3 ดร.ศิริชัย ตันรัตนวงศ
3
ดร.ศรชย ตนรตนวงศ
¤ โครงสรางทตานทานตอแรงอด กระทาตรงปลายทงสองขาง กระทาผานศนยถวงของรปตด
¤ สวนของโครงสรางทรบแรงอด• เสา (column)• top chord ของโครงสรางหลงคา/โครงสะพาน • คายน • สวนของปกคานทรบแรงอดของคานเหลกรปพรรณ
โครงสรางรบแรงดง VS. โครงสรางรบแรงอด
¤ แรงดงจะพยายามดงโครงสรางใหอยในแนวตรง¤ แรงอดจะพยายามทาใหโครงสรางแอน/โคง/โกงตว¤ รเจาะของตวยด
โครงสรางรบแรงดงจะลดเนอทหนาตดในการรบแรงดงในโครงสรางรบแรงอดจะสมมตใหตวยดแทนทรเจาะเตมทงหมด โดยไมตองลดเนอทของรเจาะออก
¤ ฉะนนในการคานวณออกแบบสวนของโครงสรางทรบแรงอดจะใชเนอทหนาตดทงหมดของรปตด (Ag)
หนวยแรงอดทเกดขน : fa = P/Ag
แรงอดทสวนโครงสรางรบได : P = FaAg
P: แรงอดตามแนวแกนบนเนอทหนาตดทงหมด (Ag)ทตงฉากกบแรง
fa: หนวยแรงอดทเกดขน แผกระจายสมาเสมอตลอดเนอทหนาตด
Fa: หนวยแรงอดทสวนโครงสรางจะสามารถรบได
รปตดของโครงสรางสวนรบแรงอด¤ ทฤษฎ: เลอกใชรปตดแบบใดกได ¤ ทางปฏบต:
☺รปตดทมจาหนายในทองตลาด ☺ การทารอยตอทปลายชนสวน☺ใชงานรวมกบโครงสรางอน
Note:
☻ กาลงรบแรงอดของ member เปนปฏภาคสวนกลบกบความยาว
☻อตราสวนชะลด/slenderness ratioความยาวของชนสวน : รศมไจเรชนของรปตด
☻โดยทวไปมกไมเลอกใชเหลกรปตดเปนทอนกลม/แบนเพราะอตราสวนความชะลดมคามาก
รปตดของโครงสรางสวนรบแรงอด
P P
PftA
└ Single-angle:ใชเปนคายน/รบแรงอดในโครงสราง/truss ขนาดเลกรศมไจเรชนนอย/ไมประหยดนก เมอตอกบแผนเหลกประกบอาจทาใหเกดโมเมนตตด
เพมขน เนองจากการเยองศนย
┴ Double-angle:ใชในโครงหลงคา/etc.คายนตานแรงลมในโครงสะพานปกต จะเลอกใชชนด unequal-leg angle โดยนาเอา
ขาดานยาวมาประกบหรอชนกน เพอทาใหรศมไจเรชนในแนวแกนทงสอง (x & y) เทา ๆ กน
pipe: เสารบหลงคาทางเดนเทา/เสาโรงรถ เหมาะสาหรบรบนาหนกนอย/ปานกลาง ขอด: รศมไจเรชนเทากนทกแกน
tube: เสารบหลงคาทางเดนเทา/เสาโรงรถ เหมาะสาหรบรบนาหนกนอย/ปานกลาง ตอปลายโดยการเชอม
พฤตกรรมการรบนาหนก & ลกษณะของการวบต
เมอ member รบนาหนก/แรงอด จะเกดการโกงตวเนองจากโมเมนตดด
เมอนาหนกบรรทกเพมขน จะโกงตวมากขน หากหนวยแรงอดสงสดทเกดขนบนหนาตดยงไมเกนกวา
หนวยแรงทขดจากดยดหยนของวสดทใช เมอลดนาหนกกระทา จะคอยๆคนตวสสภาพเดม
หากนาหนกเพมขนจนถงนาหนกวกฤต (critical stress)จะเรมสญเสยความมเสถยรภาพ และจะเรมวบต
สวนใหญเปนการวบตแบบการโกงเดาะทเกดจากการดด (flexural buckling)
compression member -- เสา
เสาสน (short column):
• เสาทมความยาวนอยเมอเทยบกบขนาดหนาตด• สามารถรบนาหนกไดจนกระทงหนวยแรงอดวกฤตท
เกดขนบนหนาตดของเสา ≥หนวยแรงอดจดคราก
• การวบตของเสาสนเปนลกษณะทรปตดของเสา ถกบบอดจนบดเบยวและเสยรป (crushing)
• โดยทวไป ถอวาหนวยแรงอดวกฤตบนหนาตด= หนวยแรงทจดคราก
เสายาวปานกลาง (intermediate column):
• การวบตจะเปนลกษณะของการโกงเดาะจากแรงดดในชวงอนอลาสตก (inelastic buckling)
