aletos TEMA 5.7 1 Física para Ciencias e Ingeniería · Vamos a analizar la producción y características de esta clase de corrientes, y, para ello, nos vamos a limi-tar al estudio

aletosFísica para Ciencias e Ingeniería

TEMA 5.7CORRIENTE ALTERNA

1

5.7-1 Producción de corriente alterna

Para que circule permanentemente una corriente eléctrica en el seno de un conductor metálico es necesa-rio mantener un campo eléctrico en su interior, lo cual requiere una aportación de energía por parte de algúndispositivo exterior que denominamos generador de fuerza electromotriz.

Si el sentido del campo eléctrico es siempre el mismo, aunque varíe su intensidad, la corriente que produ-cirá será constantemente del mismo sentido, y se denomina corriente continua.

Si el sentido del campo eléctrico se invierte continuamente, el sentido de la corriente se invertirá igualmen-te, y entonces se denomina corriente alterna.

Vamos a analizar la producción y características de esta clase de corrientes, y, para ello, nos vamos a limi-tar al estudio de un tipo sencillo de corriente alterna, que es aquél en el que la intensidad varía armónicamen-te con el tiempo, es decir, la intensidad es una función seno o coseno del tiempo, y, por tanto, periódica.

Supongamos que hay devanadas N espiras de hilo conductor sobre un soporte cilíndrico, de pequeña lon-gitud, el cual está montado sobre un eje aislante, que gira con una velocidad angular constante ω, en unaregión del espacio en la que existe un campo magnético uniforme B.

Los extremos del devanado están unidos a dos anillos metálicos solidarios con el eje y aislados entre sí.La f.em. inducida en el devanado puede utilizarse en un circuito exterior mediante dos escobillas e1 y e2

conectadas a los anillos metálicos, como muestra la figura 5.7-1La superficie de cada espira la representaremos por un vector normal al plano

de la espira, de módulo igual al área de la espira, A, y cuyo sentido, en principio,es arbitrario.

Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que el vector A coincide conel vector B, t segundos después el ángulo formado por ambos vectores será,

θ = ωt,y el flujo del campo magnético a través de una espira de la bobina, en ese instan-te, es

Φ

1= B⋅da

S∫ = Bda cosθ

S∫ =BAcosθ =BAcosωt

Hay que hacer notar que la integral anterior es una integral de superficie, y, portanto, el ángulo θ que forma cada vector que representa a un elemento de superficiede la espira, da, con el vector B, aunque varía con el tiempo, es el mismo, en uninstante dado, para todos los elementos de superficie de una espira. FIG. 5.7-1

ω

A

B

ωt

e1

e2

El flujo magnético a través de las N espiras se obtiene multiplicando, el flujo a través de una espira, Φ1,por el número N de espiras, ya que, al ser el soporte cilíndrico de longitud muy pequeña, todas las espiras seencuentran, en cada instante, en las mismas condiciones, por tanto,

Φ =NΦ1=NBAcosθ =NBAcosωt

[1]

[2]

[3]

[4]

Y, puesto que se trata de un flujo que varía con el tiempo, se induce en la bobina una fuerza electromo-triz, que viene expresada por la ley de Faraday y de Lenz,

ε = −dΦ

dt=NBAω senωt =ε

0senωt

La fuerza electromotriz inducida ε, alcanzará su valor máximo absoluto en los instantes en los que la fun-ción sen ωt sea máxima o mínima, es decir cuando su valor sea ± 1. Por tanto, si designamos por ε0 al valormáximo absoluto de ε,

ε

0=NBAω

queda, como expresión de la fuerza electromotriz inducida en la bobina,

ε =ε

0senωt [5]

Si dibujamos su gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando valores de ωt sobre el eje deabscisas, y valores de ε sobre el eje de ordenadas, se obtiene la gráfica de la figura 5.7-2

Se observa que la fuerza electromotriz, que comienza siendo nula, aumenta hasta el valor máximo +ε0,luego disminuye hasta anularse en el instante en que ωt = π, se invierte su sentido y alcanza el valor máxi-mo –ε0 para ωt = 3π/2, y disminuye hasta anularse nuevamente para ωt = 2π.

A partir de este instante se repite nuevamente todo el proceso con idénticas características.



2

ε0 sen ωt

π 2π

O

+ε0

-ε0

ωtπ/2 3π/2

Se trata por tanto de una función periódicadel tiempo, cuyo sentido se invierte regularmen-te, de forma que los terminales les e1 y e2 son,alternativamente, positivo y negativo, respectiva-mente.

Por esta razón, a la fuerza electromotriz gene-rada se le denomina fuerza electromotriz alterna.

Todo dispositivo, que produzca una f.e.m. deestas características, se denomina generador def.e.m. alterna, o alternador.

El intervalo de tiempo, T, al cabo del cual serepite todo el proceso, se denomina periodo. Deforma que: ωT = 2π

[7]

La variación de la f.e.m. alterna entre 0 y 2π se suele designar como ciclo.En la práctica, se suele caracterizar la f.e.m. alterna por su frecuencia, definiéndose ésta como la inversa

del periodo. Se suele designar por f, o por n:

f = ν = 1

Ty se mide en segundos–1 o en hertzios.

