algebra lineal en matlab

Calculadora de lgebra lineal

INGENIERIA CIVIL-UNSCH MTODOS NUMRICOS 1

NDICE

Titulo Pgina

1) Introduccin ......2

2) Resumen ......3

3) Objetivos........4

4) fundamento terico...........5

5) ejemplos resueltos.....19

6) presentacin del programa....29

7) Conclusiones......39

8) Bibliografa.....40



INTRODUCCIN

En la ingeniera es de gran importancia el resolver sistemas de ecuaciones lineales ya que los ingenieros con

mucha frecuencia se enfrentan a problemas que involucran sistemas de ecuaciones que son demasiado grandes para poder resolver a mano. En la ingeniera civil se presentan casos como el de anlisis de armaduras, tambin en el caso de dinmica estructural en el cual buscbamos hallar los modos de vibracin de

una estructura con n grados de libertad, etc. ; es por eso que los algoritmos de los mtodos numricos, empleados para resolver dichos sistemas algebraicos, deben ser adecuados para poder implementarse o

programarse en las computadoras.

Cuando se presentan pocas ecuaciones(n 3), estas pueden ser resueltas mediante mtodos directos como el de eliminacin gaussiana (ya sea con pivoteo o no), Gauss-Jordan (se obtiene la solucin mediante la bsqueda

de la inversa de la matriz de coeficientes), factorizacin LU. Sin embargo para sistemas con mayor nmero de

incgnitas estos mtodos se vuelven muy laboriosos y poco prcticos. Es por ello que se pueden usar los

mtodos iterativos como Jacobi, Gauus-Seidel, sobre-relajacin (SOR), y mtodos ms avanzados como el de

gradiente conjugada



I. OBJETIVOS

Elaborar un programa en Gui de MatLab que permita al usuario, reslover un sistema de ecuaciones de por ocho mtodos diferentes: cuatro mtodos directos (Eliminacin Gaussiana, Eliminacion gaussiana

con pivote, Gauss Jordan y factorizacin LU) y cuatro mtodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR y

Gradiente conjugado).

La elaboracin de este programa va permitir facilitar la bsqueda de soluciones por los mtodos antes mencionados y a la vez poder comparar los resultados.

Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de los

mtodos directos e iterativos antes mencionados.



II. RESUMEN

Este trabajo esta dirigido a la elaboracin de un programa CALCULADORA DE ALGEBRA LINEAL , ste programa podr determinar la solucin de sistemas de ecuaciones lineales mediante 8 mtodos distintos (4 directos y 4

iterativos), adems el programa ser capaz de obtener resultados de las caractersticas de matrices o vectores ya sea el rango, nmero de condicin, norma, determinante.

En el programa tambin podrn ejecutarse diferentes operaciones entre matrices como la multiplicacin de matrices, resta y suma de matrices, inversa de una matriz.

Los mtodos que usar la CALCULADORA DE ALGEBRA LINEAL para resolver un sistema de ecuaciones sern ocho: cuatro mtodos directos (Eliminacin Gaussiana, Eliminacion gaussiana con pivote, Gauss Jordan y factorizacin LU) y cuatro mtodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR y Gradiente conjugado), aprovechamos

las bondades que nos brinda la programacin en GUI de MatLab, tales como: las sentencias condicionales if

elseif



III. ASPECTOS TERICOS

OPERACIONES CON MATRICES

1. SUMA Y RESTA DE MATRICES

+ : x [ ], [ ] = [ ]

tal que = 1 ; 1

2. MULTIPLICACION DE MATRICES

Definicin. Si = y = son dos matrices con la propiedad de que tiene

tantas columnas como filas, entonces la matriz producto se define como la matriz de orden .

= = [ ]

Cuyo elemento es el producto escalar de la i-esima fila de A por la j-esima columna de B:

=

=1

= 11 + 22 + 33 + +

Para = 1,2 . . = 1,2, .

3. INVERSA DE UNA MATRIZ

Aunque es fcil resolver un sistema lineal de la forma = si se conoce 1 , desde el punto de vista de los clculos necesarios, no es eficiente determinar 1 a fin de resolver el sistema. Pese a ello desde el punto de vista conceptual conviene describir un mtodo que determine la inversa de una matriz.

A fin de encontrar un mtodo para calcular 1 suponiendo su existencia, consideremos nuevamente la multiplicacin de matrices. Sea j-sima columna de la matriz de ,

nj

j

j

j

j

b

b

b

b

B

3

2

1

Si = , entonces la columna de est dada por el producto



n

k

kjnk

n

k

kjk

n

k

kjk

nj

j

j

nnbbn

n

n

jj

nj

j

j

ba

ba

ba

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

ABC

c

c

c

1

1

2

1

1

2

1

321

2322221

1131211

2

1

Supongamos que 1 existe y que1 = = ( ). Entonces = y

0

1

0

0

jAB , donde el valor de 1 aparece en el rengln

Para encontrar B debemos resolver n sistemas lineales donde la columna de la inversa es la solucin del sistema lineal que en el lado derecho tiene la columna de I. en el siguiente ejemplo se demuestra el mtodo en cuestin

4. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Sean las matrices = y = . Diremos que B es la TRANSPUESTA de A, si slo

si = 1 , 1 y denotaremos = . Es decir,

= = ,

es la transpuesta de = Indica que las filas de B son las columnas de

5. TRAZA DE UNA MATRIZ

Sea la matriz cuadrada = , se llama TRAZA de A, al numero

() = = , (Es la suma de los elementos de la diagonal principal)

6. DETERMINANTE

El determinante de una matriz es un concepto fundamental del lgebra lineal con el cual se determina la

existencia y unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. Para representar el

determinante de una matriz A usaremos , aunque tambin se acostumbra utilizar la notacin . a. Si = [] es una matriz de 1x1, entonces = . b. Si es una matriz de , el menor es el determinate de la submatriz (n-1)x(n-1) de A, que se

obtiene al suprimir el i-esimo rengln y la j-esima columna de la matriz c. El cofactor asociado a se define como = (1)

+ .

d. El determinante de la matriz de , cuando > 1, esta dado por = = (1)

+ =1

=1

para cada = 1,2, . ,



MTODOS DIRECTOS PARA LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. ELIMINACIN GAUSIANA

Este mtodo se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: = El mtodo de eliminacin Gaussiana (simple), consiste en transformar la matriz A en forma triangular,

llevar de la forma:

mnmnimimm

ininiiiii

nnii

nnii

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

'''33

'22

'

'''33

'22

'

2'

2'

2'

323'

222'

111313212111

Mediante

A la forma:

mn

nmnn

ii

nini

iiii

nnii

nnii

bxa

bxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxaxa

11

111

2'

2'

2'

323'

222'

111313212111

A este proceso se le conoce como triangulacin, adems los primeros coeficientes de cada una de la

ecuaciones dadas anteriormente, son conocidas como pivotes; posteriormente procedemos de la siguiente

forma.

=

(1)

,

1 =1 2 1,

2

1,1 2

.

.

.

1 =1

=2

1,1

A este proceso se le llama sustitucin regresiva

SEUDOCDIGO



2. ELIMINACIN GAUSSIANA CON PIVOTEO

Esta tcnica tambin conocida como Pivoteo Parcial, consiste en elegir como pivote al coeficiente que tenga mayor magnitud, es decir:

= mx

,

= Y posteriormente procedemos a triangulizar la matriz, cambiando de pivote constantemente.

3. DESCOMPOSICION EN LU (FACTORIZACION DE DOOLITLLE)

El mtodo de descomposicin LU para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que

se basa en la descomposicin de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es: = Donde:

- Matriz triangular inferior, con los elementos de la diagonal principal igual a 1. - Matriz triangular superior con todos los elementos de la primera fila iguales a los elementos de A de la misma fila. Ms detalladamente tenemos:

),(

,...,2,1

0

/

,...,2,1

1,...4,3,2,1

)(),(,

jij

kii

kjijij

ik

kkik

iij

baoutput

end

end

end

btbb

ataa

donkkjfor

a

aat

donkkifor

donkfor

baninput



jil

jillquetall

llll

lll

lll

ll

l

Lij

ijij

nxnij

nnnnn

iiii

,0

,0...

0...0

0...00

321

21

333231

2221

11

jiu

jiuuquetalu

u

uu

uuu

uuuu

uuuuu

Uij

ijij

nxnij

nn

inij

nj

nj

nj

,0

,

000

00

......00

.....0

......

3333

222322

11131211

LA FACTORIZACION DE A ES:

44

3433

242322

14131211

434241

3231

21

44434241

34333231

24232221

14131211

000

00

0.

1

01

001

0001

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

=1

(

=1=1 ) = , + 1, + 2, ,

=1

( )

=1

=1



Para la solucin de un sistema de ecuaciones lineales: = = : = =

Donde:

nb

b

b

b

b

3

2

1

ny

y

y

y

y

3

2

1

nx

x

x

x

x

3

2

1

Una ves obtenido los valores de y podemos obtener los valores de x.

SEUDOCDIGO

Input n,(aij) For k = 1,2,,

1

1

k

sskkskkkkkk ulaul

for j = k+1,k+2,n

kkk

ssjkskjkj lulau /

1

1

end for i= k+1,k+2,n

kkk

sskisikik uulal /

1

1

end end Output (lij), (uij)



4. DESCOMPOSICION POR EL MTODO DE CHOLESKY

Algoritmo de cholesky

Para factorizar la matriz defina positiva de nxn en , donde L es una matriz triangular inferior: ENTRADA la dimensin ; los elementos para

1 , SALIDA los elementos , para 1 y para 1 de L (los elementos de =

son

= , para 1 y para 1 )

PASO 1 tome 11 = 11 PASO 2 para = 2, . , , tome 1 = /11

PASO 3 para = 2, . 1, haga los pasos 4 y 5 PASO 4 tome = (

21=1 )

1/2

PASO 5 para = + 1, . , Tome 1 = (

1=1 )/

PASO 6 tome = ( 21

=1 )1/2

PASO 7 SALIDA ( = 1, . = 1, . )

MTODOS ITERATIVOS PARA LA SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

1. MTODO DE JACOBI El mtodo Jacobi es el mtodo iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales ms simple y se

aplica slo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incgnitas como ecuaciones.

ALGORITMO DE JACOBI:

+1 = +

Si

k

k

k

k

x

x

x

x

3

2

1)(

es el vector de aproximacin a la solucin x despus de R iteraciones,

entonces, tendremos la siguiente aproximacin

)(1

)(1

)(1

232131333

323121222

313212111

13

12

11

1

kk

kk

kk

k

k

k

k

xaxaba

xaxaba

xaxaba

x

x

x

x



Para un sistema de ecuaciones con incgnitas, la notacin ms compacta es

+1 =

1

=1

Matricialmente puede expresarse

+1 = 1 + + 1 , = 0,1,2,. Observacin: toda matriz cuadrada descomponerse como = , donde

: Matriz triangular inferior de A : Matriz triangular superior de B : Matriz diagonal de A

Con lo cual

= 1 + = 1

SEUDOCDIGO

Para resolver = dada aproximacin inicial (0): ENTRADA el nmero de ecuaciones e incgnitas n; los elementos , 1 , de la matriz A;

los elementos , 1 de ; los elementos , 1 de = (0); la tolerancia

TOL; el numero mximo de iteraciones N

SALIDA la solucin aproximada , . . o el mensaje de que se rebaso el numero de iteraciones. Paso 1 tome = 1 Paso 2 mientras ( )haga los pasos 3-6 Paso 3 Para = 1, ,

Tome =

=+1 +

Paso 4 si < entonces SALIDA (, . .) (Procedimiento terminado satisfactoriamente)

PARAR

Paso 5 tome = + 1 Paso 6 para = 1, , tome = Paso 7 SALIDA (numero mximo de iteraciones excedido); (Procedimiento terminado sin xito)

PARAR



2. MTODO DE GAUSS SEIDEL

Este mtodo se diferencia del anterior en que los valores que se van calculando en la (R + 1) sima iteracin se usan para calcular los valores restantes de esa misma interaccin ie

nixaxaba

x

xaxaba

xaxaba

xaxaba

x

x

x

x

i

ijj

R

ji

Rn

Iiij

jii

ii

R

i

RR

RR

RR

R

R

R

R

1,1

)(1

)(1

)(1

1

1

1

1

1

1

232

1

1313

33

323

1

1212

22

3122121

11

1

3

1

2

1

1

1

SEUDOCODIGO

Para resolver = dada aproximacin inicial (0): ENTRADA el nmero de ecuaciones e incgnitas n; los elementos , 1 , de la matriz A;

los elementos , 1 de ; los elementos , 1 de = (0); la tolerancia

TOL; el numero mximo de iteraciones N

SALIDA la solucin aproximada , . . o el mensaje de que se rebaso el numero de iteraciones. Paso 1 tome = 1 Paso 2 mientras ( )haga los pasos 3-6 Paso 3 Para = 1, ,

Tome =

1 =1

=+1 +

Paso 4 si < entonces SALIDA ( , . . ) (Procedimiento terminado satisfactoriamente)

PARAR

Paso 5 tome = + 1 Paso 6 para = 1, , tome = Paso 7 SALIDA (numero mximo de iteraciones excedido); (Procedimiento terminado sin xito)

PARAR



3. MTODO DE SOBRERELAJACIN (SOR)

Este mtodo se basa en la idea que una vez producido un valor del mtodo de Gauss-Seidel, para lograrse una mejor aproximacin, procedemos formando un promedio ponderado de los valores actual y

anterior de esta manera quedara:

= 1 1 + , 1 < < 2 De manera general podemos expresarlo

=(

1

=+11=1 )

+ (1 )1

Matricialmente se expresa:

= 1 1 + + ( )1 , 1 < < 2, =0,1,2,. Con Lo Cual = ( )1 1 + y = ( )1 TEOREMA: si A es una matriz definida positiva y 0 < < 2, entonces el mtodo de SOR converge para cualquier eleccin 0

4. MTODO DE GRADIENTE CONJUGADA

El mtodo del gradiente conjugado de Hestenes y Stiefel, el cual es aplicado a sistemas de la forma = , en donde A es considerada simtrica y definida positiva.

En este mtodo las direcciones , son elegidas de una en una en el proceso iterativo y forman un sistema A-ortogonal, los residuos () = () forman un sistema ortogonal es decir (),() = , Debemos decir que este mtodo es preferible que el mtodo de eliminacin Gaussiana simple cuando la matriz A

es muy grande y rala.

Este mtodo en su inicio fue muy sorprendente e importante pero despus de dos dcadas las cosas ya no fue as como consecuencia que se descubri que la terminacin finita no era asequible en la prctica.

Pues la terminacin finita era indeseable para un mtodo directo, sin embargo posteriormente cuando se le

considero como un mtodo iterativo las cosas fue diferente, pues en estos mtodos no es necesario obtener

una solucin absoluta despus de n pasos lo que se espera es obtener una respuesta satisfactoria.

La ejecucin del algoritmo en una computadora precisa de un lugar de almacenamiento para cuatro vectores

(), (),(), ()



SEUDOCDIGO

5. VALORES Y VECTORES PROPIOS

Una matriz se puede considerar como una funcin que usa la multiplicacin de matrices para llevar vectores m-dimensionales en si mismo. En este caso, ciertos vectores no nulos son paralelos a , lo que significa que existe una constante tal que = . Para estos vectores, tenemos = 0. Existe una relacin muy estrecha entre los nmeros y la posibilidad de que un mtodo iterativo converja. En esta seccin estudiaremos tal relacin.

Si A es una matriz cuadrada, el polinomio definido por

= det Recibe el nombre de polinomio caracterstico de . Si p es el polinomio caracterstico de la matriz A, los ceros de p se llaman valores caractersticos o propios de

esa matriz. Si es un valor caracterstico de A y si 0 tiene la propiedad de que = 0 entonces a x se le llama vector caracterstico o propio de la matriz correspondiente al valor caracterstico de .

,, , , , ,

= 1,2, ,

, 1

2 <

,

+ , 2 <

+

, ,



MTODOS PARA HALLAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS

a. MTODO DE JACOBI

El mtodo de Jacobi (1846) puede considerarse como prototipo de los mtodos de transformacin. En este

procedimiento se transforma el problema original a uno de la forma:

na

a

a

2

1

nz

z

z

2

1

=

3

2

1

2

1

z

z

z

b

b

b

n

que tiene como vectores caractersticos las columnas de la matriz identidad y como valores caractersticos los

= . Los valores caractersticos del sistema original son los mismos. es en este caso una matriz ortogonal:

1 =

Cuyas columnas son la propia solucin buscada. sta se determina mediante un proceso iterativo que se

describe a continuacin.

En la forma que aqu se presenta, este mtodo se aplica a problemas de la forma clsica, = , siendo una matriz simtrica (real). Ms adelante se consideran las modificaciones requeridas para problemas de la forma general.

