7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 125 1. La Oficina de Planificación Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria de 90 familias 18 presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000. 1.1) Estime con 98% de confianza la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error en la estimación de la proporción de familias con ingreso inferior a $200.000 no excederá de 0,05? 1.1) Solución: Sean: “Cantidad de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A” “Proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A” Debido a que el problema habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial: Con: Nota: El valor de se calcula dividiendo la número de datos de la muestra que cumplen la característica que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a $200.000, dividido por el tamaño de la muestra. Reemplazando, obtenemos: Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por: Respuesta: El intervalo tiene un 98% de contener a la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) Solución: El ejercicio nos otorga los siguientes datos: Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la fórmula de error está dada por:
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7.1 Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
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7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas Página 125
1. La Oficina de Planificación Familiar de la Municipalidad A desea determinar la proporción
de familias con un ingreso familiar inferior a $ 200.000. En una muestra aleatoria de 90 familias
18 presentaron un ingreso familiar inferior a $ 200.000.
1.1) Estime con 98% de confianza la proporción de familias con un ingreso familiar inferior a
$ 200.000 en la Municipalidad A. 1.2) ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el
error en la estimación de la proporción de familias con ingreso inferior a $200.000 no
excederá de 0,05?
1.1) Solución: Sean:
“Cantidad de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A”
“Proporción de familias con un ingreso familiar inferior a $200.000 en Municipalidad A”
Debido a que el problema habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar
el intervalo confidencial:
Con:
Nota: El valor de se calcula dividiendo la número de datos de la muestra que cumplen la
característica que nos da el problema, en este caso, las familias con ingreso familiar inferior a
$200.000, dividido por el tamaño de la muestra.
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 98% de contener a la proporción de familias con un
ingreso familiar inferior a $ 200.000 en la Municipalidad A.
1.2) Solución: El ejercicio nos otorga los siguientes datos:
Ya que estamos tratando con proporciones, utilizamos la fórmula de error está dada por:
7. Intervalo confidencial, Test de Hipótesis y Bondad de Ajuste – Ejercicios Resueltos
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
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Reemplazando:
Respuesta: Para asegurar que el error en la estimación de la proporción de familias con ingreso
inferior a $200.000, no exceda a 0,05, el tamaño de la muestra debe ser igual a 246, considerando
una confianza del 95%.
2.- Se realizan estudios sobre la contaminación producida por descargas de aguas residuales,
en cuerpos fluviales cordilleranos, para medir si estos cumplen con la norma establecida por
el decreto 90/2000, que establece niveles de concentración de Plomo de a lo más 0.02 mg/l. En
una muestra aleatoria de tamaño 20, de volúmenes de agua de 50 ml. cada uno, obtenidas en
días distintos, se encontró un nivel medio de concentración de plomo de 0,28 mg/l, con una
desviación estándar de 0,01 mg/l.
Bajo el supuesto de que las observaciones provienen de una población normal, estime el nivel
medio de concentración de plomo en estas aguas, con una confianza del 90%. Analice los
valores estimados en función de la norma.
2) Solución: Sea: “Concentración de Plomo en cuerpos fluviales cordilleranos”
Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:
Se supone que:
Debido a que desconocemos la varianza de la distribución, utilizaremos la siguiente fórmula para
obtener el intervalo de confianza:
Reemplazando:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener el nivel medio de concentración
de plomo en las aguas residuales, en cuerpos fluviales cordilleranos.
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3.- Se está estudiando la duración de ciertos procesos productivos y se toma una muestra
aleatoria, de tamaño 10. Se define como "Proceso Corto” cuando su duración es menor que 5
minutos, los datos obtenidos, en minutos, fueron:
3 5 8 6 10 5,5 4 4,2 4,5 2
3.1) Se pide estimar por intervalo de confianza del 98% la proporción de Procesos Cortos.
3.2) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra si la proporción estimada disminuyen en un
10% y utilizamos un 95% de confianza manteniendo el mismo error probable antes de la
modificación?
3.3) Estimar la varianza de dichos tiempos con un nivel de confianza del 99%.
3.1) Solución: Sea: “Muestra del tiempo de duración de ciertos procesos productivos”
“Proporción con Procesos Cortos (duración menor a 5 minutos)”
Debido a que el problema nos habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para
determinar el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: Este intervalo tiene un 98% de contener a la verdadera proporción de “Procesos cortos”
3.2) Solución: Lo primero que debemos hacer en este ítem es determinar una nueva variable, como
se ve a continuación:
"Proporción con Procesos Cortos disminuida en un 10%”
En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente fórmula:
Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamaño de la muestra, lo que se realiza
despejando la fórmula que sigue:
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Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser 8, si la proporción disminuye en un 10% y se mantiene
el error probable antes de la modificación, con un 95% de confianza.
3.3) Solución: Para empezar calculamos la varianza muestral, la que determina con la siguiente
fórmula:
Debido a que el problema hace referencia a la varianza, el intervalo confidencial está dado de la
siguiente forma:
Con:
Reemplazando:
Respuesta: Existe un 99% de que el intervalo contenga a la varianza poblacional
de los procesos productivos.
