7 Statistical Inference

Statistika Inferensial Estimasi dan Pengujian Hipotesis Parameter

Garis Besar Pembahasan

• Statistical Estimation (Confidence Intervals)

• Examples of Construction of Confidence Intervals

Statistical Estimation (Confidence Intervals)

Percobaan/Eksperimen ilmiah dapat dibagi menjadi dua kelas:

a) percobaan yang dirancang untuk memperkirakan beberapa parameter atau sifat dari sistem, dan

b) percobaan perbandingan, di mana dua atau lebih perlakuan atau kondisi eksperimental yang akan dibandingkan.

Bagian a) berkaitan dengan estimasi /penaksiran dan bagian b) berkaitan dengan pengujian hipotesis.



Selang Kepercayaan , Diketahui

• Jika distribusi dari mean (rata-rata) sampel adalah normal dan

diketahui, selang dengan koefisien kepercayaan, P (probabilitas), dapat dihitung dengan menggunakan tabel kumulatif distribusi normal standar, Tabel IV.2.

• Sebuah selang kepercayaan dua sisi, simetris terhadap mean hasil pengamatan, dihitung sebagai berikut:

Selang kepercayaan 100 P% = … (5.1)

pZX

N


dimana : = ukuran sampel

= rata-rata sampel

= standar deviasi populasi

= deviasi normal yang berkaitan dengan persentil

(p+1)/2 dari distribusi kumulatif normal baku.

(Tabel IV.2). Berbagai nilainya lihat Gbr. 5.1.

• Selang kepercayaan berubah tergantung pada pemilihan sampel , meskipun dan sama, bervariasi dari sampel ke sampel.

• Selang kepercayaan yang terbentuk dapat atau tidak dapat memuan true value

X

PZ

N

N X



• Namun demikian dapat ditunjukkan bahwa selang-selang kepercayaan yang dibentuk oleh Persamaan 5.1, 95% akan memuat jika menggunakan P = 0.95. Sebagai ilustrasi lihat Gambar 5.2.


• Gambar 5.3 merupakan contoh selang kepercayaan yang tidak memuat true value. Nilai rata-rata sampel adalah 49.8 andaikan diketahui bahwa dengan N = 20, maka selang kepercayaan 95% adalah atau dari 45.9 ke 53.7. Andaikan bahwa true valuenya = 54.7, maka 49.8 disebut sebagai rata-rata yang tidak disukai. Ilustrasi diberikan pada Gambar 5.3.

/ 2N

49.8 1.96 2


Selang Kepercayaan , Tidak Diketahui

• Jika distribusi dari mean (rata-rata) sampel adalah normal dan

tdk diketahui, selang dengan koefisien kepercayaan, P (probabilitas), dapat dihitung dengan menggunakan tabel kumulatif distribusi normal standar, Tabel IV.2.

• Sebuah selang kepercayaan dua sisi, simetris terhadap mean hasil pengamatan, dihitung sebagai berikut:

Selang kepercayaan 100 P% = … (5.1)

tSX

N


dimana :

= standar deviasi sampel

= deviasi student yang berkaitan dengan

persentil (p+1)/2 dari distribusi kumulatif t

(Tabel IV.4) dengan dengan derajat bebas

df=N-1

tS

Examples of Construction of Confidence Intervals

Contoh 1.

Confidence interval when is unknown and estimated from the sample.

• Sediaan potensi tablet dilabel tertera 100 mg.

• 10 tablet diuji sesuai dengan spesifikasi pengontrolan mutu.

• Hasil uji disajikan pada Tabel 5.1

• Diasumsikan sampel berasal dari distribusi normal.

• Rata-rata dan simpangan baku sampel masing-masing

dan

• Akan ditentukan selang kepercayaan 95% untuk

• Dari Tabel IV.4 dengan derajat bebas df=10-1=9, diperoleh t=2.26.

103X

2.22S


No. X (X-

Xbar)^2 1 101.8 1.44 2 102.6 0.16 3 99.8 10.24 4 104.9 3.61 5 103.8 0.64 6 104.5 2.25 7 100.7 5.29 8 106.3 10.89 9 100.6 5.76

10 105 4 Jumlah 1030 44.28 Xbar = 103

S = 2.2181

07

Jadi selang kepercayaan 95% :

tSX

N

2.26 2.22103

10

101.4 s/d 104.6


Contoh 2:

Confidence interval when is known.

