Abschlussprüfung 2010 an den Realschulen in Bayern Mathematik II Prüfungsdauer: 150 Minuten Name: _______________________________ Vorname: _____________________________ Klasse: ________________ Platzziffer: _________________ Punkte: _________________ Aufgabe A 1 Haupttermin A 1.0 Das radioaktive Cäsium-137 wird in der Medizin eingesetzt. Es zerfällt in das stabile Barium-137. Für eine Anfangsmasse von 40 g Cäsium-137 lässt sich die nach x Jahren noch nicht zerfallene Masse y g durch die Funktion f mit der Glei- chung x y 40 0,9772 = mit 0 0 G IR IR + + = · I darstellen. A 1.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet. Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem. 2 P A 1.2 Geben Sie mithilfe des Graphen zu f an, nach wie vielen Jahren die noch nicht zer- fallene Masse 18 g ist. 1 P A 1.3 Cäsium-137 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 30 Jahren, das heißt nach jeweils 30 Jahren hat sich die noch nicht zerfallene Masse halbiert. Begründen Sie, nach wie vielen Jahren die noch nicht zerfallene Masse ein Achtel der Anfangsmasse von 40 g ist. 2 P x 0 10 20 30 40 50 60 x 40 0,9772 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 x y O
192
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Abschlussprüfung 2010 - machmermadde.files.wordpress.com · Aufgabe A 2 Haupttermin Seite - 3 - A 2.3 Auf der Grünfläche wird eine große kreisförmige Skateranlage angelegt. Im
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Berechnen Sie das Volumen V des Eierbechers. Runden Sie auf eine Stelle nach
dem Komma. 5 P
A M B
E CD
S
r
Aufgabe A 2 Nachtermin
Seite - 2 -
A 2.0 Gegeben ist das Trapez ABCD mit
BC || AD und BC AD< (siehe
nebenstehende maßstabsgetreue
Skizze).
Es gilt:
AB 7,5 cm= ; CD 8 cm= ;
AD 10 cm= ; BAD 80= ° .
Runden Sie im Folgenden auf eine
Stelle nach dem Komma.
A 2.1 Zeichnen Sie das Trapez ABCD. 1 P
A 2.2 Bestimmen Sie durch Rechnung die Länge der Strecke [BD].
[Ergebnis: BD 11,4 cm= ] 1 P
BC
D A
Aufgabe A 2 Nachtermin
Seite - 3 -
A 2.3 Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke [BC].
[Ergebnis: BC 5,6 cm= ] 4 P
A 2.4 Begründen Sie, dass die Flächeninhalte der Dreiecke ABD und BCD im gleichen
Verhältnis stehen wie die Längen der Seiten [AD] und [BC]. 3 P
Aufgabe A 3 Nachtermin
Seite - 4 -
A 3.0 In einem Labor wird Jod-124 hergestellt. Dieses zerfällt unter Aussendung radioak-
tiver Strahlung. Werden fünf Mikrogramm Jod-124 eingelagert, so lässt sich die
nach x Tagen noch vorhandene Masse y Mikrogramm durch die Funktion f1 mit der
Gleichung xy 5 0,8409= ⋅ mit 0 0G IR IR+ +
= ×I darstellen.
A 3.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf eine Stelle nach dem Komma gerundet.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1 in das Koordinatensystem. 2 P
A 3.2 Geben Sie mithilfe des Graphen zu f1 an, nach wie vielen Tagen die noch vorhan-
dene Masse erstmals weniger als drei Mikrogramm ist. 1 P
A 3.3 Jod-124 zerfällt mit einer Halbwertszeit von vier Tagen. Nach jeweils vier Tagen
hat sich folglich die noch vorhandene Masse halbiert.
Kreuzen Sie an, welcher prozentuale Anteil der eingelagerten Masse Jod-124 nach
16 Tagen noch vorhanden ist. 1 P
40% 25% 16% 6,25% 0,3125% 0,25%
A 3.4 In einem Krankenhaus wurde ebenfalls Jod-124 eingelagert. Die nach x Tagen noch
vorhandene Masse y Mikrogramm lässt sich hier durch die Funktion f2 mit der
Gleichung xy 1 0,8409= ⋅ mit 0 0G IR IR+ +
= ×I darstellen.
Geben Sie an, welche Masse Jod-124 im Krankenhaus eingelagert wurde. 1 P
x 0 2 4 6 8 10 12
x5 0,8409⋅
1
1
x
y
O
Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Mathematik II
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Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 1 Nachtermin
B 1.0 Die Parabel p besitzt den Scheitel S(4 | 7) . Sie hat eine Gleichung der Form 2y 0,25x bx c= − + + mit G IR IR= ×I und b, c IR∈ . Die Gerade g hat die Glei-
chung y 0,5x 1= − mit G IR IR= ×I .
B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung 2y 0,25x 2x 3= − + +
hat.
Zeichnen Sie die Parabel p und die Gerade g für x [ 3; 10]∈ − in ein Koordinaten-
system.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; <<4 x 11− ; <<6 y 8− . 4 P
B 1.2 Die Parabel p und die Gerade g schneiden sich in zwei Punkten A und C.
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
[Teilergebnis: Ax 2= − ; Cx 8= ] 2 P
B 1.3 Punkte 2
nD (x | 0,25x 2x 3)− + + auf der Parabel p sind für 2 x 8− < < zusammen
mit den Punkten A und C sowie Punkten Bn die Eckpunkte von Drachenvierecken
ABnCDn mit der gemeinsamen Symmetrieachse g.
Zeichnen Sie das Drachenviereck AB1CD1 für x 0,5= − in das Koordinatensystem
zu 1.1 ein.
Begründen Sie, dass die Geraden BnDn stets die Steigung 2− haben. 2 P
B 1.4 Unter den Drachenvierecken ABnCDn besitzt das Drachenviereck AB0CD0 den
maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks AB0CD0.
[Teilergebnis: n n
2
Drachenvierecke AB CDA (x) ( 2,5x 15x 40) FE= − + + ] 4 P
B 1.5 Die Seite [AB2] des Drachenvierecks AB2CD2 verläuft parallel zur x-Achse.
Zeichnen Sie das Drachenviereck AB2CD2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
Bestimmen Sie sodann durch Rechnung das Maß α des Winkels B2AD2. Runden
Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
[Ergebnis: 53,13α = ° ] 2 P
B 1.6 Ermitteln Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes D2. Runden Sie auf zwei
Stellen nach dem Komma. 3 P
Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Mathematik II
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Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 2 Nachtermin
B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schräg-
bild der Pyramide ABCS, deren Grundfläche
das gleichschenklige Dreieck ABC mit der
Basis [AC] ist.
Der Mittelpunkt der Strecke [AC] ist der
Punkt D. Die Spitze S der Pyramide ABCS
liegt senkrecht über dem Punkt D.
Es gilt:
AC 12 cm= ; DB 9 cm= ; BS 12 cm= .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei die Strecke [DB] auf der
Schrägbildachse und der Punkt D links vom Punkt B liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 1
q2
= ; 45ω = ° .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [DS] und das Maß ϕ des Win-
kels SBD.
