Page 1
1
ค าแนะน าในการใชแบบฝกคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL
1. แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน เปนแบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต ประกอบดวย 1.1 จดประสงคการเรยนร 1.2 เนอหาและตวอยาง 1.3 แบบฝกทกษะ 1.4 แบบทดสอบหลงเรยน 1.5 แบบบนทกผลคะแนน 1.6 บรรณานกรม 2. การท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร ใหนกเรยนปฏบต ดงน 2.1 นกเรยนศกษาเกยวกบจดประสงคการเรยนร และตวอยางใหเขาใจ สามารถแลกเปลยนความรกบเพอนหรอถามขอสงสยใหปรกษาคร 2.2 นกเรยนท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรอยางรอบคอบและมความซอสตย 2.3 นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนเมอท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร เสรจเรยบรอยแลว 2.4 นกเรยนสงแบบฝกทกษะคณตศาสตรใหครตรวจสอบความถกตอง
Page 2
2
จดประสงคการเรยนร
แบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต
ดานความร นกเรยนสามารถ
หาผลบวกของอนกรมอนนตทก าหนดใหไดถกตอง
ดานทกษะกระบวนการ นกเรยนสามารถสอความหมาย และน าเสนอสญลกษณผลบวกอนกรมอนนตได ดานคณลกษณะอนพงประสงค นกเรยนมความซอสตยในกจกรรมการเรยนรเรองผลบวกอนกรมอนนต
Page 3
3
แบบฝกทกษะ หนวยยอยท 2 : อนกรมอนนต ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกนมอนนต
ขนตอนการแกปญหาคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ขนตอนท 1 K (What we KNOW)
เรารอะไรหรอโจทยบอกอะไร เปนขนตอนทแบงกลมใหนกเรยนชวยกนหาสงทรเกยวกบโจทย ขนตอนท 2 W (What we WANT to know)
เราตองการรอะไร หรอโจทยใหหาอะไร มวธการอยางไร ใชวธอะไรหรอด าเนนตามกระบวน การแกโจทยปญหา เปนขนตอนอะไรบาง เปนขนตอนทนกเรยนในกลมรวมกนอภปรายเพอหา สงทตองการรเพมเตมเกยวกบโจทย
ขนตอนท 3 D (What we DO to find out) เราท าอะไร อยางไร หรอด าเนนการตามกระบวนการแกปญหา เปนขนตอนทนกเรยนชวยกน แกโจทยปญหา
ขนตอนท 4 L (What we LERNED) เราเรยนอะไรหรอหาค าตอบทไดและบอกวธคดอยางไร ค าตอบอยางไร เปนขนตอนทให
นกเรยน ชวยกนในกลมสรปเปนความรทไดจากการแกโจทยปญหาและสรปเปนความรทไดจาการเรยน
Page 4
4
เนอหา
ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม
ก าหนด ...a...aaa n321 เปนอนกรมอนนตให
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS เรยก nS วาเปนผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม เมอ n เปนจ านวนเตมบวก เรยกล าดบอนนต ,...S,...,S,S,S n321 วา ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม
ผลบวกของอนกรมนนต
ก าหนดอนกรมอนนต ...a...aaa n321 ให ...,S,...,S,S,S n321 เปนล าดบ
ของผลบวกยอยของอนกรมน ถาล าดบ nS เปนล าดบลเขา โดย SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวน
จรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม ...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent
series) เรยก S วาผลบวกของอนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววา อนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series)
Page 5
5
ผลบวกของอนกรมอนนตของอนกรมเรขาคณต ก าหนดใหอนกรมเรขาคณตม 1a เปนพจนแรก และ r เปนอตราสวนรวม ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
ถา 1r แลวอนกรมนเปนอนกรมลออก
Page 6
6
ค าสง ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนหาผลบวกของอนกรมอนนตทก าหนดให ตามขนตอนการแกปญหาคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL โดยเตมค าตอบลงในชองวาง
7.1 ผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ................................................................................. .
2. จงพจารณาวาอนกรม 1n)41
(21
...641
321
81
21
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม .................................................................................
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม .................................................................................
ขนตอนท 1 K (What we KNOW) เรารอะไรหรอโจทยบอกอะไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
Page 7
7
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32
2. จงพจารณาวาอนกรม 1n)41
(21
...641
321
81
21
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม 1n)41
(21
...641
321
81
21
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1
เฉลย
ขนตอนท 1 K (What we KNOW) เรารอะไรหรอโจทยบอกอะไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
Page 8
8
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของ..................................................................................................
2. จงพจารณาวาอนกรม 1n)41
(21
...641
321
81
21
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของ..................................................................................................
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของ..................................................................................................
ขนตอนท 2 W (What we WANT to know) เราตองการรอะไร หรอโจทยใหหาอะไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
Page 9
9
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก
2. จงพจารณาวาอนกรม 1n)41
(21
...641
321
81
21
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม 1n)41
(21
...641
321
81
21
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก
ขนตอนท 2 W (What we WANT to know) เราตองการรอะไร หรอโจทยใหหาอะไร
เฉลย
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
Page 10
10
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 1S1
21
1S2 ……………………....
. 23 2
121
1S ……………....
324 21
21
21
1S …………..
)2
11(2
2
1...
2
1
2
121
1S n1n32n
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...2
11(2,...,
815
,47
,23
,1 n
หาผลบวกของอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 2 ผลบวกคอ 2SS
nn
ดงนน อนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรม......... มผลบวกเทากบ ........
ขนตอนท 3 D (What we DO to find out) เราท าอะไร อยางไร หรอมวธการอยางไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
21
21
21
1 1n32
เปนอนกรมเรขาคณตม 21
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 11
11
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
21
S1
81
21
S2 ………………………
321
81
21
S3 …………………
6425
641
321
81
21
S4
))41
(1(52
)41
(21
...641
321
81
21
S n1nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ,21
…………………………………………
หาผลบวกของอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 52
ผลบวกคอ 52
SSn
n
ดงนน อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรม…… มผลบวก
เทากบ 52
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 41
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 12
12
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)n23(...)5()3()1(1
1S1 )1(1S2 ……………………………
)3()1(1S3 …………………… )5()3()1(1S3 ……………
)n24(2n
)n23(...)5()3()1(1Sn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ,1 ………………………………………… หาผลบวกของอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ลดลงและไมเขาใกลจ านวน ใดจ านวนหนง
ดงนน อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรม……...ไม
สามารถหา ผลบวกได
...)n23(...)5()3()1(1
เปนอนกรมเลขคณตม 2d
)aa(2n
S n1n
เยยมมากคะ
คนเกง
Page 13
13
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 1S1
23
21
1S2
47
2
121
1S 23
815
2
1
2
121
1S 324
)2
11(2
2
1...
2
1
2
121
1S n1n32n
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...2
11(2,...,
815
,47
,23
,1 n
หาผลบวกของอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 2 ผลบวกคอ 2SS
nn
ดงนน อนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 2
เฉลย
ขนตอนท 3 D (What we DO to find out) เราท าอะไร อยางไร หรอมวธการอยางไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
21
21
21
1 1n32
เปนอนกรมเรขาคณตม 21
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 14
14
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
21
S1
83
81
21
S2
3213
321
81
21
S3
6425
641
321
81
21
S4
))41
(1(52
)41
(21
...641
321
81
21
S n1nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)41
(1(52
,...,3213
,47
,83
,21 n
หาผลบวกของอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 52
ผลบวกคอ 52
SSn
n
ดงนน อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา มผลบวก
เทากบ 52
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 41
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 15
15
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)n23(...)5()3()1(1
1S1 0)1(1S2
3)3()1(1S3 8)5()3()1(1S3
)n24(2n
)n23(...)5()3()1(1Sn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...n24(2n
,...,8,3,47
,0,1
หาผลบวกของอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ลดลงและไมเขาใกลจ านวน ใดจ านวนหนง
ดงนน อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลออก ไม
สามารถหาผลบวกได
...)n23(...)5()3()1(1
เปนอนกรมเลขคณตม 2d
)aa(2n
S n1n
Page 16
16
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรม............... มผลบวกเทากบ
...... สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
ขนตอนท 4 L (What we LEARNED) เราเรยนอะไรหรอหาค าตอบทไดและบอกวธคดอยางไร ค าตอบอยางไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
Page 17
17
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรม......... มผลบวกเทากบ......
สรปขนตอนดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...
2
1...
2
1
2
121
1 1n32 หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด จ านวนจรงนนคอ SSn
nlim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 18
18
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรม....................
............................................................................................................................................. สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 19
19
1. จงพจารณาวาอนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 2
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด จ านวนจรงนนคอ SSn
nlim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
เฉลย
ขนตอนท 4 L (What we LEARNED) เราเรยนอะไรหรอหาค าตอบทไดและบอกวธคดอยางไร ค าตอบอยางไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
Page 20
20
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ
52
สรปขนตอนดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...
2
1...
2
1
2
121
1 1n32 11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 21
21
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)n23(...)5()3()1(1 เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลออก ไมสามารถ
หาผลบวกได สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...2
1...
2
1
2
121
1 1n32 11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
เมอเขาใจแลว
เรมท าแบบฝก
กนนนะคะ
Page 22
22
เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต
1. จงพจารณาวาอนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม.........................................................................................................
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปน......................................
และ ....................................................................................................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...10
7...
100007
10007
1007
107
n
107
S1
100
7107
S2 ……………………….……
1000
7100
7107
S3 ……………………
10000
71000
7100
7107
S3 ………….
))101
(1(97
107
...10000
71000
7100
7107
S nnn
แบบฝกทกษะท 7.1
ค าชแจง ใหนกเรยนอานโจทยแลววเคราะหหาค าตอบดวยเทคนค KWDL โดยเตมค าตอบลงชองวาง
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 41
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 23
23
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ...........................................................
หาผลบวกของอนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 97
ผลบวกคอ n
nSS ………………………………………………
ดงนน อนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปนอนกรม……. ...................
มผลบวกเทากบ ...............................................................................................
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปนอนกรม........ มผลบวกเทากบ........
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...10
7...
100007
10007
1007
107
n
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSlim nn
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
Page 24
24
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)41
(21
...647
321
81
21 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม................................................................................................................
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)41
(21
...647
321
81
21 1n เปน...........................................
และ................................................................................. (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)41
(21
...647
321
81
21 1n
21
S1
81
21
S2 …………………………………….
321
81
21
S3 …………………………….
641
321
81
21
S4 ……………………..
1nn )
41
(21
...641
321
81
21
S …………………………………
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ..................................................................................
หาผลบวกของอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล....................... ผลบวกคอ
nnSS ……………………………………………
ดงนน อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรม...........................
มผลบวกเทากบ......................................................................................
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 41
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 25
25
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปน...............................................
ม ผลบวกเทากบ.................................................................... สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 26
26
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรม.................................................
และ.................................................................................................................................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)35
(...925
35
1 1n
1S1
35
1S2 ……………………………………
925
35
1S3 ……………………………..
1n
n )35
(...925
35
1S ……………
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ.............................................................................
หาผลบวกของอนกรม ...)35
(...925
35
1 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวน หนง
ดงนน อนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรม......................................
...)35
(...925
35
1 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 35
r
1r)1r(a
Sn
1n
Page 27
27
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรม.................................................
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)35
(...925
35
1 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได 1
ไมยากเลยใชไหมคะ
คนเกง
Page 28
28
4. จงพจารณาวาอนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปน…………………………………..
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n52
11...
219
29
21
21
S1
29
21
S2 …………………………………
2
1929
21
S3 …………………………….
n52
11...
219
29
21
Sn …………………………..
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ................................................................................
หาผลบวกของอนกรม ...n52
11...
219
29
21
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ....................................
ดงนน อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรม...........................................
...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมเรขาคณตม 9r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 29
29
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรม...................................................
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n52
11...
219
29
21
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปน...................................................................................
เรยก S วา................................................................................................................................... ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรม............................................................ และ..............................................................
เกงมากคะนกเรยน
ท าตอนะคะ
Page 30
30
5. จงพจารณาวาอนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลเขา หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n6)8(...1042 เปน...................................................... และ......................................................................................................................................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n6)8(...1042
2S1 42S2 …………………………………..
1042S3 …………………………….
n6)8(...1042Sn …………
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ........................................................................... หาผลบวกของอนกรม ...n6)8(...1042 พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS .................................... ดงนน อนกรม ...n6)8(...1042 เปน..................................................
...n6)8(...1042
เปนอนกรมเรขาคณตม 6d
)aa(2n
S n1n
Page 31
31
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรม...................................................
สรปขนตอนดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n6)8(...1042
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปน.....................................................................................
เรยก S วา......................................................................................................................................... ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรม............................................................ และ...........................................................
Page 32
32
6. จงพจารณาวาอนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปน..................................และ..............
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n31
)21
(...21
61
61
61
S1
61
61
S2 ………………………………..
21
61
61
S3 ………………………….
n31
)21
(...21
61
61
Sn ………………………………………
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ..................................................................................
หาผลบวกของอนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ……………………….
ดงนน อนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรม........................................
...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรมเรขาคณตม 31
d
)aa(2n
S n1n
Page 33
33
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปน..........................................................
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n31
)21
(...21
61
61
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปน...............................................................................
เรยก S วา................................................................................................................................. ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรม............................................................ และ.............................................................
Page 34
34
7. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลเขา หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ................................................................................................................. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)2(3...1263 1n เปน....................................และ............... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)2(3...1263 1n
3S1
63S2 ……………………………….. 1263S3 ………………………….
1n
n )2(3...1263S ………….. ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ...............................................................................
หาผลบวกของอนกรม ...)2(3...1263 1n พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ..............................................
ดงนน อนกรม ...)2(3...1263 1n เปน.......................................................
...)2(3...1263 1n เปนอนกรมเรขาคณตม 2r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 35
35
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)2(3...1263 1n เปน............................................................. สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)2(3...1263 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปน......................................................................................
เรยก S วา................................................................................................................................................ ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรม............................................................ และ....................................................................
Page 36
36
8. จงพจารณาวาอนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปน..................................และ.................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)21
(10...25
510 1n
10S1
510S2 ……………………………………………..
25
510S3 …………………………………………
1nn )
21
(10...25
510S
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ....................................................
หาผลบวกของอนกรม ...)21
(10...25
510 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล.................................... ผลบวกคอ
nnSS ………………………………………….
ดงนน อนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปน......................... มผลบวกเทากบ...........
...)21
(10
...25
510
1n
เปนอนกรมเรขาคณตม
21
r
r1)r1(a
Sn
1n
…………………………….
Page 37
37
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปน........................................................
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)21
(10...25
510 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปน.......................................................................................
เรยก S วา............................................................................................................................................. ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรม............................................................ และ.....................................................................
Page 38
38
9. จงพจารณาวาอนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ………………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปน…………………………และ………
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)5(41
...425
45
41 1n
41
S1
45
41
S2 ………………………………………
425
45
41
S3 ………………………………..
1nn )5(
41
...425
45
41
S
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ................................................................................
หาผลบวกของอนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS .....................................
ดงนน อนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปนอนกรม......................................
...)5(41
...425
45
41 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 5r
1r)1r(a
Sn
1n
…………………………….
Page 39
39
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปน................................................................
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)5(41
...425
45
41 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปน.......................................................................................
เรยก S วา................................................................................................................................................ ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรม............................................................ และ....................................................................
Page 40
40
10. จงพจารณาวาอนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปน.....................และ............
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
92
S1
121
92
S2 ………………………………………
321
121
92
S3 ………………………………..
1nn )
83
)(92
(...321
121
92
S
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ............................................................................................
หาผลบวกของอนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS .............................................. ผลบวกคอ
nnSS …………………………………………………………………….
ดงนน อนกรม
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปน……….. มผลบวกเทากบ.............
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 83
r
r1)r1(a
Sn
1n
…………………………….
Page 41
41
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปน............... มผลบวกเทากบ........
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณา................................................................................................ เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ.................................................. เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปน.......................................................................................