• Andaikan simbangan baku diketahui,

• Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata adalah

2

0.95ZX

N

1.96 2103

10

101.76 s/d 104.24


• Dua pertanyaan muncul dari contoh ini.

1. Bagaimana kita bisa tahu s.d. dari batch tablet tanpa pengujian setiap tablet?

2. Mengapa s.d. yang digunakan dalam Contoh 2 berbeda dari yang dalam Contoh 1?

Jawab 1:

Nilai S.d tidak dicari seluruh tablet, apalagi pengujian yang sifatnya merusak. Nilai s.d diperoleh dari pengontrolan proses dalam periode yang cukup panjang. Apabila diperoleh bahwa proses stabil, maka rata-rata dari s.d pada masing-masing bisa diyakini sebagai nilai s.d yang diketahui. Lihat Gambar 5.4.


Jawab 2 :

Jelas bahwa nilai s.d sampel tidak sama persis dengan nilai true value.


Contoh 3:

Confidence Interval for a Proportion.

• Dalam sebuah penelitian praklinis, 100 hewan yang tidak diobati (kontrol) hewan diamati untuk kehadiran penyakit hati.

• Setelah enam bulan, 25 dari hewan-hewan ini ditemukan memiliki penyakit.

• Kita ingin menghitung interval kepercayaan 95% untuk proporsi yang benar dari hewan yang akan memiliki penyakit ini jika tidak diobati (setelah enam bulan).

• Sebuah interval kepercayaan untuk proporsi memiliki bentuk yang sama seperti selang rata-rata. Dengan asumsi bahwa pendekatan normal binomial dipandang tepat, interval kepercayaan sekitar


dimana = proporsi pengamatan

= diperoleh dari tabel normal baku (Tabel IV.2)

= Ukuran sampel

Untuk contoh 3, selang kepercayaan 95% untuk p adalah :

Jadi true proportion is probably between 16.5% and 33.5%.

ˆ ˆˆ

pqp Z

N

p̂

ˆ ˆ1q p

Z

N

0.25 0.750.25 1.96 0.165 s/d 0.335

100


Selang kepercayaan untuk banyak sebenarnya dari hewan dengan penyakit hati ketika sampel 100 menunjukkan 25 dengan penyakit hati adalah :

Kesimpulan : Dengan probabilitas 95%, banyaknya hewan dengan penyakit hati berada diantara 16 dan 34.

ˆ ˆ ˆNp Z Npq

100(0.25) 1.96 100(0.25)(0.75) 16.5 s/d 33.5


Contoh 4. Misalkan pemeriksaan 1000 ampul dalam batch 30.000 menunjukkan bahwa semua item steril. Dengan kepercayaan 95%, berapa batas atas proporsi potensi ampul tidak steril di dalam batch.

Jawab :

Misal X = banyaknya yang steril, N=1000.

Batas atas proposi tidak steril adalah q = 1-p= 0.003, atau 3 dalam 1000.

Kesimpulan : Dengan probabilitas 95%, ada tidak lebih dari 3 gagal dari 1000 item.

1N xx

NP X x p x

x

1000

1000

0.001301

10001000 0.05

1000

0.05

1000log 1.301

log 0.001301

10 0.997

P X p

p

p

p

p


Asymmetric Confidence Intervals

One-Sided Confidence Intervals

• Dalam kebanyakan situasi, selang kepercayaan dua sisi simetris tentang rata-rata diamati tampaknya paling tepat.

• Ini adalah interval terpendek diberikan probabilitas tetap.

• Namun, ada contoh di mana interval kepercayaan satu sisi dapat lebih berguna.

• Pertimbangkan kasus studi klinis di mana 18 dari 500 pasien yang diobati dengan obat sakit kepala yang dipasarkan dilaporkan terkena efek samping obat .


• Misalkan kita hanya peduli dengan "batas atas" pada proporsi sakit kepala terkait obat yang diharapkan dalam populasi pengguna obat.