[Ergebnisse: DS 7,94 cm= ; 41,41ϕ = ° ] 4 P
B 2.2 Auf der Kante [BS] der Pyramide ABCS liegen Punkte Pn. Der Punkt P1 mit
1BP 6 cm= ist Eckpunkt des Dreiecks RP1Q mit R [AS]∈ und Q [CS]∈ . Es gilt:
RQ || AC. Der Punkt T [DS]∈ ist der Mittelpunkt der Strecke [RQ]. Der Win-
kel SP1T hat das Maß 65°.
Zeichnen Sie das Dreieck RP1Q und den Punkt T in das Schrägbild zu 2.1 ein. 1 P
B 2.3 Ermitteln Sie rechnerisch die Länge der Strecke [ST].
[Ergebnis: ST 5,93 cm= ] 2 P
B 2.4 Das Dreieck RQS ist die Grundfläche der Pyramide RQSP1 mit der Höhe [H1P1],
deren Fußpunkt H1 auf der Strecke [ST] liegt.
Zeichnen Sie die Höhe [H1P1] in das Schrägbild zu 2.1 ein und berechnen Sie so-
dann das Volumen der Pyramide RQSP1.
[Ergebnis: 1
3
Pyramide RQSPV 39,85 cm= ] 4 P
B 2.5 Bestimmen Sie durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyra-
mide RQSP1 am Volumen der Pyramide ABCS. 2 P
B 2.6 Der Flächeninhalt des Dreiecks TP2S ist um die Hälfte größer als der Flächeninhalt
des Dreiecks TP1S.
Begründen Sie, dass die Länge der Strecke [P2S] folglich um die Hälfte größer ist
als die Länge der Strecke [P1S].
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [DP2]. 4 P
A
C
BD
S
Abschlussprüfung 2011 an den Realschulen in Bayern Mathematik II
A 3.2 Im Rahmen der Ablesegenauigkeit: Nach ca. 8 Jahren
1
L 4
K 4
A 3.3 13y 36000 0,91 y 11000
Vom 1. April 2014 bis zum 1. April 2027 beträgt der Wertverlust 25 000 EUR. 2
L 4
K 5
19
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2014
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 1 Nachtermin
FUNKTIONEN
B 1.1 P( 5 | 3,4) und Q(2 | 0,6) p b,c IR
2
2
3,4 0,4 ( 5) b ( 5) c
0,6 0,4 2 b 2 c
b 0,8
c 2,6
2p : y 0,4x 0,8x 2,6 G IR IR I
1O x
y
1
g
p
A
BC
D
1
B2
B3
1D2
D3
4
L 4
K 5
L 4
K 4
B 1.2 Einzeichnen des Vierecks 1 1AB CD 1
L 3
K 4
B 1.3 n nAB C ACDA A A
n 2
x 5AB x
0,4x 0,8x 2,4
n
x 5AD x
0,2x 1
x IR; x ] 5; 3[
8
AC3
2
x 5 8 8 x 51A(x) FE
0,4x 0,8x 2,4 3 3 0,2x 12
2A(x) (1,6x 4x 13,6) FE
4
L 4
K 2
K 5
B 1.4 2A(x) 1,6x 4x 13,6 FE x IR; x ] 5; 3[
minA 11,1 FE für x 1,25
2
L 4
K 5
B 1.5 Einzeichnen der Trapeze 2 2AB CD und 3 3AB CD 2
L 4
K 4
B 1.6 2 2 3g B C, B C B C
2B C : y 0,2 x 3 2 2B C : y 0,2x 1,4 G IR IR I
2 2 3B C p B ; B
20,2x 1,4 0,4x 0,8x 2,6 x IR; x ] 5; 3[
20,4x x 1,2 0
...
x 3,39 x 0,89 IL 3,39; 0,89
2 3B 3,39 | 0,72 ; B 0,89 |1,57 4
L 4
K 2
K 5
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2014
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 2 Nachtermin
RAUMGEOMETRIE
B 2.1 Zeichnen des Schrägbilds der Pyramide ABCDS
A
B
C
D
M
S
P1
P3
Q1
CM AC AM CM 6 cm
2 2CS 6 7 cm CS 9,22 cm
7
tan SCA6
SCA 49,40 SCA ]0 ; 90 [
4 P
L3
K4
L 2
K 5
B 2.2 Einzeichnen des Dreiecks 1MCP
2 2 2
1 1 1MP CP CM 2 CP CM cos SCA
2 2
1MP 6 6 2 6 6 cos49,40 cm 1MP 5,01cm
2 P
L 3
K 4
L 2
K 5
B 2.3 x cm
cos49,406 cm
0 x 9,22; x IR
x 3,90 1 P
L 2
K 5
B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks 3MCB
3
3
CP 6 cm
sin CMP sin100
3CMP 180 100 49,40 3CMP 30,60
3CP 3,10 cm
3
2
MCP
1A 3,10 6 sin 49,40 cm
2
3
2
MCPA 7,06 cm
3 P
L 3
K 4
L 3
K 2
B 2.5 Einzeichnen der Pyramide 1 1AQ DP
n n n
1 1V BD MQ P Q
3 2
0 x 9,22; x IR
n n
n
P Qsin SCA
CP n nP Q x 0,76 x cm
n nMQ MC Q C
n n n
MC MS
Q C P Q nQ C x 0,65 x cm
nMQ x 6 0,65 x cm
31 1V x 8 6 0,65 x 0,76 x cm
3 2
…
2 3V x 0,66x 6,08x cm
5 P
L 3
K 4
L 4
K 2
K 5
B 2.6 2 3V x 0,66x 6,08x cm 0 x 9,22; x IR
…
maxV 14,00 cm³ für x 4,61
Da das maximale Volumen 314,00 cm beträgt, kann es unter den Pyramiden
n nBQ DP keine mit dem Volumen 315 cm geben.
2 P
L 4
K 1
K 2
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Name: Vorname:
Klasse: Platzziffer: Punkte:
Aufgabe A 1 Haupttermin
A 1.0 Die Skizze zeigt den Grundriss eines Hafenbeckens.
Ein Schiff befindet sich an der Position S.
Es gilt:
BAC 58 ; ACB 16 ; SBA 68 ;
AB 182 m ; AC 635 m ; BS 353 m .
Runden Sie im Folgenden auf ganze Meter.
A 1.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke BC . Ergebnis : BC 560 m
1 P
A 1.2 Bestimmen Sie durch Rechnung, wie weit die Position S vom Punkt C entfernt ist.
Teilergebnis: CBS 38 ; Ergebnis :SC 356 m
2 P
A 1.3 Das Schiff entfernt sich von C, bis es die Position P erreicht. P liegt auf der
Halbgeraden CS und hat die kleinstmögliche Entfernung zum Punkt A.
Berechnen Sie die Länge der Strecke AP .
2 P
A
B C
S
Aufgabe A 2 Haupttermin
A 2.0 Gegeben sind die Parabel p mit 2y 0,25(x 3) 2,5 und die Gerade g mit
y 0,5x 4 G IR IR I .
A 2.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Gleichung der Parabel p auf die Form 2y 0,25x 1,5x 4,75 bringen lässt und zeichnen Sie die Parabel p für x 1; 7
und die Gerade g in das Koordinatensystem ein.
