This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
สมมติว่าให้ ทฤษฎี 2.1.3 มีสมาชิกจนถึง n ตัว ให้ X เป็นเซ็ตที่มีสมาชิก n+1 ตัว เลือกให้ x∈X เรากล่าวได้ว่าจะมีถึงครึ่งหนึ่งของ subset ของ X ที่จะมี x และครึ่งหนึ่งของ X ที่จะไม่มี x เพื่อที่จะให้เห็นภาพดังกล่าว ขอให้สังเกตว่าแต่ละ subset S ของ X จะมี x จับคู่ได้อย่างเฉพาะกับสับเซตที่ได้โดยการน า x ออกจาก S (ดูรูป 2.1.1) ดังนั้นแน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของสับเซตของ X จะมี X และครึ่งหนึ่งของสับเซตของ X ไม่มี x
ถ้าให้ Y เป็นเซ็ตที่ได้จาก X โดยการน าเอา x ออก Y จะมีสมาชิกจ านวน n โดยการสรุปจากการอนุมาน |𝒫(𝑦)| = 2𝑛 แต่สับเซตของ Y เป็นสับเซ็ตของ X ที่ไม่ได้มี x จากอาร์กิวเมนต์ในข้อความก่อนหน้า เราจะสรุปได้ว่า
ให้ X และ Y เป็นเซ็ต ฟังก์ชัน f จาก X ไปยัง Y คือซับเซ็ตของผลคูณทางพิกัดแบบคาร์ทีเชียน 𝑋 × 𝑌 จะมีคุณสมบัติที่ว่าแต่ละ 𝑥 ∈ 𝑋 จะมี 𝑦 ∈ 𝑌 ที่ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 บางครั้งเรียกนิยามนี้ว่าเป็นฟังก์ชัน f จาก X ไปยัง Y หรือ
𝑓: 𝑋 → 𝑌
เซ็ต X เรียกว่า โดเมน (domain) ของ f เซ็ต
{𝑦|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓}
ซึ่งเป็นเซ็ตย่อยของ Y จะถูกเรียกว่า range of f
นิยาม 2
ถ้า x เป็นจ านวนเต็มและ y เป็นจ านวนเต็มบวก เรานิยาม x mod y เป็นเศษเมื่อ x ถูกหารด้วย y
Ex1.
6 mod 2 = 0, 8 mod 12 = 8, 199673 mod 2 = 1
Ex2. วันWhat day of the week will it be 365 days from Wednesday?
Seven days after Wednesday, it is Wednesday.
14 days after Wednesday, it is Wednesday again.
if n is positive number, 7n days after Wednesday is Wednesday again.
floor of x เขียนได้เป็น ⌊𝑥⌋ เป็นจ านวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x และ ceiling of x เขียนได้เป็น ⌈𝑥⌉ เป็นจ านวนเต็มที่เล็กท่ีสุดแต่มากกว่าหรือเท่ากับ x
ตัวอย่าง
⌊8.3⌋ = 8 ⌈9.1⌉ = 10, ⌊−8.7⌋ = −9, ⌈−11.3⌉ = −11
ฟังก์ชันแบบ onto
ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก X ไป Y และ range ของ f คือ Y เราเรียก f ได้ว่าเป็นฟังก์ชันแบบ onto Y หรือ surjective function
ฟังก์ชันนแบบ Bijection
ฟังก์ชันท่ีเป็นทั้งแบบ หนึ่งต่อหนึ่ง (one to one) และ แบบ onto เรียกว่า bijection
การประกอบรวมฟังก์ชัน
ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y และ f เป็นฟังก์ชันจาก Y to Z การประกอบรวม (composition) ของ f ด้วย g เขียนได้เป็น
CALC PSYCH
COMPSCI
34 12 47
8
25 16
14
9
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
จาก X ไปยัง Z
นิยาม 2.2.44
ฟังก์ชันจาก X×X ไปยัง X เรียกว่าเป็นการด าเนินการแบบไบนารี (binary operator) บน X (binary operator on X)
