thaicadet.org › ตัวอย่างเฉลย... · เฉลยข้อสอบเก่าเตรียมทหาร วิชา ...2017-02-03 · ปีพ.ศ.

เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร

แบบละเอยดสดๆ เหลาทหารบก (จปร.)

ปพ.ศ. 2547-2552

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

ใครๆกอยากสอบตดเตรยมทหาร

แตในความเปนจรงการสอบเตรยมทหารใหตดนนชางเปนเรองทยากมากๆ

ตลอด50กวาปทผานมาแมบางคนจะใชโอกาสและความพยายามทมอยทงชวตกยงไมสามารถทำาไดในขณะทบางคนอาจทำาไดแมเปนการสอบเพยงครงเดยวของชวตเทานน

การสอบเตรยมทหารในรอบแรกของทกเหลาซงเปนรอบวชาการจะประกอบดวย5วชาหลกคอคณตศาสตรวทยาศาสตรภาษาองกฤษภาษาไทยและสงคมซงทกวชาลวนมความสำาคญเทากนแตอาจมความยากงายแตกตางกนไปตามธรรมชาตของแตละองคความรของวชานนๆ การสอบรอบแรกของแตละเหลาใชเวลาเพยงวนเดยว ประมาณ4-5ชวโมงเทานนแตผเขาสอบตองเตรยมตวมาตลอดทงป(บางคนอาจมากกวา1ปเสยดวยซำา)จากจำานวนผสมครสอบเฉลยเหลาละประมาณ22,000-25,000คนจะมผผานการสอบรอบแรกประมาณ500กวาคนและสอบตดไดเปนนกเรยนเตรยมทหารจรงๆเหลาละประมาณ100กวาคนเทานนดงนนการจะสอบผานรอบแรกใหไดตองทมเทสดๆตองฝกทำาแบบฝกหดและขอสอบเกากนเปนหมนๆแสนๆขอเปนเวลานานนบปเลยทเดยว

ในสวนขอสอบวชาคณตศาสตรเหลาทหารบกนน ผออกขอสอบซงเปนอาจารยโรงเรยนนายรอยพระจลจอมเกลาเลงเหนวา จะตองมความยากเปนพนฐาน เนองจากนกเรยนนายรอยจะตองเขารบการศกษาในหลกสตรปรญญาตรวศวกรรมศาสตรบณฑต หรอวทยาศาสตรบณฑตในโรงเรยนนายรอยพระจลจอมเกลาซงนกเรยนนายรอยตองมพนฐานความรและความเขาใจทางดานการคำานวณ การวเคราะหปญหา และการแกปญหาในเวลาจำากดไดเปนอยางดหนงสอ“เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหารวชาคณตศาสตรแบบละเอยดสดๆ

เหลาทหารบก (จปร.)ปพ.ศ.2547-2552”น จงไดรวบรวมวธการตะลยโจทยขอสอบเกาวชาคณตศาสตรของการสอบเขาเปนนกเรยนเตรยมทหารเหลาทหารบกตงแตปพ.ศ.2547จนถงปปจจบนดวยการนำาเสนอแนวคดและวธการแกโจทยปญหาแบบละเอยดสดๆ โดยในบางขอไดแทรกความรพนฐานทจำาเปนสำาหรบการทำาโจทยขอนนๆเอาไวดวย

จากการเรยบเรยงความคดและการเขยนเพอนำาเสนอทำาใหทราบวาเราจำาเปนตองมพนฐานความรทดในเรองนนๆเสยกอนจงจะสามารถแกโจทยปญหาประยกตในเรองนนๆไดซงตองเรมจากการฝกทำาแบบฝกหดปญหา1ชนเปนอนดบแรก แลวจงขยบไปแกโจทยปญหา 2-3 ชนทมความซบซอนมากขนได เมอเราฝกการแกปญหาโจทยยากๆไดแลวเรากตองหดทำาโจทยลกษณะนนบอยๆทำาเรองนนๆอยางนอยเปนรอยๆขอจนกระทงเขาใจธรรมชาตของเนอหาเพอใหเกดความชำานาญในทสด

คำ�นำ�นกเขยน

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

คนทอไมเคยชนะ คนชนะไมเคยทอ

ดวยความตงใจของผมในการเขยนเฉลยขอสอบเกาเตรยมทหารในสวนของวชาคณตศาสตร มาตงแตปพ.ศ. 2547 เรอยมาจนถงปปจจบน สำาหรบนองๆ ทกคนทมความตงใจในการอานหนงสอ และฝกฝนตนเองเพอเตรยมสอบเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร ไมวาจะเปนเหลาใดกตามผมจงใชคำาแทนตวเองวา “พ”และเรยกเดกนกเรยนทเตรยมสอบทกคนวา“นอง”หรอ“นองๆ”(ดงจะเหนคำาพดเหลานไดบอยในเอกสารฉบบน)เพอใหนองๆทกคนทไดอานเฉลยขอสอบเกาฯของผมมความรสกวาตวหนงสอของผมคอการถายทอดความคดจาก“พคนหนง”ไปส“นองๆทกคน”ไมใชรปแบบจาก“อาจารย”ไปส“นกเรยน”อยางนอยนองๆผอานทกคนจะไดรสกChillChillมากขนและยงมผลพลอยไดคอเปนการลดวยของผมเองดวย

พไดยนมาตงแตเดกๆทเขาบอกกนวา“วชาเลขเปรยบเสมอนยาขม” แตพขอยนยนวา ไมจรงหรอกครบ ทถกตองคอ “วชาเลขเปรยบเสมอนยาขมหมอยกษ” ตางหาก(แยกวาเดมอก)

นองๆเคยถามตวเองไหมวาเรากเรยนเลขมาตงแตเดกๆวากนจรงๆกตงแตระดบชนอนบาลดวยซำาไปทำาไมเราไมสามารถเขาใจและเขาถง“ยาขมหมอยกษ”นไดสกทในขณะทเพอนทเกงๆบางคนเชนหวหนาหองของเรากลบเรยนไดเกงเอาๆสอบกทกTOPตลอดเมอมาถงจดนนองๆตองเรมถามตวเองแลวครบวา“เรากบเขานนตางกนตรงไหน?”ยงตอนสอบMidtermสอบFinalหรอสอบแขงขนเขาเรยนตอระดบชนม.ปลายเชนสอบเขารร.มหดลวทยานสรณรร.เตรยมอดมศกษาหรอรร.เตรยมทหารเปนตนทำาไมคนอนเขาสอบไดแตเราสอบไมไดเมอคดไปคดมาหลายคนกไดคำาตอบวา“เพราะเราขยนไมเทาเขา”นนเอง