เรยก S วา................................................................................................................................................ ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรม.......................................................... และ......................................................................
ไดคะแนนเตมแนๆ
เลยคนเกง
Page 42
42
เกณฑการใหคะแนน
แบบฝกทกษะท 7.1
1. ขน K บอกสงทโจทยก าหนดให - บอกสงทโจทยก าหนดใหถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยก าหนดใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 2. ขน W บอกสงทโจทยใหหาอะไร - บอกสงทโจทยใหหาอะไรถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยใหหาใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 3. ขน D จากโจทยท าใหเรารวาจะตองท าอะไร - แสดงการหาผลบวกยอยของอนกรม ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงการหาผลบวกยอยของอนกรม ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน - แสดงค าตอบ ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงค าตอบ ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 4. ขน L จากโจทยท าใหเราเรยนรอะไร - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 1 คะแนน - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 0 คะแนน รวมคะแนน 50 คะแนน
Page 43
43
ค าสง ใหนกเรยนแตละกลมชวยกนหาผลบวกของอนกรมอนนตทก าหนดให ตามขนตอนการแกปญหาคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL โดยเตมค าตอบลงในชองวาง
7.2 ผลบวกของอนกรมอนนตโดยพจารณาจากล าดบผลบวกยอยของอนกรม
1. จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม……………………………………………………………………………
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม……………………………………………………………………………
ขนตอนท 1 K (What we KNOW) เรารอะไรหรอโจทยบอกอะไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
Page 44
44
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม……………………………………………………………………………
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม……………………………………………………………………………
5. จงพจารณาวาอนกรม ...5
)1n2(...
1255
253
51
n
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม……………………………………………………………………………
เกงมากคะนกเรยน
Page 45
45
1. จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...31
139
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
...151821
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม
...16941
เฉลย
ขนตอนท 1 K (What we KNOW) เรารอะไรหรอโจทยบอกอะไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
Page 46
46
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
5. จงพจารณาวาอนกรม ...5
)1n2(...
1255
253
51
n
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...5
)1n2(...
1255
253
51
n
ส ๆนะคะ ไมยากเลย
Page 47
47
1. จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของ…………………………………………………………………………………………
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของ…………………………………………………………………………………………
ขนตอนท 2 W (What we WANT to know) เราตองการรอะไร หรอโจทยใหหาอะไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
Page 48
48
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา ...................................................................ของอนกรม
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
...................................................................ของอนกรม
5. จงพจารณาวาอนกรม ...5
)1n2(...
1255
253
51
n
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
...................................................................ของอนกรม
เกงมากคะ
Page 49
49
1. จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของอนกรม ...31
139 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา คาของอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
เฉลย
ขนตอนท 2 W (What we WANT to know) เราตองการรอะไร หรอโจทยใหหาอะไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
Page 50
50
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา คาของ อนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของ อนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
5. จงพจารณาวาอนกรม ...5
)1n2(...
1255
253
51
n
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
คาของ อนกรม ...5
)1n2(...
1255
253
51
n
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
Page 51
51
1 .จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...31
139
อนกรม ...31
139 เปนอนกรมเรขาคณต ม 31
r,9a1
r1)r1(a
Sn
1n
31
1
))31
(1(9 n
))31
(1(227 n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...
31
139
วธท า 1 ))31
(1(227
(limSlim n
nn
n
)01(227
…………………… ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
…………… ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ.......................
ขนตอนท 3 D (What we DO to find out) เราท าอะไร อยางไร หรอมวธการอยางไร
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
227
31
1
9
227
=
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
Page 52
52
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...151821
อนกรม ...151821 เปนอนกรมเลขคณต ม 3d,21a1
)d)1n(a2(
2n
S 1n
))3)(1n()21(2(
2n
)n345(
2n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...151821
)n345(2n
limSlimn
nn
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมล.................... และไม.............................ได
Page 53
53
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...16941
อนกรม ...16941 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย ...16941
...4321 222 ม 2n na
n
1i
2n iS
))3)(1n()21(2(
2n
6)1n2)(1n(n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...151821
6
)1n2)(1n(nlimSlim
nn
n
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม............................. และไม...................................ได
Page 54
54
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
อนกรม
...)3n2)(1n2(
6...
1196
976
756
536
)3n2)(1n2(6
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic) รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
)3n2
131
)(35
1(6Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
)
3n21
31
)(35
1(6limSlim
nn
n
)031
)(21
(6
…………………………………………. ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
……………………………………. ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ …………………………
Page 55
55
5. จงพจารณาวาอนกรม ...125
5253
51
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต(S)ของอนกรม
...125
5253
51
อนกรม ...125
5253
51
เปนอนกรมถกสรางจาการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจน ทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ )5
1(ba nnn ม n5
1เปนล าดบเรขาคณต ม
51
r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S)ไดดงน
ให ...6257
1255
253
51
S ...............(1)
;51
)1(r)1(
...
31257
6255
1253
251
5S
…………(2)
;)2()1(
...
52
...3125
26252
1252
252
51
5S4
n
51
1
252
51
5S4
101
51
5S4
...........
5S4
.................
45
103
S
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ...............................
...5
2...
31252
6252
1252
252
n
เปนอนกรมเรขาคณตม 252
a1 และ 51
r
ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
Page 56
56
1. จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...31
139
อนกรม ...31
139 เปนอนกรมเรขาคณต ม 31
r,9a1
r1)r1(a
Sn
1n
31
1
))31
(1(9 n
))31
(1(227 n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...
31
139
วธท า 1 ))31
(1(227
(limSlim n
nn
n
)01(227
227
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
227
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ2
27
ขนตอนท 3 D (What we DO to find out) เราท าอะไร อยางไร หรอมวธการอยางไร
เฉลย
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
227
31
1
9
=
Page 57
57
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...151821
อนกรม ...151821 เปนอนกรมเลขคณต ม 3d,21a1
)d)1n(a2(
2n
S 1n
))3)(1n()21(2(
2n
)n345(
2n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...151821
)n345(2n
limSlimn
nn
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 58
58
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...16941
อนกรม ...16941 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย ...16941
...4321 222 ม 2n na
n
1i
2n iS
))3)(1n()21(2(
2n
6)1n2)(1n(n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...151821
6
)1n2)(1n(nlimSlim
nn
n
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 59
59
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
อนกรม
...)3n2)(1n2(
6...
1196
976
756
536
)3n2)(1n2(6
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic) รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
)3n2
131
)(35
1(6Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
)
3n21
31
)(35
1(6limSlim
nn
n
)031
)(21
(6
1 ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
1 ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 1
Page 60
60
5. จงพจารณาวาอนกรม ...125
5253
51
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต(S)ของอนกรม
...6257
1255
253
51
อนกรม ...6257
1255
253
51
เปนอนกรมถกสรางจาการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจน ทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ )5
1(ba nnn ม n5
1เปนล าดบเรขาคณต ม
51
r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S)ไดดงน
ให ...6257
1255
253
51
S ...............(1)
;
51
)1(r)1(
...
31257
6255
1253
251
5S
…………(2)
;)2()1(
...
52
...3125
26252
1252
252
51
5S4
n
51
1
252
51
5S4
101
51
5S4
103
5S4
83
45
103
S
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 83
...5
2...
31252
6252
1252
252
n
เปนอนกรมเรขาคณตม 252
a1 และ 51
r
ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
Page 61
61
1. จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
...31
139 เปนอนกรม........................ และมผลบวกเทากบ.................
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
ขนตอนท 4 L (What we LEARNED) เราเรยนอะไรหรอหาค าตอบทไดและบอกวธคดอยางไร ค าตอบอยางไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
Page 62
62
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ อนกรม ...151821 เปนอนกรม............................... และ...........................................
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 63
63
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ อนกรมอนนต ...16941 เปนอนกรม.......................... และ...............................
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม
โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim nn
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 64
64
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรม........................ และ.....................................
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 65
65
5. จงพจารณาวาอนกรม ...125
5253
51
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...125
5253
51
เปนอนกรม................. และมผลบวกเทากบ.................
สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน
อนกรมเรขากใชสตร r1
aS 1
ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ให
ท าซ าอกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
Page 66
66
1. จงพจารณาวาอนกรม ...31
139
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
...31
139 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ2
27
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
เฉลย
ขนตอนท 4 L (What we LEARNED) เราเรยนอะไรหรอหาค าตอบทไดและบอกวธคดอยางไร ค าตอบอยางไร
ตวอยางการหาผลบวกของอนกรมอนนต โดยพจารณาจากลมตของผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม
Page 67
67
2. จงพจารณาวาอนกรม ...151821
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...151821 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 68
68
3. จงพจารณาวาอนกรม ...16941 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ อนกรมอนนต ...16941 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 69
69
4. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )3n2)(1n2(6
เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม
โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim nn
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 70
70
5. จงพจารณาวาอนกรม ...125
5253
51
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...125
5253
51
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 83
สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
nS = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน
อนกรมเรขากใชสตร r1
aS 1
ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า
อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
Page 71
71
7.2 ผลบวกของอนกรมอนนต
1. จงพจารณาวาอนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ม ผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม.............................................................................................................................
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปน.................................และ.....................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)21
(21
...81
41
21 1n
อนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม
21
r,21
a1
r1)r1(a
Sn
1n
21
1
))21
(1(21 n
……………………………………………………………………….
แบบฝกทกษะท 7.2
ค าชแจง ใหนกเรยนอานโจทยแลววเคราะหหาค าตอบดวยเทคนค KWDL โดยเตมค าตอบลงชองวาง
Page 72
72
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
21
(21
...81
41
21 1n
วธท า 1 )21
1(limSlim nnn
n
…………………… …………………… ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
…………… ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม………………… และมผลบวกเทากบ.....................................
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปน…………… มผลบวกเทากบ ………
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
21
1
21
…………………… =
Page 73
73
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม .......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปน...........................และ.............
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)53
(3...12581
2527
59
3 1n
อนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 53
r,3a1
r1)r1(a
Sn
1n
…………………………………….
…………………………………….
Page 74
74
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
53
(3...12581
2527
59
3 1n
วธท า 1 ))53
(1(8
15(limSlim n
nn
n
……………………….
……………..……….
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
……………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม................................... และมผลบวกเทากบ.................................. (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปนอนกรม............ มผลบวกเทากบ.........
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
……………….
………………
Page 75
75
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรม
ลออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม....................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรม..............และ.............
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)
51
(2...125
2252
52
2 1n
อนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม
51
r,2a1
r1)r1(a
Sn
1n
……………………….
……………………….
……………………….
Page 76
76
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n
วธท า 1 ))51
(1(35
limSlim n
nn
n
……………………….
……………………….
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
…………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม........................ และมผลบวกเทากบ ....................................... (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 35
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ................................
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
……………….
…………….
Page 77
77
4. จงพจารณาวาอนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรม.............................และ..............
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)51
(32
...752
152
32 1n
อนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม
51
r,32
a1
r1)r1(a
Sn
1n
……………………….
………………………..
Page 78
78
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
51
(32
...752
152
32 1n
วธท า 1 )5
11(
65
limSlim nnn
n
……………………….
……………………….
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
……………………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 65
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรม.............. มผลบวกเทากบ...............
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
………………
…………………
Page 79
79
5. จงพจารณาวาอนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ………………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปน..............................และ......................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)23
(...827
49
23
1 1n
อนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 23
r,1a1
r1)r1(a
Sn
1n
……………………….
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n
))23
(1(65
limSlim n
nn
n
………………………………………………………..
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม……………………. และ………………………
Page 80
80
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปนอนกรม.................................................
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 81
81
6. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม .............................................................................................................................. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)2(2...16842 1n เปน.....................................และ.............. (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)2(2...16842 1n
อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 2r,2a1
r1)r1(a
Sn
1n
……………………….
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)2(2...16842 1n
))2(1(
32
limSlim n
nn
n
……………………………………………
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม……………………………………………….
Page 82
82
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)2(2...16842 1n เปน........................................................... สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม
...................................... ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 83
83
7. จงพจารณาวาอนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปน..................................และ..............
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)43
)(41
(...411
245
21 n
อนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปนอนกรมเลขคณต ม
43
d,21
a1
)aa(
2n
S n1n
……………………….
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
43
)(41
(...411
245
21 n
)n43
41
(2n
limSlimn
nn
…………………………………………………………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม.....................................................................................
Page 84
84
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปนอนกรม………………………….
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 85
85
8. จงพจารณาวาอนกรม
...n23...9341 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ……………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n23...9341 เปน......................................และ................. (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n
พจนแรก( nS )ของอนกรม
...n23...9341 อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,1a1
)aa(
2n
S n1n
……………………….
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n23...9341
)n24(2n
limSlimn
nn
………………………………………………………………
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม…………………………………………………………
Page 86
86
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรม…………………………………….
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
พยายามตอไปนะคะ
Page 87
87
9. จงพจารณาวาอนกรม
...n225
...27
23
21
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...n225
...27
23
21
เปน..........................................และ.................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...n225
...27
23
21
อนกรม ...n225
...27
23
21
เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,21
a1
)aa(
2n
S n1n
……………………….
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n2
25
...27
23
21
)n24(2n
limSlimn
nn
.................................................................................................
ดงนน อนกรมอนนตน เปน.................................................................................................
Page 88
88
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n225
...27
23
21
เปน...............................................................
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม
...................................... ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 89
89
10. จงพจารณาวาอนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)1n(...830 2 เปน.....................................และ...................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)1n(...830 2
อนกรม ...)1n(...830 2 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย
n
1i
2n
1iin )1i(aS
n
1i
n
1i
2 1i
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)1n(...830 2
)n(1)1n2)(1n(6n
limSlimn
nn
.......................................................................
ดงนน อนกรมอนนตน เปน.......................................................................................................
Page 90
90
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)1n(...830 2 เปน.................................................................... สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 91
91
11. จงพจารณาวาอนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม........................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)n2n(...901 3 เปน....................................และ................... (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)n2n(...901 3
อนกรม ...)n2n(...901 3 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย
n
1i
23n
1iin )i2i(aS
n
1i
n
1i
23 i2i
…………………………………………………………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)n2n(...901 3
))1n2)(1n(6n
(2))1n(2n
(limSlim 2
nn
n
.........................................................
ดงนน อนกรมอนนตน เปน.....................................................................................................
Page 92
92
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)n2n(...901 3 เปน.............................................................. สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 93
93
12. จงพจารณาวาอนกรม
1n )2n)(1n(5
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ……………………………………………………………………………….. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )2n)(1n(5
เปน………………………………….และ………………..
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )2n)(1n(5
อนกรม ...)2n)(1n(
5...
545
435
535
)2n)(1n(5
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
)2n
121
)(23
1(5Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )2n)(1n(5
)
2n1
21
)(23
1(5limSlim
nn
n
……………………….
……………………….
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim ……………………………………………..
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ.........................................
Page 94
94
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )2n)(1n(5
เปน............................และมผลบวกเทากบ...................
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
สๆ นะคะ
ไมมอะไรยาก
Page 95
95
13. จงพจารณาวาอนกรม
1n )4n2)(2n2(7
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ........................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )4n2)(2n2(7
เปน..................................................และ.....................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )4n2)(2n2(7
อนกรม ...)4n2)(2n2(
7...
1087
867
647
)4n2)(2n2(7
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )4n2)(2n2(7
)
4n21
41
)(46
1(7limSlim
nn
n
……………………….
……………………….
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim ……………………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ ……………………….
Page 96
96
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )4n2)(2n2(7
เปน…………………และมผลบวกเทากบ...............
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 97
97
14. จงพจารณาวาอนกรม
1n )4n3)(1n3(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม …………………………………………………………………………………. (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )4n3)(1n3(6
เปน……………………………และ………………….
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )4n3)(1n3(6
อนกรม
...)4n3)(1n3(
6...
13106
1076
746
)4n3)(1n3(6
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
)4n3
141
)(47
1(6Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )4n3)(1n3(6
)
4n31
41
)(47
1(6limSlim
nn
n
……………………….
……………………….
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim ………………………………………...
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ .................................
