Page 1
วชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 30206 )ระดบชนมธยมศกษาปท 6เรอง ทฤษฎกราฟเบองตน
1. กำาเนดทฤษฎกราฟ ( The origin of graph theory )
ครสตศตวรรษท 18 มเมองๆหนงชอ เคอนกสแบรก ( Koningsberg ) ตงอยบนสองฝงของแมนำ$ปรเกล ( Pregel ) ตอม$เปลยนชอเปนค$ลนนกร$ด ( Kalininggrad ) อยในสหภ$พโซเวยตรสเซยท$งด$นตะวนออก ปจจบนเมอสหภ$พโซเวยตถกแบงแยกแลวเมองนสงกดอยกบสหพนธรฐรสเซย เมองเคอนกสแบรกประกอบดวยเก$ะ 2 เก$ะ คอ เก$ะ A และ เก$ะ B ซงเชอมระหว$งเก$ะกบตวเมองดวยสะพ$น 7 แหงดงรป ก
รป ก เนองจ$กช$วเมองมนสยชอบเดนเลน จงตงปญห$เกยวกบก$รเดนขนว$ เปนไปไดหรอไมทคน คนหนงจะเดนข$มสะพ$นทง “ 7 เพยงสะพ$นละหนงครง โดยจะตงตนทไหนและจะสนสดทใดกได ปญห$นไมมใคร”ใหคำ$ตอบได จนกระทงในป ค.ศ. 1736 เลออนฮ$รด ออยเลอร ( Leonhard Euler ) นกคณตศ$สตร ช$วสวสไดใหคำ$ตอบพรอมคำ$
D
C
BA
Page 2
D
CB
A
อธบ$ยว$ก$รเดนลกษณะดงกล$ว เปนไปไมได เพร$ะก$รทคนคนหนงจะทำ$เชนนนได เข$จะตองเดนม$ทเก$ะ A ( หรอเก$ะ B ) แลวกลบออกไปโดยใชสะพ$นททต$งกนในจำ$นวนครงทเท$กนซงไมอ$จทำ$ได
ถ$คำ$ตอบของออยเลอรมเพยงเท$น ปญห$สะพ$นเคอนกสแบรก คงไมกล$ยเปนปญห$อมตะในวช$คณตศ$สตร แตธรรมช$ตของนกคณตศ$สตรมกไมพอใจเพยงคำ$ตอบเฉพ$ะกรณ เข$มกแสวงห$คำ$ตอบทวไปเพอจะตอบปญห$อนๆทมลกษณะเดยวกนดวย ออยเลอรไดเปลยนรปแบบของปญห$แลวเสนอเปนตวแบบน$มธรรม คอ แทนฝงแมนำ$และเก$ะดวย จดยอด ( vertex หรอ node ) แทนสะพ$นดวยเสนเชอมระหว$ง จดยอด 2 จด เรยกว$ ดาน ( edge หรอ arc ) แผนภ$พนเรยกว$ กราฟ ( ซงแตกตางจากกราฟทแทนฟงกชนของจำานวนจรงในเรขาคณต ) ดงรป ข
รป ข
ตวอยางท 1 สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะอย 2 เก$ะ คอ เก$ะ B และเก$ะ C และมสะพ$นเชอมระหว$ง เก$ะกบฝง A และฝง D ดงรป
A
C
B
D
Page 3
A
B C
D
A
B C
D
A
BC
D
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน
วธทำา จำ$ลองปญห$นดวยกร$ฟ G โดยท จดยอด V(G) = { A , B , C , D }
เสนเชอม E(G) = { AB , AB , AC , BC , BD , DC } แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป
ตวอยางท 2 สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะอย 2 เก$ะ คอ เก$ะ B และเก$ะ C และมสะพ$นเชอมระหว$งเก$ะ กบฝง A และฝง D ดงรป
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยใหจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน
วธทำา จำ$ลองปญห$นดวยกร$ฟ G โดยทจดยอด V(G) = { A , B , C , D }
เสนเชอม E(G) = { AB , AC , BC , BD , DC }แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป
Page 4
งคขก
DCBA
ABCD
กขคง
ตวอยางท 3 บรษทแหงหนงมตำ$แหนงง$นว$ง 4 ตำ$แหนง คอ A , B , C และ D มผม$สมครง$น 4 คน คอ ก , ข , ค และ ง โดยทแตละคนมคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงต$งๆดงน
ก มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A ข มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A , B และ D ค มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง C และ D ง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนง A และ B
บรษทจะจดตำาแหนงงานใหผสมครทงสคนอยางไรโดยทผสมครทกคนสามารถเขาทำางานได
วธทำา จำ$ลองปญห$ดวยกร$ฟ G โดยทV(G) = { A , B , C , D , ก , ข , ค , ง }
E(G) = { ก A , ข A , ข B , ข D , ค C , ค D , ง A , ง B }แสดงแผนภ$พของกร$ฟ G ไดดงรป
จ$กแผนภ$พของกร$ฟ G จะจดง$นใหผสมครทงสคนเข$ทำ$ง$นในทกตำ$แหนงไดดงน
ก ทำ$ง$นในตำ$แหนง A
Page 5
ข ทำ$ง$นในตำ$แหนง Dค ทำ$ง$นในตำ$แหนง Cง ทำ$ง$นในตำ$แหนง B
แบบฝกทกษะท 1 เรอง กำาเนดทฤษฎกราฟ
1. สวนส$ธ$รณะแหงหนงมเก$ะ A เก$ะ B และเก$ะ C อยกล$งแมนำ$ และมสะพ$นเชอมระหว$ง
เก$ะกบฝง D และฝง E ดงรป
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟ โดยกำาหนดจดยอดแทนเกาะและฝง และเสนเชอมแทนสะพาน
E
D
CBA
Page 6
2. แดง , ดำ$ , เขยว , ข$ว และ เหลอง สมครเข$ทำ$ง$นในบรษทแหงหนง โดยทบรษทนมตำ$แหนงง$น ว$งอย 5 ตำ$แหนง และบคคลทง 5 คนมคว$มส$ม$รถในก$รทำ$ง$นตำ$แหนงต$งๆดงน
แดง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 3 และ 4 ดำ$ มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 3 เขยว มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 1 และ 2 ข$ว มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 4 และ 5 เหลอง มคว$มส$ม$รถทำ$ง$นในตำ$แหนงท 2 และ 5
จงสรางแบบจำาลองดวยกราฟและพจารณาวาเปนไปไดหรอไมทบรษทจะรบบคคลทง 5 คน เขาทำางานในทกตำาแหนง ถาเปนไปได ใครจะทำางานในตำาแหนงใดไดบาง
2. จดยอดและเสนเชอม
ความหมายของกราฟ
บทนยาม กร$ฟ G คอคอนดบ ( V(G) , E(G) ) ประกอบดวย เซตจำ$กด 2 เซต คอ 1. V(G) เปนเซตของจดยอดของ
Page 7
A
B
C
De4e1 e3e2
e5
e7e6 E
จ$กบทนย$ม กร$ฟจะประกอบไปดวยจดยอดและเสนเชอมเสมอ ซงจดยอดของกร$ฟ ไมเปนเซตว$ง แตเสนเชอมของกร$ฟอ$จจะเปนเซตว$งได
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G จงห$ V(G) , E(G)
G
วธทำา จ$กกร$ฟ G จะไดว$ V(G) = { A , B , C , D , E } E(G) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7} หรอ E(G) = { AB , BC , CD , DE , BD , AC , CE }
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ H จงห$ V(H) , E(H)
H
วธทำา จ$กกร$ฟ H จะไดว$ V(H) = { W , X , O , Y , Z } E(H) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } หรอ E(H) = { WO , WX , XO , OZ , YZ , YO }หมายเหต
1. ในก$รเขยนแผนภ$พของกร$ฟนน จะกำ$หนดตำ$แหนงของจดยอด ณ ตำ$แหนงใดกได
และล$กเสนเชอมของกร$ฟเปนเสนตรงหรอเสนโคงมคว$มย$วเปนเท$ใดกได เชน
Oe1
e2e3e4
e5
e6ZY
XW
A
e1
e3
B
e2
Ce5e4
De5e4
e3 e2
e1
D C
BA
Page 8
D C
BA A B
C D
รปท 1 รปท 2 กร$ฟรปท 1 และกร$ฟรปท 2 ถอว$เปน กราฟเดยวกน
2. เสนเชอมสองเสนของกร$ฟอ$จล$กตดกนได โดยทจดตดของเสนทงสองไมถอว$
เปนจดยอดของกร$ฟ เชน กร$ฟ
ซงส$ม$รถเขยนใหมเปน
นกเรยนลองตอบดซว$รปนมจดยอดกจด เสนเชอมกเสน แลวเตมคำ$ตอบลงข$งล$งน
จดยอดม ................จด คอ ...............................................................................................