การอานหนงสอคอการอานความคดของผเขยนทตองการถายทอดออกมาผานตวหนงสอจากปลายปากกา(เดยวนกลายเปนแปนKeyboardแลว)ดงนนทกครงทนองๆไดอานหนงสอเลมใดเทากบนองๆไดอานความคดของคนๆ นน สำาหรบผเขยนแลว ความสำาเรจของการเขยนคอการไดรบผลตอบรบทดจากผอาน แตในทางกลบกนสำาหรบผอานหรอตวเราเองสงสำาคญทสดคอ“เราจะสามารถจบประเดนความคดของผเขยนแลวนำาความคดนนไปประยกตใชใหเกดประโยชนกบตวเราเองใหมากทสดไดอยางไร”

การอานหนงสอจงเปรยบเสมอนการเปดโลกทางความคดเปนการใหโอกาสกบตนเองยงคนไหนขยนมากกเทากบใหโอกาสกบตนเองมากขน ตรงกนขามกบคนขเกยจทไมเคยใหโอกาสดๆ กบตวเองเลย เรมอยากอานหนงสอเตรยมสอบเตรยมทหารดวยกนแลวใชไหมครบนงสบายๆหายใจเขาปอดลกๆซก3ทแลวมาทำาความเขาใจรวมกนถงสงทนองๆตองทำานนคอ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาทหารบก (จปร.) ปพ.ศ. 2547-2552

ปพ.ศ.

2 5 4 7

22

7. จากรป xCABBCACDAACBCBADE ==== ˆ,30ˆ,15ˆ,,// และ yEDA =ˆ แลว คาของ x และ y เทากบกองศา

1) 130,55 == yx 2) 120,60 == yx 3) 110,65 == yx 4) 100,70 == yx 5) 90,75 == yx วธทา โจทยกาหนดให ACBC = ดงนน Δ ABC เปนสามเหลยมหนาจว

ทม BCA ˆ เปนมมยอดซงมขนาด 30 และทาให CAB ˆ และ CBA ˆ ซงเปนมมทฐาน ของรปสามเหลยมหนาจวน มขนาดเทากน หรอกลาวไดวา CAB ˆ = CBA ˆ

พจารณา Δ ABC ; CAB ˆ + BCA ˆ + 180ˆ =CBA เมอ CBACAB ˆˆ = CAB ˆ∴ + BCA ˆ + =CBA ˆ CBA ˆ + CBABCA ˆˆ + 30ˆ2180 += CBA 15030180ˆ2 =−=CBA

CBA ˆ∴ ซงเทากบ CAB ˆ มขนาด 752

150=

เมอ xCAB =ˆ เพราะฉะนน 75=x พจารณา Δ ACD จะไดวา 15ˆ,150ˆ == CDADCA ซงเทากบ 15ˆ =DAC เชนกน

เพราะฉะนน ดวยคณสมบตเรองมมแยง ทาให yx =+15 แทนคา 75=x เพอหาคา y ; จะได y=+1575 เพราะฉะนน 90=y ตอบ

จะเหนวา รปทโจทยกาหนดใหและขนาดของ x และ y ทไดจากการคานวณนน แตกตางกน โดยสนเชง หมายความวา เราไมสามารถเชอถอรปทโจทยใหไดเสมอไป ตวอยางเชน

1. จากการคานวณ Δ ABC เปนสามเหลยมหนาจว แตจากรปโจทยนน ไมใช!!! 2. เราคานวณไดวา 90=y แตจากรปแสดงใหเหนวา 90>y ( y เปนมมปาน) ดงนน นองตองใชขนาดของมมและเงอนไขตามตวเลขทโจทยกาหนดใหเทานน อยาอางองกบขนาด

และรปรางของรปนะครบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

ปพ.ศ.เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาทหารบก (จปร.) ปพ.ศ. 2547-2552 2 5 4 8

71

5. ถา )1(334

11 2

2

−−+

=−

++

+xx

xxxC

xB

xA แลว CBA +− มคาเทาใด

1) –3 2) –1 3) 4 4) 6 5) 10 วธทา พจารณาจากโจทยแลว หากนาชดตวแปร 1,1, −+ xxx มาคณกนทงหมด จะได )1( 2 −xx

เพราะ )1)(1()1( 2 −+=− xxxxx ดงนน หากพจารณา

)1)(1()1)(()1)(()1)(1(

11 −+++−+−+

=−

++

+xxx

xxCxxBxxAxC

xB

xA

)1)(1(

)()()1( 2222

−+++−+−

=xxx

xxCxxBxA

และทาให )1(334

)1)(1()()()1(

2

22222

−−+

=−+

++−+−xxxx

xxxxxCxxBxA

จะได 334)()()1( 22222 −+=++−+− xxxxCxxBxA 334 2222 −+=++−+− xxCxCxBxBxAAx แลวจดกลมตวแปรใหม เพอใหงายตอการพจารณา ; จะได 334 2222 −+=−+−++ xxACxBxCxBxAx

3)3(4)()( 22 −−−=−−−++ xxAxCBxCBA เปรยบเทยบกนแบบคตอคแลว จะไดวา 4=++ CBA (1)

3−=−CB (2) และ 3=A (3)

แทนคา 3=A ใน (1) จะได ; 43 =++ CB

134 =−=+CB (4) นา (2) – (4) เพอกาจด B ;

13)( −−=+−− CBCB 4−=−−− CBCB

42 −=− C ดงนน 224

=−−

=C

แทนคา 2=C ใน (4) ; จะได 12 =+B ดงนน 121 −=−=B

สดทายแลว เราจะไดคาตวแปรทงหมด คอ 1,3 −== BA และ 2=C ดงนน 2)1(3 +−−=+− CBA 6213 =++= ตอบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

ปพ.ศ.เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาทหารบก (จปร.) ปพ.ศ. 2547-2552 2 5 4 9

151

19. กาหนดให ก และ ข วงดวยความเรว 5 และ 4 เมตรตอวนาท ตามลาดบ ถา ก และ ข วงแขงกนรอบสนามความยาวรอบละ 400 เมตร เปนระยะทาง 3 กโลเมตร จงหาวา ก จะแซง ข กครง 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0

วธทา โจทยกาหนดให ก วงเรวกวา ข

โดยท Vก = 5 sm / Vข = 4 sm /

Note: 1) การวง Knock รอบ หมายความวา ถาคนวงชากวา วงไปเปนระยะทางเทาไร คนทวงเรวกวา จะวงดวยระยะทางนน + ระยะทางรอบสนามอกอยางนอย 1 รอบ

เชน ถาสนามยาว 400 เมตร และคนวงชา วงไป 300 เมตร การ Knock 1 รอบ แสดงวาคนวงเรวกวา วงไปไดระยะทาง 300 + 400 = 700 m

การ Knock 2 รอบ แสดงวาคนวงเรวกวา วงไปไดระยะทาง 300 + 2(400) = 300 + 800 = 1,100 m เปนตน

2) ถาวงไปเรอย ๆ ไมจากดระยะทาง ก จะเรม knock รอบ ข ทเวลาเทาใด? มาดการเปรยบเทยบระยะทางและความเรว ดงนครบ Vก = 5 sm / Vข = 4 sm /

