mn(R) doua matrice asemenea.
-
38 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
Atunci exista o matriceP Mn(R), nesingulara astfel ncatB = P1AP.
Folosind definitiapolinomului caracteristic obtinem:
PB() = det(B In) = det(P1AP P1P) = detP1(A In)P ==det(P1) det(A
In) detP = det(A In) = PA()
deoarece det(P1) = 1/det(P).
Observatia 4.3 Reciproca nu este adevarata. Faptul ca matricele
au aceleasi valori proprii
este o conditie necesara, dar nu suficienta de asemanare.
Consideram matricele
0 10 0
si
0 00 0
. Se observa ca fiecare are valoarea proprie 0 cu
multiplicitatea 2 dar nu sunt
asemenea.
Definitia 4.4 Fie A Mn(R). Daca este o valoare proprie a lui A,
atunci dimR S(A)se numestemultiplicitate geometrica a valorii
proprii .Multiplicitatea valorii proprii ,ca radacina a polinomului
caracteristic, notatam(), se numestemultiplicitate algebricaa
valorii proprii .
Observatia 4.4 Multiplicitatea geometrica este numarul maxim de
vectori liniar indepen-denti din S(A).
Teorema 4.4 Daca este valoare proprie a matricei A de
multiplicitate algebrica m(),atunci dimR S(A) m().(multiplicitate
geometrica este mai mica sau egala cu multiplic-itate
algebrica).
Teorema 4.5 Fie matricea A Mn(R). Vectorii proprii
corespunzatori valorilor propriidistincte sunt liniar
independenti.
Demonstratie. Fie x1,x2, ...,xp vectorii proprii corespunzatori
valorilor proprii 1, 2, ..., p.Vom demonstra ca daca valorile
proprii 1, 2, ..., p sunt distincte atunci vectorii
propriicorespunzatori x1,x2, ...,xp sunt liniar
independenti.Demonstratia se face prin inductie dupa p.Pentru p = 1
afirmatia este evident adevarata (avem un singur vector propriu
nenul,
liniar independent).Presupunem afirmatia adevarata pentru un
sistem de p 1 vectori proprii si o demon-
stram pentru un sistem de p vectori. Fie sistemul de vectori
proprii (x1,x2, ...,xp) si demon-stram ca este liniar independent.
Fie (1, ..., p) Rp si
1x1 + 2x2 + ...+ pxp = Mn1(R) (4.4)
Inmultim relatia (4.4) la stanga cu p si obtinem:
1px1 + 2px2 + ...+ ppxp = Mn1(R). (4.5)
Pe de alta parte, daca aplicam matricea A relatiei (4.4)
obtinem:
-
4.1. DIAGONALIZAREA MATRICELOR 39
1Ax1 + 2Ax2 + ...+ pAxp = Mn1(R)sau, tinand sema ca Axi = ixi, i
= 1, p,
11x1 + 22x2 + ...+ pxpvp = 0Mn1(R). (4.6)
Scadem din (4.5) relatia(4.6) si obtinem:1(1 p)x1 + 2(2 p)x2 +
...+ p1(p1 p)xp1 = n.Deoarece sistemul de vectori (x1,x2, ...,xp1)
este liniar independent si valorile proprii
sunt distincte, rezulta 1 = 2 = ... = p1. Inlocuim n (4.4)
valorile lui i, i = 1, p 1rezulta pxp = 0Mn1(R),xp 6= Mn1(R) p = 0,
deci sistemul de vectori (x1,x2, ...,xp)este liniar
independent.Definitia 4.5 Se numeste matrice diagonala o matrice de
forma
a11 0 ... 00 a22 ... 0.. .. .. ..0 0 .. ann
,
adica o matrice care are toate elementele care nu sunt pe
diagonala principala egale cu zero.
Definitia 4.6 Se numeste matrice diagonalizabila orice matrice
asemenea cu o matricediagonala.
Teorema 4.6 O matrice A Mn(R) este diagonalizabila daca si numai
daca exista obaza nMn1(R) formata din vectorii proprii ai matricei
A.Consecinta 4.1 Daca A Mn(R) are n valori proprii distincte,
atunci A este diagonal-izabila.
Demonstratie. Conform Teoremei 4.5, deoarece 1, 2, ..., n sunt n
valori proprii distincteale lui A si (x1,x2, ...,xn) sunt vectorii
proprii corespunzatori, acesti vectori sunt liniarindependenti,
sunt n numar de n, dimRMn1(R) = n, deci constiuie o baza
nMn1(R).Conform Teoremei 4.6 matricea A este
diagonalizabila.Enuntam fara demonstratie urmatoarele
rezultate:
Teorema 4.7 (Teorema lui Jordan) O matrice A Mn(R) este
diagonalizabila dacasi numai dacaa) toate radacinile polinomului
caracteristic P () sunt n R,b) pentru orice valoare proprie dimR
S(A) = m(), m() notand ordinul de multipli-
citate algebrica a valorii proprii (multiplicitatea algebrica
este egala cu multiplicitateageometrica).
Exemplul 4.3 Fie matricea A M3(R),
A =
3 7 52 4 31 2 2
.
Sa se studieze daca matricea este diagonalizabila si n caz
afirmativ sa se determinematricea diagonala si matricea modala.
-
40 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
Rezolvare. Pentru determinarea valorilor proprii si a
multiplicitatilor algebricecalculam polinomul caracteristic: P () =
(1)3(3 12 + 2 3)
1 = 3 + 4 + 2 = 32 =
3 72 4
+
4 32 2
+
3 51 2
= 12 + 14 + 8 6 6 + 5 = 3
3 = det(A) = 1P () = (3 32 + 3 1) = ( 1)31 = 2 = 3 = 1,m(1) =
3.Matricea are o singura valoare proprie = 1 cu multiplicitatea
algebrica 3.Pentru determinarea vectorilor proprii si stabilirea
multiplicitatilor geome-
tirce ale valorilor proprii rezolvam sistemul(A I)x = 0R3 x1 =
3x3, x2 = x3
S1(A) = {x R3|x = 311
} dimR S1(A) = 1(multiplicitatea geometrica)6= 3
(multiplicitatea algebrica a radacinii). Rezulta ca matricea nu
este diagonalizabila.
4.1.1 Cazul matricelor simetrice
Teorema 4.8 Fie A Mn(R) o matrice simetrica. Atunci:a) xTAx este
un numar (evident real).b) Toate valorile proprii ale matricei A
sunt reale.
Demonstratie. Afirmatia a) este evidenta.b) Daca Ax =x si alegem
x astfel ncat xTx =1, atunci = xTx = xT (x) = xTAx R (datorita
afirmatiei a)).
Teorema 4.9 Fie A Mn(R) o matrice simetrica. Vectorii proprii
corespunzatori valo-rilor proprii distincte sunt ortogonali.
Demonstratie. Fie 1 6= 2 doua valori proprii ale lui A si x Rn
vector propriu,Ax = 1x si respectiv y Rn astfel ncat Ay = 2y.
Demonstram ca x y .Inmultim relatia Ax = 1x la stanga cu yT , yTAx
= yT1x yTAx =1yTx.Transpunem relatia Ay = 2y, tinem seama de
simetria matricei A, yTA = 2yT si
nmultim la dreapta relatia cu x. Obtinem yTAx =2yTx.Din yTAx
=1yTx si yTAx =2yTx prin scadere obtinem (1 2)yTx = Rn, dar
1 6= 2 yTx = hy,xi = 0 x y.
Observam ca yTx =y1 yn
x1...xn
=
nXi=1
yixi = hy,xi
Se poate demonstra ca:
Teorema 4.10 Orice matrice reala simetrica, A Mn(R), este
ortogonal asemenea cu omatrice diagonala.
-
4.2. ALGORITMUL DE DIAGONALIZARE A UNEI MATRICI 41
Observatia 4.5 Matricea P se obtine astfel: consideram o baza
ortonormata obtinuta dinvectori proprii ai matriceiA (eventual se
face ortonormarea vectorilor proprii prin procedeulGram-Schmidt) si
matricea ortogonala P va fi formata pe coloane din coordonatele
acestorvectori n baza canonica. Evident, matricea P nu este unica,
ea depinzand de alegereabazei.
4.2 Algoritmul de diagonalizare a unei matrici
Fie matricea A Mn(R).Determinarea valorilor proprii ale matricei
A.Pasul 1. Determinam polinomul caracteristic P () = det(AIn).