La frecuencia representa el número de veces que se repite un ciclo completo en cada segundo. Por esta razón se suele expresar también en ciclos por segundo, o simplemente en ciclos.La velocidad angular, ω, del dispositivo que genera la f.e.m. alterna, se suele medir en radianes por segun -

do, si bien, debería expresarse igualmente en segundos–1, ya que el radián no tiene dimensiones físicas. Recuérdese que el número de radianes de un ángulo se obtiene dividiendo la longitud de un arco correspondiente a dicho ángulo, por la longituddel radio con el que ha sido trazado. Por tanto, la unidad de ángulos que denominamos radián es un número abstracto que representa el núme-ro de veces que está contenida la longitud del radio en la del arco, y es, pues, una magnitud sin dimensiones.

Por esta razón suele denominarse, también, a ω, como frecuencia angular o, simplemente, frecuencia, loque puede originar cierta confusión con la frecuencia f, o ν, que se ha definido como la inversa del periodo.En ese caso, a esta última se le denomina frecuencia natural o frecuencia propia. La denominación que sueledarse a w, varía de unos textos a otros. Se le suele llamar también pulsación.

Como es lógico, no procede mantener para designar a ω la denominación de “velocidad angular” al referir-nos a la f.e.m. alterna. Para evitar confusiones, denominaremos, en lo sucesivo, a ω, frecuencia angular, y ala inversa del periodo, f, simplemente, frecuencia.

De todo lo anterior se deduce que,

ω =

2πT

= 2π f

[8]

ε0 sen (ωt+a)

π 2π

O

+ε0

-ε0

ωtπ/2 3π/2

Si, en el instante en que comenzamos a contarel tiempo, los vectores A y B forman un ánguloa, la expresión general de la fuerza electromotrizinducida en la bobina es:

ε =ε

0sen(ωt +α)

cuya gráfica queda desplazada, respecto de laanterior, en una distancia α, medida sobre el ejede abscisas, como indica la figura 5.7-3.

La función del tiempo wt+α, recibe el nombrede fase de la fuerza electromotriz, y α, que debeexpresarse en radianes, el de corrección de fase.

Debe quedar claro que α no depende de ninguna característica física del dispositivo descrito anteriormen-te. Solamente depende del instante en que comencemos a contar el tiempo para estudiar el fenómeno físico.

5.7-2 Circuitos de corriente alterna

La fuerza electromotriz inducida en la bobina del dispositivo descrito anteriormente da lugar a una dife-rencia de potencial alterna, o tensión alterna, entre los extremos de la misma, e1 y e2.

Si dichos extremos están sueltos no circula corriente puesto que el circuito está abierto.

FIG. 5.7-2

FIG. 5.7-3

[6]



3

Para cerrar el circuito basta unir los terminales e1 y e2 a dos anillos metálicos que giran solidariamente conel eje aislante, y conectar a ellos dos escobillas, que podemos unir por medio de un conductor de resistenciaR. El circuito queda representado por la figura 5.7-4.

R

ε

FIG. 5.7-4

[9]

Si la f.e.m. del generador es ε(t) = ε0, sen ωt, y si suponemos que su resistencia interna esnula, aplicando la ley de Ohm al circuito, se obtiene:

i(t)= ε(t)

R=ε

0

Rsenωt = I

0senωt

donde I

0=ε

0

Rrepresenta el valor máximo de la intensidad i(t)

A partir de ahora designaremos por ε(t), e i(t), los valores instantáneos de la f.e.m. e intensidad, respec-tivamente, para indicar que son funciones del tiempo.

ε0 sen ωt

π 2π

O

+ε0

-ε0

ωtπ/2 3π/2

+I0

–I0

I0 sen ωt

A la vista de la expresión anterior, se deduceque la intensidad de la corriente, que circula porla resistencia R, varía también armónicamentecon el tiempo, según una función sinusoidal, conla misma frecuencia y fase que las de la f.e.m. delgenerador.

Es la intensidad de una corriente alterna.Si representamos ambas funciones en un

mismo sistema de coordenadas cartesianas, seobtiene la gráfica de la figura 5.7-5.

En este caso, la f.e.m. del generador y la inten-sidad de la corriente están en fase.

FIG. 5-7-5

Esto significa que la intensidad experimenta las mismas variaciones que la f.e.m. en los mismos instantes.Es decir, la intensidad se anula, alcanza su valor máximo, vuelve a anularse, se hace máxima en sentido con-trario, y finalmente, vuelve a anularse, completando así un ciclo, en los mismos instantes en los que la f.e.m.toma esos valores.

Es el caso más sencillo de una corriente alterna sinusoidal, y el circuito descrito es el más simple de los cir-cuitos en serie de corriente alterna, que se pueden estudiar.

5.7-3 Circuito RLC

Vamos a estudiar el caso más general de un circuito en serie, que corresponde a un circuito en el que estánconectados entre los bornes del generador, un conductor de resistencia R, una bobina cuyo coeficiente deautoinducción es L, y un condensador de capacidad C.

Supongamos que en un instante dado la polaridad de los bornes del generador y el sentido de la corrienteson los indicados en la figura 5.7-6.

R LC

I

FIG. 5.7-6

Por consiguiente, están saliendo electrones de la armadura a del condensador,y se dirigen a través del generador hacia la armadura b. En consecuencia, laarmadura a se está cargando positivamente y la b, negativamente.