• Dalam contoh ini, ketika membangun interval 95%, kita menggunakan Z (atau t) nilai yang memotong 5% dari daerah di ekor atas distribusi, daripada 2,5% di setiap ekor dikecualikan dalam interval simetris.

• Menggunakan pendekatan normal terhadap binomial, batas atas adalah

• Berdasarkan interval kepercayaan 95% satu ujung, kita menyimpulkan bahwa proportion sakit kepala sebenarnya di antara pengguna obat mungkin tidak lebih besar dari 5%.

0.95

ˆ ˆˆ

pqp Z

N

0.036 0.964181.65 0.036 0.014 0.05

500 500

Statistical Hypothesis Testing

Case I: Test of the Mean from a Single Population (One-Sample Tests), an Introduction to a Simple Example of Hypothesis Testing


• Untuk menggambarkan prosedur, kita akan mempertimbangkan percobaan untuk menilai efek dari perubahan prosedur di bidang manufaktur pada rata-rata potensi produk tablet.

• Sejumlah besar data dikumpulkan untuk kandungan obat dalam formulasi tablet selama periode beberapa tahun. Proses manufaktur menunjukkan rata-rata potensi 5,01 mg dan standar deviasi 0,11, kedua nilai dianggap sama dengan parameter proses yang sebenarnya.

• Sebuah batch baru dibuat dengan modifikasi prosedur manufaktur biasa.

• Dua puluh tablet diuji dan hasilnya ditunjukkan pada Tabel 5.5.

• Tujuannya adalah untuk menentukan jika modifikasi proses menghasilkan perubahan rata-rata potensi dari rata-rata proses 5,01, nilai di bawah hipotesis nol.



Langkah-langkah untuk merancang dan menganalisis penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Perencanaan yang matang dari percobaan memastikan bahwa tujuan dari percobaan ditangani oleh desain eksperimental yang tepat.

2. Hipotesis nol dan hipotesis alternatif didefinisikan sebelum pelaksanaan eksperimen atau studi. Tes yang biasa adalah tes dua ujung,

Untu tes satu ujung dapat mengunakan rumusan hipotesis :

0 0:H 0:aH

0 : 5.01H : 5.01aH


3. Menetapkan level of significance , alpha . Makna alpha tercantum pada Tabel 5.6.

Nilai akan menentukan daerah penolakan dan penerimaan H0, seperti Gambar 5.7 berikut.


4. Menetapkan ukuran sampel (N), dalam contoh kita, telah ditetapkan berdasarkan pertimbangan yang tidak melibatkan beta , seperti yang dibahas di atas.

5. Setelah eksperimen lengkap, statistik yang sesuai dihitung. Untuk uji diua ujung dengan varians diketahui,

… (5.4)

Bila tidak diketahui gunakan staitik penguji :

…. (5.5)

0 0

2 //

X XZ

nn

2

2

0 0

2 //

X Xt

S nS n


Kriteria Uji :

Dengan taraf nyata

Untuk uji dua ujung, tolak Ho jika :

atau

Untuk uji satu ujung :

0

/ 2/

XZ Z

n

0

1 / 2/

N

Xt t

t n

0

/

XZ Z

n

0

1/

N

Xt t

t n


Daeraha penolakan uji satu ujung :


Contoh berikut menunjukkan prosedur untuk menerapkan uji signifikansi untuk satu rata-rata.

a) Uji satu sampel, varians diketahui

• Rumusan hipotesis :

• Nilai statistik penguji, data pada Tabel 5.5 :

• Nilai kritis :

Untuk uji satu ujung, dengan taraf nyata , diperoleh titik kritis dari Tabel IV.2

• Karena , H0 ditolak. Jelas, rata-rata hasil pengamatan 5,0655 secara signifikan berbeda dari 5,01 (p <0,05).

0 : 5.01H : 5.01aH

0 5.0655 5.012.26

/ 0.11/ 20

XZ

n

5% 0.05 1.65Z

2.26 0.05 1.65Z Z


b) Uji satu sampel, varians tidak diketahui


• Nilai statistik penguji, data pada Tabel 5.5 :

• Nilai kritis :

Untuk uji satu ujung, dengan taraf nyata , diperoleh titik kritis dari Tabel IV.4 dengan df = 20-1=19

• Karena , H0 ditolak. Jelas, rata-rata hasil pengamatan 5,0655 secara signifikan berbeda dari 5,01 (p <0,05).