หมายความวา 1 sec ก วงได 5 m หมายความวา 1 sec ข วงได 4 m ∴ x sec ก วงได x5 m ∴ x sec ข วงได x4 m

∗ก วง Knock รอบ ข ครงแรก แสดงวา ระยะทาง ก = ระยะทาง ข + 400 m 40045 += xx

40045 =− xx จะได 400=x sec

และท x = 400 sec น ; ก วงไดระยะทาง 2,000(400)5 =× m ข วงไดระยะทาง 1,600(400)4 =× m

∗∗ ถาวง Knock 2 รอบ แสดงวา 80045 += xx 80045 =− xx จะได 800=x sec

และท x = 800 sec น ; ก วงไดระยะทาง 4,000(800)5 =× m ข วงไดระยะทาง 3,200(800)4 =× m

∗∗∗ แตการวงแขงในสนามแหงน กาหนดระยะทางวงไว 3,000 m ดงนน จงวง Knock รอบกบแคเพยง 1 รอบ ทเวลาผานไป 400 วนาท ตอบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาทหารบก (จปร.) ปพ.ศ. 2547-2552

ปพ.ศ.

2 5 5 0

194

5. ABC เปนสามเหลยม ทม C เปนมมฉาก ถาดาน AB ยาว 18.5 หนวย และเสนรอบรปสามเหลยม ABC ยาว 42 หนวย ดงนน พนทรปสามเหลยมนเปนกตารางหนวย 1) 36 2) 42 3) 48 4) 52.5 5) 60

วธทา จากเงอนไขทโจทยกาหนดให วาดรปประกอบการพจารณาได ดงน โจทยกาหนดให AB ยาว 18.5 หนวย และเสนรอบรป Δ น ยาว 42 หนวย

นนคอ 42=++ ACBCAB หนวย คาถามคอ? แลวเราจะหาขนาดของ AC และ BC เพอหาพนทของ Δ รปนไดอยางไร ? เราตองหาความสมพนธ โดยสรางสมการขนมา 2 สมการ เพอแกสมการและหาคา AC และ BC สมการแรก มาจากทฤษฎของพทาโกรส ; 222

BCACAB += 222)5.18( BCAC += (1) ซงแคสมการ (1) น เรากยงไมสามารถหาคาของ AC และ BC ได เราจงตองการอก 1 สมการ

สมการทสอง มาจากความสมพนธของเสนรอบรป: จาก 42=++ ACBCAB (2) เมอ AB ยาว 18.5 หนวย ทาให 425.18 =++ ACBC 5.235.1842 =−=+ ACBC และทาให ACBC −= 5.23 (3) นา (3) ไปแทนคาใน (1) เพอหาคา AC ; จาก (1) ; 222)5.18( BCAC += ( )222 5.23)5.18( ACAC −+= ( )2222 )5.23(2)5.23()5.18( ACACAC +−+= 222

)5.18()5.23()5.23(220 −+−= ACAC หรอ 0)5.18()5.23()5.23(22 222

=−+− ACAC (สมบตการสมมาตร) 0])5.18()5.23[()5.23(22 222

=−+− ACAC 0)]5.185.23)(5.185.23[()5.23(22

2=−++− ACAC

( ) 0)]5)(42[()5.23(22

=+− ACAC 0)]5)(21()5.23([2

2=+− ACAC

0105)5.23(2

=+− ACAC

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

ปพ.ศ.เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาทหารบก (จปร.) ปพ.ศ. 2547-2552 2 5 5 0

203

12. กาหนดให 111 2123 +

++

+=

+++ xCBx

xA

xxxx ดงนน คาของ CBA ++ เทากบเทาใด

1) 0 2) 1 3) –1 4) 21 5)

21

−

วธทา โจทยกาหนดให

111 2123 ++

++

=+++ x

CBxxA

xxxx

พจารณาเทอมทางดานขวาของเครองหมาย = แลว ;

)1)(1(

))(1()1(11 2

2

2 ++++++

=++

++ xx

cBxxxAx

CBxxA

ทาให 1

)(11 23

22

2 ++++++++

=++

++ xxx

CCxBxBxAAxx

CBxxA

123

22

++++++++

=xxx

CACxBxBxAx

1

)()()(23

2

++++++++

=xxx

CAxCBxBA

ดงนน 1

)()()(1 23

2

123 ++++++++

=+++ xxx

CAxCBxBAxxx

x

หรออาจกลาวไดวา 1

)()()(1010

23

2

123

12

++++++++

=+++

++xxx

CAxCBxBAxxxxx

เมอเปรยบเทยบสมประสทธแลว จะพบวา ; 0=+ BA (1) 1=+CB (2) และ 0=+ CA (3)

ซง )1(1)1()1)(1( 222 +++=++ xxxxx 123 +++= xxx 123 +++= xxx

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

นอกจากเรองทพกลาวมาน กตองอานเรองอนควบคไปดวยนะครบ ไมใชแกสมการหาพนทๆ ถกแรเงาจากสตรพนทวงกลมไดแตตอบคำาถามเรองจำานวนเฉพาะหรอทำาโจทยสถตงายๆไมไดอยางนนาเสยดายครบ

ตวอยาง การตความโจทยยากๆ ดวยรปแบบงายๆ

พเขยนรปแบบวธคดนไว เพอเปนแนวทางการคดใหกบนองๆทงนนองๆตองหดทำาโจทยปญหาใหมากๆเมอทกคนสามารถจบธรรมชาตของปญหาในเรองนนๆไดเรากจะสามารถแกปญหาขอนนๆไดโดยงายครบลองมาดตวอยางดงตอไปน

ตวอยาง การตความโจทยยาก ๆ ดวยรปแบบงาย ๆ พเขยนรปแบบวธคดนไว เพอเปนแนวทางการคดใหกบนอง ๆ ทงน นอง ๆ ตองหดทาโจทยปญหา

ใหมาก ๆ เมอทกคนสามารถจบธรรมชาตของปญหาในเรองนน ๆ ได เรากจะสามารถแกปญหาขอนน ๆ ไดโดยงายครบ ☺ ลองมาดตวอยางดงตอไปน

Ex 1: จงหาผลบวกของ 23 + 24 + 25 + … + 78

วธทา เราเคยทาแตการหาคาของ 1 + 2 + 3 + … + 78 นนา แลวถาโจทยออกมาแบบนจะทายงไง? หลายคนใช “ความถก” นงบวกมนตงแตเลข 23 ถงเลข 78 ยงทายงเครยด พอทาไปได ถงเลข 54 ปรากฏวาหมดเวลา ขออนไมตองไดทากนพอด ดงนน เพอความรวดเรว เราตองตความใหไดวา 23 + 24 + 25 + … + 78 = (1 + 2 + 3 + … + 78) – (1 + 2 + 3 + … + 22) ซง (1 + 2 + 3 + … + 78) เปนคาทมาก และ (1 + 2 + 3 + … + 22) เปนคาทนอย