Empezando con (0) = y llamando (0)a los vectores caractersticos del problema original, el paso k del proceso se define como:

() = (+1) (

+1 ) = ( +1 )

y si es una matriz ortogonal, pre multiplicando por se obtiene:

( )

+1 = +1 Lo que equivale a considerar un problema similar al original:

+1 = +1

Siendo:

=



Ntese que se mantiene la simetra de la matriz. Los valores caractersticos de esta nueva matriz son los

mismos de la matriz original; los correspondientes vectores se relacionan por expresiones de la forma

=

En el mtodo de Jacobi las matrices corresponden a una rotacin plana:

1

cos

cos

1

kk

kkk

sen

senP

,

El objetivo de un paso es hacer cero un coeficiente = . . Puede verificarse fcilmente que:

(+1) = (+1) = + 2

2 = 0

Y por tanto:

2 =2

()

()

0

4

Slo los elementos de dos filas y de dos columnas (i, j) se alteran en cada paso. Adems, como se mantiene la simetra de la matriz A slo deben calcularse los coeficientes de la sub-matriz triangular superior (o inferior)

de (+1). Con la notacin = ; ; =

(+1)

= ()

2 + 2()

+ ()

2

(+1)

= ()

2 2()

+ ()

2

(+1)

= (+1)

=

+ 2 2 = 0

(+1)

= (+1)

= +

(+1)

= (+1)

= +

En un cierto paso se hacen cero los elementos .. Sin embargo, las sucesivas rotaciones reintroducen valores significativos en estas posiciones, por lo que es necesario repetir el proceso en varios "ciclos" para

todos los elementos de fuera de la diagonal principal. El proceso es convergente. Si en un ciclo dado los

cocientes

=

()

2

()

()

. . ()



Son de orden e, stos se reducen a orden e2 en el siguiente ciclo. El nmero de ciclos completos necesarios

para que la matriz sea suficientemente aproximada a una matriz diagonal depende del orden de la matriz. Para matrices de orden 50 60 pueden ser necesarios 8 a 10 ciclos. Cada ciclo demanda (23) operaciones.

Desde un punto de vista terico sera ms eficiente hacer cero los elementos en orden decreciente de los , definidos por (), pero las comparaciones necesarias son relativamente lentas. Por eso se prefiere seguir un orden fijo en la seleccin de los elementos y efectuar las rotaciones slo si es mayor que una tolerancia, variable en funcin del nmero de ciclo, m (por ejemplo 10-2m). La convergencia del proceso se puede verificar con una medida similar.

Para determinar los vectores caractersticos es suficiente efectuar el producto de las matrices ya que:

() = (+1)

Y por lo tanto:

= (0) = 123 .

b. MTODO DE LA POTENCIA INVERSA

El mtodo de potencia inversa es una modificacin del mtodo que ofrece una convergencia mas rpida. Se usa

para determinar el valor caracterstico de A ms cercano a un nmero q especfico.

Algoritmo

Para aproximar un valor caracterstico y un vector caracterstico asociado de la matriz A de , dado un vector distinto de cero: ENTRADA dimensin n; matriz A; vector x; tolerancia TOL; numero mximo de iteraciones N.

SALIDA valor caracterstico aproximado , vector caracterstico aproximado x (con = 1) o un mensaje de que se rebaso el numero mximo de iteraciones.

Paso 1 tome =

Paso 2 tome = 1 Paso 3 obtenga el entero p mas pequeo con 1 y =

Paso 4 tome = /

Paso 5 mientras ( ) haga los pasos 6-12 Paso 6 resuelva el sistema lineal = Paso 7 si el sistema no tiene solucin nica, entonces SALIDA (q es un valor caracterstico, q); PARAR

Paso 8 tome =

Paso 9 obtenga el entero mas pequeo con 1 y =

Paso 10 tome = (/)

=

Paso 11 si < , entonces tome =1

+ ;

SALIDA , ;(procedimiento terminado exitosamente) PARAR Paso 12 tome = + 1 Paso 13 Salida (Nmero mximo de iteraciones excedido); (Procedimiento terminado sin xito)



IV. EJEMPLOS RESUELTOS DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Ejemplo n1 Resolver el sistema tridiagonal siguiente:

1

2

3

4

5

4 1 0 0 0 100

1 4 1 0 0 200

0 1 4 1 0 200

0 0 1 4 1 200

0 0 0 1 4 100

A x b

x

x

x

x

x

SOLUCIN MEDIANTE FACTORIZACIN LU

2 1

3 2

4 3

5 4

10, 15 / 4, -1, 0, 0

4

40, 0, 56/15, -1 , 0

15

15 0, 0, 0, 209/56, -1

56

56 0, 0, 0, 0, 780/209

209

l l

l l

l l

l l

4 1 0 0 0

150 1 0 0

4

560 0 1 0

15

2090 0 0 1

56

7800 0 0 0

209

U

1 0 0 0 0

11 0 0 0

4

40 1 0 0

15

150 0 1 0

56

560 0 0 1

209

L



1 0 0 0 0 4 1 0 0 0

1 151 0 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0

4 41 4 1 0 04 56

0 1 0 0 0 0 1 00 1 4 1 015 15

15 209 0 0 1 4 10 0 1 0 0 0 0 1

56 56 0 0 0 1 4

56 7800 0 0 1 0 0 0 0

209 209

LU A

Entonces tenemos

Ax LUx b Tomando ................*y Ux por tanto:

