บทที่ 3 ฟงกชันอนาลิติก (Analytic Functions) 3.1 ฟงกชันตัวแปรเลขเชิงซอน (Functions of Complex Variables) ฟงกชัน f คือกฎที่ใชในการกําหนดคา (assign) ใหกับสมาชิกทุกตัวของเซ็ต A โดยสมาชิก หนึ่งตัวมีเพียงหนึ่งคา เราเขียน b = f(a) โดย a ∈A, และ b ∈B เราเรียก b วาเปนอิมเมจของ a ภายใตฟงกชัน f (image of a under f) เราเรียก เซ็ต A วา โดเมน (domain) และเซ็ต B วา ชวงของฟงกชัน f (range of f) ในแคลคูลัส A และ B เปน เซ็ตของเลขจํานวนจริง เราขยายความหมายของฟงกชันโดย – B เปนเซ็ตของจํานวนจริง A เปนเซ็ตของจํานวนเชิงซอน เราเรียกฟงกชันเชนนี้วา real-valued functions of a complex variable – ทั้ง A และ B เปนเซ็ตของจํานวนเชิงซอน เราเรียกฟงกชันเชนนี้วา complex- valued functions of a complex variable เรียกฟงกชันอีกอยางวา mapping ถา f(z) เขียนอธิบายดวยสมการเชน 2 2 1 () 1 z fz z − = + และไมมีการบอกโดเมนที่ชัดเจน แลวเราจะพิจารณาวาโดเมนของ f คือเซ็ตของเลขเชิงซอนทั้งหมดที่ทําใหสมการมีความหมาย เชน ในกรณีตัวอยางโดเมนคือเลขเชิงซอนทั้งหมดยกเวน ±i ถาเราใช w แทนคาของฟงกชัน f (w = f(z)) สวนจริงและสวนจินตภาพของ w คือฟงกชันคา เปนจํานวนจริง (real-valued functions) ของเลขเชิงซอน z ซึ่งสามารถเขียนไดดวยฟงกชันของ สองตัวแปรจํานวนจริง x และ y นั่นคือ w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) (1) โดย u(x,y) และ v(x,y) เปนฟงกชันคาเปนจํานวนจริงและตัวแปรจํานวนจริง 2 ตัว กลาวอีกนัยหนึ่ง คือ เราสามารถเขียนอธิบาย (describe) ฟงกชันคาเปนเลขเชิงซอนและตัวแปรเชิงซอน (A complex-valued function of a complex variable) ไดดวยฟงกชันคาเปนจํานวนจริงและตัวแปร จํานวนจริง 2 ตัว (real-valued functions of two real variables) จํานวน 2 ฟงกชัน ดังนั้นเปนไป ไมไดที่จะเขียนกราฟแสดงฟงกชัน f(z) ทีเดียวเพราะมี 4 มิติ เราจึงแสดงภาพของคุณสมบัติ บางอยางของฟงกชันโดยการสเก็ตโดเมนและชวงของฟงกชันซึ่งเปนพื้นที่บนระนาบ ดังแสดงใน รูปที่ 3.1 ซึ่งในการสเก็ตโดเมนคือพื้นที่ของ z = x + iy บนระนาบ z (z-plane) และชวง (range) ของฟงกชันคือพื้นที่ของ w = u + iv = f(z) บนระนาบ w (w-plane)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
บทท 3 ฟงกชนอนาลตก (Analytic Functions)
3.1 ฟงกชนตวแปรเลขเชงซอน (Functions of Complex Variables)