Page 9
dc
baA
B
D
C
o
w
x
z
y
A
D
C
B
แบบฝกทกษะท 2เรอง จดยอด และ เสนเชอม
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณกร$ฟ G V(G) E(G)
ตวอยาง { a , b , c , d }
{ ab , ad , ac , bc , bd , dc }
1.
2.
3.
4.
5.
3. เสนเชอมขนาน และ วงวน
V4 V3
V2V1
V6V5
V1
V2V3
V4
Page 10
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป
จ$กรป จะไดว$ 1. เสนเชอม e1 , e2 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 2. เสนเชอม e5 , e6 , e7 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 3. เสนเชอม e8 , e9 เปนวงวน หรอ บวง 4. เสนเชอม e3 , e4 เปนด$นเดยว
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป
จ$กรป จะไดว$ 1. เสนเชอม e3 , e4 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 2. เสนเชอม e5 , e6 เปนเสนเชอมขน$น หรอ ด$นซอน 3. เสนเชอม e9 เปนวงวน หรอ บวง 4. เสนเชอม e1 , e2 , e7 , e8 เปนด$นเดยว
แบบฝกทกษะท 3เรอง เสนเชอมขนาน และ วงวน
บทนยาม เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหว$งจดยอดคเดยวกนเรยกว$ เสนเชอมขนาน (Parallel edges) เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว เรยกว$ วงวน
e9
e8
A
B
e1 e2 e6C
e3e5
D
e4
e7
e8
e9
C
Ae1
B
e5De4e3
e2
e6
e7
Page 11
คำาชแจง ใหนกเรยนปฎบตต$มกจกรรมตอไปน1. จ$กกร$ฟตอไปนจงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย หน$ขอทผด
.................1. เสนเชอม e3 , e4 , e5 เรยกว$เสนเชอมขน$น .................2 เสนเชอม e1 , e2 เรยกเสนเชอมขน$น .................3. เสนเชอม e6 , e7 เรยกว$เสนเชอมขน$น .................4. เสนเชอม e3 , e5 เรยกว$วงวน .................5 เสนเชอม e1 , e2 เรยกว$วงวน .................6. เสนเชอม e8 เรยกว$วงวน .................7. เสนเชอม e6 , e7 เรยกว$ด$นเดยว .................8. เสนเชอม e4 เกดกบจดยอด C .................9. เสนเชอม e8 เกดกบจดยอด A ...............10. เสนเชอม e5 เกดกบจดยอด D2. จ$กกร$ฟขอ 1 จงใชตอบคำ$ถ$มพรอมทงบอกเหตผลดงตอไปน 2.1 กร$ฟด$นเดยวคอ ............................................................................................................. เพร$ะ ...................................................................................................................................... 2.2 กร$ฟด$นซอน หรอ เสนเชอมขน$น คอ ......................................................................... เพร$ะ ....................................................................................
e1e7
e4D
e5e3C
e6e2
BAe8
Page 12
e1 e2 e3 e4
e5
e6 e7A
B C
ED
................................................. 2.3 บวง หรอ วงวน คอ .......................................................................................................... เพร$ะ ......................................................................................................................................
4. จดยอดประชด
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ จดยอดประชด และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด A , B , C , D , E
วธทำา จดยอด A ประชดจดยอด B เกดเสนเชอม e1
จดยอด A ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e6
จดยอด B ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e2
จดยอด B ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e5
จดยอด C ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e3
บทนยาม จดยอด u และจดยอด v ของกร$ฟ เปนจดยอดประชด กตอเมอมเสนเชอมระหว$งจดทงสอง เสนเชอม e ของกร$ฟเกดกบ ( incident ) จดยอด v ถ$จดยอด v เปนจดปล$ยจดหนงของ
Page 13
e8e7
e6
e5e4e3
e2e1
A B
CD
จดยอด C ประชดจดยอด E เกดเสนเชอม e7
จดยอด D ประชดจดยอด E เกดเสนเชอม e4
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ จดยอดประชด และ เสนเชอมทเกดกบจดยอด A , B , C , D
จดยอด A ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e1 , e2
จดยอด A ประชดจดยอด B เกดเสนเชอม e3
จดยอด B ประชดจดยอด C เกดเสนเชอม e4 , e5
จดยอด C ประชดจดยอด D เกดเสนเชอม e6
เสนเชอมทเกดจ$กจดยอด A คอ e7
เสนเชอมทเกดจ$กจดยอด B คอ e8
Page 14
แบบฝกทกษะท 4เรอง จดยอดประชด
คำาชแจง ใหนกเรยนปฎบตต$มกจกรรมตอไปน
1. จ$กกร$ฟตอไปนจงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย หน$ขอทผด ใชกร$ฟ G ตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 5
G
.................1) จดยอด A ประชดกบจดยอด D เพร$ะ ........................................................................ .................2) จดยอด D ประชดกบจดยอด B เพร$ะ ........................................................................ .................3) จดยอด C ประชดกบจดยอด B เพร$ะ ........................................................................ .................4) จดยอด B ประชดกบจดยอด A เพร$ะ .......................................................................
e1e7
e4D
e5e3C
e6e2
BAe8
Page 15
Ae1
Be5
C
e4
e3e2
e6D
e7
.................5) จดยอด A ประชดกบจดยอด C เพร$ะ .......................................................................
2. จงใชกร$ฟ H ตอบคำ$ถ$มตอไปน
H
1) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 2) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 3) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 4) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม ..................................................
Page 16
5) จดยอด ............. ประชดกบจดยอด ............. เกดเสนเชอม .................................................. 6) จดยอดประกอบดวย ............................................................................................................. 7) เสนเชอมขน$นหรอด$นซอนประกอบดวย .......................................................................... 8) เสนเชอมด$นเดยวประกอบดวย ........................................................................................... 9) วงวนหรอบวงประกอบดวย ................................................................................................. 10) เสนเชอม e1 , e2 เกดจ$กจดยอด ..........................................................................................
5. ดกรของจดยอด
บทนยาม ดกรของจดยอด V ในกร$ฟ คอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด V ใชสญลกษณ deg(V) แทนดกรของจด
Page 17
ED
C
BA
ED
C
BA
A
B C
D
จ$กบทนย$ม จะไดว$ ดกรของจดยอดในกร$ฟกคอ จำานวนเสนทงหมดทตกกระทบกบจดยอดนนๆ กรณเสนเชอมเปนวงวนใหนบเสนเชอมเปน 2 เสน
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AC , AC , AE deg(A) = 4
เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BB deg(B) = 3
เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CA , CD deg(C) = 3
เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DC , DE , DD deg(D) = 4 เสนเชอมทเกดกบจดยอด E คอ EA , ED deg(E) = 2
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
Page 18
A B
CD
วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ ดงนน เสนเชอมทเกดกบจดยอด A คอ AB , AB , AC , AD deg(A) = 4
เสนเชอมทเกดกบจดยอด B คอ BA , BA , BC deg(B) = 3
เสนเชอมทเกดกบจดยอด C คอ CA , CB deg(C) = 2
เสนเชอมทเกดกบจดยอด D คอ DA, DD deg(D) = 3
ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟพรอมทงบอกเหตผล
วธทำา จ$กบทนย$ม ดกรของจดยอดคอจำ$นวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดนนๆ จะไดว$ deg (A) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด A จำ$นวน 4 เสน deg (B) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด B จำ$นวน 4 เสน deg (C) = 4 เพร$ะมเสนเชอมทเกดกบจดยอด C จำ$นวน 4 เสน
Page 19
E
A
B
C D
FGA
B C
DE
deg (D) = 0 เพร$ะไมมเสนเชอมทเกดกบจดยอด D
ขอตกลง1. ดกรของจดยอดทเปนวงวน จะมดกร
เทากบ 2 เชน ดกรของจดยอด A เทากบ 2 ( deg A = 2 )2. จดยอดทไมมเสนเชอมใหถอวาดกรของจดยอดเปนศนย
แบบฝกทกษะท 6เรอง ดกรของจดยอด
คำาชแจง ใหนกเรยนปฏบตต$มกจกรรมดงตอไปน
1. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
1) deg ( A ) = ................เพร$ะ................................................... 2) deg ( B ) = ...............เพร$ะ................................................... 3) deg ( C ) = ...............เพร$ะ................................................... 4) deg ( D ) = ................เพร$ะ.................................................. 5) deg ( E ) = ................เพร$ะ...................................................
2. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
Page 20
FA
BC
D
E
1) deg ( A ) = ................เพร$ะ................................................... 2) deg ( B ) = ................เพร$ะ................................................... 3) deg ( C ) = ................เพร$ะ................................................... 4) deg ( D ) = ...............เพร$ะ................................................... 5) deg ( E ) = ................เพร$ะ................................................... 6) deg ( F ) = ................เพร$ะ................................................... 7) deg ( G ) = ...............เพร$ะ....................................................
3. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$ดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟพรอมทงบอกเหตผล
1) deg ( A ) = ....................เพร$ะ...................................................................................................
