9 phuong trinh nghiem nguyen htq

PT nghiệm nguyên Thầy Hồng Trí Quang

1

Phương pháp chia hết

1. Phương pháp xét số dư

2. Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại

3. Phương trình tích (pt ước số)

4. Phương pháp lùi vô hạn

5. Phương pháp sử dụng tính chia hết

6. Kĩ thuật sử dụng ước chung lớn nhất

7. Tính chất số nguyên tố, số mũ

8. Tính chất số chính phương,

Phương pháp đánh giá

1. Phân tích thành các tổng bình phương, tổng lập phương

2. Nguyên lí kẹp

3. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn

Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai

1. Sử dụng tam thức bậc hai để phân tích thành nhân tử

2. Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai

3. Sử dụng điều kiện 𝛥 là số chính phương

Một số dạng khác

1. Dạng căn thức

2. Dạng phần nguyên

3. Sử dụng nhị thức Newton

4. Định lí Fermat

5.

I. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHIA HẾT

1. Phương pháp xét số dư

PP này thường để chứng minh pt vô nghiệm, ví dụ một vế lẻ, vế chẵn thì không thể bằng nhau, đó

là chia hết cho 2. Mở rộng ra với các số khác.

Bổ đề 1. Xét số chính phương 2a khi chia cho một số

+) 2 0;1(mod3)a

+) 2a chia 4 dư 0, 1

+) 2a chia 5 dư 0, 1, 4; +) 4a chia 5 dư 0, 1. +) 3a chia 5 dư?


2

+) 2a chia 8 dư 0, 1, 4. +) 4a chia 8 dư 0, 1.

+) 2a chia 9 dư 0, 1, 4, 7. +) 3 0; 1(mod9)a

Bổ đề 2. Nếu a, b nguyên và 2 2a b chia hết cho 3 thì a và b đều chia hết cho 3

Bổ đề 3. Nếu 1(modb)a 1(modb)na

Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 = 2𝑦2 − 8𝑦 + 3

Bài 2. Phương trình 2 2 2 1) 1( ( )z x y n có nghiệm nguyên không nếu?

a) n = 2013 b) n = 2012 c) n = 1984

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2 15 7 9yx .

HD từ pt y chia hết cho 3, thay vào x chia hết cho 3, suy ra scp chia 3 dư 2 (vô lí)

Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên 15 15 15 2003 2003 2003 19 7 9x y z .

Bài 5. Giải mỗi phương trình sau với nghiệm tự nhiên:

a) 33 7x y ; b) 2 2 2x y x y ;

c) (2 1)(2 2) 3 307x x y d) 4 yx x

Chia hết với bài toán tìm số

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: |x| 22 5 1 2014 105x y y x x

Lời giải

Vì |x| 22 5 1 2014 105x y y x x và 105 lẻ nên 2x + 5y +1 lẻ suy ra 5y chẵn dẫn đến y

chẵn.

Vì |x| 22014 y x x lẻ, y chẵn và x2 + x = x(x+1) chẵn nên 2014|x| lẻ

Nhưng như vậy chỉ có thể |x| = 0 ⟺ x = 0.

Thay x = 0 vào phương trình ta được:

(5y +1) (y+1) = 105 ⟺ 5y2 + 6y -104 =0 ⟺

4

26

5

y

y Z

Vậy chỉ có nghiệm x = 0, y = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.


3

Tự luyện

Bài 7. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥 = 24(5𝑦 + 1)

Bài 8. Giải phương trình nghiệm nguyên

𝑎) 7𝑥2 − 5𝑦2 = 3; 𝑏) 2𝑥2 + 𝑦2 = 1007

Bài 9. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 4 7 2014yx


a) 9𝑥3 + 6 = 𝑦3; b) 3 3 3 2003x y z

Bài 11. Chuyên KHTN 2011 V1. Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thoả

mãn đẳng thức 4 4 4 7 5x y z

Bài 12. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Bài 13. Tìm nghiệm tự nhiên của pt 2 1 2 2 2 3 2 4 5 11879x x x x y