โดยท 1 + 2 + 3 + … + 76 + 77 + 78 และ 1 + 2 + 3 + … + 20 + 21 + 22 เพราะฉะนน 23 + 24 + 25 + … + 78 = (1 + 2 + 3+ … + 78) – (1 + 2 + 3 + … + 22) = 3,081 – 253 = 2,828 จะเหนวา วธการขางตนน “เทพมาก”ใชเวลาคดจรง ๆ ประมาณ 2 นาท เทานน ☺ งายกวาการนงบวกเลขแบบ “เกรยน” จาก 23 ถง 78 ประมาณ 100,000 เทาครบ ☺

1+ 78 = 79

2+77 = 79

3+76 = 79

1+ 22 = 23

2+21 = 23

3+20 = 23

มเลข 79 อย 392

78= ค

= )140()180(3979 −×−=× = 18040200,3 +−− = 3,081

มเลข 23 อย 112

22= ค

= 2531123 =×

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

Master Plan Master Plan คอ แผนการหลกในการเตรยมตวสอบ วาเราจะจดตารางเวลาเพอเตรยมอานหนงสอสอบ

ในแตละวน แตละเดอนอยางไร พลองราง Master Plan มาใหนอง ๆ ไดดนะครบ เผอจะเปนแนวทางใหกบนอง ๆ หลาย ๆ คนทเตรยมตวสอบเตรยมทหารไดครบ ☺

ตวอยางแผนการอานหนงสอ เพอเตรยมตวสอบเขาเปนนกเรยนเตรยมทหาร 1. รกาหนดทแนนอนของระยะเวลา

ใน 1 ปม 12 เดอน แตเดอนทเราตองใชในการเตรยมตวจรงๆ มเพยง 10 เดอน คอ พ.ค. ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.// (ขนปใหม) ม.ค. ก.พ. ม.ค.

2. รวา เราตองเตรยมความรอะไรบาง การสอบรอบแรก คอรอบวชาการ ม 5 วชาทสอบ คอ คณตศาสตร วทยาศาสตร ภาษาองกฤษ ภาษาไทย และ

สงคม โดยเนอหาความรครอบคลมระดบมธยมศกษาตอนตน (ม.1 – ม.3 รวม 3 ป หรอ 6 เทอม)

นนคอ ม.1 เทอม 1 เทอม 2 ม.2 เทอม 1 เทอม 2 ม.3 เทอม 1 เทอม 2

นแคเนอหาทตองเตรยมตวนะ ยงเยอะขนาดน ...ใครยงไมไดเรม นองตองเรมไดแลวครบ !!! Note: การเตรยมตวลกษณะน เราสามารถนาไป

ประยกตใชกบการเตรยมความพรอม ในดานอน ๆ ไดอกดวย เชน การฝกความพรอมทางดานรางกาย เพอเตรยมสอบพละศกษาในรอบ 2 เปนตน

เดอนตลาคม และมนาคม ของทกป เปนชวงปดเทอม ทเราตองใชเวลาวางในการอานหนงสอทบทวนความร หรอ (บางคน) จะเรยนพเศษ เพอเตรยมตวสอบ

รวมเนอหา 6 เทอม แตละเทอม กจะมความ “ยาก” และความ “มาก” ของเนอหา ทเพมขนเรอย ๆ เนอหา ม.1 (เราเรยนมาแลว) อาจงายหนอย ใชเวลาอานนอย

* แตตองทาแบบฝกหดใหหมด * และทาซา หลายๆ รอบ อานหลายๆ เทยว

เนอหา ม.2 (เรากเรยนมาแลว) คลาย ๆ ม.1 แตเนอหายากกวา * แตตองทาแบบฝกหดใหหมด ทาหลาย ๆ เทยว * และทาซา หลาย ๆ รอบ อานหลาย ๆ เทยว เชนกน

เนอหา ม.3 (บางคนอาจเรยนมาเกอบ 1 เทอม บางคนเรยนมาหมดแลว) เปนเนอหาทยากทสด และเยอะดวย โดยทเนอหา ม.1 และ ม.2 เปนพนฐานสาคญในการอานเนอหา ม.3

* เนอหาเยอะสด ยากสด * ความรพนฐานตองดมากๆ * จะมาคดวา ใชชวต Chill Chill แลวมารอเรยนพเศษ เอาตอนปดเทอมตลาคม และมนาคม ไมไดเดดขาด

* ยงตองทาแบบฝกหดใหหมด และทาหลาย ๆ เทยว * และทาซา หลาย ๆ รอบ อานหลาย ๆ เทยว เชนกน

Master Plan

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ ·ËÒú¡)

www.thaicadet.org

เรออากาศเอกอศระ เชดช (พแฮท)

การศกษา :มธยมศกษาตอนปลาย • โรงเรยนมธยมฐานบนกำาแพงแสน • โรงเรยนเตรยมทหาร(นกเรยนเตรยมทหาร รนท37)

อดมศกษา • วศวกรรมศาสตรบณฑต สาขาวศวกรรมอากาศยานและการบน โรงเรยนนายเรออากาศ (นกเรยนนายเรออากาศรนท44) • บณฑตศกษา วศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวศวกรรมการบนและอวกาศ มหาวทยาลยเกษตรศาสตร (อยระหวางการทำาวทยานพนธ)

การทำางาน : • วศวกรฝายมาตรฐานเทคนคแผนกวศวการกองวทยาการกรมชางอากาศ • นายทหารโครงการปรบปรงเครองบนขบไลแบบท18ข/ค(F-5S/T) ฝงบนขบไลทางยทธวธ211กองบน21กองพลบนท2กองบญชาการยทธทางอากาศ • หวหนาหมวดชางประจำาอากาศยานฝายการชางฝงบน602รกษาพระองคกองบน6ฯ (FlightEngineer:Boeing737-200/400,AirbusA310/A319CJ“ไทยคฟา”) • TechnicalServicesEngineer-ThaiAirAsia(SystemEngineer):Boeing737-300, AirbusA320,andCFM56-3BSeriesTurboFanEngine

ร จ ก ผ เ ข ย น

หลกสตรเพมเตม : • สงทางอากาศรนท33ศนยการทหารอากาศโยธนหนวยบญชาการอากาศโยธนกองบญชาการยทธทาง อากาศ • นายทหารภาษารนท13กรมยทธศกษาทหารอากาศ • นายทหารชางอากาศชนเรออากาศรนท6โรงเรยนรวมสายวทยาการกรมยทธศกษาทหารอากาศ • นายทหารนรภยการบนรนท49โรงเรยนรวมสายวทยาการกรมยทธศกษาทหารอากาศ • BOEINGRepairAssessmentProgram(RAP)Workshop • HumanFactorandRiskAssestmentProgram,ThaiAirAsia • AirBusA320Family:GroundHandling,AirAsia

งานเขยน : • อากาศพลศาสตร(AERODYNAMICS) • สรปหลกคณตศาสตร • เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหารวชาคณตศาสตรแบบละเอยดสดๆยอนหลง6ป(ปพ.ศ.2547-2552) • เฉลยแบบฝกหดเลขม.3(เลขหลกและเลขเสรม) • บทความวชาการอนๆเชนวศวกรรมการบนคณตศาสตรวทยาศาสตรและภาษาองกฤษฯลฯ

เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร

แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.)

