BAB I INTEGRAL TAK TENTU Kompetensi Umum: Mahasiswa terampil menentukan integral tak tentu dari suatu fungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana. Kompetensi Khusus: Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu. b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan aturan pangkat. c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan rumus pokok integral fungsi trigonometri d)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan aturan pangkat yang diperumum e)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi dengan variabel baru f)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi tanpa variabel baru g)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I
INTEGRAL TAK TENTU
Kompetensi Umum:
Mahasiswa terampil menentukan integral tak tentu dari suatu fungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana.
Kompetensi Khusus:
Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu.b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan
aturan pangkat.c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan
rumus pokok integral fungsi trigonometrid)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan
aturan pangkat yang diperumume)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan
teknik subsitusi dengan variabel baruf)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan
teknik subsitusi tanpa variabel barug)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah
sederhana
Pendahuluan
Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai invers pendiferensialan, sehingga
integral tak tentu didefinisikan sebagai anti diferensial. Anti diferensial adalah
bentuk paling umum dari anti turunan.
1.1 Anti Turunan
Andaikan dari bentuk F’(x)=f(x) atau dF(x)= f(x) dx akan ditentukan fungsi
F. Fungsi F yang demikian kita namakan anti turunan atau fungsi primitif dari f .
Definisi 1.1: (Anti Turunan)
Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F dinama-
kan anti turunan atau fungsi primitif dari f pada I , jika dipenuhi
F′(x) = f(x) pada I.
Contoh
Andaikan F (x) = x2 maka F′(x) = 2x di R
Sehingga anti turunan dari f(x) = 2x adalah F(x) = x2 .
Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, perhatikan bahwa fungsi G dan H
berikut juga anti turunan dari f.
G(x) = x2 + 3 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab G′(x) = 2x = f(x)
H(x) = x2 – 5 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab H′(x) = 2x = f(x)
Jadi fungsi f(x) = 2x mempunyai banyak anti turunan atau fungsi primitif.
Perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain terletak pada konstanta nya
saja. Kenyataan ini berlaku untuk semua fungsi, hal ini dijamin oleh teorema
“Jika F′(x) = G′(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C
sedemikian hingga F (x) = G(x) + C “
Teorema tersebut sudah anda pelajari di Kalkulus I (Kalkulus Diferensial).
Adanya perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain hanya pada
konstantanya maka terdapat bentuk anti turunan yang paling umum (merupakan
keluarga fungsi) yang dinamakan anti diferensial.
Definisi 1.2: (Anti Diferensial)
Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan. Jika F′
(x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari f(x) pada I
adalah y = F(x) + C dengan C konstanta sembarang.
Contoh
1. Untuk F (x) = x3 – 1 diperoleh F′(x) = 3x2 = f(x) di R maka anti diferensial
dari f(x) = 3x2 di R adalah y = x3 – 1 + C atau y = x3 + C
2. Untuk F (x) = sin x diperoleh F′(x) = cos x = f(x) di R maka anti
diferensial dari f(x) = cos x di R adalah y = sin x + C
1.2 Intergal Tak Tentu
Proses menentukan anti diferensial adalah kebalikan dari proses menentukan
diferensial, yaitu dari F′(x) = f(x) diperoleh dF(x) = f(x) dx dengan f
diketahui. dan F akan ditentukan. Proses ini disebut integral tak tentu, istilah tak
tentu berarti memuat konstanta riil sembarang. Leibniz memperkenalkan cara
penulisan simbol operasi anti diferensial dengan ∫ dx ... .
Definisi 1.3: (Integral Tak Tentu)
Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I dan fungsi F adalah
suatu anti turunan dari fungsi f pada I. Proses menentukan anti
diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu dari f pada I,
disajikan dengan lambang
∫ += cxFdxxf )()( dengan C konsanta sebarang
dan dibaca “integral tak tentu dari f dengan peubah x” atau “integral tak
tentu dari f terhadap peubah x” secara singkat “integral f terhadap x”.
Catatan
1lambang ∫ adalah lambang integral
2lambang ∫ dx ... adalah operator integral
3f(x) adalah fungsi yang diintegralkan dinamakan integran4istilah tak tentu berarti mengandung konstanta sembarang5pekerjaan menghitung integral adalah mengintegralkan
Perhatikan!
i. Hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.
