Álgebra Booleana y Simplificación Lógica M. en C. Erika Vilches Parte 1
Operaciones Booleanas y Expresiones
• Variable, complemento y literal son los términos utilizados en álgebra booleana.
• Variable → símbolo utilizado para representar una cantidad lógica
• Complemento → el inverso de una variable y se indica con una barra sobre la variable
• Literal → una variable o el complemento de una variable
Suma Booleana: Equivalente a la operación OR
Multiplicación Booleana: Equivalente a la operacion AND
Leyes del Algebra BooleanaLeyes conmutativas
Para la suma de dos variables se escribe:
A + B = B + A
El orden en que se OReen las variables no hace diferencia.
Para la multiplicación de dos variables se escribe:AB = BA
El orden en que se ANDeen las variables no hace diferencia
Leyes asociativas
Para la suma de tres variables se escribe:
A + (B + C) = (A + B) + C
Para la multiplicación de tres variables se escribe:
A(BC) = (AB)C
Cuando se ORean más de dos variables, el resultado es el mismo sin importar la agrupación
Cuando se ANDean dos o más variables, no importa el orden en que se agrupen las variables
Ley Distributiva
Se escribe para tres variables como:
A(B + C) = AB + AC
ORear dos o más variables y ANDear posteriormente el resultado con una sola variable es equivalente a ANDear la variable sola con cada una de las dos o más variables y despues ORear los productos
El proceso inverso (factorización) también es expresado por esta ley. Una variable común se factoriza de los términos.
Regla 1. A + 0 = A. Una variable OReada con 0 es siempre igual a la variable.
Regla 2. A + 1 = 1. Una variable OReada con 1 es siempre igual a 1.
Regla 3. A ⋅ 0 = 0. Una variable ANDeada con 0 es siempre igual a 0.
Regla 4. A ⋅ 1 = A. Una variable ANDeada con 1 es siempre igual a la variable.
Regla 5. A + A = A. Una variable OReada con sigo misma es siempre igual a la variable.
Regla 6. . Una variable OReada con su complemento es siempre igual a 1.
Regla 7. A ⋅ A = A. Una variable ANDeada con ella misma es siempre igual a la variable.
Regla 8. . Una variable ANDeada con su complemento es siempre igual a 0.
Regla 9. . El doble complemento de una variable es siempre igual a la variable.
Regla 10. A + AB = A. Esta regla se puede probar aplicando la ley distributiva, la regla 2 y la regla 4.
A + AB = A(1 + B) = A⋅1
= A
Factorización (ley distributiva)Regla 2: (1 + B) = 1Regla 4: A⋅1 = A
Teoremas de DeMorgan
• El complemento de un producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables
• En otras palabras: El complemento de dos o más variables ANDeadas es equivalente al OR de los complementos de las variables individuales
Primer Teorema de DeMorgan
• El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables.
• En otras palabras: El complemento de dos o más variables OReadas es equivalente al AND de los complementos de las variables individuales
Segundo Teorema de DeMorgan
Los teoremas de DeMorgan pueden ser aplicados a expresiones con más de dos variables.
Ejemplos:
Tres variables →
Cuatro variables →
Cada variable en los teoremas de DeMorgan puede representar una combinación de otras variables.
Ejemplo:
Si aplicamos a la expresión →obtenemos →
Si a los 2 términos del resultado anterior y les aplicamos individualmente el teorema
nos queda →Si volvemos a aplicar el teorema de DeMorgan a
y a nos queda →
El resultado se podría simplificar más con las reglas y leyes Booleanas, pero ya no más con con los teoremas de DeMorgan
Aplicación de los teoremas de DeMorgan y algebra Booleana a la expresión →
1. Identificar los términos a los que se les puede aplicar los teoremas de DeMorgan y pensar en ellos como si fuesen 1 sola variable. Tomemos y .
2. Dado que ,
3. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles sobre el término de la izquierda (esto no es parte de los teoremas de DeMorgan) →4. Aplicar el teorema de DeMorgan al segundo término →5. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles sobre →
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →
Tomemos y . La expresiónse encuentra en la forma y se puede reescribir como →Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan al término →
Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgan a la siguiente expresión →
Tomemos y . La expresiónse encuentra en la forma y se puede reescribir como →Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan alos términos y →