This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
การหาฟงกชน y = f(x) มลมตท a หรอไมทกลาวมาแลวในเอกสารแนะแนวทางท 2.1.1ซงม 2 วธคอ สรางตารางและดจากกราฟของฟงกชนซงไมสะดวกและเสยเวลา มอกวธหนงทหาไดสะดวกและรวดเรวคอใชทฤษฎลมตเขาชวยทฤษฎลมต เมอ a , L , M เปนจำานวนจรงใดๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปน
จากกราฟ f (x) = 2x+1 จะเหนวากราฟจะเปนเสนตรงทตอเนองไมขาดตอน f(1) = 3
จะเหนวา f(1) =
จากกราฟ จะเหนวากราฟจะขาดตอนท x = 2 หา g(2) ไมไดแตหา ซง จะเรยกฟงกชน f ( x) = 2x + 1 วาเปนฟงกชนตอเนองท x = 1และฟงกชน วาเปนฟงกชนไมตอเนองท x = 2นยาม ให a เปนจำานวนจรงใดๆฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = a กตอเมอ ฟงกชน f มสมบตดงน 1. 2. 3.
ตวอยางท 1 กำาหนด จงพจารณาวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = -1 หรอไมวธทำา Y
X
x+1 เมอ x
- x – 1
เมอ x < -1-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6 5 4 3
X
หาคา f(-1) = 0 และ จะเหนวา f(-1) = แสดงวาฟงกชน Y = f(x)ตอเนองท x = -1ตวอยางท 2 จงพจารณาวาฟงกชน f(x) = เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 หรอไมวธทำา f (1) หาคาไมไดแสดงวาฟงกชน y = f(x) ไมตอเนองท x = 1ตวอยางท 3 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 2 หรอไมกำาหนด Y 4 , x = 2วธทำา หา f(x) = 4หา
จะเหนวา
แสดงวาฟงกชน f (x) ไมตอเนองท x = 2
-ใหนกเรยนพจารณาจากกราฟของฟงกชนตอไปนวามความตอเนองท x = a หรอไม
1. y 2. y x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6 5 4 3
X
0 a 0 a x
……………………. ………………………….
3. 4. y
y
b 0 a x 0 a x
……………………… ………………………….
นกเรยนคดวาการดจากกราฟมขอสงเกตอยางไรทจะทำาใหเราทราบวาฟงกชนมความตอเนองท x = a หรอไม …………………………………………………………………………………
ความตอเนองของฟงกชนบนชวง1. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a , b ) กตอเมอ
ฟงกชน f ตอเนองทกๆจดในชวง(a,b)หมายความวา ถาเราแทนคา x ทอยในชวง (a , b) ลงใน f (x) แลวหาคาไดทกคาของ xแตถามบางคาของ x ทอยในชวง (a , b) ทำาให f(x) หาคาไมได แสดงวา ฟงกชน f ไมตอเนองบนชวง (a , b)2. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง กตอเมอ
2.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a , b)2.2
3. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง กตอเมอ3.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a,b)3.2
4. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง กตอเมอ4.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a,b)4.2
ทฤษฎบท ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนอง ท x = a แลวจะไดวา1. เปนฟงกชนตอเนองท x = a2. เปนฟงกชนตอเนองท x = a3. เปนฟงกชนตอเนองท x = a4. เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอ g(a) 0
ตวอยางท 1 กำาหนด จงพจารณาวา f (x) ตอเนองบนชวง (-2 , 5) และ หรอไมวธทำา 1. แทนคา x ทกตวบนชวง (-2 , 5) ลงใน f (x) สามารถหาคาไดทงหมด แสดงวา f (x)ตอเนองบนชวง (-2 , 5) 2. หา f(-2) = -1 และ
นกเรยนคดวาฟงกชน f จะตอเนองหรอไมเพราะเหตใด…………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………….ตวอยางท 3 กำาหนด
1 เมอ x = 0จงพจารณาวาฟงกชน y = f (x) ตอเนองบนชวง หรอไม
f ( x ) =
วธทำา พจารณาบนชวง (-1 , 1) จะได f(0) = 1 และ
