Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrice A Za kvadratnu matricu A broj λ i vektor ~ x 6= ~ 0 koji su rjeˇ senja jednadˇ zbe A ~ x = λ ~ x zovemo svojstvena vrijednost matrice A i svojstveni vektor matrice A . Kaˇ zemo da je ~ x svojstveni vektor pridruˇ zen svojstvenoj vrijednosti λ . Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 1 / 23
56
Embed
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Svojstveni vektori i … · 2019-11-01 · Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor Skup svih svojstvenih
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrice A
Za kvadratnu matricu A broj λ i vektor ~x 6=~0 koji su rjesenja jednadzbe
A~x = λ~x
zovemo svojstvena vrijednost matrice A i svojstveni vektor matrice A .Kazemo da je~x svojstveni vektor pridruzen svojstvenoj vrijednosti λ .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 1 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor
Skup svih svojstvenih vrijednosti λ (za koje je A~x = λ~x za neki~x 6=~0)zove se spektar od A .
Potprostor svih svojstvenih vektora~x koji pripadaju svojstvenojvrijednosti λ (tj. za koje je A~x = λ~x) zove sesvojstveni potprostor od A koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 2 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Spektar i svojstveni prostor
Skup svih svojstvenih vrijednosti λ (za koje je A~x = λ~x za neki~x 6=~0)zove se spektar od A .
Potprostor svih svojstvenih vektora~x koji pripadaju svojstvenojvrijednosti λ (tj. za koje je A~x = λ~x) zove sesvojstveni potprostor od A koji pripada svojstvenoj vrijednosti λ .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 2 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak
Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je
A~x = λ~x ?
A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0
~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi
det(A−λI) = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak
Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je
A~x = λ~x ?
A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0
~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi
det(A−λI) = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak
Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je
A~x = λ~x ?
A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0
~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi
det(A−λI) = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak
Kako odrediti λ i ~x 6=~0 za koje je
A~x = λ~x ?
A~x = λ I ~x ⇒ ( A − λ I )~x = ~0
~x =~0 je trivijalno rjesenje, a ako ima i drugih znaci da~x =~0 nijejedinstveno. To znaci da matrica A−λI nije regularna, tj. vrijedi
det(A−λI) = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 3 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak
• det(A−λI) = 0 je uvjet iz kojeg nalazimo λ
• Za nadeni λ standardno (Gaussovim postupkom eliminacije) iz( A − λ I )~x = ~0 nalazimo~x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 4 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Postupak
• det(A−λI) = 0 je uvjet iz kojeg nalazimo λ
• Za nadeni λ standardno (Gaussovim postupkom eliminacije) iz( A − λ I )~x = ~0 nalazimo~x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 4 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Primjer 1. [−5 22 −2
][x1x2
]= λ
[x1x2
]
[−5 22 −2
]−λ
[1 00 1
]=
[−5−λ 2
2 −2−λ
]∣∣∣∣ −5−λ 2
2 −2−λ
∣∣∣∣= 10+7λ+λ2−4 = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 5 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Primjer 1. [−5 22 −2
][x1x2
]= λ
[x1x2
][−5 22 −2
]−λ
[1 00 1
]=
[−5−λ 2
2 −2−λ
]
∣∣∣∣ −5−λ 22 −2−λ
∣∣∣∣= 10+7λ+λ2−4 = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 5 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Primjer 1. [−5 22 −2
][x1x2
]= λ
[x1x2
][−5 22 −2
]−λ
[1 00 1
]=
[−5−λ 2
2 −2−λ
]∣∣∣∣ −5−λ 2
2 −2−λ
∣∣∣∣= 10+7λ+λ2−4 = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 5 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6
skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2
]SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[
−5 22 −2
][x1x2
]= (−1)
[x1x2
]su rjesenja sustava
−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6
skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2
]
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[−5 22 −2
][x1x2
]= (−1)
[x1x2
]su rjesenja sustava
−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6
skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2
]SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[
−5 22 −2
][x1x2
]= (−1)
[x1x2
]
su rjesenja sustava
−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
λ2 +7λ+6 = 0 ⇒ λ1,2 =−1,−6
skup {−1,−6} je SPEKTAR matrice[−5 22 −2
]SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 =−1[
−5 22 −2
][x1x2
]= (−1)
[x1x2
]su rjesenja sustava
−5x1 + 2x2 = −x12x1 − 2x2 = −x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 6 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0
x2 = 2x1
Svojstveni vektori za λ =−1
~x =
[x12x1
]= x1
[12
]Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika
~x =
[−2x2
x2
]= x2
[−21
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0
x2 = 2x1
Svojstveni vektori za λ =−1
~x =
[x12x1
]= x1
[12
]Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika
~x =
[−2x2
x2
]= x2
[−21
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0
x2 = 2x1
Svojstveni vektori za λ =−1
~x =
[x12x1
]= x1
[12
]
Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika
~x =
[−2x2
x2
]= x2
[−21
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
−4x1 + 2x2 = 02x1 − x2 = 0
x2 = 2x1
Svojstveni vektori za λ =−1
~x =
[x12x1
]= x1
[12
]Za λ =−6 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika
~x =
[−2x2
x2
]= x2
[−21
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 7 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Dakle, matrica A =
[−5 22 −2
]predstavlja geometrijsku
transformaciju ravnine koja tocke pravca kroz ishodiste s vektoromsmjera
• ~s =
[12
]preslikava u tocke tog istog pravca
• ~t =[−21
]preslikava u tocke tog istog pravca
Uocimo da su smjerovi medusobno okomiti. To je uvijek tako zasimetricne matrice.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 8 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Dakle, matrica A =
[−5 22 −2
]predstavlja geometrijsku
transformaciju ravnine koja tocke pravca kroz ishodiste s vektoromsmjera
• ~s =
[12
]preslikava u tocke tog istog pravca
• ~t =[−21
]preslikava u tocke tog istog pravca
Uocimo da su smjerovi medusobno okomiti. To je uvijek tako zasimetricne matrice.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 8 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 9 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Napomenimo jos da je
A =
[−5 22 −2
]zapis matrice A u pravokutnom koordinatnom sustavu odredenom
jedinicnim vektorima ~i =[
10
], ~j =
[01
].
