9 Alternatif Pembuktian Teorema Phytagoras

A

CB

8 cm

5 cm

?

∟

9 ALTERNATIF PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS

Oleh:

Johan Irawan

NIM. 137785098 Kelas D (KEMENAG)

Teorema Pythagoras termasuk teorema yang cukup

penting dan cukup dikenal dalam matematika karena

sering digunakan dalam bahasan matematika, terutama

yang berkaitan dengan geometri seperti dalam menentukan

jarak dua titik, jarak antara suatu titik terhadap

suatu garis, menentukan tinggi kerucut, menentukan

tinggi limas, atau dalam menentukan perbandingan

trigonometri suatu sudut juga sering memanfaatkan

teorema pythagoras. Tanpa teorema pythogras pasti akan

sangat kesulitan untuk memecahkan persoalan seperti

tersebut di atas. Namun sangat disayangkan bahwa

menurut pengalaman penulis banyak dijumpai siswa

tingkat SMA yang masih kurang memahami teorema

Pythagoras dengan baik, sebagai contoh penulis pernah

menjumpai seorang siswa kelas 2 SMA yang menjawab

persoalan seperti berikut:

Pada ∆ ABC seperti disamping ditanyakan

panjang AB.

Jawaban siswa

AB2 = AC2 + BC2 AB2 = 89

AB2 = 82 + 52 AB = √89

AB2 = 64 + 25 AB = 9,4

Jawaban tersebut menunjukkan bahwa siswa kurang

memahami teorema pythagoras dengan baik, siswa tersebut

tidak bisa menbedakan antara sisi miring dan sisi

selain sisi miring. Bahkan penulis juga menjumpai siswa

SMK yang tidak paham sama sekali dengan teorema

pythagoras, siswa tersebut sudah lupa dengan torema

pythagoras dan sekaligus tidak bisa menjawab sama

sekali persoalan seperti di atas. Begitu juga ketika

siswa ditanya tentang pengertian sisi miring

(hipotenusa) hampir seluruh siswa menjawab dengan

enteng bahwa sisi miring adalah sisi yang letaknya

miring, namun siswa menjadi bingung ketika penulis

menggambarkan sebuah segitiga siku-siku dengan sisi

miring pada posisi mendatar.

Hal diatas menunjukkan bahwa ada suatu masalah

dalam pengajaran teorema pythagoras. Penulis menduga

bahwa pengajaran teorema pythagoras pada umumnya hanya

sekedar transfer pengetahuan dari guru ke siswa dan

tanpa kegiatan yang melibatkan siswa untuk

mengkonstruksi teorema tersebut, sehingga pengajaran

teorema pythagoras menjadi kurang bermakna dan kurang

berkesan bagi siswa yang mengakibatkan teorema

pythagoras menjadi mudah dilupakan oleh siswa. Dalam

pandangan konstruktivisme suatu pengetahuan dapat

bertahan lama dalam memori siswa jika pengetahuan

tersebut bermakna bagi siswa dan siswa terlibat secara

C

A

B∟ C

A

B┘

Sisi Miring

C

A

B

C

AB

Sisi Miring C

A B

Sisi Miring

aktif dengan berbagai cara untuk membangun sendiri

pengetahuan tersebut dan mencari sendiri makna dari

sesuatu yang dipelajari.

Oleh karena itu, penulis menawarkan solusi untuk

mengatasi masalah di atas dengan mendesain pembelajaran

teorema pythagoras yang dapat melibatkan siswa secara

aktif untuk mengkonstruksi teorema pythagoras tersebut.

Pembelajaran ini dikhususkan bagi siswa kelas VIII

tingkat SMP karena teorema pythagoras memang merupakan

salah satu kompetensi dasar yang diajarkan pada siswa

kelas VIII tingkat Sekolah Menengah Pertama. Desain

pembelajaran yang dimaksudkan adalah siswa membuat alat

peraga dari kertas berupa bangun-bangun geometri sesuai

prosedur untuk mengkonstruksi teorema pythagoras. Namun

pada tahap pertama, guru harus menekankan pengertian

sisi miring segitiga siku-siku sebagai sisi yang selalu

berada di depan sudut siku-siku dengan jalan

mengambarkan berbagai posisi segitiga siku-siku

misalnya seperti berikut:

Selanjutnya, siswa diarahkan untuk mengkonstruksi

teorema pythagoras dengan jalan membuat bangun-bangun

datar seperti 9 alternatif yang akan penulis sajikan

berikutnya, dan pada bagian akhir siswa diminta untuk

menyimpulkan teorema pythagoras baik dengan kalimat

maupun dengan persamaan matematis yaitu: pada segitiga

siku-siku dengan panjang sisi a cm, b cm, dan c cm (c

sebagai sisi miring) berlaku

c2 = a2 + b2 untuk persamaan matematis,

atau dengan kalimat

“Kuadrat sisi miring (hipotenusa) suatu segitiga

siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi

yang lainnya”.