Al cabo de un tiempo igual a un semiperiodo, se invierte la polaridad delgenerador y el sentido de la corriente; por lo tanto, salen electrones libres de laarmadura b y se dirigen a través del generador hacia la armadura a, y ésta secargará negativamente, y la b, positivamente. Transcurrido otro intervalo detiempo igual a un semiperiodo vuelve a repetirse todo el proceso.

De modo que los electrones libres circulan, oscilando de una armadura a la otra, siempre a través del gene-rador.

Se suele decir, para contrastar el comportamiento de un condensador conectado a un generador de f.e.m.continua, y el de otro, conectado a un generador de f.e.m. alterna, que “un condensador no deja pasar, a sutravés, la corriente continua, mientras que permite el paso de la corriente alterna”. Se debe tener cuidado alinterpretar estas afirmaciones, puesto que

Un condensador no permite pasar, a su través, la corriente continua ni la alterna.

Entre las armaduras de un condensador existe el vacío, el aire, o, lo que es más frecuente en la práctica,un dieléctrico. Ninguno de estos elementos es conductor en condiciones normales. A menos que la diferenciade potencial entre las armaduras del condensador alcance valores muy altos, no se producirá el paso de cargaa través del vacío, del aire, o de un dieléctrico.



4

[10]

Para que se produjera un paso de cargas en el aire, se necesitaría que el campo eléctrico entre las arma-duras de un condensador alcanzase una intensidad del orden de 3.106 V/m., lo que no es habitual. Para undieléctrico, tal como el vidrio, sería preciso un campo eléctrico dos o tres veces mayor.

Para hallar la expresión de la intensidad de la corriente que circula en este caso por el circuito, vamos asuponer que la f.e.m. del generador es

ε(t)=ε

0cosωt

[12]

Esta expresión difiere de la que consideramos al comienzo del estudio de la f.e.m. alterna, en que aparecela función coseno en lugar de la función seno. En realidad es el mismo tipo de f.e.m. alterna.

Basta considerar que hemos comenzado a contar el tiempo con un retraso de un cuarto de periodo. Si aplicamos la ley general de Ohm para hallar la diferencia de potencial entre las armaduras del conden-

sador en el instante t, abarcando la porción de circuito que comprende la armadura b, el generador, la autoin-ducción y la armadura a, obtenemos

Ri(t)=ε(t)+ε

i−(V

a−V

b)

expresión en la que

ε(t)=ε

0cosωt es la f.e.m. alterna del generador.

ε

i= −L di(t)

dtes la f.e.m. inducida en la bobina originada por la variación de la intensidad de lacorriente con el tiempo

[11]

es la diferencia de potencial, o tensión, entre las armaduras del condensador. V

a−V

b=

q(t)C

Sustituyendo las relaciones anteriores en [11]

Ri(t)=ε

0cosωt −L di(t)

dt−

q(t)C

[13]

En esta ecuación diferencial aparecen relacionadas las variables, i(t), q(t) y el tiempo t. Para poder resol-verla hay que eliminar una de ellas. Para ello, basta derivar la expresión anterior respecto del tiempo,

L d 2i(t)

dt 2+R di(t)

dt+

1C

dq(t)dt

= −ε0ω senωt

y reagrupando términos

L di(t)

dt+Ri(t)+ q(t)

C=ε

0cosωt

[14]

[16]

y teniendo en cuenta que en el instante considerado la carga del condensador está aumentando,

dq(t)dt

= i(t) [6.15]

que, sustituida en [14], da

L d 2i(t)

dt 2+R di(t)

dt+

1C

i(t)= −ε0ω senωt

Se obtiene así una ecuación diferencial de segundo orden, cuya resolución queda fuera de nuestro alcance,pero podemos comprobar que su solución es:

[17]

i(t)=ε

0

R2 −(Lω − 1Cω

)2

cos(ωt −θ)+Ae−Bt

[18]

donde

θ = arc tg

Lω − 1Cω

RPara comprobar que la expresión anterior es la solución de la ecuación diferencial [16], basta hallar la pri-

mera y segunda derivada de i(t ) respecto del tiempo, y sustituirlas, junto con i(t ) en dicha ecuación diferen-cial. Se comprueba que se cumple la igualdad.



5

Vamos a interpretar el resultado obtenido. Consideremos en primer lugar, el término A.e–Bt.Las constantes A y B dependen de las constantes, R, L, C y de las condiciones iniciales del circuito, es

decir, de los valores de ε(t), i(t), di(t)/dt, y q(t) en el instante en que comenzamos a contar el tiempo.El factor e–Bt disminuye exponencialmente con el tiempo, y, al cabo de un tiempo muy corto, se hace lo

suficientemente pequeño como para suponerlo despreciable. Este término representa una corriente transitoria,y, aunque en algunos casos las tensiones y corrientes transitorias pueden ser importantes, no lo tendremos encuenta.

El término restante representa la solución del llamado régimen estacionario.Se observa que la intensidad de la corriente i(t) en el régimen estacionario es una corriente alterna que

varía armónicamente con el tiempo, con la misma frecuencia angular, ω, que la f.e.m. del generador, pero conuna diferencia de fase θ.