0 : 5.01H : 5.01aH

0 5.0655 5.013.08

/ 0.0806 / 20

Xt

S n

5% 19 0.05 2.09t

193.08 0.05 2.09t t


Case II: Comparisons of Means from Two Independent Groups (Two Independent Groups Test)


Case II: Comparisons of Means from Two Independent Groups (Two Independent Groups Test)

Tahap-tahap yang harus dilakukan :

1. Patients/unit of experiment are randomly assigned to the two treatment groups.

2. The null and alternative hypotheses are

3. Tentukan taraf signifikan

4. The form of the statistical test depends on whether or not variances are known.

0 1 2: 0H : 0aH


Two Independent -Groups Test, Variances Known

Statistik penguji :

Di bahwah hipotesis null,

Pada contoh ini (uji agen antihipertensi), anggaplah bahwa varians kelompok yang diberi obat dan plasebo diketahui masing-masing 144 dan 100, masing-masing.

1 2 1 2

2 2

1 1 2 2/ /

X XZ

N N

1 2

2 2

1 1 2 2/ /

X XZ

N N


Nilai –nilai rata-rata dan ukuran sampel :

Sehingga nilai statistika penguji :

Nilai kritis pada taraf signifikan 5% :

• Since the absolute value of the ratio does not exceed 1.96, the difference is not significant at the 5% level.

1 2

2 2

1 1 2 2

10 11.87

144 /11 100 /10/ /

X XZ

N N

1 2 1 210, 1, 11, 10X X N N

0.025 1.96Z


Two Independent -Groups Test, Variances Unknown

• assume that the variance is the same for each group

dimana varians pooled

varians yang di hintung dr sampel 1

varians yang di hintung dr sampel 2

ukuran dari sampel 1

ukuran dari dr sampel 2

2 2

1 2

1 2

2 2

1 2/ /p p

X Xt

S N S N

2 2

1 1 2 22

1 2

1 1

2p

N S N SS

N N

2

1S

2N

2

2S

1N


Contoh 5:

• Dua formulasi yang berbeda dari tablet obat baru dapat dibandingkan hal tingkat pelarutannya.

• Sepuluh tablet masing-masing formulasi diuji, dan persentase larut setelah 15 menit dalam alat pelarut diamati.

• Hasilnya ditabulasikan pada Tabel 5.9.

• Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan apakah tingkat pelarutan dua formulasi berbeda.

• Tes untuk "signifikansi" perbedaan yang diamati dijelaskan secara rinci sebagai berikut:



1. Nyatakan hipotesis null dan alternatif,

2. Nyatakan taraf signifikansi , biasanya .

3. Pemilih sampel. Sepuluh tablet diambil secara acak dari dua batch yang akan diuji.

4. Hitung nilai statistik penguji t,

5. Nilai ktitis dari Tabel IV.4 :

0 1 2:H 1 2:aH

0.05

1 2

1 2

1 1 1 110 10

71.1 71.41.99

6.41N Np

X Xt

S

18 0.025 2.1t


• Nilai t sama dengan atau lebih besar dari 2,10 (Tabel IV.4; df = 18) menyebabkan penolakan hipotesis nol. Nilai-nilai ini, yang terdiri dari daerah kritis, menghasilkan deklarasi "signifikansi."

• Dalam penelitian ini, nilai t =1,99, dan perbedaan tersebut tidak signifikan pada tingkat 5% (p=0.062> 0,05).