• หนวยแรงอดวกฤตทเกดขนบนหนาตด มคาเกนกวาหนวยแรงทขดพกดยดหยนของวสด
• บางสวนของหนาตดอาจตองรบหนวยแรงอดวกฤตสงถงหนวยแรงทจดคราก
• แตบางสวนของหนาตดอาจรบหนวยแรงอดวกฤตไมถงจดคราก
เสายาว (long column):
• การวบตจะเปนลกษณะของการโกงเดาะจากแรงดดในชวงอลาสตก (elastic buckling)
• หนวยแรงอดวกฤตทเกดขนตลอดหนาตดมคาไมเกนกวาหนวยแรงทขดพกดยดหยน (proportional limit) ของวสด
ปจจยอนทมผลทาใหกาลงรบนาหนกของเสา
• ความโคงโกงงอของเสากอนทจะรบนาหนก (initial curvature)
• สภาพของการยดทปลายเสา• หนวยแรงอดคงคางจากการเยนตวไมสมาเสมอ
เมอผลตแบบรดรอน• อตราสวน ความกวาง ตอความหนา ของชนสวน• ตาแหนงของแรงอดทกระทาซงทาใหเสาตองรบ
แรงเยองศนยโดยบงเอญ
กาลงรบนาหนกของเสา
นาหนกวกฤตของเสายาวEuler Critical Load
Leonard Euler (1757) เสนอวธหากาลงรบนาหนกของเสาโดยตงสมมตฐาน:
• เสามแนวตรง• รบนาหนก/แรงอดตามแนวแกนไมเยองศนย
(axially loaded column)• หนาตดสมาเสมอ• วสดเนอเดยวกนตลอดความยาวเสา• ปลายทงสองขางของเสาแบบยดหมน (pin)
E = elastic modulus ของวสดI = moment of inertia ของรปตดรอบแกนรบโมเมนตดดL = ความยาวของเสา Pe= นาหนกวกฤต ททาใหเสาเกดการโกงเดาะเนองจากแรงดด
Euler formula: Pe = π2EI /L2
A = เนอทหนาตดเสา r = รศมไจเรชนI = Ar2
หนวยแรงอดวกฤตเฉลย Pe/A = π2E/(L/r)2
L/r = อตราสวนความชะลด (slenderness ratio)
• เสาทมความยาวเทากน กาลงรบนาหนกของเสาขนอยกบ ความแขงแรงของวสด (EI)
• ถาใชวสดชนดเดยวกน กาลงรบนาหนกของเสาเปนสดสวนโดยตรงกบ I
• โดยทวไป คา I รอบแกนทตงฉากกน ม 2 คา รอบแกนหลก x (Ix) มคามาก รอบแกนรอง y (Iy) มคานอย
• เสาทถกยดปลายทงสองขาง การโกงเดาะเนองจากแรงดดจะเกดรอบแกน y เสมอ
กาลงรบนาหนกของเสา = π2Ely / L2
• แตหากทาคายนระหวางชวงเสาในทศตงฉากกบแกน y ซงเปนการลดชวงความยาวของการโกงเดาะทางแกน y กาลงรบนาหนกของเสากจะเพมมากขน
• ผออกแบบสามารถเลอกระยะคายนทเหมาะสมทจะทาใหกาลงรบนาหนกทงสองแกนมคาเทากนได
สมการของออยเลอรใหคากาลงรบนาหนกของเสาทมอตราสวนความชะลดสง(เสายาว)ไดด
การโกงเดาะในชวงอลาสตกหนวยแรงอดวกฤตทเกดขนบนหนาตดเสาไมเกนกวาหนวยแรงทขดพกดยดหยนของวสด (Fp )
• ดงนน พกดตาสดของอตราสวนความชะลดทเสาจะเกดการโกงเดาะในชวงอลาสตก
L/r = (π2E/Fp)1/2
• นนคอ เมอเสามอตราสวนความชะลดเกนกวาคานเสาโกงเดาะในชวงอลาสตก
• เมอเสามอตราสวนความชะลดตากวาคาน เสาจะโกงชวงอนอลาสตก
นาหนกวกฤตของเสายาวปานกลาง
• เสายาวปานกลางจะเกดการโกงเดาะในชวงอนอลาสตกของวสดทใชทาเปนเสา
• ความสมพนธระหวางหนวยแรงอด vs. การหดตวของวสดในชวงนไมเปนเสนตรง เนองจากคาโมดลสในชวงนจะมคาลดลงตามขนาดของหนวยแรงอดทเพมขนตามลาดบ แตมไดเปนสดสวนกน
• ดงนน การคาดหมายกาลงรบนาหนกของเสาประเภทนจงไมสามารถใชคาโมดลสยดหยน E
ทฤษฎโมดลสสมผสTangent Modulus Theory
