Anal¨ u¨ utiline geomeetria 1. praktikum 11.09.2018 Tehted vektoritega Liitmine Def. Olgu antud kaks vektorit ~a, ~ b. Fikseerime punkti A P E ja moodustame kaks seotud vektorit AB, BC nii, et ´´Ñ AB “ ~a, ´´Ñ BC “ ~ b. Vektorit ´´Ñ AC nimetatakse vektorite ~a ja ~ b summaks. a b a + b A B C a a + b a - b b A B C Omadused ~a ` ~ b “ ~ b ` ~a p ~a ` ~ bq` ~ c “ ~a `p ~ b ` ~ cq ~a ` ~ 0 “ ~a ~a ` p´ ~aq“ ~ 0 Arvuga korrutamine Def. Vektori ~a ja reaalarvu k korrutiseks on vektor k~a, mis rahuldab kahte tingimust 1. |k~a|“|k|| ~a| 2. k~a ~a, kui k ą 0 k~a Ö ~a, kui k ă 0 a 2 a -a pklq ~a “ kpl~aq 1 ~a “ ~a kp ~a ` ~ bq“ k~a ` k ~ b pk ` lq ~a “ k~a ` l~a ¨ Ulesanded 1. On antud vektorid ~a ja ~ b. Konstrueerida vektorid ~ b ´ ~a ja ´ ~a ´ ~ b. 2. Olgu | ~a|“ 11, | ~ b|“ 23 ja | ~a ´ ~ b|“ 30. Leidke | ~a ` ~ b|. 3. Olgu ∠p ~a, ~ bq“ 60 ˝ , | ~a|“ 5 ja | ~ b|“ 8. Leidke | ~a ` ~ b| ning | ~a ´ ~ b|. 4. Kolm vektorit ´´Ñ AB “ ~ c, ´´Ñ BC “ ~a ja ´´Ñ CA “ ~ b on kolmnurga k¨ ulgedeks. Esitage vektorite ~a, ~ b,~ c abil kolmnurga mediaanidega ¨ uhtivad vektorid ´´Ñ AM, ´´Ñ BN, ´´Ñ CP . 5. Kolmnurga ABC raskuskeskmeks on punkt O. T˜oestage, et ´´Ñ OA ` ´´Ñ OB ` ´´Ñ OC “ ~ 0. 6. Punktid E ja F on nelinurga ABCD k¨ ulgede AB ja CD keskpunktid. T˜ oestage, et ´´Ñ EF “ 1 2 p ´´Ñ BC ` ´´Ñ ADq. 7. Punktist O l¨ ahtuvad kaks vektorit ´´Ñ OA “ ~a ja ´´Ñ OB “ ~ b. T˜ oestage, et vektor ´´Ñ OM “| ~ b| ~a `| ~a| ~ b poolitab nurga AOB. 8. Korrap¨arases kuusnurgas ABCDEF on ´´Ñ AB “ ~ p, ´´Ñ BC “ ~ q. Avaldage vektorid ´´Ñ AC, ´´Ñ AD, ´´Ñ AE vektorite ~ p ja ~ q kaudu. 9. R¨ o¨ opk¨ uliku ABCD k¨ ulgede BC ja CD keskpunktid on K ja L. Avaldage vektorid ´´Ñ BC ja ´´Ñ CD vektorite ~ k ja ~ l kaudu, kui ´´Ñ AK “ ~ k ning ´Ñ AL “ ~ l. Vastused 2. 20 3. | ~a` ~ b|“ ? 129, | ~a´ ~ b|“ 7 4. ´´Ñ AM “ ~ c` ~a 2 “ ~ c´ ~ b 2 “ ´p ~ b` ~a 2 q, ´´Ñ BN “ ~a` ~ b 2 “ ~a´~ c 2 “ ´p ~ c` ~ b 2 q, ´´Ñ CP “ ~ b ` ~ c 2 “ ~ b´~a 2 “ ´p ~a ` ~ c 2 q 8. ´´Ñ AC “ ~ p ` ~ q, ´´Ñ AD “ 2~ q, ´´Ñ AE “ 2~ q ´ ~ p 9. ´´Ñ BC “ 4 ~ l´2 ~ k 3 , ´´Ñ CD “ 2 ~ l´4 ~ k 3
12
Embed
a 2 a Tehted vektoritega...Kahe vektori summa (vahe) koordinaadid on nende vektorite koordinaatide summad (va-hed): ~a ~b px 1 x 2;y 1 y 2;z 1 z 2q. Arvuga korrutamine Vektori korrutamisel
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Analuutiline geomeetria 1. praktikum 11.09.2018
Tehted vektoritega
Liitmine
Def. Olgu antud kaks vektorit ~a,~b. Fikseerimepunkti A P E ja moodustame kaks seotud vektorit
2. Leidke vektoritele ~a “ p1,´3, 1q,~b “ p2, 1´ 3q ja ~c “ p1, 2, 1q ehitatud rooptahuka ruumala.
3. Tetraeedri tipud on Ap2, 3, 1q, Bp4, 1,´2q, Cp6, 3, 7q ja Dp´5,´4, 8q. Leidke tetraeedri ruumala ja
tipust D tommatud korgus.