Calculam radacinile
polinomului caracteristic. Daca exista macar o radacina care nu
este n R, conditia a) dinTeorema 4.7 nu este satisfacuta, deci
algoritmul se opreste. Matricea A nu poate fi adusala forma
diagonala.Daca toate radacinile polinomului caracteristic sunt n R,
trecem la Pasul 2.Pasul 2. Fie 1, 2, ..., p valorile proprii
distincte cu ordinele de multiplicitate algebrica
m(1), m(2), ..., m(p).Determinarea vectorilor proprii ale
matricei A.Pasul 3. Rezolvam cele p sisteme liniare si omogene(A
iIn)x = Mn1(R), i = 1, p.Explicitam subspatiile proprii Si(A) =
x Mn1(R) :(A iIn)x = Mn1(R)
, i =
1, p si punem n evidenta cate o baza n fiecare dintre ele.
Calculam dimSi(A) = ni, i =1, p.Pasul 4. Daca ni = m(i),i = 1, p,
matricea poate fi adusa la forma diagonala si trecem
la Pasul 5. In caz contrar conditia b) din Teorema 4.7 nu este
satisfacuta, deci algoritmulse opreste.Determinarea formei
diagonale.Pasul 5. Am ajuns la Pasul 5 cand conditiile Teoremei 4.7
au fost ndeplinite, matricea
A este diagonalizabila. Matricea diagonala are formaD = diag[1,
..., 1| {z }, 2, ..., 2| {z }, ..., p, ..., p| {z }]
n1 ori n2 ori np oriiar vecrorii proprii sunt reuniunea bazelor
din toate subspatiile proprii determinate anterior.Matricea modala
P, care este si matricea de asemanare, are coloanele formate
din
vectorii.proprii. Are loc relatiaD = P1AP.
Exemplul 4.4 Fie matricea A M4(R),
A =
1 0 0 10 1 0 00 0 1 21 0 2 5
-
42 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
Sa se stabilesca daca matricea este diagonalizabila si n caz
afirmativ sa se determinematricea diagonala.
Rezolvare. Pentru determinarea valorilor proprii si a
multiplicitatilor algebricecalculam polinomul caracteristic:
P () = (1)4(4 83 + 132 6) = ( 6)( 1)2Valorile proprii sunt1 =
0,m(0) = 1,2 = 6,m(6) = 1,3 = 4 = 1,m(1) = 2.Pentru 1 = 0, S0(A) =
{x R4|x =
1 0 2 1
T , R}, dimR S1(A) = 1 =m(0),Pentru 2 = 6, S6(A) = {x R4(R)|x
=
1 0 2 5
T , R}, dimR S6(A) =1 = m(6),Pentru 3 = 4 = 1,
S1(A) = {x R4|x =
0100
+
2010
, , R}, dimR S1(A) = 2 = m(1).
Deoarece ni = m(i), i = 1, 2, 3, endomorfismul este
diagonalizabil, iar matriceadiagonala este
D =
0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 6
, iar matricea modala este P =
1 0 2 10 1 0 02 0 1 21 0 0 5
.
Exemplul 4.5 Sa se aduca la forma diagonala matricea
A =
1 0 20 0 02 0 4
si sa se determine matricea ortogonala de asemanare.. Sa se
calculeze An.
Rezolvare. Calculam polinomul caracteristic care n acest caz se
obtine mai usor folosinddefinitia:
P () = det
1 0 20 02 0 4
= 2( 5).
Obtinem: 1 = 2 = 0,m(0) = 2 si 3 = 5,m(5) = 1.Determinam
vectorii proprii: pentru 1 = 2 = 0 rezolvam sistemul Ax = R3
folosind
transformarile elementare,1 0 20 0 02 0 4
1 0 20 0 00 0 0
x1 2x3 = 0, x2 R
-
4.2. ALGORITMUL DE DIAGONALIZARE A UNEI MATRICI 43
deci x S0(A) x =
2x3x2x3
= x3
201
+ x2
010
dimR S0(A) = 2.
Pentru = 5 rezolvam sistemul (A 5I3)x = R3 folosind
transformarile elementare,4 0 20 5 02 0 1
1 0 1
2
0 5 02 0 4
1 0 1
2
0 5 00 0 0
1 0 1
2
0 1 00 0 0
x1 + 12x3 = 0x2 = 0
x S5(A) x =
12x3
0x3
= x3
12
01
.
Matricea fiind simetrica este diagonalizabila.
O forma diagonala este, de exemplu,
D =
0 0 00 0 00 0 5
.
Forma diagonala nu este unica. Obtinem atatea forme diagonale
cate moduri diferiteavem de aranjare a valorilor proprii pe
diagonala.
Baza formata din vectorii proprii este:
v1 =
201
,v2 =
010
,v3 =
12
01
.