Page 98
98
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )4n3)(1n3(6
เปน…………………….และมผลบวกเทากบ.................
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 99
99
15. จงพจารณาวาอนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม .......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
เปน...........................................และ....................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
อนกรม
...)5n)(4n)(3n(
3...
8763
7653
6543
)5n)(4n)(3n(3
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ 321 aaa
k 432 aaa
k
543 aaak
...aaa
k...
2n1nn
)
aa1
aa1
)(aa
1(kS
2n1n2113n
แทนคา
……………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
)
)5n)(4n(1
541
)(46
1(3limSlim
nn
n
……………………….
……………………….
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
……………………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ......................................
Page 100
100
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )5n)(4n)(3n(3
เปน.......................และมผลบวกเทากบ ..............
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 101
101
16. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม.......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
เปน....................................และ.......................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
อนกรม
...)3n2)(1n2)(1n2(
3...
10753
7533
5313
)3n2)(1n2)(1n2(3
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ 321 aaa
k 432 aaa
k
543 aaak
...aaa
k...
2n1nn
)
aa1
aa1
)(aa
1(kS
2n1n2113n
แทนคา
……………………………………………….…………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
)
)3n2)(1n2(1
311
)(15
1(3limSlim
nn
n
………………………………………….………………….
…………………………………………………………….
Page 102
102
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
……………………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ ........................................................
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
เปน.......................และมผลบวกเทากบ
............ สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
Page 103
103
17. จงพจารณาวาอนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม............................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
เปน.........................................และ..................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
อนกรม
...)8n3)(5n3)(2n3(
5...
1714115
141185
11855
)8n3)(5n3)(2n3(5
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ 321 aaa
k 432 aaa
k
543 aaak
...aaa
k...
2n1nn
)
aa1
aa1
)(aa
1(kS
2n1n2113n
แทนคา
…………………………………………………………………………….
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
)
)8n3)(5n3(1
851
)(511
1(5limSlim
nn
n
……………………………………………….……….
……………………………………………….……….
Page 104
104
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
……………………………………………………..…………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ..........................................................
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
เปน................... และมผลบวกเทากบ.............
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม............................ และม......................................
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรม..........................และ......................................
ตงใจตอไปนะคะ
Page 105
105
18. จงพจารณาวาอนกรม ...39
37
35
33
432
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ......................................................................................................................... (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...39
37
35
33
432 เปน...........................................และ........................
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ของอนกรม
...39
37
35
33
432
อนกรม ...39
37
35
33
432
เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ nnn31
ba ม n31เปนล าดบเรขาคณต ม
31
r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S)ไดดงน
ให ...39
37
35
33
432 ...............(1)
;31
)1(r)1(
...
39
37
35
33
3S
5432 …………(2)
;)2()1(
...
32
...32
32
32
1S32
n432
S
32
……………………….
……………………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา
และมผลบวกเทากบ 34
...n3
2...43
233
223
2 เปน
อนกรมเรขาคณตม 21 32
a และ 31
r
ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
............................
.
Page 106
106
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...39
37
35
33
432 เปน………………… และมผลบวกเทากบ..............
สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน อนกรมเรขากใชสตร............................. ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
19. จงพจารณาวาอนกรม ...54535251 432
Page 107
107
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม................................................................................................................ (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...54535251 432 เปน.............................และ........................ (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต(S) ของอนกรม
...54535251 432
อนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ nnn 5ba ม n5 เปนล าดบเรขาคณต ม 5r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ไดดงน
ให ...54535251S 432 ...............(1)
;5)1(r)1(
...54535251S5 5432 …………(2)
;)2()1(
....5151515151S4 5432
S4
S
165
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ..................................................
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
....5151515151 5432 เปนอนกรมเรขาคณตม 5a1 และ 5r ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
..............................
. ..............................
. ...............................
Page 108
108
ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...54535251 432 เปน.................. และมผลบวกเทากบ............. สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน อนกรมเรขากใชสตร............................ ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ให ท าซ าอกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
20. จงพจารณาวาอนกรม ...3213
169
86
44
23
เยยมมากๆ เลยคะ
Page 109
109
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ………………………………………………………………………………… (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...3213
169
86
44
23
เปน………………………….และ……………….
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต(S) ของอนกรม
...3213
169
86
44
23
อนกรม ...3213
169
86
44
23
เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ nnn2
1ba ม n2
1เปนล าดบเรขาคณต ม
21
r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ไดดงน
ให ...3213
169
86
44
23
S ...............(1)
;21
)1(r)1(
...
6413
329
166
84
43
S21
…………(2)
;)2()1(
...
645
324
163
82
41
23
S21
…………(3)
;21
)3(r)3(
...128
5654
323
162
81
43
S41
…………(4)
;)4()3(
S41
S
41
...
1281
651
321
161
81
เปนอนกรม
เรขาคณตม 81
a1 และ 41
r
ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
……………………………………………
………………………
Page 110
110
S
41
S
……………………….
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรม…………………. และมผลบวกเทากบ ……………………
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...3213
169
86
44
23
เปน....................... และมผลบวกเทากบ ............
สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน อนกรมเรขากใชสตร............................... ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
………………………
………………………
Page 111
111
เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 7.2
1. ขน K บอกสงทโจทยก าหนดให - บอกสงทโจทยก าหนดใหถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยก าหนดใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 2. ขน W บอกสงทโจทยใหหาอะไร - บอกสงทโจทยใหหาอะไรถกตอง ขอละ 1 คะแนน - บอกสงทโจทยใหหาใหไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 3. ขน D จากโจทยท าใหเรารวาจะตองท าอะไร
- แสดงการหาผลบวกของอนกรมอนนต ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงการหาผลบวกของอนกรมอนนต ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน - แสดงค าตอบ ไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน - แสดงค าตอบ ไมถกตอง ขอละ 0 คะแนน 4. ขน L จากโจทยท าใหเราเรยนรอะไร - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 1 คะแนน - อธบายสงทไดเรยนรจากโจทยโดยบอกวธคดและค าตอบทถกตอง ขอละ 0 คะแนน
รวมคะแนน 100 คะแนน
แบบทดสอบหลง
เรยน
Page 112
112
ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต ค าชแจง จงเขยนเครองหมายกากบาท () ทบตวอกษรหนาค าตอบทถกทสดเพยงขอเดยว
1. ผลบวกของอนกรม ...250
3503
103
23
เทากบขอใด
1. 1012
2. 45
3. 8
15
4. ไมสามารถหาผลบวกได
2. ผลบวกของอนกรม n
1n 41
3
เทากบขอใด
1. 43
2. 1 3. 4 4. ไมสามารถหาผลบวกได
3. ผลบวกของอนกรม ...5464
1816
64
21
เทากบขอใด
1. 23
2. 64
3. 23
4. ไมสามารถหาผลบวกได
4. ผลบวกของอนกรม
1n
nn )43( เทากบขอใด
Page 113
113
1. 31
2. 21
3. 65
4. ไมสามารถหาผลบวกได 5. ขอใดเปนอนกรมลเขา
1. ...427
29
32
2. ...275
95
35
5
3. ...227
211
23
21
4. ...9
643
1643
6. ผลบวกของอนกรม
1n )6n5)(1n5(10
เทากบขอใด
1. 31
2. 51
3. 61
4. ไมสามารถหาผลบวกได
7. ผลบวกของอนกรม
1n )11n3)(8n3)(5n3(11
เทากบขอใด
Page 114
114
1. 61
2. 81
3. 481
4. ไมสามารถหาผลบวกได
8. ผลบวกของอนกรม
1n )9n4)(5n4)(1n4(5
เทากบขอใด
1. 721
2. 451
3. 81
4. ไมสามารถหาผลบวกได
9. ผลบวกของอนกรม ...3
17
3
13
3
935
432 เทากบขอใด
1. 9
14
2. 27
3. 3 4. ไมสามารถหาผลบวกได
10. ผลบวกของอนกรม ...3211
169
87
45
23
เทากบขอใด
1. 47
2. 27
3. 5 4. ไมสามารถหาผลบวกได
เกณฑการใหคะแนน
แบบทดสอบหลงเรยน ตอบไดถกตอง ขอละ 1 คะแนน ตอบผดหรอไมตอบ ขอละ 0 คะแนน รวมคะแนน 10 คะแนน
Page 115
115
แบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยเทคนคการจดการเรยนร KWDL ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต
รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการประเมน (ผาน/ ไมผาน)
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ท 7.1 แบบฝกทกษะคณตศาสตร ท 7.2
50 100
…………. ………….
