ACTIVIDADES PARA ESTUDIANTES DE OCTAVO GRADO 2010-2011 MATEMÁTICA DE OCTAVO GRADO GUIA DE MATEMÁTICA -8º 1. IDENTIFICACACIÓN: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO ASIGNATURA: MATEMÁTICA PERIODO: 1 TEMAS: MAGNITUDES INCONMENSURABLES- NÚMEROS IRRACIONALES- NÚMEROS REALES DOCENTE: MARGARITA GONZÁLEZ GÓMEZ LOGROS: Identifica las propiedades del conjunto de los números reales, su utilidad, su representación gráfica y orden, mediante situaciones determinadas. 2. SITUACION INICIAL Historia de los números irracionales Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional. Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó! ¿Qué piensas de la historia anterior? ¿ Por qué crees que se dio la situación anterior? 3. ACTIVIDAD Construye 4 cuadrados de diferentes dimensiones. Mide sus lados y diagonales. Con la información anterior completa la tabla: Medida Figura L Lado D Diagonal r= r como decimal 1 2 3 4 Ahora verifica si la medida de la diagonal que obtuviste corresponde al valor que se determina con el teorema de Pitágoras. El valor obtenido de r, ¿lo puedes expresar como un número racional? ¿Es decimal exacto? ¿Es decimal periódico, puro o mixto? 4. ORIENTACION TEMÁTICA Números Irracionales Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse. Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es 3.1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi. Números como 22 / 7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos. Números irracionales famosos
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Actividades de Matematicas Para Estudiantes de Octavo Grado 2010
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ACTIVIDADES PARA ESTUDIANTES DE OCTAVO GRADO 2010-2011
MATEMÁTICA DE OCTAVO GRADO
GUIA DE MATEMÁTICA -8º
1. IDENTIFICACACIÓN: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO
LOGRO 4: identifica las propiedades de las expresiones algebraicas y su utilidad en situaciones determinadas.
2. SITUACION INICIAL
La figura muestra un cuadrado de lado b.
Determina el perímetro y el área de la figura.
Determina la diagonal en función de b.
¿Cuál es el área del cuadrado, si la medida del
lado se duplica?
3. INTRODUCCIÓN
En el tiempo transcurrido del año hemos
trabajado con números reales; ahora en
adelante, utilizaremos los mismos números, ya
no escritos explícitamente, sino que los
representaremos mediante números y letras,
así:
El doble de una cantidad o número: 2 X,
El triple de un número es igual a 12: 3 X = 12.
Cada letra representa un número real, y por lo
tanto se comporta como tal, obedeciendo a
las mismas propiedades y operaciones de los
reales; en esto, consiste el trabajo del álgebra.
Para representar cantidades en álgebra, se
utilizan números y letras, que se relacionan
por medio de operaciones matemáticas
(adición, sustracción, multiplicación y división).
Se puede concluir diciendo que el álgebra es
una generalización de la aritmética.
4. BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA
Ingenio matemático 8. Ed Voluntad.
Matemáticas soluciones 8. Ed Futuro.
Matemática Nova 8. Ed. Voluntad.
http://maralboran.org/wikipedia/inde
x.php/Expresiones_algebraicas
http://www.sectormatematica.cl/educ
media.htm
5. METODOLOGIA
Para desarrollar esta guía los estudiantes
deberán profundizar acerca de los contenidos
teóricos que aquí se exponen y desarrollar las
actividades individuales y grupales, cuentan
con una hora de asesoría del docente y
posteriormente socializaran las actividades en
el día previsto.
6. ORIENTACION TEMÁTICA
EXPRESION ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es una combinación
de letras, números y signos de operaciones.
Las letras suelen representar cantidades
desconocidas y se
denominan variables o incógnitas. Las
expresiones algebraicas nos permiten traducir
al lenguaje matemático expresiones del
lenguaje habitual. Ejemplos de Expresiones algebraicas
El perímetro y el área de un terreno
rectangular que mide X metros de
largo e Y metros de ancho, es:
Perímetro = 2X + 2Y
Área = X. Y
ELEMENTOS DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA:
PARTES LITERALES: Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.
COEFICIENTES O PARTES NUMÉRICAS: Son los números que aparecen multiplicando a las variables.