)()( xfxF =′ ⇓
∫ ∫ +==⇔=⇔= CxFdxxfxdFxfxdFxfdx
xdF )()()()()()()(
turunan diferensial anti diferensial (integral tak tentu)
ii. Turunan dari suatu integral tak tentu adalah integran,
[ ] [ ] )()()()( xfxFCxFdx
ddxxf
dx
d =′=+=∫
Contoh
1. Cxdxxxddxxxdx
dxxd +∫ ∫ ==+⇔=+⇔=+ 3 23)13( 23)13( 23)13(
2. [ ] xxdx
dx
dcoscos =∫
1.3 Rumus-rumus Integral Tak Tentu
Teorema 1.1: (Aturan Pangkat)
Jika n adalah bilangan rasional sembarang kecuali –1, maka
Cn
nxdxnx +++
=∫ 1
1
Bukti:
Karena [ ] [ ] )()(')()( xfxFCxF
dxddxxf
dxd ==+=∫
, maka bukti teorema
tersebut sebagai berikut
nxn
nxnCn
nxdxd =++
+=+++
0
1)1(
1
1
Contoh
Cx C
x dxx dx dx +=+
+
+=−= ∫∫∫ 10
100 1
Cx C x
dxx +=++
+=∫ 9
9
1
18
188
Ct
C t
dtt dtt
+−=++−
+−=
−= ∫∫
1
12
12221
Dapat kita pahami bahwa x adalah variabel boneka artinya bahwa jika untuk setiap
kemunculan x diganti dengan variabel lain misalnya t, u, v dsb, nilai integral tak
tentu tersebut tidak berubah.
dsb... .)()()()( ∫∫∫∫ === dvvfduufdttfdxxf
Contoh
( ) ( ) ( ) dsb... .333 222 ∫∫∫ −=−=− duudttdxx
Teorema 1.2: (Integral Fungsi Trigonometri)
∫∫∫∫∫∫
+−=+=
+=+=
+−=+−=
C x x dx x vi. C x x dx
C x x dx x C x x dx
C x x dx C x x dx i
csccsccot tan2sec . iii
secsectan v. sincos ii.
cot2csc iv. cossin ..
Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.
Bukti:
Cxdx xxx
dx
Cxd +−==−−=+−∫ cos sin maka sin)sin(
)cos( Karena
Teorema 1.3: (Kelinieran ∫ ...dx )
Andaikan fungsi f dan g mempunyai integral tak tentu dan andaikan k
suatu konstanta, maka
[ ][ ]∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫
−=−
+=+
=
)( )( )()( .
)( )( )()( .
)()( .
dxxg dxxfdxx g xfiii
dx xg dxxf dxx g xfii
dxxf k dx xk fi
ii dan iii dapat diperluas untuk sejumlah berhingga fungsi
Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.
Bukti:
[ ] [ ] ∫∫∫∫ === dxxfkdxxkfxkfdxxf
dx
dkdxxfk
dx
d)( )( maka )()()( Karena
Contoh
( )
( )
cos22
1
21cos22
1
2cos12
2
1
sin )sin ( .
Cxx
CCxx
Cx Cx
dxxdxx dxxx
+−=
++−=
+−+
+=
+=+ ∫∫∫1
( )
( )
Cxxx
CCCxxx
CxCxCx
dxdxxdxx dxxx
++−=
++++−=
++
+−
+=
+−=+− ∫∫∫∫
622
5 4
4
1
36251622
5 4
4
1
3622
2
151
44
1
6 53
)653( .2
Teorema 1. 4: (Aturan Rantai untuk Anti Pendiferensialan)
Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dengan daerah
nilainya adalah selang I, dan andaikan f adalah fungsi yang
didefinisikan pada selang I serta F adalah anti turunan dari f pada I,
maka
Cxg F dx xg xg f +=′∫ ))(()())((
Bukti:
Menurut aturan rantai turunan suatu fungsi diperoleh
[ ] )(' )).(()(' )).(('))(( xgxgfxgxgFCxgFdx
d ==+
Oleh karenanya, berdasar definisi integral tak tentu berlaku
Cxg F dx xg xg f +=′∫ ))(()())((
Contoh
( ) ( )
)(sin)( )(
)1cos( 2 ).1sin( ).1sin(2 .
)(cos)()()(
2sin 2 .2cos
222
.
tt f g'(x) xg
Ctdtttdttt
tt fx g'xg
C x dx x
=↑↑
++−=+=+
=↑↑
+=
∫∫
∫
2
1
Teorema berikut merupakan keadaan khusus dari teorema 1.4.
Teorema 1. 5: (Aturan Pangkat yang Diperumum)
Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan n
bilangan rasional yang bukan –1, maka
[ ] [ ]
Cn
nxgdxxgnxg +
+
+=′∫ 1
1)( )()(
Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Contoh
( )
1
7322
1)32)(732( .
