Actas de La VII Carem

AACCTTAASS DDEE LLAA VVIIII CCOONNFFEERREENNCCIIAA AARRGGEENNTTIINNAA DDEE EEDDUUCCAACCIINN MMAATTEEMMTTIICCAA AAoo 22000099 ACTAS DE LA VII CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA SOAREM Sociedad Argentina de Educacin Matemtica http://www.soarem.org.ar II ACTA DE LA VII CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIN MATEMTICA VII CAREM. Organizada por la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica y el Departamento de Matemtica de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Universidad Nacional del Litoral, del 15 de mayo de 2008 al 17 de mayo de 2008, en la Ciudad de Santa Fe. Repblica Argentina Editoras: Irene Zapico, Silvia Tajeyan Sociedad Argentina de Educacin Matemtica En la portada: Fotografa del puente colgante de Santa Fe, propiedad de Silvia Tajeyan e imagen de la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica, http://www.soarem.org.arDiseo de portada y CD: Irene Zapico, Silvia Tajeyan, Ezequiel Lobatto Edicin: 2009. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. Casilla de Correos 50 - Sucursal 17 Villa del Parque. (1417) Ciudad de Buenos Aires. Repblica Argentina. [email protected]: En trmite Derechos reservados. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. http://www.soarem.org.arSe autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente: Zapico, I., & Tajeyan, S. (Ed.). (2009). Acta de la VII Conferencia Argentina de Educacin Matemtica, Repblica Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. III COMIT ORGANIZADOR DE LA CAREM Presidenta Honoraria:Nelly Vzquez de Tapia Presidente:Oscar Sardella Sociedad Argentina de Educacin Matemtica Colaboradores Norma Cotic (Vicepresidente 1) Adriana Engler (Vicepresidente 2) Cecilia Crespo Crespo (Secretaria) Patricia Leston (Prosecretaria) Adriana Berio (Tesorera) Liliana Homila (Protesorera) Cristina Verdaguer de Banfi (Vocal) Vilma Giudice (Vocal) Teresa Braicovich (Vocal) Irene Zapico (Vocal) Hayde Blanco (Vocal COMISIN DE REVISORES DE CUENTAS TRIBUNAL DE TICATitulares: Titulares: Enrique Fabin Valio Daniela Andreoli Christiane Ponteville Mara de las Mercedes Colombongela Pierina Lanza Mara Rosa Rodrguez Suplente: Jos Luis Rey Suplente: Elsa Groenewold IV Comit Cientfico de Evaluacin Holgado, Lisa Andreoli, Daniela Homilka, Liliana Blanco, Hayde Lanza, Pierina Braicovich, Teresa Lestn, Patricia Cadoche, Lilian Mntica, Ana Mara Capdevila, Myriam Marcilla, Marta Caputo, Liliana Mercau, Susana Cerutti, Rubn Messina, Vicente Chahar, Berta Montoito Teixeira, Rafael Ciancio, Mara Ins Oliva, Elisa Colombo, Mara de las Mercedes Prez de del Negro, Mara Anglica Correa Zeballos Marta Prez, Mara del Carmen Cotic, Norma Ponteville, Christiane Crespo Crespo, Cecilia Rey, Jos Luis Engler, Adriana Sardella, Oscar Esper, Lidia Seminara, Silvia Fay, Alicia Veliz, Margarita Giudide, Vilma Zapico, Irene Gonzlez de Galindo, Susana V ndice Tabla de ContenidosBsico (7-12 aos) y Medio (13-17 aos) Hacia la construccin del concepto de volumen. 1Gladis Saucedo Los errores: se emplean en la construccin del conocimiento matemtico en el nivel medio? 9Higa, Mara Elena, Bumalen, Leonor Irene, Tarifa, Gloria Elsa 18 La semejanza, una propuesta de unidad didctica. Blasn, Rosa, J urez, Patricia, Villamonte, Patricia, Rosa Salamone 28 Taller: De la construccin a la validacin Mara Susana Dal Maso y Marcela Gtte Dificultades alrededor de la construccin de la idea del infinito: una experiencia de clase 33Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestn 42 Hacer matemtica en la sala de informtica. Una propuesta didctica Mara Ursula Zorba La clasificacin y la validacin en geometra en libros de texto de argentina y Uruguay para alumnos entre 12 y 15 aos 54Andrea Rajchman, Ana Mara Mntica, Mara Susana Dal Maso Terciario 64 Propuesta para trabajar la demostracin en el nivel terciario Sara Scaglia, Fernanda Renzulli y Marcela Gtte Clases de matemtica: la intervencin de practicantes en la puesta en comn 73Adriana Duarte, Silvia Carona81 Haba una vez 12 ,o 4? no!... son 6 Mabel Alicia Slavin Las primeras prcticas docentes de los estudiantes del profesorado de matemtica 91Liliana Homilka, Cecilia Crespo Crespo, J avier Lezama, Patricia Lestn 98 Matemtica y literatura Irene Zapico, Silvia Tajeyan VI El profesorado en matemtica de la universidad nacional de rosario: visin de sus docentes 100Elisa Petrone, Natalia Sgreccia, Natalia Contreras, J ulieta Recanzone. Organizao de feiras, orientao e avaliao de trabalhos em feiras de matemtica 109Hlio dos Santos Silva , Vilmar J os Zermiani, Viviane Clotilde da Silva Algunos mtodos de resolucin de ecuaciones de segundo grado completas, desde los babilonios a Descartes 115Guillermina Emilia Vosahlo 122 Una propuesta para la introduccin del concepto de derivada desde la variacin. Anlisis de resultados Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Mller Una ingeniera didctica para la construccin del concepto de distancia de un punto a una recta en el espacio 133Anido, Mercedes, Rubio Scola, Hctor E. Aprender a demostrar: Reflexiones para la educacin matemtica 144Malva Alberto, J uan Pablo Puppo, Gabriela Roldn Pueden los sistemas algebraicos de cmputos (SAC) mejorar la comprensin de conceptos matemticos? 160Sonia Pastorelli, Lilian Cadoche 169 Entorno de aprendizaje mixto. una experiencia con funciones Daniela Mller, Adriana Engler, Silvia Vrancken 178 El trabajo con sistemas algebraicos de cmputos como medio para la valoracin continua del aprendizaje y de las prcticas educativas Sandra Ramirez, Silvina Suau, Mercedes Moreno Diaz, Sonia Pastorelli Universitario La evaluacin de la ctedra universitaria: revisiones, reflexiones y posibilidades de mejora 187Malva Alberto, Liliana Fiorito, J uan Pablo Puppo 197 El dilogo como recurso en la construccion del saber matemtico en el aula Mara Cristina Rocerau, Silvia Vilanova, Mercedes Astiz, Mara Susana Vecino, Guillermo Valdez, Mara Isabel Oliver, Perla Medina. VII Un anlisis desde la didctica de la matemtica. Sobre algunos errores en el lgebra 206Silvia Carona, Ana Mara Zoppi, Mara del Carmen Polasek, Marta Rivero, Roxana Operuk Taller: Utilitarios de clculo de uso libre: Octave - Maxima 213Irma Manuela Bentez , Alicia Elena Carbonell, Maria Itat Gandulfo Una propuesta didctica para la enseanza de lmite. 217Silvia Aquere, Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Mller, Marcela Hecklein, Mara Ins Gregorini, Natalia Henzenn Un entorno favorable a la demostracin 226Susana Moriena, Silvia Bernardis 233 Competencias sociales en el aula de matemtica Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli Una propuesta de enseanza-aprendizaje integradora de algebra lineal en el marco de formacin de competencias 240Marcela R. Carranza, Gabriela Andino, Silvia Mir Erdmann, Marcela Natalia Baracco Una trayectoria didctica para la enseanza de la geometra analtica en un laboratorio de informtica. Anlisis de su idoneidad. 249Mercedes Anido, Patricia C, Mnica del Sastre, Erica Panella. 258 Una experiencia evaluando niveles de desarrollo de competencias matemticas Dora Fernndez, Carolina Ramos , Sara I. Ottonello, Margarita V. Veliz Un enfoque para la enseanza de la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales en el primer ciclo universitario 268Fred Alberto Lucuy Suarez, Mara Graciela Dodera, Laura Virginia Ponce 276 En la era del hipertexto se necesitan los textos. Sonia Pastorelli, Ana Kozak 282 Las NTICS y los proyectos grupales: trabajo colaborativo de docentes y estudiantes Sonia Pastorelli, Humberto Pampiglioni, Lilian Cadoche, Matias Gareli Fabrizi 284 Rendimiento acadmico y actitudes ante el aprendizaje de la matemtica Margarita del V. Veliz, Mara Anglica Prez y Blanca Estela Lezana Variables relevantes para estudiar el grado de desarrollo de las habilidades matemticas 290Villalonga de Garca, P., Gonzlez de Galindo, S., Marcilla, M. y Mercau de Sancho, S. VIII Taller de matemtica: propuestas para favorecer la articulacin entre niveles 300 Carlos Enrique Parodi, Fabio Rubn Prieto, Sonia Lidia Vicente 311 Taller:Uso de simuladores en la clase de matemtica Gemignani, Mara Alicia, Vaira, Stella Maris, Gandulfo, Mara Itat Nmeros complejos, una propuesta metodolgica para alumnos de ciencias biolgicas. 319Mara Susana Vecino, Guillermo Valdez, Mara Cristina Rocerau Silvia, Vilanova, Mercedes Astiz, Mara Isabel Oliver, Perla Medina 327 Sistemas de ecuaciones una meta reflexin sobre la prctica profesional Silvia Carona, Enzo Berentt, Gerardo Lesiw Deteccin y anlisis de errores en elementos bsicos de la alfabetizacin estadstica 335Liliana Tauber, Yanina Redondo, Silvana Santelln Concepciones y creencias de profesores sobre enseanza y aprendizaje de la matemtica 346Mara Graciela Dodera, Ester Alicia Burroni, Mara del Pilar Lzaro, Beatriz Piacentini 356 Uso de la herramienta computacional en la enseanza de la estadstica Teresita Tern 363 Evolucin de procesos de validacin: un estudio con futuros profesores Sara Scaglia, Melina Zampar Scilab: herramienta en la resolucin de problemas modelizados mediante sistemas de ecuaciones lineales. 373Ma. Graciela Imbach, Paula E. Gonzlez Mus, Sandra Cristina Ramirez, Paula Andrea Ricardi, Hur J ulia Speratti, Silvina Guadalupe Suau, Antonieta Ema Zincola 380 Anlisis del proceso de evaluacin de una experiencia taller en geometra Graciela Lombardo, Roxana Operuk 388 Instrumento para la evaluacin de habilidades sociales Lilian Cadoche, Flavia Frank, Hilda Henzenn Educacin de adultos Propuestas para las clases de matemtica de jvenes y adultos de la escuela primaria. 