สมมตฐาน:• เสายงไมโกงตวจนกวาจะรบนาหนกถงนาหนกวกฤต
• ในขณะทเสาเกดการโกงเดาะ หนวยแรงอดวกฤตในเสาเปนไปตามคาโมดลสสมผส ET
ET = ความชนของเสน ความสมพนธระหวางหนวยแรงอดกบการหดตว
= คาโมดลสยดหยน เมอหนวยแรงอด=หนวยแรงทขดพกดยดหยน= มคาลดลงตามลาดบ เมอหนวยแรงอดเพมมากขน= 0 ทจดคราก
Freidrich Engesser หากาลงรบนาหนกของเสาโดยใชสมการออยเลอร แตแทนคาโมดลสยดหยน E ดวยคาโมดลสสมผส ET
กาลงรบนาหนกวกฤต Pcr = π2ETI / L2
ทฤษฎโมดลสลด Reduced Modulus Theory
สมมตฐาน:• ขณะทเสาเกดการโกงเดาะ
จะมทงหนวยแรงวกฤตทเพมขนทางดานหดตว และลดลงทางดานยดตวของเสา
• หนวยแรงอดวกฤตทเพมขนใหเพมตามคาโมดลสสมผส ET• หนวยแรงอดวกฤตทลดลงใหลดตามคาโมดลสยดหยน E• ถา ER= Reduced Modulus ซงเปนฟงกชนของ E และ ET
กาลงรบนาหนกวกฤต Pcr = π2 ERI / L2
• โดยท ER= 2EET/(E+ET ) สาหรบเสารปตด I หรอ WF(ทไมคดแผน web)
= 4EET/(√E+√ET)2 สาหรบเสารปตดสเหลยมผนผา
• เนองจากคาของ ER ขนอยกบ E และ ETบางครงจงเรยกทฤษฎนวา Double Modulus Theory
• การใชทฤษฎทงสองนยงยากพอสมควร เพราะคานาหนกวกฤตทโครงสรางจะรบไดตองสอดคลองกบคา ET ทเปลยนตามไปในขณะทเสาเกดการโกงเดาะ ซงตองใชวธพจารณาแบบ Trial & Error
ผลของการยดปลายเสาทมตอกาลงรบนาหนกของเสา
กาลงรบนาหนกของเสายาวทมสภาพการยดปลายเสาตางๆกน
1. เมอปลายเสาเปนแบบยดหมนทงสองขาง (ก)• นาหนกวกฤตของเสาหาไดโดยใชสมการของ Euler
2. เมอปลายเสาเปนแบบยดแนนทงสองขาง (ข)
• จดดดกลบ A และ C จะอยหางจากปลายทงสองเปนระยะL/4
• ดงนนสวนของเสา ABC จะคลายกบเสาในแบบแรก ซงมความยาวเสาเปน L/2
• นาหนกวกฤตของเสา:
Pe= π2EI/(L/2)2
= 4π2EI/L2
3. เมอปลายเสาขางหนงเปนแบบยดแนนและปลายเสาอกขางหนงเปนแบบยดหมน (ค)
• จดดดกลบ C จะอยทระยะ 0.7L หางจากปลาย A • สวนของเสา ABC จะคลายกบเสาในแบบแรกซงมความยาว
ของเสาเปน 0.7L• นาหนกประลยของเสา:
Pe= π2EI/ (0.7L)2
= 2π2EI/L2 (appx.)
4. เมอปลายเสาขางหนงเปนแบบยดแนนและปลายเสาอกขางหนงเปนแบบปลอยอสระ
• นาหนกประลยของเสา:Pe = π2EI/(2L)2
= π2EI/4L2
ดงนน สมการของออยเลอรจงเปนสมการทใชหานาหนกวกฤตของเสายาว เมอเสามลกษณะการยดปลายตางๆ
การโกงเดาะในชวงอลาสตก Pcr = π2EI/(KL)2
การโกงเดาะในชวงอนอลาสตก Pcr = π2ETI/(KL)2
K = ตวประกอบความยาวประสทธผล(effective length factor)KL = ความยาวประสทธผล (effective length)
Column Strength Curve
Bleich (1952):
สมการอยางงายทใชคานวณ หาหนวยแรงอดวกฤตเมอเสาโกงเดาะในชวงอนอลาสตก โดยพจารณาใหสวนโคงอยในรปสมการของโคงพาราโบลา
Fy-Fp2
(KL/r) p2Fy-
KLr
Fcr =
ถาหนวยแรงทขดพกดยดหยน Fp = Fy/2
Cc: อตราสวนความชะลดท Fp = √(π2E/Fp) = √(2π2E/Fy)
KL/r ≥ Cc :
• เสาโกงเดาะในชวงอลาสตก • หนวยแรงอดวกฤต = π2E / (KL/r)2
• อตราสวนปลอดภย = 23 / 12• หนวยแรงอดทยอมให = 12π2E / 23(KL/r)2
• ถา λc = (KL / rπ)√Fy / E หนวยแรงวกฤต = Fy / (λc)2