Page 21
2) deg ( B ) = ....................เพร$ะ................................................................................................... 3) deg ( C ) = ...................เพร$ะ.................................................................................................... 4) deg ( D ) = ...................เพร$ะ................................................................................................... 5) deg ( E ) = ....................เพร$ะ................................................................................................... 6) deg ( F ) = .....................เพร$ะ..................................................................................................
7. การหาผลรวมของดกรของจดยอด
Page 22
ED
C
BA
ก$รห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ จะอ$ศยทฤษฎบท ดงตอไปน
พสจน เนองจ$กเสนเชอมแตละเสนในกร$ฟ เกดกบจดยอดเปนจำ$นวนสองครง ดงนน เสนเชอมแตละเสน จะถกนบ 2 ครง ในผลรวมของดกรของจดยอดทกจด นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด ในกร$ฟเท$กบ สองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงแสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปนสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
วธทำา จ$กกร$ฟจะไดเสนเชอมทงหมด 8 เสน และ deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 2
ดงนน deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = 4 + 3 + 3 + 4 + 2 = 16
แสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ 16 ซงเท$กบสองเท$ของเสนเชอม คอ 2 ( 8 ) = 16
ทฤษฎบทท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอม ในกร$ฟ
Page 23
E
D
CB
A
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ G
วธทำา จ$กกร$ฟจะไดเสนเชอมทงหมด 7 เสน และ deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 0
ดงนน deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = 4 + 3 + 3 + 4 + 0 = 14
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ 14 และผลรวมของดกรของจดยอดทกจดใน กร$ฟเปนสองเท$ของเสนเชอม นนคอ 2 ( 7 ) = 14
ตวอยางท 3 จงห$จำ$นวนจดยอดของกร$ฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จดทมดกรเท$กบ 4 สวนจดยอดทเหลอมดกรเท$กบ 3
วธทำา ให n เปนจำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 3 ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ คอ ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n )
จ$กทฤษฎบท ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบสองเท$ของเสนเชอมในกร$ฟ
ดงนน ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n ) = ( 2 )( 15 ) 12 + 3n = 30 n = 6
Page 24
จำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 3 มจดยอดทงหมด 6 จด จำ$นวนจดยอดทมดกรเท$กบ 4 มจดยอดทงหมด 3 จด
จำ$นวนจดยอดทงหมดของกร$ฟ คอ 3 + 6 = 9
สรป1.ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนจำานวนค
เสมอ2.จำานวนเสนเชอมในกราฟเทากบครงหนงของผลรวมของด
กรของจดยอดทกจดในกราฟ หรอผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนสองเทาของจำานวนเสนเชอม
แบบฝกทกษะท 7 เรอง ผลรวมของดกรของจดยอด
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ1. จ$กกร$ฟ G ดงรป จงแสดงว$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปนสองเท$ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
A
B
C
D
E
1) deg ( A ) = ..................................... 2) deg ( B ) = ..................................... 3) deg ( C ) = .....................................
Page 25
4) deg ( D ) = ..................................... 5) deg ( E ) = .....................................
deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) = ....................................................
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ .................... เสนเชอมมทงหมด .............. เสน ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปน .......................... ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ
2. จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
E
F
AB
C
D
1) deg ( A ) = ..................................... 2) deg ( B ) = ..................................... 3) deg ( C ) = ..................................... 4) deg ( D ) = ..................................... 5) deg ( E ) = ..................................... 6) deg ( F ) = ..................................... deg ( A ) + deg ( B ) + deg ( C ) + deg ( D ) + deg ( E ) + deg ( F ) = ....................................................
Page 26
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ .................... เสนเชอมมทงหมด .............. เสน ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเปน..................................ของจำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟ หรอ จำ$นวนเสนเชอมในกร$ฟทกเสนเปน............................ของผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟ
3. ถ$กร$ฟมดกรของจดยอด A = 3 , จดยอด B = 2 , จดยอด C = 4 , จดยอด D = 3 แลวเสนเชอมของกร$ฟจะม ........................ เสน
4. ถ$กร$ฟมเสนเชอมทงหมด 14 เสน จะมผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกร$ฟเท$กบ ...................
8. จดยอดค , จดยอดค
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
บทนยาม จดยอดทมดกรเปนจำ$นวนค เรยกว$ จดยอดค ( even vertex ) จดยอดทมดกรเปนจำ$นวนค เรยกว$ จด
E
D
CB
A
Page 27
วธทำา deg ( A ) = 4 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 3 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 0
ดงนน จดยอดค คอ จดยอด A , D และ E จดยอดค คอ จดยอด B และ C
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
วธทำา deg ( A ) = 5 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 4 , deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 4 , deg ( F ) = 4
ดงนน จดยอดค คอ จดยอด C , D , E และ F จดยอดค คอ จดยอด A และ B
จ$กตวอย$งท 1 และ 2 ข$งตน
พบว$ กร$ฟมจดยอดคเปนจำ$นวนค ซงเปนไปต$มทฤษฎบท
ตวอยางท 3 ในก$รประชมคณะกรรมก$รนกเรยนซงประกอบดวย ประธ$น , รองประธ$น , เหรญญก,
D
CB
A
FE
ทฤษฎบทท 2 ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจำานวนค
Page 28
ปฏคม และ เลข$นก$ร โดยกำ$หนดว$ ใหคณะกรรมก$รจบมอกนดงน ประธ$นจบมอกบเพอน 4 ครง ,รองประธ$นจบมอกบเพอน 3 ครง , เหรญญกจบมอกบเพอน 3 ครง , ปฏคมจบมอกบเพอน 4 ครง ,เลข$นก$รจบมอกบเพอน 2 ครง จงพจ$รณ$ว$เปนไปไดหรอไมทคณะกรรมก$รนกเรยนจะจบมอทกท$ยกนต$มทกำ$หนด
วธทำา แปลงปญห$ใหเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทน ประธ$น , รองประธ$น , เหรญญก , ปฏคม และเลข$นก$ร เสนเชอมแทนก$รจบมอทกท$ยของคณะกรรมก$รนกเรยน จะไดว$
กร$ฟนมจดยอด 5 จด โดยให A แทน ประธ$น , B แทน รองประธ$น , C แทน เหรญญก , D แทน ปฏคม และ E แทน เลข$นก$ร
ดงนน จดยอด A มดกรเท$กบ 4 จดยอด B มดกรเท$กบ 3 จดยอด C มดกรเท$กบ 3 จดยอด D มดกรเท$กบ 4 จดยอด E มดกรเท$กบ 2
จะเหนว$ กร$ฟมจดยอดคเปนจำ$นวนค สอดคลองกบทฤษฎบท ดงนน คณะกรรมก$รนกเรยนจะจบมอทกท$ยกนไดต$มทกำ$หนด
A
D
EC
B
Page 29
แบบฝกทกษะท 8เรอง จดยอดค และ จดยอดค
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
จ$กกร$ฟ จดยอดค คอ .......................................................................................... จดยอดค คอ ..........................................................................................
2. กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$จดยอดค และ จดยอดค
จ$กกร$ฟ จดยอดค คอ ........................................................................................ จดยอดค คอ
E
A
B
C D
GF
A
DE
CB
Page 30
.............................................................................
...........
3. จงพจ$รณ$ว$เปนไปไดหรอไมทตำ$บลหนงม 5 หมบ$น โดยม 3 หมบ$นซงแตละหมบ$น มถนนเชอมหมบ$นอนเพยง 3 ส$ย , ม 1 หมบ$นทมถนนเชอมกบหมบ$นอนเพยง 2 ส$ย และม 1 หมบ$นมถนนเชอมกบหมบ$นทเหลอทกหมบ$น
วธทำ$ ……..……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
Page 31
……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………...