U koordinatnom sustavu odredenom svojstvenim vektorima
~s =
[12
], ~t =
[−21
]ima zapis
A =
[−1 00 −6
].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 10 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 1.
Napomenimo jos da je
A =
[−5 22 −2
]zapis matrice A u pravokutnom koordinatnom sustavu odredenom
jedinicnim vektorima ~i =[
10
], ~j =
[01
].
U koordinatnom sustavu odredenom svojstvenim vektorima
~s =
[12
], ~t =
[−21
]ima zapis
A =
[−1 00 −6
].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 10 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
Primjer 2. [1 22 4
][x1x2
]= λ
[x1x2
]
[1 22 4
]−λ
[1 00 1
]=
[1−λ 2
2 4−λ
]
∣∣∣∣ 1−λ 22 4−λ
∣∣∣∣= λ2−5λ = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 11 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
Primjer 2. [1 22 4
][x1x2
]= λ
[x1x2
]
[1 22 4
]−λ
[1 00 1
]=
[1−λ 2
2 4−λ
]
∣∣∣∣ 1−λ 22 4−λ
∣∣∣∣= λ2−5λ = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 11 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
Primjer 2. [1 22 4
][x1x2
]= λ
[x1x2
]
[1 22 4
]−λ
[1 00 1
]=
[1−λ 2
2 4−λ
]
∣∣∣∣ 1−λ 22 4−λ
∣∣∣∣= λ2−5λ = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 11 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5
skup {0,5} je SPEKTAR matrice[
1 22 4
]
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4
][x1x2
]=
[00
]
su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5
skup {0,5} je SPEKTAR matrice[
1 22 4
]
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4
][x1x2
]=
[00
]
su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5
skup {0,5} je SPEKTAR matrice[
1 22 4
]
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4
][x1x2
]=
[00
]
su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
λ2−5λ = λ(λ−5) = 0 ⇒ λ1,2 = 0,5
skup {0,5} je SPEKTAR matrice[
1 22 4
]
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = 0[1 22 4
][x1x2
]=
[00
]
su rjesenja sustavax1 + 2x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 12 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
Ovaj sustav ima rjesenja
~x =
[−2x2
x2
]= x2
[−21
]
to su upravo svojstveni vektori za λ = 0 .Za λ = 5 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika
~x =
[x12x1
]= x1
[12
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 13 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
Ovaj sustav ima rjesenja
~x =
[−2x2
x2
]= x2
[−21
]to su upravo svojstveni vektori za λ = 0 .
Za λ = 5 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika
~x =
[x12x1
]= x1
[12
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 13 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
Ovaj sustav ima rjesenja
~x =
[−2x2
x2
]= x2
[−21
]to su upravo svojstveni vektori za λ = 0 .Za λ = 5 slicno nalazimo svojstvene vektore oblika
~x =
[x12x1
]= x1
[12
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 13 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 2.
U koordinatnom sustavu odredenom svojstvenim vektorima[−21
],[
12
], matrica
[1 22 4
]ima zapis A =
[0 00 5
].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 14 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.
Primjer 3.Za matricu [
0 00 4
]neposredno ocitamo svojstvene vrijednosti λ1 = 0 i λ2 = 4 .
SVOJSTVENI VEKTORI za λ1 = 0 zadovoljavaju jednadzbu[0 00 4
][x1x2
]=
[00
]
Iz ove jednadzbe slijedi da je x2 = 0 dok za x1 mozemo uzeti bilo kojibroj.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 15 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.