KL/r ≤ Cc :
• เสาโกงเดาะในชวงอนอลาสตก• หนวยแรงอดวกฤต =
• อตราสวนปลอดภย =
• หนวยแรงอดทยอมให =
Fy- Fy-(Fy / 2)cc
2
KLr
2=
2
1- 12
KL/rcc
Fy
53
+ 38
KL/rcc
- 18
KL/rcc
3
1- 12
KL/rcc
2
53 + 3
8KL/rcc
- 18
KL/rcc
3 Fy
Local Buckling
• อตราสวน ความกวาง: ความหนา(width-Thickness ratio)ของแตละชนสวนของเสามผลตอกาลงรบนาหนกของเสา
• Local Buckling (LB) : หากชนสวนใดชนสวนหนงบางเกนไป อาจเกดการโกงเดาะได กอนทโครงสรางทงหมดจะเกดโกงเดาะ (Overall Buckling)
Theory of Plates: หาอตราสวนสงสดระหวาง ความกวาง:ความหนาของชนสวน เพอปองกนไมใหเกด LB ทงในชวงอลาสตกหรออนอลาสตก
• แผนเหลกบางขนาดสเหลยมผนผา ยาว a กวาง b หนา t• แรงอดกระทาบนดานกวาง b ทศทขนานกบความยาว a • มสภาพของการยดขอบตาง ๆ กนคาสมประสทธ k
ของแผนแบนบาง เมอรบแรงอด
Theory of Plates: •สมการของหนวยแรงวกฤตชวงอลาสตก :
Fcr = kπ2E
12(1 - μ2)(b/t)2
หรอbt
=π2
12(1 - μ2)kEFcr
k = คาคงท ขนกบ• ลกษณะการรบแรง• อตราสวน a/b• การยดขอบ
E = โมดลสยดหยนของวสดμ = Poison Ratio
= 0.3 - เหลกทวไป
คาสมประสทธ k ของแผนแบนบาง เมอรบแรงอด
• หนวยแรงอดวกฤตในชวงอนอลาสตก • แทนคา E ในสมการขางตนดวย ET• เมอกาหนดคาของหนวยแรงอดวกฤตทตองการ จะสามารถหาอตราสวนสงสด ระหวางความกวาง:ความหนา ของชนสวนนน เพอปองกนการเกดการ LBได
ถาใหหนวยแรงอดวกฤต≥หนวยแรงทจดคราก (Fy) ดงนน
แตจากผลกระทบของหนวยแรงคงคางและการโคงงอเรมแรกของแผนเหลกทาใหตองปรบคาของ b/t เปน
bt≤
π2
12(1-μ2)kEFy
bt≤
π2
12(1-μ2)kEFy
0.70 = 0.67 kEFy
(เมอใช μ = 0.3)
unstiffened element:• ขอบขางหนงทขนานกบแนวแรงไมถกยด (ปลอยอสระ)• ขอบดานขางอกขางหนงทขนานกบแนวแรงถกยด
• k = 0.425 : b/t ≤ 0.45 E/Fy เหลกฉากเดยว
• k = 1.277 : b/t ≤ 0.75 เหลกแผนตงของรปตดตวท
• k = 0.70 (คาระหวาง 0.425 กบ 1.277): b/t ≤ 0.56 แผนเหลกปกคาน
E/Fy
E/Fy
ประเภทของรปตดของสวนโครงสรางทรบแรงอด (AISC/ASD/LRFD)
• Compact: ปกคานเชอมอยางตอเนองกบเหลกแผนตงตลอด
ทงความยาว อตราสวน b/t ของแตละชนสวน ≤ คาทกาหนด
• Noncompact: รปตดทไมสามารถจดเปนแบบ compact อตราสวน b/t ของแตละชนสวน ≤ คาทกาหนด
สาหรบรปตดแบบไมคอมแพค• Slender:
อตราสวน b/t > คาทกาหนดสาหรบรปตดแบบไมคอมแพค
• เพอปองกน LB ของสวนโครงสราง
การออกแบบโครงสรางรบแรงอด (AISC)
• อตราสวนความชะลด(KL/r) ≤ 200
• การออกแบบสวนโครงสรางรบแรงอด ดงสมการตอไปน สาหรบรปตดของสวนโครงสรางทมอตราสวน b/t ของแตละชนสวน ≤ คาทกาหนดใหสาหรบรปตดแบบ noncompact
ก) ขอบดานขางขางหนงทขนานกบแนวแรงไมถกยด (unstiffened element)
โดยทวไป ใช b/t ≤ 0.56 E/Fy
เหลกฉากเดยว/คทมแผนแทรก b/t ≤ 0.45 E/Fy
เหลกแผนตงของเหลกรปตวท b/t ≤ 0.75 E/Fy
ข) ขอบดานขางทงสองขางทขนานกบแนวแรงถกยด (stiffened element)