ปพ.ศ. 2547-2552

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

สำ�หรบทกคนทใฝฝนจะเปนวรบรษจ�กรวส�มพร�น

ภ�พของผกองแคนหมวดต หมวดเอก และพๆ นองๆ วรบรษจ�กรวส�มพร�นยงคงฝงแนนอยใน

คว�มคดของคนไทยทกคนและเปนแรงบนด�ลใจใหคนรนใหมเดนต�มเพอส�นฝนและอดมก�รณของพวกเข�

เหล�นน ใครๆ กอย�กสอบตดเตรยมทห�ร แตในคว�มเปนจรง ก�รสอบเตรยมทห�รใหตดนนช�งเปนเรองท

ย�กม�กๆ

ตลอด50กวาปทผานมาแมบางคนจะใชโอกาสและความพยายามทมอยทงชวตกยงไมสามารถทำาไดในขณะทบางคนอาจทำาไดแมเปนการสอบเพยงครงเดยวของชวตเทานน การสอบเตรยมทหารในรอบแรกของทกเหลาซงเปนรอบวชาการจะประกอบดวย5วชาหลกคอคณตศาสตรวทยาศาสตรภาษาองกฤษภาษาไทยและสงคม ซงทกวชาลวนมความสำาคญเทากน แตอาจมความยาก งายแตกตางกนไปตามธรรมชาตของแตละองคความรของวชานนๆ การสอบรอบแรกของแตละเหลาใชเวลาเพยงวนเดยว ประมาณ 4-5 ชวโมง เทานนแตผเขาสอบตองเตรยมตวมาตลอดทงป(บางคนอาจมากกวา1ปเสยดวยซำา)จากจำานวนผสมครสอบเฉลยเหลาละประมาณ22,000-25,000คนจะมผผานการสอบรอบแรกประมาณ500กวาคนและสอบตดไดเปนนกเรยนเตรยมทหารจรงๆเหลาละประมาณ100กวาคนเทานนดงนนการจะสอบผานรอบแรกใหไดตองทมเทสดๆตองฝกทำาแบบฝกหดและขอสอบเกากนเปนหมนๆแสนๆขอเปนเวลานานนบปเลยทเดยว

ในสวนขอสอบวชาคณตศาสตรเหลาตำารวจนน แมเนอหาของขอสอบจะไมยากเทากบของเหลาทหารเนองจากนกเรยนนายรอยตำารวจจะเขารบการศกษาหลกสตรรฐประศาสนศาสตรบณฑตซงเปนวชาทเกยวของกบกฎหมาย การเมองและการปกครองเปนหลก แตตองไมลมวาหลกสตรการศกษาของนกเรยนเตรยมทหารนนเปนหลกสตรมธยมศกษาตอนปลายสายวทยาศาสตร ซงนกเรยนเตรยมทหารทกคนตองผานมนไปใหได หากจะมองในอกแงมมหนงแลววชาคณตศาสตรเปนวชาทสอนใหเรามเหตผลในการคดการวเคราะหปญหาและการแกปญหาในเวลาจำากดไดเปนอยางดหากเราคดวาขอสอบเหลาตำารวจนนงาย(กวาของเหลาทหาร)แลวอยาลมวาถาเราทำาไดคนอนกทำาไดเชนเดยวกนจงถามตวเองเสมอวา“ทำาอยางไรเราจะทำาใหไดมากกวาสงทคนอนทำา”

หนงสอ“เฉลยขอสอบเก�เตรยมทห�รวช�คณตศ�สตรแบบละเอยดสดๆเหล�ตำ�รวจ(นรต.)ปพ.ศ.2547-2552”นจงไดรวบรวมวธการตะลยโจทยขอสอบเกาวชาคณตศาสตรของการสอบเขาเปนนกเรยนเตรยมทหารเหลาตำารวจตงแตปพ.ศ. 2547 จนถงปปจจบน ดวยการนำาเสนอแนวคด และวธการแกโจทยปญหาแบบละเอยดสดๆ โดยในบางขอไดแทรกความรพนฐานทจำาเปนสำาหรบการทำาโจทยขอนนๆเอาไวดวย

คำ�นำ�นกเขยน

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

คนทอไมเคยชนะ คนชนะไมเคยทอ

ดวยความตงใจของผมในการเขยนเฉลยขอสอบเกาเตรยมทหารในสวนของวชาเลขมาตงแตปพ.ศ.2547เรอยมาจนถงปปจจบน สำาหรบนองๆทกคนทมความตงใจในการอานหนงสอ และฝกฝนตนเองเพอเตรยมสอบเขาเปนนกเรยนเตรยมทหารไมวาจะเปนเหลาใดกตามผมจงใชคำาแทนตวเองวา“พ”และเรยกเดกนกเรยนทเตรยมสอบทกคนวา“นอง”หรอ“นองๆ”(ดงจะเหนคำาพดเหลานไดบอยในเอกสารฉบบน)เพอใหนองๆทกคนทไดอานเฉลยขอสอบเกาฯของผมมความรสกวาตวหนงสอของผมคอการถายทอดความคดจาก“พคนหนง”ไปส“นองๆทกคน”ไมใชรปแบบจาก“อาจารย”ไปส“นกเรยน”อยางนอยนองๆผอานทกคนจะไดรสกChillChillมากขนและยงมผลพลอยไดคอเปนการลดวยของผมเองดวย

พไดยนม�ตงแตเดกๆทเข�บอกกนว�“วช�เลขเปรยบเสมอนย�ขม”

แตพขอยนยนว�ไมจรงหรอกครบทถกตองคอ“วช�เลขเปรยบเสมอนย�ขมหมอยกษ”ต�งห�ก

(แยกว�เดมอก)

นองๆเคยถามตวเองไหมวาเรากเรยนเลขมาตงแตเดกๆวากนจรงๆกตงแตระดบชนอนบาลดวยซำาไปทำาไมเราไมสามารถเขาใจและเขาถง“ยาขมหมอยกษ”นไดสกทในขณะทเพอนทเกงๆบางคนเชนหวหนาหองของเรากลบเรยนไดเกงเอาๆสอบกทกTOPตลอดเมอมาถงจดนนองๆตองเรมถามตวเองแลวครบวา“เรากบเขานนตางกนตรงไหน?”ยงตอนสอบMidtermสอบFinal,หรอสอบแขงขนเขาเรยนตอระดบชนม.ปลายเชนสอบเขารร.มหดลวทยานสรณ,รร.เตรยมอดมศกษาหรอรร.เตรยมทหารเปนตนทำาไมคนอนเขาสอบไดแตเราสอบไมไดเมอคดไปคดมาหลายคนกไดคำาตอบวา“เพราะเราขยนไมเทาเขา”นนเอง