4.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen más o
menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por esta razón se vigila constantemente
la cantidad de producto enlatado. Considere una compañía que produce un cemento de hule
de secado rápido en latas de aluminio etiquetadas con un peso de 32 onzas.
Se toma una muestra de 34 latas, las cuales se pesan, obteniendo un peso promedio de 31,18
onzas y una desviación estándar de 0,645 onzas.
Considere que el peso de las latas se distribuye normal.
4.1) A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza del peso de las
latas es superior a 0,4 (onzas)2. Utilice una significación de 5%.
4.2) ¿Cuál debe ser el mínimo tamaño de muestra que se debe utilizar si se desea estimar el
peso real promedio de las latas de cemento de hule? Se está dispuesto a cometer un
error máximo de 0,2 onzas con una confianza del 95%. Sabiendo por estudios anteriores
que la varianza del peso de las latas es 0,4096 (onzas)2
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4.1) Solución: Sea: “Cantidad de cemento en una lata, en onzas”
Con: ; ; ;
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Como , no se rechaza la hipótesis nula, es decir, la varianza de la cantidad de
cemento en una lata no es superior a 0,4 (onzas)2.
4.2) Solución: El problema nos otorga la siguiente información:
Debido a que estamos trabajando con el peso real promedio de las latas de cemento de hule, y que
conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El mínimo tamaño de la muestra que se debe utilizar si se desea estimar el peso real
promedio de las latas de cemento de hule, es igual a 40.
5.- Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea menos de 150 psi. Se sabe que la
desviación estándar de la resistencia a la ruptura es 3 psi. En una muestra aleatoria de 25
trozos de fibra se obtiene una resistencia media a la ruptura de 148 psi y una desviación
estándar de 2,8 psi.
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5.1) ¿Puede considerarse aceptable este tipo de fibra? Use α = 0,05.
5.2) Determine el tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este
tipo de fibra con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi.
5.1) Solución: Sea: “Resistencia a la ruptura de una fibra”
Con:
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, como conocemos la varianza, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Debido a que , hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es
decir, es aceptable este tipo de fibra, con un 5% de significación.
5.2) Solución: El ejercicio proporciona los siguientes datos:
Como consecuencia que estamos trabajando con la resistencia media de este tipo de fibra, y que
conocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El tamaño de la muestra necesario para estimar la resistencia media de este tipo de fibra
con un nivel de confianza del 95% y un error de estimación de 0,5 psi, es 139.
6.- El administrador de una flota de automóviles está probando dos marcas de neumáticos
radiales. Instala un neumático de cada marca al azar en las ruedas traseras de 8 automóviles y
los usa hasta que los neumáticos se desgastan. Los datos de la duración de los neumáticos,
en kilómetros, se presentan a continuación:
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Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8
Marca 1 36.925 45.300 36.240 32.100 37.210 48.360 38.200 33.500
Marca 2 34.318 42.280 35.500 31.950 38.015 47.800 37.810 33.215
6.1) Basándose en la información presentada, rechazaría la hipótesis que las duraciones
promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, use .
6.2) Estime un nivel de confianza del 90%, la proporción de neumáticos de la Marca 1, que
presentan una duración superior a 37.500 kilómetros.
6.1) Solución: Debido a que el problema nos pide probar que ambas marcas de neumáticos radiales
poseen promedios iguales, o en su defecto diferentes, utilizaremos la siguiente notación:
“Diferencia entre la distancia que dura la Marca 1 y la Marca 2 de neumáticos, en kilómetros”
Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8
Marca 1 36.925 45.300 36.240 32.100 37.210 48.360 38.200 33.500
Marca 2 34.318 42.280 35.500 31.950 38.015 47.800 37.810 33.215
D 2.607 3.020 740 150 - 805 560 390 285
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Entonces, como desconocemos la varianza, el estadístico de prueba es:
El Punto Crítico, se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica:
Respuesta: Debido a que , no hay suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es
decir, las duraciones promedios de ambas marcas de neumáticos radiales son iguales, con un 5% de
significación.
6.2) Solución: Sea: “Proporción de neumáticos de la Marca 1, que presentan una duración
superior a 37.500 kilómetros”
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De la muestra que nos expone el ejercicio, podemos calcular el estimador , ya que tres de los ocho
automóviles con los neumáticos de la Marca 1 superan los 37.500 kilómetros, lo que llevado a los
números es .
Debido a que el problema nos pide proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar
el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo tiene un 90% de contener la proporción de neumáticos de la
Marca 1, que presentan una duración superior a 37.500 kilómetros.
7.- En la manufactura de semiconductores, es común el uso de un proceso de grabado por
remojo químico para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la
metalización. La rapidez de grabado es una característica importante en este proceso y se
sabe que es una variable aleatoria con distribución normal. Se compararon dos soluciones de
grabado diferentes, usando dos muestras aleatorias de obleas, una para cada solución. La
rapidez de grabado (milipulgadas/minuto), observada fue la siguiente: