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Métodos Numéricos: Resumen ye jem plos Tema 2: Aproximación einterpolación Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de n!enier"a de Manresa#ni$ersidad Politécnica de %atalu&a
Fe'rero 2(()* +ersion ,-.
%ontenido
,- /'jeti$o de los métodos numéricos
2- Error es
0- 1"!itos si!niicati$os y decimales exactos
.- Polinomios de Taylor
3- R esto del polinomio de Taylor
4- Polinomio interpolador de 5a!ran!e
6- Forma de 5a!ran!e para el polinomio interpolador
)- Error de interpolación
7- Forma de Ne8ton para el polinomio interpolador
,(- Polinomio interpolador de 9ermite
, /'jeti$o de los métodos numéricos
El o'jeti$o de los métodos numéricos es aproximar el $alor numérico deo'jetos matemticos usando un n;mero inito de operaciones aritméticas-Al!unos ejemplos t"picos del tipo de pro'lema
-
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Resumen y ejemplos Tema 2: Aproximación e nterpolación- 2
.- %onocidos los $alores de la ta'la
x ( (-, (-2
2 =x> (-3 ,-6 2-0
aproximar el $alor de 2 =(-(6>*R (-2
2 =x> dx* 2 (=(-(6>-3- Si y @ y=x> cum ple B
y( @ x cosy y=(> @ (
aproximar y=(-,>* y=(-2>* y=(-0>-
,-, Método iterati$o
#na orma 'astante Ca'itual de !enerar aproximaciones x j de un $alor Dx(* x,* x2* - - - * xn* - - - → D
consiste en el uso de una órmula r ecurrenteB
xn?, @ !=xn>*
x( @ $alor inicial-
Ejemplo ,-, Método iterati$o para√
c-
5a si!uiente órmula recurrente
,
c F
xn?,
@2
xn
? *n
nos proporciona un método iterati$o para aproximar el $alor de√
c- Par a
iniciar el método* necesitamos una primera estimación x(-Supon!amos
-
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/'ser$amos * el método Ca con$er!ido al $alor
DH @ 3- ,74,32.20-
El $alor o'tenido es correcto Casta el no$eno decimal√
26 @ 3- ,74,3 2.226 (440,-
En el tema dedicado a la resolución numérica de ecuaciones* $eremos
⎪ Errores en la medida de datos⎩⎪ y parmetros-
⎧ Errores accidentales-⎪ =de clculo* de pro!ramación* etc--->
⎨⎪
⎪ Tr uncamiento de procesoso ininitos-⎪⎩⎪
Redondeo-
x
D x
⎪
-
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Ejemplo 2-, Ejemplo de error de truncamiento-
ueremos aproximar
D @O , , , ,
@ , ? ? ? ?n2
n@, . 7 ,4P P P
para ello calculamos la suma inita4
S4 @O
n2n@,
, , ,@ , ? ? ?
. 7 ,4, ,
? ?23 04
@ ,- .7,0)7-
Puede demostrarse
@ (-(7 00 @ 7-00S-
/ '$iamente* al realiar los clculos* tam 'ién se Can producido errores de reGdondeo* sin em'ar!o* en este caso* los errores de redondeo son muy inerioresal error de truncamiento- I
0 1"!itos si!niicati$os y decimalesexactos
J 1ecimos U%uantos decimales son i!ualesV
∞
,
∞ 2
-
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=a> El error a'soluto es
LexL @ LD − xL @ L.7-77 − 3(-((L @ (- (, @ (-, ,(−,*
como LexL W (-3 ,(−,* x aproxima D con un decimal exacto-
='> El error relati$o es
Lr xL @LD − xL
LDL
(-(,@
.7-77@ 2- (((. ,(−.*
como Lr xL W 3 ,(−.* x aproxima D con . d"!itos
si!niicati$os- =c> D y x no tienen d"!itos i!uales- I
. Polinomio de Taylor Sea 2 =x> una unción deri$a'le Casta orden n en x @ c-
J El polinomio de Taylor de 2 =x> en x @ c es2 (=c> 2 ((=c>
22 =n>=c> nPn=x> @ 2 =c> ? =x c> ?