Ly b

1

2

3

4

5

1 0 0 0 0

11 0 0 0 100

42004

0 1 0 020015

15 2000 0 1 0

56 100

560 0 0 1

209

y

y

y

y

y

1

2 2

3 3

4 4

5 5

100

100200 225

4

4225 200 260

15

15260 200 251.6667

56

56251.6667 100 172.2488

209

y

y y

y y

y y

y y

1

2

3

4

5

100

225

260

269.6429

172.2488

y

y

y

y

y



Ahora reemplazamos y en la

ecuacin ................*y Ux

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

780172.2488 46.15384

209

20946.15384= 269.6429 =84.6154

56

5684.6154=260 92.3077

15

1592.3077=200 84.6154

4

4x 84.6154=100 46.1538

x x

x x

x x

x x

x

1

2

3

4

5

46.1538

84.6154

92.3077

84.6154

46.1538

x

x

x

x

x

EJEMPLO N2 Resolver el siguiente sistema lineal

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

4 1 0 0 0

150 1 0 0 100

422556

0 0 1 026015

209 269.64290 0 0 1

56 172.2488

7800 0 0 0

209

x y

x y

x y

x y

x y



1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

4 0 0 0 150

4 0 0 0 50

0 4 0 50

0 4 0 50

0 0 0 4 150

0 0 0 4 50

T T T T T T

T T T T T T

T T T T T T

T T T T T T

T T T T T T

T T T T T T

1

2

3

4

5

6

4 1 1 0 0 0 150

1 4 0 1 0 0 50

1 0 4 1 1 0 50

0 1 1 4 0 1 50

0 0 1 0 4 1 150

0 0 0 1 1 4 50

T

T

T

T

T

T

POR METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA:

Generamos la matriz aumentada para realizar la eliminacin Gaussiana

4 1 1 0 0 0 150

1 4 0 1 0 0 50

1 0 4 1 1 0 50

0 1 1 4 0 1 50

0 0 1 0 4 1150

0 0 0 1 1 4 50

2 1 2

3 1 3

1

4

1

4

l l l

l l l

4 -1 -1 0 0 0 150

0 15/4 -1/4 -1 0 0 175/2

0 -1/4 15/4 -1 -1 0 175/2

0 -1 -1 4 0 -1 50

0 0 -1 0 4 -1 150

0 0 0 -1 -1 4 50



3 2 3

4 1 4

1

15

4

15

l l l

l l l

4 -1 -1 0 0 0 150

0 15/4 -1/4 -1 0 0 175/2

0 0 56/15 -16/15 -1 0 280/3

0 0 -16/15 56/15 0 -1 220/3

0 0 -1 0 4 -1 150

0 0 0 -1

-1 4 50

4 3 4

5 3 5

16

56

15

56

l l l

l l l

4 -1 -1 0 0 0 150

0 15/4 -1/4 -1 0 0 175/2

0 0 56/15 -16/15 -1 0 280/3

0 0 0 24/7 -2/7 -1 100

0 0 0 -2/7 209/56 -1 175

0 0 0 -1 -1 4 50

5 4 5

6 4 6

1

12

7

24

l l l

l l l

4 -1 -1 0 0 0 150

0 15/4 -1/4 -1 0 0 175/2

0 0 56/15 -16/15 -1 0 280/3

0 0 0 24/7 -2/7 -1 100

0 0 0 0 89/24 -13/12 550/3

0 0 0 0 -13/12 89/24 475/6

6 5 6

26

89l l l

4 -1 -1 0 0 0 150

0 15/4 -1/4 -1 0 0 175/2

0 0 56/15 -16/15 -1 0 280/3

0 0 0 24/7 -2/7 -1 100

0 0 0 0 89/24 -13/12 550/3

0 0 0 0 0 2415/712 14467/109

Realizando la sustitucin regresiva se tiene que;

4 -1 -1 0 0 0

0 15/4 -1/4 -1 0 0

0 0 56/15 -16/15 -1 0

0 0 0

1

2

3

4

5

6

24/7 -2/7 -1

0 0 0 0 89/24 -13/12

0 0 0 0 0 2415/712

T

T

T

T

T

T

150

175 / 2

280 / 3

100

550 / 3

14467 /109



6 6

5 6 5

4 5 6 4

3 4 5 3

2 3 4 2

1 2 3 1

2415 14467 39.1304

712 109

89 13 550 60.8696

24 12 3

24 2100 45.6522

7 7

56 16 28054.3478

15 15 3

15 1 17539.1304

4 4 2

4 150 60.8696

T T

T T T

T T T T

T T T T

T T T T

T T T T

ITERACIN DE JACOBI

1

nk

ij i i

j ij ik

i

ii

a x b

xa

1k kx Bx c

Forma matricial:

1

1

B D L U

c D b

a

4

1

1

0

0

0

1

4

0

1

0

0

1

0

4

1

1

0

0

1

1

4

0

1

0

0

1

0

4

1

0

0

0

1

1

4

b

150

50

50

50

150

50

L

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

D

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

U

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1B D L U



B

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0.25

0.25

0

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0

0.25

0.25

0

1c D b

c

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

1150

50

50

50

150

50

37.5

12.5

12.5

12.5

37.5

12.5

x1

0

0.25

0.25

0

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0

0.25

0.25

0

0

0

0

0

0

0

37.5

12.5

12.5

12.5

37.5

12.5

37.5000

12.5000

12.5000

12.5000

37.5000

12.5000

x2

0

0.25

0.25

0

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0

0.25

0.25

0

37.5

12.5

12.5

12.5

37.5

12.5

37.5

12.5

12.5

12.5

37.5

12.5

43.7500

25.0000

34.3750

21.8750

43.7500

25.0000

x3

0

0.25

0.25

0

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0

0.25

0.25

0

43.7500

25.0000

34.3750

21.8750

43.7500

25.0000

37.5

12.5

12.5

12.5

37.5

12.5

52.3438

28.9063

39.8438

33.5938

52.3438

28.9063

x4

0

0.25

0.25

0

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0

0.25

0.25

0

52.3438

28.9063

39.8438

33.5938

52.3438

28.9063

37.5

12.5

12.5

12.5

37.5

12.5

54.6875

33.9844

47.0704

36.9141

54.6875

33.9844



x5

0

0.25

0.25

0

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0.25

0

0

0

0.25

0.25

0

54.6875

33.9844

47.0704

36.9141

54.6875

33.9844

37.5

12.5

12.5

12.5

37.5

12.5

57.7637

35.4004

49.0723

41.2598

57.7637

35.4004

i T1 T2 T3 T4 T5 T6 Mx. error

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

1 37.5000 12.5000 12.5000 12.5000 37.5000 12.5000 37.5000 37.5000

2 43.7500 25.0000 34.3750 21.8750 43.7500 25.0000 43.7500 6.2500

3 52.3438 28.9063 39.8438 33.5938 52.3438 28.9063 52.3438 8.5938

4 54.6875 33.9844 47.0703 36.9141 54.6875 33.9844 54.6875 2.3437

5 57.7637 35.4004 49.0723 41.2598 57.7637 35.4004 57.7637 3.0762

6 58.6182 37.2559 51.6968 42.4683 58.6182 37.2559 58.6182 0.8545

7 59.7382 37.7716 52.4261 44.0521 59.7382 37.7716 59.7382 1.1200

8 60.0494 38.4476 53.3821 44.4923 60.0494 38.4476 60.0494 0.3112

9 60.4574 38.6354 53.6478 45.0693 60.4574 38.6354 60.4574 0.4080

10 60.5708 38.8817 53.9960 45.2297 60.5708 38.8817 60.5708 0.1134

11 60.7194 38.9501 54.0928 45.4399 60.7194 38.9501 60.7194 0.1486

12 60.7607 39.0398 54.2197 45.4983 60.7607 39.0398 60.7607 0.0413

13 60.8149 39.0648 54.2549 45.5748 60.8149 39.0648 60.8149 0.0542

14 60.8299 39.0974 54.3011 45.5961 60.8299 39.0974 60.8299 0.0150

15 60.8496 39.1065 54.3140 45.6240 60.8496 39.1065 60.8496 0.0197

16 60.8551 39.1184 54.3308 45.6318 60.8551 39.1184 60.8551 0.0055

ITERACIN DE GAUSS-SEIDEL

1 11k k

x L D Ux L D b

Por lo tanto:

1

1

B L D U

c L D b



L

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

D

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

U

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

B

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0

0.25

0.25

0.125

0.063

0.047

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0

0

0

0.25

0.25

0.125

C

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

1150

50

50

50

150

50

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

xo

0

0

0

0

0

0

Iteraciones:

x1

0

0

0

0

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0

0.25

0.25

0.125

0.063

0.047

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0

0

0

0.25

0.25

0.125

0

0

0

0

0

0

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102



x2

0

0

0

0

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0

0.25

0.25

0.125

0.063

0.047

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0

0

0

0.25

0.25

0.125

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

48.4375

30.4907

41.233

37.7065

55.1281

35.6984

x3

0

0

0

0

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0

0.25

0.25

0.125

0.063

0.047

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0

0

0

0.25

0.25

0.125

48.4375

30.4907

41.233

37.7065

55.1281

35.6984

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

55.4309

35.8202

49.6022

42.7724

58.8898

37.9062

x4

0

0

0

0

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0

0.25

0.25

0.125

0.063

0.047

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0

0

0

0.25

0.25

0.125

55.4309

35.8202

49.6022

42.7724

58.8898

37.9062

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

58.8556

37.9497

52.6722

44.6193

60.217

38.7012

x5

0

0

0

0

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0

0.25

0.25

0.125

0.063

0.047

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0

0

0

0.25

0.25

0.125

58.8556

37.9497

52.6722

44.6193

60.217

38.7012

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

60.1555

38.739

53.7933

45.2937

60.6989

38.9909



x6

0

0

0

0

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0.25

0.063

0.063

0.031

0.016

0.012

0

0.25

0.25

0.125

0.063

0.047

0

0

0.25

0.063

0.063

0.031

0

0

0

0.25

0.25

0.125

60.1555

38.739

53.7933

45.2937

60.6989

38.9909

37.5

21.875

21.875

23.438

42.969

29.102

60.6331

39.028

54.2027

45.54

60.8748

39.0967

Solucin por el mtodo de SOR

L

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

U

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

w 1.5

T D w L( )1

1 w( ) D w U[ ]

0.5

0.188

0.188

0.141

0.07

0.079

0.375

0.359

0.141

0.082

0.053

0.011

0.375

0.141

0.359

0.082

0.135

0.081

0

0.375

0.375

0.219

0.141

0.029

0

0

0.375

0.141

0.359

0.082

0

0

0

0.375

0.375

0.219

D

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4



xo

0

0

0

0

0

0

x1 T xo C

56.25

39.8438

39.8438

48.6328

71.1914

63.6841

x2 T x1 C

58.0078

38.8184

65.5151

57.4402

69.104

34.362

x3 T x2 C

66.3712

45.7701

58.3357

41.9553

56.4596

38.4746

x4 T x3 C

62.1041

34.8872

49.7768

43.9493

61.1145

38.9116

x5 T x4 C

56.947

39.1425

54.6156

46.5265

60.7655

39.5287

x6 T x5 C

62.9358

40.2271

55.2776

46.1243

61.4196

39.3146

C w D w L( )1

b



V. PRESENTACIN DEL PROGRAMA



VI. CDIGO DEL PROGRAMA

ELIMINACION GAUSSINA

global a xm b xg x1 x2 x3 xgp J gs S M GR in raaa rab de

Co Cor no

c1=[a b];

raaa=rank(a);

rab=rank(c1);

de=det(a);