Bài 14. Giải mỗi phương trình sau với nghiệm tự nhiên:

a) 25 48x y ; b) 23 8x y ; c) 22 1x y

d) 24 5x y ; e) 22 45x y

Bài 15. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2015

Bài 16. Chuyên KHTN V1 2013. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 25 8 20412x y

Đs x = 54; y = 27; (-54; -27), (54; -27), (-54; 27)

Bài 17. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 + 𝑡4 = 2015

Bài 18. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9𝑥 + 2 = 𝑦2 + 𝑦

Bài 19. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 22 3x y

Bài 20. Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng 𝑓(1). 𝑓(2) = 35. Chứng minh rằng đa

thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Bài 21. Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 4 4 3996x y x y

Bài 22. Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c biết rằng 2 2 2a b c cũng là một số nguyên tố

2. Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại

Lý thuyết. Nếu a, b nguyên và a

Zb thì |b a

21! 2! 3! 4!.... ! .x y


4

Bài 23.

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 3v u u v

b) Chuyên KHTN V1 2014. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2( ) 3x y x y x y xy

Bài 24. Giải phương trình nghiệm nguyên 8𝑦2 − 25 = 3𝑥𝑦 + 5𝑥

Bài 25. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho 3 2 3 2 5 0x x y x y

Tự luyện


𝑎)𝑥𝑦 − 2𝑦 − 3 = 3𝑥 − 𝑥2; 𝑏) 4𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 4𝑥 + 𝑦 + 3 = 0;

Bài 27. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 𝑥3 − 𝑥2𝑦 + 3𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0

3. Phương trình tích

Lý thuyết. Nếu a.b = c thì a|c

Một số dạng tích cơ bản

au bv ab uv a v u b

3 3 3 2 2 23 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ca

Bài 28. Ams 2014. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 22 3 4 0x y xy x x

Bài 29. Chuyên KHTN V2 2015. Tìm số tự nhiên n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương.

Bài 30. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

a) 38 37x y c) 2 2(2 )(2 2 ) 37x x xy y y , (2; 3)

b) 22 57x y


a) 3 3 3 3;x y xy b) 3 3 8x y xy

Bài 32. Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho

2

2

1

2

abc n

cba n

với n là số nguyên

lớn hơn 2

Bài 33. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, mỗi số có hai chữ số biết rằng nếu viết số lớn hơn trước số

nhỏ hơn thì ta được một số chính phương


5

Bài 34. Chuyên KHTN 2013

Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho (10 )abc d e chia hết cho 101?

Điều kiện 0a ; a; b; c; d; e là các chữ sô

Tự luyện

Bài 35.

a) 2 25 4 9 0x y xy (x + y)(5x – y) = 9; (1; 2), (-1; -2)

b) Chuyên KHTN 2012

Tìm tất cả các cặp số nguyên ;x y

thỏa mãn đẳng thức 1 5 2x y xy x y x y

Bài 36. Tìm số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương 𝑥2 + 7𝑥 = 𝑦2

HD (2𝑥 + 7)2 − (2𝑦)2 = 49

Bài 37. Ams 2008. Với mỗi số tự nhiên n đặt 𝑎𝑛 = 3𝑛2 + 6𝑛 + 13

1) Chứng minh rằng nếu hai số 𝑎𝑖, 𝑎𝑗 không chia hết cho 5 và có số dư khác nhau thì 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 chia

hết cho 5.

2) Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ sao cho 𝑎𝑛 là số chính phương.


a) 2 22 3 3 0x y xy x y b) (x + y)(x + 2y – 1) = -3; (-8;5), (-6;5), (6;-3), (4;-3)

b) 2 1 7 8x x x x y

Bài 39. Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên

𝑥4 − 5𝑥2𝑦2 + 4𝑦4 = 3

Bài 40. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑦2

Bài 41. Tìm tất cả các cặp (x;n) nguyên dương thỏa mãn 3 3367 2nx

Bài 42. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 3𝑥𝑦𝑧 + 1


a) 3 3 3 1x y xy b) 3 3 21 6x y xy ;

Bài toán tìm số

Bài 44. Tìm các số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu cộng chữ số hàng trăm với n, trừ các chữ

số hàng chục và hàng đơn vị cho n thì được một số gấp n lần số ban đầu với n là số tự nhiên nhỏ

hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị. đs 178


6

Bài 45. Tìm hai số chính phương có bốn chữ số, biết rằng mỗi chữ số của số thứ nhất đều lớn hơn

chữ số cùng hàng của số thứ hai cùng bằng một số đs 3136, 2025 và 4489; 1156

Bài 46. Xác định tất cả các cặp số nguyên không âm (x;y) sao cho 2 2 2( 7)xy x y

Bài 47. Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là số nguyên và có diện tích bằng chu vi.