ฟงกชน f คอกฎทใชในการกาหนดคา (assign) ใหกบสมาชกทกตวของเซต A โดยสมาชกหนงตวมเพยงหนงคา เราเขยน b = f(a) โดย a ∈A, และ b ∈B เราเรยก b วาเปนอมเมจของ a ภายใตฟงกชน f (image of a under f) เราเรยก เซต A วา โดเมน (domain) และเซต B วา ชวงของฟงกชน f (range of f) ในแคลคลส A และ B เปนเซตของเลขจานวนจรง เราขยายความหมายของฟงกชนโดย
– B เปนเซตของจานวนจรง A เปนเซตของจานวนเชงซอน เราเรยกฟงกชนเชนนวา real-valued functions of a complex variable
– ทง A และ B เปนเซตของจานวนเชงซอน เราเรยกฟงกชนเชนนวา complex-valued functions of a complex variable
เรยกฟงกชนอกอยางวา mapping
ถา f(z) เขยนอธบายดวยสมการเชน 2
2
1( )1
zf zz−
=+
และไมมการบอกโดเมนทชดเจน แลวเราจะพจารณาวาโดเมนของ f คอเซตของเลขเชงซอนทงหมดททาใหสมการมความหมาย เชนในกรณตวอยางโดเมนคอเลขเชงซอนทงหมดยกเวน ±i
ถาเราใช w แทนคาของฟงกชน f (w = f(z)) สวนจรงและสวนจนตภาพของ w คอฟงกชนคาเปนจานวนจรง (real-valued functions) ของเลขเชงซอน z ซงสามารถเขยนไดดวยฟงกชนของสองตวแปรจานวนจรง x และ y นนคอ w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) (1) โดย u(x,y) และ v(x,y) เปนฟงกชนคาเปนจานวนจรงและตวแปรจานวนจรง 2 ตว กลาวอกนยหนงคอ เราสามารถเขยนอธบาย (describe) ฟงกชนคาเปนเลขเชงซอนและตวแปรเชงซอน (A complex-valued function of a complex variable) ไดดวยฟงกชนคาเปนจานวนจรงและตวแปรจานวนจรง 2 ตว (real-valued functions of two real variables) จานวน 2 ฟงกชน ดงนนเปนไปไมไดทจะเขยนกราฟแสดงฟงกชน f(z) ทเดยวเพราะม 4 มต เราจงแสดงภาพของคณสมบตบางอยางของฟงกชนโดยการสเกตโดเมนและชวงของฟงกชนซงเปนพนทบนระนาบ ดงแสดงในรปท 3.1 ซงในการสเกตโดเมนคอพนทของ z = x + iy บนระนาบ z (z-plane) และชวง (range)ของฟงกชนคอพนทของ w = u + iv = f(z) บนระนาบ w (w-plane)
ถาเขยน z ในรปของ arg| | i zz e เราจะไดวาฟงกชน 3 3 3arg| | i zw z z e= = กลาวคอขนาด
ของ z3 จะเทากบขนาดของ z ยกกาลงสาม ในขณะท arg 3argw z= ดงนน พจารณาใช principal branch เราจะไดวาเมอ 20 Arg
3z π
≤ ≤ แลว 0 Arg w 3Arg 2z π≤ = ≤ ซงคอ 1
รอบของวงกลมสวนขนาดของวงกลมกคอขนาดของ w ซงเปนกาลงสามของขนาดของ z ตามทแสดงในรปทเปนพนทระบายดวยลายในแนวนอน สวนทเหลอของโดเมนคอ z ทม principal argument ในชวง 2 Arg
นยาม 2 (การลเขาหรอลมตของฟงกชน) ให f เปนฟงกชนทมคาภายในโดเมนทเปน neighborhood ของ 0z โดยอาจจะยกเวนจด 0z เองท f อาจไมมคา (ไมมนยาม) เราจะพดวา ลมตของฟงกชน f(z) เมอ z เขาหา 0z คอ 0w และเขยนดวย
00lim ( )
z zf z w
→=