โดยทวไป ใหใช b/t ≤ 1.49 E/Fy
ทอเหลกรปตดสเหลยม b/t ≤ 1.40 E/Fy
• เหลกรปพรรณมาตรฐานทผลตสวนใหญไดทาตามขอกาหนดจงไมมปญหาเรอง LB
• ตองตรวจสอบสาหรบสวนโครงสรางทประกอบขนเอง (built-up section)
• เสาทมรปตดเปนแบบชะลด พจารณาออกแบบตามทมาตรฐาน AISC กาหนด
ไมนามากลาวไวในทน
การออกแบบโดยวธ ASDหนวยแรงอดทยอมใหบนหนาตดทงหมด (Ag) ขนอยกบ การโกงเดาะของเสาทงในชวงอลาสตกและอนอลาสตก โดยใชคาอตราสวนความชะลด [Cc = ] เปนตวกาหนด2π2E/Fy
• เมอ KL/r≤ Cc :
Fa =1- 1
2KL/rCc
2
53 + 8
3 KL/rCc
- 8KL/rCc
1 3Fy
•เมอ KL/r > Cc : Fa = 12π2E23(KL/r)2
L = ชวงความยาวของเสาทไมมคายนทางขาง ซม.r = รศมไจเรชน (min) ของพนทรอบแกนทเกดการโกงงอ ซม.E = โมดลสยดหยนของเหลก กก./ซม.2Fy = กาลงจดครากของเหลก กก./ซม.2K = ตวคณประกอบความยาวประสทธผลFa = หนวยแรงอดทยอมให กก./ซม.2
การออกแบบโดยวธ LRFD
กาลงรบแรงอดประลย φcPn = FcrAg
Pn = กาลงตานทานแรงอดประลย (nominal compressive strength)Ag= เนอทหนาตดทงหมดของสวนโครงสรางรบแรงอดFcr= หนวยแรงอดวกฤต
ขนกบ slenderness parameter : λc = (KL/rπ) Fy/E
• λc ≤ 1.5 : Fcr = (0.658 λ c^2)Fy = [exp(-0.419λc2)]Fy
• λc > 1.5 : Fcr = 0.877π2E(KL/r)2
= 0.877λc
2Fy
หนวยแรงอดวกฤตสาหรบการออกแบบโดยวธ LRFD
ตวอยางท 3.1 จงหากาลงรบนาหนกของเสาขนาด W350x136 โดยวธ ASD และวธ LRFD ซงยาว 6.0 เมตร ปลายทงสองขางเปนแบบยดหมนใชเหลกชนด A36 (สมมต Fy = 2500 กก./ซม.2 E= 2x106 กก.ซม.2)
ตรวจสอบ Local Buckling
ขอกาหนด AISC
2,5000.56 15.842,000,000
=2,5001.49 42.14
2,000,000=
( / 2) 350 / 2 9.21 15.8419
f
f
bt
= = <OK
350 29.16 42.1412w
ht= = < OK
วธ ASD
2. หนวยแรงอดทยอมให :
Fa =1-
12 (KL/r
Cc)2
53 +3
8KL/r)(Cc
- 18 (KL/r )
3
Cc
Fy = 1150 กก./ซม2
3. กาลงรบแรงอดใชงาน (allowable compressive load):P = AgFa = (173.9)(1150) = 200,000 กก.
2 22 2 (2,000,000) 125.662,500C
Y
ECFπ π
= = =
1. KL/r = (1)(600)/8.84 = 68 < 125.66
วธ LRFD
1. Slenderness Parameter λc =KL/rπ
Fy
E= 0.764 < 1.5
ตวอยางท 3.3 จงคานวณหากาลงรบนาหนกของเสาขนาด W350x136 เมอมชวงความยาวประสทธผล (Effective Length: KL) ทางแกนหลก(major axis) เทากบ 12 เมตร และทางแกนรอง (minor axis) เทากบ 6 เมตร โดยใชมาตราฐาน AISC และใชเหลกชนด A36 (สมมต Fy = 2500 กก./ซม.2 E= 2x106 กก./ซม.2)
วธทา W 350 x 136 ; Ag = 173.9 ตร.ซม.rx = 15.2 :ซม.ry = 8.84 ซม.width-thickness ratio = 35/(2 x 1.9) = 9.21
< (0.56 E/fy = 15.8) O.K.
2. หนวยแรงอดทยอมให :จาก KL/r = 78.9 < (Cc = 2π2E/Fy = 125.7)
Fa =1- 1
2 ( KL/rCc
) 2
53+ 38
KL/rCc
)-( 18
KL/rCc
) 3(Fy = 1073 กก./ตร.ซม.
3. กาลงรบแรงอดใชงาน (allowable compressive load) :P = AgFa = (173.9)(1073) = 186,595 กก.