Bài 48. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2 2( 1) ( 1) 1x y y x

4. Phương pháp cực hạn (xuống thang)

Fermat đã dùng phương pháp xuống thang để chứng minh phương trình 4 4 4x y z . Xuất phát

từ ý tưởng này, ông đã chứng minh được rằng phương trình n n nx y z không tồn tại nghiệm

nguyên khác 0 với n > 2. Ông ghi chú rằng ông đã tìm ra cách chứng minh rất hay, nhưng vì lề

cuốn sổ nhỏ quá không đủ ghi. Tuy nhiên, tính từ lúc ông ghi câu đó thì gần 4 thập kỉ sau, năm

1993 Andrew Wiles mới chứng minh được sau 8 năm ròng nghiên cứu.

Bước 1. Chứng minh rằng trong tất cả các nghiệm, luôn tồn tại giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Gọi giá trị đó là M

Bước 2. Xét bài toán trong trường hợp riêng M này. Chỉ ra một giá trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) M.

Từ đó suy ra mâu thuẫn

Bài 49.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 27x y z

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2 2 2x y az , trong đó a là số tự nhiên dạng 4k –

1 với k là số tự nhiên.

c) Chứng minh rằng số 7 không viết được thành tổng bình phương của hai số hữu tỉ

Bài 50. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥2𝑦2 nghiệm (0; 0; 0).

Bài 51. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho với số p đó tồn tại các số nguyên dương n, x, y thỏa

mãn: pn = x3 + y3.

Tự luyện


a) 3 3 32 4x y z b) 3 3 33 9x y z


( , , ) (5,12,13);(6,8,10);x y z


7

a) 2 2 2 26( )x y z t b) 2 2 2 2x y z xyz

Bài 54. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình 2 2 2x y pz , với p là số nguyên tố.

Bài 55. Giải phương trình 2 2 2 2 2 2 2x y z t x y z

a) Nghiệm nguyên dương b) Nghiệm nguyên

5. Tính chất chia hết

5.1.Tính chất

Tính chất 1. Cho a, b, c nguyên

Nếu |ab c mà (a;c) = 1 thì |b c . Đặc biệt nếu |a c mà (a;c) = 1 thì 1a

Bài 56. Giải phương trình nghiệm x hữu tỉ, y nguyên 𝑥2 + 7𝑥 = 𝑦2

𝐻𝐷 𝑥 =𝑚

𝑛→ 𝑚2 + 7𝑚𝑛 = 𝑦2𝑛2 → 𝑚2 ⋮ 𝑛 → 𝑥 ∈ 𝑍

Tính chất 2.

Cho a, b, c nguyên Nếu |a bvà |b a thì a b

Bài 57. Chuyên KHTN 2015

Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy – 1 chia hết cho (x – 1)(y – 1)

Tự luyện

Bài 58.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 𝑥2 + 𝑥 + 6 = 𝑦2;

b) Tìm các số hữu tỉ x để x2 + x + 6 là số chính phương

6. Ước chung lớn nhất

Nếu |a bvà |b a thì a = b

Nếu ( ; )a b d mà . '; . 'a d a b d b thì ( '; ') 1a b

Bài 59. Tìm số nguyên x sao cho 3

4 6

x

x

là bình phương của một số hữu tỉ.

Bài 60. * Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương a, b sao cho a > b và

2 2 2 2a b a b


8

Bài 61. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)2 + 𝑥𝑦

Tự luyện

Bài 62. Tìm các số nguyên x sao cho 37

43

x

x

là bình phương của một số hữu tỉ.