Podemos definir la intensidad máxima de la corriente, I0, como

I0=

ε0

R2 −(Lω − 1Cω

)2

[21]

[19]

[20]

y escribir la expresión [17] de la intensidad en la forma

i(t)= I

0cos(ωt −θ)

Para hacer más manejables las expresiones de la intensidad i(t) y de la diferencia de fase θ, se definen lassiguientes magnitudes:

XL=Lωreactancia inductiva o inductancia

reactancia capacitiva o capacitancia X

C=

1Cω

reactancia X =X

L−X

C= Lω − 1

Cω

impedancia Z = R2 +X 2 = R2 +(X

L−X

C)2 = R2 +(Lω −

1Cω

)2

La resistencia R, las reactancias XL, XC y X, y la impedancia Z se miden en ohmios. El coeficiente deautoinducción L, en henrios y la capacidad C del condensador en faradios.

Con la introducción de estas nuevas magnitudes se puede escribir, ahora, la intensidad máxima de lacorriente, I0, de la siguiente forma:

[22]

[23]

[24]

[25]

I0=

ε0

R2 +(Lω − 1Cω

)2

=ε

0

R2 +(XL−X

C)2=

ε0

R2 +X 2=ε

0

Z

[26]

Esta expresión suele denominarse ley de Ohm para una corriente alterna.

θ = arc tg

Lω −1

CωR

= arc tgX

L−X

C

R= arc tg X

R

El desfase existente entre la intensidad y la f.e.m. alternas, se puede expresar como

donde pueden darse tres situaciones, según que la reactancia inductiva XL sea mayor, igual o menor que lareactancia capacitiva, XC.

Vamos a analizar el significado físico de cada una de ellas., y para ello recordemos que las expresiones deε(t) y de i(t) son

ε(t)=ε0cosωt

i(t)= I0cos(ωt −θ)



6

[27]

Si XL > XC, es θ > 0

π 2π

O

+ε0

-ε0

ωtπ/2 3π/2

+I0

–I0

θ

La fase de la intensidad es menor que la de laf.e.m. y se dice que

la intensidad está en retraso de fase respectode la f.e.m.,

o bien que la f.e.m. está en adelanto de fase respecto dela intensidad.

Esto significa que la intensidad alcanza los valo-res máximos, mínimos, y se anula en instantes pos-teriores a los correspondientes a la f.e.m., comoindica la figura 5-7-7.FIG. 5.7-7

Si XL = XC, es θ = 0

π 2π

O

+ε0

-ε0

ωtπ/2 3π/2

+I0

–I0

En este caso, la fase de la intensidad es la mismaque la de la f.e.m., y se dice que

la intensidad y la f.e.m. están en fase.

Esta situación se conoce como resonancia, y, enestas condiciones, la impedancia Z del circuito sereduce a su resistencia, R, ya que XL = XC.

Si la resistencia es pequeña, la intensidad puedealcanzar valores muy elevados, y la diferencia depotencial entre los bornes de la autoinducción y delcondensador puede aumentar considerablemente.La situación es la indicada en la figura 5.7-8.FIG. 5.7-8

Hay que advertir que el ángulo de desfase θ, puede ser nulo sin que corresponda a una situación de reso-nancia. Tal es el caso en que, XL = XC = 0.

Si XL < XC, es θ < 0

π 2π

O

+ε0

-ε0

ωtπ/2

3π/2

+I0

–I0

θ

Al ser el ángulo q negativo la fase de la intensi-dad es mayor que la de la f.e.m. y se dice que

la intensidad está en adelanto de fase respec-to de la f.e.m.,

o bien que la f.e.m. está en retraso de fase respecto de laintensidad.

Esto significa que la intensidad alcanza los valo-res máximos, mínimos, y se anula en instantes ante-riores a los correspondientes a la f.e.m., como indi-ca la figura 5.7-9.FIG. 5.7-9

Puesto que consideraremos siempre que los generadores son ideales, es decir, que no tienen impedanciainterna, podemos sustituir la f.e.m. alterna de un generador por la diferencia de potencial entre sus bornes.Esta última también se denomina voltaje o tensión.

De modo que en lugar de la f.e.m. alterna,

ε =ε

0cos(ωt +α)

es frecuente utilizar la función

v(t)=V

0cos(ωt +α)

Conviene advertir asimismo queEl ángulo q, al que hemos llamado corrección de fase, o simplemente desfase, es la diferencia entre las fases

de la f.e.m. o voltaje del generador y la de la intensidad.Siempre en este orden, y siempre que la f.e.m., o voltaje, del generador y la intensidad de la corriente sean

funciones armónicas del tiempo idénticas. Es decir, las dos deben ser funciones seno, o las dos, funciones cose-no.



7

Si no fuese así, se debe expresar la intensidad de la corriente en función del tiempo por medio de la mismafunción armónica que figure en la expresión de la f.e.m. o voltaje del generador. Esto siempre será posible, sise utilizan las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de los ángulos que suman 90º o difierenen 90º.

Habrá que tener cuidado igualmente de comprobar que los signos que anteceden a los valores máximos oamplitudes, de la f.e.m. o voltaje del generador, y de la intensidad, sean iguales. Es decir, ambos positivos, oambos negativos.