………………..
รวมคะแนนแบบฝกทกษะคณตศาสตร 150 …………. แบบทดสอบหลงเรยน 10 …………. ………………..
เกณฑการประเมน นกเรยนไดคะแนนรวมของแบบฝกทกษะคณตศาสตร รอยละ 80 ขนไป ถอวา “ผานเกณฑ” นกเรยนไดคะแนนแบบทดสอบหลงเรยน รอยละ 80 ขนไป ถอวา “ผานเกณฑ”
บรรณานกรม
แบบบนทกผลคะแนน
Page 116
116
จกรนทร วรรณโพธกลาง. สดยอดเทคนคสาระคณตศาสตรการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร ม. 6 (2 ภาคเรยน) Pure…pure กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. กรงเทพฯ : พ.ศ.พฒนา จ ากด, มปป. จระ เจรญสขวมล. สรปหลก & สตรคณตศาสตร ม. 6 เลมรวม 1-2 (สาระการเรยนรเพมเตม). กรงเทพฯ :ไฮเอดพบลชชง จ ากด, มปป. ณรงค ปนนม. คมอ-เตรยมสอบคณตศาสตรเพมเตม ม. 6 เลม 2. กรงเทพฯ : ภมบณฑตการพมพ จ ากด, มปป. ทรงวทย สวรรณธาดา. หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.6 ภาคเรยนท 2. กรงเทพฯ : แมค เอดดเคชน, 2555. ธนวฒน สนทราพรพล. คมอรายวชาคณตศาสตรพนฐานและเพมเตมม.ปลายเลม 6 ชนมธยมศกษาปท 4-6. กรงเทพฯ : ธรรมบณฑต, มปป. ศภกจ เฉลมวสตมกลล. เทคนค คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 6 เลม 2. กรงเทพฯ : แมค, 2550. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตม
คณตศาสตรเลม 2 ชนมธยมศกษาปท 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรการศกษาขน พนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : สกสค. ลาดพราว, 2550.
Page 118
118
เฉลยแบบฝกทกษะท 7.1
เฉลยแบบฝกทกษะท 7.1
Page 119
119
เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต
1. จงพจารณาวาอนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...10
7...
100007
10007
1007
107
n
107
S1
10077
1007
107
S2
1000777
10007
1007
107
S3
100007777
100007
10007
1007
107
S3
))101
(1(97
107
...10000
71000
7100
7107
S nnn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)
101
(1(97
,...,100007777
,1000777
,10077
,107 n
หาผลบวกของอนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n
ค าชแจง ใหนกเรยนอานโจทยแลววเคราะหหาค าตอบดวยเทคนค KWDL โดยเตมค าตอบลงชองวาง
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 41
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 120
120
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 97
ผลบวกคอ 97
SSn
n
ดงนน อนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 97
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...10
7...
100007
10007
1007
107
n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 97
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...10
7...
100007
10007
1007
107
n 11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)41
(21
...647
321
81
21 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
Page 121
121
(K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)41
(21
...647
321
81
21 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)41
(21
...647
321
81
21 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)41
(21
...647
321
81
21 1n
21
S1
83
81
21
S2
3213
321
81
21
S3
6425
641
321
81
21
S4
))41
(1(52
)41
(21
...641
321
81
21
S n1nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)41
(1(52
,...,6425
,3213
,83
,21 n
หาผลบวกของอนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 52
ผลบวกคอ 52
SSn
n
ดงนน อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ
52
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 41
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 122
122
อนกรม ...)41
(21
...641
321
81
21 1n
เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ
52
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)41
(21
...641
321
81
21 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด
Page 123
123
(K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)35
(...925
35
1 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)35
(...925
35
1 1n
1S1
38
35
1S2
949
925
35
1S3
)1)35
((23
)35
(...925
35
1S n1nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...1)35
((23
,...,949
,38
,1 n
หาผลบวกของอนกรม ...)35
(...925
35
1 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวน หนง
ดงนน อนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
...)35
(...925
35
1 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 35
r
1r)1r(a
Sn
1n
Page 124
124
อนกรม ...)35
(...925
35
1 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)35
(...925
35
1 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
4. จงพจารณาวาอนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมลเขา
ไมยากเลยใชไหมคะ
คนเกง
Page 125
125
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...n52
11...
219
29
21
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n52
11...
219
29
21
21
S1
28
29
21
S2
227
219
29
21
S3
))9(1(201
n52
11...
219
29
21
S nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)9(1(201
,...,227
,47
,28
,21 n
หาผลบวกของอนกรม ...n52
11...
219
29
21
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง
ดงนน อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมลออก ไมสามารถหา
ผลบวกได
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมเรขาคณตม 9r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 126
126
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n52
11...
219
29
21
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได 5. จงพจารณาวาอนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลเขา
เกงมากคะนกเรยน
ท าตอนะคะ
Page 127
127
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ...n6)8(...1042 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n6)8(...1042
2S1 242S2
121042S3
)n610(2n
n6)8(...1042Sn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...n610(2n
,...,12,2,2
หาผลบวกของอนกรม ...n6)8(...1042 พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง ดงนน อนกรม ...n6)8(...1042 เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
...n6)8(...1042 เปนอนกรมเรขาคณตม 6d
)aa(2n
S n1n
Page 128
128
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n52
11...
219
29
21
เปนอนกรมลออก มสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n6)8(...1042
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 129
129
6. จงพจารณาวาอนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n31
)21
(...21
61
61
61
S1
061
61
S2
21
21
61
61
S3
)n31
32
(2n
n31
)21
(...21
61
61
Sn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...n31
32
(2n
,...,21
,0,61
หาผลบวกของอนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง
ดงนน อนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรมลออก ไมสามารถหา
ผลบวกได
...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรมเรขาคณตม 31
d
)aa(2n
S n1n
Page 130
130
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n31
)21
(...21
61
61
เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...n31
)21
(...21
61
61
11 aS 212 aaS
3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 131
131
7. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลเขา หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)2(3...1263 1n (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)2(3...1263 1n
3S1
963S2 211263S3
)12(3)2(3...1263S n1n
n
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...12(3,...,21,47
,9,3 n
หาผลบวกของอนกรม ...)2(3...1263 1n พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง
ดงนน อนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
...)2(3...1263 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 2r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 132
132
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)2(3...1263 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)2(3...1263 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 133
133
8. จงพจารณาวาอนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)21
(10...25
510 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)21
(10...25
510 1n
10S1
5510S2
215
25
510S3
))21
(1(3
20)
21
(10...25
510S 1n1nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...)21
(1(3
20,...,
215
,5,10 1n
หาผลบวกของอนกรม ...)21
(10...25
510 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 3
20
ผลบวกคอ 3
20SS
nn
ดงนน อนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 3
20
...)21
(10
...25
510
1n
เปนอนกรมเรขาคณตม
21
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 134
134
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)21
(10...25
510 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 3
20
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)21
(10...25
510 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 135
135
9. จงพจารณาวาอนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)5(41
...425
45
41 1n
41
S1
23
45
41
S2
431
425
45
41
S3
)15(161
)5(41
...425
45
41
S n1nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...15(
161
,...,431
,23
,41 n
หาผลบวกของอนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS ไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง
ดงนน อนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหา
ผลบวกได
...)5(41
...425
45
41 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 5r
1r)1r(a
Sn
1n
Page 136
136
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)5(41
...425
45
41 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)5(41
...425
45
41 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
Page 137
137
10. จงพจารณาวาอนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปนอนกรมลเขา
หรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปนอนกรมลเขาหรออนกรม
ลออกและผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
92
S1
3611
121
92
S2
185
321
121
92
S3
)1)43
((9916
)83
)(9
2(...