หรอ 0( )f z w→ เมอ 0z z→ ถาสาหรบ 0ε > จะมเลขจานวนบวก δ ททาให 0( )f z w ε− < สาหรบทกคาของ z ท
0z z δ− <
รปท 3.4 การลเขาหรอลมตของฟงกชน
รปท 3.4 แสดงการลเขาหรอลมตของฟงกชนตามนยาม 2 จะเปนวาสาหรบทกคาของ z ภายใน disk 0z z δ− < แลว 0( )f z w ε− < นยาม 3 (ความตอเนองของฟงกชน) ให f เปนฟงกชนทมคาภายในโดเมนทเปน neighborhood ของ 0z แลวฟงกชน f ตอเนองทจด 0z (f is continuous at z0) ถา
00lim ( ) ( )
z zf z f z
→=
เราจะพดวาฟงกชน f ตอเนองบนเซต S ถา f ตอเนองททก ๆ จดบนเซต S ฟงกชนทมลมต และ/หรอ ตอเนอง เมอนามา บวก ลบ คณ หรอ หาร กนจะยงคงไดฟงกชนทมลมต และ/หรอ ตอเนองอยดงทฤษฎตอไปน
ทฤษฏ 1 (ลมตของฟงกชนผลบวก ผลลบ ผลคณและผลหาร) If 0
lim ( )z z
f z A→
= และ
0
lim ( )z z
g z A→
= แลว (i)
0
lim( ( ) ( ))z z
f z g z A B→
+ = ± (ii)
0
lim( ( ) ( ))z z
f z g z AB→
= (iii)
0
lim( ( ) / ( )) /z z
f z g z A B→
= โดย 0B ≠ ทฤษฏ 2 (ความตอเนองของฟงกชนผลบวก ผลลบ ผลคณและผลหาร) If f และ g เปนฟงกชนทตอเนองทจด 0z และ 0( ) 0g z ≠ แลว ฟงกชน f+g, f-g, fg และ f/g ตอเนองทจด z0 เชนเดยวกน จากทฤษฎ 1 และ 2 นทาใหเราไดกลมของฟงกชนตอเนองจานวนมากทเปนประโยชนในการนาไปใชงาน ดงตวอยางตอไปน
ฟงกชนท 1: 1 1 1( )f z u iv= + โดย u1(x,y) = x2 – y2, v1(x,y) = 2xy
ฟงกชนท 2: 2 2 2( )f z u iv= + โดย u2(x,y) = x2 – y2 , v2(x,y) = 3xy จะเหนวาฟงกชนท 1 สามารถเขยนอยในรปของ “หนงหนวย” ของ z = x + iy เพราะ
2 2 2 21 1 1( ) 2 ( )f z u iv x y i xy x iy z= + = − + = + =
แตฟงกชนท 2 ไมสามารถเขยนอยในรปของ “หนงหนวย” ของ z = x + iy ไดตองเขยนแยก 2 2
2 2 2( ) 3f z u iv x y i xy= + = − + คณสมบตทเขยนฟงกชนใหอยในรปของหนงหนวยของ z ดอยางไร? คาตอบมาจาก
ตวอยางในฟงกชนตวแปรจานวนจรง ซงฟงกชนเขยนอยในรปหนงหนวยของ x ทาใหเกดทฤษฎตาง ๆ ทางพชคณต แคลคลส ซงใชในการแกปญหาในรปของตวแปรจานวนจรง ดวยเหตนถาเราสามารถเขยนฟงกชนตวแปรเชงซอนเปนหนงหนวยของ z ได ทฤษฎจานวนมากเหลานสามารถนามาใชกบฟงกชนตวแปรเชงซอนไดทนท
การเขยนฟงกชนตวแปรเชงซอนในรปของหนงหนวยของ z มขอควรระวงเพราะ เราจะไมนบ complex conjugate ของ z ( z ) วาเปนหนงหนวยของ z ทงนเพราะถาเรายอมให (admit) z วาเปนฟงกชนทเขยนในรปของหนงหนวยของ z กจะทาใหเราตองยอมใหฟงกชน
f(z) = x = Re z หรอ f(z) = y = Im z เพราะ Re2
z zz += และ Im
2z zz
i−