,X=x c>
2X? P P P ? =x c> -nX
J %uando c @ (* resulta el polinomio de Mc5aur in2 (=(> 2 (( =(>
22 =n> =(>
nPn=x> @ 2 =(> ?,X
x ?2X
x ? P P P ?nX
x -
Propiedad
Si Pn=x> es el polinomio de Taylor de orden n de 2 =x> en x @ c*entonces se cumple
Pn=c> @ 2 =c>* P(=c> @ 2 (=c>* P (( =c> @ 2 (( =c>*- --* P =n>=c> @ 2 =n>=c>-n n n
Aplicación
5os polinomios de Taylor permiten aproximar el $alor de una unción 2 =x> para x próximos a c- /'ser$a en x
@ c-
Ejemplo .-, %onsideramos 2 =x> @ex-
=a> 1etermina al polinomio de Mc5aurin de orden 3 para 2-='> Aproxima el $alor de e(-3-=c> U%untos decimales exactos tiene la apr oximaciónV
− − −
-
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=a> Polinomio de Mc5aurin- Se cumple
2 =x> @ ex* 2 ( =x> @ ex* 2 ((=x> @ ex* - - - * 2 =3>=x> @e
x-
Sustituyendo en x @ (* resulta
2 =(> @ 2 (=(> @ 2 (( =(> @ P P P @ 2 =3>=(> @,*
por lo tanto x2 x0 x. x3
P3=x> @ , ? x ?2
? ? ? -4 2. ,2(
='> +alor aproximado- Sustituyendo x @ (-3 en el polinomio* resultaP3=(-3> @ ,- 4.)47)-
=c> Error- El $alor de e(-3* calculado con 4 decimales es
e(-3 @ ,- 4.)62 ,*
el $alor a'soluto del error a'soluto es
Le3L @
H
e(-3 − P
3=(-3>
H @ (-((((20 @ (-20 ,(−.- H H
Por lo tanto* la aproximación P3=(-3> tiene . decimales exactos- I
Ejemplo .-2 %onsideramos 2 =x> @ sin x-=a> 1etermina al polinomio de Mc5aurin de orden 3 para 2-='> Aproxima el $alor , de sin=(-2>-=c> U%untos decimales exactos tiene la apr oximaciónV
=a> Polinomio de Mc5aurin- Se cumple:2 =x> @ sin x*2 (=x> @ cos x*2 ((=x> @ − sin x*2 =0>=x> @ − cos
x*2 =.>=x> @ sin x*2 =3>=x> @ cos x*
2 =(> @ (*2 ( =(> @,* 2 (( =(>@ (*
2 =0>
=(> @ −,*2 =.> =(> @ (*2 =3> =(> @ ,*
por lo tanto x0 x3
P3=x> @ x − ? -4 ,2(, El ar !umento de sin=x> est en radianes- 1e'es tener en cuenta @ cos =x> *
d
dx dx
cos =x> @ Y sin=x>*
sólo son $lidas si el n!ulo est en radianes-
-
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='> +alor aproximado- Sustituyendo x @ (-2 en el polinomio* resulta
P3=(-2> @ (-,7)44 70000-
=c> Error- El $alor de sin=(-2>* calculado con ,( decimales es
sin=(-2> @ (-,7)44 700()-
El $alor a'soluto del error a'soluto es
Le3L @ Lsin=(-2> − P3=(-2>L @ (-23 ,(−)
-
Por lo tanto* la aproximación P3=(-2> tiene ) decimales exactos- I
3 Resto del polinomio de Taylor
Sea
J @ Za* '[ y c un punto interior* esto es a W c W '-
J 2 =x> una unción de clase2 % n?,Za* '[-
Para cada x ∈ Za* '[ se cum ple
2 =x> @ Pn=x> ?R n=x>*
donde:
2 (=c> 2 ((=c> 2 2 =n>=c> n
Pn=x> @ 2 =c> ? =x c> ? ,X
2 =n?,>=t>
=x c>2X
n?,
? P P P ? =x c> *nX
R n=x> @=n ? ,>X
=x − c>
%ota de error
* t est entre c y x-
Si representamos por Mn?, una cota superior de 2 =n?,> =t>* esto es
H H
max H
2 =n?,>=t> H ≤ M
n?,*
t∈Za* '[ H H
entonces tenemos la si!uiente acotación para el error a'soluto mediante Pn=x>
Mn?,Len=x>L @ L2 =x> − Pn=x>L @ LR n=x>L ≤ =n ? ,>X
Lx −
cL
n?,-