Observam ca vectorii sunt ortogonali. Ii normalizam si formam
matricea modala careare drept coloane vectorii proprii
ortonormati.
P =
250 1
5
0 1 0150 2
5
si
PTAP =
25
5 0 1
5
5
0 1 0
15
5 0 2
5
5
1 0 20 0 02 0 4
250 1
5
0 1 0150 2
5
=
0 0 00 0 00 0 5
.
Calculul lui An.Stim ca A = PDP T A2 = PDP TPDP T = PD2P T
.Folosind inductia matematica obtinem ca: An = PDnP T .Dar daca
D =
0 0 00 0 00 0 5
D2 =
0 0 00 0 00 0 5
0 0 00 0 00 0 5
=
0 0 00 0 00 0 52
Dn =
0 0 00 0 00 0 5n
,
-
44 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
An = PDnP T =
250 1
5
0 1 0150 2
5
0 0 00 0 00 0 5n
25
5 0 1
5
5
0 1 0
15
5 0 2
5
5
=
=
155n 0 2
55n
0 0 0255n 0 4
55n
=
5n1 0 2 5n10 0 0
2 5n1 0 4 5n1
.
4.3 Forma Jordan
(suplimentar)
Am vazut ca nu toate matricele sunt asemenea cu o matrice
diagonala. Vom cauta ncele ce urmeaza o matrice triungiular
superioara cat mai apropiata de forma diagonala,rezultatul obtinut
este asa zisa forma canonica Jordan.
4.3.1 Blocuri Jordan si matrice Jordan
Fie matricele
J1() = () ,J2() = 10
, ...,Jm() =
1 0 ... 0 00 1 ... 0 0.. .. .. .. .. ..0 0 0 ... 0
.
Definitia 4.7 Matricea Jp() Mp(R), (p 1, K)
Jp() =
1 0 ... 0 00 1 ... 0 0.. .. .. .. .. ..0 0 0 ... 0
(4.7)
cu p linii si p coloane se numeste bloc Jordan (celula Jordan)
de ordin p.
Definitia 4.8 O matrice J Mn(R) de formaJ = diag [Jn1(1),
Jn2(2), ..., Jnk(k)] ,
n care Jni(i) Mni(R),i=1, k, n1 + n2 + ... + nk = n, este un
bloc Jordan, iar ordineleblocurilor ni cat si valorile i nu sunt
neaparat distincte, se numeste matrice Jordan deordin n.
Observatia 4.6 Se observa ca daca fiecare bloc Jordan Jni(i) din
Definitia 4.8 este 1-dimensional, adica ni = 1 si k = n, matricea
Jordan este diagonala. Daca macar unul dinblocurile Jni(i) are ni
> 1, matricea J nu este diagonala si nu este nici
diagonalizabila.
-
4.4. ALGORITMUL DE ADUCERE LA FORMA JORDAN 45
4.3.2 Serii de vectori proprii si vectori asociati
Definitia 4.9 Un sistem de vectori (x1,x2, ...,xp),p 1, p N
dinMn1 (R) care satisfaceconditiile
x1 6= 0n,Ax1 = x1,Ax2 = x2 + x1, ...,Axp = xp + xp1. (4.8)
se numeste serie de vector propriu si asociatii acestuia
corespunzatori valorii proprii a matricei A, n care x1 este
vectorul propriu numit cap de serie, iar ceilalti se numescvectori
asociati vectorului propriu.
Observatia 4.7 Daca p = 1 atunci seria de vectori proprii si
vectori asociati este formatadintr-un singur vector propriu a
matricei A.
Se pot demonstra urmatoarele rezultate:a) un sistem de vectori
format dintr-o serie de vector propriu si asociatii acestuia
este
liniar independent,b) daca unei serii de vector propriu si
asociati i adaugam vectori proprii liniar independenti,
sistemul de vectori obtinut este liniar independent,c) sistemul
de vectori format din toate seriile de vectori proprii si asociati
(aici includem
si seriile de lungime 1 formate numai din vectorul propriu) este
liniar independent.De aici rezulta ca daca numarul total de vectori
proprii si asociati este egal cu numarul
de linii(sau coloane) ale matricei A, atunci acestia formeaza o
baza care se numeste bazaJordan corespunzatoare matricei A.