393Marina ngel, Sara Scaglia IX Pgina 1 HACIA LA CONSTRUCCIN DEL CONCEPTO DE VOLUMEN Gladis Saucedo Facultad de Humanidades y Ciencias. UNL. Argentina. e-mail: [email protected] Niveles: Bsico y medio Palabras claves: volumen, capacidad, medida, estimacin Resumen El concepto de volumen tiene importancia en nuestra vida diaria porque nos movemos en un mundo tridimensional y en ms de una ocasin hemos necesitado medir el volumen de determinados cuerpos. Sin embargo al revisar el tratamiento escolar que se da a las magnitudes se encuentra que el volumen parece ser una de la ms descuidadas en cuanto a las actividades que se realizan, ya que no slo se dejan de lado algunas de sus variadas relaciones con otros temas, sino que muchas veces se confunde la propiedad que se mide (volumen) con su medida. Y esto se debe en parte a la influencia que tiene el Sistema Mtrico Decimal (SMD) en el currculo escolar, ya que medir se lo asocia al trabajo con el SMD, dando por supuesto que ya se sabe qu es el volumen. El presente trabajo se enmarca en un proyecto de investigacin donde se pretenden disear propuestas didcticas para trabajar contenidos de la geometra eucldea tendientes a superar las dificultades que supone el apropiamiento de los conceptos geomtricos. En esta propuesta se aborda la nocin de volumen y se analizan diferentes aspectos que tienen que ver con la enseanza y el aprendizaje de dicho concepto. Estos aspectos sern de utilidad y servirn de base para la elaboracin de una secuencia didctica sobre volumen Introduccin La utilidad del concepto de volumen y su medida es innegable, ya que es un conocimiento necesario para enfrentarse a ciertos requerimientos de la vida diaria como por ejemplo determinar el volumen de un recipiente o comprender qu significa cuando se lee en un envase 720 cm3. Por lo general este tema est presente en todos los programas escolares y un trabajo serio sobre el mismo debera incluir no slo el desarrollo del Sistema Mtrico Decimal (SML) sino los aspectos geomtricos, aritmticos y de resolucin de problemas asociados al mismo. Las aproximaciones al concepto de volumen se deben regular realizando tareas adecuadas, atendiendo a los distintos aos de la Educacin Primaria y/o Secundaria. Se deben proporcionar distintas experiencias y con variados materiales que pongan de manifiesto la importancia del concepto y que permitan la construccin del mismo. No se deben presentar las frmulas conocidas para calcular el volumen de ciertos cuerpos, hasta que los alumnos no hallan realizado suficientes actividades que les permitan utilizarlas comprensivamente. En esta propuesta se aborda la nocin de volumen y se analizan algunas particularidades que tienen que ver con su el tratamiento didctico. Estas aportaciones se utilizarn como base para la elaboracin de una secuencia didctica sobre volumen con el objeto de superar las dificultades que supone su apropiamiento. Pgina 2 El concepto de Volumen Con respecto al concepto no cabe duda que las definiciones de los conceptos geomtricos desempean un papel destacado en la enseanza de la geometra, y es necesario que el docente que va a ensear un determinado concepto sea capaz de identificar los rasgos definitorios del mismo. Por otra parte segn Alsina, Frotuny y Prez (1997) una definicin es una convencin que explica el significado exacto que debe darse a una palabra, expresin o smbolo, por lo menos durante el tiempo que la misma tenga validez. Al realizar un breve rastreo entre los libros de textos que tratan el tema volumen , la mayora cuando da la definicin de volumen lo hacen referido a poliedros, previa consideracin de definir suma de poliedros y la descomposicin de un poliedro en cuerpos piramidales. Tanto Snchez Mrmol (1947, p.1077), como Ferraris (1991, p. 102) y Puig Adam (1980, p. 339, 340) hacen un anlisis exhaustivo del concepto de volumen. Pero al analizar otros libros de los ltimos aos del Primario y principios del Secundario se observa que los que se editaron en la ltima dcada dan una idea escueta de lo que es volumen para luego pasar a la medida del volumen y trabajar con el SMD. En cambio libros ms antiguos, de hace ms de dos dcadas, hacen un tratamiento ms extenso sobre el tema. Es importante que el docente tenga acceso a distintas bibliografas y seleccione una definicin sobre el tema a tratar, esto lo ayudar no slo a hacer un uso coherente del concepto sino tambin a buscar situaciones didcticas que permitan a sus alumnos formar el objeto mental volumen; cuando decimos objeto mental nos referimos al sentido que le da Freudenthal (1983) cuando dice que los objetos mentales son todas las representaciones , ideas, relaciones, significados que el concepto evoca en la mente de la persona. Trabajaremos con el concepto de volumen que toma Snchez Mrmol (1947), quin expresa que siendo los cuerpos porciones del espacio limitadas por superficies cerradas, intuitivamente concebimos que dos cuerpos, teniendo formas geomtricas distintas, pueden encerrar en su contorno porciones iguales en el espacio; tener igual extensin. A estos cuerpos se los denomina equivalentes . Luego dice que al comparar la extensin de las figuras en el espacio se pueden definir para ellas las operaciones de adicin y sustraccin as como establecer las relaciones de igualdad y desigualdad; resultando ser los slidos una nueva especie de magnitudes homogneas Luego define poliedros equicompuestos, equivalentes y volumen como: La medida de un cuerpo con relacin a la unidad elegida se denomina volumen del cuerpo. La unidad elegida es el volumen del cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Es evidente que: Dos cuerpos iguales o equicompuestos o equivalentes, tienen igual volumen. La equivalencia y la equicomposicin entre poliedros y la equivalencia entre algunos de stos con los cuerpos limitados por superficies curvas, permite la determinacin de los volmenes de aquellos slidos que son objeto de estudio en la geometra elemental (p.1078) Se considera esta definicin porque que es ms amplia, ya que primeramente hace referencia a cualquier slido para luego referirse a los cuerpos polidricos y diferencia extensin de volumen. Pero as como se utilizan indistintamente superficie o rea, en este trabajo se utilizarn los trminos extensin y volumen como sinnimos, sin embargo se destaca que como formadores se necesita ahondar en estas diferencias aunque no se expliciten en el desarrollo de las clases. Pgina 3 Algunas aportaciones para el tratamiento didctico del Volumen A continuacin se analizan algunos aspectos necesarios conocer, que tienen que ver con la enseanza y aprendizaje del concepto de volumen; teniendo en cuenta que estos conocimientos pueden dar lugar al diseo de situaciones didcticas que permitan a los alumnos ir construyendo el concepto de volumen. A: Volumen- Capacidad En el dictado de un curso para maestros en la UNL se realiz una encuesta a 24 docentes de distintas escuelas; el 54 % de los mismos trabaja en escuelas pblicas de la ciudad de Santa Fe, mientras que la mitad del resto en escuelas confesionales (parroquiales). El 46 % de los docentes son mayores de 40 aos y el mismo porcentaje dicta matemtica en cursos superiores 6, 7 y 8 ao ( lo que era, hasta el ao pasado, el tercer ciclo de la EGB). El 46 % de los encuestados haba dictado alguna vez el tema volumen y a pesar de ser un contenido curricular de los cursos citados anteriormente slo un docente (4%) manifest dictarlo en la actualidad, los dems haca que no desarrollaban dicho tema alrededor de 10 aos. Las respuestas a la pregunta Qu es el volumen para usted? fueron categorizadas en cuatro grupos: I. Los que consideran el volumen como capacidad: 50% II. Los que consideran el volumen como lugar que ocupa un objeto o cuerpo en el espacio: 29 % III. Los que consideran el volumen en su doble aspecto, como capacidad y lugar que ocupa un objeto en el espacio: 12% IV. Los que hacen referencia al volumen sin especificar el concepto correctamente: 9% ( es una cantidad ; una magnitud ; responde a la tridimensionalidad ; largo x ancho x alto ) Como se observa la mayora de los docentes consideran el volumen como capacidad. Lo que pasa es que comnmente ambos conceptos se expresan como sinnimos, sin embargo sabemos que ambos trminos conllevan significados diferentes. Volumen sugiere el espacio ocupado mientras que capacidad es el espacio vaco con posibilidad de ser llenado. Segn Kerslake (1976) (citado por Dickson, 1991) la palabra volumen puede ser utilizada con dos significados: Volumen interno de un hueco, que es sinnimo de capacidad Volumen externo como cantidad de espacio ocupado. Destaca que en la vida cotidiana hacemos mayor referencia al volumen interno/capacidad y al llenado total o parcial de cosas huecas y no al volumen como espacio ocupado. Adems escolarmente se acenta esta afirmacin ya que en las prcticas en el aula se limitan a llenar espacios huecos y hay una marcada carencia de actividades que apunten a la nocin de volumen como espacio ocupado. Kerslake considera que los alumnos encuentran ms sencilla la nocin de volumen interior (Cunto contiene esta caja?) que la de Pgina 4 volumen exterior (Cunto espacio ocupa este objeto?) y destaca que en general se presentan los mismos esquemas o dibujos cuando se estudian los dos modelos de volumen, por lo tanto los alumnos no tienen la oportunidad de distinguir claramente ambos tipos de volumen ni de considerar las diferentes consecuencias que comporta cada tipo de medida. Por otra parte es ms fcil determinar el volumen interno (capacidad) de un objeto irregular, una pava por ejemplo, llenndola con agua y luego verterla en un vaso graduado, que estimar el volumen de un objeto slido como puede ser una mesa o un armario. Freudenthal (1983) expresa que el volumen est menos expuesto a un empobrecimiento fenomenolgico que el concepto de rea, especialmente por su doble aspecto de capacidad y volumen, pero destaca que la relacin entre capacidad y volumen es complicada, sobre todo por el uso que se le da en la vida diaria; ya que es bastante frecuente utilizar medidas de volumen para medir capacidades o contenidos, por ejemplo: la cantidad de agua de una piscina, la cantidad de gas que puede almacenar un depsito o la capacidad de un motor. Piaget e Inhelder (citado por Dickson, 1991) estudiaron que la nocin de volumen ocupado se adquiere ms tarde que la de volumen interno (capacidad). Y que el volumen desplazado resulta ms difcil de adquirir, entendiendo como volumen desplazado la idea de que el volumen de un objeto es equivalente al volumen del lquido que desplaza al ser sumergido en un recipiente con agua. Para muchos alumnos el volumen desalojado parecera depender del peso del objeto sumergido, de la profundidad o tamao. De ah la importancia de proponer en el aula actividades que pongan de relieve estos aspectos. B: Estimacin - Medida exacta- Medida entera Hemos analizado que la mayora de la bibliografa escolar hace un tratamiento prioritario del SMD dando por supuesto que se sabe lo que es la magnitud que ha de ser medida, en este caso el volumen. Si bien el SMD ofrece una gran ventaja no hay que perder de vista que un uso prematuro de tal sistema lleve aparejada la incomprensin (Chamorro, 1994; p. 43). Es importante tener en cuenta los conceptos previos que el alumno necesita para el trabajo con el