= แตฟงกชน Re z และ Im z ไมใชฟงกชนในรปของหนงหนวยของ z แนนอนเพราะทงสองกรณเปนฟงกชนคาเปนจานวนจรงและตวแปรเปนจานวนจรง เราเรยกฟงกชนทเขยนในรปของหนงหนวยของ z ไดตามกฎเกณฑน (ไมยอมรบ z , Re z, และ Im z) วา admissible functions และเรยกฟงกชนทไมใชวา inadmissible functions ตวอยางทง admissible functions
2 2 2
3 3 2 2 3
2 2 2 2
( ) ( ),( ) 2 ( ),( ) 3 (3 ) ( ),
1( ) ( )
f z z x iy admissiblef z z x y i xy admissiblef z z x xy i x y y admissible
x yf z i admissiblez x y x y
= = +
= = − +
= = − + −
= = −+ +
และ inadmissible functions
2 2
Re ( ),Im ( ),
3 ( ),( )
( ) | | ( )
z x inadmissiblez y inadmissiblez x y i xy inadmissiblez x iy inadmissible
f z z inadmissible
==
= − += −=
ฟงกชน z เปนฟงกชน inadmissible เพราะถาเรายอมให z วาอยในรปหนงหนวยของ z แลวจะทาใหเราตองยอมรบ z เพราะ 2
zzz
= ซงจะตองทาใหเราตองยอมรบ Re z และ Im z ซงเปนไปไมได
การทเราใช z เปนตวบอกวาฟงกชน admissible หรอไมนนใชไมไดเสมอไป ดงเชนฟงกชนขางลางน
2 2 2 2
2 2
2 2 110 2 5 5z z z z zz z
z zz zz z z+ + − − ++ − − + −
แมจะปรากฏ z แตกเปนฟงกชนทสามารถเขยนในรปของ z ไดเพราะเทอมทม z จะหกลางกนไป ฟงกชน ze ตามนยามทเราใชคอ (cos sin )z xe e y i y= + แยกสวนจรงและสวนจนต
ภาพ แตเราสามารถนยาม ze ในในรปของ z ตวเดยวไดไดเปน 2 3
12! 3!
z z ze z= + + + + แสดงวาสาหรบฟงกชนทเขยนกนอยกอาจจะเปน admissible function ได จะเหนวาเกณฑจากการดวาฟงกชนมหรอไมม z นนใชไดกบบางกรณเทานน
จะเหนวา ถา x = y ฟงกชน f(z) จะ analytic แต x = y เปนเซตของจดบนเสนตรง ดงนนไมมทางท f(z) จะมคณสมบตเปนไปตาม Cauchy-Riemann Equations บน open disk (อนาลตกนยามบนเซตเปดซงเสนตรงไมใช) ทฤษฎ 4 บอกเฉพาะเงอนไขทจาเปนแตไมเพยงพอสาหรบทจะบอกวาฟงกชน f(z) เปนฟงกชนอนาลตกหรอไม ทฤษฎตอไปนบอกเงอนไขทเพยงพอ
ตวอยาง พสจนวาฟงกชน f(z) = ez = excos y + iexsin y เปนฟงกชน entire (analytic บนระนาบเชงซอน) และหา derivative ของมน
cos , cos , sin , sinx x x xu v u ve y e y e y e yx y y x∂ ∂ ∂ ∂
– Electrostatic potential – Scalar magnetostatic potential – two-dimensional fluid flow – displacement of a membrane stretched across a loop of wire, if the loop
is nearly flat การใช analytic function theory ทสาคญทสดคอการใชหาคาตอบของ Laplace equation ซงมอยจานวนมากในทางวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร
ทฤษฎ 6. ถา f(z) อนาลตกในโดเมน D และ ถา f′(z) = 0 ททกจดใน D แลว f(z) เปนฟงกชนคาคงทในโดเมน D.