2 #na unción es de clase %n?, Za* '[ si tiene deri$adas cont"nuas Casta orden =n ? ,> enZa* '[
− −
−
-
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Ejemplo 3-, Aproxima sin=(-2> usando un polinomio de Mc5aurin de !r aG
do 0- 1etermina una cota superior de error y $eriica los r esultados-
=a> +alor de la aproximación- En principio* tomar"amos
x0P0=x> @ x −
4*
aCora 'ien* o'ser$amos =x> @ sin=x> → 2 =.>=(> @ (*
por lo tanto* el polinomio de orden . coincide con el de orden 0-
x0
P.=x> @ x − 4-
Tomamos P.=x> por @ (- ,7)44 44446-='> %ota de error- %omo 2 =3>=x> @ cos x*
tenemos H
cos t H
H
x3 H
* t entr e ( y x- H 3X H
Podemos tomar M3 @ ,* entonces
=(-2>3 3Le.=(-2>L ≤ @ (-2 4446 ,(− - =,>
3X
Por lo tanto* la aproximación P.=(-2> tiene al menos 3 decimales exactos* podemos tomar el $alor
sin =(-2> @ (-,7)46-
=c> +eriicación de resultados- El $alor de sin=(-2> calculado con ,(
decimales es sin=(-2> @ (-,7)44700(6*
por lo tanto* el error a'soluto es
Le.=(-2>L @ Lsin =(-2> − P.=(-2>L @ (-244. ,(−3
-
+emos - I
Le.=x>L @ H
H
-
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4 Polinomio interpolador de 5a!ran!e
4-,Planteamiento
1ada la ta'la de $alores=2>
donde
J x(* x,* - - - * xn son n ? , a'scisas distintas-
J y(* y,* - - - * yn son n ? , $alores ar'itrarios-
ueremos determinar un polinomio de !rado ≤ n
Pn=x> @ a( ? a,x ? P P P ? anxn*
Propiedad Si las a'scisas x(* x,* - - - * xn son distintas* existe un ;nico poGlinomio Pn=x> de !rado ≤ n @ y j * para j @ (* ,* - - - * n-
J 1ecimos es el polinomio interpolador de la ta'la
x x( x, P P P xny y( y, P P P yn
J %uando los $alores y j se !eneran empleando una unción
y j @ 2 =x j >* para j @ (* ,* - - - *n*
entonces decimos es el polinomio interpolador de la unción2 =x> en las a'scisas o nodos x j -
,Ejemplo 4-, %alcula el polinomio interpolador de la unción 2 =x> @ en
xlos nodos x( @ ,* x, @ 2* x2 @ 0-
5a ta'la de $alores es
x x( x, P P P xny y( y, P P P yn
x , 2 0y , ,R 2 ,R 0
-
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%omo tenemos 0 puntos* de'emos determinar un polinomio de !rado≤ 2
P2=x> @ a( ? a,x ? a2x2- =.>
5as condiciones de interpolación =0> se traducen en
⎨ P2=,> @ ,*P2=2> @ ,R 2*⎩ P2=0> @ ,R 0-
=3>
Sustituyendo en =.>* o'tenemos
⎨ a( ? a, ? a2 @ , a( ? 2a, ? .a2 @ ,R 2
⎩ a( ? 0a, ? 7a2 @ ,R 0
Se trata de un sistema de 0 ecuaciones lineales con 0 incó!nitas- R esol$emos por r educción ⎧
a( ? a, ? a2 @ , =2a − ,a> ⎨=0a − 2a>
⎩
⎧
a, ? 0a2 @ −,R 2a, ? 3a2 @ −,R 4
⎨ a( ? a, ? a2 @ , a, ? 0a2 @ −,R 2
de donde resulta
=0a − 2a>⎩
,
2a2 @ ,R 0
,,a2 @4
* a, @ −,* a( @4
-
El polinomio interpolador* es por lo tanto
,, x2P2=x> @
4− x ?
4-
Es inmediato $eriicar
-
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El si!uiente !rico muestr a la r e pr esentación con junta de la unción
2 =x> @ ,Rx
y el polinomio interpolador calculado en el Ejemplo 4-,
,, x2P2=x> @
4− x ?