SMD, ya que el mismo funciona por agrupamientos de potencias de diez y es necesario que el alumno maneje el sistema de numeracin decimal entre otras cosas. Tampoco se observan propuestas de estimacin en la mediad del volumen, a pesar que en los diseos curriculares (Pcia de Santa Fe) incluyen recomendaciones sobre la necesidad de la misma, en general no suelen realizarse actividades de estimacin, tal vez porque no se tiene desarrollada esta habilidad, o porque no se dispone de orientaciones de cmo hacerlo, o por falta de tiempo. Para ahondar sobre este punto, en la encuesta citada anteriormente, otra de las preguntas se refera a la estimacin: Cunto estima que es el volumen de su cuerpo? Las respuestas fueron clasificadas en dos grupos: I) Los que responden con una medida. Pgina 5 Los que responden con una medida totalizan 42% y sus estimaciones varan desde 48 cm3 hasta 14,4 m3. Se observa que slo el 21 % del total de los encuestados hace una estimacin razonable. II) El 58 % fue incapaz de estimar una medida: El 25 % del total no responde. Mientras que el restante 33% responde errneamente: por ejemplo: Volumen de mi cuerpo es mi peso. Sera masa mi cuerpo no volumen, de acuerdo a sus medidas Esta experiencia fue realizada por Kerslake (1976) en distintos pases y la conclusin, al igual que la nuestra, fue que la mayora de los docentes fueron incapaces de dar una estimacin racional del volumen de sus propios cuerpos. Y esto en parte se debe a que la mayora de las experiencias cotidianas se refieren al volumen interno (capacidad) y no al volumen ocupado. La autora citada sostiene que los ejercicios escolares sobre volumen ocupado se refieren al clculo del volumen de cuerpos como el ortoedro o cono, sin importar lo que ocurre fuera del aula, los alumnos se preocupan por calcular volmenes mediante una frmula sin comprender el concepto y cmo se obtiene la misma. Hay una marcada inexperiencia en la nocin de volumen ocupado, en el sentido de la falta de relacin entre la situacin idealizada presentada en el aula y cualquier problema prctico de la vida cotidiana. Tanto la construccin del concepto de rea como de volumen son procesos complejos que no se adquieren inmediatamente sino en forma gradual. Se debe construir el concepto de unidad entre otras cosas y hacer uso de la iteracin de la misma para asignar un nmero al objeto que se mide. Y la dificultad radica fundamentalmente que ese nmero generalmente no es natural y se confunde la medida entera con la medida exacta. Hay que trabajar en la medicin con las aproximaciones y los encuadramientos para evitar de este modo que los alumnos crean que las medidas son enteras, adems de analizar que tanto el encuadramiento como la aproximacin a aplicar en una medida dependen del tipo de medida y del uso de la misma. Al respecto Chamorro (1994) dice Pocos adultos recordarn, a pesar de haberlo estudiado en la escuela, los litros que contiene un metro cbico... y lo que es peor, carecen de estrategias para resolver cuestiones reales de medicin y ningn sentido de la estimacin (p. 41) . En el aula por lo general los problemas se refieren a hallar el volumen de slidos regulares y cuando en la vida cotidiana se encuentra, por ejemplo, con que tiene que hallar el volumen de un objeto irregular, es raro que se disponga de medios para resolver el problema. Por lo tanto es importante que el alumno tenga oportunidades de ejercitar problemas prcticos de medida y de estimacin que encontrar en su entorno. Ya que la estimacin es imposible desarrollarla si no se practican medidas de objetos reales, de manera que el error cometido vaya disminuyendo con la prctica. Hay dos momentos en donde debemos trabajar la estimacin, uno es antes de haber utilizado el SIMELA mediante la comparacin directa de objetos y la otra , luego de haber introducido el Sistema Legal, sta es imprescindible para la vida diaria, ya que muchas veces hay que dar una medida sin utilizar instrumentos. Si se trabajan ambas cuestiones la representacin intuitiva de las unidades y la relacin de las unidades con lo real cobrar sentido para el alumno. Se considera que una estimacin es aceptable si el error cometido no supera el 10% de la medida del objeto en cuestin. Es aconsejable practicar la estimacin con cada una de las unidades de medidas que se vayan trabajando, de este modo no slo se ejercitar la estimacin sino el Pgina 6 aprendizaje de qu unidades usar en la medicin. Durante el proceso de construccin de las unidades es necesario la comprobacin con el instrumento de medida. Una primera aproximacin es dar los objetos y pedir que realicen la estimacin, una segunda es dar la medida y solicitar objetos que su medida se aproximen a la dada y por ltimo estimar medidas utilizando unidades que ya han sido interiorizadas. C: unidimensionalidad o tridimensionalidad Se puede interpretar el volumen como una magnitud fsica unidimensional, se lo puede medir, estimar, comparar, sumar, etc. directamente, el clculo consiste en el conteo de las unidades de volumen. O como una magnitud matemtica tridimensional calculable como: a) producto de tres longitudes b) producto de una superficie por una longitud (Maza, 2005) Segn Vergnaud (1983) (citado por del Olmo, 1993) interpretar el volumen como una magnitud tridimensional corresponde a tratarlo como un modelo multiplicativo, lo que puede acarrear ciertas dificultades al haber trabajado anteriormente modelos aditivos (permetro). Segn este autor deben trabajarse coordinadamente los aspectos unidimensional y tridimensional, para lo cual son tiles las actividades de rellenado. Aparentemente, la constitucin del volumen como magnitud tridimensional susceptible de ser hallado en funcin de otra magnitud (la longitud), sera obstaculizada por la representacin plana de los objetos tridimensionales y por el aprendizaje previo de los algoritmos de clculo (Maza, 2005; p. 90). Abordar estos temas, junto con la proporcionalidad hace que el volumen sea un concepto poderoso y a la vez difcil de construir por los alumnos. D: Visualizacin- Representaciones Los objetos de la geometra, en este caso los cuerpos pertenecen a un espacio terico conceptualizado y los dibujos que realizan nuestros alumnos son una representacin de esos objetos tericos. Muchas veces los alumnos al mirar o dibujar una figura no analizan su concepto ni sus propiedades sino que se dejan llevar por lo que ven. Fischbein (1993) se refiere a estas tensiones que se originan en el tratamiento de las figuras geomtricas, analizando que las mismas poseen simultneamente caractersticas conceptuales y figurales, lo que denomina conceptos figurales. Y los errores que a veces se dan en los razonamientos pueden tener su origen en la separacin entre el aspecto conceptual y figural de estos conceptos figurales. La tendencia a rechazar la definicin bajo la presin de limitaciones figurales, representa un obstculo principal en el razonamiento geomtrico (p.13).Desde el planteamiento de distintas actividades ulicas se debera trabajar este doble aspecto, ya que generalmente no es un proceso que se da naturalmente. Tampoco dominan la visualizacin espacial, que es el proceso que permite manipular mentalmente figuras rgidas; el mismo requiere dos tipos de habilidades, una relacionada con la interpretacin de la informacin figural, o sea poder leer, comprender e interpretar las representaciones visuales y la otra, relacionada con el procesamiento de imgenes mentales o sea la posibilidad de manipular, analizar y poder transformar los conceptos relacionados con ella en otra clase de informacin, a travs de representaciones visuales externas. Pgina 7 Estas habilidades se pueden desarrollar mediante la representacin secuenciada de objetos de tres dimensiones en dibujos de dos y la construccin de objetos tridimensionales a partir de su representacin bidimensional. En este punto cuando se trabaja la representacin de un objeto tridimensional en el plano el docente debe analizar cul utiliza el texto seleccionado o cul elegir l para representar las figuras en E3 (espacio de tres dimensiones), teniendo en cuenta que hay distintos tipos de representaciones, cada una de las cuales resalta un aspecto determinado del objeto. Entre las representaciones ms significativas, segn Alsina (1989) tenemos las proyecciones ortogonales ( donde un grupo de dibujos corresponde a cada una de las caras de un objeto cuando el mismo es observado perpendicularmente enfrente de cada cara); los dibujos isomtricos (se reproducen tres caras adyacentes del objeto de manera que los ngulos del punto de vista sean de 120); los dibujos en perspectiva (donde se da una imagen ms acertada del objeto) y los de cortes de nivel topogrfico (donde se dan diferentes cortes planos a alturas determinadas). En el caso que nos ocupa es conveniente utilizar varias a la vez, para desarrollar y completar la percepcin espacial, como as tambin proponer otras representaciones personales. Comentarios finales Para el estudio del volumen y su medida debe realizarse un estudio completo de la cualidad que permita aislarla, comparar objetos, usar diferentes unidades de medida, establecer la necesidad de una en particular, estimar la medida del volumen de un objeto,...o sea se deben poder proponer actividades variadas y con diferentes materiales que pongan de manifiesto los aspectos mas importantes del concepto de volumen y se eliminen aquellos que entorpecen la comprensin. Slo manipulando es posible distinguir las distintas propiedades de los objetos; es difcil comprender usando slo el sentido de la vista que un objeto pesa ms que otro, que un recipiente tiene ms o menos capacidad que otro sin recurrir al trasvasado de lquido. La actividad de empaquetar es importante para la construccin del concepto de volumen, tambin lo son las de llenar y vaciar recipientes con distintos materiales. Es necesario que el alumno realice este tipo de actividades y no se quede slo con la observacin de un dibujo o con su relato. Adems se debe permitir que descubra y aprenda de sus errores, fomentar las discusiones en grupo confrontando ideas, plantear situaciones problemticas relacionadas con la vida diaria, usar y desarrollar el sentido comn. Freudenthal (1983) considera que para lograr que los alumnos se formen el objeto mental volumen es necesario trabajar actividades como: Realizar transformaciones con slidos como modelar, verter, transformaciones de romper y rehacer, sumergir en lquidos, etc. A travs de las actividades diferenciar volumen y rea y volumen y capacidad. Realizar repartos equitativos de lquidos, masa, plastilina, etc. aprovechando la regularidad de ciertos cuerpos; estimando y midiendo. Comparar y reproducir slidos, ya sea comparando bases y alturas, o por estimacin, o por medicin, o usando transformaciones que conserven el volumen. Se consideran tambin situaciones en las que hay Pgina 8 que comparar dos volmenes pero tambin aquellas en las que se debe realizar una reproduccin de un volumen con una forma diferente. Medir, ya sea por exhauscin con una unidad y afinando la medicin con subunidades, o por acotacin entre un nivel superior e inferior, o por inmersin, o por medio de relaciones geomtricas generales midiendo las dimensiones lineales y aplicando frmulas para obtener la medida. Realizar construcciones: cuerpos de igual rea y distinto volumen, cuerpos de igual volumen y diferentes reas, etc. Y luego representarlos en la hoja utilizando diferentes sistemas de representacin. Lo importante es que haya variedad de actividades para que la comprensin del concepto de volumen sea la adecuada. 