นยาม 6. ฟงกชนคาจรง (real-valued function) φ(x,y) จะเรยกวาเปนฟงกชนฮารโมนกในโดเมน D ถาอนพนธยอยอนดบ 2 ของมนทกตวตอเนองในโดเมน D และถาฟงกชน φ เปนไปตามสมการ (1) ททกจดในโดเมน D
สวนจรงและสวนจนตภาพของ analytic function ม partial derivatives ทกลาดบ
(2)u uy x x y∂ ∂ ∂ ∂
=∂ ∂ ∂ ∂
ใชสมการ Cauchy-Riemann เราจะได 2 2
2 2
u v v u v vy x y y y x y x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ซงแสดงวา v(x,y) เปนฟงกชนฮารโมนก ทานองเดยวกนเราสามารถพสจนวา u(x,y) กเปนฟงกชนฮารโมนก กาหนด harmonic function u(x,y) ใด ๆ ให เราสามารถ harmonic function v(x,y) ทจะทาให u +iv เปน analytic function ฟงกชน v เรยกวาเปน harmonic conjugate ของ u ตวอยาง สรางฟงกชน analytic จาก harmonic function u(x,y) = x3 - 3xy2 + y
เรมจากตรวจสอบวา 2 2
2 2 6 6 0u u x xx y∂ ∂
+ = − =∂ ∂
ซงแสดงวา u เปน harmonic function จรง แลวหาฮารโมนกคอนจเกทของมน คอ v(x,y) ซงเปนไปตามสมการ Cauchy-Riemann
2 23 3 and 6 1 v u v ux y xyy x x y∂ ∂ ∂ ∂
= = − = − = −∂ ∂ ∂ ∂
ถามอง x เปนคาคงทแลวอนตเกรตสมการ (3) เทยบกบ y เราจะได
2 3( , ) 3 constantv x y x y y= − + คาคงทอาจจะเปนฟงกชนของ x กได ดงนน
2 3( , ) 3 ( )v x y x y y xψ= − + เราสามารถหา ( )xψ ไดโดยแทน v(x,y) จากสมการขางบนลงในสมการ (4) ทาใหเราได 6 ( ) 6 1v xy x xy
xψ∂ ′= + = −
∂
หรอ ( ) 1 ( )x x x aψ ψ′ = − ⇒ = − + โดย a เปนคาคงทจานวนจรงไมใชฟงกชน ดงนน v(x,y) = 3x2y - y3 - x + a
ทฤษฎ 7. ถา u(x,y) + iv(x,y) อนาลตกในโดเมน D แลวทง u(x,y) และ v(x,y) เปนฟงกชนฮารโมนกในโดเมน D.
ดงนน เราได A = 2 และ B = -1 φ(x,y) = 2(x2 – y2) - 1 3.6 Elementary Functions ฟงกชนอนาลตกมบทบาทอยางมากตอ complex analysis ดงนนในสวนนเราจะพจารณาฟงกชนอนาลตกทเปนพนฐานสาหรบ complex analysis โดยจะพจารณาฟงกชนเหลานในเรองของ นยาม (definition) อนพนธ (derivatives) ขนาด (absolute or modulus) argument และโดเมน รวมทงทฤษฎทเกยวของทจะเปนประโยชนในการวเคราะหฟงกชนเชงซอน 3.6.1 Exponential Function เปนฟงกชนทเราไดพจารณาไปแลว ถอวาเปนฟงกชนทมคณสมบตทดมาก เพราะนอกจากจะเปนฟงกชน entire แลว ยงมอนพนธเปนตวมนเอง นยาม (cos sin )z x x iye e y i y e e= + = โดเมน ทงระนาบ ( ze เปน entire function)
อนพนธ ( )z
z zde e edz
′= = มอดดลส z xe e= argrument arg 2 , 0, 1, 2,ze y k kπ= + = ± ±
ฟงกชน xe (x เปนจานวนจรง) เปนฟงกชนแบบหนงตอหนง (one-to-one) ท map จากจานวนจรงไปหาจานวนจรง แตเมอเปนฟงกชน ze (z เปนเลขเชงซอน) ไมใชฟงกชนแบบหนงตอหนงบนระนาบเชงซอน โดยจะเหนวาจะมหลายคาของ z ทใหคาของ arg zz x i ee e e= เทากน นนคอฟงกชน ze เปนฟงกชนแบบ many-to-one ทฤษฎท 1 ตอไปนอธบายคณสมบตนของ ze
คณสมบตทสาคญจากทฤษฎท 1 คอฟงกชน ze เปนฟงกชนทเปนคาบ (periodic function) ซงในกรณทวไปสาหรบฟงกชนทเปนคาบเราจะไดวา
Theorem 1: (i) A necessary and sufficient condition that 1ze = is that 2z k iπ= , where k is an integer.