1
1
O
y
x
3 P
A 2.2 Punkte nA (x | 0,5x 4) auf der Geraden g und Punkte 2
nD (x | 0,25x 1,5x 4,75)
auf der Parabel p haben dieselbe Abszisse x und sind Eckpunkte von Rechtecken
n n n nA B C D mit n n n nA B 1,5 A D .
Zeichnen Sie das Rechteck 1 1 1 1A B C D für x 5 in das Koordinatensystem zu A 2.1 ein.
1 P
Aufgabe A 2 Haupttermin
A 2.3 Berechnen Sie die Länge der Seiten n nA D der Rechtecke n n n nA B C D in Abhängigkeit
von der Abszisse x der Punkte nA und ermitteln Sie sodann rechnerisch den Umfang
u x der Rechtecke n n n nA B C D . [Ergebnis: 2u(x) (1,25x 10x 43,75) LE ]
2 P
A 2.4 Die Rechtecke 2 2 2 2A B C D und 3 3 3 3A B C D haben einen Umfang von 28,75 LE.
Berechnen Sie die zugehörigen Werte für x.
2 P
A 2.5 Um wieviel Prozent nimmt der Flächeninhalt A der Rechtecke n n n nA B C D aus A 2.2 zu,
wenn man die Seitenlänge n nA D verdoppelt?
Kreuzen Sie an.
100 % 150 % 200 % 300 %
1 P ,
Aufgabe A 3 Haupttermin
A 3.0 Die nachfolgende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotations-
achse ME und dient als Vorlage für eine Lampe, die aus einer Plexiglasscheibe und einem
Lampenschirm besteht.
Es gilt: AB 45 cm; BC 2 cm; KL 36 cm; ME 13,5 cm; MF 12 cm.
Für den Durchmesser GH des Halbkreisbogens HG gilt: GH 9 cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Plexiglasscheibe
Lampenschirm
A B
CD K L
HG
M
N
E
F
A 3.1 Berechnen Sie das Volumen V der Plexiglasscheibe.
1 P
A 3.2 Ermitteln Sie rechnerisch den Inhalt A der Außenfläche des Lampenschirms.
4 P
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Bitte wenden!
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 1 Haupttermin
B 1.0 Die Skizze zeigt das Fünfeck ABCDE, das den
Grundriss eines Badezimmers darstellt.
Es gilt:
AC 6,00 m; AE 2,25 m; CD 3,60 m;
CBA 90 ; BAE 85 ;
BAC DCA 36,87 .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach
dem Komma.
B 1.1 Berechnen Sie jeweils die Länge der Strecken [AB] und [BC].
Ergebnisse: AB 4,80 m; BC 3,60 m 2 P
B 1.2 Zeichnen Sie den Grundriss des Badezimmers im Maßstab 1 : 50 und begrün-
den Sie, dass die Geraden AB und CD parallel zueinander sind. 3 P
B 1.3 Ermitteln Sie rechnerisch jeweils die Länge der Strecken EC und ED .
Teilergebnis: DCE 16,44 ; Ergebnisse: EC 4,80 m; ED 1,69 m 4 P
B 1.4 Der Kreis um D mit dem Radius DE schneidet die Strecke DC im Punkt F.
Zeichnen Sie den zugehörigen Kreisbogen EF in die Zeichnung zu B 1.2 ein
und berechnen Sie sodann das Maß des Winkels EDF.
Ergebnis: EDF 126,42 2 P
B 1.5 Im Bereich, der durch die Strecken FD und DE sowie durch den Kreisbo-
gen EF begrenzt ist, wird eine Dusche errichtet. Die restliche Bodenfläche
wird gefliest.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt A des zu fliesenden Bodens. 4 P
B 1.6 Der Punkt P mit P EF kennzeichnet die Lage des Abflusses der Dusche.
Dabei hat P die minimale Entfernung zum Punkt D.
Zeichnen Sie die Strecke EF und den Punkt P in die Zeichnung zu B 1.2 ein
und bestimmen Sie sodann durch Rechnung die Länge der Strecke PD . 2 P
A B
CD
E
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Bitte wenden!
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 2 Haupttermin
B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide
ABCDS , deren Grundfläche das Quadrat ABCD ist.
Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittel-
punkt M der Strecke AD .
N ist der Mittelpunkt der Strecke BC .
Es gilt: AB 8 cm; SNM 55 .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke MN auf
der Schrägbildachse und der Punkt M links vom Punkt N liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 1
q ; 452
.
Berechnen Sie sodann die Höhe MS der Pyramide ABCDS und die Länge der
Strecke SN . Ergebnisse: MS 11,43 cm; SN 13,95 cm 4 P
B 2.2 Punkte nP auf der Strecke SN mit nP S x x cm mit x IR und x 0;13,95
sind die Spitzen von Pyramiden nBCMP . Punkte
nF sind die Fußpunkte der Pyra-
midenhöhen n nP F .
Zeichnen Sie für x 5 die Pyramide 1BCMP zusammen mit ihrer Höhe 1 1P F in
das Schrägbild zu B 2.1 ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels 1SP M .
1Teilergebnis : MP 7,88 cm 4 P
B 2.3 Zeigen Sie, dass für das Volumen V der Pyramiden nBCMP in Abhängigkeit von x
gilt: 3V x 8,75x 121,92 cm . 3 P
B 2.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x das zugehörige Volumen der
Pyramiden nBCMP mehr als 34 % des Volumens der Pyramide ABCDS beträgt. 3 P
B 2.5 Unter den Punkten nP hat der Punkt
2P die kürzeste Entfernung zu M.
Zeichnen Sie die Pyramide 2BCMP in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke 2MP sowie den zugehörigen Wert
für x. 3 P
A B
CD
M N
S
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster
und Bewertung
Aufgaben A 1–3 Haupttermin
EBENE GEOMETRIE
A 1.1 BC 182 m
sin58 sin16
BC 560 m
1
L 2
K 5
A 1.2 2 2 2
SC BS BC 2 BS BC cos CBS
CBA 180 58 16 CBA 106
CBS 106 68 CBS 38
2 2SC 353 560 2 353 560 cos38 m SC 356 m 2
L 2
L 3
K 2
K 5
A 1.3 AP
sin SCB 16635m
sin SCB sin 38
353 m 356 m
SCB 37,62
APsin 37,62 16
635m AP 234 m
2
L 2
K 2
K 5
FUNKTIONEN
A 2.1
1
1
O
y
x
D1
A1B1
C1
p
g
L 3
K 4
2y 0,25(x 3) 2,5 G IR IR I
2y 0,25(x 6x 9) 2,5 2y 0,25x 1,5x 4,75 3
L 4
K 5
A 2.2 Einzeichnen des Rechtecks 1 1 1 1A B C D 1
L 3
K 4
A 2.3 n n n nu 2 (A D 1,5 A D ) n nu 5 A D
n nn n A DA D (y y ) LE
2
n nA D x 0,5x 4 0,25x 1,5x 4,75 LE x IR
2
n nA D x 0,25x 2x 8,75 LE
2u x 5 0,25x 2x 8,75 LE x IR
2u x 1,25x 10x 43,75 LE 2
L 4
K 2
K 5
A 2.4 21,25x 10x 43,75 28,75 x IR
...