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Mara Elena Higa, Leonor Irene Bumalen, Gloria Elsa Tarifa Universidad Nacional de Salta Salta- Repblica Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Educativo: Medio Palabras Claves: errores, enseanza , aprendizaje , articulacin Resumen Los errores en trabajos y evaluaciones de matemtica de los alumnos aparecen frecuentemente como elemento estable en los procesos de enseanza y aprendizaje en todos los niveles del sistema educativo. Diversos anlisis estadsticos reflejan que los docentes, en general, conocen los errores tpicos en que incurren los alumnos en cada tema y nivel, esto no siempre es positivo porque se utilizan en el proceso de evaluacin como distractores. En el aula se observa la prctica de resaltar las acciones incorrectas de los alumnos, que segn sea el enfoque del docente puede llegar a convertirse en un obstculo psicolgico en el aprendizaje de los estudiantes. Por esto, el estudio de los errores en el aprendizaje de la matemtica debe ser una cuestin de permanente atencin en nuestro Sistema Educativo. Ellos pueden utilizarse para potenciar el crecimiento cognoscitivo de los agentes intervinientes en el proceso de enseanza-aprendizaje. Tambin los docentes pueden utilizar su conocimiento, como recurso didctico, para implementar estrategias de mediacin a fin de prevenirlos. Por ello el objetivo de este trabajo es determinar, a vista de los docentes, cules son los errores frecuentemente cometidos por los alumnos de enseanza media en matemtica y qu utilidad otorgan a los mismos en el proceso de enseanza y aprendizaje. Se dise un instrumento para recoger informacin respecto del objetivo planteado a travs de una investigacin cualitativa de carcter descriptivo, a fin de implementar acciones conjuntas entre docentes del nivel medio y universitario para contribuir a la articulacin entre ambos niveles. Introduccin Los errores en trabajos y evaluaciones de matemtica de los alumnos aparecen, frecuentemente, como elemento estable en los procesos de enseanza y aprendizaje en todos los niveles del sistema educativo. Diversos anlisis estadsticos reflejan que los docentes, en general, conocen los errores tpicos en que incurren los alumnos en cada tema y nivel, esto no siempre suele ser positivo porque se utilizan en el proceso de evaluacin como distractores. En el aula se observa la prctica de resaltar las acciones incorrectas de los alumnos, que segn sea el enfoque del docente puede llegar a convertirse en un obstculo psicolgico en el aprendizaje de los estudiantes. Actualmente investigadores en educacin matemtica consideran al error como parte del proceso de enseanza y aprendizaje y sugieren su diagnstico, su tratamiento y discusin con los alumnos de las concepciones errneas, para presentarles luego situaciones matemticas que les permitan reajustar sus ideas. Adems, los errores se pueden utilizar como motivacin y como punto de partida para exploraciones matemticas creativas de los alumnos, pueden proporcionar una comprensin ms completa y profunda del contenido matemtico. Por todo esto, el estudio de los errores en el aprendizaje de la matemtica debe ser una cuestin de permanente atencin en nuestro Sistema Educativo. Ellos pueden utilizarse para potenciar el crecimiento cognoscitivo de los agentes intervinientes en el proceso de enseanza- aprendizaje. Tambin los docentes Pgina 10 puedan utilizar su conocimiento, como recurso didctico, para implementar estrategias de mediacin a fin de prevenirlos. Frecuentemente docentes universitarios, principalmente los de primer ao, alegan deficiente formacin matemtica de los alumnos promovidos del nivel medio manifestada a travs de los errores observados, es por ello que bregan, desde hace tiempo, por una articulacin real entre ambos niveles planteando diferentes acciones tendientes a ella. Este trabajo surge de una inquietud de docentes de primer ao de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de Salta, por averiguar, desde el punto de vista de los docentes del nivel medio, cules son los errores ms comunes y sistemticos que cometen sus alumnos en matemtica, y adems la importancia y utilidad que los docentes le otorgan a dichos errores. Objetivo general Determinar, a vista de los docentes del nivel medio, cules son los errores frecuentemente cometidos por sus alumnos en matemtica y qu utilidad le otorgan a los mismos en el proceso de enseanza y aprendizaje. Marco terico En este trabajo consideramos la concepcin de error dada por Godino, Batanero y Font : Hablamos de error cuando el alumno realiza una prctica (accin, argumentacin, etc.) que no es vlida desde el punto de vista de la institucin matemtica escolar. La mayor parte de los estudios sobre errores, realizados con anterioridad a 1960, han consistido en recuentos del nmero de soluciones incorrectas a una variedad de problemas y un anlisis de los tipos de errores detectados, para proceder luego, a una clasificacin que permita determinar cmo surgen los errores a partir de la solucin correcta, en la que se hacen inferencias sobre qu factores pueden haber conducido al error, argumentaciones de Rico (1995) Errores en el aprendizaje de la Matemtica, citado por Pochulu (2005)Anlisis y categorizacin de errores en el aprendizaje de la matemtica en alumnos que ingresan a la universidad. A partir de la dcada del sesenta y en los aos posteriores, las aplicaciones e implicaciones al campo de la educacin comenzaron a proyectarse en forma notable y el abordaje del error tuvo una visin ms constructivista, en tanto se estimul su ocurrencia puesto que brindaba posibilidades para el sujeto constructor de conocimiento. Hoy da existe preocupacin en cuanto a los errores que cometen los alumnos en su trabajo de matemtica, puesto que el mismo se ha caracterizado como un aspecto negativo en el proceso de aprendizaje, porque representa un fracaso. Algunos autores lo han denominado obstculo, ahora bien, lo rescatable es considerar el error como fuente de aprendizaje significativo para que se logren nuevos conocimientos y surjan nuevas ideas. Por ello, es importante que tanto el docente como el alumno mismo consideren el error como una herramienta para el proceso de enseanza-aprendizaje. Esto ayuda al alumno a tomar conciencia de sus propios errores de tal manera, que aprenda de ellos. Pgina 11 Conociendo el error cometido el estudiante toma conciencia que, ante el aprendizaje, no puede ni debe adquirir actitudes superficiales, y por lo tanto, ofrece una coyuntura para la autocrtica y para inferir la necesidad de aprender de los errores y fracasos. En este sentido, los errores pueden constituir un elemento importante en el progreso del conocimiento, pues el alumno no slo se puede interesar en descubrir dnde est el error? sino tambin puede formular preguntas, comparar resultados y procedimientos hasta lograr identificar sus propios errores, a travs de sus experiencias y de la interrelacin con los contenidos matemticos. Asociado a esto, es importante resaltar que existen mltiples factores que conllevan a un error as como tambin existen diversos tipos de errores que interfieren en la adquisicin del conocimiento matemtico; algunos de estos factores son la motivacin y el rendimiento acadmico, y en cuanto a los tipos de errores, algunos autores los clasifican en: los errores de procedimientos, los errores de operacin, errores sistemticos, errores de conceptos, entre otros. Metodologa de la investigacin Las investigaciones en anlisis de errores pueden ser agrupadas en torno a dos objetivos principales: la superacin del error a travs de su eliminacin, o a travs de la exploracin de sus potencialidades. En la primera categora se encuentran las investigaciones realizadas por la influencia del conductismo y del procesamiento de la informacin. En la segunda categora, aparecen los trabajos ms recientes de carcter constructivista. Cabe aclarar que esta divisin no es rgida y pueden ser encontrados los dos objetivos en algunos trabajos. La investigacin planteada es de carcter cualitativo y descriptivo, ya que buscamos analizar y caracterizar la importancia y utilizacin que los docentes del nivel medio otorgan a los errores cometidos por sus alumnos. Esto permitir implementar acciones conjuntas entre docentes del nivel medio y universitario para contribuir a la articulacin entre ambos niveles. Para ello se utiliz un instrumento, modificado convenientemente, para recoger informacin respecto del objetivo planteado, tomado de un Trabajo de Graduacin presentado a la Facultad de Ciencia, Chile, en cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar al grado de Licenciado en Educacin Matemtica y Computacin, cuya autora es Celeste Priscilla Reyes Pastrin. (ver ANEXO I ). El mismo fue distribuido entre 25 docentes del nivel medio, entre establecimientos pblicos y privados. Anlisis de los resultados De los 25 cuestionarios distribuidos, el anlisis se realiza sobre los 18 respondidos; entre los que se cuentan 12 docentes que se desempean en Establecimientos Pblicos (7 de los mismos trabajan en Educacin de adultos) y 6 en Establecimientos Privados. Las opiniones fueron proporcionadas por 6 docentes con una experiencia laboral entre 1 y 10 aos; 8 , entre 10 y 20 aos y 4 con ms de 20 aos. 1.