Đs 38, 47, 55, 82, 101, 199, 398

Bài 63. Tính giá trị biểu thức 2 2x y

Mxy

biết x, y, M đều là các số nguyên dương

HD M = 2

7. Số nguyên tố

Cho p là số nguyên tố, a và b là hai số tự nhiên

Tính chất 1. Nếu ( ;p) 1a thì |p a

Tính chất 2. Nếu 2| ap thì 2 2| ap

Tính chất 3. Nếu p = a.b thì a = 1 hoặc a = p. Đặc biệt nếu 1a thì mà |a p thì p = a.

Tính chất 4. Nếu a.bnp thì 1 2;bn n

a p p

Tính chất 5. Một hợp số đều có ước nguyên tố

Bài 64. Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp

HD 23(12 7) (2 1)x n , VT chia hết cho 3 nên VP chia hết cho 9, suy ra VT chia hết 9 (vô lí)

Bài 65. Tìm các số tự nhiên n sao cho mỗi biểu thức sau là số nguyên tố

a) 4 2 1n n b) ( 1)( 2)

16

n n n

Bài 66.

a) Tìm số nguyên tố p để 22p p cũng là số nguyên tố

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q, r thỏa mãn pn + qn = r

Phân tích. Với dạng tìm số nguyên tố p, ta chủ yếu xét số dư để sử dụng tính chất 2.

Bài 67. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu 2n+1 và 3n +1 là các số chính phương

thì 5n +3 không phải là số nguyên tố.


9

Bài 68. *Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 2 32 1y x x x

Bài 69. Cho a, b, c là những số nguyên khác không, a ≠ c sao cho 2 2

2 2

a a b

c c b

. Chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 không phải là số nguyên tố.

Bài 70. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ( ; y;z)x sao cho 3 3 3 3x y z xyz p với p là một

số nguyên tố 3p

Tự luyện

Bài 71. Tìm các số tự nhiên n sao cho mỗi biểu thức sau là số nguyên tố

a) 3 2 2n n n ; b) 3 24 4 1n n n

c) 2 2( 8) 36n d) 5 1n n

Bài 72. Giải phương trình nghiệm nguyên 3𝑥5 − 𝑥3 + 6𝑥2 − 15 = 2013

Bài 73. Tìm các số tự nhiên n sao cho mỗi biểu thức sau là số nguyên tố:

a) 4 4n ; b) 4 4nn

Bài 74. Cho p, q là hai số nguyên tố sao cho p > q > 3 và p – q = 2. Chứng minh rằng: (p + q) ⋮ 12

Bài 75. Tìm các số nguyên tố p sao cho mỗi biểu thức sau là số nguyên tố:

a) 28 1p ; b) 3 2 11 2p p p ;

Bài 76. Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình:

a) 2 2 2x y z xyz ; b) 2 2 2 2x y z t xyzt ; c) 5( )x y z xyz

Bài 77. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên tố a, b, m, n, p thỏa mãn phương trình:

a) 2 2 2a m n ; b) 2 2 2 2 2a b m n p

Bài 78. Cho x, y, p là các số nguyên và p > 1 sao cho mỗi số x2014 và y2015 đều chia hết cho p. Tìm

x, y sao cho p chia hết A= 1 + x + y.

Bài 79. *Giải các phương trình nghiệm nguyên 3𝑥 + 4𝑦 = 5𝑧

8. Số chính phương

Tích hai số nguyên tố cùng nhau là số chính phương thì hai số đó là số chính phương.

Đặc biệt tích hai số tự nhiên liên tiếp thì phải có một số bằng 0

Bài 80. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 + 𝑦3 = 𝑦6


10

Bài 81. Tìm số tự nhiên n để 3 1n là số chính phương

Bài 82. Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả k Z sao cho 2k pk là một số nguyên dương.

Bài 83. Tìm số nguyên dương bé nhất 1n sao cho 2 2 21 2 ... n

n

là một số chính phương.