Primjer 3.Za matricu [
0 00 4
]neposredno ocitamo svojstvene vrijednosti λ1 = 0 i λ2 = 4 .
SVOJSTVENI VEKTORI za λ1 = 0 zadovoljavaju jednadzbu[0 00 4
][x1x2
]=
[00
]
Iz ove jednadzbe slijedi da je x2 = 0 dok za x1 mozemo uzeti bilo kojibroj.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 15 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.
Primjer 3.Za matricu [
0 00 4
]neposredno ocitamo svojstvene vrijednosti λ1 = 0 i λ2 = 4 .
SVOJSTVENI VEKTORI za λ1 = 0 zadovoljavaju jednadzbu[0 00 4
][x1x2
]=
[00
]
Iz ove jednadzbe slijedi da je x2 = 0 dok za x1 mozemo uzeti bilo kojibroj.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 15 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.
SVOJSTVENI VEKTORI za vrijednost λ1 = 0 su vektori oblika
~x =
[x10
]= x1
[10
]
Slicno, za vrijednost λ2 = 4 SVOJSTVENI VEKTORI su rjesenjajednadzbe
[0 00 4
][x1x2
]= 4
[x1x2
]Rjesenja su vektori oblika
~x =
[0x2
]= x2
[01
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 16 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.
SVOJSTVENI VEKTORI za vrijednost λ1 = 0 su vektori oblika
~x =
[x10
]= x1
[10
]Slicno, za vrijednost λ2 = 4 SVOJSTVENI VEKTORI su rjesenjajednadzbe
[0 00 4
][x1x2
]= 4
[x1x2
]
Rjesenja su vektori oblika
~x =
[0x2
]= x2
[01
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 16 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.
SVOJSTVENI VEKTORI za vrijednost λ1 = 0 su vektori oblika
~x =
[x10
]= x1
[10
]Slicno, za vrijednost λ2 = 4 SVOJSTVENI VEKTORI su rjesenjajednadzbe
[0 00 4
][x1x2
]= 4
[x1x2
]Rjesenja su vektori oblika
~x =
[0x2
]= x2
[01
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 16 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 3.
Matrica[
0 00 4
]predstavlja geometrijsku transformaciju koja je
kompozicija ortogonalne projekcije na y -os i rastezanja za faktor 4 .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 17 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
Primjer 4. 2 1 11 2 11 1 2
x1x2x3
= λ
x1x2x3
2 1 11 2 11 1 2
−λ
1 0 00 1 00 0 1
=
2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ
∣∣∣∣∣∣
2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ
∣∣∣∣∣∣= · · ·= (λ−1)2(4−λ) = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 18 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
Primjer 4. 2 1 11 2 11 1 2
x1x2x3
= λ
x1x2x3
2 1 1
1 2 11 1 2
−λ
1 0 00 1 00 0 1
=
2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ
∣∣∣∣∣∣2−λ 1 1
1 2−λ 11 1 2−λ
∣∣∣∣∣∣= · · ·= (λ−1)2(4−λ) = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 18 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
Primjer 4. 2 1 11 2 11 1 2
x1x2x3
= λ
x1x2x3
2 1 1
1 2 11 1 2
−λ
1 0 00 1 00 0 1
=
2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ
∣∣∣∣∣∣
2−λ 1 11 2−λ 11 1 2−λ
∣∣∣∣∣∣= · · ·= (λ−1)2(4−λ) = 0
ovo je uvjet za λ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 18 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4
skup {1,4} je SPEKTAR matrice
2 1 11 2 11 1 2
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 1
1 2 11 1 2
x1x2x3
=
x1x2x3
su rjesenja sustava
x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4
skup {1,4} je SPEKTAR matrice
2 1 11 2 11 1 2
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 11 2 11 1 2
x1x2x3
=
x1x2x3
su rjesenja sustava
x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4
skup {1,4} je SPEKTAR matrice
2 1 11 2 11 1 2
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 1
1 2 11 1 2
x1x2x3
=
x1x2x3
su rjesenja sustava
x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
(λ−1)2(4−λ) = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4
skup {1,4} je SPEKTAR matrice
2 1 11 2 11 1 2
SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ1 = λ2 = 1 2 1 1
1 2 11 1 2
x1x2x3
=
x1x2x3
su rjesenja sustava
x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 19 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
Ovaj sustav ima rjesenja
~x =
x1x2x3
=
−u−vuv
= u
−110
+v
−101
Svojstveni vektori
−110
,
−101
razapinju dvodimenzionalni
potprostor i svaki je svojstveni vektor koji pripada vrijednostiλ1 = λ2 = 1 linearna kombinacija ovih vektora. (Uocite da je 1 dvostrukikorijen jednadzbe za λ . )
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 31. listopada 2019. 20 / 23
Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti Primjer 4.
Slicno, SVOJSTVENI VEKTORI koji pripadaju vrijednosti λ3 = 4 surjesenja sustava