- Qu grado de importancia le otorga Ud. a los errores que cometen los alumnos en matemtica y en que se basa esa apreciacin? (marque con una X la alternativa que mejor representa su opinin). Pgina 12 Grado de importancia: Muy alto Alto Ms o menos Bajo 40 % 30% 20% 10% Opciones frecuencia Un error trae otro error 2 Un error imposibilita resolver problemas 4 Los errores desmotivan a los alumnos 4 Los errores se fijan con la repeticin 2 Los errores nunca se olvidan 0 Los errores sirven para aprender de ellos 8 Los errores destruyen lo aprendido 2 Los errores provocan decisiones erradas 3 Otra causa (indquela a continuacin) 0 Se puede apreciar que los profesores encuestados le atribuyen una muy alta importancia y una alta importancia a los errores. Entre ambas suman 70 % de preferencia lo que indica que los docentes de la muestra concuerdan que los errores son importantes en la adquisicin del conocimiento matemtico. Para la justificacin de la importancia de los errores es sealada con ms alto porcentaje ( 32 %) los errores sirven para aprender de ellos siguindole un error imposibilita resolver problemas y los errores desmotivan a los alumnos, con un 16 % para cada una. 2.- A continuacin se presenta una lista de sectores donde se producen errores matemticos. Marque con X la frecuencia con que se producen en cada sector. Frecuencia Sectores Alta Media alta Media baja Baja Clculo de fracciones 13 (72%) 3 (17%) 2 (11%) 0 (0%) Resolucin de ecuaciones de primer grado 4 (22%) 6 (33%) 5 (28%) 3 (17%) Simplificacin de expresiones algebraicas 10 (56%) 4 (22%) 4 (22%) 0 (0%) Resolucin de ecuaciones cuadrticas 3 (17%) 4 (22%) 5 (28%) 6 (33%) Porcentajes y proporciones 4 (22%) 7 (39%) 3 (17%) 4 (22%) Transformacin de decimales en fracciones y viceversa 6 (33%) 5 (28%) 4 (22%) 3 (17%) Determinacin de medidas de ngulos en tringulos 8 (44%) 7 (39%) 3 (17%) 0 (0%) Factorizacin de expresiones algebraicas 14 (78%) 2 (11%) 1 (5,5%) 1 (5,5%) Grficos estadsticos 5 (28%) 6 (33%) 3 (17%) 4 (22%) Operatoria con nmeros irracionales 16 (89%) 1 (5,5%) 1 (5,5%) 0 (0%) Grfico de funciones 9 ( 50%) 9 (50%) 0 (0%) 0 (0%) Proporciones en tringulos semejantes 12 ( 67%) 4 (22%) 2 (11%) 0 (0%) Operatoria con nmeros enteros 7 (39%) 6 ( 33%) 3 (17%) 2 (11%) Agregue otras de acuerdo a su experiencia Aqu se observa que los sectores, segn opinin de los docentes, donde se cometen ms errores son: operatoria con nmeros irracionales, factorizacin de expresiones algebraicas, clculo con fracciones, proporciones en tringulos semejantes y simplificacin de expresiones algebraicas. Le siguen con 50% o menos: grfico de funciones, determinacin de medidas de ngulos en tringulos y operatoria con nmeros enteros. En cuanto al tem agregue otras de acuerdo a su experiencia, el 22% considera que hay una frecuencia alta de errores en el lenguaje algebraico y un 33% lo considera en interpretacin de problemas. Las reas de matemtica donde ms se cometen errores son en Aritmtica y Algebra y en menor grado en Geometra. 3.- Hay profesores que clasifican los errores matemticos en cinco categoras. Cul es el grado de importancia que Ud. le atribuye a cada una? Pgina 13 Grado de importancia Categoras Alta Media alta Media baja Baja Errores conceptuales 12 (67%) 2 (11%) 2 (11%) 2 (11%) Errores de procedimientos 2 (11%) 7 (39%) 7 (39%) 2 (11%) Errores de clculos con nmeros 5 (28%) 6 (33%) 5 (28%) 2 (11%) Errores en la manipulacin algebraica 11 (61%) 3 (17%) 2 (11%) 2 (11%) Errores geomtricos 2 (11%) 10 (56%) 4 (22%) 2 (11%) Los porcentajes ms altos se presentan en las categoras de errores conceptuales y errores en la manipulacin algebraica. O sea que stas son las categoras a las que los docentes asignan mayor importancia. 4.- Describa el/los error/es ms frecuente/s que recuerda haber detectado en alguno de sus alumnos, indicando adems el curso: En este tem se presentan algunos los errores presentados por los docentes, los que aparecieron con ms frecuencia: Confunden algoritmos de adicin y multiplicacin de fracciones; curso: 9 de EGB3, ejemplos: 745 23 15321=++= +2023208 155 * 42 * 4 3 * 552*43=+=+= b) a) Errores de manipulacin algebraica, curso: 1 de Polimodal, ejemplo: 2 a +3 a 2 =5 a 3 100034545 3 , 0 = Transformacin de decimales a fraccin, curso: 1 de Polimodal , ejemplo : Aplican la propiedad distributiva de la raz respecto de la suma algebraica, curso: 2 de Polimodal, ejemplo: 7 4 3 16 9 16 9 = + = + = + Extraen la raz de un nmero, pero mantienen el smbolo de raz en el resultado, curso: 2 de Polimodal, ejemplo: 5 25= . Pgina 14 Estos errores presentados por los docentes, contribuyen a confirmar lo encontrado en el tem 2 de este cuestionario ya que los mismos le asignaban alta frecuencia a los sectores de operatoria con nmeros irracionales y clculo con fracciones. 5.- A qu atribuye Ud. la presencia de errores matemticos en los estudiantes? (marque con una X LAS TRES MAS IMPORTANTES a su juicio) Falta de hbitos de estudio 25 % Metodologas de aula poco participativas 15 % Abusos en el lenguaje matemtico del profesor 10 % Insuficiente trabajo destinado a resolver problemas 20 % Deficiente situacin de entrada de los alumnos 20 % Poco uso de textos de matemtica 10% (agregue las que Usted considere) Se evidencia que los docentes consideran que las causas de errores es casi en un 50 % responsabilidad del alumno, ya que las menos sealadas fueron aquellas controladas por los docentes como: metodologas poco participativas y el abuso en el lenguaje matemtico del profesor. Respecto del poco uso de textos, los docentes de Educacin para adultos manifiestan el mayor porcentaje causal. Esto indica que sera necesario una mayor reflexin por parte de los docentes de esta situacin, ya que no slo acta en este proceso (enseanza y aprendizaje) el alumno y el docente sino que hay muchos otros factores que pueden influir en l tales como: el currculo, el contexto, etc. Conclusiones Las opiniones de los docentes pueden resumirse en que atribuyen importancia en alto grado a los errores cometidos por los alumnos. Basan su justificacin expresando que los errores imposibilitan la resolucin de problemas y consideran que se presentan con ms frecuencia en las reas de aritmtica y lgebra, lo que se confirma con los ejemplos y descripcin por ellos presentados. Los errores conceptuales y de manipulacin algebraica seran las categoras con ms frecuencia declaradas y otorgan tales atribuciones a la falta de hbitos de estudio y a la deficiente formacin previa de los alumnos. Cabe aclarar que estos resultados no son concluyentes por el tamao de la muestra, slo proporcionan un estudio de casos para establecer algn comportamiento respecto del tema tratado. En la actualidad, el error es considerado una fuente valiosa de informacin que puede servir para reordenar el proceso de enseanza y aprendizaje. Tambin puede utilizarse como motivador para que el alumno pueda argumentar, discutir y rever sus conocimientos logrando, de esa forma, mejorar la comprensin y el razonamiento lgico matemtico. Sera conveniente que los docentes tengamos un mayor acercamiento a los errores desarrollando estrategias que permitan prevenirlos, como por ejemplo: inducir a que los alumnos descubran sus errores, identifiquen Pgina 15 las hiptesis falsas que los produjeron, comparen proposiciones falsas con verdaderas, generen discusiones y debates sobre los mismos, etc. Las estrategias deben plantearse en base a lo que los alumnos no saben y sobre todo en por qu no lo saben. Referencias bibliogrficas Alsina, C y Otros ( 1996) . Ensear matemticas. Barcelona, Espaa: Gra Godino, J ; Batanero, C y Font, V ( 2003). Fundamentos de la enseanza y aprendizaje de la matemtica para maestros. Granada, Espaa: Universidad de Granada. Mancera, E. (1998 ). Errar es un placer. Mxico: Grupo Ed. Iberoamericano Pochulu, M. (2005). Anlisis y categorizacin de errores en el aprendizaje de la matemtica en alumnos que ingresan a la universidad. OEI-Revista Iberoamericana de Educacin, 35, 4 Reyes Pastrian; C. ( 2006), Determinacin de errores frecuentes en el estudio de la matemtica en la enseanza media. [en lnea] abajo de Graduacin. Chile. Recuperado el 17 de marzo de 2007., de http:// lemc.usach.cl/trabajos_gr.html Rico, L. (1993). Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemticas. Mxico: Grupo Ed. Iberoamericano. ANEXO I CUESTIONARIO Institucin donde da clases actualmente:. Experiencia docente (en aos):. E-mail: Institucin en que se form: 1.- Qu grado de importancia le otorga Ud. a los errores que cometen los alumnos en matemtica y en que se basa esa apreciacin? (marque con una X la alternativa que mejor representa su opinin) Grado de importancia Pgina 16 : Muy alto Alto Ms o menos Bajo Justificacin Un error trae otro error Un error imposibilita resolver problemas Los errores desmotivan a los alumnos Los errores se fijan con la repeticin Los errores nunca se olvidan Los errores sirven para aprender de ellos Los errores destruyen lo aprendido Los errores provocan decisiones erradas Otra causa (indquela a continuacin) .. ... 2.- A continuacin se presenta una lista de sectores donde se producen errores matemticos. Marque con X la frecuencia con que se producen en cada sector. Frecuencia Sectores Alta Media alta Media baja Baja Clculo de fracciones Resolucin de ecuaciones de primer grado Simplificacin de expresiones algebraicas Resolucin de ecuaciones cuadrticas Porcentajes y proporciones Transformacin de decimales en fracciones y viceversa Determinacin de medidas de ngulos en tringulos Factorizacin de expresiones algebraicas Grficos estadsticos Operatoria con nmeros irracionales Grfico de funciones Proporciones en tringulos semejantes Operatoria con nmeros enteros Agregue otras de acuerdo a su experiencia Pgina 17 3.- Hay profesores que clasifican los errores matemticos en cinco categoras. Cul es el grado de importancia que Ud. le atribuye a cada una? Grado de importancia Categoras Alta Media alta Media baja Baja Errores conceptuales Errores de procedimientos Errores de clculos con nmeros Errores en la manipulacin algebraica Errores geomtricos 4.- Describa el/los error/es ms frecuente/s que recuerda haber detectado en alguno de sus alumnos, indicando adems el curso: 5.