x 2 x 6 IL 2; 6
2
L 4
K 5
A 2.5 300 %
1
L 4
K 2
RAUMGEOMETRIE
A 3.1 21
V AB BC2
2
31V 45 2 cm
2
3V 3180,86 cm 1
L 2
K 3
K 5
A 3.2 Kegel groß Kegel klein Kugel
1A M M O
2
MK 36 cm : 2 MK 18 cm
2 2FK 12 18 cm FK 21,63 cm
NH 9 cm : 2 NH 4,5 cm
22FH 4,5 4,5 13,5 12 cm FH 5,41cm
2 21A 18 21,63 4,5 5,41 4 4,5 cm
2
2A 1273,90 cm 4
L 2
K 2
K 3
K 5
19
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 1 Haupttermin
EBENE GEOMETRIE
B 1.1 ABcos36,87
6 m AB 4,80 m
BCsin36,87
6 m BC 3,60 m
2 L 2
K 5
B 1.2
A B
CD
E
F
P
DCA BAC AB CD Wechselwinkel an parallelen Geraden 3 L 3
K 4
K 1
B 1.3 2 2EC 2,25 6 2 2,25 6 cos 85 36,87 m EC 4,80 m
2 2ED 4,80 3,60 2 4,80 3,60 cos DCE m
DCE 36,87 ECA
sin 85 36,87sin ECA
2,25 m 4,80 m
ECA 20,43
DCE 36,87 20,43 DCE 16,44
2 2ED 4,80 3,60 2 4,80 3,60 cos16,44 m ED 1,69 m
4
L 2
K 2
K 5
B 1.4 Einzeichnen des Kreisbogens EF
2 2 2
EC ED CD 2 ED CD cos EDF
2 2 24,80 1,69 3,60 2 1,69 3,60 cos EDF
EDF 126,42 2
L 3
K 4
K 5
B 1.5 ABCDE SektorA A A
2
ABCDE
1A 4,80 3,60 6 2,25 sin 85 36,87 1,69 3,60 sin126,42 m
2
2
ABCDEA 16,11 m
2
Sektor
126,42A 1,69 m²
360
2
SektorA 3,15 m
2A 16,11 3,15 m 2A 12,96 m 4
L 2
K 3
K 5
B 1.6 Einzeichnen der Strecke EF und des Punktes P
PDcos 0,5 126,42
1,69 m PD 0,76 m
2
L 2
K 2
K 4
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Ver-
zerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 2 Haupttermin
RAUMGEOMETRIE
B 2.1
A B
CD
M N
S
P1
F1
P2
MStan55
8 cm MS 11,43 cm
8 cmcos55
SN SN 13,95 cm
4
L 3
L 4
L 2
K 5
B 2.2 Einzeichnen der Pyramide 1BCMP
2 2 2
1 1 1 1 1MS P M PS 2 P M PS cos SP M
MSN 180 90 55 MSN 35
2 2
1MP 11,43 5 2 11,43 5 cos35 cm 1MP 7,88 cm
2 2 2
111,43 7,88 5 2 7,88 5 cos SP M 1SP M 123,55 4
L 3
K 4
L 2
K 5
B 2.3 2
n n
1 1V x AB F P
3 2
n n
n
F Psin 55
NP
nNP x 13,95 x cm x IR ; x 0;13,95
n nF P x 0,82x 11,43 cm x IR ; x 0;13,95
2 31 1V x 8 0,82x 11,43 cm
3 2 x IR ; x 0;13,95
3V x 8,75x 121,92 cm 3
L 4
K 2
K 5
B 2.4 3
ABCDS
1V 8 8 11,43 cm
3 3
ABCDSV 243,84 cm
3V x 0,34 243,84 cm
8,75x 121,92 82,91 x IR ; x 0;13,95
...
x 4,46 IL x x 4,46
3
L 4
K 2
K 5
B 2.5 Einzeichnen der Pyramide 2BCMP
2MPsin55
8 cm 2MP 6,55 cm
13,95 xcos55
8
x IR ; x 0;13,95 IL 9,36
3
L 3
L 4
K 4
K 5
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Ver-
zerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Name: Vorname:
Klasse: Platzziffer: Punkte:
Aufgabe A 1 Nachtermin
A 1.0 Die nebenstehende Figur ist durch den Kreisbogen
BC mit dem Radius r MC und die Strecken AB
und AC begrenzt.
Es gilt: AB 6 cm; MB 4 cm; BMC 58 .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
A 1.1 Bestimmen Sie rechnerisch das Maß des Winkels BAC
Teilergebnis : AC 5,34 cm
3 PA 1.2 Berechnen Sie den Umfang u der Figur.
2 P
AM
B
C
Aufgabe A 2 Nachtermin
A 2.0 Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f mit der Gleichung 4
yx
mit G IR IR I dargestellt.
x
y
O 1
1
Graph zu f
A 2.1 Punkte n
4Q x
x
auf dem Graphen zu f sind zusammen mit den Punkten O 0 0 und
P 3 1 die Eckpunkte von Dreiecken nOPQ .
Zeichnen Sie für x 2 das Dreieck 1OPQ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein und
überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck 1OPQ gleichseitig ist.
3 P
Aufgabe A 2 Nachtermin
A 2.2 Berechnen Sie das Maß des Winkels 1POQ auf zwei Stellen nach dem Komma ge-
rundet.
2 P
A 2.3 Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt A der Dreiecke nOPQ in Abhängigkeit
von der Abszisse x der Punkte nQ .
2 P
A 2.4 Existiert unter den Dreiecken nOPQ ein rechtwinkliges Dreieck mit OP als Hypote-
nuse? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Zeichnung in A 2.0.
2 P
Aufgabe A 3 Nachtermin
A 3.0 Die Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rota-
tionskörpers mit der Rotationsachse MS.
Sie dient als Vorlage für einen Kerzenständer
aus Edelstahl.
Es gilt:
MS 4,5 cm; AB 7,5 cm; EF HG 2 cm;
DI CJ 4 cm; EH FG 1,5 cm .
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
A 3.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke MK . [Ergebnis: MK 2,1cm ]
2 P
A 3.2 Ermitteln Sie rechnerisch den Oberflächeninhalt O des Kerzenständers.
3 P
A M B
C
DE
FG
H SI
J
NK
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 1 Nachtermin
B 1.0
Für das Viereck ABCD gilt: AB 10 cm ; BC 8 cm ; AD 6 cm ;
CBA 90 ; BAD 120 .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 1.1 Zeichnen Sie das Viereck ABCD und berechnen Sie sodann die Länge der
Strecke BD und das Maß des Winkels DBA .
[Ergebnisse: BD 14 cm; DBA ] 4 P
B 1.2 Berechnen Sie den Umfang u des Vierecks ABCD. 2 P
B 1.3 Der Kreis um A berührt die Strecke BD im Punkt F und schneidet die Stre-
cke AB im Punkt G.
Zeichnen Sie die Strecke AF und den zugehörigen Kreisbogen GF in die
Zeichnung zu B 1.1 ein.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt A der Figur, die durch die Stre-
cken GB , BF und den Kreisbogen GF begrenzt wird.
[Teilergebnis: AF 3,71cm ] 4 P
B 1.4 Punkte nH auf der Strecke BD mit nH B x x cm bilden für x 0;14
und x IR zusammen mit dem Punkt C Strecken nH C .