จะเหนวา f(0)แสดงวาฟงกชน y = f(x) ไมตอเนองท x = 0 และไมตอเนองบนชวง (-1 , 1 ) เพราะฉะนนฟงกชน y = f(x) ไมตอเนองบนชวง
- พจารณาการเคลอนทของลกบอลทปลอยจากทสงลงสพนดนตองการศกษาวาเมอปลอยวตถไปแลวในวนาทท 3 วตถเคลอนทดวยความเรวเทาใด ซงจะตองอาศยความเรวเฉลยในชวงเวลาตางๆเขามาชวยความเรวเฉลย หมายถงอตราสวนของระยะหางของวตถจากตำาแหนงเดม(คดทศทาง)ตอเวลาทงหมดทวตถใชในการเคลอนทจากตำาแหนงเดมไปหาตำาแหนงใหม(คาทออกมาเปนบวกหรอลบเปนการบอกทศทางของการเคลอนทของวตถ) ให t แทนเวลาทวตถใชในการเคลอนทมหนวยเปนวนาท s แทนระยะทางทวตถเคลอนทเมอเวลาผานไป t วนาท มหนวยเปนเมตรจะไดความสมพนธคอ s = f (t) ซงเปนสมการการเคลอนทของวตถ
2.3.2 อตราการเปลยนแปลงเฉลยและอตราการเปลยนแปลงขณะใดๆนยาม ถา y = f (x) เปนฟงกชนใดๆเมอคาของ x เปลยนเปน x + h โดยท คาของ y เปลยนจาก f (x) เปน f ( x + h ) แลว- อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x+ h คอ
และอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆคอ
- ถาเปนสมการการเคลอนท s = f(t) ความเรวเฉลยคอ
และความเรวขณะเวลา t ใดๆ คอ
ตวอยางท 1 ถาอนภาคชนหนงเคลอนทไดระยะทาง เมตร โดยใชเวลา t วนาท1. จงหาความเรวขณะเวลา t ใดๆ 2. จงหาความเรวขณะ t = 1วธทำา 1. ความเรวขณะเวลา t ใด คอ v (t)
ตวอยางท 2 ให จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอ1. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.2 2. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.1 3. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.014. อตราการเปลยนแปลงขณะ x = 2วธทำา อตราการเปลยนแปลงเฉลยคอ
1. เมอ x เปลยนจาก 2 เปน 2.2(x = 2 , h = 0.2 ) แทนคาลงใน 4x+ 2h จะได
V (t)
= 4 (2) + 2(0.2)= 8 + 0.4 = 8.4
2. x เปลยนจาก 2 เปน 2.1………………………………………..………………………………………..………………………………………..………………………………………..
3. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.01………………………………………..………………………………………..………………………………………..………………………………………..
ในบทเรยนทแลวเราเคยหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามมาแลว ซงจะเหนวาไมสะดวกและเสยเวลามาก เพอใหการหาอนพนธสะดวกและรวดเรวขนจะใชสตรการหาอนพนธดงน1. ถา y = c เมอ c เปนคาคงตวแลว เชน y = 3
เชน สมการเสนตรง y = 3x + 2 ผานจด (1,5) และ (3,11)จะมความชนเทากบ หรอดจากรปของสมการ y = mx + c ความชนคอ m เพราะฉะนน y = 3x+2 จะได m = 3(เสนตรงทขนานกบแกน x ความชนเปน 0,เสนตรงทขนานกบแกน y ไมมความชน, เสนตรงทขนานกนจะมความชนเทากน,เสนตรงทตงฉากกนผลคณของความชนทงสองเสนจะเทากบ –1)ความหมายของเสนสมผสเสนโคง
- ถาเปนวงกลม เสนสมผสวงกลมทตงฉาก
กบรศม
- ถาเปนเสนโคงอนๆ เสนสมผสเสนโคงทจด P จะเปนเสนตรงทผานจด P และอยใน
ตำาแหนงใกลเคยงกบเสนตรงทลากผานจด P และจดอกจดหนงบนเสนโคงซงเกอบทบจด P
การหาความชนของเสนโคง Y
y+k Q(x+h,y+k)
y P(x,y)
0 x x+h X - ถาให y = f(x) เปนสมการเสนโคงทมจด P (x , y) และ จด Q (x+h ,y+k) อยบนเสนโคงโดยท เรยกเสนตรง PQ วาเสนตดกราฟ
- ถาวดมมในทศทวนเขมนาฬกา ถาเสนสมผสเสนโคงทำามมแหลมกบแกน x จะมความชนเปนบวกและจะเปนฟงกชนเพม- พจารณา ความชนของเสนสมผสเสนโคงของฟงกชน
จากกราฟทงสองรปจะเหนวา
- ถาวดมมในทศทวนเขมนาฬกา ถาเสนสมผสเสนโคงทำามมปานกบแกน x จะมความชนเปนลบและจะเปนฟงกชนลดทฤษฎบท เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง S ใดๆ1. ถา สำาหรบทกคาของ x ในชวง S แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง S