- A qu atribuye Ud. la presencia de errores matemticos en los estudiantes? (marque con una X LAS TRES MAS IMPORTANTES a su juicio) Falta de hbitos de estudio Metodologas de aula poco participativas Abusos en el lenguaje matemtico del profesor Insuficiente trabajo destinado a resolver problemas Deficiente situacin de entrada de los alumnos Poco uso de textos de matemtica (agregue las que Usted considere) Pgina 18 LA SEMEJANZA, UNA PROPUESTA DE UNIDAD DIDCTICA Blasn, Rosa- J urez, Patricia - Villamonte, Patricia - Rosa Salamone Institucin: Facultad de Ciencia y Tecnologa. Universidad Autnoma de Entre Ros- Argentina. Direccin electrnica: [email protected] [email protected] [email protected] Educativo: Medio Palabras claves: semejanza, unidad didctica, problemas Resumen Presentamos una unidad didctica que aborda la semejanza y trata de introducirla a travs de una metodologa experimental y activa, que permita desarrollar en el alumno la intuicin creadora, fomentar el espritu crtico, actitudes positivas hacia la geometra, gusto por la belleza de las formas y por resolver problemas. La utilizacin de instrumentos de medida variados, la resolucin de problemas geomtricos atractivos, la investigacin histrica har que este nuevo concepto geomtrico pueda ser vivido para luego pasar a la formalizacin. La semejanza constituye un nexo de unin con el resto de los contenidos matemticos y es posible considerar diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolucin requiera su uso dentro de la matemtica y fuera de ella. Las actividades sern trabajadas con una metodologa de exploracin, investigacin, descubrimiento y construccin sobre los objetos que rodean y viven en el mundo del alumno favoreciendo el cultivo de la intuicin geomtrica que tanto ha hecho evolucionar esta ciencia. Se plantearn segn las fases Rico (1999): motivacin y exploracin inicial, desarrollo de nuevas ideas y consolidacin y ajuste de ritmos. Introduccin La geometra tuvo su origen en las actividades prcticas del hombre y en los problemas de la vida cotidiana y su transformacin en teora matemtica requiri un inmenso perodo de tiempo. Las propiedades de los conceptos geomtricos, al igual que los conceptos mismos, han sido abstrados del mundo que nos rodea. La descomposicin en figuras simples es la base de la formulacin de expresiones para el clculo de reas y de volmenes. Esto nos sugiere que el reconocimiento de figuras iguales y semejantes es un recurso importante para ciertos conceptos de medidas. Esta unidad didctica aborda la semejanza y trata de introducirla a travs de una metodologa experimental y activa, que permita desarrollar la intuicin creadora, fomentar el espritu crtico, actitudes positivas hacia la geometra, gusto por la belleza de las formas y por resolver problemas. La utilizacin de instrumentos de medida variados, la resolucin de problemas geomtricos atractivos, la investigacin histrica har que todo nuevo concepto geomtrico pueda ser vivido para luego pasar a la formalizacin. La semejanza constituye un nexo de unin con el resto de los contenidos matemticos y es posible considerar diferentes contextos que nos permitan plantear problemas en los que la resolucin requiera su uso dentro de la matemtica y fuera de ella. Pgina 19 Las actividades sern trabajadas con una metodologa de exploracin, investigacin, descubrimiento y construccin sobre los objetos que rodean y viven en el mundo del alumno favoreciendo el cultivo de la intuicin geomtrica que tanto ha hecho evolucionar esta ciencia. Los momentos de discusin de las actividades propuestas permiten dar sentido y generar avances en la conceptualizacin de los conocimientos que los alumnos utilizan en la resolucin de los problemas. El valor de los mismos reside en la potencialidad que tienen para generar confrontaciones, reflexiones y argumentaciones por parte de los alumnos que les exige buscar razones y argumentar intentando defender la verdad o falsedad de los enunciados. Permiten plantear nuevos problemas obligndolos a reflexionar sobre lo realizado, a explicarlo, a justificarlo, abriendo un espacio para que progresen en la comprensin de los conocimientos. CMO SE PLANTEAN LAS ACTIVIDADES? Las actividades se plantearn segn las siguientes fases Rico (1999): Motivacin y exploracin inicial: se recuerdan algunos conceptos y se explora con ellos para valorar el conocimiento previo, estimular la motivacin y adiestrarse en la manipulacin de algunas ideas antes de conceptualizarlas (Rico, pg. 221,1999). Fase de desarrollo de nuevas ideas: se conceptualizan las nociones fundamentales de la unidad. Fase de consolidacin y ajuste de ritmo: donde se planifican actividades para consolidar conocimientos ms avanzados o conceptos bsicos de acuerdo al ritmo de los alumnos. Vamos a proponer tareas grupales y/o individuales. Teniendo en cuenta que debern exponer y defender ante los otros grupos su respuesta, tendrn que elaborar una justificacin del trabajo realizado y presentar por escrito las conclusiones a las que han arribado. Para que la puesta en comn no sea aburrida se seleccionar, con cierta intencionalidad, algunos grupos para exponer los resultados, organizando un debate sobre ellos. Se realiza un balance final para institucionalizar los conceptos. Conocimientos previos Los contenidos que creemos deben haber sido trabajado en forma previa son: magnitudes de longitud, rea, volumen y amplitud de ngulos. Cuantificacin, comparacin y transmisin de datos acerca de las magnitudes. Figuras planas y cuerpos geomtricos, proporcionalidad numrica y geomtrica. Teorema de Thales. Contenidos de la unidad didctica Semejanza de figuras. Criterios de semejanza de tringulos. Relacin entre el rea y el volumen de figuras semejantes. Representaciones manejables de la realidad: planos, mapas y maquetas. Escala. Utilizacin de smbolos y del vocabulario geomtrico para describir con precisin situaciones, formas, propiedades y configuraciones geomtricas. Utilizacin diestra de instrumentos de medida y dibujo habituales. Construccin y utilizacin de modelos geomtricos bidimensionales y tridimensionales. Bsqueda de propiedades, regularidades y relaciones en cuerpos, figuras y configuraciones geomtricas. Valoracin de la semejanza para resolver diferentes situaciones. Inters por investigar sobre la historia de la geometra y sus problemas Objetivos de la unidad didctica - Abordar las situaciones problemticas haciendo uso de todas las tcnicas a su alcance: medir, construir, dibujar, etc. para adquirir los conceptos de la semejanza en figuras planas como espaciales, obteniendo relaciones y propiedades fundamentales. - Interrelacionar los conocimientos de semejanza con los distintos campos del saber y la vida cotidiana. Descripcin de las actividades Actividad 1: Desarrollo de nuevas ideas Primera Etapa Consigna: formen grupos de un mximo de cuatro integrantes y construyan las siguientes figuras: rectngulos de 3x4cm (Fig. A); 2,8 x2,1cm (Fig. B); 5 x 4cm (Fig. C) y 6 x 4,5cm (Fig. D). De la figura A,hay alguna que sea ampliacin o reduccin? Si hay alguna figura que cumpla este requisito calculen en que porcentaje se ha ampliado o reducido la figura. J ustifiquen. Segunda Etapa Consigna: En la anterior etapa hemos llegado a la definicin: Dos figuras son semejantes si son ampliacin o reduccin de otra.Para poder identificarlas con facilidad y conocer sus relaciones, construyan un cuadriltero semejante al dado y anoten todos los pasos que han seguido para su construccin. Intenciones: Discutir cuales deben ser las condiciones que debe cumplir una figura para que sea ampliacin o reduccin de otra en la primera fase y llegar en un segunda fase a la definicin de figuras semejantes. Comentario: La primera parte est planteada para que los alumnos descubran las relaciones entre los lados en las figuras semejantes e identifiquen figuras semejantes como aquellas que tienen la misma forma aunque puedan ser de distinto tamao y que cuando decimos de la misma forma nos referimos a exactamente de la misma forma no de un grupo de figuras de parecida forma que con en el lenguaje vulgar se suele identificar a la semejanza. La segunda parte apunta a clarificar que esa igualdad de forma implica la igualdad de ngulos homlogos simultneamente con la proporcionalidad de lados homlogos. Pgina 20 Actividad 2: Desarrollo de nuevas ideas Consigna: Comparen las siguientes figuras, cules son semejantes? En el caso que las figuras sean semejantes calculen la razn de semejanza. Intenciones: Detectar en las figuras dadas cules son semejantes, encontrar la razn de semejanza y ampliar el concepto de semejanza al espacio. Comentario: La simple observacin de las figuras no es suficiente, por lo tanto debern recurrir a algn instrumento de medida. Para identificar poliedros semejantes tendrn que tener en cuenta que las caras correspondientes sean semejantes, las longitudes de las aristas correspondientes proporcionales y se conserven los ngulos. Tambin deben concluir que la posicin espacial no modifica su semejanza. Actividad 3: Consolidacin y ajuste de ritmos Consigna: Son semejantes todos los tringulos? y los cuadrados? y los rectngulos?todos los dems polgonos regulares?y los no regulares? todos los cubos son semejantes?.Y los poliedros, son todos semejantes?, y las esferas?, son todas semejantes? J ustifiquen las respuestas. Intenciones: Generalizar el concepto de semejanza a polgonos y poliedros regulares e identificar que si las figuras no son regulares la generalizacin no es vlida. Comentario: Tendrn que recurrir a investigar en los libros de texto o bien construir algunas figuras para poder responder a las preguntas de la actividad. Pgina 21 Actividad 4: Consolidacin y ajuste de ritmos Consigna: Completen las ampliaciones que se han hecho de estos dibujos a los que les faltan algunos trazos. Intenciones: Completar dibujos semejantes a partir de uno dado. Comentario: Debern tomar medidas para calcular la razn de semejanza y as obtener la ampliacin o reduccin de la figura. Actividad 5: Consolidacin y ajuste de ritmos Consigna: Consigan una fotografa o una postal de un edificio de Paran. Seran capaces, utilizando slo la fotografa, de calcular las medidas reales del edificio? Intenciones: Reconocer si es posible aplicar el concepto de semejanza en la fotografa para hallar las medidas reales de lo registrado en la foto. Comentario: Las respuestas podrn ser mltiples. Si en la fotografa no aparece algn objeto o persona cuyas dimensiones sean conocidas, ser imposible que logren responder a la actividad. En ese caso podrn ir hasta el lugar y medir un objeto que aparezca en la misma. La seleccin de la foto es una variable didctica importante porque la semejanza no se conserva si la foto no ha sido tomada perpendicularmente. Actividad 6: Desarrollo de nuevas ideas Consigna: Se dividir