Berikut 9 alternatif untuk mengkonstruksi sekaligus

membuktikan teorema pythagoras dengan menggunakan

bentuk-bentuk bangun datar, yaitu:

1. Alternatif 1

Siswa diminta membuat 4 buah segitiga siku-siku

yang identik seperti

berikut:

Kemudian setiap sisi segitiga siku-siku tersebut

dimisalkan memiliki panjang c cm untuk sisi miring, b

cm untuk sisi yang panjang pembentuk sudut siku-

sikunya, dan a cm untuk sisi yang pendek pembentuk

sudut siku-sikunya. Setelah itu

siswa diminta membentuk

sebuah persegi dari keempat

segitiga yang telah dibuat seperti

gambar berikut:

Dari gambar terlihat bahwa persegi yang terbentuk

memiliki panjang sisi (a+b) cm dan memiliki lubang

berbentuk persegi dengan panjang sisi c cm.

Dengan demikian siswa dapat memperlihatkan bahwa:

Luas persegi = Luas 4 segitiga siku-siku identik + Luas

persegi lubang

(a+b)2 = 4 (12 ab) + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 jika kedua ruas dikurangi 2ab

diperoleh:

a2 + b2 = c2

Jadi dapat disimpulkan bahwa “pada segitiga siku-siku

berlaku sisi miring kuadrat sama dengan jumlah kuadrat

dari sisi-sisi yang lainnya”.

2. Alternatif 2


identik seperti pada alternatif 1 dan setiap sisi

segitiga siku-siku tersebut dimisalkan memiliki panjang

c cm untuk sisi miring, b cm untuk sisi yang panjang

pembentuk sudut siku-sikunya, dan a cm untuk sisi yang

pendek pembentuk sudut siku-sikunya.

Selanjutnya, siswa diminta untuk menyusun 4 buah

sigitiga siku-siku identik yang

telah dibuat menjadi sebuah

persegi seperti gambar

disamping.

Berdasarkan pesergi

tersebut siswa dapat

memperlihatkan bahwa persegi

yang dibuat memiliki panjang sisi c cm dan memiliki

c

c

a

a

b

b

lubang berbentuk persegi pula dengan panjang sisi (b–a)

cm. Dengan menghitung luas persegi yang terbentuk siswa

dapat memperoleh:

Luas persegi = Luas 4 segitiga siku-siku identik + Luas

persegi lubang

c2 = 4 (12 ab) + (b–a)2

c2 = 2ab + b2 – 2ab + a2

c2 = b2 + a2

jadi dapat disimpulkan bahwa “pada segitiga siku-siku



3. Alternatif 3


yang identik dengan panjang sisi a cm, b cm, dan c cm

(c sebagai sisi miring), dan membuat sebuah segitiga

siku-siku sama kaki dengan panjang sisi-sisi siku-siku

c cm. Kemudian ketiga segitiga disusun seperti gambar

berikut:

+ →

Dari gambar tampak bahwa susunan ketiga segitiga

membentuk bangun trapesium dengan jumlah sisi sejajar

(a+b) cm dan tinggi juga (a+b) cm, sehingga siswa dapat

memperoleh luas trapesium yang terbentuk sebagai:

12

(a+b ). (a+b)=12a2+12.2ab+

12b2=12a2+ab+

12b2

Sedangkan jumlah luas ketiga segitiga penyusunnya

adalah:

12c2+2.1

2.ab=1

2c2+ab

Dengan demikian siswa dapat memperoleh persamaan:

12a2+ab+

12b2=12c2+ab jika kedua ruas dikurangi ab

diperoleh

12a

2+12 b

2=12 c

2 jika kedua ruas dikalikan 2

diperoleh

a2+b2=c2




4. Alternatif 4

bc

c

c

c

bb

aa

a


yang identik dengan panjang sisi a cm, b cm, dan c cm

(c sebagai sisi miring), dan membuat 2 buah segitiga

siku-siku sama kaki dengan panjang sisi-sisi siku-siku

c cm. Kemudian semua segitiga disusun seperti gambar

berikut:

Dari gambar tampak bahwa susunan segitiga membentuk

bangun trapesium dengan jumlah sisi sejajar (2a+2b) cm

dan tingi (a+b) cm, sehingga siswa dapat memperoleh luas

trapesium yang terbentuk sebagai:

12

(2a+2b ). (a+b )=12.2(a+b ). (a+b)=(a+b)2=a

2+2ab+b

2

Sedangkan jumlah luas semua segitiga penyusunnya

adalah:

2. 12c2+4. 1

2.ab=c

2+2ab

→

D

E C

BA

c cm

c cm

b cm

(b –a) cm

a cm

c cm

a cm

b cm

b cm

ED C

BA

Dengan demikian siswa dapat memperoleh persamaan:

a2+2ab+b2=c2+2ab jika kedua ruas dikurangi

2ab diperoleh

a2+b2=c2




5. Alternatif 5

Siswa diminta membuat sebuah persegi dengan panjang

sisi tertentu dan dimisalkan panjangnya adalah b cm,

sehingga memiliki luas b2 cm2. Kemudian dari persegi

yang dibuat dipotong sebuah segitiga

siku-siku dengan tinggi b cm dan alas a

cm serta sisi miring dinamakan c cm

pada sisi kiri persegi yang dibuat

seperti gambar berikut:

Misalkan persegi awal dinamakan

persegi ABCD dan potongan segitiga menjadi ∆ ADE,

selanjutnya siswa diminta menempelkan potongan ∆ ADE

menurut sisi AB pada persegi maka akan didapat bangun

seperti gambar diatas. Setelah itu, siswa diminta

b cm

memotong kembali bangun yang didapat menjadi 2 segitiga

siku-siku yaitu ∆ DAE dan ∆ DCE.

∆ DAE siku-siku di A dan memiliki luas =

12.DA .AE=

12.c.c=

12c2

Sedangkan ∆ DCE siku-siku di C dan memiliki luas =

12.EC.DC

= 12. (b−a).(b+a)

= 12b2−

12a2

Jumlah luas dari ∆ DAE dan ∆ DCE = 12c2+

12b2−1

2a2

Karena luas persegi awal dengan jumlah luas dari ∆ DAE

dan ∆ DCE adalah sama, maka siswa dapat memperoleh

persamaan:

b2=12c2+

12b2−1

2a2

b2−12b2=

12c2−

12a2

12b2=

12c2−

12a2

jika kedua ruas dikalikan 2

diperoleh

b2=c2−a2 kedua ruas ditambah dengan a2

diperoleh

b2+a2=c2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa “pada segitiga

siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan

jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lainnya”.

6. Alternatif 6

Siswa diminta membuat 2 buah persegi yang berbeda

ukurannya dan dimisalkan persegi besar memiliki

panjang b cm dan persegi kecil memiliki panjang a cm,

sehingga luas daerah kedua

persegi adalah a2+b2 cm2,

kemudian kedua persegi disusun

berdampingan seperti

gambar berikut:

Selanjutnya siswa diminta memotong 2 buah segitiga

siku-siku yang identik dengan panjang sisi siku-siku b

cm dan a cm serta panjang sisi miring disebut c cm dari

persegi yang telah disusun sebelumnya seperti berikut:

Setelah itu siswa diminta mengabungkan potongan 2

segitiga yang didapat pada bagian atas susunan persegi

asal sehingga didapat sebuah persegi baru dengan

panjang sisi c cm dan luas c2 cm2 seperti berikut:

Karena tidak ada bagian persegi

yang hilang, maka berarti luas

persegi baru sama dengan luas

gabungan dua persegi asal. Dengan

demikian didapatkan persamaan:

a2 + b2 = c2

sehingga dapat disimpulkan bahwa

“pada segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat

sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang

lainnya”.

7. Alternatif 7


identik dan setiap sisi segitiga siku-siku tersebut




sudut siku-sikunya. Kemudian, kedua segitiga

ditempelkan pada selembar kertas dengan posisi seperti

dibawah ini.

DA

CB

E

a cm

b cmb cm

a cm

Jika setiap ujung dari segitiga yang tidak saling

menempel dihubungkan dengan garis dan kemudian

dipotong, maka akan didapatkan sebuah bangun segi

empat yang mirip dengan layang-layang dengan panjang

diagonal masing-masing c cm, sehingga siswa dapat

menemukan luas bangun adalah 12c2.

Selanjutnya jika bangun yang terbentuk dipandang

sebagai gabungan 2 buah segitiga yang dinamakan ∆ ABD

dan ∆ BCD seperti gambar dibawah ini, maka luas bangun

dapat ditentukan dengan cara yang berbeda.