Tự luyện


a) 2 2 2 2x xy y x y b) 2 2 2 22 16x y xy x y

Bài 85. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 𝑥(1 + 𝑥 + 𝑥2) = 4𝑦(𝑦 + 1)

ÔN TẬP PHẦN 1

Bài 86. Tìm số nguyên x thỏa mãn:

a) 3x chia hết cho 2 1x ; b) 3 22 8 3x x x chia hết cho 2 1x

c) ( 2)( 3)x x chia hết cho 3x c) 4 6x chia hết cho 2 1x x

Đs a); 0; 1; -1; 2; -3; b) -8; 0; 2 c) 1; -2; -3; 6; d) 0; -1

Bài 87. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

2 2

! 1

! 1

2 2 4 2

ab b a

bc c b

a b a b

Bài 88. Tìm nghiệm nguyên của pt: (𝑦 − 2)𝑥2 + (𝑦2 − 6𝑦 + 8)𝑥 = 𝑦2 − 5𝑦 + 62

𝐻𝐷 (𝑦 − 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑦 − 3) = 0

Bài 89. Giải phương trình trên tập số tự nhiên (p là số nguyên tố) 1 1 1

x y p

Bài 90. Chứng minh rằng mọi phương trình bậc hai với các hệ số đều là số nguyên lẻ thì không thể

có nghiệm hữu tỉ.

DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

1. Phân tích thành các tổng không âm

Phương pháp A + B + C = 0

Nếu A, B, C đều không âm thì A = B = C = 0

Nếu A, B > 0 thì C < 0


11


a) 2 23 6 10 0x x y y ; b) 2 2 2 22 4 4 5 0x y x y zxy

Bài 92. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó bằng tổng bình phương của số tạo bởi hai chữ

số đầu và hai chữ số cuối, biết rằng hai chữ số cuối giống nhau.

Bài 93. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình:

3 3 3 2 24 2 3 0x y xy y x y

Tự luyện


a) 2 2 5 4 4 4 0x y xy y b) 2 2 21 3 1x y x y

Bài 95. Tìm nghiệm nguyên dương của pt: 3𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑧2 + 4𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 = 26 − 2𝑥𝑧

Bài 96. Tìm nghiệm nguyên không âm của pt: 𝑥2 + 𝑦3 − 3𝑦2 = 65 − 3𝑦

2. Nguyên lí Kẹp

Phương pháp

Nếu số chính phương (hoặc lập phương) bị kẹp giữa hai số chính phương (lập phương)

liên tiếp thì phải bằng một trong hai số đó. Ví dụ 2 2 2( 1) ( 1)a b a a b ( ; )a b N

Tương tự với biểu thức của tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Việc dự đoán biểu thức kẹp thường biến đổi biểu thức đã cho thành bình phương và dựa

vào biểu thức chính phương gần nhất.

Bài 97. Chuyên KHTN 2014 V2

Cho x, y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho: 2 24 7 7x y x y là số chính phương. Chứng minh

rằng x = y

Bài 98. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1 = 𝑦2

Bài 99. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥4 − 2𝑦2 = 1

Bài 100. Giải phương trình nghiệm nguyên 9𝑥2 − 6𝑥 = 𝑦3

Bài 101. Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2008 20081 x x x y


12

Tự luyện

Bài 102. Giải phương trình nghiệm nguyên: 𝑥2 + 𝑥 = 𝑦4 + 𝑦3 + 𝑦2 + 𝑦

Bài 103. Tìm nghiệm nguyên của pt: 𝑦3 = 𝑥6 + 2𝑥4 − 1000

Bài 104. Chứng minh rằng tất cả các phương trình: 6 4 2 3x ax bx c y với 3;4;5a ,

4;5;...;12b , 1;2;...;8c đều không có nghiệm nguyên

Bài 105. Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 4 4 2 2 2 22 3 4 1 0x y z x z x z

Bài 106. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

3 3 33 31 2 ... 7x x x x y

3. Sắp thứ tự các ẩn

Bài 107. Giải phương trình nghiệm nguyên dương

a) xyz x y z

b) 2 2x y z xyz

Bài 108. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện 3x x chia hết cho xy – 1

Bài 109. Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x + 1 chia hết cho y và y + 1 chia hết cho x

Mở rộng với bài 3 số Tìm các số nguyên dương x, y, z biết (𝑥𝑦 + 1) chia hết cho z, (𝑦𝑧 + 1) chia

hết cho x và (𝑥𝑧 + 1) chia hết cho y.