Co=cond(a);

Cor=rcond(a);

no=norm(a);

xm=a^-1*b; % solucion de Matlab

m=length(a);

ag=a;

bg=b;

% transformacion del sistema en uno triangular

d=det(a);

if d~=0

for i=1:m-1

for k=i+1:m

l=ag(k,i)/ag(i,i);

for j=i+1:m

ag(k,j)=ag(k,j)-l*ag(i,j);

end

bg(k)=bg(k)-l*bg(i);

end

end

% resolucion del sistema triangular

xg=zeros(m,1); % tambien vale x=b*0;

xg(m)=bg(m)/ag(m,m);

for i=m-1:-1:1

s=0;

for j=i+1:m

s=s+ag(i,j)*xg(j); % sumatorio

end

xg(i)=(bg(i)-s)/ag(i,i);

end

else

disp(' El sistema es inconsistente')

end

xg;

ELIMINACION GAUSSINA CON PIVOTE



n=length(a);

p=1:n;

ap=a;bp=b;

% transformacion del sistema en uno triangular

for i=1:n-1

[m,r]=max(abs(a(i:n,i))); r=r+i-1;

p([i r])=p([r i]); % pivotaje

for k=i+1:n

l=ap(p(k),i)/ap(p(i),i);

ap(p(k),i+1:n)=ap(p(k),i+1:n)-l*ap(p(i),i+1:n);

bp(p(k))=bp(p(k))-l*bp(p(i));

end

ap(p(i+1:n),i)=0;

end

% resolucion del sistema triangular

xgp=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0;

for i=n:-1:1

xgp(i)=(bp(p(i))-

ap(p(i),i+1:n)*xgp(i+1:n))/ap(p(i),i);

end

xgp;

FACTORIZACION LU

A=a;

B=b;

N=rank(A);

U=A;

for k=1:N-1

for m=k+1:N

MT= -U(m,k)/U(k,k);

U(m,:)=U(m,:)+MT*U(k,:);

end

end

%para obtener L

L=eye(N);

L(2:N,1)=A(2:N,1)/U(1,1);

for k=2:N-1

for m=k+1:N

MT=0;

for l=1:k-1

MT=MT+L(m:N,1).*U(1,k);

end

L(m:N,k)=(A(m:N,k)-MT)./U(k,k);

end

end

%sustitucion progresiva



y(1)=B(1);

for k=2:N

ind=k-1;

y(k)=0;

for m=1:ind

y(k)=y(k)-L(k,k-m)*y(k-m);

end

y(k)=B(k)+y(k);

end

%proceso de sustitucion regresiva

x(N)=y(N)/U(N,N);

for k=N-1:-1:1

ind=N-k;

x(k)=0;

for m=1:ind

x(k)=x(k)-U(k,k+m)*x(k+m);

end

x(k)=(y(k)+x(k))/U(k,k);

end

x;

x1=x';

METODO DE DOOLITTLE

A=a;

B=b;

n=length(A);

N=rank(A);

l=A*0; u=A*0;

for k=1:n

u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);

l(k,k)=1;

l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-

1,k))/u(k,k);

end

y(1)=B(1)/l(1,1);

for k=2:N

ind=k-1;

y(k)=0;

for m=1:ind

y(k)=y(k)-l(k,k-m).*y(k-m);

end

y(k)=(B(k)+y(k))/l(k,k);

end

xd(N)=y(N)/u(N,N);

for k=N-1:-1:1

ind=N-k;



xd(k)=0;

for m=1:ind

xd(k)=xd(k)-u(k,k+m).*xd(k+m);

end

xd(k)=(y(k)+xd(k))/u(k,k);

end

xd;

x2=xd';

METODO DE CHOLESKY

A=a;

B=b;

N=rank(A);

CInf=zeros(N);

CInf(1,1)=sqrt(A(1,1));

CInf(2:N,1)=A(2:N,1)./CInf(1,1);

for k=2:N

CInf(k,k)=sqrt(A(k,k)-sum(CInf(k,1:k-1).^2));

for m=k+1:N

Suma=sum(CInf(m,1:k-1).*CInf(k,1:k-1));

CInf(m,k)=(1/CInf(k,k))*(A(m,k)-Suma);

end

end

CSup=CInf.';

y(1)=B(1)/CInf(1,1);

for k=2:N

ind=k-1;

y(k)=0;

for m=1:ind

y(k)=y(k)-CInf(k,k-m)*y(k-m);

end

y(k)=(B(k)+y(k))/CInf(k,k);

end

xch(N)=y(N)/CSup(N,N);

for k=N-1:-1:1

ind=N-k;

xch(k)=0;

for m=1:ind

xch(k)=xch(k)-CSup(k,k+m)*xch(k+m);

end

xch(k)=(y(k)+xch(k))/CSup(k,k);

end

xch;

x3=xch';

%""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

""

%METODOS ITERATIVOS



%"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

"""

METODO DE JACOBI

global jn sn rn mn gn

ja=a;

jb=b;

n=length(ja);

mmax=200;

eps1=10^-4;eps2=10^-4;

J=(zeros(1,n))';

errores=zeros(1,mmax);

jn=1;

for m=1:mmax

jn=jn+1;

error=0;

y=J;

for i=1:n

v=[1:i-1 i+1:n];

J(i)=(jb(i)-ja(i,v)*y(v))/ja(i,i);

end

error=norm(J-y,1);

errores(m)=error;

if (error



if (error



M=M+Mi*r;

r=r-Mi*p;

res(m+1)=dot(r,r);

if (sqrt(res(m+1))



% eigen vectores y eigen

valores

%""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

""

global a n DD v PP PI

a=str2double(get(handles.DATO,'data'));

n=length(a);

METODO DE JACOBI

A=a;

epsilon=0.0001;