การอานหนงสอ คอ การอานความคดของผเขยนทตองการถายทอดออกมา ผานตวหนงสอจากปลายปากกา(เดยวนกลายเปนแปนKeyboardแลว)ดงนนทกครงทนองๆไดอานหนงสอเลมใดเทากบนองๆไดอานความคดของคนๆ นน สำาหรบผเขยนแลว ความสำาเรจของการเขยนคอการไดรบผลตอบรบทดจากผอาน แตในทางกลบกน สำาหรบผอาน หรอตวเราเอง สงสำาคญทสดคอ “เราจะสามารถจบประเดนความคดของผเขยนแลวนำาความคดนนไปประยกตใชใหเกดประโยชนกบตวเราเองใหมากทสดไดอยางไร”

การอานหนงสอจงเปรยบเสมอนการเปดโลกทางความคดเปนการใหโอกาสกบตนเองยงคนไหนขยนมากกเทากบใหโอกาสกบตนเองมากขนตรงกนขามกบคนขเกยจทไมเคยใหโอกาสดๆกบตวเองเลย

เรมอย�กอ�นหนงสอเตรยมสอบเตรยมทห�รดวยกนแลวใชไหมครบ

นงสบ�ยๆห�ยใจเข�ปอดลกๆซก3ทแลวม�ทำ�คว�มเข�ใจรวมกนถงสงทนองๆตองทำ�นนคอ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.) ปพ.ศ. 2547-2552

ปพ.ศ.

2 5 4 7

24

55. ถงนาคอนกรตทรงสเหลยมมมฉากไมมฝาใบหนง หนา 2.5 เซนตเมตร วดขนาดภายนอกของถงได ดงน ยาว 1.25 เมตร กวาง 80 เซนตเมตร และสง 1 เมตร นาหนกของนา 1,000 ลกบาศกเซนตเมตรเทากบ 1 กโลกรม ถานาหนกคอนกรตเปน

211 เทาของนาหนกนาทปรมาตรเทากน และถงใบนมนาบรรจอยเตมถง

จงหาวา นาหนกรวมของถงและนามคาตรงกบขอใด 1. 971.25 กโลกรม 2. 1,011.25 กโลกรม 3. 1,061.25 กโลกรม 4. 1,121.25 กโลกรม

วธทา จากเงอนไขทโจทยกาหนดให วาดรปประกอบการพจารณาได ดงน พจารณาปรมาตรของนา จะพบวา ดานกวางหายไป 2.5 + 2.5 = 5 cm ทาใหเหลอความกวาง 80 – 2.5 – 2.5 = 75 cm ดานยาวหายไป 2.5 + 2.5 = 5 cm ทาใหเหลอความยาว 125 – 2.5 – 2.5 = 120 cm และความสงหายไป 2.5 cm (หายไปเฉพาะสวนกนบอ) ทาใหเหลอความสง 100 – 2.5 = 97.5 cm ดงนน ทาใหเหลอปรมาตรของถงนาเตมถง = ความกวาง×ความยาว×ความสง = 75×120×97.5 = 877,500 3cm พจารณาปรมาตรของถงนา = ปรมาตรภายนอกของถงคอนกรต – ปรมาตรของนาเตมบอ = (กวาง×ยาว×สง) – 877,500 = (80×125×100) – 877,500 = 1,000,000 – 877,500 = 122,500 3cm แลวมาพจารณานาหนกของนา ; นาปรมาตร 1,000 3cm หนก 1 กโลกรม ∴ นาปรมาตร 877,500 3cm หนก

000,11500,887 × = 877.5 กโลกรม

พจารณานาหนกของคอนกรต ; คอนกรตปรมาตร 1,000 3cm หนก 1.5 กโลกรม ∴ คอนกรตปรมาตร 122,500 3cm หนก

000,15.1500,122 × = 183.75 กโลกรม

เพราะฉะนน หากถงใบนมนาบรรจอยเตมถงแลว นาหนกรวมของถงและนาจะเทากบ 183.75 + 877.5 = 1,061.25 กโลกรม ตอบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

ปพ.ศ.เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.) ปพ.ศ. 2547-2552 2 5 4 8

79

พจารณา 3) 27 พจารณา 2) 29

m n n−147 m n n−147

หารลงตว 3 ชด

∴ ตวเลอกท 3. เปนคาตอบ หารไมลงตวสกชด ∴ ตวเลอกท 4. กไมใชคาตอบ

Note: เมอ 27=+ nm เปนเงอนไขเดยวททาให

mn−147 ลงตว เรากสามารถตอบไดแลวครบ

วา 27=+ nm , สงเกตวา ถา 27=+ nm แลว ความเปนไปไดท mn−147 แลวลงตว

คอตองให ),( nm = (24, 3), (20, 7) และ (15, 12) [โดยท อยาลมวา m ตองมคามากกวา n ] เราจงจะมาพจารณาการหารลงตว อก 2 เงอนไขทเหลอ นนคอ

mn−177 และ

mn−282

เมอ mn−177

mn−282

3,24 == nm 324177 − ไมลงตว

324282 − ไมลงตว

7,20 == nm 720177 − ไมลงตว

720282 − ไมลงตว

12,15 == nm 12

15177 − ลงตว ☺ 12

15282 − ลงตว ☺

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133

mn−147

ไดลงตว หรอไม ?

x x x x x x x x x x x x x x

mn−147

ไดลงตว หรอไม ?

26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14

146 145 144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134

x x � x x x

� x x x x � x

ดงนน เราตองตอบวา m = 15 และ n = 12 เปนเงอนไขททาให m หารจานวน 3 จานวน คอ 147, 177 และ 282 แลว เหลอเศษเทากน คอ n และทาให m + n = 15 + 12 = 27

ตอบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.) ปพ.ศ. 2547-2552

ปพ.ศ.

2 5 4 8

108

80. ตวประกอบของ 4224 16259 yyxx +− คอขอใด 1. )43)(43( 2222 yxyx +− 2. )453)(453( 2222 yxyxyxyx +++− 3. )43)(43( 2222 yxyxyxyx ++−+ 4. )43)(43( 2222 yxyxyxyx −+−−

วธทา ถาผทาขอสอบแกสมการไมเกง จะหาทางออกโดยพจารณาจากตวเลอกไดงายๆ ดงน 1. )43)(43( 2222 yxyx +− ไมใชคาตอบแนนอน เพราะมนอยในรป (หนา – หลง)(หนา + หลง) เมอ หนา 23x= และ หลง 24y=

)43)(43( 2222 yxyx +− 2222 )4()3( yx −= 44 169 yx −= ซงไมใชคาตอบ 3.เทอมสดทายของวงเลบแรก คอ 24y− และเทอมสดทายของวงเลบทสอง คอ 24y+ เนองจาก 24y− กบ 24y+ มเครองหมายทตางกน [(–) และ (+)] ∴ถาทงสองตวนคณกน ผลคณคอ y16−