Ejemplo 1

Si entre los elementos de un circuito en serie se establece un voltaje alterno dado por:v(t) = 150 cos (500t + 10º) voltios,

y circula por ellos una corriente de intensidad:

i(t) = 13 cos (500t - 53º) amperios, el desfase θ, es:

θ = (500t + 10º) – (500t – 53º) =500t + 10º – 500t + 53º = 63º

El signo positivo de θ significa que, en este caso, la intensidad está en retraso de fase respecto del voltaje,o bien que el voltaje está en adelanto de fase respecto de la intensidad.

Ejemplo 2

Entre los terminales de un circuito en serie se establece un voltaje:

v(t) = 200 sen (2000t + 50º) voltios, y circula una corriente de intensidad:

i(t) = 4 cos (2000t + 13º) amperios.Para calcular el desfase θ, hay que expresar la intensidad como función sen (2000t + 13º).Para ello podemos escoger entre las siguientes relaciones:

cos (2000t + 13º) = sen [90º – (2000t + 13º)] = sen (90º - 2000t – 13º) = sen (77º – 2000t), o bien:

cos (2000t + 13º) = sen [(2000t + 13º) + 90º] = sen (2000t + 103º)

Escogeremos ésta última, puesto que el término que contiene a la variable tiempo, 2000t, debe figurar consigno positivo.

De modo que las expresiones del voltaje e intensidad quedan como sigue:

v(t) = 200 sen (2000t + 50º) voltios,i(t) = 4 sen (2000t + 103º) amperios,

y la diferencia de fase es:

θ = (2000t + 50º) – (2000t + 103º) = 2000t + 50º – 2000t – 103º = – 53º

El signo negativo significa que la intensidad está en adelanto de fase respecto del voltaje, o lo que es igual,que el voltaje está en retraso de fase respecto de la intensidad.

Ejemplo 3

El voltaje y la intensidad de un circuito en serie están dados, respectivamente, por:

v(t) = 350 cos (3000t – 10º) voltios,i(t) = –12’5 cos (3000t – 55º) amperios.

Para hallar la diferencia de fase hay que expresar la intensidad de forma que su amplitud o valor máximode la misma sea positivo. Para ello basta considerar que:

– cos (3000t – 55º) = cos [180º – (3000t – 55)] = cos(180º – 3000t + 55º) = cos (235º – 3000t)o bien:

– cos (3000t – 55º) = cos [(3000t – 55º) + 180º] = cos (3000t + 125º).

Puesto que en esta última expresión figura el término, 3000t, que contiene a la variable tiempo, con signopositivo, utilizaremos dicha función en la expresión de la intensidad. Así pues:

v(t)= 350 cos (3000t – 10º) voltios,i(t) = 12’5 cos (3000t + 125º) amperios



8

y el desfase es:θ = (3000t – 10º) – (3000t + 125º) = 3000t – 10º – 3000t - 125º = – 135º

El signo negativo significa que la intensidad está en adelanto de fase respecto del voltaje, o lo que es igual,que el voltaje está en retraso de fase respecto de la intensidad.

5.7-4 Potencia de una corriente alterna

La energía suministrada a un circuito por un generador de f.e.m. alterna, en un intervalo de tiempo ele-mental, dt, viene dada por la misma expresión que para un circuito de corriente continua:

dW = e(t)i(t)dt [28]

[29]

con la salvedad de que en este caso, la f.e.m. del generador y la intensidad de la corriente son funciones armó-nicas del tiempo. Si suponemos que dichas expresiones son:

e(t)=ε0cosωt

i(t)= I0cos(ωt −θ)

[30]

la energía vendrá dada por:

dW = e(t)i(t)dt =ε

0cosωt ⋅ I

0cos(ωt −θ)dt =ε

0I

0cosωt ⋅ cos(ωt −θ)dt

[31]

La energía suministrada durante un intervalo finito de tiempo, tf – ti, será, por tanto:

W

ti

tf = ε0I

0cosωt ⋅ cos(ωt −θ)dt =

ti

tf∫ ε0I

0cosωt ⋅ cos(ωt −θ)

ti

tf∫ dt

La potencia instantánea suministrada por el generador es, por definición,

[33]

[32] p(t)= dW

dt=ε

0I

0cosωt ⋅ cos(ωt −θ)

cuya gráfica está representada en la figura 5-7-10.

π 2π

O

+ε0

-ε0

ωtπ/2 3π/2

+I0

–I0 θ

FIG. 5.7-10

Los valores de p(t) se han obtenido multiplican-do, en cada instante, los valores de e(t) e i(t).

La potencia instantánea p(t) varía con el tiem-po, pero no está en fase con la f.e.m. ni con la inten-sidad.

Se observa que hay tramos en los que la gráficade la potencia se encuentra situada por encima deleje de tiempos, y otros, en los que la gráfica está pordebajo.

En los primeros la potencia es positiva, y, en lossegundos, negativa.

La potencia es positiva en los intervalos de tiempo en los que e(t) e i(t) son de igual signo. Durante dichosintervalos el generador suministra energía al circuito.

La potencia es negativa en los intervalos de tiempo en los que e(t) e i(t) son de signo contrario, y en dichosintervalos, el circuito devuelve energía al generador.

La cantidad de energía por segundo que suministra o recibe el generador en un cierto instante, es igual ala ordenada de la curva de potencia p(t) en dicho instante.