9. แนวเดน
บทนยาม ให u และ v เปนจดยอดของกร$ฟ แนวเดน u – v ( u – v walk ) คอลำ$ดบจำ$กด
ของจดยอดและเสนเชอมสลบกน u = u0 , e , u1 , e2 , u 2 , e3 ,… , u n - 1 , en ,
un = v โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และ
Page 32
e5e4
e3e2e1
A
B
C
D
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$แนวเดน A – C , D – B
เพอคว$มสะดวกจะเขยนเสนท$ง จ$ก A – C ดวยลำ$ดบของจดยอดและเสนเชอม
จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน A – C ดงน เสนทางท 1 A , e1 , B , e2 , A , e5 , D , e4 , C หรอ A , B , A , D , C เสนทางท 2 A , e1 , B , e3 , C หรอ A , B , C เสนทางท 3 A , e5 , D , e4 , C หรอ A , D , C
แนวเดน D – B มดงน เสนทางท 1 D , e5 , A , e1 , B หรอ D , A , B เสนทางท 2 D , e5 , A , e2 , B หรอ D , A , B เสนทางท 3 D , e4 , C , e3 , B หรอ D , C , B
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$แนวเดน B – D , C – E
A
B
C
DE
Page 33
เพอคว$มสะดวกจะเขยนเสนท$ง จ$ก B – D ดวยลำ$ดบของจดยอดและเสนเชอม
จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน B – D ดงน เสนทางท 1 B , A , E , D เสนทางท 2 B , A , C , D เสนทางท 3 B , C , A , E , D เสนทางท 4 B , C , A , D เสนทางท 5 B , C , D เสนทางท 6 B , A , D
จ$กบทนย$ม จะไดแนวเดน C – E ดงน เสนทางท 1 C , B , A , D , E เสนทางท 2 C , B , A , C , D , A , E เสนทางท 3 C , B , A , C , D , E เสนทางท 4 C , D , A , E เสนทางท 5 C , B , A , E เสนทางท 6 C , A , D , E เสนทางท 7 C , D , E
หมายเหต สำ$หรบกร$ฟใดๆทไมมเสนเชอมขน$นและไมมวงวนอ$จเขยนแนวเดนดวยลำ$ดบของจดยอด เชน ในตวอย$งท 1 แนวเดน A – C ส$ม$รถเขยนแทนไดดวย A , B , C
Page 34
e5 Ee6
e9e8 e7e4
e3
e2 e1
FD
C
B
A
แบบฝกทกษะท 9 เรอง แนวเดน
คำาชแจง จ$กกร$ฟจงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
G
1. แนว เดน A – D คอ ........................................................ หรอ ......................................... 2. แนวเดน B – E คอ ........................................................ หรอ ......................................... 3. แนวเดน A – C คอ ........................................................ หรอ ......................................... 4. แนวเดน B – D คอ ........................................................ หรอ ......................................... 5. แนวเดน B – F คอ ........................................................ หรอ .........................................
2. จ$กกร$ฟ G แนวเดนทกำ$หนดใหจงบอกว$เปนแนวเดนของวถอะไร
Page 35
e5 Ee6
e9e8 e7e4
e3
e2 e1
FD
C
B
A
6. แนวเดน C , e8 , F , e5 , A , e1 , E เปนแนวเดนของ .......................................................... 7. แนวเดน F , e8 , C , e3 , B , e4 , C , e9 , D เปนแนวเดนของ ............................................. 8. แนวเดน E , e7 , D , e9 , C , e8 , F , e5 , A เปนแนวเดนของ ............................................. 9. แนวเดน F , e5 , A , e1 , E , e7 , D , e9 , C เปนแนวเดนของ .............................................. 10. แนวเดน D , e7 , E , e1 , A , e2 , B , e3 , C เปนแนวเดนของ ................................
10. กราฟเชอมโยง
จ$กบทนย$มจะไดว$ กราฟทจะเปนกราฟเชอมโยง จะตองมแนวเดนระหวางจดยอดทกจดในกราฟ
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด
บทนยาม กร$ฟ G เรยกว$ กร$ฟเชอมโยง ( connected graph ) กตอเมอ สำ$หรบ จดยอด u และ v ทเปนจดยอดต$งกน
E
DC
BA
Page 36
เปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ มแนวเดน A – C , มแนวเดน B – D มแนวเดน A – E , มแนวเดน D – E เปนตน
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด
เปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ มแนวเดน A – D , มแนวเดน A – E มแนวเดน A – C , มแนวเดน B – D มแนวเดน B – E , มแนวเดน E – D เปนตนตวอยางท 3 จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด
ไมเปนกร$ฟเชอมโยง เพร$ะว$ ไมมแนวเดน A – E , ไมมแนวเดน B – E
E
D
C
BA
ED C
BA
Page 37
ไมมแนวเดน C – E , ไมมแนวเดน D – E
ตวอยางท 4 กำ$หนดข$ยง$นก$รเชอมโยงระหว$งเส$ไฟฟ$และส$ยไฟฟ$ในอำ$เภอภก$มย$ว ดงรป ถ$เกดเหตก$รณเส$ไฟฟ$ตนหนงลมแลว จงห$ว$เส$ไฟฟ$ตนใดเมอลมแลวจะทำ$ใหกร$ฟเชอมโยงของข$ยง$นเสยห$ยม$กทสด
วธทำา แปลงปญห$ข$งตนเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทนเส$ไฟฟ$ เสนเชอมแทนส$ยไฟฟ$ดงรป
จ$กกร$ฟจะพบว$ ถ$ลบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) ออกเสนทเกดกบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) จะถกลบออกดวย ดงนน กร$ฟทเกดจ$กก$รลบจดยอด 3 ( บ$นเจน ) ออก จะไมเปนกร$ฟเชอมโยง ดงรป
ถ$ลบจดยอดอน เชน จดยอด 1 หรอ จดยอด 2 หรอ จดยอด 4 หรอ จดยอด 5 หรอ จดยอด 6 ออกจ$กกร$ฟ กร$ฟทเกดจ$กก$รลบจดยอดดงกล$ว ยงคงเปนกร$ฟเชอมโยง
65
43
2
1
6
4
5
2
1
6 บานกวาน 5 บานดอกบว
4 บานสนปากอก3 บานเจน
2 บานรอง1 บานรองปอ
Page 38
ดงนน เส$ไฟฟ$ท 3 (บ$นเจน) จงเปนเส$ไฟฟ$ทสำ$คญทสด เพร$ะถ$เส$ไฟฟ$ท 3 (บ$นเจน) ลม จะทำ$คว$มเสยห$ยม$กกว$เส$ไฟฟ$ตนอนลม
แบบฝกทกษะท 10เรอง กราฟเชอมโยง
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
Page 39
1. กร$ฟตอไปนเปนกร$ฟเชอมโยงหรอไม เพร$ะเหตใด1) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 2) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 3) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... .................................................................................... 4) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. .....
D
C B
A
FEBA
FDC
B
A
E
D C
BA
Page 40
.............................................................................. ....................................................................................
5) ตอบ ................................................................................... เพร$ะ .................................................................................. ................................................................................... ....................................................................................
2. กำ$หนดข$ยง$นก$รเชอมโยงระหว$งเส$โทรศพทและส$ยโทรศพทในเขตอำ$เภอแหงหนง ดงรป
ถ$เกดเหตก$รณเส$โทรศพทตนหนงลมแลว จงห$ว$เส$โทรศพทตนใดเมอลมแลวจะทำ$ใหกร$ฟ เชอมโยงของข$ยง$นเสยห$ยม$กทสด
วธทำ$
E
D
C
BA
6
5
43
21
Page 41
11. วถออยเลอร
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4
วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 คอ A , E , D , C หรอ A , F , C , D หรอ E , F , C , D หรอ B , C , D , E หรอ B , C , F , A หรอ D , C , F , E เปนตน
วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 คอ A , B , C , D , E หรอ A , F , E , D , C หรอ A , E , D , C , B หรอ E , F , C , B , A หรอ F , C , B , A , E เปนตน
B
C D
F
EA
Page 42
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – D และ วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – E
วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – D คอ A , B , C , D หรอ A , C , E , D หรอ A , E , C , D
วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – E คอ B , A , C , D , E หรอ B , C , A , D , C
หรอ B , C , D , A , E
ตวอยางท 3 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก B – E และ วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – A
วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก B – E คอ B , A , D , E หรอ B , C , D , E หรอ B , D , A , E
วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – A คอ C , B , D , E , A หรอ C , D , B , E , A
E D
C
B
A
E DC
BA
Page 43
หรอ C , B , E , D , A หรอ C , D , E , B , A
แบบฝกทกษะท 11เรอง วถออยเลอร
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4
E
D C
BA
Page 44
1) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก A – C คอ.............................................................................
2) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก E – B คอ ............................................................................
3) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – D คอ ...........................................................................
4) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก B – A คอ ...........................................................................
2. จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 และวถออยเลอรย$วเท$กบ 4
1) วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 จ$ก D – A คอ ...............................................................................
2) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก E – D คอ ................................................................................
3) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก F – C คอ ...............................................................................
4) วถออยเลอรย$วเท$กบ 4 จ$ก C – B คอ ...............................................................................