Bài 110. Tìm các cặp số nguyên dương ,x y thỏa mãn 2 3x y và 2 3y x đều là các số chính

phương.

Bài 111. Tìm tất cả các số nguyên dương phân biệt a, b, c thỏa mãn điều kiện abc-1 chia hết cho

(a-1) (b-1) (c-1).

các nghiệm của bài toán là: a=2, b=4,c=8; a=3,b=5, c=15

Bài 112. Chuyên SPHN 2011

Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng 𝑝 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 với a, b, c là các số nguyên dương sao

cho 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 chia hết cho p.

Đs a=b=c=1 p=3 thỏa mãn

Bài 113. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 2n a b với a, b là các số nguyên dương

nguyên tố cùng nhau và ab chia hết cho mọi số nguyên tố bé hơn hoặc bằng n


13

Các cặp (a; b) thỏa mãn đề bài là (4; 3); (3; 2); (2; 1).

Tự luyện


1

𝑥2(𝑥2 + 𝑦2)+

1

(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)+

1

𝑥2(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)= 1

Bài 115. Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c sao cho ab + bc + ca > abc.

Bài 116. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn:{2𝑥 = 2𝑦

2𝑦 = 2𝑥

Bài 117. Tìm các số nguyên dương ; ; ;wx y z phân biệt thỏa điều kiện:

2 2 2 2w 3( w)x y z x y z

Bài 118. Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương ; ;x y z thỏa mãn điều kiện:

1 1 11 1 1 2

x y z

Bài 119. Tìm tất cả các bộ ba ( ; ; )x y z nguyên dương sao cho: 2xy yz zx xyz

4. Bất đẳng thức số học

Cho a, b là hai số tự nhiên nếu |b a thì 0a

b a

Bài 120. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện

a) 2 1xy chia hết cho (x – 1)(y – 1)

b) 24 8 3x x chia hết cho 4xy – 1

Bài 121. Tìm các số nguyên dương x, y, z biết (𝑥𝑦 + 1) chia hết cho z, (𝑦𝑧 + 1) chia hết cho x và

(𝑥𝑧 + 1) chia hết cho y.

Bài 122. Tìm bộ số nguyên dương (m, n) sao cho p = m2+n2 là số nguyên tố và m3 + n3 – 4 chia

hết cho p

Tự luyện

Bài 123. Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn điều kiện 2( 2)x chia hết cho xy + 1;

Bài 124. Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 23 18 2 3 18 27x y z y z x .


14

Bài 125. Cho a, b Z và a ≠ b thỏa mãn: ab(a+b) chia hết cho a2 + ab + b2. Chứng minh rằng: |a –

b| > 3 ab

5. Đánh giá

Bài 126. Giải phương trình nghiệm nguyên dương (𝑥 + 𝑦)4 = 40𝑦 + 1

Bài 127. Giải phương trình nghiệm nguyên (𝑥2 − 𝑦2)2 = 10𝑦 + 9

Bài 128. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2

2 2 1 16x y y

Bài 129. Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm ;x y thỏa mãn 3 2 38 8 8x x x y

Sử dụng BĐT AM – GM

Bài 130. Giải phương trình nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2 2 3x y y z z x xyz

Bài 131. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3

6 3 2 2 2 2 215 3 5x z x z x y z y .

Cauchy

Bài 132. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2

2 2 4 4 24 28 17 4 49x y x y y

Tự luyện

Bài 133. Tìm các số nguyên thỏa mãn BĐT sau: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 < 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 2𝑧 − 3

Bài 134. Tìm tất cả các cặp số nguyên ;x y thỏa mãn phương trình: 3 3 2 8x y xy

Luyện tập phần 2

Bài 135. Giải phương trình nghiệm nguyên dương 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧 + 2 + 𝑧 = 0

Bài 136. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ...x x x y (1993 dấu căn).