La cantidad total de energía suministrada, o recibida, durante un intervalo de tiempo tf – ti, es:

W

ti

tf p(t)ti

tf∫ dt

que, recordando el significado geométrico de la integral definida, representa el área neta comprendida entre lacurva de potencia p(t), el eje de tiempos y las ordenadas correspondientes a los instantes ti y tf .

Se define la potencia media como la energía total suministrada durante un intervalo de tiempo, divididapor dicho intervalo de tiempo.

Si la potencia es una función armónica del tiempo, es decir, si la potencia depende del tiempo por mediode una función seno o coseno, es útil definir la potencia media durante un intervalo de tiempo igual a un perio-do, T.



9

Así pues:

Pmedia

=1T

p(t)dt =0

T∫ 1

Tε

0I

0cosωt ⋅ cos(ωt −θ)dt =

0

T∫ 1

Tε

0I

0cosωt ⋅ cos(ωt −θ)dt

0

T∫ =

=1Tε

0I

0cosωt ⋅(cosωt ⋅ cosθ + senωt ⋅ sen θ)dt

0

T∫ =

1Tε

0I

0cos2ωt ⋅ cosθ + cosωt ⋅ senωt ⋅ sen θ)dt

0

T∫ =

=1Tε

0I

0cosθ cos2ωt dt

0

T∫ + sen θ cosωt ⋅ senωt dt

0

T∫

=

1Tε

0I

0

1ω

ωt2+

sen2ωt4

0

T

cosθ + 12ω

sen2ωt

0

Tsen θ

=

=1Tε

0I

0

1ω

ωT2+

sen 2ωT4

cos θ + 1

2ωsen2ωT

sen θ

=

1Tε

0I

0

T2

cos θ = 12ε

0I

0cos θ

De modo que la potencia media que suministra el generador al circuito es igual a la mitad del productodel valor máximo de la f.e.m. por el valor máximo de la intensidad de la corriente y por el coseno del ángu-lo de desfase.

P

media=

12ε

0I

0cosθ [34]

[35]

[6.37]

Por esta razón, a cos θ se le denomina factor de potencia. Su valor se puede calcular a partir de la expre-sión de la tangente de dicho ángulo de desfase:

cosθ = 1

1+ tg2 θ=

1

1+ X 2

R2

=1

R2 +X 2

R2

=RZ

Conviene definir ahora los llamados valores eficaces de la intensidad de la corriente y de la f.e.m. La razónde introducir estos conceptos es que los amperímetros y voltímetros utilizados para efectuar medidas en loscircuitos de corriente alterna no miden valores instantáneos ni valores máximos, sino estos valores eficaces.

Por definición, Se denomina intensidad eficaz, Ief , de una corriente alterna, a la intensidad de una corriente continua queproduciría el mismo desarrollo de calor que la corriente alterna, durante un periodo, a través de la mismaresistencia.

Por consiguiente, si calculamos la energía disipada por la corriente alterna durante un periodo de tiempo,

P

media=

12ε

0I

0cos θ = 1

2ε

0I

0⋅RZ=

12

I02Z ⋅

RZ=

12

I02R

y la energía disipada por la corriente continua de intensidad eficaz Ief

P = I

ef2R

e igualamos los segundos miembros de [37] y [38], puesto que, por definición, ambas potencias son iguales,

[38]

[39]

I

ef2 R =

12

I02R

I

ef=

I0

2=

22

I0

de donde,

La f.e.m. eficaz se define, por analogía formal con la expresión de la intensidad eficaz, como:

ε

ef=ε

0

2=

22ε

0

5.7-5 Valores eficaces de una corriente alterna

[40]

Con la introducción de estas magnitudes la potencia media se puede expresar de la siguiente forma:

P

media=

12ε

0I

0cos θ =

ε0

2

I0

2cosθ

0=ε

efI

efcos θ

0

[36]



10

Es costumbre designar los valores eficaces de la f.e.m. y de la intensidad sin subíndices. De modo que, deahora en adelante, ε e I, representarán dichos valores eficaces.

Igualmente se acostumbra a no especificar el carácter de valores eficaces cuando se les nombra como datosde un problema.

Por ejemplo, si se dice que circula una corriente alterna de 2 amperios por un circuito entre cuyos termi-nales se ha establecido una tensión o voltaje de 220 voltios, se debe entender que la intensidad eficaz es de 2amperios y que el voltaje eficaz es de 220 voltios.

La unidad de potencia en el S.I. de unidades es el watio, que corresponde a la potencia media suministra-da a un circuito, por el que circula una corriente de 1 amperio cuando se ha establecido entre sus termi-nales una diferencia de potencial de 1 voltio con un factor de potencia unidad.

Hemos visto anteriormente la forma de representar sobre un mismo sistema de ejes coordenados las fun-ciones armónicas que expresan la f.e.m., o voltaje de un alternador, y la intensidad de la corriente alterna, enfunción del tiempo.

La molestia que supone dibujar e interpretar tales diagramas hace que se utilice otro método gráfico mássimple para representar las funciones armónicas v(t) e i(t), así como su diferencia de fase.

Supongamos que deseamos representar las funciones:v(t) = V0 cos ωt

i(t) = I0 cos (ωt – θ)

siendo θ > 0, y estando, por tanto, la intensidad en retraso de fase respecto del voltaje.Para ello, se dibuja, a una escala adecuada, un vector cuyo módulo sea igual al valor máximo del voltaje,

V0, que imaginaremos girando en torno al origen de coordenadas O, en el sentido trigonométrico positivo, conuna velocidad angular constante, ω.