321
121
92
S 1n1nn
ดงนนล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ ),...1)
43
((9916
,...,185
,3611
,92 1n
หาผลบวกของอนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
พจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล 9916
ผลบวกคอ 9916
SSn
n
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปนอนกรมเรขาคณตม 83
r
r1)r1(a
Sn
1n
Page 138
138
ดงนน อนกรม
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ
9916
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ
9916
สรปขนตอนดงน
หาล าดบผลบวกยอยของอนกรม
...)83
)(9
2(...
321
121
92 1n
11 aS
212 aaS 3213 aaaS 43214 aaaaS
n4321n a...aaaaS
หาผลบวกของอนกรม โดยพจารณาล าดบผลบวกยอยของอนกรม เมอ n มคาเพมขน คาของ nS เขาใกล จ านวนจรงใด
จ านวนจรงนนคอ SSnn
lim
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา (Convergent series) เรยก S วาผลบวกของ
อนกรม ถา ล าดบ nS เปนล าดบลออก จะกลาววาอนกรม ...a...aaa n321
เปน อนกรมลออก(Divergent series) และไมสามารถหาผลบวกได
ไดคะแนนเตมแนๆ
เลยคนเกง
Page 139
139
เฉลยแบบฝกทกษะท 7.2
Page 140
140
7.2 ผลบวกของอนกรมอนนต
1. จงพจารณาวาอนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ม ผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)21
(21
...81
41
21 1n
อนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม
21
r,21
a1
r1)r1(a
Sn
1n
21
1
))21
(1(21 n
n2
11
เฉลยแบบฝกทกษะท 7.2
ค าชแจง ใหนกเรยนอานโจทยแลววเคราะหหาค าตอบดวยเทคนค KWDL โดยเตมค าตอบลงชองวาง
Page 141
141
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
21
(21
...81
41
21 1n
วธท า 1 )21
1(limSlim nnn
n
01 1 ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
1 ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 1
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)21
(21
...81
41
21 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 1
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
21
1
21
1 =
Page 142
142
2. จงพจารณาวาอนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)53
(3...12581
2527
59
3 1n
อนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 53
r,3a1
r1)r1(a
Sn
1n
53
1
))53
(1(3 n
))
53
(1(8
15 n
Page 143
143
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
53
(3...12581
2527
59
3 1n
วธท า 1 ))53
(1(8
15(limSlim n
nn
n
)01(8
15
8
15
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
8
15
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 8
15
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)53
(3...12581
2527
59
3 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ
815
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
)
53
(1
3
8
15
=
Page 144
144
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
3. จงพจารณาวาอนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรม
ลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)51
(2...125
2252
52
2 1n
อนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม
51
r,2a1
r1)r1(a
Sn
1n
51
1
))51
(1(2 n
))
51
(1(6
10 n
))
51
(1(35 n
Page 145
145
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
51
(2...125
2252
52
2 1n
วธท า 1 ))51
(1(35
limSlim n
nn
n
)01(35
35
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
35
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 35
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)51
(2...125
2252
52
2 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ 35
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
51
1
2
35
=
Page 146
146
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
4. จงพจารณาวาอนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)51
(32
...752
152
32 1n
อนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม
51
r,32
a1
r1)r1(a
Sn
1n
51
1
))51
(1(32 n
)
51
1(65
n
Page 147
147
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
51
(32
...752
152
32 1n
วธท า 1 )5
11(
65
limSlim nnn
n
)01(65
65
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
65
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 65
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)51
(32
...752
152
32 1n เปนอนกรมลเขา มผลบวกเทากบ
65
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
วธท 2 ส าหรบอนกรมเรขาคณต ถา 1r แลวอนกรมเปนอนกรมลเขา
ผลบวกของอนกรม (S) r1
a1
51
1
32
65
=
Page 148
148
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
5. จงพจารณาวาอนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)23
(...827
49
23
1 1n
อนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 23
r,1a1
r1)r1(a
Sn
1n
51
1
))23
(1(1 n
))
23
(1(65 n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n
))23
(1(65
limSlim n
nn
n
หาคาไมได ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 149
149
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)23
(...827
49
23
1 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 150
150
6. จงพจารณาวาอนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)2(2...16842 1n (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ ผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)2(2...16842 1n
อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมเรขาคณต ม 2r,2a1
r1)r1(a
Sn
1n
21))2(1(2 n
))2(1(
32 n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)2(2...16842 1n
))2(1(
32
limSlim n
nn
n
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 151
151
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)2(2...16842 1n เปนอนกรมลออก ไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 152
152
7. จงพจารณาวาอนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออก และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปนอนกรมลเขาหรออนกรมล
ออกและ ผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)43
)(41
(...411
245
21 n
อนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปนอนกรมเลขคณต ม
43
d,21
a1
)aa(
2n
S n1n
)n
43
41
21
(2n
)n
43
41
(2n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)
43
)(41
(...411
245
21 n
Page 153
153
)n43
41
(2n
limSlimn
nn
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)43
)(41
(...411
245
21 n เปนอนกรมลออก และไมสามารถหา
ผลบวกได สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 154
154
8. จงพจารณาวาอนกรม
...n23...9341 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา มอนกรม ...n23...9341 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...n23...9341
อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,1a1
)aa(
2n
S n1n
)n231(
2n
)n24(
2n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n23...9341
)n24(2n
limSlimn
nn
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 155
155
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ อนกรม ...n23...9341 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 156
156
9. จงพจารณาวาอนกรม
...n225
...27
23
21
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออก
และมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...n225
...27
23
21
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...n225
...27
23
21
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...n225
...27
23
21
อนกรม ...n225
...27
23
21
เปนอนกรมเลขคณต ม 2d,21
a1
)aa(
2n
S n1n
)n2
25
21
(2n
)n23(
2n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...n2
25
...27
23
21
)n24(2n
limSlimn
nn
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 157
157
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...n225
...27
23
21
เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 158
158
10. จงพจารณาวาอนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)1n(...830 2 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)1n(...830 2
อนกรม ...)1n(...830 2 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย
n
1i
2n
1iin )1i(aS
n
1i
n
1i
2 1i
)n(1)1n2)(1n(
6n
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)1n(...830 2
)n(1)1n2)(1n(6n
limSlimn
nn
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 159
159
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)1n(...830 2 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 160
160
11. จงพจารณาวาอนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...)n2n(...901 3 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
...)n2n(...901 3
อนกรม ...)n2n(...901 3 ไมใชอนกรมเลขคณตไมใชอนกรมเลขคณต หา nS โดย
n
1i
23n
1iin )i2i(aS
n
1i
n
1i
23 i2i
))1n2)(1n(
6n
(2))1n(2n
( 2
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม ...)n2n(...901 3
))1n2)(1n(6n
(2))1n(2n
(limSlim 2
nn
n
หาคาไมได
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
Page 161
161
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรม ...)n2n(...901 3 เปนอนกรมลออก และไมสามารถหาผลบวกได
สรปขนตอนดงน หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 162
162
12. จงพจารณาวาอนกรม
1n )2n)(1n(5
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
1n )2n)(1n(5
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )2n)(1n(5
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )2n)(1n(5
อนกรม ...)2n)(1n(
5...
545
435
535
)2n)(1n(5
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
)2n
121
)(23
1(5Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )2n)(1n(5
)
2n1
21
)(23
1(5limSlim
nn
n
Page 163
163
)021
)(1(5
25
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim 2
5
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 25
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )2n)(1n(5
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 25
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 164
164
13. จงพจารณาวาอนกรม
1n )4n2)(2n2(7
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
1n )4n2)(2n2(7
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )4n2)(2n2(7
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )4n2)(2n2(7
อนกรม ...)4n2)(2n2(
7...
1087
867
647
)4n2)(2n2(7
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
)4n2
141
)(46
1(7Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )4n2)(2n2(7
)
4n21
41
)(46
1(7limSlim
nn
n
Page 165
165
)041
)(21
(7
87
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim 8
7
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 87
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )4n2)(2n2(7
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 87
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 166
166
14. จงพจารณาวาอนกรม
1n )4n3)(1n3(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
1n )4n3)(1n3(6
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )4n3)(1n3(6
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )4n3)(1n3(6
อนกรม
...)4n3)(1n3(
6...