2. ถา สำาหรบทกคาของ x ในชวง S แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง S
นยาม ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธท x = c ถามชวง โดยท f(c) >f(x)
สำาหรบทก x ในชวง ( a,b) ท ฟงกชน f มคาตำาสดสมพทธท x = c ถามชวง
โดยท f(c) < f(x)
Y y = f (x)
X X
0
Y
y = f(x)
X0
Y y = f (x)
X X
0
Y
y = f(x)
X0
สำาหรบทก x ในชวง ( a,b) ท พจารณา กราฟของฟงกชน y = f(x)
y
x
ในทำานองเดยวกน
y
x- จากกราฟทงสองลกษณะสรปไดดงน 1. ถาฟงกชน f ท x = c ททำาให เรยกคา c วา คา
วธตรวจสอบคาวกฤตอกวธหนงโดยใชทฤษฎบททฤษฎบท กำาหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง S ใดๆ และ c เปนคาวกฤตของ f ซง 1.ถา แลว f (c) เปนคาตำาสดสมพทธ2. ถา แลว f (c) เปนคาสงสดสมพทธ3. ถา แลว f (c) บอกไมไดวาเปนคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ ตองใชวธการตรวจสอบโดยวธเดม
ปลอยวตถใหตกลงในทสงโดยกฎของนวตน แรงททำาใหวตถเคลอนท F = ma เมอ m = มวล a = ความเรง แตแรงททำาใหวตถเคลอนทคอนำาหนกของวตถซงเปนแรงดงดดของโลก w = mgเมอ g คอความเรงทโลกดงดดวตถเมอใชหนวยของระยะทางเปนเมตร หนวยของเวลาเปนวนาทg = 9.8 เมตร/(วนาท)2 จากสตร ma = mg จงหา s ในรปของ t กำาหนดใหวา เมอ t = 0 จะได s = 0และ v = 0วธทำา
2.12 พนททปดลอมดวยเสนโคง2.12.1 พนททปดลอมดวยเสนโคงของฟงกชนตงแต a ถง b
นยาม เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] และ A เปนพนทปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก
Y f(x) = x2-9
X
x = a ถง x = b(1). ถา สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a,b] แลว A
เปนพนทเหนอแกน x และ
(2). ถา สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a,b] แลว A เปนพนทใตแกน x และ
ตวอยางท 1 จงหาพนทปดลอมดวยเสนโคง จาก x = -2 ถง x = 1วธทำา แทนคา x ในชวง [ -2 , 1 ] ทำาให แสดงวา A อยใตแกน xหาจดทกราฟตดแกน x จะได x2- 9 = 0 ซง แสดงวากราฟตดแกน x ทจด (-3,0)และ(3,0)
A
ตวอยางท 2 จงหาพนทปดลอมดวยกราฟ y = 9 – x2 กบแกน xวธทำา โจทยไมไดกำาหนดชวงมาให เราตองหาจดทกราฟตดกบแกน x จะได 0 = 9 – x2 จะได และ พนทอยเหนอแกน x
ตวอยางท 3 จงหาพนทปดลอมดวยกราฟ y = x2 – 2x กบแกน x เมอ x = 1 ถง x = 2วธทำา หาจดตดทกราฟตดแกน x จะได x2- 2x = 0 จดตดคอ (0,0)กบ (2,0)และ พนทอยใตแกน x y
A
x
A f (x) = x2- 2x
ตวอยางท 4 จงหาพนทปดลอมดวยกราฟ y = x3 – 4x กบแกน x และเสนตรง x = -1 และ x = 3วธทำา หาจดทกราฟตดแกน x จะได x3 – 4x = 0 แกสมการจะได x (x-2)(x+2) = 0 จะไดจดทกราฟตดแกน x จด (0,0)(2,0)(-
2.12.3 โจทยปญหาเกยวกบพนทปดลอมดวยเสนโคงตวอยางท 1 จงหาพนทของรปสามเหลยมทมดานทงสามอยบนเสนตรงทมสมการดงตอไปน x – y + 6 = 0 , 2x – y –2 = 0 , 3x –y + 4 = 0วธทำา หาจดตดของกราฟทงสามเสน แลวเขยนลงบนระบบแกนมมฉากให f (x) คอ y = x + 6 , g(x) คอ y = 2x – 2 , h(x) = 3x + 4
หาจดตดของกราฟทงสามเสน โดยจบสมการแตละชดใหเทากน 3 ชด ดงนชดท 1 f(x) กบ g(x) จะได x + 6 = 2x – 2 จากการแกสมการ จะได x = 8 , y = 14 จดตดคอ(8,14)ชดท 2 f(x) กบ h(x) จะได x + 6 = 3x + 4 จากการแกสมการ จะได x = 1, y = 7 จดตดคอ(1,7)ชดท 3 g(x) กบ h(x) จะได 2x – 2 = 3x + 4 จากการแกสมการ จะได x = -6 , y = - 14 จดตดคอ(-6,-14)
y h(x) = 3x+4
f(x)=x+6 g(x) = 2x-2
x
ตวอยางท 2 จงหาพนทระหวาง f(x) = sin x และ g (x) = cos x จาก x = 0 ถง x = (กำาหนดให F(x) = - cos x , G(x) = sin x เปนปรพนธของ f และ g ตามลำาดบ )วธทำา ( ใหนกเรยนชวยกนทำา)