Sobre el mismo diagrama se construye otro vector de módulo igual al valor máximo de la intensidad, I0pero desplazado un ángulo igual al desfase, θ, respecto del vector que representa al voltaje, en el sentido delas agujas del reloj, como indica la figura 5.7-11.

5.7-6 Diagramas vectoriales

V0 cos ωt

V0 sen ωt

I0 sen (ωt–θ)

I0 cos (ωt–θ)

θ

ωt ωt-θ

ω

V0

I0

FIG. 5.7-11

Imaginaremos que los dos vectores giran solidariamente, de formaque θ permanece constante.

Si suponemos que el vector V0 coincide con el semieje positivo deabscisas en el instante en que comenzamos a contar el tiempo, alcabo de t segundos formará con dicho semieje un ángulo ωt, y el vec-tor I0 formará un ángulo, ωt – θ.

Las proyecciones de estos vectores sobre el eje de abscisas, en uninstante dado, son los valores instantáneos, anteriormente menciona-dos, del voltaje e intensidad alternos del circuito.

Las proyecciones sobre el eje de ordenadas son los valores instan-táneos de dichas magnitudes en el caso de que se tomen como expre-siones del voltaje e intensidad,

v(t) = V0 sen ωti(t) = I0 sen (ωt – θ)

En el caso de que la intensidad estuviese en adelanto de fase respecto del voltaje, el vector I0 iría por delan-te del vector V0 , avanzado un ángulo θ, en el sentido trigonométrico positivo.

Y, si ambas magnitudes estuviesen en fase, los dos vectores V0 e I0 girarían superpuestos.

Naturalmente, se puede representar sobre el mismo diagrama, la diferencia de potencial o voltaje existen-te entre los extremos de cualquier elemento del circuito, resistencia, autoinducción o condensador, siempre quese dibuje con el desfase correspondiente respecto de la intensidad que circula por él.

El diagrama de vectores rotatorios es un método para representar esencialmente los valores instantáneosde la f.e.m. o voltajes existentes entre los terminales de los diferentes elementos que forman un circuito y dela intensidad que circula por los mismos.

En la práctica se dibuja el diagrama haciendo una reducción a escala de valor √2.Los módulos de los vectores son, pues, los valores eficaces de la f.e.m. o voltaje y de la intensidad de la

corriente. Los ángulos de desfase entre la intensidad y los distintos voltajes o f.e.m., permanecen invariables.



11

Puesto que la rotación continua de los vectores en torno al origen de coordenadas refleja el hecho de quelas magnitudes representadas son periódicas, se suele prescindir de dicha rotación, y para un circuito en seriese dibuja el vector I coincidiendo con el eje de abscisas, y los vectores que representan los voltajes de los dife-rentes elementos del circuito se dibujan con los desfases correspondientes respecto de la intensidad.

Para representar un circuito en paralelo, se dibuja el vector correspondiente a la diferencia de potencialexistente entre los terminales de la derivación coincidiendo con el eje de abscisas. Los vectores que represen-tan las intensidades de cada rama de la derivación se dibujan con los desfases correspondientes respecto delvoltaje de la derivación.

A continuación se explican dos ejemplos de diagramas vectoriales.

5.7-7 Diagrama vectorial de un circuito en serie

El circuito en serie de la figura 6.12 consta de una resistencia, R = 6 Ω, una autoinducción de reactanciainductiva, XL = 12 Ω y un condensador de reactancia capacitiva, XC = 4 Ω. La intensidad de la corriente esI = 5 A. Se trata de dibujar el diagrama vectorial del circuito.

R XL

XC

a b c d

FIG. 5.7-12

Para ello, habremos de calcular la diferencia de potencial que hay entre losextremos de cada uno de los elementos del circuito, y su desfase con la intensi-dad.

Como ya se ha explicado anteriormente, se supone que el valor indicado parala intensidad de la corriente, es su valor eficaz.

La diferencia de potencial eficaz entre dos puntos cualesquiera del circuito se obtiene aplicando la ley deOhm, igual que para un circuito de corriente continua, sin más que cambiar el término resistencia por la impe-dancia existente entre dichos puntos, siempre que no haya ninguna f.e.m. entre ellos. En caso contrario se apli-ca la ley general de Ohm.

El ángulo de desfase se calcula a partir de la tangente. Por consiguiente:

Vab = IZab = IR = 5 × 6 = 30 voltios tg θ

ab=

Xab

Rab

=06= 0 θ

ab= 0

La diferencia de potencial, o voltaje, entre los terminales de una resistencia está en fase con la intensidadde la corriente que circula por dicha resistencia.

Análogamente, entre los terminales de la autoinducción:

Vbc = IZbc = IXL = 5 × 12 = 60 voltios tg θ

bc=

Xbc

Rbc

=120= +∞ θ

ab= +90º

La diferencia de potencial entre los terminales de una autoinducción pura está en adelanto de fase 90ºrespecto de la intensidad.

