Page 1
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 1
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
แบบฝึกหัด 1.1
จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการเชิงอนุพันธ์ในแต่ละข้อ 1-16
1. dyxdxydyyx 232 2 2. 0)2()1( 2 dyxyydxy
3. 01ln 2 dxydyxx 4. 0)1()1(2 42 dyxdxyx
5. ydyydyxydxx sin4sincos 2 6. ydxxydyx sin2cos)1(
7. 0arctan)1( 2 ydxyxdy 8. 0)2( 423 dxxydyye x
9. 0)1(4 2 dyxdxxy 10. 0costan1 ydyydxe x
11. 0)2()22( 2 dyxxdxyxxy
12. 0)1(sincos)1( dxyedyye xx
13. 0)()12( 22 dyyxydxxxe y
14. 0)33()22( dyxyxydxxyxy
15. dxyxdxyxdyy )sin()sin(sec
16. 0)9()9102( 322 dyxxdxxxy
จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ์ในข้อ 17-20
17. 02sincoscossin dyyxdxyx , 2
)0(π
y
18. dyxdxyx )1()1( , 0)0( y
19. dyxydyxdxy 23 , 1)1( y
20. )( 2xyexy , 0)0( y
Page 2
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 2
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ค าตอบแบบฝึกหัด 1.1
1. xyycx )1()1( 2 2. 12 2 ycx
3. cxyy
ln12 4. cyx arctan)arctan( 2
5. ycx 22 cos4 6. xexcy 22)1(sin
7.
x
cy tan 8.
33 69
)13(yy
cxe x
9. cyx 22 )1( 10. cyyye x cos)cotln(csc1
11. cyxx 22 )2)(2( 12. cye x )sin1)(1(
13. 2
22 yecxx 14. cyyxx )1ln(2)3ln(5
15. cxyy sin2)2cot2ln(csc
16. cy
xxx
1
3arctan
3
10)9ln(
2
1ln 2
17. yx cos2)ln(sec 18. xexy )1)(1(
19. )ln(2
3
2
3 2 xyy 20. 0122
yx ee
Page 3
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 3
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
แบบฝึกหัด 1.2
จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 1-15
1. 0)(2 22 dyyxdxxy 2. 0)( 2 ydxdyxyyx
3. 0)()( dyyxdxyx 4. 0sin
x
yxyyx
5. 0)2()2( 3232 dyxxydxyyx 6. 0)( 222 dyxyxyxdxy
7. 0)2( xdydxyxy 8. 02ln
xdydy
x
yxydx
9. 0)2()32( 22 dyxxydxyxy 10. 0)2(2 dyxeydxye yx
yx
11. 0sinsin
dy
x
yxdx
x
yyxe x
y
12. xydydxyxyx 4)323( 22
13. 0cossincos
dyx
y
x
y
y
xdx
x
y
x
y
14. 0)48()42( 2222 dyyxyxdxyxyx
15. 0)ln(ln)lnln( dyxyxdxxyyyx
จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ์ในข้อ 17-20
16. xydydxyx 2)( 22 , 0)1( y
17. xdydxyxe xy
)( , 0)1( y
18. 0cos
x
yec
x
yy , 0)1( y
19. 0)( 22 dyxdxyxy , 1)1( y
20. 0)2()2( 23322 dyyxxdxyxyyx , 2
1)1( y
Page 4
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 4
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ค าตอบแบบฝึกหัด 1.2
1. cyyx 323 2. cy
xy 12ln
3. cyxx
y
)ln(2
1arctan 22 4. cx
x
y
x
y
cotcsc
5. cxyy
x )ln(
2
2, 0x , 0y 6.