4-
.y
=x>@,x
=x>@,,4Gx?x\2
0
interpolado2 r unción
,
x
G, G(-3 (-3 , ,-3 2 2-3 0 0-3 . .-3
nter$alo de interpolaciónG,
G2
G0
/'ser$amos >-
J El polinomio interpolador es un 'uen aproximante de la unción cuanGdo x pertenece al inter$alo de interpolación-
J Fuera del inter$alo de interpolación* el error Len=x>L @ L2 =x> − Pn=x>Laumenta r pidamente-
6 Forma de 5a!ran!e para el polinomiointerpolaG dor
%onsideremos la ta 'lax x( x, P P P xny y( y, P P P yn
donde los nodos x j son distintos- Sa'emos de !rado ≤ n expresndolo en una orma especial* conocida como la orma de 5a!r an!e
Pn=x> @ l(=x> y( ? l,=x> y, ? P P P ? ln=x> yn-
-
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5os polinomios l j =x> se denominan polinomios componentes y se
caracterian por las propiedades
⎧ , si j @ ]*l j =x] > @ ̂j] @ ⎨⎩ ( si j @ ]-
Es decir* el polinomio com ponente l j =x> $ale , en su nodo x j y se anula enlos r estantes-%omo l j =x> se anula para
x(* x,* - - - * x j−,* x j?,* - - - * xn*
y es de !rado ≤ n* de'e ser de la ormal j
=x> @ % =x − x(> =x − x
,> P P P =x − x
j−
,> =x − x
j?,> P P P =x − x
n> -
Para cumplir l j =x j > @ ,* de'e ser
% @
por lo tanto
,*
=x j − x(> =x j − x,> P P P =x j − x j−,> =x j − x j?,> =x j − xn>
=x − x(> =x − x,> P P P =x − x j−,> =x − x j?,> P P P =x − xn>l j =x> @=x
x > =x x > =x x > =x -x > =x x > j − ( j − , P P P j − j−, j − j?, j − n
Ejemplo 6-, Polinomio interpolador para 0 nodos-
%onsideremos la ta 'la
5os polinomios componentes son
∗=x − x,> =x − x2>
x( x, x2⇒ l(=x> @
=x-
x > =x x >( − , ( − 2
∗ =x − x(> =x − x2>
x( x, x2
⇒ l,=x> @
=x
-
x > =x x >,−
( ,−
2
∗ =x − x(> =x − x,>x( x, x2
⇒ l2=x> @=x
-x > =x x >2 − ( 2 − ,
/'ser$amos @ ,l(=x,> @ ( *⎩
l(=x2> @ (
⎨ l,=x(> @ (l,=x,> @ , *⎩
l,=x2> @ (
⎨ l2=x(> @ ( l2=x,> @ ( -⎩
l2=x2> @ ,
x x( x, x2y y( y, y2
⎧ ⎧ ⎧
-
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El polinomio interpolador es* entonces
P2=x> @ l(=x> y( ? l,=x> y, ? l2=x> y2-
+emos es de !rado ≤ 2* adems toma los $alores adecuados
P2=x(> @ l(=x(> y( ? l,=x(> y, ? l2=x(> y2 @
y(* P2=x,> @ l(=x,> y( ? l,=x,> y, ? l2=x,> y2
@ y,*
P2=x2> @ l(=x2> y( ? l,=x2> y, ? l2=x2> y2 @ y2* I
Ejemplo 6-2 1etermina el polinomio interpolador de la ta'la
-
5os polinomios componentes son
∗=x − 2> =x − 0> ,
x( @ , x, @ 2 x2 @ 0⇒ l(=x> @
=,2> =, @ =x 2> =x 0> -
− 0> 2
∗ =x − ,> =x − 0>x( @ , x, @ 2 x2 @ 0
⇒ l,=x> @=2
,> =2 @ − =x − ,> =x − 0> -−
∗ =x − ,> =x − 2> ,x( @ , x, @ 2 x2 @ 0
⇒ l2=x> @=0
El polinomio interpolador es
,> =0 @ =x ,> =x 2> -− 2> 2
, ,P2=x> @ l(=x> P , ? l,=x> P
2? l2=x>
0 -
, , ,P2=x> @
2=x − 2> =x − 0> −
2=x − ,> =x − 0> ?