Confidence Interval for the Difference of Two Means

Selang kepercayaan selisih rata-rata dengan taraf kepercayaan

… (5.12)

Untuk Contoh 5 : Selang kepercayaan selisih rata-rata dengan taraf kepercayaan

1 2

1 121 2 N Ndf pX X t S

100 1 %

95%

1 110 1071.1 71.4 2.1 6.4 32% s/d 11.72%


Test of Significance If Variances of the Two Groups Are Unequal

• Statistik penguji :

…. (5.13)

• Nilai kritis :

dimana

2 21 2

1 2

1 2

S SN N

X Xt

21 2 2( 1)df NN N N t

1 2

2 21 1 1 1*

1 2

1 2

df N df Nw t w tN N t

w w

2

11

1

2

22

2

Sw

N

Sw

N


• Untuk contoh : asumsikan bahwa rata-rata dua kelompok pasien yang diobati dengan agen antihipertensi menunjukkan pengurangan tekanan darah (mmHg) sebagai berikut :

• Nilai Statistik penguji :

51.8 5.3

20 15

10.7 7.252.05t


• Nilai kritis dengan asumsi varians tidak sama dan aplha = 5% :

• Since t is less than 2.10, the difference is considered to be not significant at the 5% level.

1 22 21 1 2 1*

1 2

51.8 / 20 2.09 5.3 /15 2.15 2.1

51.8 / 20 5.3 /15

df N df Nw t w tt

w w


Overlapping Confidence Intervals and Statistical Significance

• Ketika membandingkan dua perlakuan independen untuk statistik signifikansi, kadang-kadang orang keliru membuat kesimpulan berdasarkan interval kepercayaan yang dibangun dari setiap perlakuan secara terpisah.

• Secara khusus, jika interval kepercayaan tumpang tindih, perlakuan dianggap tidak berbeda. Alasan ini tidak selalu benar.

• Kesalahan yang dapat dengan mudah dilihat dari contoh berikut.

• Pertimbangkan dua perlakuan independen, A dan B, yang mewakili dua formulasi dari obat yang sama dengan hasil pelarutan berikut:


• Nilai stat. pengujian dengan asumsi kedua varians homogen tidak diketahui,

• Nilai kritis uji dua ujung :

• Since 2.51 exceeds the critical t value with 10 d.f. (2.23), the results show significance at the 5% level.

1 2

1 2

1 1 1 16 6

37.5 47.42.51

6.83N Np

X Xt

S

10 0.025 2.23dft


• Computation of the 95% confidence intervals for the two treatments results in the following:

Treatment A : 37.5 ± (2.57)(6.2)1/6 = 30.99 to 44.01.

Treatment B : 47.4 ± (2.57)(7.4) 1/6 = 39.64 to 55.16.

• Clearly, in this example, the individual confidence intervals overlap (the values between 39.64 and 44.01 are common to both intervals), yet the treatments are significantly different.

• The 95% confidence interval for the difference of the two treatments is

(47.4 − 37.5) ± 8.79 = 1.1 to 18.19.

• As has been noted earlier in this section, if the 95% confidence interval does not cover 0, the difference between the treatments is significant at the 5% level.


Test for Comparison of Means of Related Samples (Paired-Sample t Test)


Test for Comparison of Means of Related Samples (Paired-Sample t Test)

Table 5.10 Examples of Related Samples

Studi klinis

Setiap pasien mengambil obat pada setiap kesempatan yang

berbeda (misalnya, studi crossover)

Setiap pasien membutuhkan masing-masing obat secara

bersamaan, seperti dalam pengujian kulit; misalnya, salep

diterapkan ke berbagai bagian tubuh

Pasangan yang dicocokan: dua pasien dicocokkan untuk

karakteristik yang relevan (umur, jenis kelamin, keadaan penyakit,

dll) dan dua obat secara acak, satu untuk setiap pasien

Studi Praklinis Obat yang diberikan secara acak terhadap pasangan hewan

Analis pengembangan Tes analis kadar yang sama semua sampel

Setiap laboratorium tes kadar semua sampel dalam tes kolaboratif

Setiap metode diterapkan pada sampel yang homogeny

Studi stabilitas Tes kadar dari waktu ke waktu bahan dari wadah yang sama



Contoh 6:

• Formulasi baru dari obat yang dipasarkan harus diuji untuk bioavailabilitas, perbandingan tingkat penyerapan ke bentuk yang dapat dipasarkan pada enam hewan laboratorium.

• Setiap hewan menerima kedua formulasi secara acak pada dua kesempatan yang berbeda. Hasilnya, area di bawah kurva tekanan darah terhadap waktu, ditunjukkan pada Tabel 5.11.