(ii) A necessary and sufficient condition that 1 2z ze e= is that 1 2 2z z k iπ= + , where k is an interger.
ฟงกชน f เปนทเปนคาบในโดเมน D ถา ( ) ( )f z f zλ+ = เราเรยก λ วาเปนคาบ (period)ของฟงกชน f
ตามทฤษฎท 1 เราจะไดวา ฟงกชน ze เปนฟงกชนทเปนคาบ (periodic function) ทมคาบเทากบ 2k iπ เพราะ 2z z k ie e π+= จากคณสมบตนถาเราแบงระนาบเชงซอน z-plane ออกเปนสวน ๆ ทางดานแกนจนตภาพ (แกน y) ใหแตละชวง มความกวางทางดานแกน y เทากบ 2π โดยใหสวนแรกเรมจาก iπ− ถง iπ สวนทางดานแกน x ใหรวมเอาทกคาของ x ไวในแตละสวน เราจะไดการแบงระนาบดงกลาวดงแสดงในรปท 3.8
รปท 3.8 การแบงสวนของ z-plane ททาให ze มคาเทากน
การแบงสวนของ z-plane เชนนเปนการแบงตามคาบของ ze นนคอ ถาใหโดเมน
{ }| , (2 1) (2 1) , 0,1, 2,nS z x iy x n y n nπ π= = + −∞ < < ∞ − < ≤ + = แลวฟงชน ze สาหรบ z ภายใน nS จะเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง เราเรยกโดเมน nS วาเปน fundamental region สาหรบฟงกชน ze
การวเคราะหเชงซอน ความจรงแลวฟงกชนเอกโปเนนเชยลมนยามมาจากฟงกชนตรโกณมตของตวแปรจานวนจรงตามสมการของออยเลอร นนคอ cos siniye y i y= + ซงทาใหเราเขยนฟงกชน cos y และฟงกชน sin y ในรปของ iye ไดดงน
cos and sin2 2
iy iy iy iye e e ey yi
− −+ −= =
เราจะใชความสมพนธนขยายเปนนยามของ cos z และ sin z เมอ z x iy= + ดงน
โดเมน ฟงกชน cos z และ sin z เปน entire functions เพราะ ize และ ize− เปนฟงกชน entire อนพนธ
Definition 1: Given any complex number z, we define
cos and sin2 2
iz iz iz ize e e ez zi
− −+ −= =
สมการ (6) แสดงใหเหนวาฟงกชน sin z และ cos z เปน periodic functions และ sin z = 0 ถา z = kπ และ z = kπ ถา sin z = 0 cos z = 0 ถา z = π/2 + kπ และ z = π/2 + kπ ถา cos z = 0
โดเมน ฟงกชน cosh z และ sinh z เปน entire functions เพราะ ze และ ze− เปนฟงกชน entire
Definition 2: Given any complex number z, we define
cosh and sinh2 2
z z z ze e e ez z− −+ −
= =
อนพนธ
( )1sinh ( 1) cosh2 2
cos sin
z zz zd d e ez e e z
dz dzd z zdz
−−⎛ ⎞−
= = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
คณสมบต sinh sin cosh cosz i iz z iz= − = ฟงกชน hyperbolic อน ๆ
sinh coshtanh : , coth :cosh sinh
1 1sech : , csch :cosh sinh
z zz zz z
z zz z
= =
= =
3.6.4 Logarithmic Function
ทผานมาเราใชคาวา “ฟงกชน” ใหหมายถงกฎทใชกาหนดคาใหกบสมาชกทกตวของโดเมน โดยสมาชก 1 ตวมคาของฟงกชน 1 คา ถา ฟงกชน f มคณสมบตดงกลาว เราอาจพดใหชดเจนวา “f เปนฟงกชนทมคาเดยว” ( f is a single-valued function)