วธ ASD
1. KxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9 KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก
วธ LRFD
1. KxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9 KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก
คา r ทใช ตองเปน r minimum
คา K ตามทฤษฎ vs. K ทใชในการออกแบบเสา
• อาจพจารณาเสมอนเปนเสาเดยว ทงทมการเซและไมมการเซ
• คาตามทฤษฎ < คาทใหใชในการออกแบบ • ในทางปฏบตจรงไมสามารถทาการยดปลายเสาไดตรงตาม
ทฤษฎ• มาตรฐาน AISC/ASD/LRFD แนะนาใหใชคา K = 1
สาหรบเสาในโครงเฟรมทไมมการเซทางขาง เวนแตจะทาการวเคราะหไดวา K < 1
• มาตรฐาน AISC/ASD/LRFD กาหนดใหตองวเคราะหหาคาของตว K สาหรบเสาในโครงเฟรมทยอมใหเซทางขาง แตทงนตอง ≥ 1
ตวคณประกอบความยาวประสทธผล (Effective Length Factor : K)
กาลงรบนาหนกของเสาในโครงเฟรม
• เสาในโครงเฟรม อาจโกงเดาะเนองจากแรงดดไดทงในชวงอลาสตกและอนอลาสตก เชนเดยวกบเสาเดยว
• Braced Frame: • มคายนสามารถตานแรงทางขางได• ไมเกดการเซทางขาง• เกดการโกงเดาะแบบ symmetrical
• Unbraced Frame: • ยอมใหมการเซทางขาง • เกดการโกงเดาะแบบ anti-symmetrical • กาลงรบนาหนกของเสาในนอยกวาเสาใน Braced Frame
กาลงรบนาหนกของเสาในโครงเฟรม
คาน & เสา วสดชนดเดยวกน:
G = ∑(Ic/Lc) / ∑(Ig/Lg)
• โครงสรางไมมการเซทางขาง:• K < 1• กาลงรบนาหนกนอยทสด ของเสาประมาณโดยสมมตให
K =1• โครงสรางมการเซทางขาง:
• K > 1 •วเคราะหคา K ใหไดกอน• กาลงรบนาหนกสงสด ของเสา ≤ π2EI/L2
K ของเสาในโครงเฟรม
Alignment
Chart
เมอปลายเสาเปนแบบยดหมน: G = 10 เมอปลายเสาเปนแบบยดแนน: G = 1
ในกรณททราบการยดปลายคานดานไกลทแนนอน ใหคณคา stiffness factor ของคาน ดวยคาตอไปน
•โครงสรางไมมการเซ :o ปลายคานดานไกลเปนแบบยดหมน คณ 1.5o ปลายคานดานไกลเปนแบบยดแนน คณ 2.0
•โครงสรางมการเซ:o ปลายคานดานไกลเปนแบบยดหมน คณ 0.5o ปลายคานดานไกลแบบยดแนน คณ 0.67
ตวอยางท 3.4 จงหาชวงความยาวประสทธผลของเสาแตละตนในโครงเฟรมทแสดง ซงยอมใหเซทางขาง
วธทา หาคา Stiffness Factor ของคานและเสา
คาน B1: lg/Lg = 47800/600 = 79.67คาน B2 : lg/Lg = 23700/600 = 39.50เสา C1 และ C4 : lc/Lc = 20400/400 = 51.00เสา C2 และ C3 : lc/Lc = 20400/350 = 58.29
หาคา GA และ GB ทปลายบนและปลายลางของเสาแตละตนทพจารณา แลวใช Alignment Chart สาหรบโครงเฟรมทยอมใหเซทางขาง เพอหาคา Effective length factor : K โดยการลากเสนตรงเชอมระหวางคาของ GA และ GB กจะไดคา K ของเสาแตละตนดงแสดงในตารางตอไปน
เสา GA ทปลายบน GB ทปลายลาง Kx
C1 (51.0+58.29)/79.67 = 1.37 1(ปลายยดแนน)C2 58.29/39.5 = 1.48 1.37C3 1.48 1.37C4 1.37 10(ปลายยดหมน)
เสา GA ทปลายบน GB ทปลายลาง Kx
C1 (51.0+58.29)/79.67 = 1.37 1(ปลายยดแนน) 1.38
C2 58.29/39.5 = 1.48 1.37 1.44
C3 1.48 1.37 1.44
C4 1.37 10(ปลายยดหมน) 1.98
Ga Gb
No-Sway CaseK = 0.818
Equation = 0.00001
Sway CaseK = 1.438
Equation = 0.00009
1.371.48
No-Sway
Sway
Stiffness Reduction Factor : SRF
• Alignment Chart พฒนามาจากขอสมมตฐานตามทฤษฎ อลาสตกเพยงอยางเดยว
• ดงนนเมอจะนาไปใชกบเสาทจะเกดการโกงเดาะในชวงอนอลาสตก