• Perumusan hipotesis :


Nilainya

dengan nilai kritis :

• Karena , maka ditolak.

Oleh karena itu, perbedaan signifikan pada tingkat 5%. Formulasi B

muncul untuk lebih bioavailable.

0 1 2: 0H : 0aH

/t

S N

18.5 03.85

/ 13 / 6t

S N

6 1 0.025 2.57dft

53.85 0.025 2.57t t 0 : 0H


• Rumusan hipotesis dapat pula menggunakan rasio A/B :

• Statistik penguji

• Menghasilkan kesimpulan yang sama , yaitu formaula B (yang dipasarkan) lebih bioavailable dari pada formula baru A pada level 5%.

1 0.89 13.87

/ 0.07 / 6

Rt

S N

0 0: 1H R 0: 1aH R


Normal Distribution Tests for Proportions (Binomial Tests) :

Test to Compare the Proportion of a Sample to a Known or Hypothetical Proportion.



… (5.15)

• Karena data diskrit, gunakan koreksi kontinuitas Yates

… (5.16)

0 0:H p p 1 0:H p p

0

0 0

ˆ

1 /

p pZ

p p N

0

0 0

ˆ 1/ 2

1 /

p p NZ

p p N


• Kriteria penolakan H0 sama seperti sebelumnya.

Contoh 7:

• Dua produk yang akan dibandingkan untuk preferensi berkaitan dengan beberapa attribute.

• Atribut bisa berupa sensorik (rasa, bau, dll) atau efek terapi sebagai contoh.

• Misalkan salep diformulasikan untuk obat gatal (A) dan akan dibandingkan dengan formulasi yang telah dipasarkan (B). Dua puluh pasien mencoba setiap produk di bawah kondisi “tidak tahu” dan melaporkan preferensi mereka.

• Hipotesis nol dan hipotesis alternatif

atau 0 : 0.5A BH p p 0 : 0.5AH p : 0.5a AH p


• Tabulasi akhir menunjukkan bahwa 15 dari 20 pasen menyatakan produk A superior ( 5 produk B yang suoerior). Apakah hasil ini merepresentasikan sebuah pemilihan produk A yang nyata?

• Menggunakan Persamaan (15.6), nilai statistik penguji

• Nilai kritis

• Kesimpulan ditolak karena

pada level signifikan 5%, jadi produk baru A lebih banyak dipilih.

1520

0.5 1/ 2(20)2.01

0.5 0.5 / 20Z

0.025 1.96Z

0.0252.01 1.96Z Z 0 : 0.5AH p


Tests for the Comparison of Proportions from Two Independent Groups

• Perumusan hipotesis


dimana proporsi sukses hasil pengamatan kelompok A,

proporsi sukses hasil pengamatan kelompok A,

pooled proporsi sukes hasi pengamatan,

pooled proporsi gagal hasi pengamatan ,

Ukuran sampel kelompok A,

Ukuran sampel kelompok B.

0 : a bH p p

1 : a bH p p

0 0 1 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1/ 1/

a bp pZ

p q N N

2 2ˆ /bp X N

0p̂

1 2ˆ /ap X N

0q̂

2N

1N


• Kriteria penolakan H0 sama seperti sebelumnya.

Contoh 8: • Dalam sebuah studi klinis yang dirancang untuk menguji keamanan dan

kemanjuran obat terapi baru, kejadian efek samping dibandingkan diantara dua kelompok pasien, kelompok satu menggunakan obat baru dan kelompok lainnya menggunakan obat standar telah dipasarkan.

• Sakit kepala adalah efek samping yang dikenal dari terapi tersebut.

• Dari 212 pasien pada obat baru, 35 terkait bahwa mereka telah mengalami sakit kepala parah.

• Dari 196 pasien pada terapi standar, 46 menderita sakit kepala parah.

• Dapatkah obat baru diklaim untuk menghasilkan sakit kepala lebih sedikit dibandingkan dengan obat standar pada tingkat signifikansi 5%?

• Hipotesis nol dan alternatif :

0 1 2 1 2: 0H p p p p 1 2:aH p p



• Nilai kritis :

• Karena , H0 ditolak.