4.4 Algoritmul de aducere la forma Jordan
Prezentam un algoritm de aducere la forma Jordan a unei matrice
de ordin n cuelemente reale.Pasul 1. Determinarea radacinilor
polinomului caracteristic al matricei A. Calculam
polinomul caracteristic
P () = det(IA) = ( 1)n1( 2)n2...( p)np,unde 1, 2, ..., p sunt
radacinile polinomului caracteristic, iar m(1),m(2), ...,m(p)
or-dinele de multiplicitate ale radacinilor polinomului P ().Pasul
2. Daca exista macar un i = 1, p astfel ncat i / R algoritmul se
opreste. In caz
contrar trecem la Pasul 3.Pasul 3. Determinarea numarului
seriilor de vectori proprii si asociati. Daca toate
radacinile polinomului caracteristic sunt valori proprii, atunci
pentru fiecare valoare proprien parte k, k = 1, p calculam
dk = n rang(A kI)si obtinem numarul de serii de vectori proprii
si asociati corespunzatori valorii proprii k.
-
46 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
Daca dk = 1, avem o singura serie de lungime m(k) formata
dintr-un vector propriu siasociati si acestei serii i corespunde o
celula Jordan de ordin m(k). Trecem la Pasul 5.Daca dk = m(k),
atunci exista m(k) serii de vectori proprii si asociati,
corespunzatori
valorii proprii k si fiecare din aceste serii este formata
dintr-un singur vector. Trecem laPasul 5.Daca 1 < dk < m(k),
trecem la Pasul 4.Pasul 4. Determinarea lungimii seriilor de
vectori proprii si asociati. Sunt dk serii de
vectori proprii si asociati de lungimi pe care urmeaza sa le
determinam. Calculam pentruj 1, (j, k) = rang(A kI)j1 2 rang(A kI)j
+ rang(A kI)j+1.Daca (j, k) 6= 0, atunci avem (j, k) serii de
vectori proprii si asociati de lungime
j. (Convenim ca puterea zero a oricarei matrice este matricea
unitate a carei rang este egalcu n). Calculul se opreste cand
Xj
j (j, k) = m(k).Pasul 5. Determinarea seriilor de vectori
proprii si asociati corespunzator valorii proprii
k.Pornim de la seria de lungime maxima. Fie aceasta lungime s.
Daca v1 Kn este
vector propriu pentru matricea A corespunzator valorii proprii
k, cap de serie pentru seria(v1,v2, . . . ,vs) atunci
(A kIn)v1 = , (A kIn)v2 = v1, ...,
(A kIn)vs = vs1.(4.9)
Inlocuind din aproape n aproape obtinem:(A kIn)vs = vs1, (A
kIn)2vs = vs2,. . . , (A kIn)s1vs = v1, (A kIn)svs = .
(4.10)
Deci ultimul asociat din serie este o solutie nenula a
sistemului liniar omogen(A In)svs = .Fie aceasta solutie
vs.Observam ca (A In)s1vs = v1 6= .Alegem vectorul solutie a
sistemului (AIn)svs = a carui imagine prin (AIn)s1
va fi un vector nenul care nu este altul decat vectorul propriu
cap de serie, v1. Ceilalti vectoridin serie se determina utilizand
relatiile (4.9).Trecem la seria urmatoare n ordinea descrescatoare
a lungimilor pana se epuizeaza
toate seriile corespunzatoare valorii proprii k.Fiecarei serii
de vectori proprii si asociati i corespunde o celula Jordan egala
cu lungimea
seriei.Se reia algoritmul de la Pasul 3 pentru urmatoarea
valoare proprie pana se epuizeaza
toate valorile proprii.Toate seriile de vectori proprii si
asociati formeaza baza Jordan.Pasul 6. Determinarea matricei Jordan
si a matricei modale.Matricea Jordan este formata din toate
celulele Jordan asociate seriilor de vectori proprii
si asociati.Matricea modala P are pe coloane coordonatele
vectorilor proprii si asociati, avand grija
sa le scriem n ordinea n care apar n serie si n ordinea
valorilor proprii.N
-
4.4. ALGORITMUL DE ADUCERE LA FORMA JORDAN 47
4.4.1 Exemple
Exemplul 4.6 Fie matricea
A =
0 2 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0
.
Sa se determine forma canonica Jordan si baza Jordan.
Rezolvare. Calculam polinomul caracteristic:1 = 0, 2 = 2, 3 = 0,
4 = 1;P () = ( 1)2(+ 1)2,1 = 1,m(1) = 2,2 = 1,m(1) = 2.