22 xyycxy
7. cxxy 8. cyy
x
ln1
9. 32 cxxyy 10. cye yx
ln2
11. cx
y
x
yex x
y
cossinln 2 12. 33)3)(( cxxyxy
13. cx
yy
sin 14. )(4 22 yxcyx
15. ycxyyxyx lnln)( 16. xxy 22
17. 1ln xy
ex 18. 01cosln
x
yx
19. yxxy ln 20. 222 2ln xxyyxy
Page 5
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 5
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
แบบฝึกหัด 1.3
จงหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 1-14
1. 0)42()42( dyyxdxyx 2. 0)222()1( dyyxdxyx
3. 0)1()1( dyyxdxyx 4. 0)12()37( dyxdxy
5. 0)1()2( dyydxyx 6. 0)2()1( dyxdxyx
7. 0)24()94( dyyxdxyx 8. 0)64()2( dyyxdxyx
9. 0)52()12( dyyxdxyx
10. 0)342()12( dyyxdxyx
11. 0)323()123( dyyxdxyx
12. 0)223()31218( dyyxdxyx
13. 0)124()2( dyyxdxyx
14. 0)152()12( dyyxdxyx
จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 13-18
15. 0)12()323( dyyxdxyx , 1)2( y
16. 0)433()( dyyxdxyx , 0)1( y
17. 0)32()7( dyyxdxy , 1)0( y
18. 0)3()8412( dyyxdxyx , 1)0( y
19. 0)33()432( dyxdxyx , 3)2( y
20. 0)932()723( dyyxdxyx , 1)3( y
Page 6
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 6
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ค าตอบแบบฝึกหัด 1.3
1. cx
yxy
2
22arctan2)2()1(4ln 22
2. cyx 2
3. cy
xyx
1arctan2)1(ln 22 4. cyx 27 )37()12(
5. cyxyx
x
1ln
1
2 6. )2(ln)2(3 xcxy
7. cy
xyx
2
1arctan8)2()1(ln 22
8. 23 )42()3( yxcyx
9. )2()4( 3 yxcyx 10. cyxyx 62)2( 2
11. cyxyx 111015ln2)133(5 12. cxyyx 32ln6
13. cyxyx 2510ln105 14. cyxyxyx 2254 22
15. 1)923)(122( 4 yxyx 16. 12ln23 yxyx
17. 128)13()7( 2 yxy
18. 8721ln814 yxyx
19. )1(1ln)1(2)2(3 xcxxy
20. 12)3(3)3)(1(4)1(3 22 xxyy
Page 7
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 7
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
แบบฝึกหัด 1.4
จงแสดงว่าสมการเชิงอนุพันธ์ในข้อ 1-14 เป็นสมการแม่นตรงและหาผลเฉลยท่ัวไปของสมการเหล่านี้
1. 0)4()12( 2 dyyxdxxy
2. 0)643()526( 22 dyxyxdxyxy
3. 0)tan2()tansecsec( 2 dyxydxxxxy
4. 0)128()83( 22322 dyyyxxdxxyyx
5. 012
2
dy
y
xydx
y
xy
6. 0)(2 22 dyyxxydx
7. 0)cos()sin( dyyexedxeye xyyx
8. 0)sin(cos 2 dyyyxdxy
9. 0)()2( 2 dyxexydxexyx yy
10. 0)2()( 22 dyxyedxyxx y
11. 0)sinsin2()cos2( dyyxydxxyx
12. 022
222
dyyxy
yxdxyxx
13. 0)13()sin4( 2233 dyxyydxyxx
14. 0))2sin(2()sin23( 22 dyxyxyxdxxyy
15. 0sinsin)cotcos(cos ydyxdxxyx
จงแสดงว่าสมการเชิงอนุพันธ์ในข้อ 16-20 เป็นสมการแม่นตรงและหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเหล่านี้
16. 0)6(3)1( 233 dyxeydxxyye xx , 1)0( y
Page 8
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 8
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
17. 0sincoscossin ydyxydxx , 44
ππ
y
18. 0)32()4( 232 22 dyyxyedxxey xyxy , 0)1( y
19. 0)2()2( 2 dyxyedxyeye xxx , 6)0( y
20. 0))1(()1( 2222 dyxyxydxxy , 1)4( y
ค าตอบแบบฝึกหัด 1.4
1. cyyxx 22 2 2. cyxxyyx 6523 22
3. cyxxy 2sectan 4. cyyxyx 3223 44
5. cyy
xx ln2 6. cyyx 323
7. cxeye yx sin 8. cyyx 3cos3
9. cxeyyxx y 22 222 10. cexyxx y 6632 223
11. cyyxyx cossin 22 12. cyyx 322 23
)(
13. cyyxyxx 33cos33 334 14. )3(2sin 22 yyxcxy
15. cxyx sinlncossin 16. 056 33 yeyxe xx
17. 1coscos2 yx 18. 2342 yxe xy
19. 82 2 xyeye xx 20. 033334 xxyyxy
Page 9
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 9
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
แบบฝึกหัด 1.5
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 1-16
1. 0)2( 2 xdydxyxy
2. 0)1( 2433 dyyxdxyx
3. 0)()( 2534 dyxyxdxyyx
4. 0)()( 2332 dyxxyxdxyyyx
5. 0)()( 423 dyexxydxyyex xyxy
6. )(cos34 xyecyxyx
7. 0)2()( 322 dyxyxdxyyx
8. 0)( 22 xydydxxyx