la clase en seis grupos y cada grupo realizar las siguientes actividades: Grupo 1: Construyan un tringulo que tenga un ngulo de 35 y otro ngulo de 70,Grupo 2:dem al grupo1,Grupo 3: Construyan un tringulo de lados 2, 3 y 4 cm., Grupo 4: Construyan un tringulo de lados 4, 6 y 8 cm., Grupo 5: Construyan un tringulo de lados 2,5 y 4 cm con el ngulo incluido de 50,Grupo 6: Construyan un tringulo de lados 5 y 8 cm. con el ngulo incluido de 50. Luego de realizar las construcciones se intercambiarn los trabajos el grupo 1 con el 2, el 3 con el 4 y el 5 con el 6. Cada grupo comparar su tringulo con el tringulo del otro grupo y responder a las siguientes preguntas: los tringulos que han comparado son semejantes?, cul es la razn de semejanza?, podran decir cules son las condiciones para que dos tringulos sean semejantes? Justifiquen. Intenciones: Lograr que los alumnos reconozcan los criterios de semejanza de tringulos. Pgina 22 Comentario: Los tringulos obtenidos en cada par de grupos son semejantes, esto les permitir concluir que no es necesario el conocimiento de todos los elementos para poder construir tringulos semejantes. Actividad 7: Consolidacin y ajuste de ritmos Consigna: Es posible medir la altura aproximada de un edificio solo con una escuadra. Observen la figura que explica cmo calcular la altura del mstil de tu colegio. Qu medidas tendran que tomar para calcular la altura del mstil? Calculen utilizando este procedimiento la altura aproximada del mstil de tu escuela o un edificio cercano. Intenciones: Modelizar geomtricamente identificando el modelo de semejanza en una situacin real. Comentario: Deben reconocer en el problema las medidas que son necesarias tomar y la unidad de medida (convencional o no) ms conveniente para el clculo de distancias. (metros, centmetros, pasos, etc.) Actividad 8: Desarrollo de nuevas ideas Consigna: La duplicacin del cubo. Cuentan los historiadores que a la muerte de Pericles, se produjo tal revuelo en Atenas que llev al Orculo de Apolo en Delos a sugerir la necesidad de duplicar el volumen del altar cbico dedicado a Apolo. Aunque los atenienses duplicaron diligentemente todas las dimensiones del altar, no cumplieron con el deseo expresado. Un chico para justificar por qu no lograron construir el altar construy un cubo de 5 cm. de arista y otro cuyas aristas medan el triple del anterior. Hagan lo mismo y respondan: cul es la razn de semejanza?, cuntas veces entra el cubo chico en el grande? porqu? Calculen la superficie y el volumen de cada uno de los cubos. Cul es la relacin que pueden encontrar entre la superficie y los volmenes del pequeo y del grande? Se animan a explicar porqu no se pudo construir el altar con esas dimensiones? Intenciones: Encontrar la relacin existente entre la razn lineal, la de rea y la del volumen. Mostrar problemas histricos irresolubles que ayuden a ver una geometra no acabada. Comentario: Construir un modelo que les permita mediante mediciones y clculos reconocer las relaciones entre reas y volmenes de figuras semejantes. Mencionar ancdotas del pasado que acerquen la geometra al alumno, observando las dificultades a las cuales se enfrentaron los antiguos griegos. Actividad 9: Motivacin y exploracin Consigna: Investiguen sobre el tema: Nmero de oro y Rectngulo ureo. Incluyan el momento histrico, dnde aparecen y construyan el rectngulo ureo con regla y comps. Pgina 23 Pgina 24 Intenciones: Pretendemos que logren situarse en el momento histrico y vean las aplicaciones del nmero de oro en otras reas. Comentario: En el debate se orientar la discusin hacia la relacin nmero de oro y semejanza. La construccin del rectngulo ureo fue pensada para trabajar las dificultades que tienen en seguir instrucciones en una construccin. Actividad 10: Desarrollo de nuevas ideas. Consigna: Para dibujar objetos muy grandes o muy pequeos tenemos que aumentar o reducir sus medidas, hacemos un dibujo en escala. Toda escala es una razn entre dos medidas, el numerador indica la longitud del dibujo y el denominador la longitud correspondiente del objeto que est representando. La escala es adimensional ya que las medidas se toman en la misma unidad. En el mapa de la provincia de Entre Ros est indicada la escala y la fotocopia del mapa est reducida a la mitad. Marquen en el mapa dos ciudades que estn aproximadamente a 100 Km. Respondan y justifiquen las siguientes cuestiones: en la fotocopia, a cuntos cm estn las ciudades que seleccionaron?, en el mapa a cuntos cm. estn una de la otra?, cul es la escala que corresponde a la fotocopia?, si el mapa de la provincia se ampliara de modo tal que su rea fuese el doble cul sera la distancia entre las ciudades? Intenciones: Reconocer las escalas como una aplicacin de la semejanza a la topografa. Comentario: Es importante que identifiquen e interpreten la escala que figura en el mapa y las unidades de longitud usadas para que la misma resulte adimensional. Actividad 11: Consolidacin y ajustes de ritmos1Consigna: Realmente nuestras proporciones son armnicas? Es posible evaluar la belleza fsica de una persona por medio de una frmula matemtica? Lo que es bello para una persona puede no serlo para otra. Pero es posible mostrar la armona de proporciones, realizando comparaciones. Por ejemplo, si tomamos la medida de una persona (altura) y la dividimos por la medida que va desde el ombligo hasta el piso, veremos que la razn es la misma que la de la medida desde el cuello hasta la frente en relacin a los ojos hasta el cuello. Lo mismo ocurre con otras partes del cuerpo. Te proponemos que trabajes con un compaero y tomes las medidas, hallando la razn entre ellas y comparndolas. Intenciones: Reconocer que el coeficiente de proporcionalidad que rige la belleza es el mismo para la mayora de las personas y ver como aparece el nmero de oro en el concepto de armona fsica que tenan los griegos. Comentario: Los alumnos debern tomar con precisin las medidas Organizadores considerados en las actividades Pgina 25 Los organizadores son aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseo, desarrollo y evaluacin de unidades didcticas. (Rico, L. 1999). En la planificacin de la Unidad Didctica se tuvieron en cuenta los siguientes organizadores: 1) La dificultad asociada a los procesos de enseanza de la geometra y actitudes afectivas y emocionales nos llev a mostrar a la geometra en un contexto cercano al alumno, proponindonos el tratamiento de la semejanza en distintas situaciones, que le ayuden a ver una geometra no inmutable y relacionada con su realidad. Los alumnos tienden a confiar en la intuicin y a generalizar, es por eso que en la actividad 2 se incluyen figuras espaciales para que analicen que es lo que se debe tener en cuenta para que se conserve la semejanza en el espacio al igual que en la actividad 8 donde presumen que la razn lineal se mantiene en reas y volmenes. 2) Representaciones y Modelos: la razn de semejanza la pueden ver de distintas formas, como una fraccin, como un nmero decimal o como un porcentaje, cuestin que queda de manifiesto en las actividades 1 y 2. En relacin a la simbologa, en la etapa de institucionalizacin de la actividad 1 aparece la notacin simblica que se utilizar para expresar que las figuras son semejantes y en la actividad del nmero de oro aparece el smbolo usado para expresar un nmero irracional particular. Se ha favorecido la interiorizacin de representaciones visuales asociadas a los conceptos de ampliacin o reduccin y de semejanza en las actividades 1, 2, 3 y 4. Dos casos significativos de modelizacin de fenmenos reales son las actividades de proporcin armnica y de medicin del mstil de la escuela. 3) Materiales y recursos: en varias actividades se utilizan recursos como la escuadra como elemento de medicin, los libros de texto, internet, las fotos, los mapas y como materiales didcticos las guas con actividades. 4) Se ha usado la informacin histrica en actividades como el problema de la actividad de la duplicacin del cubo, el nmero de oro y la construccin del rectngulo ureo. 5) Anlisis fenomenolgico: la proporcin armnica, la altura del mstil, la actividad del mapa, etc. son ejemplos de este organizador que permite formar un objeto mental rico sobre la nocin de semejanza en conexin con diversas situaciones y contextos. Actividades integradoras 1-Dibuja un tringulo y divdelo en nueve tringulos congruentes entre s y semejantes al tringulo original.Cul es la razn de semejanza? Nombra al menos dos pares de polgonos de la figura que sean semejantes entre s. 2- Una parcela triangular tiene lados de 500 m., 640 m, 720 m. a) Represntala a escala 1: 10.000 b) Mide una altura del tringulo dibujado y calcula el rea del tringulo. c)Cul es el rea de la parcela triangular? 3- Dibuja los conos rectos C1 de radio:18 cm. y generatriz:30 cm. y otro semejante C2 de generatriz: 20 cm. con la escala que prefieras. Halla la razn entre los volmenes y si tuvieras que construirlos la cantidad de cartn necesario. Pgina 26 4- Constru un crculo cuya rea sea el doble de la de un crculo de 2 cm. de radio.Cul es la razn de semejanza lineal? Evaluacin La evaluacin del aprendizaje debe enriquecer el aprendizaje de la matemtica y solo se logra si la misma tiene carcter integral y es implementada en forma continua de manera de retroalimentar el proceso de enseanza informando a los docentes de los cambios que deben efectuar y a los estudiantes de los progresos y dificultades en el aprendizaje. La evaluacin no puede evadirse de las interacciones sociales que ocurren en el aula y debe ayudar al profesor a evaluar los distintos procesos de aprendizaje, con herramientas ms profundas que el tpico si entend de los alumnos, por ejemplo la unidad didctica que dise permiti que el estudiante se involucrara en un juego de produccin de conocimiento?, el conocimiento alcanzado por sus estudiantes es apropiado o necesita modificar o seguir generando mas realizaciones? Con respecto al alumno, la situacin didctica, debe tender a que reflexione sobre su propio aprendizaje, esta autoevaluacin le permitir tomar conciencia sobre qu, como y para qu est aprendiendo, entender sus propios procesos cognitivos y desarrollar competencias para controlar y monitorear tales procesos. No se evala con un nico instrumento y se tiene en cuenta la evaluacin diagnstica, formativa y sumativa. La observacin del trabajo en clase se puede realizar por grupo o individualmente atendiendo a las siguientes cuestiones: usos de distintas estrategias en la resolucin de problemas, reconocimiento y aplicacin de conceptos, grado de interpretacin y representacin de las actividades, expresin oral y escrita y uso del lenguaje geomtrico como medio adecuado de comunicacin, inters e iniciativa en el trabajo individual o grupal, hbitos de trabajo. Por razones de espacio slo hemos incorporado una evaluacin tentativa final. Evaluacin Final Los criterios de la evaluacin que se tendrn en cuenta son: -Reconocer los diversos significados e interpretaciones del concepto, propiedades y criterios de la semejanza en contextos diversos. -Llevar a cabo una construccin a partir de instrucciones o datos en forma fiable y prolija. -Utilizar lenguaje matemtico, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones, modelar situaciones y dar justificaciones. 