Bài 137. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

𝑎) √𝑥 + √𝑦 − 1 + √𝑧 − 2 =1

2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧);

𝑏) 1

√𝑥 − 2+

1

√𝑦 − 1+

1225

√𝑧 − 771= 74 − √𝑥 − 2 − √𝑦 − 1 − √𝑧 − 771

Bài 138. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2012 2011 2

2011 4023 2012

x y

x y y x z


15

Phần 3. Tam thức bậc hai

1. Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm

Bài 139. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Giải:

Phương trình đã cho được viết lại là: .

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Do y nguyên nên .

+)Với y = 0 ta có x = 0.

+)Với y = 1 ta có x = 1.

+)Với y = 2 và y = 2 ta có không tìm được x nguyên.

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ); ( 1 ; 1 );

Bài 140. Cho phương trình 7𝑦2 − 6𝑥2 = 𝑥 − 𝑦 trong đó x, y nguyên dương và x > y.

a) Gọi d = UCLN (x; y). Chứng minh rằng: 𝑥 − 𝑦 = 𝑑2

b) Chứng minh rằng d nhỏ nhất thì x nhỏ nhất và y nhỏ nhất. Từ đó tìm nghiệm nguyên nhỏ

nhất của phương trình trên.

HD 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)(6𝑥 + 6𝑦 + 1)

𝑥 = 𝑑𝑚, 𝑦 = 𝑑𝑛 → 𝑥 − 𝑦 = 𝑑(𝑚 − 𝑛), đặt 𝑚 − 𝑛 = 𝑘 → (𝑛, 𝑘) = 1 chứng minh d = k.

𝑑𝑛2 = 𝑘(6𝑑𝑚 + 6𝑑𝑛 + 1)(∗) → 𝑑 ⋮ 𝑘

Mà 6𝑑𝑘𝑚 + 6𝑑2 + 𝑘 chia hết cho d, nên 𝑘 ⋮ 𝑑

b) Giải n theo d, từ (*) có: 𝑛2 = 6(𝑑𝑛 + 𝑑2) + 6𝑑𝑛 + 1 = 6𝑑2 + 12𝑑𝑛 + 1

Pt bậc 2 ẩn n: 𝑛2 − 12𝑑𝑛 − (6𝑑2 + 1) = 0 𝑛 = 6𝑑 + √42𝑑2 + 1 →

+) 𝑑 = 1 → 𝑛 = 6 + √43 (𝑙)

+) 𝑑 = 2 → 𝑛 = 25; 𝑥 = 54, 𝑦 = 50

2. Delta là số chính phương

Bài 141. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2( )x y y x x y

Lời giải

2 23( ) 8 .x xy y x y

2 23 (3 1) 3 8 0(1)x y x y y

2 2 2(3 1) 12(3 8 ) 0 27 90 1 0.y y y y y

0 3 0;1;2;3y y


16

Phương trình đã cho tương đương với

3 2 2 2 2 2 2 22 3 3 0 2 3 3 0y x y xy x y xy y y x x y x x

- Nếu 0y thì mọi x đều thỏa mãn

- Nếu 0y thì 2 2 22 3 3 0y x x y x x (*)

Xem (*) là một phương trình bậc 2 ẩn y

Ta có ∆ 2( 1) ( 8)x x x

Phương trình (*) có nghiệm nguyên ∆ là số chính phương

2( 8) , ( 4 )(x 4 k) 16x x k k x k (**)

Do 4 4x k x k (do k ); 4x k và 4x k là các số chẵn nên từ (**) ta suy ra các

hệ phương trình như sau:

4 2 4 4; ;

4 8 4 4

x k x k

x k x k

4 4 4 8; ;

4 4 4 2

x k x k

x k x k

Lần lượt giải các hệ phương trình này để thu được các nghiệm ;x k sau đó thay các x tìm được

vào (**) để tìm y

Tóm lại, phương trình đã cho có các nghiệm sau (9; 6),(9; 21),(8;10),( 1; 1),(k;0) với k là một

số nguyên tùy ý.

3. Viete

Bài 142. Cho x, y là các số nguyên sao cho 2 2 6x y

Axy

là một số nguyên. Chứng minh rằng A

là một lập phương đúng.