4=x − ,> =x − 2> - =4>
5a ta'la de $alores es la misma *
resulta , 2 ,,P2=x> @4
x − x ?4
*
-
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) Error de interpolación
Para el polinomio interpolador de una unción* es posi'le o'tener una exG presión del error nodos distintos x(* x,* - - - * xn-
J Za* '[ @ Cx(* x,* - - - * xni =el menor inter$alo
J 2 =x> unción de clase % n?,Za* '[-
J Pn=x> el polinomio interpolador de 2 =x> en los nodos x
(* x
,* - - - * x
n-
Para cada x ∈ Za* '[* el error de inter polación admite la si!uiente expresión
2 =n?,>=t>en=x> @ 2 =x> − Pn=x> @
=n ? ,>X=x − x(> P P P =x − xn>* t ∈ Za* '[-
Si Mn?,
es una cota superior para H
2 =n?,>=t> H
* esto es H H
H H
max H
2 =n?,>=t> H ≤ Mn?,*
t∈Za* '[ H H
o'tenemos la si!uiente cota superior para el error de interpolación
Mn?,Len=x>L @ L2 =x> − Pn=x>L ≤ =n ? ,>X
L=x − x(> P P P =x − xn>L -
Ejemplo )-, A partir de los datos
e( @ ,*
e(-, @ ,-,(3,6,*
e(-2 @ ,-22,.(0-
=a> Aproxima el $alor de e(-,.-='> 1etermina una cota superior del error de
inter polación- =c> %ompara con el $alor de la calculador a-
=a> %lculo de la aproximación- 5os polinomios com ponentes son
∗ =x − (-,> =x − (-2>x( @ ( x, @ (-, x2 @ (-2
⇒ l(=x> @=(
,l(=x> @
(-(2=x − (-,> =x − (-2> -
(-,> =( -− (-2>−
-
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∗ =x> =x − (-2>
x( @ ( x, @ (-, x2 @ (-2
⇒ l,=x> @
=(-,,
(> =(-,−
(-2>
l,=x> @−
(-(,
∗
x =x − (-2>=x> =x − (-,>
x( @ ( x, @ (-, x2 @ (-2⇒ l2=x> @
=(-2
,l2=x> @
(-(2x =x − (-,> -
(> =(-2 −-
(-,>
Polinomio interpolador
P2=x> @ l(=x> y( ? l,=x> y, ? l2=x> y2-
Para calcular P2=,-,.>* sustituimos en los polinomios componentes,l(=(-,.> @
(-(2=(-,. − (-,> =(-,. − (-2> @ =(-(.> =−(-(4> @ (-,2*
(-(2−
,l,=(-,.> @(-(,
,
=(-,.> =(-,. − (-2> @ − =(-,.> =−(-(4>(-(,
=(-,.> =(-(.>
@ (-).*
l2=(-,.> @(-(2
=(-,.> =(-,. − (-,> @
inalmente
@ (-2)*(-(2
P2=(-,.> @ l(=(-,.> y( ? l,=(-,.> y, ? l2=(-,.> y2@ =−(-,2> P , ? (-). ,-,(3,6, ? (-2) ,-22,.(0
@ ,- ,3(004-
='> %ota superior de error- En nuestro caso* el inter$alo de interpolación esZ(* (-2[* tenemos
con
Le2=x>L ≤
H
M0
0XL=x − x(> =x − x,> =x − x2>L *
H
M0 ≥ max H 2 =0>=t>
H @ max
H
et H
@ e(-2 @ ,-22,.(0*
por lo tanto
t∈Z(*(-2[ H H
,-22,.(0
t∈Z(*(-2[
H H
e2=(-,.> ≤ 0XL=(-,. − (> =(-,. − (-,> =(-,. − (-2>L
≤ (-4 )07)4 ,(−. @ (-(4 )07)4 ,(−0-
+emos
-
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=c> %omparación con el $alor de la calculadora- El error exacto =con
4 decimales> es
Le2=(-,.>L @
H
e(-,.
− P2=(-,.>
H @ L,- ,3(260 − ,- ,3(004L H H
@ (- 40 ,(−.