13106
1076
746
)4n3)(1n3(6
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ
...aak
...aak
aak
aak
1nn433221
)
a1
a1
)(aa
1(kS
1n112n
แทนคา
)4n3
141
)(47
1(6Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )4n3)(1n3(6
Page 167
167
)
4n31
41
)(47
1(6limSlim
nn
n
)041
)(2(
21
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim 2
1
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 21
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )4n3)(1n3(6
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 21
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 168
168
15. จงพจารณาวาอนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
อนกรม
...)5n)(4n)(3n(
3...
8763
7653
6543
)5n)(4n)(3n(3
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ 321 aaa
k 432 aaa
k
543 aaak
...aaa
k...
2n1nn
)
aa1
aa1
)(aa
1(kS
2n1n2113n
แทนคา
))5n)(4n(
154
1)(
461
(3Sn
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )5n)(4n)(3n(3
Page 169
169
)
)5n)(4n(1
541
)(46
1(3limSlim
nn
n
)0101
)(3( 203
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
203
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 203
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )5n)(4n)(3n(3
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 203
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 170
170
16. จงพจารณาวาอนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและ
ผลบวก (D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
อนกรม
...)3n2)(1n2)(1n2(
3...
10753
7533
5313
)3n2)(1n2)(1n2(3
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ 321 aaa
k 432 aaa
k
543 aaak
...aaa
k...
2n1nn
)
aa1
aa1
)(aa
1(kS
2n1n2113n
แทนคา
))3n2)(1n2(
131
1)(
151
(3Sn
Page 171
171
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
)
)3n2)(1n2(1
311
)(15
1(3limSlim
nn
n
)031
)(43
(
41
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
41
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 41
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )3n2)(1n2)(1n2(3
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 41
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 172
172
17. จงพจารณาวาอนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
อนกรม
...)8n3)(5n3)(2n3(
5...
1714115
141185
11855
)8n3)(5n3)(2n3(5
1n
เปนอนกรมทเกดจากล าดบทมพจนทวไปสามารถจดอยในรปผลตางของเศษสวนยอยได
(อนกรม Telescopic)รปแบบ 321 aaa
k 432 aaa
k
543 aaak
...aaa
k...
2n1nn
)
aa1
aa1
)(aa
1(kS
2n1n2113n
แทนคา
))8n3)(5n3(
185
1)(
5111
(5Sn
Page 173
173
หาลมตผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ของอนกรม
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
)
)8n3)(5n3(1
851
)(511
1(5limSlim
nn
n
)0401
)(65
(
481
ผลบวกของอนกรมอนนต(S)
n
nSlim
481
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 481
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต
1n )8n3)(5n3)(2n3(5
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ
481
สรปขนตอนดงน
หาผลบวกยอย n พจนแรก( nS )ของอนกรม หาลมตของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) พจารณาอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวกของอนกรม โดยพจารณาลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) ถา SSlim n
n
เมอ S เปนจ านวนจรงแลวจะกลาวไดวาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกอนกรมอนนต (S)
ถา ลมตของล าดบของผลบวกยอย n พจนแรก( nS ) หาคาไมได จะกลาววาอนกรม
...a...aaa n321 เปนอนกรมลออกและไมสามารถหาผลบวกได
Page 174
174
18. จงพจารณาวาอนกรม ...39
37
35
33
432
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...39
37
35
33
432
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...39
37
35
33
432 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ของอนกรม
...39
37
35
33
432
อนกรม ...39
37
35
33
432
เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ nnn31
ba ม n31
เปนล าดบเรขาคณต ม 31
r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S)ไดดงน
ให ...39
37
35
33
432 ...............(1)
;31
)1(r)1(
...
39
37
35
33
3S
5432 …………(2)
;)2()1(
...
32
...32
32
32
1S32
n432
...n3
2...43
233
223
2 เปน
อนกรมเรขาคณตม 21 32
a และ 31
r
Page 175
175
31
1
92
1S32
)
23
92
(1
34
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 34
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...39
37
35
33
432 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 34
สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน
อนกรมเรขากใชสตร r1
aS 1
ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า
อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
Page 176
176
19. จงพจารณาวาอนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...54535251 432 (W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต(S) ของอนกรม
...54535251 432 อนกรม ...54535251 432 เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ nnn 5ba ม n5 เปนล าดบเรขาคณต ม 5r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ไดดงน ให ...54535251S 432 ...............(1)
;5)1(r)1(
...54535251S5 5432 …………(2)
;)2()1(
....5151515151S4 5432
515
S4
)
41
(45
S
....5151515151 5432 เปนอนกรมเรขาคณตม 5a1 และ 5r ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
Page 177
177
165
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 165
(L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...54535251 432 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 165
สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน
อนกรมเรขากใชสตร r1
aS 1
ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า
อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
Page 178
178
20. จงพจารณาวาอนกรม ...3213
169
86
44
23
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและมผลบวกเปนเทาใด (K) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยบอกวา
มอนกรม ...3213
169
86
44
23
(W) จากโจทยท าใหเรารวาโจทยใหหา
อนกรม ...3213
169
86
44
23
เปนอนกรมลเขาหรออนกรมลออกและผลบวก
(D) จากโจทยท าใหเรารวาเราจะตองท าดงน
หาผลบวกของอนกรมอนนต(S) ของอนกรม
...3213
169
86
44
23
อนกรม ...3213
169
86
44
23
เปนอนกรมถกสรางจากการน าพจนทสมนยกนของล าดบเรขาคณตและล าดบอนๆมาคณกนเพอสรางพจนทวไปหรอ อนกรม 11ab + 22ab + 33ab + ... + nnab + ...
มพจนทวไปคอ nnn2
1ba ม n2
1เปนล าดบเรขาคณต ม
21
r
หาผลบวกของอนกรมอนนต (S) ไดดงน
ให ...3213
169
86
44
23
S ...............(1)
Page 179
179
;21
)1(r)1(
...
6413
329
166
84
43
S21
…………(2)
;)2()1(
...
645
324
163
82
41
23
S21
…………(3)
;21
)3(r)3(
...128
5654
323
162
81
43
S41
…………(4)
;)4()3(
...128
1651
321
161
81
42
23
S41
41
1
81
42
23
S41
41
1S41
4
45
S
5
ดงนน อนกรมอนนตน เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 5 (L) จากโจทยท าใหเราไดเรยนรวา
ค าตอบทไดคอ
อนกรมอนนต ...3213
169
86
44
23
เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบ 5
สรปขนตอนดงน
สมมตผลบวกอนกรมอนนต เปนตวแปรหนงตว( S ) เทากบอนกรมทโจทย ตองการหาโดยแจกแจงออกมา ใหเปนสมการท 1
S = 11ab + 22ab + 33ab + ... + ...ab nn ……….. (1) แลวท าการหาคา S โดยการสรางสมการท (2) ซงเกดจากสมการท (1) ดวยการคณ r แลวน าสมการทง 2 มาลบกน (1) - (2) โดยทางดานทแจกแจงอนกรม นนใหน าพจนทมสวนเทากนหรอมเทอมของอนกรมเรขาเหมอนกนมาลบกน ซงผลของ การลบจะไดอนกรมขนมาใหม ใหพจารณาวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม ถาเปน
...128
1651
321
161
81
เปนอนกรม
เรขาคณตม 81
a1 และ 41
r
ถา 1r แลว อนกรมนเปนอนกรมลเขา
และม r1
a1
เปนผลบวกของอนกรม
Page 180
180
อนกรมเรขากใชสตร r1
aS 1
ของอนกรมเรขา หา S แตถายงไมเปนอนกรมเรขา ใหท าซ า
อกครงโดยใช สมการทไดจากผลของการลบกน(1) - (2) เปนสมการแรกสรางสมการ อกสมการดวยการคณ r แลวน าสองสมการมาลบกน ท าเชนนไปเรอยๆ จนกวาจะได อนกรมเรขา
เฉลยแบบทดสอบ
ชดท 7 เรอง ผลบวกของอนกรมอนนต
(1) 3 (2) 1 (3) 4 (4) 3 (5) 2 (6) 1 (7) 3 (8) 1 (9) 2 (10) 3