Telescopio Hubble. Trayectoria prevista para atravesar los anillos de Saturno. Fuente: http://hubblesite.org En 1995 los astrónomos encargados del telescopio Hubble anunciaron el descubrimiento de al menos dos nuevas lunas orbitando el gigante Saturno, basado en las imágenes tomadas por este telescopio. Estos satélites tienen órbitas elípticas similares a Atlas y Prometeus (lunas descubiertas en 1980 por el Voyager). Tal y como se observa en el gráfico, la trayectoria del Hubble y los anillos de Saturno tienen su intersección en un punto. Esto puede expresarse analiticamente mediante un sistema ecuaciones.
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Telescopio Hubble. Trayectoria prevista paraatravesar los anillos de Saturno.Fuente: http://hubblesite.org
En 1995 los astrónomos encargados del telescopioHubble anunciaron el descubrimiento de al menos dosnuevas lunas orbitando el gigante Saturno, basado enlas imágenes tomadas por este telescopio. Estossatélites tienen órbitas elípticas similares a Atlas yPrometeus (lunas descubiertas en 1980 por el Voyager).Tal y como se observa en el gráfico, la trayectoria delHubble y los anillos de Saturno tienen su intersecciónen un punto. Esto puede expresarse analiticamentemediante un sistema ecuaciones.
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Ecuaciones lineales con dos incógnitasSi en una taza con capacidad de 250 cm3 queremos preparar café con leche,debemos agregar un volumen C de café y un volumen L de leche. De estamanera, tenemos que:
C + L = 250
Dependiendo del gusto de las personas se podrá agregar una cantidad mayorde café y una menor de leche o viceversa (en este caso 0 < C < 250 y 0 < L < 250).Observa que tanto C como L son variables y una ecuación como la consideradase denomina ecuación lineal con dos incógnitas.
De manera más general una ecuación lineal con dos incógnitas, con coeficientes reales, es una igualdadde la forma:
ax + by = c
en donde a, b y c son números reales, tanto en el ejemplo de la preparación del café con leche, dondehay infinitas formas de prepararlo, pues depende de las cantidades de café y leche que agreguen, sinsobrepasar la capacidad de la taza, como en el caso general, una ecuación lineal con dos incógnitas tieneinfinitas soluciones.
Representación gráfica
Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas,ax + by = c, es el conjunto de los puntos del plano cuyascoordenadas satisfacen la ecuación.La gráfica es unarecta.
Por ejemplo, la gráfica de la ecuación
3y - 2x = 4
es la ecuación de una recta que corta al eje x en el puntoA (-2, 0) y al eje y en el punto B (0, ). Estos puntos, ycualquier otro perteneciente a la recta, son soluciones dela ecuación dada.
43
-1-2 1 2
-1
1
-2
2
100
100
200 250
200
250
Café (cm3)
Leche (cm3)
La representación gráfica denuestra situación con el cafées la que está a la izquierda.x
0
A
B
Reto:¿Qué significa C=0y qué significa L=0?0
x
y
y
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Supongamos que dos nadadores están ubicados en los ladosopuestos a y b de una piscina cuya longitud es 50 m. Si salensimultáneamente uno hacia el otro, nadando con rapidez constantepor carriles paralelos, el primero a 6 m/s y el segundo a 5 m/s.¿A qué distancia se cruzan los nadadores?Observa que si ambos nadadores se cruzan al cabo de t segundos,a una distancia de x metros del lado a, mientras el primero harecorrido x metros el segundo ha recorrido 50 - x metros, y sepueden escribir las ecuaciones:
x = 6t50 - x = 5t
Se dice que dos ecuaciones como las anteriores constituyen unsistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitases un par de ecuaciones del tipo:
a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2
en donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2, son números reales. En cada unade las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitases diferente de 0.
50 m
La
do
a
La
do
b
x 50-x
Una solución común de estas ecuaciones, si existe, es un par de números reales (x0,y0) tal que:
a1x0 + b1y0 = c1
a2x0 + b2y0 = c2
Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas. Dadas dos rectas en el planohay las siguientes posibilidades:
Las dos rectas coinciden
El sistema tiene infinitas soluciones:todos los puntos de ambas rectas.
Se dice que el sistema es compatibleindeterminado.
Las dos rectas tienen un puntocomún
El sistema tiene solución única: elpunto (x0 ,y0). Se dice que el sistema
es compatible determinado.