4. Tetraeedri ruumala on V “ 5 ja kolm tippu asetsevad punktides Ap2, 1,´1q, Bp3, 0, 1q ja Cp2,´1, 3q.
Leidke neljanda tipu D koordinaadid, kui ta asetseb y-teljel.
5. Toestage, et neli punkti Ap1, 2,´1q, Bp0, 1, 5q, Cp´1, 2, 1q ja Dp2, 1, 3q asetsevad samal tasandil.
6. On antud vektorid ~a “ p11, 10, 2q ja ~b “ p4, 0, 3q. Leidke uhikvektor ~c, mis on risti vektoritega ~a ja~b ning on suunatud nii, et kolmik t~a,~b,~cu on parema kae kolmik.
7. Tetraeedri tipud on Ap2,´1, 1q, Bp5, 5, 4q, Cp3, 2,´1q ja Dp4, 1, 3q. Leidke tetraeedri ruumala.
8. Rooptahuka tipust Op1, 3, 2q valjuvate servade otspunktid on Ap2, 1, 3q, Bp´1, 2, 5q ja Cp0, 4, 6q.
35{6 7. p2, 2, 0q, 90° 8. x “ ´5` 11t, y “ 7´ 13t, z “ ´2` 3t, t P R
Analuutiline geomeetria 6. praktikum 16.10.2018
Tasandi vorrandid
Olgu ruumis E3 antud reeper alguspunktiga O. Olgu selles ruumis antud tasand π, mis onparalleelne kahe mittekollineaarse vektoriga ~r1, ~r2 (rihivektorid). Fikseerime tasandi π punkti
A kohavektoriga ~r0 “´ÑOA. Olgu X tasandi π suvaline punkt kohavektoriga ~r “
´ÑOX. Vorrandit
~r “ ~r0 ` u~r1 ` v~r2, u, v P R nimetatakse tasandi parameetriliseks vektorvorrandiks.
Olgu ~r0 “ px0, y0, z0q, ~r “ px, y, zq, ~r1 “ px1, y1, z1q ja ~r2 “ px2, y2, z2q. Vorrandeid$
&
%
x “ x0 ` x1u` x2vy “ y0 ` y1u` y2v, u, v P Rz “ z0 ` z1u` z2v
nimetatakse tasandi parameetrilisteks vorranditeks.
Vektorit ~n ‰ ~0, mis on risti tasandiga π, nimetatakse selle tasandi normaalvektoriks. Olgu~n “ pA,B,Cq ja D “ ´Ax0 ´ By0 ´ Cz0. Vorrandit Ax`By ` Cz `D “ 0 nimetatakse
tasandi uldvorrandiks.
Kui on antud kaks tasandit π1 ja π2 normaalvektoritega ~n1 ja ~n2, siis cos∠pπ1, π2q “|x ~n1, ~n2y|
| ~n1|| ~n2|.
Ulesanded
1. Leidke tasandi uldvorrand, kui tema parameetrilised vorrandid on
$
&
%
x “ 3` uy “ 1´ 2u` 4v, u, v P R.z “ 7` 3u` 7v
2. Koostage tasandi π uldvorrand, kui on teada, et π labib punkti Ap3,´4,´5q ning et sirges : x´4
6“
y`34“ z´9
´1asub tasandil π.
3. Leidke tasandi uldvorrand, kui tasand on paralleelne xz-tasandiga ja labib punkti Cp´7, 2,´4q.
4. Koostage tasandi uldvorrand, kui tasand labib kolme punkti Ap´3, 6,´7q, Bp´1, 7,´6q jaCp´7, 3,´8q.
5. Arvutage kahe tasandi vaheline nurk: a) π1 : ´2x` 4y ´ z ` 5 “ 0, π2 : 7x` 3y ´ 2z ` 1 “ 0;b) π1 : xz-tasand, π2 : 3y ´ 3z ` 5 “ 0.
6. Koostage sirgeid s : x´11“
y`1´2“ z´2
3ja t : x
1“
y´1´2“ z`3
3labiva tasandi uldvorrand.
7. Koostage vorrand tasandile, mis on paralleelne sirgega s :
$
&
%
x “ 1´ 3ty “ ´2` t, t P Rz “ 6` 2t
ja labib sirget
l : x´32“
y`50“ z`2
1{3.
8. Leidke tasandi uldvorrand, kui tasand on paralleelne y-teljega ja labib punkte Ap3, 4, 0q ningBp7, 5,´3q.
Fikseerime tasandil kaks erinevat punktiF1 ja F2 ning olgu 2c loigu F1F2 pikkus, stc “ 1
2|F1F2|. Fikseerime reaalarvu a ą c.
Tasandilist joont nimetatakse ellipsiks,kui selle joone iga punkt X rahuldab
tingimust |F1X| ` |F2X| “ 2a . Punkte
F1, F2 nimetatakse ellipsi fookusteksja pikkusi r1 “ |F1X|, r2 “ |F2X| ellipsipunkti X fokaalraadiusteks. Tasandiristreeperit rO; t~e1, ~e2us, kus O on loigu
F1F2 keskpunkt, ~e1 �´ ÑF1F2, |~e1| “ 1,
~e2 K ~e1, |~e2| “ 1 ja t~e1, ~e2u on parema kae baas, nimetatakse ellipsi kanooniliseks reeperiks.
Ellipsi vorrand kanoonilise reeperi korral onx2
a2`
y2
b2“ 1 , kus b2 “ a2 ´ c2.
Loike OA, OB, OC, OD ja nende pikkusi a ning b nimetatakse ellipsi pooltelgedeks.
Arvu ε “c
a, 0 ă ε ă 1 nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks.
Kui Xpx, yq on ellipsi suvaline punkt fokaalraadiustega r1, r2, siis r1 “ a` εx, r2 “ a´ εx .
Sirgeid x “ ˘a
εnimetatakse ellipsi juhtsirgeteks.
Ulesanded
1. Leidke ellipsi pooltelgede pikkused, fookuste koordinaadid ja ekstsentrilisus, kui ellips on antudvorrandiga a) 16x2 ` 25y2 “ 400, b) x2 ` 9y2 “ 36.
2. Koostage ellipsi kanooniline vorrand, kui ellipsi a) fookuste vaheline kaugus on 8 ja suur telgon 10, b) suurem pooltelg on 10 ja ekstsentrilisus on 0.8, c) fookuste vaheline kaugus on 4
?5
ja pooltelgede summa on 10, d) juhtsirgete vaheline kaugus on 13 ja vaike telg on 6.
3. Leidke ellipsilx2
45`
y2
20“ 1 punkt, mille fokaalraadiusvektorid on risti.
4. Ellips labib punkte Mp?3,´2q ja Np´2
?3, 1q. Koostage ellipsi kanooniline vorrand.
5. Ellipsi ekstsentrilisus on 0.5 ja parempoolne juhtsirge on antud vorrandiga x “ 16. Arvutageellipsi punkti M , mille abstsiss on ´4, kaugus parempoolsest fookusest.
6. Ellipsi juhtsirgete vaheline kaugus on 36 ningi tema mingi punkti fokaalraadiused on 9 ja 15.Leidke ellipsi kanooniline vorrand.
Vastused 1. a)a “ 5, b “ 4, F p˘3, 0q, ε “ 0.6, b)a “ 6, b “ 2, F p˘4?2, 0q, ε “ 2
?2
32. a)x
2
25`
y2
9“ 1,
b) x2
100`
y2
36“ 1, c)x
2
36`
y2
16“ 1, d)x
2
13`
y2
9“ 1, x2
11714
`y2
9“ 1 3. p˘3,˘4q, p˘3,¯4q 4. x2
15`
y2
5“ 1 5. 10
6. x2
144`
y2
80“ 1
Analuutiline geomeetria 9. praktikum 13.11.2018
Huperbool
y =b
ax y = − b
ax
x
y
O
A B
D
C
F1 F2
ba c
x = −aε
x =a
ε
~e1
~e2
Xr1
r2
Fikseerime tasandil kaks erinevat punktiF1 ja F2 ning olgu 2c loigu F1F2 pikkus,st c “ 1
2|F1F2|. Fikseerime reaalarvu
a ą 0 nii, et a ă c. Tasandilistjoont nimetatakse huperbooliks, kui sellejoone iga punkt X rahuldab tingimustˇ
2. Koostage huperbooli vorrand, kui huperbooli a) fookuste vaheline kaugus on 10 ja fokaaltippudevaheline kaugus on 8, b) fokaalpooltelg on 5 ning fokaaltipud poolitavad keskpunkti ja fookustevahelised loigud, c) ekstsentrilisus on
?2 ja huperboolil on punkt Hp´5, 3q, d) asumptootide
vaheline nurk on 60° ja c “ 2?3.