5
612
6
1 )2(
51
2
2
=↑↑
+
+−=−+−
=↑↑
+
−=−
∫
∫
ng'(x)g(x)
Cxxdxxxx
ng'(x)g(x)
Cxdxxx
2
1.
Teknik Subsitusi Dengan Variabel Baru
Jika pada teorema 1.4 dan 1.5 di atas,
dimisalkan g(x) = u maka d[g(x)] = du sehingga g′(x) dx = du
Dari teorema 1.4 diperoleh
CxgFCu F du uf dx xg xg f +=+==′ ∫∫ ))(()()()())((
Dari teorema 1.5 diperoleh
[ ] [ ]C
n
nxgC
n
nu du nu dx xg nxg +
+=+
+==′ ∫∫ 1
)(
1)()(
Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi dengan variabel baru
Contoh
( )
( ) cos
.in 3 .3sin Jadi
3
)3(
3 misal
anPenyelesai
3 .3sin Hitung .
Cu
duusdxx
dudx
duxd
u x
dxx
+−=
=
=⇒=⇒=
∫∫
∫
:
1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) Cx
Cu
duuu
dxxxdxxx
dudx
duxd
u x
dxxx
dxxx
+=+=
=
=
=⇒=⇒=
∫∫∫
∫∫
2sec
sec
. sec tan
2 .2sec 2tan 2sec 2tan2 Jadi
2
)2(
2 misal
2 .2sec 2tan sebagai PandanganPenyelesai
2sec 2tan2 Hitung .
:
2
( )
( )
Cx
Cu
duu dxxx
duxdx
duxd
u x
dxx x
+
−=
+=
=−
=⇒=−⇒
=−
−
∫∫
∫
612
6
1
66
1
5 )2(5
12
Jadi
2
)12(
12 isalm
anPenyelesai
)2.(5
12
Hitung
:
3.
Cxx
Cu
duu
dxxxx dxxxx
du dxx
duxx d
u x x
dxxxx
dxxxx
+
+−=
+=
=
−+−=+−−
=−⇒
=+−⇒
=+−
−+−
+−−
∫∫∫
∫∫
4732
4
1
44
1
3
)32(3)732(3)732)(32(Jadi
)32(
)732(
732misal
)32(3)732(sebagai Pandang :anPenyelesai
3)732)(32(Hitung .4
Teknik Subsitusi Tanpa Variabel Baru
Karena g′(x) dx = d[g(x)] maka dari teorema 1. 4 dapat diperoleh
Cxg F xg dxg f dx xg xg f +==′ ∫∫ ))(())(( ))(()())((
dan dari teorema 1.5 diperoleh
[ ] [ ] [ ]C
n
nxg xg dnxg dx xgn xg +
+==′ ∫∫ 1
)())(( )()()(
↑↑ sama
Pada ruas kanan kita pikirkan g(x) sebagai u
Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi variabel baru
Contoh
( )
( ) ( ) ( ) Cxxdxdxx
xddx
dxx
+==
=
∫∫
∫
3tan )3( .3sec 3 .3sec maka
)3( 3 Karena
3 .3sec Hitung .
22
2
:anPenyelesai
1
( ) ( ) ( )C
n
nudu
nuCx
x dxdxxdxdxxx
++
+=+
−=
−=−−=−
∫
∫∫
1
1 karena
612
6
1
)12(2 karena 12 5
12
)2(5
12 .2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) Cx
Cx
xddxx dx dxx
++=
++=
+=++=+ ∫∫
57315
1
5735
1.
3
1
133
1 karena 73
473
3
1
473 3.
Latihan 1.1
Hitunglah dengan berbagai cara yang telah anda pelajari di atas
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( ) t dt t . dxxx
dxx dxx
dxxxxdxxxx
dxxx. dxxx
dx x . dx x .
dx x . dxx
dxxx . dx x x.
dxxdxx
dxx xdx xx
dxx
xxdx
x
x
dxxx
xdxxx
dxxdxx
3cos32sin24 sin cos.cos 23.
45sin 22. 2cos .21
53221 20.
39212 19.
13281 3
12 .71
2)48(16 7315
7)52(41 212 13.
)6(9)231(12 )2(5)12(11
32 .10 21) ( 9.
) cos 2 (3sin 8. )sin (3 7.
6 42
6. 2
823x 5.
)212
(3 4 )432 5( .3
2
11 2. 45 .1
∫∫∫∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫
∫∫
∫ ∫
+
+−−
−++
+
+
−−
+−
−−+
−+
+−
−++−
−++−
−+
30 cos1
sin29
4
1sin
4
1cos
2
1
82 sin
27
3 422
362
3
11
21
25
3 dxxx. dx
x
x.
dx
x
x . dt
t
t .
dyy
y. dx
xx.