Las dos rectas son paralelasno coincidentes
El sistema no tiene soluciones. Sedice que el sistema es incompatible.
¿Cómo se resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?
Gráficamente
Se representan las dos rectas en un mismo sistemade coordenadas y se determinan, con la mayor precisiónposible, las coordenadas del punto de corte. Para esto
se puede usar papel milimetrado o un software.
Analíticamente
Se usan métodos basados en manipulacionesalgebraicas: igualación, sustitución o reducción, que
permiten transformar las ecuaciones del sistema a unaecuación con una sóla incógnita.
Cada una de estasecuaciones correspondea la ecuación de unarecta en el plano.
x
y
O x
y
O x
y
O
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Matemática recreativa1. Problema hindúRegocíjanse los monosdivididos en dos bandos:su octava parte al cuadradoen el bosque se solaza.Con alegres gritos, doceatronando el campo están.¿Sabes cuántos monos hay en la manada total?
2. Uno es igual a ceroSi a = 1 entonces a = a2.
Si restamos 1 a los dos miembros, obtenemosa -1 = a2 - 1.
Si simplificamos por a - 1 obtenemos que1 = a + 1.
De donde a = 0es decir, 1 = 0 puesto que a = 1
¿Cuál es el error?
3. El cuadrado mágico Lo-ShuEn un cuadrado mágico, la suma que aparece en cada fila,columna o diagonal es una constante llamada la constantemágica.
1. Piensa en el número que tú quieras.2. El número que pensaste súmalo, réstalo o multiplícalocon cada uno de los números del cuadrado original,acomodando los resultados en los mismos lugares.El cuadrado que queda también es mágico.Transforma el cuadrado mágico "Lo-Shu" en los cuadradosmágicos que tú quieras.¿Cuál es la constante mágica en cada uno de los cuadradosnuevos?¿Funciona este método con fracciones o con decimales?
492
357
816
4. El apretón de manosLas personas que asistieron a unafiesta se estrecharon la mano. Unode ellos advirtió que los apretones
de manos fueron 66 ¿Cuántaspersonas concurrieron a la fiesta?
Benjamín Franklininvestigador estadounidense
(1706-1790).
El primer registro de un cuadrado mágico que aparece en la historia es en Chinaalrededor del año 2200 a.C. Se llama el "Lo-Shu" y cuenta una leyenda que elemperador Yu lo vio inscrito en el caparazón de una tortuga en las orillas del ríoAmarillo y que inmediatamente mandó a copiarlo en una tablilla de barro. Desdeentonces, se le atribuyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas ymágicas que servían en la astrología y en la predicción del futuro. Para los chinoslos números pares representan el "yin", el principio femenino del universo, y losnúmeros impares representan el "yang", el principio masculino. En el cuadradomágico "Lo-Shu" ambos principios se encuentran armoniosamente distribuidosy se complementan de manera natural.
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6. El cuadrado de Benjamín FranklinEste cuadrado ideado por Franklin tiene estas propiedades:- Cada fila y cada columna suma 260- La mitad de cada columna y de cada fila suma 130- Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números
del centro suman 260- La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de
2 x 2 es 130¿Podrías encontrar más propiedades de este cuadrado mágico?
5. ¡Inténtalo!Un liceista al estudiar ecuaciones de segundo grado, aprendióque si (x-a)(x-b) = 0, entonces las soluciones son x=a y x=b.Pero, encuentra que en la ecuación (3-x)(x+2)=4 tambiénresulta que si 3-x=4 entonces x=-1 y si x+2=4 entonces x=2y ambos resultados son soluciones de la ecuación dada.Busca una ecuación donde esto no se verifique, es decir uncontraejemplo.
EX
PL
OR
AT
OR
IA
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El estudio de algunos temas de álgebra, proporciona la oportunidadal docente de transmitirle a los alumnos la importancia que parala humanidad ha tenido la incorporación del lenguaje algebraico.
Por otra parte, es importante mostrar que el aprendizaje delálgebra favorece la vinculación de diferentes ramas de lamatemática y es una herramienta de comunicación y modelaciónpara otras disciplinas.
A continuación se dan sugerencias de algunas actividades aseguir para desarrollar el contenido de ecuaciones algebraicas.
Presentar a los alumnos el plan del desarrollo de estecontenido, en el que se contemplen:
El propósito que se persigue en términos de contenido ycompetencias a alcanzar por los alumnos.