3. จงเขยนกร$ฟทมจดยอด 5 จด แลวห$วถออยเลอรย$วเท$กบ 3 , ย$วเท$กบ 4 และ
GF
A
DE
CB
Page 45
ย$วเท$กบ 5 ม$อย$งนอย 2 ตวอย$ง
12. วงจรออยเลอร
บทนยาม วงจร ( circuit ) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกต$งกน โดยมจดยอดเรมตน และจดสดท$ยเปนจดเดยวกน
Page 46
ตวอยางท 1 จงเขยนวงจรจำ$นวน 4 วงจร จ$กกร$ฟทกำ$หนดใหตอไปน
วธทำา จ$กบทนย$ม ส$ม$รถเขยนวงจรจ$กกร$ฟไดดงนวงจรท 1 A , B , C , D , Aวงจรท 2 E , C , B , A , Eวงจรท 3 D , E , A , B , C , Dวงจรท 4 C , B , A , D , C
วงจรออยเลอร
ตวอยางท 2 จงห$วงจรออยเลอรจ$กกร$ฟทกำ$หนดให
วธทำา
บทนยาม วงจรออยเลอร ( Euler circuit ) คอ วงจรทผ$นจดยอดทกจด
E D
C
B
A
g f
e
dc
b
a
Page 47
ขนตอนการหาวงจรออยเลอร 1. เรมตนดวยวงจรเลกๆ เชน e , c , d , e 2. ในวงจร C เลอกจดยอดทเชอมตอกบจดยอดอน โดยใชด$นทนอกเหนอจ$กวงจร C และสร$งวงจรใหม จ$กนนนำ$ไปแทรกในวงจรเดม เชน ในทนมจด c ทเชอมตอกบจดยอดอนดวยด$นนอกวงจร แลวสร$งวงจร C : c , f , g , a , b , c จ$กนนนำ$วงจร C ม$แทรกใน C ในตำ$แหนงของจด c ซงจะไดวงจรทขย$ยใหญขน นนคอ e , c , f , g , a , b , c , d , e 3. ทำ$เชนเดยวกบขอท 2 จนด$นถกใชทกด$นเพยงครงเดยว กจะไดวงจรออยเลอรของกร$ฟทตองก$ร ซงเขยนเปนแผนภ$พแสดงก$รห$วงจรออยเลอรไดดงน C : e , c , d , e C : c , f , g , a , b , c เมอรวมกนจะได e , c , f , g , a , b , c , d , e ดงนนจะไดว$ วงจรออยเลอร คอ e , c , f , g , a , b , c , d , e
ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟดงรป จงห$วงจรออยเลอร
วธทำา C : e , c , d , e C : c , f , a , g , c เมอรวมกนจะได e , c , f , a , g , c , d , e
a
b
cd
e
fg
Page 48
C : c , b , a , c เมอรวมกนจะได e , c , b , a , c , f , a , g , c , d , e C : b , g , f , b เมอรวมกนจะได e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e ดงนนวงจรออยเลอร คอ e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e
ตวอยางท 4 จ$กกร$ฟทกำ$หนดให จงห$วงจรออยเลอรม$ 3 วงจร
วธทำา จ$กบทนย$มของวงจรออยเลอร ส$ม$รถเขยนวงจรออยเลอรจ$กกร$ฟไดดงน
C : A , B , C , A C : B , D , A , E , B เมอรวมกนจะได A , B , D , A , E , B , C , A C : A , E , F , A เมอรวมกนจะได A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A
ดงนนวงจรออยเลอร คอ A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A หรอ C : A , E , F , A C : E , B , D , A , E เมอรวมกนจะได A , E , B , D , A , E , F , A
F
E DC
BA
Page 49
C : B , C , A , B เมอรวมกนจะได
A , E , B , C , A , B , D , A , E , F , Aดงนนวงจรออยเลอร คอ A , E , B , C , A , B , D , A , E , F ,
A หรอC : B , C , A , B
C : A , E , F , A เมอรวมกนจะได B , C , A , E , F , A , B C : E , B , D , A , E เมอรวมกนจะได
B , C , A , E , B , D , A , E , F , A , Bดงนนวงจรออยเลอร คอ B , C , A , E , B , D , A , E , F , A ,
B
จากบทนยามของวงจรออยเลอรและตวอยางท 4 พอจะสรปสมบตของวงจรออยเลอรไดดงน
สมบตของวงจรออยเลอร มดงน1.แนวเดนผานเสนเชอมทกเสนของ
กราฟ2.แนวเดนจะตองไมผานเสนเชอมใด
เกนหนงครง3.มจดเรมตนและจดสนสดเปนจด
เดยวกน
Page 50
แบบฝกทกษะท 12เรอง วงจรออยเลอร
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. จงเขยนวงจรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหม$ 3 วงจร
วงจรท 1. ……………………………………………………………………………… วงจรท 2. ……………………………………………………………………………… วงจรท 3. ………………………………………………………………………………
E
D
C
B
A
Page 51
2. จงเขยนวงจรออยเลอรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหม$ 3 วงจร
วงจรท 1. …………………………………………………………………………… วงจรท 2. …………………………………………………………………………… วงจรท 3. ……………………………………………………………………………
3. จงเขยนกร$ฟทมจดยอด 4 จด พรอมทงห$วงจรและวงจรออยเลอรม$อย$งนอยอย$งละ 3 วงจร
D C
BA
Page 52
13. กราฟออยเลอร
บทนยาม กร$ฟทมวงจรออยเลอร เรยกว$กร$ฟออยเลอร ( Eulerian graph )
จ$กบทนย$ม กร$ฟออยเลอรจะเปนกร$ฟเชอมโยงเสมอ เพร$ะว$ ถ$ u และ v เปนจดยอดสองจด ทแตกต$งกนบนกร$ฟออยเลอร แลวสวนของวงจรออยเลอรทเชอม u และ v จะเปนแนวเดน u – v
ตวอยางท 1 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม
Page 53
G
วธทำา เนองจ$กกร$ฟ G มแนวเดน A , B , C , D , E , C , E , F , B , F , A เปนวงจรออยเลอร
ดงนน กร$ฟ G จงเปนกร$ฟออยเลอร
ตวอยางท 2 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม
G
วธทำา จ$กบทนย$มของกร$ฟออยเลอร ไมมแนวเดนใดในกร$ฟ G เปนวงจรออยเลอร
ดงนน กร$ฟ G จงไมเปนกร$ฟออยเลอร ในก$รตรวจสอบว$กร$ฟใดๆจะเปนกร$ฟออยเลอรหรอไมนน
นอกจ$กตรวจสอบดวยวงจรออยเลอรแลว ยงมวธก$รตรวจสอบอกโดยใชทฤษฎบท 3 ดวย
ตวอยางท 3 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟ G1 , G2 และ G3 เปนกร$ฟออยเลอรหรอไม ถ$เปนจงห$วงจรออยเลอร
HG
F E
CB
DA
B
E
DA
F
C
ทฤษฎบท 3 กำ$หนดให G เปนกร$ฟเชอมโยง G จะเปนกร$ฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทก
E D
C
B
A
D C
BA D
CB
A
Page 54
G1 G2 G3
วธทำา กร$ฟ G1 เปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะจดยอดทกจดของ G1 เปน
จดยอดค ซงมวงจรออยเลอร แทนดวยลำ$ดบของจดยอดดงน A , B , C , D , E , A , C , D , E , A
กร$ฟ G2 ไมเปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะมจดยอด A มดกรเท$กบ 3 และจดยอด D มดกรเท$กบ 3
กร$ฟ G3 ไมเปนกร$ฟออยเลอร เพร$ะมจดยอด B มดกรเท$กบ 3 และจดยอด D มดกรเท$กบ 1
แบบฝกทกษะท 13 เรอง กราฟออยเลอร
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
จงพจารณาวากราฟทกำาหนดใหเปน หรอ ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะเหตใด ถาเปน
กราฟออยเลอรใหเขยนวงจรออยเลอรลงในตารางทกำาหนดใหกร$ฟทกำ$หนดให เปน ไม เหตผล วงจรออย
สรป1.กราฟออยเลอรจะเปนกราฟเชอมโยงเสมอ2.การตรวจสอบวากราฟใดเปนออยเลอรนน
ใหดวาจดยอดทกจดในกราฟตองเปนจดยอดค
Page 55
E
D
CB
A
F
ED
C
B
A
ED
C
B
A
F E
D
C
B
A
F
E D
C
BA
เปน เลอร1.
2.
3.
4.
5.