Zeichnen Sie die Strecke 1H C für x = 6 in die Zeichnung zu B 1.1 ein.
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für die Länge der Strecken nH C in Ab-
hängigkeit von x gilt: 2nH C x x 5,94x 64 cm . 2 P
B 1.5 Unter den Strecken nH C hat die Strecke 0H C die minimale Länge.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x und die Länge der Strecke 0H C . 2 P
B 1.6 Überprüfen Sie durch Rechnung, ob das Dreieck BCF gleichschenklig ist. 3 P
Bitte wenden!
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Bitte wenden!
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 2 Nachtermin
B 2.0 Das Drachenviereck ABCD ist die Grundfläche der Pyra-
mide ABCDS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht
über dem Schnittpunkt M der Diagonalen des Drachenvier-
ecks ABCD (siehe Skizze).
Es gilt: AC 10 cm ; BD 8 cm ; AM 3 cm ; MS 9 cm .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem
Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke AC auf
der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: 1
q2
; 45 .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke SC und das Maß des
Winkels SCA .
[Ergebnisse: SC 11,40 cm und SCA 52,13 ] 4 P
B 2.2 Auf der Strecke AS liegt der Punkt P mit SP 4 cm . Punkte nQ auf der Seiten-
kante SC bilden zusammen mit den Punkten P und S Dreiecke nPQ S .
Im Dreieck 1PQ S gilt: 1PQ SC ; im Dreieck 2PQ S gilt: 2PQ AC .
Zeichnen Sie die Dreiecke 1PQ S und 2PQ S in das Schrägbild zu B 2.1 ein. 1 P
B 2.3 Berechnen Sie die Länge der Strecke 1SQ .
Teilergebnis : ASC 56,30 2 P
B 2.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks 2PQ S . 3 P
B 2.5 Im Dreieck 3PQ S hat der Winkel 3Q PS das Maß 77°. Der Punkt 3Q ist die
Spitze der Pyramide 3ABCDQ mit dem Höhenfußpunkt 3F und der Höhe 3 3F Q .
Zeichnen Sie die Pyramide 3ABCDQ mit der Höhe 3 3F Q in das Schrägbild zu
B 2.1 ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke 3 3F Q . 4 P
B 2.6 Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden nABCDQ in Abhängigkeit von der
Länge der Strecke nSQ mit nSQ x x cm und x IR; x 0;11, 40 . 3 P
A
B
C
D
S
M
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster
und Bewertung
Aufgaben A 1–3 Nachtermin
EBENE GEOMETRIE
A 1.1 sin BAC sin CMA
MC AC
CMA 180 58 CMA 122
2 2
AC AM MC 2 AM MC cos CMA
AM AB MB AM 2 m
2 2AC 2 4 2 2 4 cos122 m AC 5,34 m
sin BAC sin122
4 m 5,34 m
BAC 39,44
3
L 2
L 3
K 5
A 1.2 BCu AB b AC
BC
2 4 58b m
360
BC
b 4,05 m
u 6 4,05 5,34 m u 15,39 m 2
L 2
K 3
K 5
FUNKTIONEN
A 2.1
x
y
O 1
1
Graph zu f
P
Q1
Einzeichnen des Dreiecks 1OPQ
L 3
K 4
22OP 3 1 LE OP 10 LE
2 2
1PQ 3 2 1 2 LE 1PQ 10 LE
2 2
1OQ 2 2 LE 1OQ 8 LE
1Das Dreieck OPQ ist nicht gleichseitig. 3
L 2
K 5
K 6
A 2.2 1 1 2POQ 1 1x Achse;OQ und 2 OP; x Achse
1tan 1 1 45
2
1tan
3 2 18,43
1POQ 18, 43 1POQ 63,43 2
L 2
K 4
A 2.3
3 x
1A x FE4
2 1x
x IR
1 12A x 1 x FE
2 x
6 1A x x FE
x 2
2
L 4
K 2
K 5
A 2.4 Einzeichnen des Thaleskreises über OP
Der Thaleskreis über OP schneidet den Graphen der Funktion f nicht.
Somit gibt es unter den Dreiecken nOPQ kein rechtwinkliges Dreieck mit der
Hypotenuse OP . 2
L 3
K 1
K 4
RAUMGEOMETRIE
A 3.1 MS MK CJ
MS AB
4,5 cm MK 2,4 cm MK 2,1cm 2
L 2
K 5
A 3.2 2 2
AB DI AB CJ CJ EHO AS JS 2 SK 2 EF
2 2 2 2 2 2
2 2
AS 0,5 AB MS AS 5,9 cm
2 2
JS 0,5 CJ MS MK JS 3,1cm
2O 146,4 cm 3
L 2
K 3
K 5
19
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,
entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu
Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 1 Nachtermin
EBENE GEOMETRIE
B 1.1
A B
C
D
F
G
H1
2 2 2
BD AB AD 2 AB AD cos BAD
2 2BD 10 6 2 10 6 cos120 cm BD 14 cm
sin DBA sin BAD
AD BD
sin DBA sin120
6 cm 14 cm
DBA
4
L 2
L 3
K 4
K 5
B 1.2 u AB BC CD AD
2 2 2
CD BD BC 2 BD BC cos CBD
2 2CD 14 8 2 14 8 cos 90 21,79 cm CD 13,30 cm
u 10 8 13,30 6 cm u 37,30 cm
2
L 2
K 2
K 5
B 1.3 Einzeichnen des Kreisbogens GF und der Strecke AF
AFsin DBA
AB
AF 10 sin 21,79 cm AF 3,71cm
ABF Sektor GFAA A A
2 21 90 21,79A 3,71 10 sin 90 21,79 3,71 cm
2 360
2A 9,03cm 4
L 3
K 4
L 2
K 5
B 1.4 Einzeichnen der Strecke 1H C
2 2 2
n n nH C H B BC 2 H B BC cos CBD
2 2
nH C x x 8 2 x 8 cos 90 21,79 cm x IR ; x 0;14
2
nH C x x 5,94x 64 cm
2
L 3
K 4
L 4
K 5
B 1.5 xcos 90 21,79
8 x IR ; x 0;14
x 2,97 IL 2,97
2
0H C 2,97 2,97 5,94 2,97 64 cm 0H C 7,43 cm 2
L 3
K 5
B 1.6 BFcos 21,79
10 cm BF 9,29 cm
2FC 9,29 5,94 9,29 64 cm FC 9,75 cm
BC BF FC Das Dreieck BCF ist nicht gleichschenklig. 3
L 3
K 2
K 5
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Ver-
zerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2015
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 2 Nachtermin
RAUMGEOMETRIE
B 2.1
A
B
C
D
S
M
P
Q1
F3
Q2
Q3
MC 7 cm
2 2SC 7 9 cm SC 11,40 cm
9tan SCA
7 SCA 52,13
4
L 3
K 4
L 2
K 5
B 2.2 Einzeichnen der Dreiecke 1PQ S und 2PQ S 1 L 3
K 4
B 2.3 1SQ
cos ASCPS
ASC 180 MAS SCA
9
tan MAS3
MAS 71,57
ASC 180 71,57 52,13 ASC 56,30
1SQcos56,30
4 cm 1SQ 2,22 cm
2
L 2
K 2
K 5
B 2.4 2 2
1A SP PQ sin Q PS
2
2SQ P SCA 52,13
2PQ 4 cm
sin 56,30 sin 52,13
2PQ 4, 22 cm
2Q PS MAS 2Q PS 71,57
21A 4 4,22 sin 71,57 cm
2 2A 8,01cm
3
L 2
K 2
K 5
B 2.5 Einzeichnen der Pyramide 3ABCDQ mit der Höhe 3 3F Q
3 3
3
F Qsin SCA
SC SQ
3SQ P 180 77 56,30 3SQ P 46,70
3SQ 4 cm
sin 77 sin 46,70
3SQ 5,36 cm
3 3F Q
sin 52,1311, 40 5,36 cm
3 3F Q 4,77 cm
4
L 3
K 4
K 5
B 2.6 n n
1 1V x AC BD F Q
3 2
n nF Qsin52,13
11,40 x cm
x IR ; x 0;11,40
n nF Q x 9,00 0,79x cm
31 1V x 10 8 9,00 0,79x cm
3 2 x IR ; x 0;11,40
3V x 120 10,53x cm 3
L 4
K 2
K 5
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere
Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte
bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind
Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend
ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Ver-
zerrungen der Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Name: Vorname:
Klasse: Platzziffer: Punkte:
Aufgabe A 1 Haupttermin
A 1.0 Der Wertverlust verschiedener E-Bike-Modelle liegt zwischen 14 und 33 Prozent jähr-
lich. Der Restwert y Euro des E-Bikes „Blitz“ (Neupreis 3500 Euro) nach x Jahren lässt
sich näherungsweise durch die Funktion xf: y 3500 0,85 0G IR IR I bestimmen.