หมายถงชวงท
ASD: fa > 0.26Fy
LRFD: Pu/A > 0.39Fy
ASD: fa > 0.26Fy
LRFD: Pu/A > 0.39Fy
slenderness parameter : λc = ( ) YKL Fr Eπ
ถา G’ = ∑(Ic/ Lc)∑(Ig/ Lg)
G = [ G’] [SRF]
Ic, Ig = โมเมนตอนเนอรเชยของเสาและของคานLc, Lg = ชวงความยาวของเสาและของคาน
SRF = Fa (inelastic) / Fa (elastic) สาหรบ ASD= Fcr (inelastic) / Fcr (elastic) สาหรบ LRFD
= 1.0 เมอเสาโกงเดาะในชวงอลาสตก
• มาตรฐาน AISC ใหปรบแกดวย Stiffness Reduction Factor : SRF ซงจะทาใหคาของตว G ทแตละปลายเสามคานอยลง
SRF สาหรบเหลก Fy = 2,500 ksc, E = 2,000,000 kscไดคานวณใหไวในตาราง 13 และ 14
วธการออกแบบโครงสรางสวนรบแรงอด
1. สมมตคาหนวยแรงอดทยอมให หรอคาของหนวยแรงวกฤต (แลวแตวธทจะใช) โดยอยาใหมคามากกวาหรอเทากบคาสงสดในสตรคานวณออกแบบ
2. หารนาหนกทกระทาดวยหนวยแรงอดทสมมตขนจากขอ 1 จะไดคาเนอทหนาตดของเสาทตองการโดยประมาณ
3. เลอกรปตด โดยใหมเนอทหนาตดอยางนอยเทากบเนอททหาไดจากขอ 2 และหาคารศมไจเรชนของรปตดทเลอกใช โดยพจารณาถงสภาพการคายนดวย
4. คานวณหาหนวยแรงอดทยอมให หรอกาลงรบแรงอดประลย(แลวแตกรณ) ของรปตดทเลอกใช
5. ถาคาหนวยแรงอดทยอมให หรอกาลงรบแรงอดประลย ทไดในขอ 4 มคาไมมากเกนกวาคาจรงประมาณ 2 ถง 3 เปอรเซนต กแสดงวาเลอกขนาดรปตดไดเหมาะสมแลว
6. แตคาหนวยแรงอดทยอมให หรอกาลงรบแรงอดประลย มคามากกวาหรอนอยกวาคาจรงประมาณ 5% แสดงวาหนาตดทเลอกใชใหญไปหรอเลกไปกวาความตองการ จาเปนตองกลบไปพจารณาใหม
7. เมอไดรปตดทเหมาะสม ใหตรวจสอบเกยวกบการโกงเดาะเฉพาะแหง ซงอาจจาเปนตองเลอกรปตดใหมกได
ตวอยางท 3.6 จงออกแบบเสาเหลกรปพรรณทมหนาตดแบบปกกวาง(W-Shape) ยาว 5.0 เมตร ใหรบนาหนกบรรทกคงทใชงาน 41.5 ตน นาหนกบรรทกจรใชงาน 125 ตนตามมาตรฐาน AISD ใชเหลก A36 (สมมต Fy = 2500 กก./ซม.2, E = 2x106
กก./ซม.2) เมอ
(ก) ปลายทงสองดานเปนแบบยดหมน (ข) ปลายทงสองดานเปนแบบยดแนน
วธทาออกแบบโดยวธ ASD
คานวณหานาหนกใชงานทเสาตองรบP = 41.5 + 125 = 166.5 ตน
(ก) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดหมน (K = 1.0)1. สมมตหนวยแรงอดทยอมให Fa = 1200 กก/ซม2
2. ตองการเนอทหนาตด Ag = P/Fa = 166500/1200 = 139 ซม2
3. เลอกรปตด W344 x 115Ag = 146 ซม2 , rmin = 8.78 ซม.b/t =10.88 < (0.56 E/Fy = 15.8)
4. หาหนวยแรงอดทยอมใหจรง (Fa) และกาลงรบแรงอดใชงานจาก KL/r = (1.0)(500)/8.78 = 56.95 < (Cc = 2π2E/Fy = 125.7)
Fa =1- 1
2 ( KL/rCc
) 2
53+ 38
KL/rCc
)-( 18
KL/rCc
) 3(Fy = = 1230 กก./ตร.ซม.
กาลงรบแรงอดใชงาน P = AgFa = (146)(1230) = 179580 กก.O.K.
(ข) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดแนน (K = 0.65)1. สมมตหนวยแรงอดทยอมให Fa = 1250 กก./ตร.ซม.2. ตองการเนอทหนาตด Ag = P/Fa = 166500/1250 = 133.2 ซม2
3. เลอกรปตด W390 x 107Ag = 136 ตร.ซม., rmin = 7.28 ซม., b/t = 12.2 < 0.56 E/Fy
4. หาหนวยแรงอดทยอมใหจรง (Fa) และกาลงรบแรงอดใชงาน
จาก KLrmin
=(0.65)(500)
7.28= 44.6 < Cc = 2π2E/Fy = 125.7
Fa =1- 1
2 ( KL/rCc
) 2
53+ 38
KL/rCc
)-( 18
KL/rCc
) 3(Fy = = 1306 กก./ซม2
กาลงรบแรงอดใชงาน : P = AgFa = (136)(1306) = 177616 กก.O.K.