Siswa dapat menentukan luas ∆

ABD sebagai:

12.AB.DE=1

2.b.b=

12b2

Sedangkan luas ∆ BCD dapat ditentukan

sebagai: 12.BC.BE=

12.a.a=

12a2

(Karena tinggi ∆ BCD terhadap alas BC =

panjang BE)

Sehingga luas bangun secara keseluruhan adalah12a2+

12b2

Dengan demikian siswa memperoleh persamaan bahwa

12a2+1

2b2=1

2c2

jika kedua ruas dikalikan 2 maka diperoleh a2 + b2 = c2




8. Alternatif 8


identik dan setiap sisi segitiga siku-siku tersebut




sudut siku-sikunya seperti pada alternatif 7. Kemudian

kedua segitiga ditempelkan pada selembar kertas dengan

posisi seperti dibawah ini.

Jika kedua ujung yang tidak saling menempel dari

segitiga dihubungkan dengan sebuah garis maka akan

tampak sebuah bangun trapesium dengan tinggi b cm dan

jumlah panjang sisi sejajar (a+b) cm. Sehingga luas

trapesium bisa ditentukan sebagai: 12(a+b ).b=

12ab+

12b2

Selanjutnya tinggi trapesium dipandang sebagai

hasil penjumlahan dari a cm dan (b–a) cm dan siswa

diminta memotong bagian segitiga siku-siku yang

memiliki panjang sisi siku-siku a cm dan (b–a) cm pada

bagian bawah

sehingga didapatkan 2 bentuk bangun geometri baru,

yaitu segi empat mirip layang-layang dan segitiga

siku-siku seperti berikut:

Kemudian siswa diminta menjumlahkan luas kedua

bangun geometri ini, sehingga diperoleh:12c2+

12a. (b−a)=1

2c2+

12ab−1

2a2

Karena luas kedua bangun geometri ini sama dengan luas

trapesium, maka siswa dapat menuliskan: 12ab+

12b2=1

2c2+1

2ab−

12a2 jika kedua ruas dikalikan 2

maka didapatkan

ab + b2 = c2 + ab – a2 jika kedua ruas

dikurangi ab didapatkan

b2 = c2 – a2 dan jika kedua ruas

ditambah a2 diperoleh

a2 + b2 = c2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa “pada

segitiga siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama

dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lainnya”.

9. Alternatif 9

Siswa diminta mengambar sebuah ∆ ABC siku-siku di

titik C dan menambahkan garis tinggi melalui titik C

memotong garis AB di titik

D. misalkan panjang AB= c

cm, BC= a cm, dan AC= b cm,

Selanjutnya siswa diminta menunjukkkan

kesebangunan antara ∆ ADC dan ∆ ACB yaitu karena

∠ DAC=∠ BAC (sudut yang sama), ∠ ADC=∠ ACB (sudut

siku-siku), dan ∠ ACD=∠ ABC (sudut ke-3 suatu

segitiga), sehingga diperoleh perbandingan: ADAC

=ACAB atau AC2=AB x AD ……… (1)

Setelah itu, siswa diminta menunjukkan

kesebangunan antara ∆ BDC dan ∆ BCA yaitu karena

∠ CBD=∠ ABC (sudut yang sama), ∠ BDC=∠ BCA (sudut

siku-siku), dan ∠ BCD=∠ BAC (sudut ke-3 suatu

segitiga), sehingga diperoleh perbandingan:BDBC

=BCAB atau BC2=AB x BD ……… (2)

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh:

AC2 + BC2 = AB x AD + AB x BD

AC2 + BC2 = AB (AD + BD)

Karena AD + DB = AB, maka

AC2 + BC2 = AB. AB

AC2 + BC2 = AB2

b2 + a2 = c2

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa “pada segitiga

siku-siku berlaku sisi miring kuadrat sama dengan

jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lainnya”.

Daftar Pustaka

Bogomolny, A. 2013. Pythagorean Theorem and its many proofs :fromInteractive Mathematics Miscellany and Puzzles.ht t p: / /ww w . c u t - the - knot.org/ p y thag o r a s/ i nd e x.sh t m l ,diakses 10 Desember2013

Head, Angel. 2013. Pythagorean Theorem.ht t p: / / j wi l son. c o e .ug a . e d u/EMT668/ e m t 6 68.stud e nt.folde r s/H ea d Ang e la/ e s s a y 1/ P y thago r ea n.ht m l diakses 10Desember 2013

Tarsudin. Macam-macam Pembuktian Teorema Pythagoras.http://www.slideshare.net/joeirawanok/savedfiles?s_title=15-macam-pembuktian-teorema-pythagoras-27405761&user_login=TARSUDINN diakses 22 Desember 2013

Nusantara, Toto. 2005. Lembar Kerja Mandiri Matakuliah Matematika Praktis Universitas Negeri Malang. Tidak diterbitkan.

http://www.slideshare.net/joeirawanok/savedfiles?s_title=15-macam-pembuktian-teorema-pythagoras-27405761&user_login=TARSUDINN



9 Alternatif Pembuktian Teorema Phytagoras

Documents