∫∫
∫∫
∫∫
+
−+
1.4 Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam bahasan ini, kita akan menggunakan integral tak tentu untuk
menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah yang melibatkan
persamaan diferensial. Tetapi di sini kita akan membatasi perhatian kita pada
persamaan diferensial sederhana yaitu persamaan diferensial yang hanya
mengandung turunan tunggal dari fungsi yang tidak diketahui dengan peubah-
peubah yang dapat dipisahkan.
Kita ingat kembali hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.
Andaikan fungsi y= F(x) dengan )()(' xfxF
dx
dy == maka kita peroleh hubungan
∫∫ +===⇔=⇔= Cx F dx xfdy ydx x f dy x fdx
dy )()()()( \
Jika pada bentuk dxxfdyxf
dx
dy)(atau )( ==
, f(x) diketahui dan y akan dicari maka
bentuk tersebut dinamakan persamaan diferensial disingkat PD.
Persamaan diferensial (PD) adalah sembarang persamaan dengan hal yang
tidak diketahui berupa fungsi dan yang melibatkan turunan atau diferensial fungsi
yang tidak diketahui tersebut. Misal,
( ) dsb 0 2 . 0 1 .
2
2
2
23 =−+=++= xy
dx
dy
dx
ydy
dx
ydx
dx
dy
Menyelesaikan PD adalah mencari fungsi yang tidak diketahui tersebut.
Prosedur yang kita gunakan untuk mencari penyelesaian PD sederhana sebagai
berikut
Pertama, ubah PD menjadi dxxfdyyf )()( = dengan memisahkan variabel x dan y.
Kedua, integralkan kedua ruas dan sederhanakan sehingga diperoleh fungsi
CxFy += )( . Fungsi ini merupakan jawab (pemecahan) umum PD.
Ketiga, untuk menentukan jawab khusus PD.carilah nilai C berdasarkan syarat PD
selanjutnya subsitusikan nilai C ke jawab umum PD.
Contoh
umum) jawab(disebut 33
1 adalah tersebut PD jawab Jadi
33
1
12
12 125
125 Selesaikan .
Cxxy
Cxxy
dxxdy
dxxdyxdx
dy
xdx
dy
++=
++=⇔
+=⇔
+=⇔+=
+=
∫∫
:anPenyelesai
1
722
1 2adalah tersebutPD khusus jawab Jadi
722
1 2 diperoleh PD umum jawab dalam 7 an Subsitusik
7 22.2
123
diperoleh PD umum jawab dalam 2 di 3syarat an subsitusik aSelanjutny
PD umum jawab 22
1 2
24
1 C2
2
1
2
1
2
1
2
2 di 3untuk 2
Selesaikan .
21
+=
+==
=⇒+=
==
←+=⇔
+=+⇔
=⇔
=⇔=
===
∫∫
xy
xyC
CC
xy
Cxy
Cxy
xdxdyy
dxxdyyy
x
dx
dy
xyy
x
dx
dy
:anPenyelesai
2
2
2
2
2
2
9,4 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik
9,4 ,89 8,9 8,9 Dari
8,9 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik
8,9 ,89 8,9 diperoleh 8,9 Dari
0)0(dan 0)0( awalsyarat dengan 8,9
adalahrsebut masalah te dari matematika model Sehingga
dan
maka percepatan dan laju, menyatakan ditempuh, yangjarak menyatakan Bila
.m/detik 9,8itu ditempat grafitasi percepatan bilaitu saat pada lajunya
andan tentuk tanah mencapaiitu boladetik berapaSetelah m. 169 tingginyayang gedung
suatu daridatar dianggap yangtanah permukaan ke lurus tegak dijatuhkan bolaSebuah .
2
2atau
2
2adalah ditanyakan yang kurvapersamaan Jadi
1 diperoleh (*) dalam 1untuk 2an Subsitusik
.......(*).................... 2
2adalah PD umum Jawab
2
1
1
2
12
2
12
22
1 tersebut,PD Selesaikan
1untuk 2syarat dengan 22
1
adalahitu masalah untuk sesuai yang matematika Model
.ordinatnyakuadrat setengah titik sembarang pada
singgung garisarah koefisien dan (1,2) titik melalui yang kurvapersamaan Tentukan .
tsCs
Ctsdttdsdttdstvdt
ds
tvCv
Ctvdtdvdtdvdt
dv
svadt
dv
dt
sd
dt
dva
dt
dsv
avs
xy
xy
CxyCx
y
Cxy
dxy
dy
dxy
dyy
dx
dy
xyydx
dy
===
+=⇒=⇒=⇒==
===
+=⇒=⇒==
====
===
−=
−−=
−===+
−=
+=−⇔
=⇔
=⇔=
===
∫∫
∫∫
∫∫
:anPenyelesai
:anPenyelesai
4
3
Latihan 1.2
Untuk nomor 1 s.d 10 carilah fungsi yang memenuhi
( )
(1,1)dan titik asal titik melalui fungsirafik ; 23212
2 .21
3. dan (4,4) titik melalui fungsirafik ; 8
32
2 .11
82
2dan ,0 , 0 di 5 ; 0
3
3 10.