D=A;

[n,n]=size(A);

V=eye(n);

state=1;

[m1 p]=max(abs(D-diag(diag(D))));

[m2 q]=max(m1);

p=p(q);

i=0;

for i=0:200

i=i+1;

theta=(D(q,q)-D(p,p))/2*D(p,q);

t=sign(theta)/(abs(theta)+sqrt(theta^2+1));

c=1/sqrt(t^2+1);

s=c*t;

R=[c s;-s c];

D([p q],:)=R'*D([p q],:);

D(:,[p q])=D(:,[p q])*R;

V(:,[p q])=V(:,[p q])*R;

[m1 p]=max(abs(D-diag(diag(D))));

[m2 q]=max(m1);

p=p(q);

if (abs(D(p,q)))



AA=a;

X=ones(n,1);

epsilon=0.0001;

max1=200;

lambda1=0;

cnt=0;

err=1;

state=1;

while ((cntepsilon)

state=1;

end

cnt=cnt+1;

end

PP=lambda1;

POTENCIA INVERSA

AI=a;

X=ones(n,1);

epsilon=0.0001;

max1=200;

alpha=0.001;

[n n]=size(A);

AI=AI-alpha*eye(n);

lambda=0;

cnt=0;

err=1;

state=1;

[L,U,P]=lu(AI);

while ((cnt



[m j]=max(abs(Y));

c1=m;

dc=abs(lambda-c1);

Y=(1/c1)*Y;

dv=norm(X-Y);

err=max(dc,dv);

X=Y;

lambda=c1;

state=0;

if (err>epsilon)

state=1;

end

cnt=cnt+1;

end

lambda=alpha+1/c1;

PI=lambda;



VII. CONCLUSIONES

Llegamos ala conclusin que al aplicar los mtodos iterativos en el clculo de matrices.

Llegamos ala conclusin que los mtodos iterativos de jacobi y gauss-seidel son mtodos muy eficientes ya que el tiempo empleado para conseguir una exactitud satisfactoria es muchsimo menor que requiere los mtodos directos a la hora de calcular matrices de grandes dimensiones.

Durante los clculos realizados con los mtodos iterativos pudimos notar que el mtodo de gauss-seidel converge mas rpido que el de jacobi esto debido a que el el radio espectral mucho menor en

que en de jacobi.

Este informe terico est basado en la idea de hacer notar las diferencias entre los mtodos Iterativos y Directos y la importancia que tienen cada uno en nuestras vidas sin darnos cuentas la

mayora de las veces.

Por esta razn, se tomaron muestras matriciales cortesa de la pgina Matrix Market para realizar pruebas y poder llegar a conclusiones concisas y reales, gracias a estas tablas y resultados arrojados

por el cdigo fuente que se dise especficamente para la demostracin de estos mtodos, podemos notar que tanto LU como Cholesky tienen un nmero de sumas/restas muy parecido al de

multiplicaciones/divisiones el que es distinto de estos mtodos es el LDLt cuyas

multiplicaciones/divisiones son considerablemente menores al nmero de sumas/restas.

La grafica de convergencia entre los mtodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel demuestra que pese a que el mtodo de Jacobi tiene buenos planteamientos no se encuentra optimizado a diferencia del

mtodo de Gauss-Seidel, cuya convergencia es mucho mas rpida que el anterior.

Al momento de realizar los clculos mediante el mtodo de sobre relajacin que este acelera la converga de sistemas que son tambin convergentes con el de gauss-seidel. Tal es caso que el mtodo SOR requiere un numero menor de iteraciones que los mtodos de gauss-seidel y jacobi

debido a que usa una constante w con la cual se requiere un numero menor de iteraciones lo cual

tiene que sea mayor que 1 y que la mayor aproximacin pese una mayor convergencia es 1.55

Durante los clculos realizados realizados con los diversos mtodos para calcular sistemas de ecuaciones pudimos observar que las matrices que poseen un mayor condicionamiento son las

matrices ortogonales ya bque estos poseen un K(A) muy cercano a uno tal es el caso que una matriz cualquiera es el mltiplo de una matriz ortogonal pose un 2 = 1 ()

1 El mtodo del gradiente conjugado es por lo general inferior ala eliminacin gausiana pivote, y la

eliminacin gausianna simple, sin embargo este mtodo es muy eficiente ala hora de calcular matrices

de grande dimensiones, pero muy poco densas y dispersas donde se utiliza una estructura de datos donde solamente se almacena elementos no nulos.



Durante nuestros clculos realizados pudimos apreciar que el mtodo de jacobi para el clculo de

valores y vectores es til



VIII. BIBLIOGRAFIA

Lidmila Chainskiay Elizabet Doig; Elementos de anlisis Numrico. Fondo Editorial de la Pontificia

Universidad Catlica del Per; Primera edicin 1999.

Steven C. Chapra & Raymond Canale; Mtodos Numricos para Ingenieros. Editorial Mc Graw hill, Sptima

Edicin - 2007.

Hugo Scaletti; Apuntes de Mtodos Numricos, Universidad Nacional de Ingeniera

Antonio Nieves & C. Domnguez; Mtodos Numricos Aplicados A Ingeniera. Compaa Editorial Continental

- 2002. Pgina (129-238).

http://luda.azc.uam.mx/curso2/tema3/sistem02.html#elim

BURDEN, Richard L., FAIRES, J. Douglas: Numerical Analysis. Sixth edition.

http://www.netlib.org/na-digest-html/90/v90n07.html#4

http://www.uv.es/~diaz/mn/node29.html

http://luda.azc.uam.mx/curso2/tema3/sistema04.html

http://html.rincondelvago.com/ historia-de-las-matematicas_el-siglo-xviii.html

algebra lineal en matlab

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