Tutoria Matematicas 2

TUTORÍA DE MATEMÁTICASPor David Herrera ZapataRoberto Pesantes

INTRODUCCIÓN En esta presentación, se presentara el uso de los límites dentro de problemas donde la finalidad de uso es no solo obtener los resultados exactos, sino que poder tomar decisiones. Se presenta conceptos de límites, como resolver un límite y una aplicación de los límites a situaciones reales de la vida, en este caso, se presentara algo llamado la elasticidad de la demanda, muy útil al momento de tomar la decisión de fijar precios.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

CÁLCULO DEL LÍMITE EN UN PUNTO Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

APLICACIÓN DE LOS LÍMITES Elasticidad- precio de la demanda Cualquiera que venda un producto o servicio tiene interés en como un cambio en el precio afecta la demanda. La sensibilidad de la demanda a los cambios de precio varía con los diferentes tipos de artículos. Para artículos como refrescos, pimienta y focos, un cambio relativamente pequeño en el precio no cambiara mucho la demanda. Sin embargo, en autos, préstamos para casa, muebles y equipos de computación, pequeños porcentajes de cambio en el precio tienen efectos considerables en la demanda.

Una manera de medir la sensibilidad de la demanda a cambios en el precio es la razón del cambio porcentual en la demanda al cambio porcentual en el precio. Si q representa la cantidad demandada y p el precio, esta razón puede escribirse como

∆q/q / ∆p/p Donde ∆q representa el cambio en q y ∆p representa el cambio en p. Esta razón es siempre negativa, porque q y p son positivas, mientras que ∆q y ∆p tienen signos opuestos (un incremento en precio causa un decremento en la demanda). Si el valor absoluto de esta razón es grande, sugiere que un incremento relativamente pequeño en precio causa un decremento (caída) relativamente grande en la demanda.

Esta razón puede escribirse como ∆p /q / ∆p/p = ∆q/ q * p/∆p = p/q * ∆q/∆p

Suponga q f (p) Entonces ∆p = f (p + ∆p) – f (p) y ∆q/∆p = f (p + ∆p) – f (p) / ∆p Cuando ∆p 0, este cociente es Lim ∆p 0 ∆q/∆p = Lim ∆p 0 f (p + ∆p) – f (p) / ∆p = dq/dp

Y Lim ∆p 0 p/q * ∆q/∆p = p/q * dq/dp La cantidad E = - p/q * dq/dp

La cantidad es positiva porque dq/dp es negativa. E se llama la elasticidad de la demanda y mide la respuesta instantánea de la demanda respecto al precio. Por ejemplo, E puede ser 0,2 para servicios médicos, pero puede ser 1,2 para equipo electrónico. La demanda para servicios médicos esenciales es mucho menos sensible a cambios de precio que la demanda para artículos no esenciales, como equipo electrónico.

Si E < 1, el cambio relativo en la demanda es menor que el cambio relativo en el precio, la demanda se llama inelástica. Si E > 1, el cambio relativo en la demanda es mayor que el cambio relativo en el precio, la demanda se llama elástica. Cuando E 1, los cambios porcentuales en precio y demanda son relativamente iguales y se dice que la demanda tiene elasticidad unitaria.

PROBLEMA Un hotel de reputación desea impulsar su línea de vinos y para eso realiza un evento de muestra de vinos. Desean saber cuál es la demanda en la producción para la venta de vinos. La demanda de vinos está dada por q -0.00375p + 7.87, donde p es el precio al menudeo (en dólares) de una caja de vinos y q es el número promedio de cajas compradas por año por un consumidor.

Se necesita calcular la elasticidad de la demanda cuando p $118 por caja y cuando p $1200 por caja. Como q -0.00375p + 7.87, tenemos dq/dp -0.00375, por lo que

E = - p/q * dq/dp = - p/ -0.00375p + 7.87 * (-0.00375) = 0.00375p/ -0.00375p + 7.87 Hacemos p = 118 y obtenemos E = 0.00375 (118) / -0.00375 (118) + 7.87 = 0.06

Datos y Resolucion

Como 0.06 < 1, la demanda es inelástica y un cambio porcentual en precio resultara en un cambio porcentual menor en la demanda. Por ejemplo, un incremento de 10% en precio causara un pequeño decremento de 0.6% en la demanda.

Si p = 1200, entonces E = 0.00375 (1200) / -0.00375 (1200) + 7.87 = 1.34 Como 1.34 > 1, la demanda es elástica. En este caso un incremento porcentual en precio resultara en un decremento porcentual mayor en la demanda. Aquí un incremento de 10% en el precio ocasionara un decremento del 13.4% en la demanda.

CONCLUSIÓN El hotel deberá invertir $118 por caja para que de esta manera obtener una demanda en 0.6% lo cual hará mas fácil las ventas de los vinos a manera masiva.

BIBLIOGRAFÍA Libro Matemáticas para Administración y Economía de Lial y Hungerford, Séptima edición editorial Prentice Hall

http://www.vitutor.com/fun/3/a_7.html http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html http://matematica.50webs.com/calculo-de-limites.html