3. Toestage, et huperbooli punkti kauguste korrutis huperbooli asumptootideni on konstant.
4. Koostage huperbooli kanooniline vorrand, kui huperbool labib punkte Ap8,´6q ja Bp6,´3q.
5. Maarake punktiMpx, yq trajektoor, kui ta jaab oma liikumisel sirgele x “ 1 kaks korda lahemalekui punktile F p4, 0q.
6. Leidke huperboolilx2
16´
y2
9“ 1 punkt, mille fokaalraadiusvektorid on risti.
Vastused 1. p˘3, 0q, p0,˘2q, F p˘?13, 0q, ε “
?133, y “ ˘2
3x 2. a)x
2
16´
y2
9“ 1, b)x
2
25´
y2
75“ 1,
c)x2
16´
y2
16“ 1, d)x
2
9´
y2
3“ 1, x
2
3´
y2
9“ 1 3. a2b2
c24. x2
80{3´
y2
180{7“ 1 5. x2
4´
y2
12“ 1 6. p˘4
5
?34,˘9
5q, p¯4
5
?34,˘9
5q
Analuutiline geomeetria 10. praktikum 20.11.2018
Parabool. Polaarkoordinaadid
O
X(x, y)
d
F(p2 , 0
)
p2
p2
r
~e1
~e2
l : x = −p
2
x
yParaboolFikseerime tasandi sirge l ja punkti F R l.Parabool on tasandiline joon, mille iga punkt asub vordselkaugusel sirgest l ja punktist F .Olgu p punkti F kaugus sirgeni l. Punkt F on paraboolifookus, sirge l parabooli juhtsirge ja arv p parabooli fokaal-parameeter. Parabooli ekstsentrilisus on 1.
Parabooli kanooniline vorrand on y2 “ 2px .
Koonuseloike polaarvorrandValime polaarreeperi nii, et pooluseks on fookus: ellipsi korral vasakpoolne, huperbooli korralparempoolne; polaartelg on fokaaltelg ning polaartelg on suunatud fookusepoolse juhtsirgepoolt vastava fookuse poole.Olgu r, ϕ joone suvalise punkti polaarkoordinaadid, p joone fokaalparameeter (ellipsi jahuperbooli korral p “ b2
a) ning ε ekstsentrilisus.
Ellipsi, huperbooli ja parabooli polaarvorrand on r “p
1´ ε cosϕ.
Ulesanded
1. Leidke parabooli y2 “ 5x fookuse koordinaadid ja juhtsirge vorrand.
2. Koostage punkti Ap9, 6q labiva parabooli kanooniline vorrand.
3. Leidke paraboolil y2 “ 8x punktid, mille kaugus fookusest on 20.
4. Parabooli y2 “ 4.5x punkti Mpm,nq kaugus juhtsirgest on 9.125. Arvutage punkti M kaugusparabooli tipust.
5. Leidke parabooli fokaalparameeter, kui parabooli punkti A, mille x-koordinaat on 3, kaugusparabooli fookusest on 5.
6. Leidke ellipsix2
9`
y2
4“ 1 polaarvorrand.
7. Veenduge, et vorrand r “144
13´ 5 cosϕmaarab ellipsi ja leidke tema poolteljed ning fookuste
vaheline kaugus.
8. Koostage huperbooli kanooniline vorrand, kui tema polaarvorrand on r “9
4´ 5 cosϕ.
9. Koostage vorrandiga r “6
1´ cosϕmaaratud joone kanooniline vorrand.
10. Leidke koonuseloike polaarvorrand, kui ε “ 12ja juhtsirge vorrand on r cosϕ “ ´3.
Vastused 1. F`
54, 0
˘
, x “ ´542. y2 “ 4x 3. p18, 12q, p18,´12q 4. 10 5. 4 6. r “ 4
3´?5 cosϕ
7. a “ 13, b “ 12, |F1F2| “ 10 8. x2
16´
y2
9“ 1 9. y2 “ 12x 10. r “ 3
2´cosϕ
Analuutiline geomeetria 11. praktikum 27.11.2018
Ellipsi, huperbooli ja parabooli puutuja
Ellipsix2
a2`
y2
b2“ 1 puutuja vorrand ellipsi punktis P px0, y0q on
x0x
a2`
y0y
b2“ 1 .
Huperboolix2
a2´
y2
b2“ 1 puutuja vorrand huperbooli punktis P px0, y0q on
x0x
a2´
y0y
b2“ 1 .
Parabooli y2 “ 2px puutuja vorrand parabooli punktis P px0, y0q on y0y “ ppx` x0q .