9. 0)2()2( 324 dyxyxdxyxy
10. 0)()1( dyxeyedxxe xyx
11. 0)()23( 222 dyxxydxxxyy
12. 0)23()(3 22 dyxxydxyx
13. 0)2()222( 222 dyyxdxxyyyx
14. 0)2()6232( 22 dyxxyxdxxyxyy
15. 0)22()22( 2 dyyxdxyxyy
16. 0)63()12( 232 dyxyxyxdxyx
จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 17-20
17. 0)63()33( 2322 dyxyxyxdxyx , 0)2( y
18. 0)22()84104( 22 dyxxyxdxyxyy , 1)1( y
Page 10
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 10
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
19. 0)()2( 22 dyyxdxyxyyx , 4)0( y
20. 0)14()422( 222 dyxxydxyyxy , 1)1( y
ค าตอบแบบฝึกหัด 1.5
1. cyxyx 2 2. cxyx ln333
3. 3343 cxyyx 4. 122 ycxyx
5. 2222 cxyex xy 6. 1)cos(2 22 cxxyx
7. 223 cxyyx 8. cyxxx 2234 643
9. 232 cyxyx 10. cyxe yx 22
11. cxyxyx 4322 2 12. cxyxyx 4322 386
13. xceyyx 222 14. cxyxyxyx 32322 2
15. xceyxy 22 16. cyyxyx 232 3ln
17. yexyx 83 23 18. 622 44524 xyxyxyx
19. 2
162 2 xeyxy 20. 01542 22 yxyxyx
Page 11
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 11
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
แบบฝึกหัด 1.6
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 1-16
1. 263
xx
y
dx
dy 2. xexy
dx
dy 3233
3. 11
)12(
x
x
yx
dx
dyx 4. 0)1( dxyxyxdy
5. 0)( dyyxxyydx 6. 0)cos(cos 4 dxxysixdyx
7. 0)sin1()cos(cos2 dyxdxxyx 8. 0)84( 3 xdxyydy
9. 02)4( 2 ydxdyyx 10. dxyxxxdy )sin(
11. xexyyy 33 12. 0)2(6 42 dyxyxdxy
13. xeyxxyx )2( 22 14. 0)cos1(sincos 32 xydyxx
15. 0)2( dyyexxyydx y 16. 0)ln(2 3 dxxyyxdy
จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 17-20
17. 0)1())1(3( 2 dyedxeye xxx , 4)0( y
18. 03)2( 24 dyxdxxyy , 1)2( y
19. 03)2( 233 dyxydxxy , 1)1( y
20. 32 y
x
x
y
dx
dy , 2)1( y
Page 12
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 12
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ค าตอบแบบฝึกหัด 1.6
1. 33 cxxy 2. xecxy 33 )(
3. cxxyxx 3)(3 32 4. )1(1 xcexy
5. yceyxy 1 6. xcxxy cos)2sin2(4
7. cxxxy 2sin)sin1(2 8. 412
)2( 8xcey
9. 212
5
4
cyyx 10. x
cx
x
xy cos
sin
11. )( 222 cxye x 12. 623 )2( cyxyx
13. xx ceeyx 22 14. cxxy tansin
15. yy ceeyyxy 1224 22 16. 222 )ln1( cyxyyx
17. 2)1( xey 18. )2(32 xyx
19. 45 532 xyx 20. 15442 xyx
Page 13
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 13
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
แบบฝึกหัด 1.7
จงหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 1-16
1. 2)( yxy 2. 1)tan( xyxy
3. 0)342()12( dyyxdxyx 4. 2sin)(cos xydx
dyy
5. 0)()1( 232 dyyxyxxdxxyy 6. )sin( yxdx
dy
7. 0)(]1)([ dxyxydyyxx 8. 3/22 )1(22 yxxy
9. 0cos2sin)sin( 2 ydyxdxyyx 10. 2)149( yxy
11. dxyxdxydyx 1)1()1()1( 12. yxxey 61
13. 0sintansec)cos2tan3( 2 dyyxdxxyx
14. 0cot2)5sin3( 2 dyyxdxxy
15. 0)()( 22 dyxyxdxxyy
16. yxyxy 22 cossin)2sin(tan
จงหาผลเฉลยเฉพาะรายของสมการเชิงอนุพันธ์ข้อ 17-20
17. 2)(2)( 2 xyxydx
dy , 04 y
18. dxyeedyye xxx )3(2)3( 222 , 00 y
19. 0tan)lntan( dyxdxyxxy , ey
2
π
20. 1)3(2 2 yxy , 1)0( y
Page 14
แบบฝึกหัด 01417267 บทท่ี 1 สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหน่ึง 14
ภาคต้น 2558 ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ค าตอบแบบฝึกหัด 1.7
1. xcxy )tan( 2. cx
xy 2
)sin(ln2
3. cyyx 2)12( 2 4. xcexxy 22sin 2
5. 2222 12ln2 ycxxyyyx 6. )sec()tan( yxyxcx
7. )1)(( 22 yxcy 8. 32 )(27
81 cxxy
9. 223 )sin3(sin yxcyx 10.
cx
yx
3
)149(2arctan
6
1
11. 111 xcxy 12. cxe xy 23
13. xcxy 32 tantancos 14. ycyxx 223 sin)sin(
15. xycyex 16. cxyx sin)cos3(sin 22
17. )1()3(5 4 xyexy x 18. )ln()arctan(6 422 xx eyye
19. 2sincoslnsin xxxyx 20. π xyx 8)3arctan(4