นิยาม 2.2.46
ฟังก์ชันจาก X ไปยัง X เรียกว่าเป็น unary operator on X
อันดับและสตริง
บริษัท Blue Taxi Inc. คิดค่าบริการแท็กซี 1 ดอลลาร์ในระยะหนึ่งไมล์แรกและ 20 เซนต์ในแต่ละไมล์ต่อไป ตารางข้างล่างนี้แสดงราคาของการเดินทางตั้งแต่ 1-10 ไมล์ โดยทั่วไปราคา 𝐶𝑛 ของการเดินทางระยะทาง n ไมล์ คือ 1.00 (ราคาของการเดินทางไมล์แรก บวกกับ 0.50 ดอลลาร์คูณด้วยจ านวน (n-1) ไมล์ที่เพ่ิมขึ้น นั่นคือ
ตารางแสดงความสมัพันธ์ของนักเรียนกับคอรส์ที่ลง จากตารางคงพูดได้ว่า Bill มีความสัมพันธ์กับ CompSci และ Art Marry ลงเรียนวิชา Math เป็นต้นเราคงจะนิยามได้ว่า
ความสัมพันธ์เชิงไบนารี (binary relation) R จากเซ็ต X ไปยังเซ็ต Y คือเซ็ตย่อยของผลคูณของคู่พิกัดคาร์ทีเชียน X×Y ถ้า (x,y)∈R เราจะเขียนได้เป็น x R y และพูดว่า x มีความสัมพันธ์กับ y ถ้า X=Y เราจะเรียกความสัมพันธ์ R นี้ความเป็นความสัมพันธ์เชิงไบนารีบน X (R on X)
และเซ็ต
{𝑥 ∈ 𝑋|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 for some 𝑦 ∈ 𝑌}
เรียกว่าโดเมนของ R และเซ็ต
{𝑦 ∈ 𝑌|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 for some 𝑥 ∈ 𝑋}
ว่าเป็นเรนจ์ (range) ของ R
ข้อสังเกต ฟังก์ชันท่ีได้กล่าวถึงก่อนหน้าก้เป็นรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ฟังก์ชันจาก X ไปยัง Y คือความสัมพันธ์จาก X ไปยัง Y ซึ่งมันจะมีคุณสมบัติเป็น
(a) โดเมนของ f เท่ากับ X
(b) for each x∈X จะมี y∈Y เพียงหน่ึงเดียวเท่านน้ันซึ่ง (x,y) ∈ f\
ความสัมพันธ์ผกผัน (reverse relation) คือถ้าให้ความสัมพันธ์ R จาก X ไปยัง Y เราอาจนิยามความสัมพันธ์จาก Y ไปยัง X โดยกลับล าดับของแต่ละคู่ล าดับใน R ความสัมพันธ์ผกผันของ R รูปทั่วไปคือฟังก์ชันผกผันซึ่งมีรูปแบบเป็นดังนี้
นิยาม 3.1.22 ให้ R เป็นความสัมพัน์จาก X ไปยัง Y ค่าผกผันของ R เขียนเป็น 𝑅−1 คือความสัมพันธ์จาก Y ไปยัง X โดยนิยามได้เป็น
𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
ตัวอย่าง ให้ R เป็นความสัมพันธ์จาก X={2,3,4} ไปยัง Y ={3,4,5,6,7} โดย (x,y)∊R ถา้ x หารดว้ย y
ความสัมพันธ์ที่เป็นแบบ reflexive, symmetric และ transitive บนเซต X จะถูกเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์ (equivalence relation) บน X
สมมติว่ามีเซต X ซึ่งเป็นเซตของลูกบอล 10 ลูก แต่ละลูกของมันอาจมีสี แดง เขียว น้ าเงิน สีใดสีหนึ่ง ถ้าแบ่งลูกบอลออกเป็นเซต R G และ B โดยใช้สีของมันชุด {R, G, B} เป็นส่วนหน่ึงของ X (ย้อนกลับไปดูเกี่ยวกับเซตนิยามส่วนของเซต (partition of a set) X จะเป็นชุด 𝒮 ของเซตย่อยที่ไม่เป็นเซตว่างของ X ซึ่งแต่ละสมาชิกของ X เป็นของสมาชิกใดสมาชิกหนึ่งของ 𝒮
เซตหนึ่งของสีลูกบอลจ านวน 10 ลูก