A 1.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichnen Sie sodann den
Graphen der Funktion f in das Koordinatensystem.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x3500 0,85
O
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1 2 3 4 5 6 7 8 x
y
2 P
A 1.2 Berechnen Sie den Wertverlust des E-Bikes „Blitz“ in Euro nach den ersten drei
Jahren.
1 P
A 1.3 Ermitteln Sie mithilfe des Graphen der Funktion f nach welcher Zeit sich der
Wert des E-Bikes „Blitz“ halbiert hat.
2 P
Aufgabe A 2 Haupttermin
A 2.0 Die Zeichnung zeigt das Trapez ABCD mit AB CD .
Es gilt: AB 9 cm; CD 4,5 cm; AL 3 cm; DL 4 cm .
A B
CD
L
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
A 2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels ADC.
2 P
A 2.2 Verlängert man die Seite AB über B hinaus um x cm und verkürzt gleichzeitig
die Strecke DL von D aus um x cm, so entstehen für x IR; x 0 ;4 Trapeze
n n nAB C D mit n n nAB C D und n nC D 4,5 cm .
Zeichnen Sie das Trapez 1 1 1AB C D für x 2 in die Zeichnung zu A 2.0 ein. 1 P
A 2.3 Geben Sie den Wert für x an, für den man das gleichschenklige Trapez 2 2 2AB C D
erhält.
1 P
Aufgabe A 2 Haupttermin
A 2.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Trapeze n n nAB C D in Abhängigkeit von x.
2 2Ergebnis : A x 0,5x 4,75x 27 cm
2 P
A 2.5 Begründen Sie durch Rechnung, dass es unter den Trapezen n n nAB C D für
x 0; 4 kein Trapez mit einem Flächeninhalt von 228 cm gibt.
3 P
Aufgabe A 3 Haupttermin
A 3.0 Eine Schreinerei stellt Spielzeugkreisel aus Holz her.
Die nebenstehende Zeichnung des Axialschnitts eines
Rotationskörpers mit der Rotationsachse BM dient als
Vorlage für solche Spielzeugkreisel.
Es gilt: AC 5 cm ; BM 4,5 cm ;
AN BN ; BFE 77 .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
A 3.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke FM und die Länge der Strecke GN .
Ergebnisse : FM 1,04 cm; GN 0,58 cm
2 P
A 3.2 Berechnen Sie das Volumen V eines solchen Spielzeugkreisels.
3 P
A
B
CD
M EF
G N
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Bitte wenden!
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 1 Haupttermin
B 1.0 Die Parabel p mit dem Scheitel S 4 | 2 hat eine Gleichung der Form
2y 0,25x bx c mit G IR IR I und b, c IR .
Die Gerade g hat die Gleichung y 0,5x 2 mit G IR IR I .
B 1.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Parabel p die Gleichung 2y 0,25x 2x 2 hat.
Zeichnen Sie sodann die Parabel p sowie die Gerade g für x 1;11 in ein
Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; < < < <1 x 11; 3 y 11 3 P
B 1.2 Die Punkte A 0 | 2 und C 10 | 7 sind die Schnittpunkte der Parabel p mit der
Geraden g. Sie sind zusammen mit Punkten 2
nB x | 0,25x 2x 2 auf der
Parabel p Eckpunkte von Drachenvierecken n nAB CD mit der Geraden g als
Symmetrieachse.
Zeichnen Sie das Drachenviereck 1 1AB CD für x 6 in das Koordinatensystem zu
B 1.1 ein und geben Sie das Intervall für x an, für das es Drachenvierecke
n nAB CD gibt. 2 P
B 1.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass das Drachenviereck 1 1AB CD bei 1B rechtwinklig ist. 3 P
B 1.4 Unter den Drachenvierecken n nAB CD gibt es die Drachenvierecke 2 2AB CD und
3 3AB CD , bei denen die Eckpunkte 2B und 3B auf der x-Achse liegen.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte 2B und 3B . 2 P
B 1.5 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Drachenvier-
ecke n nAB CD in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte nB gilt:
2A x 2,5x 25x FE . 3 P
B 1.6 Unter den Drachenvierecken n nAB CD gibt es die Raute 4 4AB CD .
Zeichnen Sie die Raute 4 4AB CD mit dem Diagonalenschnittpunkt M in das
Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Gleichung der Geraden 4MB .
Teilergebnis: M 5 | 4,5 4 P
Abschlussprüfung 2016 an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Bitte wenden!
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 2 Haupttermin
B 2.0 Das rechtwinklige Dreieck ABC mit der
Hypotenuse BC ist die Grundfläche der Pyra-
mide ABCS (siehe Skizze).
Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt A.
Es gilt: AC 10 cm; AB 7 cm; AS 9 cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach
dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei die Strecke AC auf der
Schrägbildachse und der Punkt C links vom Punkt A liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q 0,5; 45 .
Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke CS und das Maß des
Winkels ACS. Ergebnisse: CS 13,45 cm; 41,99 4 P
B 2.2 Für Punkte nF auf der Strecke AC gilt: nAF (x) x cm mit x IR und
0 x 10 . Die Punkte nF sind Eckpunkte von Rechtecken n n nAD E F mit
n nD AB und E BC .
Zeichnen Sie das Rechteck 1 1 1AD E F für x 4 in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecken n nE F in Abhängigkeit von x und
ermitteln Sie rechnerisch den Wert für x, für den man das Quadrat 0 0 0AD E F erhält.
n nErgebnis: E F (x) ( 0,7x 7) cm 4 P
B 2.3 Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Rechtecke n n nAD E F in Abhängigkeit
von x.