14. คานำาหนกของเสนเชอม
บทนยาม ค$นำ$หนก ( weight ) ของเสนเชอม e คอจำ$นวนทไมเปนลบทกำ$หนดใหบนเสนเชอม e
Page 56
จ$กบทนย$ม จะไดว$ ค$นำ$หนกของเสนเชอมใดๆในกร$ฟกคอ จำ$นวนบวกทเขยนกำ$กบไวบน เสนเชอมนนเอง
ตวอยางท 1 จงห$ค$นำ$หนกของเสนเชอมแตละเสนจ$กกร$ฟตอไปน
วธทำา จ$กบทนย$ม ค$นำ$หนกของเสนเชอมจะไดว$เสนเชอม AB มค$นำ$หนกเท$กบ 6เสนเชอม AC มค$นำ$หนกเท$กบ 3เสนเชอม BC มค$นำ$หนกเท$กบ 4เสนเชอม AE มค$นำ$หนกเท$กบ 3เสนเชอม DE มค$นำ$หนกเท$กบ 2เสนเชอม AD มค$นำ$หนกเท$กบ 5เสนเชอม DC มค$นำ$หนกเท$กบ 2
ตวอยางท 2 จงเขยนกร$ฟ G เมอกำ$หนดใหมจดยอดคอ V(G) = { V , V , V , V } และเสนเชอมE(G) = { V V , V V 3 , V V , V V 2 , V 2 V , V V , V V } โดยทค$นำ$หนกของ V V , V V , V V , V V , V V , V V , V V เปน 4 , 3 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 ต$มลำ$ดบวธทำา จ$กโจทยจะไดว$
ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 4
4
6
2 2
35
3E
D
CB
A
Page 57
ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V 3 = 3ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 2ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V 2 = 3ค$นำ$หนกของเสนเชอม V 2 V = 4ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 5ค$นำ$หนกของเสนเชอม V V = 2ซงเขยนกร$ฟไดดงน
กราฟถวงนำาหนกจ$กคว$มรเรองค$นำ$หนกของเสนเชอมในกร$ฟ ส$ม$รถสรปบทนย$ม
ของกร$ฟถวงนำ$หนกไดดงน
ตวอยางท 3 จงพจ$รณ$ว$กร$ฟทกำ$หนดใหเปนกร$ฟถวงนำ$หนกหรอไม เพร$ะเหตใด
54
4
3
3
22V4
V3
V2
V1
บทนยาม กร$ฟถวงนำ$หนก ( weighted graph ) คอกร$ฟทเสนเชอมทกเสนมค$นำ$หนก
4
4
2 22 2D C
BA
4
43
322D C
BA
3 3
13 32 2
2
22
2
2
HGFE
DC
BA
Page 58
G1 G2 G3
วธทำา G1 เปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอมทกเสนมค$นำ$หนก G2 ไมเปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอม AB อก 1 เสนไมมค$นำ$หนก G3 ไมเปนกร$ฟถวงนำ$หนก เพร$ะ เสนเชอม GG ไมมค$นำ$หนก
แบบฝกทกษะท 14เรอง คานำาหนกของเสนเชอม
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
Page 59
1. จ$กกร$ฟ จงห$
1) ค$นำ$หนกของ AB เท$กบ ............................................. 2) ค$นำ$หนกของ BC เท$กบ ............................................. 3) ค$นำ$หนกของ CD เท$กบ ............................................. 4) ค$นำ$หนกของ DE เท$กบ ............................................. 5) ค$นำ$หนกของ EF เท$กบ ............................................. 6) ค$นำ$หนกของ CE เท$กบ ............................................. 7) ค$นำ$หนกของ FC เท$กบ ............................................. 8) ค$นำ$หนกของ AF เท$กบ .............................................
2. จงยกตวอย$งกร$ฟถวงนำ$หนกม$ 2 ตวอย$งพรอมทงบอกค$นำ$หนก...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
D76
5
2
1
3 34
F
E
CB
A
Page 60
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
...........................................................
........................................................................................
.................................................................................
15. วถทสนทสด
จดประสงคการเรยนร ห$วถทสนทสดในกร$ฟถวงนำ$หนก และนำ$ไปใชได
สาระสำาคญ วถทสนทสดเปนวถทมผลรวมของค$นำ$หนกของเสนทกเสนในวถนนมค$นอยทสด
สาระการเรยนร วถทสนทสด
บทนยาม จ$กจดยอด A ถงจดยอด Z ในกร$ฟถวงนำ$หนกคอวถ A – Z ทผลรวมของค$ นำ$หนกของเสนเชอมทกเสนในวถ A – Z นอยทสด
Page 61
จ$กบทนย$มสรปไดว$ วถทสนทสด คอ แนวเดนทมผลรวมของค$นำ$หนกของ เสนเชอมในแนวเดน ( วถ )นนมค$นอยทสด
ตวอยางท 1 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$วถ A – F ทสนทสด
วธทำา วถท 1 คอ A , B , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 5 = 7 วถท 2 คอ A , B , C , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 3 + 1 = 6 วถท 3 คอ A , B , C , D , E , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 3 + 2 + 4 + 5 = 16 วถท 4 คอ A , D , C , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 2 + 1 = 5 วถท 5 คอ A , D , E , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 4 + 5 = 11 วถท 6 คอ A , D , C , B , F มผลรวมค$นำ$หนกเท$กบ 2 + 2 + 3 + 5 = 12
ดงนนวถ A , D , C , F เปนวถทสนทสด มค$นำ$หนกเท$กบ 5
5
5
4
32
2 21
F
ED
C
B
A
Page 62
ตวอยางท 2 ในตำ$บลๆหนงมหมบ$นอย 6 หมบ$น คอ หมบ$น A , B , C , D , E , F และมถนนเชอม หมบ$น A กบหมบ$น C ย$ว 3 กโลเมตร , หมบ$น C กบหมบ$น E ย$ว 4 กโลเมตร , หมบ$น E กบ หมบ$น B ย$ว 3 กโลเมตร , หมบ$น A กบหมบ$น D ย$ว 1 กโลเมตร , หมบ$น D กบหมบ$น F ย$ว 6 กโลเมตร , หมบ$น D กบหมบ$น E ย$ว 7 กโลเมตร , หมบ$น F กบหมบ$น E ย$ว 1 กโลเมตร และหมบ$น B กบหมบ$น F ย$ว 2 กโลเมตร จงห$ระยะท$งทสนทสดจ$กหมบ$น A ไปยงหมบ$น B
วธทำา แปลงปญห$ใหเปนกร$ฟ โดยใหจดยอดแทนเมอง เสนเชอมแทนถนน และค$นำ$หนกของเสนเชอมแทนระยะท$งระหว$งหมบ$น ( หนวยเปนกโลเมตร ) จะไดกร$ฟดงรป
76
3
32
1 1F
E
D
C
B
A4
Page 63
วถท 1 คอ A , C , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 3 + 4 + 3 = 10 กม.วถท 2 คอ A , C , E , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 3 + 4 + 1 + 2 = 10 กม.วถท 3 คอ A , D , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 7 + 3 = 11 กม.วถท 4 คอ A , D , E , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 7 + 1 + 2 = 11 กม.วถท 5 คอ A , D , F , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 6 + 2 = 9 กม.วถท 6 คอ A , D , F , E , B มระยะท$งจ$กเมอง A ไปยงเมอง B ย$วเท$กบ 1 + 6 + 1 + 3 = 11 กม. ดงนนวถท 5 คอ A , D , F , B เปนวถทสนทสดจากเมอง A ไปยงเมอง B ซงมระยะทางเทากบ 9 กม.
แบบฝกทกษะท 14เรอง วถทสนทสด
จดประสงคการเรยนรห$วถทสนทสดในกร$ฟถวงนำ$หนก และนำ$ไปใชได
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
Page 64
ใชกร$ฟ G ตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 3
1. จงเตมคำ$ตอบลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ 1) จำ$นวนวถทงหมดจ$ก A – B เท$กบ ......................... วถ 2) วถ A – B ไดแก ........................................................................................................................ 3) วถ A – B ทสนทสดคอ.............................................................................................................. 4) วถ A – B ทมผลรวมของค$นำ$หนกม$กทสดคอ........................................................................ 5) วถ A – V2 มทงหมด ..............วถไดแก...................................................................................... 6) วถ A – V2 ทสนทสดคอ............................................................................................................. 2. ใหนกเรยนพจ$รณ$วถ V1 – V4 แลวจบควถ กบ จำ$นวนตอไปน 1) วถทงหมดของ V1 – V4 ก. 4 2) วถทสนทสดของ V1 – V4 ข. 5 3) วถทย$วทสดของ V1 – V4 ค. 12
5
5
33
4 211BA
V4
V3
V2V1
Page 65
4) วถทย$วเท$กนของ V1 – V4 ง. 13 5) วถทใชเสนเชอมเท$กบ 3 เสนย$วเท$กบ จ. 15
3. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด .............. 1. วถ V2 – V4 มทงหมด 5 วถ .............. 2. วถทสนทสดของ V2 – V4 คอวถ V2 , V3 , A , V4 ……….. 3. วถทมผลรวมของค$นำ$หนกม$กทสดคอ V2 , V1 , A , V3 , B , V4 ……….. 4. มวถทสนทสดทย$วเท$กนของวถ V2 – V4 ……….. 5. ผลรวมของค$นำ$หนกทสนทสดของ V2 – V4 คอย$วเท$กบ 6 ……….. 6. ผลรวมของค$นำ$หนกทม$กทสดของ V2 – V4 คอย$วเท$กบ 15
Page 66
เอกสารประกอบการเรยนท 15 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง วฎจกร
จดประสงคการเรยนร
ห$วฎจกรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ วฎจกรเปนวงจรทไมมจดยอดซำ$กน ยกเวนจดยอดเรมตนและจดสดท$ย
สาระการเรยนร วฎจกร
บทนยาม วฎจกร คอ วงจรทไมมจดยอดซำ$กน ยกเวนจดเรมตนและจดสดท$ย
Page 67
e3 e4e2e1
e6e7 EDCB
A
e5
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G จงพจ$รณ$ว$ในขอ 1 – 4 ว$ขอใดเปนวฎจกร
1. A , e , B , e , C , e , A 2. A , e , C , e , D , e , A , e , E , e , D , e , A
3. B , e , C , e , D , e , A , e , C , e , B
4. D , e , A , e1 , B , e , C , e , Dวธทำา จ$กบทนย$มของวฎจกรจะไดว$
วงจรท 1 เปนวฎจกร เพร$ะ วงจรไมมจดยอดใดซำ$กนวงจรท 2 ไมเปนวฎจกร เพร$ะ วงจรมจดยอด A ซำ$กนวงจรท 3 ไมเปนวฎจกร เพร$ะ วงจรมจดยอด C ซำ$กนวงจรท 4 เปนวฎจกร เพร$ะ วงจรไมมจดยอดใดซำ$กน