Lời giải

Giả sử , 0x y . Cố định A chọn cặp ,x y sao cho x y nhỏ nhất và x y . Coi

2 2 6 Ax 0x y y là phương trình bậc hai đối với x và gọi x’ là nghiệm còn lại. Ta có:


17

2' , ' 6x x Ay x x y nên 'x Z và ' 0x . Do cách chọn các cặp ,x y nên 'x x và 2 2 6x y

. Suy ra 2 2 0;1;2;3;4;5;6x y

Nếu x y thì do A là số nguyên nên 2 6x hay 1x . Khi đó 8A là lập phương đúng.

Nếu x y thì bằng cách giải trực tiếp phương trình nghiệm nguyên ta suy ra không tồn tại x, y

Tự luyện

Bài 143. Chuyên tin Ams 2014

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 25 2 2 2 4 0x y xy x y

1. Dạng căn thức

Bài 144. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2. Dạng phần nguyên

Bài 145. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương bất kỳ, ta có1 3 1

2 4 2n n

Bài 146. Cho p, q là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng:

2 ( 1) 2 ( 1)... ...

p p q p q q p q

q q q p p p

Bài 147. Giải phương trình 48 3x x

trên tập số tự nhiên.

Bài 148. Xác định tất cả các số thực a của phương trình: 2 3 5

a a aa

.

Bài 149. Giải bất phương trình: 1x x x

Bài 150. Giải phương trình: 2 2x x x .

Bài 151. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n chia hết cho n

.

Bài 152. Giải hệ phương trình

200

190,1

178,8

x y z

x y z

x y z

50.x y


18

3. Nhị thức Newton

Bài 153. Tìm hai số nguyên dương thỏa mãn phương trình: 20112011 2011 2013 .x y

Bài 154. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 23n n là số chính phương.

Bài 155. Cho p là một số nguyên tố và ,a n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu

2 3p p na thì 1n .

Bài 156. Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp không thể là lũy thừa của một số

nguyên.

Bài 157. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh không tồn tại ba số nguyên phân biệt

a, b, c sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a.

4. Định lí Fermat

Giả sử rằng gcd( , ) 1a p và cần chứng minh rằng 1 1(mod )pa p

Xét các số nguyên ,2 ,..., ( 1)a a p a mà các số dư khi chia cho p phân biệt (nếu không thì, với

(modep)ia ja thì ( )p i j a hay là ,p i j dấu “=” xảy ra chỉ nếu i j ).

Do đó .(2a)...(p 1)a 1.2.(p 1)(modp)a

Tức là 1( 1)! (p 1)!(modp)pa p

Vì gcd( ,( 1)!) 1p p nên ta suy ra điều phải chứng minh

Lưu ý: Định lý này có thể viết gọn dưới dạng: 1 1(mod )pa p

Bài 158. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 + 𝑦2 = 9900

Bài 159. Giải phương trình nghiệm nguyên 𝑥2 + 5 = 𝑦3

Bài 160.

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 7 chia hết cho 2 1n

b) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n số 2 1n không thể chia hết cho 7

Bài 161. Tìm các cặp số nguyên x,y sao cho 2 2101 14( ) 2018x xy y x y

Bài 162. a) Cho a là một số nguyên dương. Chứng minh rằng bất cứ thừa số nguyên tố nào lớn

hơn 2 của 2 1a đều có dạng 4 1m


19

b) Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố dạng 4 1m

5. Định lí Willson

“Với p là số nguyên tố thì ( 1)! 1(mod )p p ”

Chứng minh: Chi tập 1,2,..., 1X p thành 3 tập A,B,C rời nhau sao cho:

(mod ) ; ;A u u u p B v A v C

w w ;C A B

Khi đó

w w

( 1)! w w 1( 1) ( ) 1(mod )u A u Av B C v B C v B

p u v u v p vv p

Vậy ta hoàn tất chứng minh

Bài 163. Cho 5n là số tự nhiên. Chứng minh rằng ( 1)!n

n

chia hết cho 1n

Bài 164. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì ( 2)! 1p p nhưng nếu 5p thì

( 2)! 1p không phải là một lũy thừa của p

9 phuong trinh nghiem nguyen htq

Education