$emos @ y j*
2 Zxi?,* P P P * x j−,* x j [ − 2 Zxi * xi?,* P P P * x j−,[2 Zxi* xi?,* P P P * x j−,* x j [ @
Ejemplo 7-, 1ierencias di$ididas-
*x j − xi
2 Zx,[ − 2 Zx([2 Zx(* x,[ @ *x, − x(
2 Zx2[ − 2 Zx,[2 Zx,* x2[ @ *x2 − x,
-
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2 Zx,* x2[ − 2 Zx(* x,[2 Zx(* x,* x2[ @ *x2 − x(
2 Zx2* x0* x.[ − 2 Zx,* x2* x0[2 Zx,* x2* x0* x.[ @ - Ix. − x,
Ejemplo 7-2 1ierencias di$ididas para la ta'la
-
7-2 nterpolador de Ne8ton
1ada la ta'la de $alores
0−
, 0−( 0
x x( x, x2 x0 x.y y( y, y2 y0 y.
tenemos los si!uientes polinomios interpoladores
J #n nodo
J 1os nodos
P(=x> @ 2 Zx([-
J Tres nodos
P,=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x,[ =x − x(>-
P2=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x,[ =x − x(> ? Zx(* x,* x2[ =x − x(>=x − x,>-
J %uatro nodos
P0=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x,[ =x − x(> ? Zx(* x,* x2[ =x − x(>=x − x,>
?2 Zx(* x,* x2* x0[ =x − x(>=x − x,>=x − x2>-
x( @ ( 2 Zx([@ ,x, @ , 2 Zx,[ @ 0 2 Zx(* x,[@
0−, @ 2
,x2 @ 0 2 Zx2[ @ −, 2 Zx,* x2[@
−,−0 @ −2 2 Zx(* x,* x2[@ −2−2 @ −.
x ( , 0y , 0 −,
x x(
y y(
x x( x,y y( y,
x x( x, x2y y( y, y2
x x( x, x2 x0y y( y, y2 y0
-
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J %inco nodos
P.=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x,[ =x − x(> ? Zx(* x,* x2[ =x − x(>=x − x,>
?2 Zx(* x,* x2* x0[ =x − x(>=x − x,>=x − x2>
?2 Zx(* x,* x2* x0* x.[ =x − x(>=x − x,>=x − x2>=x − x0>-
Ejemplo 7-0 %alcula el polinomio interpolador de la ta'la
-
9emos o'tenido la ta'la de dierencias di$ididasx( @ ( 2 Zx([@ ,x, @ , 2 Zx,[@ 0 2 Zx(* x,[ @ 2
x2 @ 0 2 Zx2[@ −, 2 Zx,* x2[ @ −2 2 Zx(* x,* x2[ @−.0
El interpolador esP2=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x,[ =x − x(> ? Zx(* x,* x2[ =x − x(>=x − x,>-
En nuestro caso.P2=x> @ , ? 2x ?
0x =x − ,>-
El polinomio P2=x> es de !rado 2- En los nodos x j toma los $alores
P2=(> @ ,*P2=,> @ , ? 2 @ 0*
.P2=0> @ , ? 4 −0
P 4 @ 6 − ) @ −,-
Se trata* por lo tanto* del polinomio interpolador- I
Ejemplo 7-. %alcula el polinomio interpolador de la ta'la
-
9emos o'tenido la ta'la de dierencias di$ididas
x( @ ( 2 Zx([ @ ( x, @ , 2 Zx,[ @ ( 2 Zx(* x,[ @ ( x2 @ −, 2 Zx2[ @ 2 2 Zx,* x2[ @ −, 2 Zx(* x,* x2[ @ ,
El interpolador esP2=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x,[ =x − x(> ? Zx(* x,* x2[ =x − x(>=x − x,>*
en nuestro casoP2=x> @ x =x − ,>- I
x x( x, x2 x0 x.y y( y, y2 y0 y.