Bestimmen Sie sodann den Wert für x, für den der Flächeninhalt der Rechtecke
n n nAD E F maximal wird. 2 P
B 2.4 Der Punkt T liegt auf der Strecke CS mit TS 2 cm . T ist die Spitze von Pyrami-
den n n nAD E F T mit den Rechtecken n n nAD E F als Grundflächen und der Höhe h.
Zeichnen Sie die Pyramide 1 1 1AD E FT und die Höhe h in das Schrägbild zu B 2.1
ein. Zeigen Sie sodann, dass gilt: h 7,66 cm . 3 P
B 2.5 Begründen Sie, dass für das Maß der Winkel nTF C gilt: < 138,01 .
Berechnen Sie anschließend die untere Intervallgrenze für .
Teilergebnis: AT 7,80 cm 4 P
A
B
C
S
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster
und Bewertung
Aufgaben A 1 – 3 Haupttermin
FUNKTIONEN
A 1.1
O
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1 2 3 4 5 6 7 8 x
y
Graph zu f
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 3500 2975 2529 2149 1827 1553 1320 1122 954
2
L 4
K 4
K 5
A 1.2 Wertverlust: 3500 2149 Euro 1351 Euro 1 L 2
K 5
A 1.3 Im Rahmen der Zeichengenauigkeit: nach 4,3 Jahren.
2
L 4
K 2
K 6
EBENE GEOMETRIE
A 2.1 3tan 904
126,87 2 L 2
K 5
A 2.2
A B
CD
L B
CD1 1
1 1 L 3
K 4
A 2.3 x 1,5 1
L 3
K 4
A 2.4 21A x 9 x 4,5 4 x cm2
x IR;x 0 ;4
…
2 2A x 0,5x 4,75x 27 cm 2
L 4
K 5
A 2.5 228 0,5x 4,75x 27 x IR;x 0 ;4
...
x 0,22 x 9,28 IL
Unter den Trapezen n n nAB C D gibt es keines mit dem Flächeninhalt 2A 28 cm . 3
L 4
K 1
K 2
RAUMGEOMETRIE
A 3.1 4,5 cmtan 77
FM FM 1,04 cm
2,5 cmtan 77
GN GN 0,58 cm 2
L 2
L 3
K 5
A 3.2 Halbkugel Kegel groß Kegel kleinV V V V
3
2 21 4 AC 1 1 ACV FM BM GN
2 3 2 3 3 2
3 2 2 31 4 1 1V 2,5 1,04 4,5 0,58 2,5 cm
2 3 3 3
3V 36,94 cm 3 L 2
L 3
K 5
19
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten
die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben
darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige
Taschenrechner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu
bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der
Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 1 Haupttermin
FUNKTIONEN
B 1.1 S(4 | 2) p
2y 0,25 x 4 2 G IR IR I
2p : y 0,25x 2x 2
x
y
O 1
1
p
g
A
C
B
B
DD
M
1
1 4
4
3
L 4
K 5
L 4
K 4
B 1.2 Einzeichnen des Drachenvierecks 1 1AB CD
Drachenvierecke n nAB CD für x 0;10 2
L 3
K 4
K 1
B 1.3 1B 6 | 1
1AB1 2m
6 0
1AB
1m
2
1B C
7 1m
10 6
1B Cm 2
1 1AB B Cm m 1 1 1 1Das Drachenviereck AB CD ist bei B rechtwinklig. 3
L 3
K 2
K 5
B 1.4 nAB CA 2 A
n 2
xAB x
0,25x 2x
10
AC5
x IR
2
x 101A x 2 FE2 0,25x 2x 5
x IR ; x 0;10
2A x 2,5x 25x FE 3
L 4
K 2
K 5
B 1.5 20 0,25x 2x 2 x IR ; x 0;10
...
2 3x 1,17 x 6,83 2 3B 1,17 | 0 ; B 6,83 | 02
L 2
K 5
B 1.6 Einzeichnen der Raute 4 4AB CD und des Diagonalenschnittpunkts M
M 5 | 4,5
AC gm m 0,5
4MBm 2
Gerade 4MB : y 2 x 5 4,5 G IR IR I
y 2x 14,5 4
L 2
K 2
K 4
K 5
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten
die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf
jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrech-
ner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der
Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster und Bewertung
Aufgabe B 2 Haupttermin
RAUMGEOMETRIE
B 2.1
A
B
C
S
F
DE
1
1
1
T
h
2 2CS 10 9 cm CS 13,45 cm
9tan10
41,99 4
L 3
K 4
L 2
K 5
B 2.2 Einzeichnen des Rechtecks 1 1 1AD E F
n nE F x 10 x cm
7 cm 10 cm
x IR; 0 x 10
n nE F (x) ( 0,7x 7) cm
x 0,7x 7 G IRI
x 4,12 IL 4,12 4
L 3
K 4
L 4
K 5
B 2.3 2A(x) x 0,7x 7 cm x IR; 0 x 10
2 2A(x) 0,7x 7x cm
maxA für x 5 2 L 4
K 5
B 2.4 Einzeichnen der Pyramide 1 1 1AD E FT und der zugehörigen Höhe h
hsinCT
h sin 41,99 13,45 2 cm h 7,66 cm
3
L 3
K 4
K 5
B 2.5 180 (Innenwinkelsumme)
138,01
Die untere Intervallgrenze ergibt sich für nF A .
hsin TAC
AT
22AT 10 13,45 2 2 10 13,45 2 cos41,99 cm
AT 7,80 cm
7,66sin TAC
7,80 TAC 79,13
4
L 2
L 3
K 1
K 2
17
Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere Lösungen gelten
die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf
jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrech-
ner verwendet wird, entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.
Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu Verzerrungen der
Zeichnungen führen kann.
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Name: Vorname:
Klasse: Platzziffer: Punkte:
Aufgabe A 1 Nachtermin
A 1.0 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung 3yx
mit G IR IR I .
A 1.1 Ergänzen Sie die Wertetabelle auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f in das Koordinatensystem.
x 0,5 1 2 3 4 5 6 8
3x
2 P
A 1.2 Punkte n3A x |x
auf dem Graphen zu f besitzen dieselbe Abszisse x wie Punkte
nB auf der Geraden g mit der Gleichung y 1 mit G IR IR I .
Für x IR sind die Punkte nA und nB Endpunkte von Strecken n nA B .
Zeichnen Sie die Gerade g sowie die Strecke 1 1A B für x 3 in das
Koordinatensystem zu A 3.1 ein. 1 P
A 1.3 Unter den Strecken n nA B gibt es die Strecke 2 2A B mit 2 2A B 6 LE .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x.
2 P
Aufgabe A 2 Nachtermin
A 2.0 Die Skizze zeigt ein vereinfachtes Modell einer Windkraftanlage. Die drei Rotor-
blätter sind so angeordnet, dass sie eine drehsymmetrische Figur ergeben.
Ein Mast dient zur Aufhängung der Rotorblätter.
Der Rotordurchmesser beträgt 164 Meter (siehe Skizze).
Masth
öhe
Gesam
thöhe
Rotordurchmesser
.
A 2.1 Für das Rotorblatt werden in 10 Minuten 121 Umdrehungen gezählt.