ตวอยางท 2 จ$กกร$ฟ G ดงรป จงห$วฎจกรในกร$ฟม$ 3 วฎจกร
A
EDCB
Page 68
วธทำา จ$กบทนย$มของวฎจกรจะส$ม$รถเขยนวฎจกรในกร$ฟ G ไดดงน
1. A , B , C , A2. B , C , D , A , B3. C , A , E , D , C4.
จ$กตวอย$งท 1 และตวอย$งท 2 ส$ม$รถสรปลกษระของวฎจกรไดดงน1. เปนวงจร2. ไมมจดยอดในวงจรซำ$กน
แบบฝกทกษะท 15เรอง วฎจกร
จดประสงคการเรยนร ห$วฎจกรจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
Page 69
ใชกร$ฟตอบคำ$ถ$มขอ 1 – 3
1. จ$กร$ฟทกำ$หนดให จงห$วฎจกรม$ 4 วฎจกร 1) ………………………………………………………………………………………………… 2) ………………………………………………………………………………………………… 3) ………………………………………………………………………………………………… 4) ………………………………………………………………………………………………… 2. ใหนกเรยนพจ$รณ$กร$ฟ แลวจบคเปนวฎจกร หรอไมเปนวฎจกร 1) A , B , C , D , B , A ก. เปนวฎจกร 2) A , G , D , C , B , A ข. ไมเปนวฎจกร 3) G , F , D , C , E , F , G 4) E , C , B , D , C , E 5) F , G , D , C , E , F
G FE
D
CB
A
Page 70
3. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก
ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด .............. 1. วฎจกรจะเรมตนทจดไหนกไดและจดสดท$ยตองเปนจดเดยวกนกบจดเรมตน .............. 2. วฎจกรจะใชแตละจดทไมใชจดเรมตนเพยงครงเดยว ……….. 3. วฎจกรจะใชจดยอดทกจดสองครงกได ……….. 4. กร$ฟใดๆทไมมวงวน จะมวฎจกรและใชจดยอดเพยงสองจดเท$นน ……….. 5. กร$ฟใดๆจะมวฎจกรไดตองมเสนเชอมอย$งนอย 2 เสน
Page 71
เอกสารประกอบการเรยนท 16 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง ตนไม
จดประสงคการเรยนรห$ตนไมจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ ตนไมเปนกร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกร ซงส$ม$รถนำ$ไปใชในก$รห$ตนไมแผทวได
สาระการเรยนรตนไม
จ$กบทนย$มสรปไดว$ กร$ฟใดๆจะเปนตนไมจะตองเปนกร$ฟเชอมโยง และไมมวฎจกร
บทนยาม ตนไม คอ กร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกร
Page 72
ตวอยางท 1 จงห$ว$กร$ฟในขอใดเปนตนไม
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
วธทำา จ$กบทนย$มของตนไม จะไดว$(1) ไมเปนตนไมเพร$ะมวฎจกร
(2) ไมเปนตนไม เพร$ะว$ไมเปนกร$ฟเชอมโยง และ มวฎจกร(3) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(4) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(5) เปนตนไม เพร$ะว$เปนกร$ฟเชอมโยง และ ไมมวฎจกร(6) ไมเปนตนไม เพร$ะว$ มวฎจกร
ขอสงเกต1. ตนไมไมมเสนเชอมขนานและไมมวงวน2. ตนไมทมจดยอด n จด จะมเสนเชอม n – 1 เสน
เสมอ
Page 73
แบบฝกทกษะท 16เรอง ตนไม
จดประสงคการเรยนรห$ตนไมจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
คำาชแจง จงเตมคำ$ตอบทถกตองลงในชองว$งแตละขอใหถกตองสมบรณ
1. จงพจ$รณ$ว$ขอคว$มตอไปนถกหรอผด ถ$ถกใหใสเครองหม$ย หน$ขอทถก ถ$ผดใหใสเครองหม$ย x หน$ขอทผด…………. 1) ตนไมจะมเสนเชอมขน$นหรอวงวนกได…………. 2) กร$ฟเชอมโยงทไมมวฎจกรเรยกว$ตนไม…………. 3) กร$ฟทไมเปนกร$ฟเชอมโยงจะเปนตนไมไมได…………. 4) กร$ฟทเปนกร$ฟเชอมโยงและมวฎจกรเรยกว$ตนไม…………. 5) กร$ฟทเปนกร$ฟเชอมโยงและไมมวฎจกรเรยกว$ตนไมเสมอ…………. 6) ตนไมทมจดยอด 9 จด จะมเสนเชอมเท$กบ 9 เสนเสมอ…………. 7) กร$ฟทเปนตนไม ถ$มเสนเชอม 12 เสน จะมจดยอด 11 จดเสมอ2. จงห$ว$กร$ฟในขอใดเปนตนไม เพร$ะเหตใด
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )……………………………………………………………………
Page 74
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงยกตวอย$งกร$ฟทเปนตนไมม$ 2 ตวอย$ง พรอมทงใหเหตผลประกอบ
Page 75
เอกสารประกอบการเรยนท 17 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง กราฟยอย และ ตนไมแผทว
จดประสงคการเรยนร ห$กร$ฟยอยและตนไมแผทวจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ กร$ฟยอยของกร$ฟใดๆ เปนกร$ฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมทเปนสบเซตของกร$ฟนน สวนตนไมแผทวเปนตนไมซงเปนกร$ฟยอยของกร$ฟเชอมโยงทบรรจจดยอดทกจดในกร$ฟนน ซงเปน พนฐ$นในก$รห$ตนไมแผทวนอยทสด
สาระการเรยนร กราฟยอยและตนไมแผทว
บทนยาม กร$ฟยอย ( Subgraph ) ของกร$ฟ G คอกร$ฟทประกอบดวยจดยอดและ เสนเชอมใน G กล$วคอ กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของกร$ฟ G ถ$ V(H) V(G)
Page 76
F D
CBA
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟ G และกร$ฟ H ดงรป
G H
จงแสดงว$กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของ G
วธทำา กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของกร$ฟ G ถ$ V(H) V(G) และ E(H) E(G)
จ$กกร$ฟ G จะได V(G) = { A , B , C , D , E , F } E(G) = { AB , AF , BC , BF , CD , CF , DE , EF }
จ$กกร$ฟ H จะได V(H) = { A , B , C , D , F } E(H) = { AF , BC , BF , CD }
จะเหนว$ V(H) V(G) และ E(H) E(G)ดงนน กร$ฟ H เปนกร$ฟยอยของ G
F
E
D
CBA
Page 77
ตวอยางท 2 กร$ฟ H1 , H2 , H3 และ H4 กร$ฟใดเปนกร$ฟยอยของ G
G H1 H2
H3 H4
วธทำา จ$กกร$ฟ G ม V(G) = { A , B , C , D , E } และ E(G) = { AB , AC , BC , BD , BE , CD , DE } จ$กกร$ฟ H1 ม V(H1) = { A , B , C , D , E } และ E(H1) = { AE , BE , BD , CD } จะไดว$ V(H1) V(G) และ E(H1) E(G) , นนคอ H1 เปนกร$ฟยอยของ G จ$กกร$ฟ H2 ม V(H1) = { A , B , C , D , E } และ E(H2) = { AB , BC , BE , DE } จะไดว$ V(H2) V(G) และ E(H2) E(G) , นนคอ H2 เปนกร$ฟยอยของ G
E B
CD
E B
CD
CD
E BA
B
A
E
D C CD
E
A
B
Page 78
จ$กกร$ฟ H3 ม V(H3) = { B , C , D , E } และ E(H3) = จะไดว$ V(H3) V(G) และ E(H3) E(G) , นนคอ H3 เปนกร$ฟยอยของ G จ$กกร$ฟ H1 ม V(H1) = { B , C , D , E } และ E(H4) = { BC , BE , CD , CE } จะไดว$ V(H4) V(G) และ E(H4) E(G) , นนคอ H4 ไมเปนกร$ฟยอยของ G
ตวอยางท 3 กำ$หนดกร$ฟ G ดงรป จงห$ตนไมแผทวของ G
G วธทำา จ$กบทนน$มของตนไมแผทว ส$ม$รถเขยนกร$ฟทเปนตนไมแผทวของ G ไดดงน
ตวอยางท 4 กำ$หนดกร$ฟดงรป H จงเขยนตนไมแผทวม$ 3 แบบ