EXPONENTES: Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.
BINOMIO: Expresión algebraica que consta de dos términos algebraicos.
TRINOMIO: Expresión algebraica que consta de tres términos algebraicos.
2X + 3Y + 4Z; Xµ − 3X´− 8
POLINOMIOS: Son todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos más términos algebraicos.
BB POLINOMIOS: Son todas aquellas expresiones
algebraicas que están formadas por dos más términos algebraicos.
BB, SEPARADOS POR EL SIGNO De
ahora en adelante toda expresión algebraica se llamará polinomio a excepción de los monomios o términos algebraicos.
GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN POLINOMIO
El grado absoluto de un polinomio está indicado por el mayor exponente entre todos los términos del polinomio.
El grado relativo, está indicado por el mayor exponente de cada literal.
En el polinomio ⅞ X²Y´ + 8X´Yµ - 11XY + 4, el grado absoluto es 9 y el grado relativo a X es
4, para Y es 5.
ORDEN DE UN POLINOMIO
Ordenar un polinomio es escribir sus términos consecutivamente, teniendo en cuenta una letra escogida, de tal manera que sus exponentes estén ubicados de mayor a menor o de menor a mayor.
VALOR NÚMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El valor numérico de una expresión algebraica es la cantidad que se obtiene al reemplazar las letras o
variables por una cantidad dada, y luego efectuar las operaciones indicadas en la expresión.
Por ejemplo, si a = 1 y b = 2, entonces el valor
numérico de las expresión 3a²b´ es
3a²b´ = 3. (1)². (2)´ = 3. (1).
(16)
= 48 7. ACTIVIDADES
A. Calcula el valor numérico de cada
polinomio
a. X² + 3 Xµ – 9X ; si X = − 1
b. 3XY² − X³Y³ + ⅖XY ; si X = 2 , Y = 1 C. ⅞ X²Y´ + 8X´Yµ - 11XY + 4 ; si X = 1, Y
= 1
d. ( X + Y )³ ; si X = ⅙ , Y = ⅖
B. Completa la siguiente tabla
Expresión Grado
absoluto
Coeficiente. Parte.
Literal
-x
-987xy
43 yx
0365 yx
y
23723 xyz
233 xz
y
x24
0003 xyz
58
7
9
5
z
x
jah
52
65
yw
xywz3
C. Escribe la expresión simbólica de cada enunciado
a. El triple de un número disminuido en 2 b. la quinta parte de la diferencia entre un
número y 8 c. la cuarta parte de un número aumentado
en p d. el sucesor de un número X
D. Escribe expresiones algebraicas que satisfagan las siguientes condiciones:
a. Un polinomio de tres términos que tenga grado absoluto de 8
b. Un monomio que tenga grado relativo
respecto a m de 4. c. Una expresión que tenga grado
absoluto 0 d. Un binomio de grado 1 e. Un polinomio ordenado que tenga 5
términos algebraicos y que su grado absoluto sea 12.
f. Un término que tenga parte numérica 1, cuyas partes literales sean W,Z.
1. IDENTIFICACION: INSTITUCIÓN EDUCATIVA LUIS PATRON ROSANO
Se procede agrupando los términos del polinomio dado y luego sacando factor común de cada uno de los
grupos formados. Luego se agrupan los resultados.
Ejemplo1:
Factorizar: 6am – 4ac – 3bm + 2bc
Agrupamos los términos: (6am – 4ac) – (3bm - 2bc) Nótese que el último término cambia de signo.