มการ mapping ทไมใช single-valued function เชน w = arg z และ w = z1/2 ดงนนในรปทวไป ถาคา z หนงคาใหผลตอคา w = f(z) มากกวาหนงคา เราเรยกฟงกชนนนวา “ฟงกชนแบบหลายคา” (multiple-valued function) โดยทวไปเราหา multiple-valued function จากการหา inverse function ของ single-valued functions ทไมใชฟงกชนหนงตอหนง หรอกลาวอกนยหนงคอ multiple value functions เปน inverse function ของ single-valued functions แบบ many-to-one เราจะใชคณสมบตนนยาม logarithmic function (log z) ซงเปน inverse function ของ
we ตองการนยามวา log z เปน inverse function ของ ew นนคอ
w = log z if z = ew (1) ew ไมมทางเทากบ 0 ดงนนโดเมนของ log z คอระนาบเชงซอนยกเวนเมอ z = 0
เขยน z ในรป exponential ได z = reiθ และเขยน w ในรปมาตรฐาน w=u+iv เราได
reiθ = eu+iv = eueiv (2) หรอ r = eu และ θ = v ซงหมายถง u = Log r = Log |z| และ v = arg z
โดย Log หมายถง natural logarithmic function ของตวแปรจานวนจรง ดงนนเรานยามฟงกชน log z ดงน
การมหลายคาของ log z สะทอนถง สวนจรงของ log z เปนฟงกชนคาเดยว แต argument ของมนคอมมของ θ ใน Polar form นนมหลายคา ตวอยาง ถา z ≠ 0 แลวเราจะได z = elog z แต log ez = z + i2kπ (k = 0, ±1, ±2, … ) จากคณสมบต arg z1z2 = arg z1 + arg z2, arg (z1/z2) = arg z1 – arg z2 (4) ถาใชสมการ (3) และ คณสมบตตามสมการ (4) เราจะได
เรานยามฟงกชน log z เมอ arg z = Arg z (principal branch ของ z) Log z := Log |z| + iArg z (7)
เรยก Log z ดงกลาววาเปน principal branch ของ log z
Definition 3. If z ≠ 0, then we define log z to be any of the infinitely many values log z := Log |z| + i arg z = Log |z| + iArg z + i2kπ (3)
ใชสญลกษณ Log เชนเดยวกบกรณตวแปรจานวนจรง เพราะนยามดงกลาวเปนจรงเมอ z เปนจานวนจรง (Arg z = 0) โดเมน
Log z ตอเนองททกจดยกเวน จดทอยบนแกน x ดานลบและจด origin อนพนธ
ผลจากทฤษฎท 1 และจะไดความสมพนธของ harmonic functions กบฟงกชน Log z ดงน
Theorem 2. The function Log z is analytic in the domain D* consisting of all points of the complex plane except those lying on the nonpositive real exist (see Fig. 3.9). Furthermore, 1Log d z
dz z= , for z in D*
x
y D*
0
รปท 3.9 โดเมน D* หมายถงทกจด z ยกเวนจด z ท Im z = 0 และ Re z ≤ 0
Corollary 1. The function Arg z is harmonic in the domain D* of Theorem 2
Corollary 2. The function Log |z| is harmonic in the entire plane with the exception of the origin.