Y entre los terminales de la autoinducción:

Vcd = IZcd = IXC = 5 × 4 = 20 voltios tg θ

cd=

Xcd

Rcd

=−40= −∞ θ

ab= −90º

La diferencia de potencial entre los terminales de un condensador está en retraso de fase 90º respecto dela intensidad.

La diferencia de potencial entre los extremos a y d del circuito es,

V

ad= IZ

ad= I R2 +(X

L−X

C)2 = 5 62 +(12− 4)2 = 50 voltios

y su desfase respecto de la intensidad es

tg θ

ad=

XL−X

C

R=

12− 46

=43

θcd≈ 53º

Es importante hacer notar que la diferencia de potencial entre los extremos a y d no es igual a la suma delas diferencias de potencial entre los terminales de la resistencia, autoinducción y condensador:

Vad = 50 V.Vab + Vbc + Vcd = 30 + 60 + 20 = 110 V.



12

Esta aparente contradicción tiene su explicación en la diferencia de fase que presenta cada potencial res-pecto de la intensidad.

Vab I

Vbc

Vad

Vcd

50 V

60 V

20 V 30 V

5 A

θad

Estas diferencias de potencial o voltajes se suman como vectores,como indica la figura 5.7-13.

Por tratarse de un circuito en serie, puesto que circula la misma inten-sidad por cualquier elemento del circuito, se toma como referencia laintensidad de la corriente, y se dibuja sobre el eje de abscisas un vector,I, de módulo igual al valor de la intensidad eficaz de la corriente alterna,y luego se dibujan los vectores correspondientes a los diferentes voltajeseficaces con los desfases respectivos.

Se puede comprobar que, vectorialmente, se verifica:

FIG. 5.7-13

V

ad

=V

ab

+V

bc

+V

cd

Más adelante veremos que la igualdad anterior es también válida, sise utilizan números complejos, denominados fasores, para expresar losdiferentes voltajes. Asimismo es válida, si los diferentes términos que apa-recen en ella son valores instantáneos de los correspondientes voltajes:

Vad(t) =Vab(t) +Vbc(t) +Vcd (t)

[41]

[42]

Por el contrario, no es cierta para valores eficaces, y por tanto, tampoco lo es para valores máximos:

(Vad)ef ≠ (Vab)ef +(Vbc)ef +(Vcd)ef

(Vad)0 ≠ (Vab)0+(Vbc)0+(Vcd)0

[43]

5.7-8 Diagrama vectorial de un circuito en paralelo

R

XL

XC

I1

I2

I3

I I

Supongamos que los mismos elementos del circuito anterior están conectadosahora en paralelo, como indica la figura 5.7-14, y que se establece entre los extre-mos de la asociación una diferencia de potencial de 120 voltios.

Para dibujar el diagrama vectorial del circuito tomaremos como referencia ladiferencia de potencial eficaz entré los terminales a y b de la derivación, puestoque es común a las tres ramas, y la representaremos sobre el eje de abscisas.

A continuación se calculan los valores eficaces de cada intensidad, aplicandola ley de Ohm a cada rama de la derivación, y se calculan asimismo, los corres-pondientes desfases con la diferencia de potencial entre los terminales a y b.

I

1=

Vab

Z1

=V

ab

R=

1206

= 20A tgθ1=

X1

R=

06= 0 θ

1= 0

La intensidad de la corriente en una resistencia está en fase con la diferencia de potencial entre los ter-minales de la misma.

I

2=

Vab

Z2

=V

ab

XL

=12012

= 10A tgθ2=

X2

R2

=120= +∞ θ

2= 90º

La intensidad de la corriente en una autoinducción está en retraso de fase 90º respecto de la diferenciade potencial entre sus terminales.

I

3=

Vab

Z3

=V

ab

Xc

=1204

= 30A tgθ2=

X3

R3

=−40= −∞ θ

2= −90º

La intensidad de la corriente en un condensador está en adelanto de fase 90º respecto de la diferencia depotencial entre sus bornes.

Con los resultados obtenidos se dibuja el diagrama vectorial de la figura 5.7-15. Las escalas de unidadesque se han empleado para medir amperios y voltios son distintas.

FIG. 5.7-14



13

[46]

[44]

Vab

I1

I2

I3

I

120 V

30 A

10 A

20 A

20 A

20√2 A

De forma similar a lo que ocurre con los voltajes de los diferentes ele-mentos intercalados en un circuito en serie, sucede ahora que la intensidadde la corriente que llega al nudo a de la derivación no es igual a la suma delas intensidades que circulan por cada rama.

En cambio, vectorialmente, se cumple que:

I= I

1

+ I

2

+ I

3

Todo lo dicho anteriormente para las diferencias de potencial existentesentre los distintos elementos de un circuito en serie se puede aplicar a la rela-ción que hay entre la intensidad que llega a un nudo de una derivación, oque sale del otro nudo de la misma, y las intensidades que circulan por cadarama de la derivación.

Por tanto, si se toman valores instantáneos:

FIG. 5.7-15

i(t) = i1(t)+i2(t)+i3(t)En cambio, para valores eficaces o valores máximos:

Ief ≠ (I1)ef+(I2)ef+(I1)efI0≠ (I1)0+(I2)0+(I1)0

[45]

aletos TEMA 5.7 1 Física para Ciencias e Ingeniería · Vamos a analizar la producción y características de esta clase de corrientes, y, para ello, nos vamos a limi-tar al estudio

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