Kesimpulan : Obat terapi baru memberikan proporsi efek samping lebih kecil dari pada proporsi obat tepai standar pada taraf signifikansi 5%.

0.165 0.2351.761

0.199 0.801 1/ 212 1/196Z

2

46ˆ 0.235

196p

0

35 46ˆ 0.199

212 196p

1

35ˆ 0.165

212p

0 0ˆ ˆ1 0.801q p

2 196N 1 212N

0.05 1.65Z

1.761 0.05 1.65Z Z


• Dalam hal ukuran sampel kecil (N1 dan N2 < 15), koreksi kontinuitas Yates akan menyebabkan uji yang konservatif (yaitu probabilitas yang terlalu tinggi yang dapat menyebabkan kurangnya penolakan H0 dalam beberapa kasus) (D’Agostino dkk, 1988)

• Mereka mengusulkan statistik penguji :

t berdistribusi t student dengan db,

Contoh 9 :

1 2

1 2

ˆ ˆ

. 1/ 1/

p pt

s d N N

1 1 1ˆ20, 16 16 / 20 0.8N X p

2 1 2ˆ30, 18 18 / 30 0.6N X p

2

2

1

16 16 / 200.168

19S

2

2

2

18 18 / 300.248

29S

219 0.168 29 0.248

0.21720 30 2

pS

1 2 2v N N


Nilai statistik penguji :

Nilai kritis : db , , taraf signifikan

uji dua ujung:

Kesimpulan : H0 diterima, karena

Proporsi kedua populasi tidak berbeda nyata pada taraf signifikan 5%.

0.8 0.61.49

0.465 1/ 20 1/ 30t

48 0.025 2.01vt

481.49 0.025 2.01vt t

20 30 2 48v

2. 0.217 0.465ps d S

0.05


Chi-Square Tests for Proportions

• Merupakan alternatif untuk uji perbandingkan beberapa proporsi.

• Data disajikan pada tabel kotingensi , misal untuk Contoh 9


dimana frekuensi observasi pada masing-masing sel

ekspektasi frekuensi kejadian pada masing-masing sel

Untuk tabel diatas :

Misal pada sel(1,1), banyaknya sukses pada kelompok 1 = 16 dst.

2

2O E

E

Kel_1 Kel_2 Total

Banyaknya Sukses 16 18 34

Banyaknya Gagal 4 12 16

Total 20 30 50

O

E


• Ekspektasi sel(1,1), ekspektasi banyaknya sukses pada kelopok 1 :

• Ekspektasi sel(2,1), ekspektasi banyaknya gagal pada kelopok 1 :

• Selengkapnya disajikan pada tabel berikut:

• Oleh karena itu, nilai statistik penguji :

• Nilai statistik tersebut merupakan nilai dari distribusi chi square dengan derajat bebas 1. Nilai kritis pada taraf nyata 5%,

• Hasil uji menunjukkan proporsi tidak berbeda nyata (hasilnya sama dg Contoh 9).

0 1ˆ 34 / 50 20 13.6E p N

Frekuensi harapan :

Kel_1 Kel_2 Total

Banyaknya Sukses 13.6 20.4 34

Banyaknya Gagal 6.4 9.6 16

Total 20 30 50

0 1ˆ 16 / 50 20 6.4E q N

2 2 2 2 2

216 13.6 18 20.4 4 6.4 12 9.6

2.20613.6 20.4 6.4 9.6

O E

E

2

1 0.05 3.84

• Secara umum untuk tabel kontingensi dengan R baris dan C kolom, statistik penguji berdistribusi ch square dengan derajat bebas (R-1)(C-1).

• Gunakan Tabel IV.5 untuk menentukan nilai kritis.

• Distribusi ini sifatnya aproksimasi, oleh karena itu perlu adanya koreksi kontinuitas dengan aturan sebagai berikut:

Jika bagian desimal dari (O-E) bernilai diantara 0 dan 0.5, bagian desimal tersebut dihapus.

Jika bagian desimal dari (O-E) bernilai > 0.5 atau tepat 0 , bagian desimal tersebut dikurangi 0,5.