ส่วนหนึ่งดังกล่าวอาจถูกใช้ในการนิยามความสัมพันธ์ ถ้า 𝒮 เป็นส่วนของ X เราอาจที่จะนิยาม xRy หมายความว่า มีบางเซตสมาชิก 𝑆 ∈ 𝒮 ทั้ง x และ y เป็นของ S ตัวอย่างของภาพที่ แสดง ความสัมพันธ์ที่ได้อาจอธิบายได้เป็น “มีสีเดียวกันกับ (is the same color as)”
ทฤษฎี
ให ้𝒮 เป็นส่วนหน่ึงของเซต X นิยาม xRy หมายถึงมีบางสมาชิกของเซต S ใน 𝒮 ทั้ง x และ y เป็นของ S จะได้ความสัมพันธ์ R ว่า เป็นทั้ง Reflexive, symmetric และ transitive
ตัวอย่าง 1. ตัวอย่าง
พิจารณาส่วนเซตส่วน 𝑆 = {{1,3,5}, {2,6}, {4}}
โดยที่ 𝑋 = {1,2,3,4,5,6} ความสัมพันธ์ R บน X ก าหนดตามทฤษฎีดังกล่าวจะมีคู่ล าดับ (1,1), (1,3), และ (1,5) เพราะ {1,3,5} เพราะ {1,3,5} ∈ 𝑆 ความสัมพันธ์ R ที่สมบูรณ์คือ
ในการใช้เมตริกซ์จะเป็นวิธีท่ีสะดวกในการแทนความสัมพันธ์ R จาก X ไปยัง Y ซึ่งการแทนอาจใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการวิเคราะห์ได้ ในทีนี้อาจใช้แถวแทนสมาชิกของ X และแนวหลักแทนสมาชิกของ Y และจะให้ค่าของสมาชิกของเมตริกซ์เป็น 1 ถ้า x R y และ 0 ในกรณีอื่น
ในแนวหลักของความสัมพันธ์จะเรียกว่าเป็นอาร์ทริบิวต์ (attribute) หรือคุณสมบัติที่สนใจ โดเมนของอาร์ทริบิวต์หนึ่งคือเซตที่ทุกสมาชิกในอาร์ทริบิวต์นั้นเป็นเจ้าของอยู่ ตัวอย่างเช่นในตารางข้างบน อาร์ทริบิวต์ Age ควรจะเป็นเซตของตัวเลขจ านวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100 อาร์ทริบิวต์ Name ควรที่จะมีลักษณะเป็นสตริง ท่ีมีความยาวไม่มากกว่า 30 อักขระ
อาร์ทริบิวต์หนึ่งหรืออาร์ทริบิวต์ที่ร่วมกันส าหรับความสัมพันธ์หนึ่งจะเป็นคีย์ (key) ถ้าค่าของอาร์ทริบิวต์นั้นๆมีความเป็นหนึ่งเดียวหรือนิยามเพียงอย่างเดียวใน n-tuples ตัวอย่างเช่นอาจใช้ ID เป็นคีย์ อาร์ทริบิวต์ Name ไม่เหมาะที่จะใช้เป็นคีย์ทั้งนี้เพราะช่ือๆหนึ่งอาจมีหลายคนได้
ตัวฐานข้อมูลจะตอบสนองต่อค าสั่งสอบถาม (queries) ค าสั่งสอบถามคือความต้องการสารสนเทศจากฐานข้อมูล ตัวอย่างเช่น “Find all person who play outfield” เป็นค าสั่งที่มีความหมายส าหรับความสัมพันธ์ที่ให้ในตารางข้างบน ซึ่งจะได้กล่าวถึงตัวอย่างของค าสั่งที่ใช้ในฐานข้อมูลต่อไป
ID number Name Position Age Team 58199 Battey p 18 Jackalopes 01180 Homer 1b 37 Mutts
26710 Score p 22 Mutts
39826 Singleton 2b 31 Blue Sox
ตารางที่ ๔-๓ PLAYER [ID Number = PID] ASSIGNMENT การสอบถามส่วนใหญ่ไปยังฐานข้อมูลความสัมพันธ์ต้องการการด าเนินการที่จะได้ค าตอบได้
ตัวอย่าง อธิบายการด าเนินการเพื่อให้ได้ค าตอบของการสอบถาม “Find the names of all persons who play for some team”