1-El hermano de Alejandro estudia arquitectura y pasa muchas horas haciendo lminas, planos y maquetas para la materia Diseo. Tuvo que disear un edificio de 27 m de altura. La maqueta era una miniatura del edificio y tena una altura de 90 cm. Las medidas de todas las lneas de la maqueta guardaban la misma proporcin. Pgina 27 a)Cunto mide en la maqueta una ventana de 90 cm. y cunto debera medir de ancho la puerta de entrada si en la maqueta mide 3,5 cm.? b) Qu rea del edificio representa 1 cm2 de la maqueta y cul es la medida de la superficie de los departamentos en la maqueta si en la realidad miden 90 m2? c) Qu volumen del edificio representa 1 cm3 de la maqueta? 2- Qu condiciones deben cumplirse para que resulten semejantes: dos esferas? dos cilindros?dos pirmides de base cuadrada? 3-Construye un tringulo con dos ngulos de 80 y 35 respectivamente. Determina los puntos medios de dos lados y nelos son semejantes el tringulo original y el que has obtenido? J ustifica 4- Construye un tringulo rms, rectngulo en m cuyos catetos mr y ms midan 5 y 6 cm. respectivamente. Sobre ms a 2 cm. de m marca el punto c, por c traza un segmento perpendicular a rs, determinando el punto de interseccin d sobre rs. Los tringulos mrs y cds son semejantes? J ustifique. Referencias bibliogrficas Biembengut, M. S. y Nelson, H. (2000). Modelagem matemtica no encino. Brasil: Contexto. Alsina Catal, C, Carm Burgus Flamarich y J oseph Fortuny Aymem (1989). Invitacin a la didctica de la geometra. Madrid: Sntesis. Chevallard, Bosch y Gascn (1997). Estudiar matemticas. El eslabn perdido entre la enseanza y aprendizaje. Barcelona: Horsori. Fiol, M. , Fortuny, J . (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el nmero. Madrid: Sntesis. Gimnez Rodrguez, J. (1997). Evaluacin en Matemticas. Una integracin de perspectivas. Madrid: Sntesis Grupo Beta (1990). Proporcionalidad geomtrica y semejanza. Madrid: Sntesis. J aime Pastor, A. y Gutirrez Rodrguez, A. (1996). El grupo de las isometras del plano. Madrid: Sntesis. Rico, L., Castro, E., Castro, E. E., Coriat, M., Marn, A., Puig, L. Sierra, M. y Socas, M. (1997). La educacin matemtica en la enseanza secundaria. Barcelona: Horsori. Romera Carrin, C. (1997). Bases para el diseo de unidades didcticas de matemticas para la E.S.O. Madrid: Universidad Nacional de Educacin a Distancia Pgina 28 Taller: De la construccin a la validacin Mara Susana Dal Maso y Marcela Gtte Facultad de Humanidades y Ciencias. UNL. Argentina. [email protected] y [email protected] educativo: Bsico y Medio Palabras Claves: propiedades geomtricas- construir- conjeturar- validar Resumen Es importante en el trabajo matemtico la argumentacin y la validacin, pero bien sabemos que para el alumno no es significativa esta instancia ya que si logra encontrar un dibujo donde se verifique su conjetura, ser suficiente para aceptarla como vlida. Para ello es preciso buscar un mtodo de trabajo que permita a los alumnos desarrollar un trabajo geomtrico orientado hacia la validacin. Es necesario enfrentarlos a suficientes experiencias que promuevan la exploracin intentando as derivar en formulacin y validacin de propiedades. En este taller se trabajar con el plegado de papel, construcciones y demostraciones sencillas a travs de una sucesin de actividades que pongan en juego una serie de habilidades y propiedades que nos permitan construir juntos una modalidad de trabajo y desarrollar espacios de exploracin que derive en formulacin y validacin de otras propiedades. Destacamos que una misma actividad, de acuerdo al nivel de complejidad con que se la explore y propiedades que se pongan en juego adquiere distintos niveles de complejidad. Me lo contaron y lo olvid, lo vi y lo aprend, lo hice y lo entend. Confucio (551adC- 479adC). Me lo contaron y lo olvid, lo vi y lo aprend, lo hice y lo entend Confucio (551adC-479adC) Marco Terico Es importante en el trabajo matemtico la argumentacin y la validacin, pero bien sabemos que para el alumno no es significativa esta instancia ya que si logra encontrar un dibujo donde se verifique su conjetura, ser suficiente para aceptarla como vlida. Para ello es preciso buscar un mtodo de trabajo que permita a los alumnos desarrollar un trabajo geomtrico orientado hacia la validacin. Es necesario as enfrentarlos a suficientes experiencias que promuevan la exploracin intentando as derivar en formulacin y validacin de propiedades. los recortes del saber cultural geomtrico pueden ser adquiridos por los alumnos en el marco de un trabajo intelectual matemtico de resolucin y anlisis de problemas, de debate y argumentacin acerca de stos, que les permita, simultneamente a la apropiacin de aspectos o recortes de dichos objetos del saber, el acceso a un modo de pensar y de producir. La adquisicin de un tipo de actividad intelectual propia de construccin de conocimientos matemticos es, desde nuestro punto de vista, una condicin indispensable para acceder a la cultura matemtica. Si esto no es considerado como parte de la enseanza, se corre el riesgo de transmitir nicamente resultados (Broitman, 2003, p 300) No es una decisin espontnea considerar un dibujo como una representacin de todos lo dibujos posibles de un objeto geomtrico. La geometra puede ser considerada como el resultado de una modelizacin del dibujo, sirviendo as de instrumento de produccin y de control del dibujo, e incluso de prediccin. Pero tambin, Pgina 29 inversamente, el dibujo en geometra puede ser considerado como modelo del objeto geomtrico, ofreciendo as un campo de experimentacin grfica. Puesto que la enseanza ignora las relaciones entre dibujo y objeto geomtrico, este carcter de experimentacin no es percibido, por decirlo as, por los alumnos y an menos utilizado (Laborde, 1996). Adems las decisiones que tome el observador con respecto a un dibujo estarn directamente relacionadas con sus conocimientos tericos geomtricos. Por este motivo, las situaciones que se propongan a los alumnos con la finalidad de indagar, identificar o reconocer propiedades de las figuras deben impactar en procesos intelectuales que permitan hacer explcitas las caractersticas y propiedades de los objetos geomtricos, ms all de los dibujos que se utilicen para representar dichas figuras. (Itzcovich, 2005, p.18) Objetivo El objetivo del taller es que los asistentes a travs del plegado de papel, de construcciones, y de demostraciones sencillas, logren visualizar, conjeturar y demostrar las propiedades de las figuras geomtricas y puedan integrar estas propiedades para la resolucin de situaciones problemticas. La modalidad de trabajo en forma de taller le permite al docente utilizar diversos recursos y materiales interesantes en la enseanza y aprendizaje de la geometra para lograr que el alumno descubra nuevas caractersticas y propiedades de los objetos geomtricos, resignifique conceptos ya estudiados y a partir de ellos participe de discusiones cada vez ms argumentativas. La modalidad de taller, como un modo de configurar la prctica de la enseanza, supone construir y conceptualizar desde la puesta en escena de las actividades diseadas por el docente y a partir del intercambio del grupo de trabajo. Es por eso que se plantea un trabajo activo por parte de los participantes sobre actividades que pueden llegar a conocer pero se pretende una reflexin sobre sus finalidades didcticas. Presentaremos en este taller una sucesin de actividades que pongan en juego una serie de habilidades y propiedades que nos permitan construir juntos una modalidad de trabajo y desarrollar espacios de exploracin que derive en formulacin y validacin de otras propiedades. Es conveniente destacar que una misma actividad, de acuerdo al nivel de complejidad con que se la explore y propiedades que se pongan en juego, ser adecuada para los alumnos del nivel bsico o medio. Un dibujo remite a los objetos tericos de la geometra en la medida en que el que lo lee decide hacerlo. La interpretacin evidentemente depende de la teora con la que el lector elige leer el dibujo, as como de los conocimientos de dicho lector. (Dal Maso, 2007, p 27) Trabajando con construcciones En este extenso colocaremos una muestra de actividades a desarrollarse en el taller y en algunos casos posibles resoluciones. Muchas veces tenemos en nuestro mundo fsico objetos que nos sirven como herramientas para y no nos detenemos a pensar si es posible utilizarlas con otras finalidades que las que estn a simple vista. Por ejemplo pensemos en una escuadra. Las ms utilizadas son las que tienen un ngulo de 60 y otro de 30. Ser posible con una hoja de papel construir esa escuadra sin medir, slo con la ayuda de nuestras manos? Actividad I: Toma una hoja , traza por plegado la mediatriz de uno de los bordes ms cortos de la hoja, y construye la escuadra llevando un vrtice sobre la mediatriz. Si consideramos a la hoja como una representacin de un rectngulo, qu podramos haber pedido que se trazara para llevar a cabo la misma actividad? Verifica que la escuadra construida en la hoja de papel cumpla con los ngulos pedidos. 4A Posibles resoluciones: Utilizando los ngulos de la escuadra y superponindolos sobre la figura construida. Utilizando un transportador para medir los ngulos. Por plegado, verificando que el ngulo de 60, al plegarlo nuevamente sobre s mismo, cabe exactamente 3 veces en la hoja. Por plegado, verificando que el ngulo de 30, al plegarlo nuevamente sobre s mismo, cabe exactamente 3 veces en la hoja. Prescindiendo de la constatacin emprica planteando conjeturas y aplicando propiedades adecuadas que nos permitan una demostracin formal. Actividad II: Aprovechando el plegado anterior y en la misma hoja, construye