En cuanto al contenido deben considerarse las fases:
• Exploratoria
• Desarrollo: Situaciones que conducen aecuaciones, resolución de problemas
• Cierre
Comprende la revisión de conceptos previos que losalumnos poseen del tema. Se presentan situaciones quepermitan establecer los conceptos de variable, constante,incógnita y ecuación como, por ejemplo: en una balanzase colocan diferentes cuerpos, conociéndose la masa detodos ellos menos la de uno. ¿Cómo expresar ésto conuna ecuación?
Evaluar a los alumnos proponiéndoles otras situacionesen las que reconozcan: variables, incógnitas e identifiquenecuaciones: (2x > 3 ; -2x + 3 = 7x -1; x = 8).
CO
NT
EN
IDO
EV
AL
UA
CIÓ
N
63Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 8
DE
SA
RR
OL
LO
Proponer a los alumnos que investiguen, por equipo, eldesarrollo histórico del lenguaje algebraico.
Este trabajo debe concluir con la elaboración, por parte delos alumnos, de una línea del tiempo.
Evalúe la participación y motivación.
Analizar con los alumnos diversas situaciones publicadas enla prensa de problemas vinculados con la realidad donde sepresenten gráficos, expresiones verbales o algebraicas.
Presentar una serie de expresiones algebraicas utilizadas enfísica, química, geometría con el fin de que identifiquen si sonpolinomios y analicen individualmente sus características(grado, coeficientes que acompañan las variables, términoindependiente) y elaborar las gráficas que sean posibles.
Explíqueles acerca de los métodos análiticos y gráficos parahallar las soluciones de ecuaciones, propóngales algunasecuaciones para resolver y proporcióneles algunos datos paratraducirlos en una expresión algebraica.
Esta actividad puede realizarse con una calculadora gráfica.
Evalúe, asignando a cada alumno una tabla que contengaexpresiones verbales para que traduzcan a expresionesalgebraicas y viceversa, funciones para que identifiquen sugráfica y ecuaciones para que den soluciones.
CIE
RR
E
Haga un balance acerca de:
• Conceptos adquiridos
• Competencias desarrolladas
• Aplicaciones en las que están presentes ecuaciones.
BIBLIOGRAFÍA Beyer, Walter (2003). Didáctica de la matemática. Escuela Venezolana para la Enseñanzade la Matemática. Mérida, Venezuela.
Devlin, Keith (2001). The language of mathematics. W.H. Freeman and Company. NewYork, Estados Unidos.
Legrand, Pierre y otros (1997). Les maths en college et en lycée. Editorial Hachette.Montmorillon, Francia.
Fórmulas para resolución de ecuaciones polinómicas. http://josechu.com/ecuaciones-polinomicas/index-es.htm
Tutorial de splines.http://www.geocities.com/txemijendrix/tutoriales/splinemacro/smspa2.html
Wikipedia. La enciclopedia libre. http://es.wikipedia.org/wiki/portada
Tengo que pensarlo
1. El número de oroEl número 1,6180339887... tiene su parte decimal iguala la de su inverso ¿Existirá algún otro número positivox que tenga esta propiedad?
3. El caballo y la mulaUn caballo y una mula caminaban juntos cargando sacos de arena.Sabiendo que si la mula tomara un saco del caballo su carga sería eldoble que la del caballo, y si la mula le diera un saco al caballo suscargas serían iguales ¿cuántos sacos llevaba cada uno?
2. El cuadrado mágicoEn un cuadrado mágico, la suma que
aparece en cada fila, columna o diagonales constante. En la figura se muestra un
cuadrado mágico incompleto. ¿Cuál es elnúmero que debe figurar en la casilla
marcada por x?
x
1
26
14
4. ¿Cuánto vivió Diofanto (s. II a.C.)?El epitafio en su tumba reza así:
“Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Oh gran maravilla! Y la tumba dicecon arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta partede su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba.Le encendió el fuego nupcial después del séptimo, y en el quinto año
después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡Ay! niño tardío ydesgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebatóla helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta
ciencia del cálculo, llegó al término de su vida”.
Determina ¿cuántos años vivió Diofanto?
Resultados: 1. Hay muchas soluciones, entre las cuales está: ;
2. x=2; 3. El caballo 5 y la mula 7 sacos; 4. Diofanto vivió 84 años
3 + 132
13
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