ถ้าเริ่มแรกมีการเช่ือมความสัมพันธ์ของตารางทั้งสองโดยเป็นไปตามเง่ือนไข ID Number = PID และด้านผลลัพธ์ดังแสดงด้วยตารางข้างบน ซึ่งเป็นรายการของทุกบุคคลที่เล่นให้กับบางทีมและสารสนเทศอื่นๆ เพื่อที่จะให้ได้มาถึงช่ือ จ าเป็นต้องด าเนินการ Project ไปยังอาร์ทริบิวต์ Name ซึ่งจะได้ข้อมูลเป็น
Name
Battey Homer Score Singleton
ซึ่งในลักษณะของค าสั่งก็จะด าเนินการได้โดย
TEMP := PLAYER [ID Number = PID] ASSIGNMENT
TEMP [Name]
ตัวอย่าง อธิบายการด าเนินการที่ให้ค าตอบต่อค าสอบถาม “Find the names of all persons who play for Mutts”
d. 3. จงหาว่าความสัมพันธ์ที่ให้ต่อไปนี้มีลักษณะของความสัมพันธ์สมมูลย์บน {1,2,3,4,5} หรือไม่
a. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)} b. {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} c. {(x,y)|1≤x≤5 และ 1≤y≤5} d. {(x,y)|4 หาร x-y} e. {(x,y)|3 หาร x+y}
4. พิจารณาว่าความสัมพันธ์ที่ให้ต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลย์บนเซตของบุคคลเหล่านี้ a. {(x,y)|x และ y เป็นบุคคลที่มีความสูงเท่ากัน} b. {(x,y)|x สูงกว่า y} c. {(x,y)|x และ y มีสีผมเดียวกัน}
a. จงแสดงให้เห็นว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูลย์ b. แสดงทุกสมาชิกของ [C] หรือล าดับช้ันสมมูลย์ที่มี C
6. ให้ X={San Francisco, Pittsburgh, Chicago,Sandiago,Philadelphia, Los Angeles} นิยาม R บน X เป็น x R y ถ้า x และ y อยู่ในสถานะเดียวกัน
a. จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลย์ b. แสดงล าดับชั้นสมมูลย์ของ X
7. สร้างเมตริกซ์ของความสัมพันธ์ R จาก X ไปยัง Y ของล าดับที่ให้ต่อไปนี้ a. 𝑅 = {(1, 𝛿), (2, 𝛼), (2, Σ), (3, 𝛽)(3, Σ)} ล าดับของ X เป็น 1,2,3 ล าดับของ Y :𝛼, 𝛽, Σ, 𝛿
8. แสดงความสัมพันธ์ที่ให้จากตารางต่างๆ ดังต่อไปนี ้ ID Name Manager 1089 Suzuki Zamora 5620 Kaminski Jones 9551 Ryan Washington 3600 Beaulieu Yu 0285 Schmidt Jones 0684 Manacotti Jones ตารางที่ ๔-๔ EMPLOYEE
Dept Manager
23 Jones 04 Yu 96 Zamora 66 Washington
ตารางที่ ๔-๕ DEPARTMENT
1 2
b a c d
Dept Part No Amount
04 335B2 220 23 2A 14
04 8C200 302 66 42C 3 04 900 7720
96 20A8 200 96 1199C 296
23 772 39
ตารางที่ ๔-๖ SUPPLIER United Supplies 2A
ABC Unlimited 8C200 United Supplies 1199C
JCN Electronics 2A United Supplies 335B2
ABC Unlimited 772 Danny’s 900
United Supplies 772 Underhanded Sales 20A8 Danny’s 20A8 DePaul University 42C ABC Unlimited 20A8
ตารางที่ ๔-๗ BUYER 9. จากตารางดังกล่าว
a. หาช่ือพนักงานทุกคน (employee) ไม่รวมผู้จัดการ (manager) b. หาช่ือผู้จัดการทั้งหมด c. หาหมายเลขของช้ินส่วนอะไหล่ (part number) d. หาช่ือพนักงานทุกคนท่ีถูกจัดการโดย Jones e. หาหมายเลขอะไหล่ทั้งหมดและปริมาณ (amount) ส าหรับห้างสรรพสินค้า Zamora