ตวอยาง 1 หาโดเมนททาใหฟงกชน f(z) มคณสมบตอนาลตกโดย f(z) := Log(3z – i) Soln: f(z) เปน composite function ของ Log นนคอ f(z) = Log g(z) โดย g(z) = 3z – i ดงนนเราใช chain rule ได กลาวคอ จะหาอนพนธของ f ไดในโดเมนทคา g(z) อยบนโดเมน D* ตามทฤษฎท 2 ดงนนเราไมยอมให 3z – i เทากบจดทไมเปนคาบวกบนเสนแกน x ซงเซตดงกลาวคอเสนตรง x ≤ 0 และ y = 1/3
กาหนด branch อนของ log z ไดโดยการกาหนดเสนทเกดความไมตอเนอง หรอกาหนด
branch cut แลวเราจะไดโดเมนทานองเดยวกบ D* นนคอ เปนโดเมนทรวมทกจดบนระนาบยกเวนจดบนเสน branch cut ททาให log z เปน single-valued function
เชงซอน ซงไดแรงจงใจจาก zn = (elog z)n = en log z ซงเปนจรงสาหรบ n ทเปนจานวนเตม
Definition 4. F(z) is said to be a branch of a multiple-value function f(z) in a domain D if F(z) is single-valued and continuous in D and has the property that, for each z in D, the value F(z) in one of the values of f(z)
x
y
0 -π/4
รปท 3.11 โดเมนททาใหฟงกชน L-π/4 (z) เปนฟงกชนอนาลตก
ซงตามนยาม 5 นหมายความวา แตละคาของ log z นาไปสคาของ zα ถาใชการเขยน logarithmic function ตามสมการ (3) เราจะได
(Log Arg 2 ) (Log Arg ) 2
0, 1, 2,
z i z k i z i z k iz e e ek
α α π α α π+ + += == ± ± …
(1)
คาของฟงกชน zα เมอ k = k1 และ k = k2 (k1≠ k2) จะมคาเทากนเมอ 1 22 2k i k ie eα π α π=
ตามทฤษฎ 1 เงอนไขดงกลาวจะเกดขนเมอ 1 22 2 2k i k i m iα π α π π= + โดย m เปนเลขจานวนเตม ซงเมอแกสมการแลวเราจะได
1 2
mk k
α =−
ดงนนเราจงกลาวไดวา สมการ (1) จะใหคาทเหมอนกน (identical values) กตอเมอ α เปนจานวนจรงทเปนเศษสวน แตถา α เปนเลขเชงซอนทไมใช pure real number แลวจะมเลขเชงซอน w จานวนเปนอนนตทมคาเทากบ zα
พจารณา α = m/n โดย m และ n เปนจานวนเตม แลว zα = zm/n มคาทแตกตางกน n คา คอ
(Log ) ( Arg 2 )/
0, 1, 2,
m mz i z k im n n nz e ek
π+=
= ± ± … (2)
ซงเปนไปตามทฤษฏเกยวกบรากท n ของ z ทไดกลาวมาแลว จะเหนวาจานวนคาของ zα ขนอยวา α เปนตวเลขแบบใดซงสรปไดดงน
– zα เปนฟงกชนคาเดยวเมอ α เปนจานวนเตม
– zα เปนฟงกชนทมหลายคา โดยมจานวนคาทแตกตางกน n ตวเมอ α เปนจานวนจรงทเปนเลขเศษสวน m/n , m และ n เปนจานวนเตมทไมมตวรวม (n หาร m ไมลงตว)