ซงไมตรงกบทโจทยกาหนดให ตวเลอกนกไมใชคาตอบ ทน ถาลองคดตวเลอกท 2. แลวตวเลอกท 2. ถกตอง กตอบตวเลอกนไปเลยครบ เพราะถาไมถก กตองตอบตวเลอกท 4.แนนอน พจารณา 2. )453)(453( 2222 yxyxyxyx +++− )543)(543( 2222 xyyxxyyx ++−+= (สมบตการสลบทการบวก)

= (หนา – หลง) (หนา + หลง) เมอ หนา 22 43 yx += และ หลง xy5=

= (หนา)2– (หลง) 2 2222 )5()43( xyyx −+=

222224

2222222

2516249)5()4()4)(3(2)3(

yxyyxxxyyyxx

−++=

−++=

4224 169 yyxx +−= ซงตวเลอกนกไมใชคาตอบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

ปพ.ศ.เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.) ปพ.ศ. 2547-2552 2 5 4 9

143

9. รถไฟขบวนหนงยาว 150 เมตร แลนดวยความเรว 60 กโลเมตรตอชวโมง สวนกบขบวนรถไฟสนคายาว 200 เมตร ทแลนดวยความเรว 40 กโลเมตรตอชวโมง รถไฟทงสองขบวนจะผานพนไปภายกนในกวนาท 1. 12.6 2. 13.2 3. 14.5 4. 15.2

วธทา กาหนดใหจดM เปนจดอางองทรถไฟทงสองขบวน เรมเลนสวนกน

ให L = Length = ความยาว ; V = Velocity = ความเรว AL = ความยาวของรถไฟ A และ BL = ความยาวของรถไฟ B AV = ความเรวของรถไฟ A และ BV = ความเรวของรถไฟB 150=AL m smhrkmVA /

6100/60 ==

mLB 200=

hrkmVB /40=

sm /

9100

=

สงเกตวา ไมวารถไฟทงสองขบวนจะแลนเรวขนาดไหน เพอทาใหรถไฟทงสองตางกแลนพนไปจากกน รถไฟ A กตองแลนดวยระยะทาง 150 m และรถไฟ B กตองแลนดวยระยะทาง 200 m รวมแลว รถไฟทงสองคนตองแลนดวยระยะทาง m350200150 =+=

และดวยความทรถไฟทงสองขบวนแลนสวนกน ดงนนความเรวสมพทธ ( )VelocitylativeRe

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

91

61100

9100

6100

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=185100

1823100

sm /9

250=

จากความสมพนธทางทางวทยาศาสตรนน ;

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

ปพ.ศ.เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.) ปพ.ศ. 2547-2552 2 5 5 0

209

70. ผกอความไมสงบ ตองการวางระเบดในพนทหองประชมรปสเหลยมผนผา ทมความกวาง 18 เมตร ยาว 24 เมตร ดงรป ผกอการตองใชระเบดอยางนอยกลก ( คอจดวางระเบด)

1. 6 ลก 2. 5 ลก 3. 4 ลก 4. 3 ลก

วธทา � สงเกตวา โจทยไมมความสมบรณในตวเอง ดรปจากขอสอบเอาละกนครบ � เพราะโจทยไมไดใหขอมลวา ระเบด 1 ลก มอานาจการทาลายขนาดไหน (คอระเบดลกเดยว อาจใชระเบดไดทงหองกอาจเปนได จรงไหมครบ? ) ดงนน จงไมมความชดเจนวาเราตองวางระเบดกลก โดยเฉพาะอยางยงทจดวาง ระเบดอยแคมมบนซายของหองเทานน โจทยขอน จงไมมแนวทางทชดเจนในการแกปญหาครบ ตอบ

Note: แต !!! หากจะถามใหมวา ถาหองมขนาดกวาง 18 เมตร ยาว 24 เมตร แลวตองการวางระเบดหอง โดยใหระเบดแตละลกมระยะหางทเทากน และหางกนมากทสด (อนเปนผลใหใชจานวนระเบดนอยทสด) แลว จะวางระเบดไดกลก ? เออ ! ถามอยางนส ถงพอจะมทไป ☺

นนคอ เราตองหา ห.ร.ม.ของเลข 18 และ 24 ครบ โดยท 33218 ××= และ 232224 ×××= เมอได ห.ร.ม.ของ 18 และ 24 เทากบ 6 แลว เราจะพบวา ดานกวางจะถกแบงไดออกเปน 3

618

= สวนเทา ๆ กน

และ ดานยาวจะถกแบงไดออกเปน 4624

= สวนเทา ๆ กน

ถา คอจดทตองวางระเบด (สงเกตวาระเบดทกลก มระยะหางทเทากนทงหมด) แลว ดงนน จะตองใชระเบดอยางนอยทสด = 6 ลก ครบ ☺

ดงนน ห.ร.ม.ของ 18 และ 24 คอ 2×3 = 6 ครบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.) ปพ.ศ. 2547-2552

ปพ.ศ.

2 5 5 1

250

Question? เราจะหาคาของ 15tan ไดอยางไร ???

มม 15 ไมใชมมปกตสาหรบการหาคาตรโกณมต เฉกเชนเดยวกบมม 60,45,30,0 และ 90 โดยท

)3045cos()3045sin(

15cos15sin15tan

−−

==

เมอ 30sin45cos30cos45sin)3045sin( −=−

2213

21

21

23

21

..−

=−=

30sin45sin30cos45cos)3045cos( +=−

2213

21.

21

23

21.

+=+=

1322

2213

2213

2213

15cos15sin15tan

+×

−=

+÷

−==∴

1313

1313

1313

−−

×+−

=+−

=

( ) ( )213

13

132

22

2−

=−

−= นนเอง

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

ปพ.ศ.เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหาร วชาคณตศาสตร แบบละเอยดสดๆ เหลาตำารวจ (นรต.) ปพ.ศ. 2547-2552 2 5 5 2

343

Note: สงเกตวา เพราะเราสรางความสมพนธ 22 1 −+n ขนมาได เรายงสามารถหาไดเลยวา ถานบถอยหลงสก 100 ชวอายคน แลว พวกเราแตละคนจะมบรรพบรษ 22 1100 −= + = 22101 −

= ( )122 1001 − 30105353012.2 ×= คน

หรอเทากบ 2,535,301,200,000,000,000,000,000,000,000 คน … WoW !!! จงมคนเคยบอกไว วาเราทกคนบนโลกนเปนญาตกน เพราะเรามอากง - อามาคนเดยวกน อะ อยางน พกเปนญาตกบ นอง Egg พธกรรายการ Strawberry CheeseCake สครบ ☺