O-E Koreksi Kontinuitas

3.0 2.5

3.2 3.0

3.5 3.0

3.9 3.5

3.99 3.5

4.0 3.5

Confidence Intervals for Proportions:

• Selang kepercayaan untuk sebuah proporsi sebenarnya (p) :

• Contoh :

Dari 500 tablet yang diperiksi, terdapat 20 buah yang gagal

Selang kepercayaan untuk sebuah proporsi obat yang gagal sebenarnya adalah

100 1 %

1

ˆ ˆˆ

2

pqp Z

N

ˆ 20 / 500 0.04p

95%

ˆ ˆ 0.04(0.95ˆ 0.04 1.96 0.04 0.017 0.023 s/d 0.057

2 5000

pqp Z

N

• Selang kepercayaan untuk selisih duah buah proporsi :

merupakan proporsi sukses pengamatan dari kelompok 1 dan 2

ukuran sampel dari kelompok 1 dan 2

nilai kritis untuk selang kepercayaan 95%.

• Contoh : kejadian sakit kepala di dua kelompok pasien, proporsi sakit kepala diamati pada kelompok I adalah 35/212 = 0,165 dan proporsi di kelompok II adalah 46/196 = 0,235. Sebuah selang kepercayaan 95% untuk selisih dua proporsi, dihitung dari Persamaan di atas :

100 1 %

1 1 2 21 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

2

p q p qp p Z

N N

1 2ˆ ˆ dan p p

1.962

Z

1 2 dan N N

0.165 0.835 0.235 0.765

0.165 0.235 1.96 0.07 0.078 0.008 / 0.148212 196

s d

Koreksi kotinuitas pada selang kepercayaan selisih proporsi (Fleiss, Hauck, dan Anderson) :

• Untuk selang kepercayaan 90% dan 95% jika semuanya

• Untuk selang kepercayaan 99% jika semuanya

• Koreksinya dengan ditambah dikenal dengan koreksi Yates.

Contoh :

Selang kepercayaan 95% selisih proporsi sakit kepala :

1 1,N p 1 1,N q 2 2 ,N p2 2 dan N q

3

1 1,N p1 1,N q

2 2 ,N p 2 2 dan N q 5

1 21/ 1/N N

0.165 0.835 0.235 0.765 1 1

0.165 0.235 1.96212 196 212 196

0.07 0.0825 0.0125 / 0.1525s d

COMPARISON OF VARIANCES IN INDEPENDENT SAMPLES

Kasus dua sampel :

• Perumusan hipotesis dua ujung :

• Perumusan hipotesis satu ujung


berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang dan derajat bebas penyebut

Nilai kritis (cutt off ) dapat digambarkan sbb :

2 2

0 : A BH 2 2:a A BH

2 2:a A BH 2 2

0 : A BH

2

1

2

2

SF

S

1 1 1v N

2 2 1v N

• Nilai kritis F untuk 2.5% atas disediakan pada Tabel 5.6 dan 5% serta 10% atas di Tabel IV.6.

• Contoh

Akan diuji kesamaan varians populasi granulasi A dan granulasi B berdasarkan data sampel dalamTabel 5.17 pada taraf nyata

5%


• Nilai statistik penuji :

• Nilia kritis dari Tabel 5.6:

• Tampak bahwa , ditolak.

• Oleh karena itu kedua varians berbeda secara signifikan dengan granula B lebih bervariasi dari pada granula A .

2 2

0 : A BH

2 2:a A BH

1.2978.3

0.156F

6,6 0.025 5.8F

6,68.3 0.025 5.8F F 2 2

0 : A BH

Kasus k > 2 sampel :


paling sedikit sepasang i,j.


Berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas :

2 2 2

0 1 2: kH 2 2: ,a i jH i j

2 2 2

1 1

1 ln 1 lnk k

i p i i

i i

N S N S

1k

Beberapa nilai kritis lihat Tabel 5.19: (lengkapnya di Tabel IV.5)

• Contoh

Perhatikan data dalam Tabel 5.18, dalam hal ini banyaknya sampel k=4.

Nilai statistik penguji :

Nilai kritis :

H0 diterima, oleh karena itu tidak ada perbedaan diantara keempat varians pada taraf signifikansi 5%.

2

3 0.05 7.81

7 Statistical Inference

Documents