3 dan , 0 di 1 ; 622
2 ..9
2 di 1 ; 023 .8 0 di 3 ; 021 .7
1 di 1 ; 12
1 .6 1 di 1 ;
212
.5
23 4. .3
4)52( 2. 37 .1
gxxdx
yd
dx
dyg
x
dx
yd
dx
yd
dx
dyxy
dx
yd
dx
dyxyx
dx
yd
xyyxdx
dyxyxx
dx
dy
xyyxdx
dyxy
x
x
dx
dy
xydx
dyyx
dx
dy
xxdx
dyx
dx
dy
−+=
==
−=====
===−=
===−=−==+−
=−=+
===+=
==
−=−=
13. Jika y = 3 untuk x = 3 dan 2
2
y
x
dx
dy = carilah nilai y untuk x = 1
14. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x,y) = 0 yang melalui titik (2,-1) dan
koefisien arah garis singgung grafik fungsi disembarang titik ditentukan
dengan persamaan 0 ,
4' ≠−= y
y
xy
15. Jika grafik fungsi )(xfy = melalui titik (9,4) dan koefisien arah grafik fungsi
tersebut di sembarang titik adalah xy 3'= . Tentukan persamaan fungsi tersebut!
16. Di suatu titik (x,y) pada grafik fungsi f diketahui f ’’’(x) = 2. Jika pada
daerah definisinya grafik fungsi f hanya mempunyai tepat satu titik belok di
(1,3) dan garis singgung di titik beloknya sejajar dengan garis y = –2x maka
tentukan persamaan fungsi f.
17. Kira-kira dengan kecepatan berapa seorang penyelam memasuki air setelah
melompat dari tebing sungai setinggi 30 meter. (Gunakan percepatan grafitasi
ditempat itu 9,8 m/det2)
18. Percepatan yang disebabkan oleh grafitasi suatu tempat adalah 9,8 m/det2.
Sebuah peluru ditembakkan lurus ke atas dari permukaan tanah tempat itu
yang dianggap datar dengan kecepatan 50 m/det. Setelah berapa detik peluru
mencapai titik tertinggi dan berapa jarak titik tertinggi tersebut dari tanah?
19. Suatu titik meteri bergerak dari keadaan diam dengan percepatan pada setiap
t ditentukan dengan persamaan a(t) = t(4 – t) m/det2 . Tentukan kecepatan titik
materi itu sebagai fungsi dari t. Setelah berapa detik titik materi itu berhenti
dan bergerak lagi. Tentukan persamaan gerak titik materi itu.
20. Seorang kolektor benda-benda seni membeli sebuah lukisan dari seorang
seniman seharga $1000, yang nilainya sekarang bertambah sejalan dengan
berjalannya waktu sesuai dengan rumus 50105 ++= ttt
dt
dv
dengan v adalah
nilai dolar yang diharapkan dari lukisan sesudah t tahun pembelian. Jika
rumus ini berlaku untuk 6 tahun kemudian, berapa nilai harapan dari lukisan
itu empat tahun dari waktu pembelian?
1.5 Penggunaan Integral Tentu
Integral tentu khususnya integral tunggal dapat digunakan dalam meng-hitung luas
daerah bidang rata, volume benda putar, panjang kurva, luas permukaan benda
putar, usaha yang dilakukan oleh gaya tertentu, gaya pada cairan, momen dan pusat
massa.
A. Luas Daerah Bidang Rata
Untuk menghitung luas daerah bidang rata menggunakan integral diperlukan
prosedur sbb:
• Gambar daerah bersangkutan
• Potong menjadi jalur-jalur
• Hampiri luas suatu jalur dengan luas persegi panjang
• Jumlahkan luas hampiran tersebut
• Ambilah limit dari jumlah itu dan nyatakan dalam integral
• Hitung Integralnya = luas daerah.
y=f(x)
y y=f(x) y y D y=g(x)
D
a b a b x x a b x D
Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3.
1. Daerah di atas sumbu-x
Perhatikan gambar 1 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan f(x) ≥ 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai
∫=b
adxxfDL )()(
2. Daerah di bawah sumbu-x.
Perhatikan gambar 2 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) dengan f(x) ≤ 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai
∫−=b
adxxfDL )()(
3. Daerah antara dua kurva
Perhatikan gambar 3. Daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), kurva y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai
[ ]∫ −=b
a
dxxgxfDL )()( )(
Bahan diskusi
1. Bagaimana bentuk integral yang menyatakan luas suatu daerah yang terletak di kanan sumbu-
y, di kiri sumbu-y, dan antara dua kurva, jika kurva pembatasannya dinyatakan sebagai x =
f(y) dan garis-garis pembatasnya y = c, y = d, dan sb y.
2. Tunjukan luas daerah: persegi panjang, segitiga, trapesium, lingkaran dengan
menggunakan integral tunggal.
3. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva dan garis-garis sebagai berikut:
xxy, x yxxx xy
xπ, x x, x y
xy,xyyx, xx xy
-sumbudan ,6 f. -sumbudan 623 c.
0x,2y6y xe. -sumbudan π,sin b.
2 2 d. -sbdan -sb ,2322 a.
+−==−−=
=−==−==
+===−−=
B. Volume Benda Putar
Benda putar adalah benda pejal yang didapat dari hasil pemutaran daerah datar terhadap suatu garis tertentu (sumbu putar). Dasar perhitungan menggunakan rumus volume tabung
1. Metode Cakram
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a, x = b, dan sb-x dibawah, diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sb-x akan diperoleh lempengan berupa cakram. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal ∆xi dan volume ∆Vi .
→ ∆xi ←
y=f(x) f(xi)
a xi b sb x
h
Rumus dasar: hrV 2 π= dengan )( ixfr = dan ixh ∆=
Volume lempengan ke-i [ ] i
xixfiV ∆≈∆= 2
)( π
Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh
V =
dxb
a
xf π ∫2
)]([
← sumbu
putar sumbu x
2. Metode Cincin
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) di bawah diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sumbu-x akan diperoleh lempengan berupa cincin. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal ∆xi dan volume ∆Vi .
→ ∆xi ← y=f(x) r1
y=g(x) r2
sbx a b
h
Rumus dasar ( ) hrrhrhrV 22
21 2
2 21 −=−= πππ
Volume lempengan ke-i [ ] ixixgixfiV ∆−≈∆=
2)(
2)( π
Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh
V =
[ ]∫ −b
a
dxxgxf 2
)(2
)( π
, sumbu putar sb x
3. Metode Kulit Tabung
Dalam berbagai persoalan metode ini lebih mudah digunakan.
I. Tuliskan integral yang menyatakan volume benda putar yang terjadi kemudian hitunglah, jika daerah D dibatasi kurva-kurva dan atau garis-garis yang persama-annya diberikan dan diputar mengelilingi sumbu putar yang diketahui di bawah ini. 1. y = 2x , x = 3 , sumbu x 4. y = x2 + 1, x = 2, sumbu y
2. y = 2x , x = 3 , sumbu y 5. y = x + 1 , x = 2 , x = 5 , sumbu y
3. y = x2 + 1, x = 2, sumbu x 6. y = 2x2r − , y = 0, x = 0, sumbu x
II. Apakah vormula yang kita bahas di atas mampu untuk menjawab persoalan berikut? Tentukan volume benda yang alasnya adalah suatu daerah rata pada kuadran yang dibatasi
oleh 41
2xy −=
, sumbu x dan sumbu y dan andaikan penampang-penampang yang tegak lurus sumbu x berbentuk persegi. Jika tidak, bagaimana kita menghitungnya?
Latihan:
Soal-soal 6.2 dan 6.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5
C. Panjang Kurva pada Bidang (Kurva Rata)
Definisi: Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva tersebut ditentukan oleh persamaan-persamaan btatgytfx , )( ),( ≤≤== , dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f’ dan g’ kontinu pada [a,b] sedangkan f’(t) dan g’(t) tidak bersama-sama nol pada (a,b)
Andaikan terhadap sebuah kurva mulus dengan persamaan parameter btatgytfx , )( ),( ≤≤==
kita buat partisi pada selang [a,b] menjadi n selang bagian dengan titik-titik a=t0 <t1<t2<…< ti<…<tn=b
Kemudian kita aproksimasi kurva itu dengan segi banyak, kita hitung panjangnya dan ditarik limitnya dengan norma partisi mendekati nol.
Khususnya kita aproksimasi ∆Si dengan ∆wi jadi ∆Si ≈ ∆wi
( ) ( )[ ] [ ] 2
)1()(2
)1()(
22
−−+−−=
∆+∆=∆
itgitgitfitf
iyixiw
Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan,
yakni adanya [ ]iii ttt , 1−∈ sehingga
∆=−−
∆=−−
)(')1()(
)(')1()( ititgitgitg
ititfitfitf
dengan 1 −−=∆ ititit
Dengan demikian
[ ] [ ] [ ] [ ] ititgitfititgititfiw ∆+=∆+∆=∆ 2
)('2
)('2
)('2
)('
[ ] [ ] ititgitfn
iiw ∆∑
=+∑
=∆ = n
1i
2)('
2)('
1
Jadi, jika kurvanya btatgytfx , )( ),( ≤≤== maka panjang kurva adalah
[ ] [ ]
∫ +=
∫ +=
b
a
dtdt
dy
dt
dx
b
a
dttgtfL
22
2
)('2
)('
Jika kurvanya bxaxfy ),( ≤≤= maka panjang kurva adalah
∫ +=
b
a
dxdx
dyL
2
1
Jika kurvanya dycyfx ),( ≤≤= maka panjang kurva adalah
∫ +=
b
a
dydy
dxL
2
1
Latihan:Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5
Diferensial Panjang Busur
Andaikan f sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a,b], kita defiisikan
s(x) melalui
dux
a
ufxs ∫ += 2)]('[1)(
maka s(x) adalah panjang busur y = f(u) antara titik (a,f(a)) dan (x,f(x)).
. (x,f(x)
. (a,f(a)) ds dy
a x b sb-x dx
Dari
dux
a
ufxs ∫ += 2)]('[1)(
diperoleh
2
12
)]('[1
+=+=dx
dyxf
dx
ds
atau
dxdx
dyds
2
1
+=
Sehingga kita dapatkan rumus ds berikut (tergantung persamaan kurvanya):
)(),( kurvauntuk
22
)( kurvauntuk
2
1
)( kurvauntuk
2
1
tgytfxdtdt
dy
dt
dxds
yfxdydy
dxds
xfydxdx
dyds
==←+=
=←+=
=←+=
Latihan:Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5
D. Luas Permukaan Benda Putar
Apabila suatu kurva yang terletak pada suatu bidang diputar mengelilingi
suatu garis pada bidang tersebut maka akan diperoleh suatu permukaan benda putar.
Rumus dasar l
rumus luas kerucut terpancung r1 r2
lrr
A 2
212
+
= π
1. Pemutaran mengelilingi sumbu x
Andaikan pada sebuah kurva mulus di kuadran I atau ke II dengan
persamaan parameter btatgytfx , )( ),( ≤≤== Kita buat partisi [a,b] dengan titik-titik a=t0 <t1<t2<…< ti<…<tn=b maka kuva terbagi menjadi n bagian.
Andaikan ∆Si panjang kurva bagian ke-i dan yi ordinat sebuah titik pada bagian tersebut.
∆si
∆si
. yi sb x
sb x
Apabila kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka bagian ini akan
membentuk kerucut terpancung yang luasnya iisy ∆ 2π
Sehingga luas permukaan hasil pemutaran kurva tersebut adalah
∫=∆=∗∗
∗∑=→
dsysyAi
n
ii
P 2 2lim
10ππ
Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung pada persamaan kurvanya)
( ) ( )
( ) ( ) 22
)(2 )(2
, )(),( kurvaUntuk
2
1 2 )(2
),( kurvaUntuk
∫ +=∫=
≤≤==
∫ +=∫=
≤≤=
b
a
dtdtdy
dtdx
tgdsb
a
tgA
btatgytfx
b
a
dxdxdy
xfdsb
a
xfA
bxaxfy
ππ
ππ
b. Pemutaran mengelilingi sumbu y
Analog dengan pemutaran mengelilingi sumbu x, diperoleh:
∫∗∗
∗=∆∑
=→= dsxis
n
iix
PA 2
1 2
0lim ππ
Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung persamaan kurvanya) berikut:
( ) ( )
2
1 2 )(2
),( kurvaUntuk
∫ +=∫=
≤≤=
d
c
dydydx
yfdsd
c
yfA
dycyfx
ππ
( ) ( ) 22
)(2 )(2
, )(),( kurvaUntuk
∫ +=∫=
≤≤==
b
a
dtdtdy
dtdx
tfdsb
a
tfA
btatgytfx
ππ
Latihan:Soal-soal 6.5. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5
E. Usaha/Kerja
Dalam Fisika, apabila suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dan ada gaya F yang konstan yang menggerakkan benda itu dengan arah searah gerak benda, maka Usaha/kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah W= F . d
Andaikan benda bergerak sepanjang sb x dari x=a sampai x=b dan ada gaya yang menggerakan benda itu F(x) dengan metode: patisikan [a,b], aproksimasi, dan integralkan di peroleh
∫=≈b
adxxFWxxFW )( )Δ(Δ
Contoh:1. Apabila panjang pegas alami 10 inci dan diperlukan gaya 3 pon untuk
menarik dan menahannya sejauh 2 inci, tentukan usaha yang diperlukan untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami?Jawab:Dasarnya Hukum Hoke: gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x adalah F(x) = kx, dengan k konstanta pegas.