บทนยาม ตนไมแผทว ( spannimg tree ) คอตนไมซงเปนกร$ฟยอยของกร$ฟเชอมโยง G ทบรรจ จดยอดทกจดของ G
D C
BA B
D C
A
D C
BA
D C
BA
D C
BA
D C
BA
D C
BA
D C
BA
G F E
D
C
B
A
D C
BA
Page 79
วธทำา จ$กบทนย$มของตนไมแผทว จะไดตนไมแผทวของ H ดงน
ขอสงเกต ตนไมแผทวของกราฟเชอมโยงอาจมมากกวาหนงแบบ
แบบฝกทกษะท 17 เรอง กราฟยอย และ ตนไมแผทว
จดประสงคการเรยนรห$กร$ฟยอยและตนไมแผทวจ$กกร$ฟทกำ$หนดใหได
คำาชแจง จงเขยนกร$ฟยอยและห$ตนไมแผทวของกร$ฟทกำ$หนดใหเพยง 1 แบบใหถกตองสมบรณ
ขอ
กร$ฟทกำ$หนดให กร$ฟยอย ตนไมแผทว
1
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
A
B
C
D
EFG A
B
C
D
EFG A
B
C
D
EFG
E D C B
A
Page 80
2
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
5
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
F E
D
CB
A G F E
DCBA
V6V5
V1
V2V3
V4
E
D
C
B
A
Page 81
………… ………
เอกสารประกอบการเรยนท 18 รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ( ค 41202 )
ระดบชนมธยมศกษาปท 4เรอง ตนไมแผทวทนอยทสด
จดประสงคการเรยนร ห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟถวงนำ$หนกทกำ$หนดใหได
สาระสำาคญ ตนไมแผทวทนอยทสด เปนตนไมแผทวทมผลรวมของค$นำ$หนกของแตละเสนเชอมนอยทสด
สาระการเรยนร ตนไมแผทวทนอยทสด
จ$กบทนย$ม ตนไมแผทวทนอยทสดห$ไดโดยก$รห$ผลรวมของค$นำ$หนกของแตละเสนเชอม ในตนไมแผทวทมค$นอยทสด
บทนยาม ตนไมแผทวทนอยทสด ( minimal spanning tree ) คอ ตนไมแผทวทมผลรวมของ ค$นำ$หนกของแตละเสนเชอมนอยทสด
Page 82
ตวอยางท 1 กำ$หนดกร$ฟถวงนำ$หนกดงรป จงห$ตนไมแผทวทนอยทสด
วธทำา ห$ตนไมแผทวของกร$ฟทกำ$หนดใหทงหมด ดงน H1 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H1 เท$กบ 1 + 1 + 1 = 3
H2 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H2 เท$กบ 1 + 2 + 1 = 4
H3 ผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมทงหมดของ H3 เท$กบ 1 + 2 + 1 = 4
ดงนนกร$ฟ H1 เปนตนไมแผทวทนอยทสด
21
11
C
DA
B
111
A
B C
D
21 1
A
B C
D
12
1
A
B C
D
Page 83
ตวอยางท 2 กำ$หนดกร$ฟถวงนำ$หนกดงรป จงห$ตนไมแผทวทนอยทสด
วธทำาขนท 1 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทน คอ DF มนำ$หนกเท$กบ 3
ขนท 2 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสดจ$กเสนเชอมทเหลอ และไมทำ$ใหเกดวฎจกรในทน คอเสนเชอม AE และ BF ซงมค$นำ$หนกเท$กบ 4 จะเหนว$เสนเชอม DF , AE และ BF ไมเปนวฎจกร
ขนตอนตอๆไป ทำ$เชนเดยวกบขนตอนท 2 จนกระทงไดตนไมแผทวขนท 3 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทนคอ มนำ$หนกเท$กบ 5 โดยเลอกเสนเชอม AB หรอ FE เสนใดเสนหนง เพร$ะถ$เลอกทงสองเสนจะทำ$ใหเกดวฎจกร ในทนเลอก AB
B C
DE
A4
58
58
3F4
6
7
B C
DE
A4
58
58
3F4
6
7
B C
DE
A4
58
58
3F4
6
7
D8
8 7
6
34
4
5
5FA
B C
E
Page 84
ขนท 4 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกเท$กบ 6 ในทนคอเสนเชอม BC
จ$กขนท 1 ถง ขนท 4 จะไดตนไมแผทวทนอยทสด และผลรวมค$นำ$หนกของตนไมแผทวทนอยทสด คอ 3 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22 จะไดรป
ตวอยางท 3 บรษทรบเหม$ตดตงโทรศพทแหงหนงตองก$รว$งส$ยโทรศพทเชอมระหว$งหมบ$น A , B , C , D , E และ F โดยจะว$งส$ยไปต$มถนน ค$ใชจ$ยในก$รว$งส$ยโทรศพทขนอยกบคว$มย$วของส$ยโทรศพท บรษทนจะว$งส$ยโทรศพทอย$งไรใหเสยค$ใชจ$ยนอยทสด เมอกำ$หนดต$ร$งแสดงระยะท$ง ( กโลเมตร ) ของถนนเชอมระหว$งหมบ$นดงน
หมบ$น
A B C D E F
A - 30 - - - 40B 30 - 10 - 50 20C - 10 - 20 30 -D - - 20 - 10 20E - 50 30 10 - 60F 40 20 - 20 60 -
B C
DE
A4
58
58
3F46
7
B C
DE
A4
53F
46
Page 85
วธทำา แปลงปญห$ข$งตนเปนกร$ฟถวงนำ$หนกโดยใช จดยอดแทนหมบ$น เสนเชอมแทนถนน และค$นำ$หนกของเสนเชอมคอระยะท$งระหว$งหมบ$น ดงรป
เนองจ$กตนไมแผทวของกร$ฟจะประกอบดวยจดยอดทกจดของกร$ฟ และมวถระหว$งทกๆคของจดยอดในตนไม ดงนนคำ$ตอบของปญห$น คอ ก$รห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟ
พจ$รณ$ขนตอนในแตละขนของเสนทเลอก
ขนท 1 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทน คอ เสนเชอม BC และ DE มนำ$หนกเท$กบ 10
ขนท 2 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสดจ$กเสนเชอมทเหลอ และไมทำ$ใหเกดวฎจกร ในทน คอเสนเชอม CD , DF และ BF ซงมค$นำ$หนกเท$กบ 20 โดยเลอกเสนเชอม CD , DF และ BF พรอมกนทงส$มเสนไมได เพร$ะจะทำ$ใหเกดวฎจกร ในทนเลอกเสนเชอม CD และ DF
3020A
B C
D
EF
10
10
2030
40 2050
60
60
502040
30 20
10
10
F E
D
CB
A20 30
60
502040
30 20
10
10
F E
D
CB
A20 30
Page 86
ขนตอนตอๆไปทำ$เชนเดยวกบขนตอนท 2 จนกระทงไดตนไมแผทวขนท 3 เลอกเสนเชอมทมนำ$หนกนอยทสด ในทนคอนำ$หนกเท$กบ 30 โดยเลอกจ$กเสนเชอม CE และ AB จะเหนว$ถ$เลอกเสนเชอม CE จะทำ$ใหเกดวฎจกรจงไมเลอก จะเลอกเสนเชอม AB
จ$กขนท 1 ถงขนท 3 จะไดตนไมแผทวทนอยทสด และผลรวมค$นำ$หนกของเสนเชอมเท$กบ 10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 ดงนนบรษทรบเหม$แหงนตองว$งส$ยโทรศพทต$มถนนดงรปข$งล$งจงจะเสยค$ใชจ$ยนอยทสด
แบบฝกทกษะท 18 เรอง การหาตนไมแผทวทนอยทสด
จดประสงคการเรยนรห$ตนไมแผทวทนอยทสดของกร$ฟถวงนำ$หนกทกำ$หนดใหได
คำาชแจง 1. จงห$ตนไมแผทวทนอยทสดจ$กกร$ฟทกำ$หนดให พรอมทงเขยนกร$ฟตนไมแผทวทนอยทสด
60
502040
30 20
10
10
F E
D
CB
A20 30
20
30 20
10
10
F E
D
CB
A
Page 87
ขอ
กร$ฟถวงนำ$หนก ตนไมแผทวทนอยทสด
1
2
3
2. บรษทรบเหม$ตดตงไฟฟ$แหงหนงตองก$รว$งส$ยไฟฟ$เชอมระหว$งหมบ$น A , B , C , D , E และ F โดยจะว$งส$ยไปต$มถนน ค$ใชจ$ยในก$รว$งส$ยไฟฟ$ขนอยกบคว$มย$วของส$ยไฟฟ$
23 1 21
5
54A
B C
D
E
F
1
5
2
354
67
FC
D
A B
E
55
4
42
3 6
7A
B
E
C
D
Page 88
บรษทนจะว$งส$ยไฟฟ$อย$งไรใหเสยค$ใชจ$ยนอยทสด เมอกำ$หนดต$ร$งแสดงระยะท$ง (กโลเมตร) ของถนนเชอมระหว$งหมบ$นดงน
หมบ$น
A B C D E F
A - 10 - 40 - 60B 10 - 30 40 - -C - 30 - 50 50 20D 40 40 50 - 10 -E - - 50 10 - 30F 60 - 20 - 30 -