Sacamos factor común de cada paréntesis:
2a (3m – 2c) – b (3m – 2c)
Se agrupan los resultados:
(2a – b)(3m – 2c)
Ejemplo 2:
Factorizar: m + n – am – an
Agrupamos los términos: (m + n) – (am + an)
Sacamos factor común de cada paréntesis:
1(m + n) – a (m + n)
Agrupamos los resultados: (1 – a) (m + n)
5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
1) 21m2n2 + 24mn2 – 15mn3 =
2) a2 + ab + ac + bc =
3) (x + a)(x - 1) – 2a (x - 1) =
4) bx2 – b – x2 + 1
5) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 =
6) x2 + xy + xz + yz =
7) 21ax + 35ay + 20y + 12x
8) 2x2 + 6x + 8x
3 - 12x
4 =
9) a2 + ab + ax + bx
10) ab - 2a - 5b + 10 =
11) ac - a - bc + b + c2 - c =
12) 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
13) am - bm + an - bn
14) 3x2 - 3bx + xy - by
15) ac - a - bc + b + c2 - c =
16) 6x - 12 =
17) 14m2n + 7mn =
18) 10x2y - 15xy
2 + 25xy
19) 3ab + 6ac - 9ad =
20) 10p2q
3 + 14p
3q
2 - 18p
4q
3 - 16p
5q
4
21) babaabba 3322
25
16
15
8
5
12
35
4
22) 6ab + 4a - 15b - 10
CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un Trinomio cuadrado Perfecto es el resultado de desarrollar El Cuadrado de un Binomio. Un trinomio es cuadrado perfecto cuando cumple lo siguiente: a) El primer término tiene raíz cuadrada exacta. b) El tercer término tiene raíz cuadrada exacta. c) El segundo término es igual al doble producto de las dos raíces. Así, X²+ 2XY + Y² es un trinomio cuadrado perfecto porque: ↓ ↑ ↓
X 2(x)(y) Y
Luego, X²+ 2XY + Y² = (X + Y)²
En conclusión: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio elevado al cuadrado y formado por: La raíz cuadrada del
primer término, el signo del segundo término y la raíz cuadrada del tercer término.
Ejemplo 1:
Factorizar: m² – 4m + 4 ↓ ↑ ↓ m 2(m)(2) 2 Luego: m² – 4m + 4 = (m – 2)² Ejemplo 2:
Factorizar: x´ – x² + ¼ ↓ ↑ ↓ X² 2(x²) (1/2) ½ Luego: x´ – x² + ¼ = (X - ½)² CASO 4: Diferencia de Cuadrados:
Una diferencia de cuadrados es el resultado de desarrollar el producto de una suma por la diferencia de dos cantidades. Una diferencia de cuadrados se reconoce cuando cada término tiene raíz cuadrada exacta. Así, X² – Y² es una diferencia de cuadrados. Luego: X² – Y² = (x + y) (x – y) En conclusión: Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces por la diferencia de las mismas raíces. Ejemplo 1:
Factorizar: 25x² – a²b¶ = (5x + ab³) (5x - ab³)
↓ ↓
5X ab³
Ejemplo 2:
Factorizar: 9m² – 16y² = (3m + 4y) (3m - 4y)
ACTIVIDAD
CASO 5: TRINOMIO DE LA FORMA X² + bX + c
Este polinomio tiene su origen en el producto de dos binomios de la forma (x + m) (x + n) = x² + (m+n)x + mn. En este caso la factorización consiste en hallar el valor de n y m, puesto que b = m + n, y c = mn. Ejemplo 1 Factorizar : x² + 8x + 15
En el ejemplo b = 8 y c = 15. Entonces buscamos dos números que sumados den 8 y multiplicados den 15. Estos números son: 5 y 3. Luego x² + 8x + 15 = (x + 5) (x + 3). Ejemplo 2 Factorizar: x² + x ₋ 72 Se buscan dos números cuya diferencia sea 1, su producto -72. Estos son 9 y -8. Luego: x² + x ₋ 72 = (x + 9) (x – 8) Ejemplo 3 Factorizar: a´ - 2a² -24 Se tiene que 4 + (-6) = -2 y (4) (-6) = -24. Luego a´ - 2a² -24 = (a² + 4) (a² - 6)
CASO 6: TRINOMIO DE LA FORMA aX² + bX + c
Para factorizar esta clase de polinomios hacemos transformaciones para reducirlos a expresiones de la forma X² + bX + c, se factorizan como en el caso anterior. El primer paso, consiste en multiplicar y dividir el polinomio por el coeficiente de x², y escribimos el trinomio de la forma x² + bx +c. Se factoriza el numerador de la expresión obtenida como en el caso 5. Al final se factoriza uno de los factores obtenidos (Paréntesis) o ambos y luego se simplifica para eliminar el denominador.