x ( , 0y , 0 −,
−
x ( , −,y ( ( 2
-
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,( nterpolación de 9ermite
,(-, Presentación del pro'lema
1ada la ta'la de datos
( , y
se pretende determinar un polinomio de !rado ≤ 2n ? ,
92n?,=x> @ a( ? a,x ? P P P ? a2n?,x2n?,
*
@ y j para j @ (* ,*- - - * n-
9 ( (2n?,=x j > @ y j
Propiedad- Si los nodos x(* x,* - - - * xn* son distintos* entonces el polinomiointerpolador de 9ermite 92n?,=x> existe y es ;nico* para cual
-
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El polinomio interpolador es* por lo tanto*
90=x> @ , ? x ? 3x2 − .x0-
+emos cumple
si calculamos la deri$ada
90=(> @ ,* 90=,> @ 0*
9 ( 20=x> @ , ? ,(x − ,2x
y sustituimos en x( @ ( y x, @ ,* resulta
9 ( (0=(> @ ,* 90=,> @ −,-
por lo tanto* 90=x> cumple las condiciones =)>- I
,(-2 %:lculo del polinomio de 9ermite usando
dier encias di$ididas
Podemos calcular el polinomio de 9ermite usando un procedimiento muy parecido al empleado para construir la orma de Ne8ton del polinomio inGterpolador de 5a!ran!e-
x(x(
2 Zx([
2 Zx([ 2 Zx(* x([
x,x,
2 Zx,[2 Zx,[
2 Zx(* x,[2 Zx,* x,[
2 Zx(* x(* x,[2 Zx(* x,* x,[ 2 Zx(* x(* x,* x,[
x2x2
2 Zx2[
2 Zx2[
2 Zx,* x2[2 Zx2* x2[
2 Zx,* x,* x2[2 Zx,* x2* x2[
2 Zx(* x,* x,* x2[ 2 Zx(* x(* x,* x,*x2[
5a dierencia es @
y( -
5os polinomios de 9ermite 9,=x>* 92=x>* 92=x>* tienen la si!uiente orma:
J #n nodo- Ta'la de datos
Ta'la de dierencias
nterpolador
x( 2 Zx([x( 2 Zx([ 2 Zx(* x([
9,=x> @ Zx([ ? 2 Zx(* x([ =x − x(>-
/'ser$a
-
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J 1os nodos- Ta'la de datos
( ,
Ta'la de dierencias
x(x(
2 Zx([
2 Zx([ 2 Zx(* x([x,x,
2 Zx,[
2 Zx,[
2 Zx(* x,[ 2 Zx(* x(* x,[2 Zx,* x,[ 2 Zx(* x,* x,[ 2 Zx(* x(* x,* x,[
nterpolador
90=x> @ Zx([ ? 2 Zx(* x([ =x − x(> ? Zx(* x(* x,[ =x − x(>2
??2 Zx(* x(* x,* x,[ =x − x(>
2 =x − x,> -
J Tres nodos- 5os datos son
( , 2
y el polinomio interpolador tiene la orma
93=x> @ Zx([ ? 2 Zx(* x([ =x − x(> ? Zx(* x(* x,[ =x − x(>2
?
?2 Zx(* x(* x,* x,[ =x − x(>2
=x − x,> ?
?2 Zx(* x(* x,* x,* x2[ =x − x(>2 =x − x,>2 ?
?2 Zx(* x(* x,* x,* x2* x2[ =x − x(>2 =x − x,>
2 =x − x2>-
Ejemplo ,(-2 %alcula el polinomio interpolador de la ta 'la
-
5os datos iniciales en la ta'la de dierencias di$ididas son
A
x( @ ( x( @ (
2 Zx([ @ , 2 Zx([ @ , 2 Zx(* x([ @ ,
x, @ , x, @ ,
2 Zx,[ @ 0 2 Zx,[ @ 0
2 Zx(* x,[ @ 2 2 Zx(* x(* x,[ @ , 2 Zx,* x,[ @ −, 2 Zx(* x,* x,[ @ −0 2 Zx(* x(* x,* x,[ @ −.
x x( x,y y( y,y( y( y(
x x( x, x2y y( y, y2y( y( y( y(
x ( ,y , 0y( , −,
x( @ (
x( @ (
2 Zx([ @ ,
2 Zx([ @ , 2 Zx(* x([ @ , x, @ , x, @ ,
2 Zx,[ @ 0 2 Zx,[ @ 0
2 Zx(* x,[2 Zx,* x,[ @ −,
2 Zx(* x(* x,[2 Zx(* x,* x,[ 2 Zx(* x(* x,*
partir de aC"* o 'tenemos
-
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Por lo tanto* el inter polador es
90=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x([ =x − x(> ? Zx(* x(* x,[ =x − x(>2?