A I4 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
rang(A I4)= 3
Calculam pentru 1 = 1, d1 = 4 rang(A I4) = 1.Rezulta ca pentru 1
= 1 avem o singura serie de vectori proprii si asociati, serie
de lungime m(1) = 2.Determinam capul de serie, adica vectorul
propriu:
a) Calculam (A I4)2 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
=
=
3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1
.
Determinam solutiile sistemului
3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1
x1x2x3x4
=
0000
3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1
L1L3
1 2 1 02 3 0 13 4 1 20 1 2 1
L2 + 2L1 L2L3 3L1 L3
1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1
L2L2
1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1
L1 + 2L2 L1L3 2L2 L3L4 L2 L4
1 0 3 20 1 2 10 0 0 00 0 0 0
-
48 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
Rezulta u =
3 22
=
3210
+
2101
, de unde u11 =
3210
,u12 =
2101
Calculam z11 = (A I4)u11 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
3210
=
1111
,
z12 = (A I4)u12 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
2101
=
1111
.
Observam ca (z11, z12) sunt liniar dependenti, de aceea vom
considera unul din cei doivectori drept cap de serie.
Capul de serie (vectorul propriu corespunzator valorii proprii
1) va fi, de exemplu,
v11 =
1111
, iar vectorul propriu asociat va fi v12 = u12 sau u11.
Consideram, de exemplu,
v12 = u12(baza Jordan nu este unica)
Concluzie: pentru valoarea proprie 1 avem o serie de un vector
propriu si un asociat,(v11,v12) si ei i corespunde o celula Jordan
de ordin 2.Calculam pentru 1 = 1, d2 = 4 rang(A+ I4).
A+ I4 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
,
rang(A+ I4)= 3Rezulta ca pentru 1 = 1 avem o singura serie de
vectori proprii si asociati, serie
de lungime 2.
Calculam capul de serie:
Calculam (A+ I4)2 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
=
3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1
.
Determinam solutiile sistemului
-
4.4. ALGORITMUL DE ADUCERE LA FORMA JORDAN 49
3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1
x1x2x3x4
=
0000
.
3 4 1 22 3 0 11 2 1 00 1 2 1
L1L3
1 2 1 02 3 0 13 4 1 20 1 2 1
L2 2L1 L2L3 + 3L1 L3
1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1
L2L2
1 2 1 00 1 2 10 2 4 20 1 2 1
L1 2L2 L1L3 + 2L2 L3L4 L2 L4
1 0 3 20 1 2 10 0 0 00 0 0 0
.
Rezulta u =
3+ 22
=
3210
+
2101
, de unde u21 =
3210
,u22 =
2101
.
Calculam z21 = (A+ I4)u21 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
3210
=
1111
;
z22 = (A+ I4)u22 =
1 2 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
2101
=
1111
.
Observam ca (z21, z22) sunt liniar dependenti (identici), de
aceea vom considera unul dincei doi vectori.
Capul de serie (vectorul propriu corespunzator valorii proprii
-1) va fi v21 =
1111
,
iar vectorul propriu asociat va fi, de exemplu, v22 = u21.
Concluzie: pentru valoarea proprie 1 avem o serie de un vector
propriu si un asociat,(v21,v22) si ei i corespunde o celula Jordan
de ordin 2.
Matricea Jordan va fi J =
1 1 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 1
iar matricea modala
-
50 CAPITOLUL 4. VALORI SI VECTORI PROPRII
P =
1 3 1 21 2 1 11 1 1 01 0 1 1
.
Exemplul 4.7 Fie matricea
A =
2 0 0 01 3 1 10 0 1 11 1 0 2
.
Sa se determine forma canonica Jordan si baza Jordan.
Rezolvare.Calculam polinomul caracteristic:1 = 8, 2 = 24, 3 =
32, 4 = 16;P () = ( 2)4,1 = 2,m(1) = 4.
A 2I4 =
2 0 0 01 3 1 10 0 1 11 1 0 2
2
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
=
0 0 0 01 1 1 10 0 1 11 1 0 0
,
rang(A 2I4)= 2Calculam pentru 1 = 2, d1 = 4 rang(A I4) =
2.Rezulta ca pentru 1 = 2 avem doua serii de vectori proprii si
asociati, serii de
lungime necunoscuta. Pot fi doua serii de lungime doi sau o
serie de lungime doi si una delungime trei. Calculam lungimile
seriilor. Pentrua aceasta ca