Berechnen Sie, welchen Weg s die Spitze eines Rotorblattes nach einer Stunde
unter denselben Bedingungen zurückgelegt hat.
Runden Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer.
3 P
Aufgabe A 2 Nachtermin
A 2.2 Die Skizze zeigt, wie die Rotorblätter in einem
rechteckigen Feld in einer Montagehalle lagen, als
man sie probeweise aneinander montierte.
Berechnen Sie die Seitenlängen l und b dieses
rechteckigen Feldes.
Runden Sie auf ganze Meter.
3 P
A 2.3 Die Sonne steht so, dass der Schatten des Ro-
torblattes, dessen Spitze senkrecht nach oben
zeigt, 25 m lang ist. Der Schatten des Mastes
endet in einer Entfernung von 42 m vom Mit-
telpunkt des Mastes (siehe Skizze).
Berechnen Sie die Gesamthöhe h der Wind-
kraftanlage. Runden Sie auf ganze Meter.
3 P
l
b
42 m 25 m
.
Aufgabe A 3 Nachtermin
A 3.0 Die nebenstehende Skizze zeigt den
Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der
Rotationsachse 1M S.
Es gilt: 1 1 1r AM M B ; 1r 2 cm ;
2 2 2r EM M D ; 2r 4 cm ;
EF CD 3,2 cm .
A 3.1 Berechnen die die Länge der Strecken 2FM und 1SM .
2 1Ergebnisse : FM 0,8 cm; SM 10 cm
2 P
A 3.2 Berechnen Sie den Oberflächeninhalt O des Körpers, der durch Rotation an der
Achse 1M S entsteht. Runden Sie dabei auf eine Stelle nach dem Komma.
3 P
M
MA B
C
DE
F
r
r
S
1
1
2
2
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Bitte wenden!
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 1 Nachtermin
B 1.0 Die Parabel 1p mit dem Scheitel S 0,5 |1 hat eine Gleichung der Form
2y 0,5x bx c G IR IR; b IR; c IR I .
Die Parabel 2p hat die Gleichung 2y 0,5x 3 G IR IR I . Runden Sie im
Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel 1p die Glei-
chung 2y 0,5x 0,5x 1,125 hat. Zeichnen Sie sodann die Parabeln 1p und 2p
für x 2; 4 in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; < < < <2 x 4; 0 y 11 3 P
B 1.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts T der Parabeln 1p und 2p . 3 P
B 1.3 Punkte 2
nA x | 0,5x 3 auf der Parabel 2p haben dieselbe Abszisse x wie Punkte
2
nB x | 0,5x 0,5x 1,125 auf der Parabel 1p . Sie sind für x 3,75 zusammen
mit Punkten nC die Eckpunkte von Dreiecken n n nA B C .
Die Punkte nC liegen auf der Parabel 2p , wobei die Abszisse der Punkte nC stets
um 2 größer ist als die Abszisse x der Punkte nA .
Zeichnen Sie das Dreieck 1 1 1A B C für x 1,5 und das Dreieck 2 2 2A B C für x 1
in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
Zeigen Sie sodann, dass sich die Koordinaten der Punkte nC in Abhängigkeit von
der Abszisse nA wie folgt darstellen lassen: 2
nC x 2 | 0,5x 2x 5 . 3 P
B 1.4 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke n nA B in Abhän-
gigkeit von der Abszisse x der Punkte nA gilt:
n nA B x 0,5x 1,875 LE . 1 P
B 1.5 Unter den Dreiecken n n nA B C gibt es das rechtwinklige Dreieck 3 3 3A B C mit der
Hypotenuse 3 3A C .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes 3B . 3 P
B 1.6 Unter den Dreiecken n n nA B C gibt es das gleichschenklige Dreieck 4 4 4A B C mit
der Basis 4 4A B .
Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für x. 4 P
Abschlussprüfung 2016 an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Bitte wenden!
Prüfungsdauer:
150 Minuten
Aufgabe B 2 Nachtermin
B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des Prismas
ABCDEF, dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck
ABC mit der Basis BC ist. Der Punkt D liegt senkrecht über
dem Punkt A. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke
BC und der Punkt G ist der Mittelpunkt der Strecke EF .
Es gilt: BC 14 cm ; AM 10 cm ; AD 6 cm.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEF, wobei die Strecke AM auf
der Schrägbildachse und der Punkt A links von M liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q 0,5 ; 45 .
Zeichnen Sie sodann die Strecke AG in das Schrägbild ein und berechnen Sie
deren Länge sowie das Maß des Winkels AGM.
[Ergebnis: 59,04 ] 4 P
B 2.2 Ebenen, die zur Grundfläche ABC parallel sind, schneiden AG in Punkten nP ,
BE in Punkten nQ , CF in Punkten nR und MG in Punkten nN .
Es gilt: nGN x x cm mit x IR sowie 0 x 6 .
Der Punkt M ist die Spitze von Pyramiden n n nP Q R M mit Dreiecken n n nP Q R als
Grundfläche.
Zeichnen Sie die Strecke GM , den Punkt 1N sowie die Pyramide 1 1 1PQ R M für
x 3 in das Schrägbild zu B 2.1 ein. 2 P
B 2.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass sich das Volumen V der Pyramiden n n nP Q R M in Ab-
hängigkeit von x wie folgt darstellen lässt: 2 3V x 3,90x 23,38x cm .
n nTeilergebnis: P N x 1,67x cm 2 P
B 2.4 Unter den Pyramiden n n nP Q R M hat die Pyramide 0 0 0P Q R M das maximale Volu-
men.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen der Pyramide 0 0 0P Q R M kleiner
ist als das Volumen des Prismas ABCDEF. 3 P
B 2.5 Die Pyramiden 2 2 2P Q R M und 3 3 3P Q R M haben jeweils ein Volumen von 37,5 cm .
Berechnen Sie die zugehörigen Werte für x. 2 P
B 2.6 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken nP M in Abhängigkeit von x gilt:
2
nP M 3,79x 12x 36x cm .
Unter den Strecken nP M hat die Strecke 4P M die minimale Länge.
Zeichnen Sie die Strecke 4P M in das Schrägbild zu B 2.1 ein und berechnen Sie
deren Länge. 4 P
A
B
M
C
D
E
F
G
Abschlussprüfung 2016
an den Realschulen in Bayern Mathematik II
Lösungsmuster
und Bewertung
Aufgaben A 1 – 3 Nachtermin
FUNKTIONEN
A 1.1
x
y
O 1
1
Graph zu f
g
A
B
1
1
x 0,5 1 2 3 4 5 6 8
3x
6 3 1,5 1 0,75 0,6 0,5 0,38
2 L 4
K 4
A 1.2 Einzeichnen der Geraden g und der Strecke [ ]1 1A B 1
L 3
K 4
A 1.3 2 2A B 6 LE=
( )3 1 6x− − = G IR+=I
...
x 0,6⇔ = { }IL 0,6=
2
L 4
K 2
K 5
EBENE GEOMETRIE
A 2.1 Wegstrecke s der Spitze des Rotorblatts in einer Stunde:
s 121 6 164 m= ⋅ ⋅ ⋅ s 374051 m=
Eine Rotorblattspitze legt eine Strecke von 374 km in dieser Stunde zurück. 3