?2 Zx(* x(* x,* x,[ =x − x(>2 =x − x,> -
90=x> @ , ? x ? x2− .x2 =x − ,> -
Si operamos* r esulta
90=x> @ , ? x ? 3x2− .x
0-
unción de clase % 2n?2Za* '[-
J 92n?,=x> el polinomio interpolador de 9ermite para 2 =x> en los nodosx(* x,* - - - * xn-
Para cada x ∈ Za* '[* el error de inter polación admite la si!uiente expresión
H 2 =2n?2>=t>
H
Le2n?,=x>L @ L2 =x> − 92n?,=x>L @ H H
H H
Si M2n?2
es una cota superior para H
2 =2n?2>=t> H
* esto es H H
H H
max H
2 =2n?2>=t> H ≤ M2n?2*
t∈Za*'[ H H
o'tenemos la si!uiente cota superior para el error de interpolación
M2n?22 2Le2n?,=x>L @ L2 =x> − 92n?,=x>L ≤ =2n ? 2>X =x − x(> P P P =x − xn> -
Ejemplo ,(-0 %alcula el polinomio de 9ermite en x( @ ( y x, @ QR .- Aproxima el $alor de sin=(-3>* calcula una cotasuperior de error-
H
=x − x(>2 P P P =x − xn>
2 * t ∈ Za* '[- H
H =2n ? 2>X
H
-
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Tenemos2 =x> @ sin=x>* 2 (=x> @
cos=x>* 2 =(> @ (* 2 (
=(>@ ,*
Q ,2 =
.> @ √
2Q
@ (- 6(6,( 46)* 2 ( =.
> @ (-6(6,( 46)-
5a ta'la de datos es
x x( @ ( x, @ (- 6)307 ),4y ( (-6(6,( 46)y( , (-6(6,( 46)
la ta'la de dierencias inicial es
x( @ ( x( @ (
2 Zx([ @ ( 2 Zx([ @ ( 2 Zx(* x([ @ ,-
x, @ (- 6)307 ),4x, @ (- 6)307 ),4
2 Zx,[ @ (-6(6,( 46)2 Zx,[ @ (-6(6,( 46)
2 Zx(* x,[2 Zx,* x,[ @ (-6(6,( 46)
de donde o'tenemos
2 Zx(* x([ @ ,-
2Zx(* x,[ @ (- 7((0, 402 2
Zx(* x(* x,[ @
−
(- ,2472 ,22 Zx,* x,[ @ (-6(6,( 46) 2 Zx(* x,* x,[ @ −(- 2.4(( 2(0 2 Zx(* x(* x,* x,[ @ −(- ,3,4,).2
El clculo detallado de al!unas dierencias di$ididas es como si!ue2 Zx,[ − 2 Zx([ (-6(6,( 46)2 Zx(* x,[ @ x, − x(
@ @ (- 7((0, 402*(- 6)307 ),4
2 Zx(* x,[ − 2 Zx(* x([ (- 7((0, 402 − ,-2 Zx(* x(* x,[ @ x, − x(@ @ (- ,2472 ,2*
(- 6)307 ),4
2 Zx,* x,[ − 2 Zx(* x,[ (-6(6,( 46) − (- 7((0, 4022 Zx(* x,* x,[ @ @x, − x(@ (- 2.4(( 2(0-
(- 6)307 ),4
5os $alores rele$antes para construir 90=x> son
2 Zx([ @ (* 2 Zx(* x([ @ ,*
2 Zx(* x(* x,[ @ −(- ,2472 ,2* 2 Zx(* x(* x,* x,[ @ −(- ,3,4, ).2-
El polinomio interpolador tiene la orma
90=x> @ 2 Zx([ ? 2 Zx(* x([ =x − x(> ? Zx(* x(* x,[ =x − x(>2
?
?2 Zx(* x(* x,* x,[ =x − x(>2 =x − x,> *
−
−
-
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es* por lo tanto
90=x> @ x − (- ,2472 ,2 x2 − (- ,3,4, ).2 x2=x − (- 6)307 ),4>-
El $alor aproximado para x @ (-3 es
90=(-3> @ (-.67() 64- =,(>%ota de error- Tenemos
Le0=x>L @ L2 =x> − 90=x>L ≤M. =x x >2=x x >2-− ( − ,
El inter$alo de inter polación es Z(* QR .[- En nuestro caso 2 =.>=x> @ sin=x> por lo tanto
M. @ max H
=t> H @ sin=QR .> @ √ *t∈Z(*QR .[
H H2
de donde resulta la cota de error _
,`
Le0=(-3>L ≤ 2
=(-3>2
2.=(-3 − QR .>2 @ (-37773 ,(−0-
.X
-
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A la $ista de la cota de error* sólo podemos ase!urar 2 decimales exactosen la aproximación* el $alor a 2 decimales
sin=(-3> @ (-.)-Error exacto- El $alor de sin=(-3> es
sin=(-3> @ (- .67.2 33.*
el error real es
Le0=(-3>L @ Lsin=(-3> − 90=(-3>L @ (-0067. ,(−0- I