Photo From : http://webboard.yenta4.com/uploads/2009/07/23/17488–attachment.jpg

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

บ ท ส ง ท า ย

ธรรมชาตของขอสอบเลขในแตละเหลา ขอสอบเหลาทหารทง 3 เหลา โดยเฉพาะวชาคำานวณและภาษาองกฤษ จะยากกวาขอสอบเหลาตำารวจเนองจากนกเรยนเหลาทหารตองเขารบการศกษาในหลกสตรปรญญาตรวศวกรรมศาสตรหรอวทยาศาสตรบณฑตซงยากไมแพการศกษาในมหาวทยาลยของรฐบาลอกทงในปจจบนกองทพใชอาวธทมเทคโนโลยสมยใหมนายทหารใหมจงจำาเปนตองมพนฐานความรทางดานวชาการโดยเฉพาะภาษาองกฤษเปนอยางด

สวนในเหลาตำารวจนนจะมการศกษาในหลกสตรปรญญาตรรฐประศาสนศาสตรบณฑตจากโรงเรยนนายรอยตำารวจดงนนในสวนวชาคำานวณจะงายกวาในเหลาทหาร“แตในความงายของขอสอบเหลาตำารวจมไดหมายความวาจะสอบตดกนงายๆ” นองๆลองคดตามครบวา ถาเราทำาไดคนอนกตองทำาไดเชนกนแนนอน ถาเราอยากสอบรอบแรกตดเรากตองทำาคะแนนใหดกวาคนอนๆ

เนองจากพเคยสอบเตรยมทหารมา2ปปแรกสอบไมตดสกรอบมาสอบตดในปทสองพมาจบประเดนสำาคญไดวาในปทพสอบไดนนพทำาขอสอบทกวชาไดเกน85%นนคอถาวชาหนงๆม50ขอเราตองทำาใหไดอยางนอย42.5ขอหรอ43ขอ(แลวตองถกทกขอดวยนะ)ถานองทำาไดอยางนนองสอบตดรอบแรกแนนอนครบ

บางคนถามวา43ใน50ขอมาตรฐานสงไปหรอเปลายากขนาดนใครจะไปทำาได?

คำาตอบคอถานองทำาไมไดแตคนอนทำาไดนนคอเขาสอบตดแตนองสอบไมตดครบ

เนอหาวชาเลขทออกสอบ มอะไรบาง

ตอบงายๆคอเนอหาทงหมดตงแตม.1เทอม1ถงม.3เทอม2ครบออกตงแตเรองงายๆเชนการหาห.ร.ม.ค.ร.น.(ซงกยงทำากนไมได)ถงเรองยากๆเชนการแกระบบสมการแตเรองทออกบอยๆออกทกปhotมากๆนนคอ:จำานวนและตวเลขระบบจำานวนเตมเศษสวนและทศนยมความยาวพนทและปรมาตรสมการและอสมการ(ทงตวแปรเดยวและสองตวแปร)อตราสวนและรอยละเสนตรงและมมรปทรงเรขาคณตความเทากนทกประการทฤษฎบทของพทาโกรสเสนขนานความคลายเลขยกกำาลงเอกนามและพหนามจำานวนจรงจำานวนตรรกยะและจำานวนอตรรกยะวงกลมอตราสวนตรโกณมตสมการกำาลงสองพาราโบลาความนาจะเปนการแปรผนและสถต (จะเหนวามเนอหาทเราตองเรยนรเยอะมาก ถาไมเรมตงแตตอนน ชวงทายๆ ปทใกลสอบเหนอยแนครบ)สรปวา“ออกทกเรอง”นนเองครบ

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

แลวซดขอสอบกดไปเตมๆเพราะตลอด10เดอนทผานมาเราทมเททงชวตเพอมนไปหมดแลว•เราทำาขอสอบเปนหมนๆแสนๆขอเพอใหไดมาซงวนน•เรานงนอนสปหงกหลบกดฟนอานหนงสอผานรอนหนาวสารพดอดทนมาขนาดน•เราใช“ทกหยดของเวลา”“ทกการกระดกของเขมวนาท”อยางคมคาแลว*วนสอบเหลาทเราอยากไดพขอใหนองใชกระบในจตใจของนอง“กดใหมดดาม”ครบ

“เกดมาชวตหนง จะมโอกาสสกกครง”“ทสดแหงชยชนะ คอชนะใจตนเอง”

µÑÇÍÂèÒ§Ë

¹Ñ§Ê×Í (¢éÍÊͺàÅ¢ µÓÃǨ)

www.thaicadet.org

เรออากาศเอกอศระ เชดช (พแฮท)

การศกษา :มธยมศกษาตอนปลาย • โรงเรยนมธยมฐานบนกำาแพงแสน • โรงเรยนเตรยมทหาร(นกเรยนเตรยมทหาร รนท37)

อดมศกษา • วศวกรรมศาสตรบณฑต สาขาวศวกรรมอากาศยานและการบน โรงเรยนนายเรออากาศ (นกเรยนนายเรออากาศรนท44) • บณฑตศกษา วศวกรรมศาสตรมหาบณฑต สาขาวศวกรรมการบนและอวกาศ มหาวทยาลยเกษตรศาสตร (อยระหวางการทำาวทยานพนธ)

การทำางาน : • วศวกรฝายมาตรฐานเทคนคแผนกวศวการกองวทยาการกรมชางอากาศ • นายทหารโครงการปรบปรงเครองบนขบไลแบบท18ข/ค(F-5S/T) ฝงบนขบไลทางยทธวธ211กองบน21กองพลบนท2กองบญชาการยทธทางอากาศ • หวหนาหมวดชางประจำาอากาศยานฝายการชางฝงบน602รกษาพระองคกองบน6ฯ (FlightEngineer:Boeing737-200/400,AirbusA310/A319CJ“ไทยคฟา”) • TechnicalServicesEngineer-ThaiAirAsia(SystemEngineer):Boeing737-300, AirbusA320,andCFM56-3BSeriesTurboFanEngine

ร จ ก ผ เ ข ย น

หลกสตรเพมเตม : • สงทางอากาศรนท33ศนยการทหารอากาศโยธนหนวยบญชาการอากาศโยธนกองบญชาการยทธทาง อากาศ • นายทหารภาษารนท13กรมยทธศกษาทหารอากาศ • นายทหารชางอากาศชนเรออากาศรนท6โรงเรยนรวมสายวทยาการกรมยทธศกษาทหารอากาศ • นายทหารนรภยการบนรนท49โรงเรยนรวมสายวทยาการกรมยทธศกษาทหารอากาศ • BOEINGRepairAssessmentProgram(RAP)Workshop • HumanFactorandRiskAssestmentProgram,ThaiAirAsia • AirBusA320Family:GroundHandling,AirAsia

งานเขยน : • อากาศพลศาสตร(AERODYNAMICS) • สรปหลกคณตศาสตร • เฉลยขอสอบเกาเตรยมทหารวชาคณตศาสตรแบบละเอยดสดๆยอนหลง6ป(ปพ.ศ.2547-2552) • เฉลยแบบฝกหดเลขม.3(เลขหลกและเลขเสรม) • บทความวชาการอนๆเชนวศวกรรมการบนคณตศาสตรวทยาศาสตรและภาษาองกฤษฯลฯ