Karena diketahui diperlukan gaya 3 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, maka 3 = k.2 ⇔ k= 3/2, sehinga F(x) = 3/2 xJika pegas dalam keadaan alami 10 inci identik dengan x=0 maka panjang pegas 15 inci identik dengan x=5.
Jadi usaha yang dilakukan pon -inci 75,18
2
35
0
== ∫ dxxW
2. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memompa air sampai
mencapai tepi tangki, tangki ini panjangnya 50 kaki dan ujung-ujungnya berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari 10 kaki; tinggi air dalam tangki 7 kaki.
Pada lempengan besarnya y Gaya = beratnya = kepadatan air x volume = δ x ylr ∆ . .2
-y r r x = yx ∆ . 05 .2 . δ
-10 ∆y = ( ) yy ∆− . 05 .102 . 22δ
Lempengan ini harus diangkat sejauh (– y), sehingga
( )( ) 62,4dengan ; 1050.23
10
22 =−−= ∫−
−
δδ dyyyW pon tiap kaki kubik
Latihan:Soal-soal 6.6. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5
F. Gaya Cairan
Dasar hukum Blaise Pascal: tekanan (=gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besar dari arah manapun. Jadi tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, tidak peduli apakah permukaan datar, tegak atau miring.
Jika sebuah tangki dengan alas berbentuk persegi panjang dengan luas A berisi cairan (fluida) dengan kepadatan δ setinggi h, maka gaya yang bekerja pada dasar tangki adalah AhF δ=
Contoh: Andaikan tangki yang penampangnya seperti pada gambar, diisi dengan air (δ =62,4 pon tiap kaki kubik) dengan kedalaman 5 kaki. Hitunglah gaya total yang bekeja pada tepi tersebut!
Gaya yang bekerja pada kedalaman 5-y yxyAhF ∆−=≈∆⇒ )5( δδ Dengan x diperoleh dari persamaan y = 3x – 24
10 kaki letakan pada system y=3x-24 6
6 kaki Cairan 5 kaki 5-y y
8 kaki 0 8 x 10
Jadi ( )∫
+−=
5
0 3
245 dy
yyF δ
Latihan:Soal-soal 6.7. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5
G. Momen dan Pusat Massa
Hasil kali massa dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang menghasilkan putaran pada titik tersebut. Syarat agar massa pada suatu garis berimbang pada suatu titik di garis itu adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol. m Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu x sistem yang terdiri atas n massa: m1, m2, …,mn
yang berjarak masing-masing di x1, x2, …,xn
M= x.m pada sumbu x adalah
M = x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 +…+ xn mn=∑
n
iimx1
Ilustrasi m1 m2 m3 m4 mi mn
x1 x2 0 x3 x4 xi xn
dimanakah koordinat titik seimbang?
Misal koordinat titik seimbangnya adalah x , karena syarat seimbangan momen
system terhadap titik x adalah nol maka
(x1 – x )m1 + (x2 – x )m2 + … +(xi – x )mn +…+ (xn – x )mn = 0
x1 m1 + x2 m2 + … +xi mn +…+ xn mn= x m1 + x m2 + … + x mn +…+ x mn
Sehingga ∑=
∑=== n
i im
n
i imix
mM
x
1
1
1. Distribusi Massa Yang Kontinu Pada Suatu Garis
Misal sepotong kawat dengan kepadatan yang berlainan (massa tiap satuan panjang). Kita akan mengetahui kedudukan titik beratnya. Kita letakkan kawat itu pada system koordinat, andaikan kepadatan di x adalah )(xδ menggunakan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh
∫
∫
=
∫=∫=
∆≈∆∆≈∆
b
a
dxx
b
a
dxxx
x
b
a
dxxxMb
a
dxxm
xxxMxxm
)(
)(
sehingga
)( dan )(
)(dan )(
δ
δ
δδ
δδ
2. Distribusi Massa Pada Bidang
Andaikan n massa titik m1, m2, …,mi, …, mn yang terletak pada titik (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), …,(xi,yi),…., (xn,yn) pada bidang xoy.Maka