ออกแบบโดยวธ LRFD
คานวณหานาหนกใชงานทเพมคาแลว (Factored Loads) ทเสาตองรบจาก Pu = 1.2D + 1.6Lนนคอ Pu = 1.2(41.5) + 1.6(125) = 250 ตน
(ก) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดหมน (K = 1.0)1. สมมตหนวยแรงอดวกฤต Fcr = 2000 กก./ซม2
2. ตองการเนอทหนาตด Ag= Pu/ φcFcr= 250000/(0.85 x 2000) = 147 ซม2
3. เลอกรปตด W 344 x 115Ag = 146 ซม2
rmin = 8.78 ซม.b/t = 10.88 < (0.56 E/Fy = 15.8)
4. หาหนวยแรงวกฤตจรง (Fcr) และกาลงรบแรงอดประลย (design strength)
KL/r = (1.0)(500)/8.78 = 56.95
λc = KL/rπ
Fy
E = 56.95π
25002x106
= 0.64 < 1.5
φcFcr = 0.85(0.658λc2)Fy = 0.85(0.658 0.64^2)(2500) = 1789 กก/ซม2
Design Strength : φcPn = Ag(φcFcr) = 146(1789) = 261000 กก.O.K.
(ข) เมอปลายเสาทงสองดานเปนแบบยดแนน (K = 0.65)1. สมมตหนวยแรงอดวกฤต Fcr = 1900 กก./ซม2
2. ตองการเนอทหนาตด Ag = Pu/ φcFcr= 250000/(0.85x1900)= 131.6 ซม2
3. เลอกรปตด W390x107Ag = 136 ตร.ซม. rmin = 7.28 ซม.b/t = 12.2 < 0.56 E/Fy
4. หนวยแรงวกฤต (Fcr) และกาลงรบแรงอดประลย (design strength)
KLrmin
= (0.65)(500)7.28
= 44.6
λc = KL/rπ
Fy
E = 44.6π
25002x106
= 0.50 < 1.5
φcFcr = 0.85(0.658λc2)Fy = 0.85(0.658 0.64 2)(2500) = 1912 กก/ซม2
Design Strength : φcPn = Ag(φcFcr) = 136(1912) = 260000 กก.O.K.
ตวอยางท 3.7 จงออกแบบเสารปตดแบบปกกวาง เมอมชวงความยาวประสทธผล (Effective Length : KL) ทางแกนหลก (major axis) =12 เมตร และทางแกนรอง (minor axis) = 6 เมตร ใหรบแรงอดจากนาหนกบรรทกคงทใชงาน 41.5 ตนและจากนาหนกจรใชงาน 125 ตนโดยใชมาตรฐาน AISC เหลกชนด A36 (สมมตใช Fy =2500 กก/ซม.2,E = 2x106 กก./ซม.2)
วธทา
โดยใชวธ ASD
เสาตองรบแรงอด P = 41.5 + 125 = 166.5 ตน
1. เลอกหนาตด W350x136 ; Ag = 173.9 ตร.ซม. , rx = 15.2 ซม., ry = 8.84 ซม.,bf/2tf = 35/(2x1.9) = 9.21 < (0.56 E/Fy = 15.8)
2. หาอตราสวนความชะลดKxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9
แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก (major axis)
3. การคานวณหา Fa และกาลงรบแรงอดใชงานจาก (KxLx/rx = 78.9) < (Cc = 125.7)
Fa =1- 1
2 ( KL/rCc
) 2
53+ 38
KL/rCc
)-( 18
KL/rCc
) 3(Fy = = 1072 กก./ตร.ซม.
กาลงแรงอดใชงาน :P = AgFa = (173.9)(1072)/1000 = 186 ตน > 166.5 ตน
OK.
โดยใชวธ LRFD
เสาตองรบแรงอดใชงานทเพมคาแลว Pu = 1.2(41.5) + 1.6(125) = 250 ตน
1. เลอกหนาตด W350x136 : Ag = 173.9 ตร.ซม. rx = 15.2 ซม. ry = 8.84 ซม.bf/2tf = 35/(2x1.9) = 9.21 < (0.56 E/Fy = 15.8)
2. หาคาอตราสวนความชะลดKxLx/rx = 1200/15.2 = 78.9KyLy/ry = 600/8.84 = 67.9
แสดงวาเสาจะวบตโดยการโกงเดาะรอบแกนหลก3. คานวณหา φcFcr และกาลงรบแรงอดประลย
จาก KxLx/rx = 78.9
ดงนน
λc = KL/rπ
Fy
E = 78.9π
25002x106
= 0.89 < 1.5
φcFcr = 0.85(0.658λc2)Fy = 0.85(0.658 0.89^2)(2500) = 1527 กก/ซม2
φcPn = Ag(φcFcr ) = 173.9(1527) /1000 = 265.6 ตน > Pu = 250 ตน
หมายเหต คายนขางเสาตองรบแรงอดได ≥ 0.02 เทาของแรงอดในเสา